ZASTOSOWANIE WYKŁADNIKA HURSTA DO WYZNACZANIA PORTFELI OPTYMALNYCH

Studa Ekonoczne. Zeszyty Naukowe Unwersytetu Ekonocznego w Katowcach ISSN 283-86 Nr 265 26 Monka Mśkewcz-Nawrocka Unwersytet Ekonoczny w Katowcach Wydzał Zarządzana Katedra Mateatyk onka.skewcz@ue.katowce.pl ZASTOSOWANIE WYKŁADNIKA HURSTA DO WYZNACZANIA PORTFELI OPTYMALNYCH Streszczene: Publkacja H. Markowtza na teat wyznaczana optyalnego portfela nwestycyjnego spowodowała ogrony wzrost zanteresowana welu badaczy analzą portfelową. Na przestrzen ostatnch 6 lat pojawły sę lczne odyfkacje odelu Markowtza, a także powstało wele nowych etod odel. Nowy podejśce, proponowany w ponższy opracowanu, jest zastosowane wykładnka Hursta do wyznaczena składu portfela optyalnego. Cele opracowana jest konstrukcja portfela optyalnego na podstawe wykładnka Hursta, ary TMAI oraz portfel Markowtza. Słowa kluczowe: analza portfelowa, wykładnk Hursta, taksonoczna ara TMAI. Wprowadzene Podstawowy charakterystyka portfela akcj są oczekwana stopa zwrotu oraz ryzyko tego portfela. W klasyczny podejścu, zaproponowany przez H. Markowtza [952] udzały akcj w portfelu wyznacza sę rozwązując zadane nalzacj ryzyka portfela, które erzone jest za poocą warancj. Prowadzone od lat 5. ubegłego weku badana pokazują, że odel Markowtza ne zawsze daje najlepsze rezultaty [np. Mastalerz-Kodzs Pośpech, 2]. Poneważ wykorzystane warancj do poaru ryzyka traktuje w sposób równoważny zysk straty, zaczęto stosować nne ary ryzyka, tj. se-warancję [Markowtz, 959; Trzpot, 26], oenty cząstkowe [Bawa, Lndenberg, 977], skośność kurtozę [Harvey n., 2], Value-at-Rsk (VaR) Condtonal Value-at-Rsk (CVaR) [Rockafellar, Uryasev, 2], a także koherentne transforujące ary ryzyka (KTMR) [Trzpot, 24]. Od lat 9. XX w. w celu

Zastosowane wykładnka Hursta do wyznaczana portfel optyalnych 39 oszacowana składu portfela optyalnego pojawają sę odele wykorzystujące logkę rozytą zwane odela rozyty lub neostry [Peng, Mok Tse, 25; Huang, 26; Huang 27; Huang 28a; Huang, 28b; L, Qn Kar, 2; Rutkowska, 23], gdze znalezene optyalnego portfela polega na aksyalzowanu zysku z nwestycj przy jednoczesnej nalzacj nepewnośc. Z kole, nne etody uwzględnają sytuację ekonoczno-fnansową spółek (TMAI) [Tarczyńsk, 22], a nawet najwększy wykładnk Lapunowa arę dentyfkacj chaosu w szeregach czasowych [Mśkewcz-Nawrocka Zeug-Żebro, 25]. W opracowanu zastosowano nowe podejśce oparte na wykładnku Hursta, który bada występowane efektu długej paęc. Cele opracowana jest próba dywersyfkacj ryzyka portfela nwestycyjnego opartego na zbudowanych portfelach optyalnych wyznaczonych na podstawe wartośc wykładnka Hursta, taksonocznej erze atrakcyjnośc nwestycj TMAI oraz portfelu Markowtza. W badanach pod uwagę wzęto ceny akcj wybranych spółek notowanych na GPW w Warszawe oraz wskaźnk opsujące sytuację ekonoczno-fnansową spółek w okrese od..25-3.9.24.. Wykładnk Hursta Wykładnk Hursta H jest charakterystyką nelnowych szeregów czasowych, która pozwala na rozróżnene szeregów losowych (przypadkowych) od szeregów losowych z obcążony błądzene przypadkowy. Wykładnk przyjuje wartośc z przedzału [, ]. Jeśl szereg a charakter błądzena przypadkowego, to H =,5. Jeżel H <,5, szereg jest antypersystentny lub ergodyczny. W przypadku szeregu, dla którego,5 < H, szereg jest persystentny, czyl wzacnający trend. Sła zachowań wzacnających trend, jest ty wększa H jest blższe jednośc. Z kole H jest blższe,5 ty wyższy pozo szuu w szeregu. Dla szeregu czasowego złożonego z N obserwacj { x, x,... 2, x N } wartość wykładnka Hursta szacuje sę następująco [Chun, K K, 22; Mśkewcz-Nawrocka, 22]:. Powyższy szereg obserwacj zaenay w M = N logarytcznych stóp zwrotu według wzoru: y k x k + = log, k =, 2,...,N. () xk

4 Monka Mśkewcz-Nawrocka 2. Dzely szereg () na częśc złożonych z n eleentów, = [M/n], gdze: [ ] oznacza część całkowtą arguentu. Jeśl loraz M/n ne jest lczbą całkowtą, to n < M. W ty przypadku, w dalszej częśc algorytu użyjey wartośc y k, dla k =, 2,..., n. 3. Defnujey wartość: gdze: y oznacza j-tą wartość w -ty przedzale, y = n z y n j= = y y, (2), =, 2,...,. 4. Dla każdego, cąg su częścowych z wyraża sę wzore: u = z j=, =, 2,...,, j =, 2,..., n. (3) 5. Zakres -tego przedzału defnujey jako: R j ( u ) n( u ) = ax. (4) 6. Unorowana wartość zakresu dla -tego przedzału częścowego rozaru n jest dana wzore: n j ρ = R / S, (5) gdze 2 n 2 S = z. n j= Oblczając średną ρ n uzyskay wynk analzy R/S : ρ = ρ. (6) n = 7. Następne powtarzay oblczena zwększając długość przedzału o jedną jednostkę. Iterację kontynuujey do oentu aż n osągne górną grancę: n

Zastosowane wykładnka Hursta do wyznaczana portfel optyalnych 4 [( )/ 2] n. (7) ax = fl N 8. Ustalając nachylene wykresu logarytów ρ n do os logarytów n, otrzyay wartość H. 2. TMAI Taksonoczna ara atrakcyjnośc nwestycj Taksonoczna ara atrakcyjnośc nwestycj TMAI, zaproponowana przez W. Tarczyńskego [22] pozwala na kopleksową ocenę spółek na podstawe najważnejszych wskaźnków fnansowych rynkowych oraz przedstawene jej w postac syntetycznej ary. Idea tej etody polega na wyznaczenu obektu wzorca y j danego wzore [Hellwg, 968, 979; Tarczyńsk, 22]: gdze: y znoralzowana obserwacja x, y ax { y } j =, (8) y x x j =, (9) S x wartość j-tej zennej dagnostycznej dla -tego obektu (spółk), X = x, =,...,, j =,..., acerz obserwacj, [ ] n lczba obektów, n lczba zennych dagnostycznych, x, średna arytetyczna odchylene standardowe j-tej zennej. j S j Mara TMAI szacowana jest według wzoru: d TMAI =, =,...,, () d gdze: TMAI taksonoczna ara atrakcyjnośc -tego obektu, d odległość -tego obektu od obektu wzorca, d nora zapewnająca przyjowane przez j TMAI wartośc z przedzału [,],

42 Monka Mśkewcz-Nawrocka d = d + 2S, () d d średna arytetyczna odległośc d, S d odchylene standardowe odległośc d. 3. Optyalny portfel akcj W klasyczny podejścu udzały akcj w portfelu wyznacza sę na podstawe odelu H. Markowtza [952], tak aby znalzować ryzyko tego portfela. Zadane optyalzacyjne przyjuje wówczas ponższą postać. Zadane 2 ns p, (2) z warunka ogranczający R p R = x = x, =,...,, gdze: R oczekwana stopa zwrotu dla spółek, R oczekwana stopa zwrotu portfela akcj, p R p = = x R, (3) S p ryzyko portfela akcj, S 2 p = 2 2 x S + x = = j= + R oczekwana stopa zwrotu -tej akcj, S odchylene standardowe akcj -tej spółk, 2 x S S ρ, (4) j j

Zastosowane wykładnka Hursta do wyznaczana portfel optyalnych 43 ρ współczynnk korelacj -tej akcj z j-tą akcją, x udzał -tej akcj w portfelu, = lczba akcj w portfelu. x =, x, =,...,, (5) W celu wyznaczena optyalnego portfela akcj ożna rozwązywać równeż zadana optyalzacyjne [Mastalerz-Kodzs, Pośpech, 2] w postac przedstawonej w ponższy zadanu. Zadane 2 z warunka ogranczający R p R = = S x S x = x, =,...,, ax TMAI x, (6) = gdze: S średne odchylene standardowe spółek, pozostałe oznaczena jw. Zadane 3 ax TMAI x, (7) = z warunka ogranczający R p R

44 Monka Mśkewcz-Nawrocka gdze: A współczynnk asyetr, = = S x S A x A = x = x, =,...,. A uśrednony współczynnk asyetr, pozostałe oznaczena jw. Nowy podejśce jest wykorzystane do budowy portfela optyalnego narzędza wywodzącego sę z teor nelnowych układów dynacznych wykładnka Hursta. W ty celu proponuje sę rozwązać następujące zadana aksyalzacj: Zadane 4 ax H x, (8) = z warunka ogranczający: R p R = S x S = x = x, =,...,, gdze: H wykładnk Hursta dla szeregu czasowego generowanego przez cąg notowań akcj -tej spółk, pozostałe oznaczena jw.

Zastosowane wykładnka Hursta do wyznaczana portfel optyalnych 45 Zadane 5 ax H x, (9) = z warunka ogranczający R p R = = S x S A x A = x = x, =,...,, gdze: oznaczena jw. 4. Wynk badań eprycznych Badana epryczne przeprowadzono na podstawe spółek notowanych na GPW w Warszawe: Grupa Apator SA (APT), Asseco Poland SA (ACP), Bank Handlowy w Warszawe SA (BHW), Bank Zachodn WBK SA (BZW), Fra Oponarska Dębca SA (DBC), ING Bank Śląsk SA (ING), KGHM Polska Medź SA (KGH), LPP SA (LPP), Bank SA (MBK), Mostostal Zabrze SA (MSZ), Orange Polska SA (OPL), Bank Polska Kasa Opek (PEO), Powszechna Kasa Oszczędnośc Bank Polsk SA (PKO), Vstula Group SA(VST) oraz Grupa Żywec SA (ZWC) w okrese..25-3.9.23. Wykładnk Hursta dla analzowanych spółek oszacowano na podstawe algorytu przedstawonego w punkce dla szeregów czasowych utworzonych z logarytów dzennych stóp zwrotu cen zaknęca ww. akcj notowanych w okrese..25-3.9.23. Wartośc wykładnka Hursta 2 przedstawono w tabel. Do wyznaczena wartośc taksonocznej ary TMAI wykorzystano dane zaeszczone w raportach fnansowych spółek za trzec kwartał 23 3. W zależno- 2 3 Dane pochodzą ze strony stooq.co. Oblczena wykonano za poocą prograu GRETL. Dane pochodzą z oblczeń własnych autora na podstawe raportów fnansowych spółek.

46 Monka Mśkewcz-Nawrocka śc od specyfk dzałalnośc spółek (fnansowe/nefnansowe), jako zenne dagnostyczne przyjęto wskaźnk rynkowe lub wskaźnk ekonoczno-fnansowe [Nawrock Jabłońsk, 2; Tarczyńsk, 23]. Dla spółek fnansowych (BHW, BZW, ING, MBK, PEO, PKO) wzęto pod uwagę następujące wskaźnk: rentownośc: rentowność aktywów (ROA), rentowność kaptału własnego (ROE), adekwatnośc kaptałowej (współczynnk wypłacalnośc). Natoast dla spółek nefnansowych (APT, ACP, DBC, KGH, LPP, MSZ, OPL, VST, ZWC) zastosowano: wskaźnk płynnośc: wskaźnk płynnośc beżącej, wskaźnk płynnośc szybkej, wskaźnk rentownośc: rentowność aktywów (ROA), rentowność kaptału własnego (ROE), arża ze sprzedaży, wskaźnk zadłużena: wskaźnk ogólnego zadłużena, sprawność zarządzana: wskaźnk rotacj należnośc, wskaźnk rotacj zapasów. Do analzy taksonocznej wybrano te spółk, dla których wartośc powyższych wskaźnków były dodatne. Wartośc oszacowanej ary TMAI dla analzowanych spółek na dzeń 3.9.23 przedstawono obok wykładnka Hursta w tabel. Tabela. Wartośc wykładnka Hursta oraz taksonocznej ary TMAI dla analzowanych spółek na dzeń 3.9.23 r. Spółka Wykładnk Hursta TMAI ACP,53857,6549 APT,5944,22767 BHW,635,83648 BZW,5948,5433 DBC,639,489 ING,63459,958 KGH,643,22874 LPP,6889,337 MBK,654,3354 MSZ,636 OPL,5297,453 PEO,53879,5858 PKO,5378,3345 VST,63422,2324 ZWC,52669,2278 W następny etape badana zbudowano 8 optyalnych portfel nwestycyjnych, rozwązując zadana optyalzacyjne postawone w punkce 3. W skład utworzonych portfel weszły spółk będące rozwązane zadań -5, a także spółk będące rozwązane zadań -5, dla których przyjęto dodatkowe założena odnośne wartośc wykładnka Hursta H,6 oraz H <,6. W celach porównawczych zbudowano równeż portfele o równych udzałach akcj. Szczegóły konstrukcj portfel zawera tabela 2.

Zastosowane wykładnka Hursta do wyznaczana portfel optyalnych 47 Tabela 2. Warunk doboru spółek do portfel optyalnych Portfel Portfel 2 Portfel 3 Portfel 4 Portfel 5 Portfel 6 Zadane Zadane 2 Zadane 3 Zadane 4 Zadane 5 Równe udzały Portfel Portfel 2 Portfel 3 Portfel 4 Portfel 5 Portfel 6 Zadane H,6 Zadane 2 H,6 Zadane 3 H,6 Zadane 4 H,6 Zadane 5 H,6 Równe udzały H,6 Portfel Portfel 2 Portfel 3 Portfel 4 Portfel 5 Portfel 6 Zadane H <,6 Zadane 2 H <,6 Zadane 3 H <,6 Zadane 4 H <,6 Zadane 5 H <,6 Równe udzały H <,6 Do oblczena udzałów poszczególnych spółek w portfelu wykorzystano narzędze solver będące dodatke do arkusza kalkulacyjnego Excel. W tabelach 3-5 przedstawono udzały poszczególnych spółek oraz wartość oczekwaną ryzyko zbudowanych portfel. Znak postawono przy spółkach, które ne weszły w skład portfela optyalnego oraz przy tych, które ze względu na ujene wartośc wskaźnków ekonoczno-fnansowych, ne były brane pod uwagę przy szacowanu TMAI (MSZ w portfelach 2, 2, 2, 3, 3 3 ). Tabela 3. Stopa zwrotu, ryzyko udzały akcj w wyznaczonych portfelach Spółka Udzały akcj Portfel Portfel 2 Portfel 3 Portfel 4 Portfel 5 Portfel 6 ACP,523,525,53,6667 APT,454,454,455,6667 BHW,478,478,478,6667 BZW,97,97,97,6667 DBC,2666,267,2668,6667 ING,5,4939,82883,374,6667 KGH,5,6667 LPP,736,736,737,6667 MBK,489,487,6667 MSZ,624,6667 OPL,5966,65,687,6667 PEO,463,478,4667,6667 PKO,56,562,3,6667 VST,6673,775,8376,5,45765,6667 ZWC,42735,32365,26975,27,2353,6667 Oczekwana stopa zwrotu portfela Ryzyko portfela,2996,33,3357,2996,628,2996,49,5,54,34,27,3

48 Monka Mśkewcz-Nawrocka Tabela 4. Stopa zwrotu, ryzyko udzały akcj w wyznaczonych portfelach z warunke H,6 Spółka Udzały akcj Portfel Portfel 2 Portfel 3 Portfel 4 Portfel 5 Portfel 6 BHW,654,369,369,25 DBC,964,43,43,28343,25 ING,288,7992,7992,25 KGH,2536,35655,35655,25 LPP,54,893,893,25 MBK,93,932,932,884,3879,25 MSZ,299,25 VST,2269,247,247,859,57778,25 Oczekwana stopa zwrotu portfela Ryzyko portfela,46,462,462,379,7729,379,89,22,22,44,326,92 Tabela 5. Stopa zwrotu, ryzyko udzały akcj w wyznaczonych portfelach z warunke H <,6 Spółka Udzały akcj Portfel Portfel 2 Portfel 3 Portfel 4 Portfel 5 Portfel 6 ACP,87,379,379,4286 APT,327,4286 BZW,2846,36759,36759,4286 OPL,5844,5364,5364,4286 PEO,764,922,922,4286 PKO,5877,83,83,4286 ZWC,4789,4286 Oczekwana stopa zwrotu portfela Ryzyko portfela,27,2259,2259,3842,3842,27,83,323,323,48,48,98 Na podstawe danych przedstawonych w tabelach 3-5 ożna stwerdzć, że najwyższą oczekwaną stopą zwrotu charakteryzuje sę portfel 5 zbudowany ze spółek będących rozwązane zadana optyalzacyjnego nr 5, które dodatkowo spełnały warunek H,6. Ponadto w każdej z grup portfele zbudowane w oparcu o zadane optyalzacyjne nr 5 osągnęły najwyższe oczekwane stopy zwrotu. Najnższy pozo ryzyka w każdej z grup odnotowano dla portfel zbudowanych za poocą odelu Markowtza (portfele, ). W tabel 6 przedstawono roczne stopy zwrotu dla wyznaczonych portfel uzyskane w okrese 3.9.23-3.9.24.

Zastosowane wykładnka Hursta do wyznaczana portfel optyalnych 49 Tabela 6. Roczna stopa zwrotu dla wyznaczonych portfel nwestycyjnych Portfel Portfel 2 Portfel 3 Portfel 4 Portfel 5 Portfel 6 Stopa zysku portfela,77,48,584,283,486,498 Portfel Portfel 2 Portfel 3 Portfel 4 Portfel 5 Portfel 6 Stopa zysku portfela,68,6,6,36,893,587 Portfel Portfel 2 Portfel 3 Portfel 4 Portfel 5 Portfel 6 Stopa zysku portfela,557,742,742,672,672,663 Analzując roczne stopy zwrotu dla wyznaczonych portfel akcj (tabela 6) należy zauważyć, że najwększy zysk w okrese 3.9.23-3.9.24 ożna było uzyskać nwestując w portfel 4 będący rozwązane zadana aksyalzacj wykładnków Hursta. Najnższą stopę zwrotu uzyskano dla portfela zbudowanego na podstawe klasycznego odelu Markowtza. Podsuowane W opracowanu podjęto próbę zbudowana optyalnego portfela akcj w oparcu o wartość wykładnka Hursta. Przeprowadzone badane pokazało, że portfele będące rozwązane zadana aksyalzacj średnej ważonej wykładnków Hursta osągnęły najwyższe oczekwane stopy zwrotu. Podobne wynk uzyskano dla rzeczywstych rocznych stóp zwrotu dla zbudowanych portfel w okrese 3.9.23-3.9.24. Lteratura Bawa V.S., Lndenberg E.B. (977), Captal Market Equlbru n a Mean-Lower Partal Moent Fraework, Journal of Fnancal Econocs, Vol. 5(2), s. 89-2. Chun S.H., K K.J., K S.H. (22), Chaotc Analyss of Predctablty versus Knowledge Dscovery Technques: Case Study of the Polsh Stock Market, Expert Systes, Vol. 9, No. 5, s. 264-272. Harvey C.R., Lechty J., Lechty M., Muller P. (2), Portfolo Selecton wth Hgher Moents, Quanttatve Fnance, Vol. (5), s. 469-485. Hellwg Z. (968), Zastosowane etody taksonocznej do typologcznego podzału krajów ze względu na pozo ch rozwoju oraz zasoby strukturę wykwalfkowanych kadr, Przegląd Statystyczny, nr 4. Hellwg Z. (979), Welowyarowa analza porównawcza jej zastosowane do badana welocechowych obektów gospodarczych, Referat na I Konferencję Metody taksonoczne ch zastosowana w badanach ekonocznych, Szklarska Poręba. Huang X. (26), Fuzzy Chance-Constraned Portfolo Selecton, Appled Matheatcs and Coputaton, Vol. 77 (2), s. 5-57.

5 Monka Mśkewcz-Nawrocka Huang X. (27), Portfolo Selecton wth Fuzzy Returns, Journal of Intellgent and Fuzzy Systes, Vol. 8(4), s. 383-39. Huang X. (28a), Mean-Entropy Models for Fuzzy Portfolo Selecton, IEEE Transacton on Fuzzy Systes, Vol. 6, s. 96-. Huang X. (28b), Mean-Sevarance Modles for Fuzzy Portfolo Selecton, Journal of Coputonal and Appled Matheatcs, Vol. 27(), s. -8. L X, Qn Z., Kar S. (2), Mean-Varance-Skewness Model of Portfolo Selecton wth Fuzzy Returns, European Journal of Operatonal Research, Vol. 22(), s. 239-247. Markowtz H. (952), Portfolo Selecton, Journal of Fnance, s. 77-9. Markowtz H. (959), Portfolo Selecton: Effcent Dversfcaton of Investents. Cowles Foundaton, New Haven, CT. Mastalerz-Kodzs A., Pośpech E. (2), Fundaental and Behavoral Methods n Investent Decson Makng [w:] Fnancal Manageent of Frs and Fnancal Insttutons, Wydawnctwo Techncznego Unwersytetu w Ostrawe, Ostrawa, s. 25-257. Mśkewcz-Nawrocka M. (22), Zastosowane wykładnków Lapunowa do analzy ekonocznych szeregów czasowych, Wydawnctwo Unwersytetu Ekonocznego, Katowce. Mśkewcz-Nawrocka M., Zeug-Żebro K. (25), Zastosowane wykładnków Lapunowa do wyznaczana portfel optyalnych, Zeszyty Naukowe UE w Katowcach Studa Ekonoczne nr 22, Wydawnctwo Unwersytetu Ekonocznego, Katowce, s. 6-72. Nawrock T., Jabłońsk B. (2), Inwestowane na rynku akcj. Jak ocenć potencjał rozwojowy fr notowanych na GPW w Warszawe, CeDeWu, Warszawa. Peng J., Mok H.M.K., Tse W.M. (25), Credblty Prograng Approach to Fuzzy Portfolo Selecton Probles, Proceedngs of 25 Internatonal Conference on Machne Learnng and Cybernetcs, Vol. 4. Rockafellar R.T., Uryasev S. (2), Optalzaton of Condtonal Value-at-Rsk, Journal of Rsk, Vol. 2, s. 2-42. Rutkowska A. (23), Zadane aksyalzacj satysfakcj nwestora z portfela nwestycyjnego, Studa Oeconoca Posnanensa, nr (9), s. 87-. Tarczyńsk W. (22), Fundaentalny portfel paperów wartoścowych, PWE, Warszawa. Tarczyńsk W. (23), Ocena efektywnośc etod analzy portfelowej na Gełdze Paperów Wartoścowych w Warszawe za lata 2-23, Zeszyty Naukowe Unwersytetu Szczecńskego. Fnanse, Rynk Fnansowe, Ubezpeczena nr 76(6), s. 537-55. Trzpot G.(26), Donacje w odelowanu analze ryzyka na rynku fnansowy, Wydawnctwo Akade Ekonocznej, Katowce. Trzpot G. (24), Optyalzacja portfela z wykorzystane koherentnych transforujących ar ryzyka, Studa Ekonoczne nr 28, s. 74-85. Zawadzk H. (996), Chaotyczne systey dynaczne. Eleenty teor wybrane zagadnena ekonoczne, Zeszyty Naukowe Akade Ekonocznej, Katowce.

Zastosowane wykładnka Hursta do wyznaczana portfel optyalnych 5 THE APPLICATION OF HURST EXPONENTS TO BUILDING OPTIMAL PORTFOLIOS Suary: The publcaton of H. Markovtz on deternng the optal nvestent portfolo resulted n a huge ncrease of nterest of any researchers of portfolo analyss. Over the past 6 years there have been nuerous odfcatons of the Markowtz odel, as well as any new ethods and odels. A new approach proposed n the followng paper s the use of the Hurst exponent to deterne the optal portfolo coposton. The paper as to construct an optal portfolo on the bass of the Hurst exponent, the TMAI easures and the portfolo of Markowtz. Keywords: portfolo analyss, Hurst exponent, easure TMAI.