Modelowanie krzywizny i odtwarzanie kształtu geometrycznego układów torowych

Transkrypt

1 Modeowanie rzywizny i odtwarzanie ształtu geometrycznego uładów torowych Prof. dr hab. inż. Władysław Koc, dr inż. Piotr Chrostowsi, dr inż. Katarzyna Paiowsa Poitechnia Gdańsa, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowisa Projetowanie uładu geometrycznego toru oejowego poega na łączeniu z sobą oreśonych puntów charaterystycznych trasy za pomocą odcinów prostych oraz łuów o stałej i zmiennej rzywiźnie. W miejscach połączeń, na sute zmian rzywizny poziomej, dochodzi do zwięszenia oddziaływań dynamicznych występujących w uładzie tor pojazd. W procesie modeowania rzywizny projetant dąży do zapewnienia płynnej zmiany rzywizny przy spełnieniu odpowiednich warunów [8], by poprzez właściwe uształtowanie rzywych przejścia zapewnić możiwie najorzystniejsze właściwości dynamiczne uładu. Poszuiwanie nowych postaci rzywych przejścia i ocena istniejących są tematami wciąż atuanymi, czego dowodem są iczne pubiacje poświęcone tym zagadnieniom. W Katedrze Transportu Szynowego Poitechnii Gdańsiej opracowano uniwersaną metodę modeowania rzywizny z wyorzystaniem równań różniczowych. W ostatnich atach pojawiło się taże szereg pubiacji dotyczących nowych sposobów onstruowania tzw. rzywych Bezier [, 3, 4, 5]; wsazano na możiwość zastosowania tego rodzaju rzywych przy projetowaniu dróg ołowych i oejowych. W niniejszej pracy ocenę możiwości zastosowania rzywych Bezier w projetowaniu dróg oejowych doonano na podstawie anaizy oddziaływań dynamicznych w uładzie tor pojazd oraz sprawdzenia, czy były spełnione waruni stawiane uładom geometrycznym toru [8, 8, 9]. Jao eement porównawczy wyorzystano rzywe asy C 0 i C uzysane na drodze anaitycznej, przy zastosowaniu uniwersanej metody modeowania rzywizny. Zastosowany mode oraz sposób oceny oddziaływań dynamicznych przedstawiono w pracach [7, 4]. Zasadniczym eementem anaizy oddziaływań dynamicznych jest wyznaczenie wieości drgań X (t) oraz wypadowego przyspieszenia w ruchu drgającym X ʹʹ(t) w rejonach, w tórych występują zmiany poziomej rzywizny toru. W pracy [4] przedstawiono opis metody numerycznej stosowanej do wyznaczenia wieości drgań X (t) przy założeniu, że czynniiem wymuszającym drgania poprzeczne pojazdu szynowego są zmiany rzywizny poziomej toru. Modeowanie matematyczne uładów torowych może służyć nie tyo projetowaniu orzystnego uształtowania geometrycznego, ecz również odtwarzaniu ształtu istniejącego toru w płaszczyźnie poziomej. W tym zaresie pojawiły się ostatnio zupełnie nowe możiwości. Zastosowanie opracowanej przez zespół nauowy Poitechnii Gdańsiej i Aademii Marynari Wojennej w Gdyni technii Mobinych Pomiarów Sateitarnych [0,, 5] pozwaa na wyznaczenie współrzędnych osi toru w odstępach rzędu 0 30 cm. W związu z tym pojawia się potrzeba opisania pomierzonej trasy taimi eementami geometrycznymi (w postaci odcinów prostych oraz łuów o stałej i zmiennej rzywiźnie), tóre są dostosowane do pojazdów szynowych poruszających się z oreśoną prędością. W pracy przedstawiono metodyę postępowania, wyorzystującą zapis matematyczny i odpowiednie agorytmy obiczeniowe oraz opracowany system wspomagania omputerowego. Wybór najorzystniejszego wariantu może odbywać się na drodze optymaizacji. W przypadu odtwarzania przebiegu trasy INŻYNIERIA MORSKA I GEOTECHNIKA, nr 5/04 487

2 oejowej o złożonym uształtowaniu geometrycznym jedynym rozwiązaniem może oazać się wyorzystanie technii numerycznej. UNIWERSALNA METODA MODELOWANIA KRZYWIZNY Założenia ogóne Połączenie eementów trasy oejowej o zróżnicowanej rzywiźnie powinno zapewniać ciągłą zmianę niezrównoważonego przyspieszenia bocznego, w sposób orzystny w dynamice oddziaływań w uładzie droga pojazd. Wiąże się to ściśe z właściwym sposobem ształtowania rzywizny. Uogóniając metodę identyfiacji przyspieszeń niezrównoważonych występujących na różnych rodzajach rzywych przejściowych [3], możemy poszuiwać funcji rzywizny () wśród rozwiązań równania różniczowego: ( m) ( m ) ( ) = f,,,, z warunami na początu (da = 0) i na ońcu (da = ) rzywej przejścia () da 0 (0 ) i i = = () 0 da i =,,, n da 0 ( ) j ( ) 0 da j,,, n przy czym parametrem jest położenie danego puntu na długości rzywej. Rząd równania różniczowego () wynosi m = n n, a otrzymana funcja () jest funcją asy Cn w przedziae 0,, gdzie n = min (n, n ). Zastosowanie przedstawionej metody stwarza możiwość łączenia różnorodnych eementów geometrycznych, np. prostej z łuiem ołowym czy też dwóch łuów ołowych o przebiegu zgodnym ub odwrotnych. Metoda ta pozwaa na generowanie rozwiązań o iniowej ub nieiniowej zmianie rzywizny. Po wyznaczeniu rzywizny () zadaniem podstawowym staje się oreśenie współrzędnych rzywej w uładzie x, y. Załadamy, że począte tego uładu znajduje się w puncie ońcowym rzywej wejściowej o rzywiźnie, a oś odciętych jest styczna do tej rzywej w tymże puncie. Równanie szuanego połączenia możemy zapisać w postaci parametrycznej: () (3) x() = cos Q() d (4) y() = sin Q() d (5) Funcję Q() oreśamy na podstawie wzoru Q () = () d (6) Przypade iniowej zmiany rzywizny Ja powszechnie wiadomo, iniowa zmiana rzywizny występuje na rzywej przejściowej zwanej otoidą, łączącą pro- stą ( = 0) z łuiem ołowym ( = ). Spróbujmy teraz ten R przypade uogónić. Liniową zmianę rzywizny na oreśonej długości uzysuje się przez przyjęcie dwóch eementarnych warunów: (0 ) = (7) ( ) = oraz równania różniczowego rzędu drugiego dającego rozwiązanie wieomianowe () = 0 (8) Rozwiązanie probemu różniczowego (7), (8) stanowi funcja asy C 0 : () = ( ) (9) Wyznaczenie funcji Q() Q () = ( ) (0) umożiwia oreśenie współrzędnych x() i y() za pomocą wzorów (4) i (5) i rozwinięciu funcji podcałowych w szereg Macaurina []. Po przeprowadzeniu całej procedury otrzymujemy następujące równania parametryczne: 3 4 x() = cos Q () d = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 3 ) ( ) ( 4 ) () y() = sin Q () d = ( ) ( ) ( ) ( ) ( 3 ) ( ) ( ) ( ) () 864 Łatwo sprawdzić, że powyższe równania da = 0 opisują rzywą przejściową w postaci otoidy. W przypadu łuów zgodnych funcja Q() jest funcją monotoniczną. W przypadu łuów odwrotnych funcja Q() ma estremum w puncie 0 0 = (3) 488 INŻYNIERIA MORSKA I GEOTECHNIKA, nr 5/04

3 Równania parametryczne () i () obowiązują da 0, 0 ; da, 0 funcje podcałowe naeży rozwinąć w szereg Tayora []. Otrzymujemy wówczas: x ( ) = x ( 0) cos ( 0) ( ) ( ) sin ( 3 0 ) 6 ( ) ( ) cos ( ) ( ) ( ) sin ( ) ( ) 4 ( ) 9 4 cos ( 0 ) 3456 ( ) y ( ) = y ( 0) sin ( 0) ( ) ( ) cos ( 3 0 ) 6 ( ) ( ) sin ( ) ( ) cos ( ) ( ) ( ) 4 ( ) 9 4 sin ( 0 ) 3456 ( ) Przypade nieiniowej zmiany rzywizny (4) (5) Przedstawione rozwiązanie iniowej zmiany rzywizny ma charater jednoznaczny. Natomiast rozwiązań wieomianowych można uzysać wiee, przyjmując różne waruni brzegowe oraz postaci równań różniczowych. Spróbujmy zająć się przypadiem, tóry w odniesieniu do asycznych rzywych przejściowych łączących prostą z łuiem ołowym identyfiuje rzywą Bossa [8]. Przyjmijmy waruni brzegowe (0 ) = ( ) = (6) (0 ) = 0 ( ) = 0 oraz następujące równie różniczowe: (4) () = 0 (7) Po rozwiązaniu równania różniczowego (6), (7) otrzymujemy następujący wzór na rzywiznę (): 3 3 ( ) = ( ) ( 3 ) (8) Uzysane rozwiązanie jest funcją asy C. Postać funcji Q() jest następująca: Q 3 4 ( ) = ( ) ( 3 ) (9) Ta ja w przypadu iniowej zmiany rzywizny, oreśenie współrzędnych x() i y() za pomocą wzorów (4) i (5) wymaga rozwinięcia funcji podcałowych w szereg Macaurina i ewentuanie Tayora []. KRZYWE BEZIER Spośród omawianych w iteraturze rzywych Bezier [, 3, 4, 5] anaizie poddano ubiczne rzywe C-Bezier (cubic C-Bezier curves) [3] i PH rzywe Bezier piątego stopnia (Pythagorean hodograph quintic Bezier curves) [5]. Kubiczne rzywe C-Bezier Kubiczna rzywa C-Bezier jest opisana następującym równaniem parametrycznym: π 0 4π 4π T sin t π P 0 0 cost 4 4 () t π π P P = (0) π t P 4π 4π P3 π π 0 4π 4π π i zdefiniowana parametrem t spełniającym zaeżność 0 t. Spośród puntów ontronych { } 3 i= 0 P i punty P 0 i P 3, będące węzłami rzywej Bezier, stanowią punty styczności rzywej z łuiem, odpowiednio więszym i mniejszym. Pierwsza pochodna rzywej (0) wyrażona jest następującą formułą: P ( t) = [( sin t)( P P0) ( cos t)( P3 P) ] π (cos t sin t )( P P ) () 4 π Druga pochodna rzywej (0) przedstawia się następująco: π P ( t) = ( ) ( ) cost P P P P0 π 4π π P3 P ( P P )sin t 4 π () W pracy [3] podano agorytm wyznaczania puntów ontronych { P } 3 i z uwzgędnieniem parametrów geometrycznych i= 0 uładu oraz parametru ształtu m. Na szczegóne podreśenie zasługuje fat doładnego uwzgędnienia położenia środów łuów i zaprojetowanie rzywej przejścia nie wymagającej zmiany położenia tychże łuów. PH rzywe Bezier piątego stopnia W pracy [5] przedstawiono zastosowanie rzywej Bezier piątego stopnia (Pythagorean hodograph quintic Bezier curve) opisanej wzorem: INŻYNIERIA MORSKA I GEOTECHNIKA, nr 5/04 489

4 5 5 5i i P( t)( = xt ( ), yt ( )) = P i ( t) t (3) i= 0 i zdefiniowanej parametrem t, spełniającego zaeżność 0 t. Spośród puntów ontronych { P } 5 i punty P i= 0 0 i P 5 styczności rzywej z łuiem, odpowiednio więszym i mniejszym, stanowią węzły rzywej Bezier. Zastosowana rzywa spełnia warune stawiany Pitagorejsim hodografom (Pythagorean hodograph), poegający na możiwości przedstawienia wyrażenia x () t y () t jao wieomianu wadratowego zmiennej t. Pochodną rzywej wyrażono następującym wzorem: P ( t)( = ( x() t, y() t) = ( u () t v() t, utvt () ()), 0 t (4) żonej długości = 93 m. Następnie sonstruowano rodzinę ubicznych rzywych C-Bezier da różnych wartości parametru ształtu m { 0,93; 0,95;0,99}, zachowując położenie środów łuów C 0 i C uzysane w tracie onstruowania rzywej asy C 0. Parametr ształtu m ubicznych rzywych C-Bezier dobrano ta, by spełnić wymagania niezbędne do uzysania monotoniczności rzywizny oreśone przez agorytm [3], tóry w tym przypadu oazał się dużo mniej eastyczny niż w przypadu łączenia łuów zgodnych oddaonych od siebie. W rezutacie opisanego tou postępowania otrzymano połączenie łuów zgodnych przestawione na rys.. Krzywe poazane na rys. różnią się długością, rzywizną (rys. ), a taże puntami styczności rzywej z łuiem W. Położenie środa C łuu W uegło przesunięciu jedynie w przypadu rzywej a- gdzie: u( t) = u0( t) ut ( t) ut v( t) = v0( t) vt ( t) vt W pracy [5] poddano anaizie sposób wyznaczenia współczynniów u 0, u, u, v 0, v, v w odniesieniu do onretnego uładu geometrycznego łuów z uwzgędnieniem parametru ształtu m. Agorytm onstruowania PH rzywych Bezier piątego stopnia w przypadu uładu łuów zgodnych, w tórym jeden łu eży wewnątrz drugiego [5], różni się od agorytmu stosowanego w przypadu łuów zgodnych, oddaonych od siebie [4]. W pracy [5] podano możiwość uzysania połączenia G 3 rzywej z łuiem więszym ub połączenia G 3 z łuiem mniejszym. W projetowaniu dróg oejowych można rozważać jedynie wariant połączenia G 3 rzywej z łuiem więszym ze wzgędu na fat, że w proponowanym połączeniu G 3 rzywej z łuiem mniejszym nie jest spełniony warune monotoniczności rzywizny. Anaiza możiwości zastosowania Anaizę możiwości zastosowania przeprowadzono poprzez rozpatrzenie przyładowych uładów geometrycznych toru oejowego, obejmujących zadanie łączenia rzywą przejściową dwóch zgodnych łuów ołowych, z tórych jeden jest zawarty wewnątrz drugiego (C-ova transition). Wymagane jest spełnienie warunu monotoniczności rzywizny [8]. Rozważmy uład geometryczny dwóch zgodnych łuów ołowych: W 0 o promieniu R 0 = 700 m i W o promieniu R 0 = 500 m, w tórym łu W jest położony wewnątrz łuu W 0. Środe łuu W 0 znajduje się w puncie C 0 (0;700) m; współrzędne środa łuu W są ustaane w tou agorytmu onstruowania rzywej. W uład ten wpisujemy PH rzywą Bezier piątego stopnia, przyjmując Θ = 0,33, w wyniu czego otrzymujemy położenie środa C = (58,79; 50,) m łuu W oraz odegłość pomiędzy środami łuów r= C C0 = 98,78 m. Agorytm onstruowania PH rzywej Bezier piątego stopnia przedstawiony w pracy [5] wyazuje się znacznie mniejszą eastycznością od agorytmu stosowanego w opracowaniu [4], dotyczącego łączenia oddaonych łuów zgodnych. W ceu porównania tej rzywej z rzywymi uzysanymi metodą anaityczną wyznaczono rzywe asy C 0 i C o zało- Rys.. Połączenie łuów zgodnych porównywanymi rzywymi przejścia Rys.. Wyresy rzywizny porównywanych rzywych przejścia 490 INŻYNIERIA MORSKA I GEOTECHNIKA, nr 5/04

5 Tab.. Długości, położenia środa C łuu Ω oraz punty styczności rzywych asy C 0 i C, ubicznych rzywych C-Bezier oraz PH rzywej Bezier piątego stopnia Krzywa Krzywa. C 0 Krzywa. C PH quintic C-Bezier m = 0,93 C-Bezier m = 0,95 C-Bezier m = 0,99 Długość rzywej [m] 93,00 93,00 93,3 734,4 736,47 74, Punt styczności z łuiem Ω [m] (8,8; 68,) (8,5; 67,36) (83,63; 63,5) (534,84; 394,98) (534,84; 394,98) (534,84; 394,98) Położenie środa C [m] (4,; 506,4) (4,73; 506,6) (58,79; 50,) (4,; 506,4) (4,; 506,4) (4,; 506,4) Rys. 3. Przyspieszenia w ruchu drgającym Xʹʹ porównywanych rzywych przejścia sy C oraz PH rzywej Bezier piątego stopnia (tab. ). Uzysano ubiczne rzywe C-Bezier o znacznie więszej długości w stosunu do pozostałych rzywych. Nie istniało rozwiązanie o mniejszej długości rzywej, zachowujące jednocześnie położenie środa C łuu Ω. Na rys. przedstawiono rzywizny porównywanych rzywych, a na rys. 3 przyspieszenie w ruchu drgającym Xʹʹ. Spośród rzywych o długości = 93 m zdecydowanie najepsze właściwości dynamiczne ma rzywa asy C. PH rzywa Bezier piątego stopnia ma epsze właściwości dynamiczne od rzywej asy C 0 w początowym rejonie, a gorsze w rejonie ońcowym. Wynia to z zastosowania wariantu agorytmu onstruowania rzywej gwarantującego połączenie G 3 z łuiem więszym. Dobre właściwości rodziny ubicznych rzywych C-Bezier wyniają z ich więszej długości w stosunu do pozostałych rzywych. ODTWARZANIE KSZTAŁTU OSI TORU KOLEJOWEGO Minęło właśnie sześć at od uruchomienia w naszym raju (w połowie 008 rou) Atywnej Sieci Geodezyjnej ASG-EU- POS []. Otworzyło to zupełnie nowe perspetywy w zaresie oreśania rzeczywistego położenia toru oejowego. Wyorzystanie opracowanej przez zespół nauowy Poitechnii Gdańsiej i Aademii Marynari Wojennej w Gdyni technii Mobinych Pomiarów Sateitarnych [0, 5] umożiwia bardzo precyzyjne oreśenie podstawowych danych do projetowania modernizacji inii oejowej. Technia ta pozwaa na odtworzenie ierunów prostych trasy (i oreśenie występujących na nich deformacji poziomych), a taże rejonów zmiany ierunu trasy (ąty zwrotu trasy, łui ołowe i rzywe przejściowe). Stanowiło to inspirację do podjęcia działań nad opracowaniem nowych metod projetowania, dostosowanych do technii MPS [7, 9, 0, ], wraz z odpowiednim wspomaganiem omputerowym [, 4]. Dzięi technice sateitarnej stało się możiwe odtworzenie, w sposób bezpośredni, rzeczywistego ształtu toru w płaszczyźnie poziomej. Tradycyjne podejście (a taże obowiązujące wytyczne projetowania) wymaga wyodrębnienia z uładu sładowych eementów geometrycznych: odcinów prostych, łuów ołowych i rzywych przejściowych. Obecnie można to osiągnąć przez odpowiedni opis matematyczny pomierzonych rzędnych. W następnym etapie będzie odbywać się orygowanie rzędnych, mające na ceu eiminowanie występujących nieprawidłowości oraz dostosowywanie uładu do wymaganych parametrów espoatacyjnych. Stosowane metody projetowania muszą znaeźć zastosowanie zarówno do odtwarzania ształtu toru (stanowiącego przecież podstawę do oreśonych decyzji modernizacyjnych), ja też do wyonania właściwego projetu modernizacji. Odtwarzanie ształtu osi toru oejowego jest niewątpiwie zagadnieniem bardziej złożonym niż projetowanie wariantu doceowego. Mogą się tutaj oazać przydatne agorytmy obiczeniowe obejmujące trudniejsze przypadi geometryczne, np. łui oszowe [0] i łui odwrotne. INŻYNIERIA MORSKA I GEOTECHNIKA, nr 5/04 49

6 Agorytm obiczeniowy W opracowaniu ograniczono się do rozpatrywania przypadu standardowego, tj. zamodeowania istniejącego uładu za pomocą łuu ołowego i dwóch rzywych przejściowych, przy czym stworzono możiwość zróżnicowania rodzaju i długości rzywych przejściowych. Sposób oreśenia podstawowych danych wejściowych oraz procedurę projetowania rzędnych trasy (da rozpatrywanego przypadu) przedstawiono w pracy []. Pomierzone współrzędne Y i i X i (w państwowym systemie odniesień przestrzennych 000) prostych stanowiących przecinające się ieruni główne trasy możemy wyorzystać do wyznaczenia metodą najmniejszych wadratów ich równań w postaci X = A B Y. Znajomość równań obydwu prostych umożiwia wyznaczenie współrzędnych puntu przecięcia ierunów głównych trasy w uładzie 000 oraz zdefiniowanie warunów oreśających współrzędne ońcowej strefy ierunu głównego trasy na Prostej oraz strefy początowej drugiego ierunu głównego na Prostej. Wyznaczenie ątów nachyenia ϕ i ϕ obu prostych wzgędem osi Y pozwaa na oreśenie ąta zwrotu trasy α. Oreśenie nowych rzędnych osi toru będzie odbywać się przy następujących danych wyjściowych: ąta zwrotu stycznych α, promienia łuu ołowego R, przechyłi na łuu h 0, długości i przyjętych postaci rzywych przejściowych. W ceu wyorzystania uzysanych danych pomiarowych do zaprojetowania rejonu zmiany ierunu trasy naeży interesujący nas jej fragment wyodrębnić z całości uładu geometrycznego oraz doonać odpowiedniej transformacji (przesunięcia i obrotu) uładu współrzędnych. Wzory na nowe współrzędne trasy w przesuniętym do puntu O(Y 0, X 0 ) i obróconym o ąt β oanym uładzie współrzędnych x, y są opisane zaeżnościami []: x = ( Y Y )cos β ( X X )sin β (5) 0 0 y = ( Y Y )sin β ( X X )cosβ (6) 0 0 Na rys. 4 przedstawiono oany uład współrzędnych Oxy, w tórym będzie odbywać się projetowanie uładu geometrycznego, by następnie na drodze odpowiedniej transformacji przenieść go do uładu gobanego. Proces projetowania przebiega sewencyjnie, obejmując następujące etapy: przyjęcie (w sposób przybiżony) początu oanego uładu współrzędnych (puntu O) na jednym z ierunów głównych trasy (na prostej ); będzie on również początiem pomocniczego uładu współrzędnych Ox y wyorzystywanego do wyznaczania puntów rzywej przejściowej KP, oreśenie rzędnych rzywej przejściowej KP zoaizowanej w uładzie współrzędnych Ox y (rys. ), transformacja rzywej przejściowej KP do przyjętego oanego uładu współrzędnych poprzez doonanie obrotu jej uładu odniesienia w prawo o ąt a/; otrzymujemy równania parametryczne x() i y() rzywej KP, oreśenie rzędnych rzywej przejściowej KP zoaizowanej w uładzie współrzędnych O x y (rys. ), transformacja rzywej przejściowej KP do uładu współrzędnych O x 3 y 3 poprzez doonanie obrotu jej uładu odniesienia w ewo o ąt a/; ponieważ osie tego uładu są równoegłe do osi uładu oanego Oxy, operacja ta pozwoi na oreśenie współrzędnych puntu K (tj. wartości KP i Dy KP ), wyznaczenie równania łuu ołowego y(x) połączonego stycznie w puncie K z rzywą przejściową KP, oreśenie współrzędnych puntu K (x K, y K ) z warunu styczności łuu ołowego i rzywej przejściowej KP, zorientowanie pomocniczego uładu współrzędnych O x 3 y 3 w uładzie oanym Oxy dzięi oreśeniu położenia puntu O (x O, y O ), wyznaczenie równań parametrycznych x() i y() rzywej przejściowej KP w oanym uładzie współrzędnych, oreśenie położenia początu oanego uładu współrzędnych, tj. puntu O (na odpowiednim ierunu głównym trasy) w uładzie 000; położenie to wyznaczają współrzędne wierzchoła W(x W, y W ) w uładzie Oxy, gdyż z pomiarów sateitarnych jesteśmy w stanie łatwo oreśić jego współrzędne Y W i X W w uładzie 000, Rys. 4. Przyjęty oany uład współrzędnych (z wrysowanymi rzywymi przejściowymi) 49 INŻYNIERIA MORSKA I GEOTECHNIKA, nr 5/04

7 Rys. 5. Wido fragmentu trasy w przesuniętym uładzie współrzędnych przeniesienie rozwiązania do uładu gobanego przy wyorzystaniu wzorów []: Y = Y0 xcos β ysin β (7) X = X0 xsin β ycosβ (8) Komputerowe generowanie wariantów W ceu nadania charateru apiacyjnego przedstawionej oncepcji naeżało opracować odpowiedni program omputerowy. Program ten generuje oejne warianty przebiegu trasy, wyorzystując omówiony agorytm obiczeniowy, następnie na drodze optymaizacji doonuje wyboru rozwiązania najepiej opisującego ształt istniejącej osi toru [6]. Program umożiwia: szybie zaprojetowanie poprawnego uładu geometrycznego łączącego dwa ieruni główne, szybą ocenę wygenerowanego uładu geometrycznego, szczegónie w przypadu, gdy projet dotyczy modernizacji istniejącej inii, tworzenie dowonej iczby wariantów, stosując różne rodzaje i długości rzywych przejściowych, a taże poprzez zmianę wartości promienia łuu ołowego, wygenerowania tabicy zawierającej współrzędne geograficzne puntów z oreśonym roiem wzdłuż osi toru, niezbędnych do wytyczenia zaprojetowanego przebiegu trasy w terenie. Agorytm obiczeniowy, zaimpementowany w środowisu SciLab [6], pozwaa użytowniowi zaprojetować zarówno nowy, tj. nie związany z żadnym istniejącym uładem geometrycznym wariant, ja również wariant modernizacji uładu istniejącego na podstawie danych pomiarowych odnoszących się do onretnego toru oejowego. Tworząc oejne warianty, dążymy do minimaizacji przemieszczeń istniejącego toru oejowego. Cały to postępowania można podzieić na fazę przygotowawczą oraz projetową. Pierwsza z nich poega na przygotowaniu niezbędnych danych do zaprojetowania nowego wariantu przebiegu trasy. Dane te stanowią tabicę puntów pomiarowych, obejmującą swoim zaresem interesujący nas rejon trasy. Wybór tego rejonu wyonuje się w modue programu SATTRACK [5], tóry służy do wizuaizacji i oceny przebiegu trasy oejowej na podstawie mobinych pomiarów sateitarnych. Faza projetowa poega już na generowaniu oejnych wariantów przebiegu trasy i jest ona w dużym stopniu zautomatyzowana, przez co roa projetanta poega głównie na podejmowaniu rytycznych decyzji. Wspomaganie omputerowe przenosi zatem wysiłe związany z czynnościami obiczeniowymi oraz prezentacyjnymi na proces decyzyjny. To prowadzonego postępowania ziustrowano na onretnym przyładzie. Użytowni wczytuje do programu tabicę zawierającą współrzędne puntów w uładzie 000, utworzoną w fazie poprzedzającej projetowanie. Na rys. 5 poazano wyonaną na ich postawie wizuaizację przebiegu trasy na siatce przesuniętego uładu współrzędnych [3], tórego począte powiązany jest z pierwszym puntem pomiarowym. Naeży zaznaczyć, że punty z tabicy są opisane ich rzeczywistymi współrzędnymi w uładzie 000, jedna do ceów wizuaizacji pratyczniej jest operować w uładach oanych. Następnym roiem jest oreśenie ierunów głównych trasy (załadamy, że modernizacja dotyczy jedynie rejonów położonych w łuu, czyi zachowano poigon trasy). Program prowadzi użytownia przez etapy, w tórych wyodrębnia on z całego zaresu puntów obszary prostoiniowe po obu stronach łuu. Na wyświetających się wyresach użytowni widzi (w sai sażonej) przebieg puntów trasy w uładzie, tórego oś pozioma porywa się z wyznaczoną ze wsazanego zaresu puntów prostą najmniejszych wadratów. W zaeżności od rozpatrywanego ierunu głównego jest to Prosta ub Prosta. Rzędne wyresu stanowią miarę odchyenia puntów pomierzonej trasy INŻYNIERIA MORSKA I GEOTECHNIKA, nr 5/04 493

8 od wyznaczanego anaitycznie ierunu prostej. Użytowni ma możiwość zaznaczenia nowego zaresu puntów, przez co będą odrzucone te punty, tóre wyraźnie odstają od iniowego trendu. W czasie tych operacji śedzi on na eranie współczynnii A i B prostej w uładzie 000 oraz wsaźni dopasowania prostej do onfiguracji atuanej (R ) oraz po zaproponowaniu nowego zaresu puntów (next R ). Operacje te mogą być wyonywane ta długo, aż użytowni zadecyduje o ostatecznej postaci prostej opisującej wybrany ierune główny trasy. Projetowanie odbywa się w oanym uładzie współrzędnych (ja na rys. 4). Użytowni oreśa rodzaje rzywych przejściowych oraz wprowadza ich długości i, ja również promień łuu ołowego R, da tórych program omputerowy ma wygenerować wariant przebiegu trasy pomiędzy oreśonymi wcześniej ierunami głównymi. Po wprowadzeniu i zatwierdzeniu danych użytowni widzi na eranie uład puntów w oanym uładzie współrzędnych x, y. Na te puntów pomiarowych wrysowany jest obiczony wariant projetowy z wyróżnionymi zaresami rzywych przejściowych i łuu ołowego. Na rys. 6 poazano rozwiązanie uzysane po przyjęciu promienia R = 94 m i dwóch rzywych w postaci otoidy o długościach = 4 m i = 8 m. W ceu podniesienia czyteności uładu począti i ońce obydwu rzywych przejściowych połączono z sobą iniami prostymi. Wartości różnic rzędnych nowo zaprojetowanych i istniejących w zaresie odciętych x (opisujących zaprojetowany łu ołowy) użytowni ocenia na wyresie towarzyszącym atuanemu wariantowi. Wyres różnic odpowiadający wariantowi przedstawionemu na rys. 6 poazano na rys. 7. Prezentowane różnice Δy stanowią pomocny wsaźni przy podejmowaniu decyzji dotyczącej danego wariantu podczas projetowania. Ponieważ rozwiązanie probemu poazane na rys. 6 uzysano w procesie optymaizacji, na rys. 7 zamieszczono również wartość funcji oceny FF (fitness function), opisanej równaniem (3) i zdefiniowanej w daszej części pracy. Gdy użytowni zaończy proces generowania wariantów przebiegu trasy, program dostarcza tabicę współrzędnych pun- Rys. 6. Wariant połączenia dwóch ierunów głównych łuiem ołowym o promieniu R = 94 m oraz dwiema rzywymi przejściowymi o długościach = 4 m i = 8 m (w sai sażonej) Rys. 7. Różnice pomiędzy rzędnymi projetowymi i istniejącymi (w sai sażonej) odpowiadające wariantowi z rys INŻYNIERIA MORSKA I GEOTECHNIKA, nr 5/04

9 tów rozmieszczonych wzdłuż zaprojetowanego uładu geometrycznego. Punty te stanowią opis projetowanej trasy w państwowym systemie odniesień przestrzennych 000. Dodatowo istnieje możiwość wydruowania raportu zawierającego anaityczny zapis przyjętego rozwiązania w oanym uładzie współrzędnych x, y. Zawarte w raporcie dane pozwaają odtworzyć w dowonym czasie wartości współrzędnych zaprojetowanej trasy w uładzie 000. Optymaizacja procesu wyboru wariantu Generowanie i ocena oejnych wariantów może być prowadzone bezpośrednio przez użytownia, jedna istnieje możiwość automatyzacji tego procesu. Wybór wariantu następuje w procesie optymaizacji prowadzonym agorytmem roju cząste PSO (Partice Swarm Optimization) [6]. Agorytm PSO działa na podstawie popuacji cząste poruszających się w przestrzeni rozwiązań. Każda cząsta reprezentuje potencjane rozwiązanie probemu, tj. szuany promień łuu R oraz długości dwóch rzywych przejściowych i. Cząsti zmieniają swoje położenie w ierunu uzaeżnionym od najepszego dotychczasowego położenia cząsti, najepszego dotychczasowego położenia cząste sąsiednich oraz własnej prędości. Modyfiacja prędości cząsti następuje zgodnie z formułą: v = w v C Rand() ( p p ) (9) best id id id id best C Rand() ( pgd pid ) gdzie: w współczynni inercji, zmieniający się w czasie według wzoru wmax wmin w=wmax n (30) N N masymana iczba iteracji agorytmu, n numer bieżącej iteracji, C, C współczynnii uczenia: indywiduany i grupowy, Rand() funcja osowa generująca iczbę osową z przedziału (0,), best p najepsze dotychczasowe położenie cząsti, id best gd p najepsze dotychczasowe położenie cząste sąsiednich. Modyfiacja położenia cząsti następuje zgodnie z formułą: pid = pid vid (3) Schemat działania agorytmu roju przedstawiono na rys. 8. Zastosowano PSO-Toobox v dostępny w SciLab v [6]. Ocena cząsti reprezentującej rozwiązanie probemu jest przeprowadzana na podstawie różnicy rzędnych odtwarzanego położenia łuu ołowego i rzędnych pomierzonych, zgodnie z formułą: n FF( R,, ) = yi pyi (3) n i= gdzie: FF wartość funcji oceny (fitness function), n iczba uwzgędnionych próbe reprezentujących rzędne łuu ołowego, y i rzędne odtwarzanego łuu o promieniu R łączącego dwa ieruni proste w uładzie z dwoma rzywymi przejściowymi o długościach i, py i rzędne wyniające z pomiarów. W procesie optymaizacji dąży się do wyznaczenia promienia łuu R oraz długości rzywych przejściowych i zapewniających minimane średnie przesunięcie rzędnych łuu. Uwzgędnienie w formue (3) odwrotności wadratu iczby próbe posłużyło do powstrzymania tendencji procesu do nadmiernego wydłużania rzywych przejściowych i minimaizacji przesunięć poprzez sracanie długości odtwarzanego łuu. Rys. 8. Schemat działania agorytmu roju cząste Rys. 9. Przebieg wybranych procesów optymaizacji INŻYNIERIA MORSKA I GEOTECHNIKA, nr 5/04 495

10 Tab.. Parametry procesu optymaizacji Parametr Wariant przedstawiony na rys. 6 stanowi rozwiązania optymane osiągnięte w procesie optymaizacyjnym, tórego parametry przedstawiono w tab.. Odpowiedni proces optymaizacyjny, na te przebiegu innych wybranych procesów optymaizacji, przedstawiono na rys. 9. Opisane w pracy rozwiązanie probemu oznaczono jao przypade. Agorytm roju cząste PSO z parametrami przedstawionymi w tab. wyazał się szybą zbieżnością we wszystich przypadach (najszybszą w przypadu 3). Założona iczba 00 iteracji oazała się wystarczająca. PODSUMOWANIE Przyjęta wartość Współczynni inercji w max 0,9 Współczynni inercji w min 0,4 Indywiduany współczynni uczenia C 0,7 Grupowy współczynni uczenia C,47 Liczba iteracji 00 Zapewnienie płynnej zmiany rzywizny, przy spełnieniu odpowiednich warunów, stanowi podstawę uzysania orzystnych właściwości dynamicznych uładu geometrycznego. Poszuiwanie nowych postaci rzywych przejścia i ocena istniejących są tematami wciąż atuanymi, czego wyrazem może być opracowana w Katedrze Transportu Szynowego Poitechnii Gdańsiej uniwersana metoda modeowania rzywizny oraz wyazanie możiwości zastosowania rzywych Bezier przy projetowaniu dróg ołowych i oejowych. Przeprowadzone w pracy porównanie właściwości dynamicznych rzywych Bezier oraz rzywych asy C 0 i C uzysanych metodą anaityczną wyazało przewagę rzywych o nieiniowej rzywiźnie, wśród tórych najorzystniejsze właściwości ma rzywa asy C. Zastosowanie połączenia G 3 rzywej z łuiem o więszym promieniu spowodowało znaczne pogorszenie właściwości dynamicznych PH rzywej Bezier piątego stopnia w ońcowym rejonie przy połączeniu z łuiem o mniejszym promieniu. Oazało się, że przypade łączenia dwóch łuów ołowych zgodnych, z tórych jeden zawiera się w drugim, jest przypadiem znacznie utrudniającym onstrucję rzywych Bezier w porównaniu z przypadiem łuów zgodnych oddaonych od siebie. Możiwości operowania parametrem ształtu m i uzysiwania szeroiego wacharza rzywych są ograniczone wąsim zaresem dopuszczanych wartości m, gwarantującym uzysanie rozwiązania spełniającego warune monotoniczności rzywizny. Mobine pomiary sateitarne, z antenami zainstaowanymi na poruszającym się pojeździe szynowym, umożiwiają odtworzenie położenia osi torów w bezwzgędnym uładzie odniesienia. Powoduje to onieczność opracowania nowej, odpowiedniej metodyi projetowania uładów geometrycznych toru, tóra pozwoi na odtworzenie ształtu istniejącej osi toru, a w następnym etapie wprowadzenie niezbędnych zmian oraz dostosowywanie uładu do wymaganych parametrów espoatacyjnych. Przedstawiona w pracy oncepcja sposobu projetowania rejonu zmiany ierunu trasy prowadzi do uzysania rozwiązania anaitycznego, z zastosowaniem odpowiednich formuł matematycznych. Wyorzystanie odpowiedniego agorytmu obiczeniowego w opracowanym systemie wspomagania omputerowego daje możiwość natychmiastowego generowania zestawu współrzędnych projetowanej trasy pratycznie w nieograniczonej iczbie wariantów. W taiej sytuacji probemem podstawowym staje się już tyo westia wyboru rozwiązania najorzystniejszego. W pracy do rozwiązania probemu wyorzystano agorytm roju cząste (ang.: Partice Swarm Optimization). Jao ryterium optymaizacji założono minimaizację przesunięć istniejącego uładu torowego. Zastosowaną funcję oceny FF (fitness function) dostosowano do specyfii rozpatrywanego zagadnienia i przeprowadzano na podstawie różnicy rzędnych odtwarzanego położenia łuu ołowego i rzędnych pomierzonych. Agorytm roju cząste PSO z przyjętymi parametrami wyazał się we wszystich przypadach szybą zbieżnością, a założona iczba iteracji oazała się wystarczająca. LITERATURA. Ahmad A., Md.Ai J.: G 3 transition curve between two straight ines. 5 th Internationa Conference on Computer Graphics, Imaging and Visuaisation, Penang Bosy J., Grasza W., Leonczy M.: ASG-EUPOS the Poish contribution to the EUPOS project. Symposium on Goba Navigation Sateite Systems, Berin, Germany, -4 November Cai H., Wang G.: A new method in highway route design: joining circuar arcs by a singe C-Bezier curve with shape parameter. Journa of Zhejiang University SCIENCE A 009, 0(4). 4. Habib Z., Saai M.: G Pythagorean hodograph quintic transition between two circes with shape contro. Computer Aided Geometric Design 007, no Habib Z., Saai M.: On PH quantic spiras joining two circes with one circe inside the other. Computer-Aided Design 007, no Kennedy J., Eberhart R.: Swarm inteigence, Morgan Kaufmann Pubishers, San Francisco, Koc W.: Design of rai-trac geometric systems by sateite measurement. Journa of Transportation Engineering 0, Vo. 38, No., January. ASCE. 8. Koc W.: Eementy teorii projetowania uładów torowych. Wydawnictwo Poitechnii Gdańsiej, Gdańs Koc W.: Metoda projetowania rejonu zmiany ierunu trasy oejowej. Probemy Koejnictwa 0, zeszyt Koc W.: Projetowanie łuów oszowych dostosowane do pomiarów sateitarnych. Prace Nauowe Poitechnii Warszawsiej, seria Transport, z. 98, 03.. Koc W.: Projetowanie rejonu zmiany ierunu trasy oejowej w zapisie matematycznym. Przegąd Komuniacyjny 0, nr INŻYNIERIA MORSKA I GEOTECHNIKA, nr 5/04

11 . Koc W., Chrostowsi P.: Computer-aided design of rairoad horizonta arc areas in adapting to sateite measurements. Journa of Transportation Engineering 04, Vo. 40, No. 3, 3. Koc W., Chrostowsi P.: Ocena odcinów prostych trasy oejowej na podstawie pomiarów sateitarnych. Przegąd Komuniacyjny 0, nr Koc W., Chrostowsi P.: Uniwersany program omputerowy do projetowania zmiany ierunu trasy. Zeszyty Nauowo-Techniczne Stowarzyszenia Inżynierów i Techniów Komuniacji Rzeczpospoitej Posiej Oddział w Kraowie, seria: Materiały Konferencyjne, nr 3 (zeszyt 0), Kraów Koc W., Chrostowsi P.: Wizuaizacja przebiegu trasy oejowej na podstawie pomiarów sateitarnych. IV Konferencja Nauowo-Techniczna Projetowanie, Budowa i Utrzymanie Infrastrutury w Transporcie Szynowym IN- FRASZYN 0, Zaopane Koc W., Chrostowsi P., Paiowsa K.: Program omputerowy do odtwarzania osi toru oejowego. Zeszyty Nauowo-Techniczne Stowarzyszenia Inżynierów i Techniów Komuniacji Rzeczpospoitej Posiej Oddział w Kraowie, seria: Materiały Konferencyjne, nr (zeszyt 0), Kraów Koc W., Mieoszy E.: Anaiza porównawcza wybranych rzywych przejściowych z wyorzystaniem modeu dynamicznego, Archiwum Inżynierii Lądowej 987, t. 33, z.. 8. Koc W., Paiowsa K.: Anaiza sposobów modeowania rzywizny rzywe Bezier a metoda anaityczna. Zeszyty Nauowo-Techniczne Stowarzyszenia Inżynierów i Techniów Komuniacji Rzeczpospoitej Posiej Oddział w Kraowie, seria: Materiały Konferencyjne, nr 3 (zeszyt 99), Kraów Koc W., Paiowsa K.: Ocena dynamiczna wybranych sposobów łączenia eementów trasy o zróżnicowanej rzywiźnie. Technia Transportu Szynowego 0, nr 9, CD-ROM. 0. Koc W., Specht C.: Wybrane probemy wyznaczania przebiegu trasy oejowej z wyorzystaniem rozwiązań sieciowych GPS. Logistya 00, nr 4, CD-ROM.. Koc W., Specht C., Jurowsa A., Chrostowsi P., Nowa A., Lewińsi L., Bornowsi M.: Oreśanie przebiegu trasy oejowej na drodze pomiarów sateitarnych. II Konferencja Nauowo-Techniczna Projetowanie, Budowa i Utrzymanie Infrastrutury w Transporcie Szynowym INFRASZYN 009, Zaopane Korn G. A., Korn T. M.: Matematya da pracowniów nauowych i inżynierów. Warszawa: PWN Mieoszy E., Koc W.: Genera dynamic method for determining transition curve equations. Rai Internationa Schienen der Wet 99, No Paiowsa K.: Projetowanie uładów geometrycznych toru oejowego z zastosowaniem programowania ewoucyjnego, Rozprawa dotorsa, Poitechnia Gdańsa Specht C., Nowa A., Koc W., Jurowsa A.: Appication of the Poish Active Geodetic Networ for raiway trac determination. W: Weintrit A., Neumann T. (red.) Transport Systems and Processes Marine Navigation and Safety of Sea Transportation, CRC Press Tayor & Francis Group 0, London, UK. 6. Strona internetowa (The Free Patform for Numerica Computation), Sciab Enterprises 0. INŻYNIERIA MORSKA I GEOTECHNIKA, nr 5/04 497