/, Dirac,, Bismut[B]., [B], [B],, [K], [T], [W].,,,,, /.,.,,,..,.. M, g): n = l,. P SO : T M, M SOn) 3. P Spin : M Spinn), P SO 4. P : P SO P Spin, π : P M: 5. S = S + S : Spinn) l S +, S l ) 6. F = P Spin Spinn) S, F ± = P Spin Spinn) S ± 7. ω: Levi-Civita, R:, K: 8. D: Dirac, D + : ΓF + ) ΓF ) D : ΓF ) ΓF + ) 9. IndD) = dim KerD + ) dim KerD ): Dirac oguni@math.kyoto-u.ac.jp kaji@math.kyoto-u.ac.jp tanida@math.kyoto-u.ac.jp honda@math.kyoto-u.ac.jp A
/. H : ΓF ) ΓF ): ω. W, P ): n, W, P ): n 3. w W :, w W : 3. t > ) 4 θ θ 4. son) T θ l θ l ÂM) := ÂR) ÂT ) = l i= θ i sinh θ i, PfT ) = θ θ θ l, 5. p s x, y) : F y F x : D D s,, s >, x, y M, h ΓF ) e hx) = M p sx, y)hy)dy 6. J s x) := trp s x, x) F + trp s x, x) F ) = Strp s x, x)) 3,. 3. ). IndD) =< [M], ÂM) >, Chern-Weil, < [M], ÂM) >= ÂR x )., 3. Mckean-Singer ). IndD) = J s x)dvolx) for all s >.,,. 3.3 ). J s s J, Jx)dvolx) = n ÂR x )., = n n. M M 4 3 4 B
, Levy 5, 3 [ i ÂR x ) = exp W 4π ] gr x uws, udws) dp w )., πu) = x u P., u : R n T x M. ), Bianchi 6, W exp. [ i 4π ] [ ] gr x uws, udws) dp w ) = n i) l R x Pf W 4π udw s, uws) dp w )dvolx),,. 3.4 Bismut ).. [ Jx) = i) l Pf W, Bismut. ] R x 4π udw s, uws) dp w ) 4, P,, P Lichnerowicz. θ u : T u P SO R n θ u v) = u π v)., V P = Kerπ, HP = Kerω, T P = HP V P = P R n son)), θ HP ω. R n e i, H i := θ HP e i)., P. du s u, ω) = n H i U s u, ω)) dω i i=, X s x, ω) := πu s u, ω)), M., H := n i= H i, C P Spin, S) Spinn) = ΓF ). D H. 4. Lichnerowicz). D hx) = H hx) + Kx) hx) 4, h ΓF ), Kx) M. 5, D. 5 D 6 grx, Y )Z, W ) = grz, W )X, Y )
4 /, H. k s x, y) : F y F x H,, s >, x, y M, h ΓF ) e s H hx) = M k sx, y)hy)dy.,, k s x, y) = E[δ y X s x))]. E. Lichnelwicz D = H + K/4 Feynman-Kac 7, 5.. p s x, y) = E[u exp 8 s U s u) KX s x))u s u)ds ) U s u) δ y X s x))] 6,, Bismut., ). D, p s x, y) = E[u exp 8 = E[exp 8, 8, p s x, x) = E[exp s s 8 p t sx, x) = E[exp 8 = E[exp t 8, s =,. s p t x, x) = E[exp t 8 U s u) KX s x))u s u)ds ) U s u) δ y X s x))] KX s x))ds ) uu s u) δ y X s x))]. s s KX s x))ds ) uu s u) δ x X s x))]. K t X t s x))ds ) uu t u) δ x X t sx))] KX t s x))ds ) uu t u) δ x X t sx))]., t, ). exp t 8 KXt s x))ds = + O t). t n δ x Xx)) t = δw ) + O t) ) 3. t l StruUu) t ) = i l duu t Pf u) dt ) + O t) KX t s x))ds ) uu t u) δ x X t x))]. 7 C 8 B
., 3 A.. 3, t, [ Str exp t 8 5 ) ] duu KXs t x))ds uuu) t δ x Xx)) t = i l t δw )Pf u) ) ) + O t). dt, t, duu Jx) t := Strp t x, x)) = i l t E[δw )Pf u) ) ) ] + O t). dt = i l W duu t δw )Pf u) dt = i l π) l W Pf, τ t := uu t u) ).,,, Bismut. dτ t ) = dt dτ t dt ) ) ) dp w) + O t). ) dp w ) + O t). R x udw s, uw s)ds ) dτ π) l t [ ] Pf dt ) = ) l R x Pf 4π udw s, uw s)ds A E n = l, e,..., e l. ce T E <e e+e e>. ce c +E, ce c E ce = c + E c E. ce x x e j e j e jk ) k e jk e jk e j. c E ce, Pinn). Lie Spinn). x Pinn) x c E, xex E, xx = Spinn) = Pinn) c + E σ : Spinn) AutE) σx)e = xex, σ : Spinn) SOn). ce = ce R C l S. S. w = e e n, τ = i l w, w = ) l, τ =. τ S +, S, S = S + S. S, Spinn) S +, S,. x Spinn) S +, S ±, χ ± x). Spinn). Spinn) c + E,, multi : Spinn) Autc + E), multi C R = l + )
6 /,,.. χ + x) χ x) = ± w) = ±i m il trmultiwx)) A.) l A.. x t Spinn) x = e ) C. A = dx dt son) t=, Proof. C x : R l Spinn), θ,..., θ l, x = σxθ,..., θ l )) SOn), χ + x t ) χ x t ) lim t t l = i l PfA l cos θ j + sin θ ) j e j e j x e j = cos θ j e j + sin θ j e j x e j = sin θ j e j + cos θ j e j x t, θ,..., θ j t,. A.). trmultie j e j e jk )) =, k > ), wx t, ) l l sin θ j )., dimc +E) = l, i l., l trmultiwx t)) = il trmulti )l l l sin θ j ))) = i)l l sin θ j ) χ + x) χ x) = l l sin θ j ) = l l cosθ j )) = detσe ) σx)), χ + x t ) χ x t lim t t l = dete σx)) = PfA, cpfa, c = ). x t = xt,..., t). c = i l, B g g t := t g,.. : H i H t i = th i
7. : H t H = t H 3. : K K t = tk 4. : := D t = t 5. P : U Us t = U ts 6. M : X Xs t = X ts 7. : p p t s = p ts C Feynman-Kac, M R N C M, R N ) V + V.,. k s x, y) : R N R N,, s >, x, y M, h C M, R N ) e s hx) = M k sx, y)hy)dy.,,. k s x, y) = E[δ y X s )], + V. p s x, y) : R N R N + V,, s >, x, y M, h C M, R N +V s ) e hx) = M p sx, y)hy)dy., Feynman-Kac,. C.. p s x, y) = E[exp s V X s x))ds ) δ y X s x))] C.., C M, R N ) = i=n i= C M), N, H i., n i= H i C P Spin, R N ) Spinn), C P Spin, R N ) Spinn) = C M, R N )., Spinn) R N., 4, 5, Spinn) R N, Spinn) S, F Feynman-Kac, 5.. D Levy w ) w ) s = [ E expiβ w s ) dw s ) w s ) dw s ) ) ] ) w = x, w ) = y = β x sinh β exp + y ) β coth β) Levy [BS, p. 7] ), T, ÂT ) = exp[ i W 4π < T w s, dw s >]dp w )., P SOn), SOn) son).
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