Skład komputerowy w systemie L A TEX Laboratorium

Transkrypt

1 Skład komputerowy w systemie L A TEX Laboratorium M. Skrzypiec 1 Podział dokumentu Podział dokumentu na akapity w systemie L A TEXwprowadzamy przez wstawienie pustego wiersza. Istnieje też polecenie \newline albo \\, w wyniku którego dalsza część tekstu pisana jest w następnej linii. To jest drugi akapit dokumentu. Mam w domu piękny wyświetlacz monochromatyczny. Zobaczymy teraz czy polecenie \newline tez może służyć do tworzenia nowego akapitu. To miał być trzeci akapit, ale nie zostało utworzone wcięcie akapitowe. To polecenie powoduje złamanie wiersza. 2 Formatowanie wzorów matematycznych 2.1 Tryb matematyczny W celu umieszczenia wzoru matematycznego w tekście x 2 + 4x 3 = obejmujemy go w pojedyncze znaki $. Wzory wyśrodkowane x 2 + 4x 3 =, x 2 + 4x 3 =. Otoczenie equation pozwala numerować wzory 2.2 Edycja wzorów x 2 + 4x 3 =. (1) W tej części pracy wykorzystujemy fragmenty zbioru zadań W. Krysicki, L. Włodarski, Analiza matematyczna w zadaniach, PWN 197. Jeżeli wprowadzimy oznaczenia R - zbiór liczb rzeczywistych, N - zbiór naturalnych, tzn. całkowitych i dodatnich, 1

2 P - zbiór liczb parzystych, N P - zbiór liczb nieparzystych, to zapis oznacza liczby 4,6,8. Zbiór {x P : 3 < x < 1} {x R : a x b}, gdzie a i b są dowolnymi liczbami rzeczywistymi takimi, że a < b, nazywamy przedziałem domkniętym i oznaczamy symbolem a, b (lub [a, b]). Określimy teraz kolejno sumę mnogościową A B, przekrój, iloczyn mnogościowy A B i różnicę mnogościową A \ B zbiorów A i B. Mamy mianowicie A B = {x : x A x B}, (2) A B = {x : x A x B}, (3) A \ B = {x : x A x / B}. (4) Za pomocą zdań p i q oraz tzw. funktorów możemy utworzyć nowe zdania (złożone) w następujący sposób p czytamy : nieprawda, że p, (5) p q czytamy : p lub q, (6) p q czytamy : p i q, p q czytamy : z p wynika q. Zdanie (5) uważamy za prawdziwe, jeśli p jest fałszywe, a za fałszywe, jeśli p jest prawdziwe. Zdanie (6) uważamy za prawdziwe, jeśli co najmniej jedno ze zdań p lub q jest prawdziwe. Zapis x S(x) odczytujemy dla każdego x jest S(x). W jednym zdaniu możemy użyć kilku kwantyfikatorów. Na przykład S(x, y) ( ) S(x, y). x X y Y Używając innych oznaczeń x X y Y x X y Y S(x, y) x X y Y ( S(x, y)). (7) Zadanie 1. Wykazać prawdziwość następujących wzorów de Morgana: 1. ( A ) γ = A γ, 2. ( A ) γ = A γ. 2

3 Zadanie 2. Wykazać prawdziwość następujących wzorów de Morgana: 1. ( ) A γ = A γ, 2. A γ = A γ. Zadanie 3. Wykazać prawdziwość następujących wzorów de Morgana: 1. ( ) ( ) A γ = A γ, 2. A γ = A γ. Zadanie 4. Rozwiązać nierówności: 2 1. x 1 1 x, 2. 4x 5 < 3, 2x x 1 2 x > 1, 4. (1 + a) k (k + 1)a. Zadanie 5. Rozwiązać nierówności: x 1 1 x, 4x 5 2x + 7 < 3, 3. 3x 1 2 x > 1, 4. (1 + a) k (k + 1)a. Przećwiczymy teraz wykorzystanie środowiska array służącego między innymi do składania macierzy, podobnego do środowisk eqnarray i tabular a 11 a a 1n a 21 a a 2n A ij = a m1 a m2... a mn Środowiska array używamy też przy składaniu wyrażeń zawierających tylko jeden ogranicznik, na przykład { dx( ) dt = φ( )ψ ( x( ) ), x(t ) = x. Po retuszu dx( ) = φ( )ψ ( x( ) ), dt x(t ) = x. 3

4 Inny przykład: definicja symbolu Newtona x(x 1)(x 2)... ( x (k 1)) ) ( ) x dla k N, k! = k 1 dla k =, dla k R + \ N. 2.3 Przykład tekstu matematycznego Niech C będzie ustalonym owalem i niech t z(t) dla t [, 2π]. Zewnętrze owalu C oznaczmy przez e(c), zaś zbiór punktów postaci z α,β,γ (), przy ustalonych wartościach β i γ, zaś α zmieniającym się w przedziale (β + γ, π) przez ζ. Wykresem zbioru ζ jest półprosta o kierunku ie iβ i początku w punkcie z(). Zdefiniujmy odwzorowanie wzorem F β,γ : (β + γ, π) (, 2π) e(c) \ ζ (8) F β,γ (α, t) = z α,β,γ (t). (9) Jakobian J(F β,γ ) odwzorowania F β,γ w punkcie (α, t) wyraża się wzorem J(F β,γ ) = Re F β,γ α Im F β,γ Re F β,γ Im F β,γ t t α = = λ(t) 1 α sin α (R(t) sin2 β cos(α β) + b(t) cos(α 2β) sin β + + B(t) sin(α 2β) sin β + R(t + α β γ) sin γ sin β cos β + + b(t) sin(α 2β) cos β R(t + α β γ) sin γ sin β cos β + + R(t) sin β cos β sin(α β) B(t) cos(α 2β) cos β) = = λ(t) 1 (R(t) sin β sin α + b(t) sin(α β) B(t) cos(α β)) = α sin α = 1 (R(t + α β γ) sin γ µ(t))(r(t) sin β + λ(t)) >. (1) sin α Z konstrukcji sekantooptyk owalu wynika, że odwzorowanie F β,γ (α, t) jest dyfeomorfizmem, podobnie jak odwzorowanie F, (α, t) dla izooptyk owalu [2]. Niech C będzie danym owalem. Zauważmy, że C jest obwiednią (cf. [8], [3], [4], [5]) rodziny swoich prostych stycznych T = {l(t) : l(t) jest prostą styczną do owalu C w punkcie z(t)}. Zdefiniujmy rodzinę S β prostych siecznych do owalu C. Prostą s(t) z tej rodziny otrzymujemy przez obrót odpowiedniej prostej stycznej l(t) dookoła punktu styczności z(t), należącego do rozważanego owalu, o ustalony kąt β. Taką konstrukcję przeprowadzamy dla każdego t [, 2π]. Rodzinę S β możemy określić za pomocą równania x cos θ + y sin θ = ψ β (θ), (11) 4

5 gdzie kąt θ = t + β, zaś (x, y) s(t) jest punktem z(t) należącym do owalu C (cf. [8]). Zatem (x, y) = (p(t) cos t ṗ(t) sin t, p(t) sin t + ṗ(t) cos t), gdzie t = θ β. (12) Zależność funkcji ψ β (θ) od funkcji podparcia wyjściowego owalu wyznaczamy korzystając ze wzoru (11) ψ β (θ) = p(θ β) cos β + ṗ(θ β) sin β, θ [, 2π]. (13) Zauważmy, że jeśli p(t) C 3 jest funkcją podparcia owalu C, to ψ β (t) jest co najmniej klasy C 2. Jest ona funkcją podparcia obwiedni Γ β rodziny prostych S β a zatem krzywą Γ β możemy sparametryzować następująco z β (t) = ψ β (t)e it + ψ β (t)ie it. (14) Zauważmy, że dla odpowiednio małego kąta β mamy ψ β (t) + ψ β (t) > dla każdego t [, 2π]. Definicja 1 ([8]). Jeżem nazywamy krzywą Γ, którą można sparametryzować za pomocą równania z(t) = ψ(t)e it + ψ(t)ie it, (15) gdzie h(cos t, sin t) = ψ(t) oraz h C 2 (S 1, R). Funkcja h(cos t, sin t) = ψ(t) jest nazywana funkcją podparcia jeża Γ. Jeż jest obwiednią rodziny prostych zadanych równaniem x cos t + y sin t = ψ(t). (16) Wracając do rozważań nad obwiednią Γ β zauważmy, że skoro funkcja ψ β (t) jest przynajmniej klasy C 2, to krzywa Γ β jest jeżem. Przywołamy teraz pojęcie ewolutoidy danej krzywej, które było badane już w 179 r. przez Réaumura i w 1811 r. przez Lancreta. Definicja 2 ([8]). Ewolutoidą krzywej f(s) dla kąta δ jest obwiednia rodziny prostych tworzących ustalony kąt δ z wektorem normalnym do krzywej f w punkcie f(s). Zatem obwiednia Γ β jest ewolutoidą owalu C dla kąta π 2 + β. Wniosek 1. Każda ewolutoida owalu jest jeżem. Przypomnijmy za [8], że długość krzywej wypukłej C, to 2π p(t)dt. Oznaczmy ją przez L C. Y. Martinez-Maure w [7] zdefiniował algebraiczną długość jeża Γ jako L Γ = 2π ψ(t)dt, (17) 5

6 gdzie ψ(t) jest funkcją podparcia rozważanego jeża Γ. Zatem, dla jeży Γ β i Γ γ otrzymujemy 2π 2π L Γ β = ψ β (t)dt = (p(t + β) cos β ṗ(t + β) sin β)dt = L C cos β (18) oraz 2π 2π L Γγ = ψ γ (t)dt = (p(t γ) cos γ + ṗ(t γ) sin γ)dt = L C cos γ, (19) W pracy [1] możemy odnaleźć następujące wzory całkowe typu Croftona Ω sin 2 ω dxdy = t 1 Ω sin 2 ω t 2 dxdy = πl C, (2) gdzie t 1 i t 2 oznaczają odpowiednie odcinki stycznych do rozważanego owalu, zaś ω kąt między tymi stycznymi. 3 Umieszczanie w pracy rysunków i tabel W dokumencie L A TEXmożemy umieszczać rysunki za pomocą polecenia \includegraphics[opcje]{nazwa pliku}, które wymaga zastosowania pakietu graphics Jeśli kompilujemy dokument do formatu.dvi, to dołączamy do pracy rysunki w formacie.eps. Jeśli kompilujemy bezpośrednio do.pdf, to dołączamy rysunki w formacie.png. Rysunki, które zamierzamy dołączyć muszą znajdować sie w tym samym folderze, co kompilowany dokument. Jako opcje można podać na przykład wysokość, czy szerokość rysunku. Można posłuzyć się też wartościami zmiennych \textwidth i \textheight. Np. height=4cm, height=.3\textheight, width=.8\textwidth. Stosując dodatkowo otoczenie figure mozemy skorzystać z pomocy L A TEX-a w rozmieszczeniu rysunki, numeracji, wykonaniu podpisu i odwołania. Otoczenie figure ma następujące opcje t - top, rysunek na górze strony b - bottom, rysunek na dole strony h - here, rysunek w tym miejscu, gdzie występuje w kodzie p -page, na oddzielnej stronie. 6

7 Rysunek 1: Konstrukcja zastosowana w dowodzie twierdzenia Pitagorasa. 4 Rozszerzanie preambuły Do umieszczania w tekście twierdzeń, dowodów, definicji czy uwag służą środowiska, które trzeba sformułować w preambule dokumentu. Twierdzenie 1 (Pitagorasa). W dowolnym trójkącie prostokątnym suma kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej tego trójkąta. Dowód. Dany jest trójkąt prostokątny o bokach długości a, b i c jak na rysunku z lewej. Konstruujemy kwadrat o boku długości a + b w sposób pokazany na poniższych rysunkach. Z jednej strony pole kwadratu równe jest sumie pól czterech trójkątów prostokątnych i kwadratu zbudowanego na ich przeciwprostokątnych, z drugiej zaś równe jest ono sumie pól tych samych czterech trójkątów i dwóch mniejszych kwadratów zbudowanych na ich przyprostokątnych. Stąd wniosek, że pole kwadratu zbudowanego na przeciwprostokątnej jest równe sumie pól kwadratów zbudowanych na przyprostokątnych. Rysunek 2: Konstrukcja zastosowana w dowodzie twierdzenia Pitagorasa. 7

8 Uwaga 1. Szczepan Jeleński w książce Śladami Pitagorasa przypuszcza, że w ten sposób mógł udowodnić swoje twierdzenie sam Pitagoras. 5 Praca z dłuższym dokumentem 5.1 Podział pracy 5.2 Wstęp i bibliografia Pozycje w bibliografii powinny być ułożone alfabetycznie. Adresy bibliograficzne potrzebnych źródeł można znaleźć na stronie Literatura [1] Cieślak, W.; Miernowski, A.; Mozgawa, W., Isoptics of a closed strictly convex curve, Global differential geometry and global analysis (Berlin, 199), 28 35, Lecture Notes in Math., 1481, Springer, Berlin, [2] Cieślak, W.; Miernowski, A.; Mozgawa, W., Isoptics of a closed strictly convex curve II, Rend. Sem. Mat. Univ. Padova 96 (1996), [3] Capitanio, G., On geodesic envelopes, Arch. Math. 88 (27), no. 6, [4] Capitanio, G., Cusp singularities of plane envelopes, arxiv:math/ v1 [math.dg]. [5] Capitanio, G., Stable tangential family germs and singularities of their envelopes, C. R. Math. Acad. Sci. Paris 341 (25), no. 8, [6] Capitanio, G., Simple tangential family germs and perestroikas of their envelopes, Bull. Sci. Math. 13 (26), no. 1, [7] Martinez-Maure, Y., Geometric inequalities for plane hedgehogs, Demonstratio Math. 32 no. 1, (1999), [8] Santalo, L., Integral geometry and geometric probability, Encyclopedia of Mathematics and its Applications, Reading, Mass.,