2 Sférická trigonometrie. Obsah. 1 Základní pojmy. Kosinová věta pro stranu. Podpořeno z projektu FRVŠ 584/2011.

Podobne dokumenty
Jednoduchá zobrazení. Podpořeno z projektu FRVŠ 584/2011.

Jednoduchá zobrazení. Podpořeno z projektu FRVŠ 584/2011.

Referenční plochy. Podpořeno z projektu FRVŠ 584/2011.

5. a 12. prosince 2018

Komplexní analýza. Martin Bohata. Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze Martin Bohata Komplexní analýza Mocninné řady 1 / 18

Obsah. Zobrazení na osmistěn. 1 Zobrazení sféry po částech - obecné vlastnosti 2 Zobrazení na pravidelný konvexní mnohostěn

MATEMATIKA 3. Katedra matematiky a didaktiky matematiky Technická univerzita v Liberci

Vybrané kapitoly z matematiky

Necht je funkce f spojitá v intervalu a, b a má derivaci v (a, b). Pak existuje bod ξ (a, b) tak, že f(b) f(a) b a. Geometricky

1 Soustava lineárních rovnic

ČVUT v Praze, katedra geomatiky. zimní semestr 2014/2015

Kristýna Kuncová. Matematika B3

Funkce zadané implicitně. 4. března 2019

Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost.

(13) Fourierovy řady

Kristýna Kuncová. Matematika B2 18/19

1 Nepravá zobrazení. 4 Zobrazení odvozené z jednoduchých azimutálních (modifikované. Obsah. 3 Nepravá azimutální zobrazení.

Linea rnı (ne)za vislost

Úvodní informace. 18. února 2019

Komplexní analýza. Martin Bohata. Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze Martin Bohata Komplexní analýza Úvod 1 / 32

Aproximace funkcí 1,00 0,841 1,10 0,864 1,20 0,885. Body proložíme lomenou čarou.

FAKULTA STAVEBNÍ. Stavební statika. Telefon: WWW:

Paradoxy geometrické pravděpodobnosti

Matematika 2, vzorová písemka 1

1 Sférická trigonometrie

Numerické metody 8. května FJFI ČVUT v Praze

Kristýna Kuncová. Matematika B2

Inverzní Z-transformace

Numerické metody minimalizace

GEOMETRIE. Vytvořeno v rámci projektu Operačního programu Rozvoje lidských zdrojů CZ / /0016. základu studia.

Určitý (Riemannův) integrál a aplikace. Nevlastní integrál. 19. prosince 2018

(1) Derivace. Kristýna Kuncová. Matematika B2 17/18. Kristýna Kuncová (1) Derivace 1 / 35

Co nám prozradí derivace? 21. listopadu 2018

Internetová matematická olympiáda 8. ročník, Baví se student Fakulty strojního inženýrství VUT v Brně (FSI) s kamarádem:

Průvodce studiem V této kapitole se budeme zabývat diferenciálním počtem pro funkce více

podle přednášky doc. Eduarda Fuchse 16. prosince 2010

Kapitola 4: Soustavy diferenciálních rovnic 1. řádu

Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava

Stavový popis Stabilita spojitých systémů (K611MSAP) Katedra aplikované matematiky Fakulta dopravní ČVUT. čtvrtek 20. dubna 2006

Diferenciální rovnice základní pojmy. Rovnice se

Edita Pelantová, katedra matematiky / 16

Geometry of the quadrilateral

Pracovní listy. Stereometrie hlavního textu

(2) Funkce. Kristýna Kuncová. Matematika B2. Kristýna Kuncová (2) Funkce 1 / 25

GEM a soustavy lineárních rovnic, část 2

Matematika (KMI/PMATE)

DFT. verze:

Matematika III Stechiometrie stručný

Logika V. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologíı BI-MLO, ZS 2011/12

fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.

x y (A)dy. a) Určete a načrtněte oblasti, ve kterých je funkce diferencovatelná. b) Napište diferenciál funkce v bodě A = [x 0, y 0 ].

Obsah. 1 Konstrukce (definice) Riemannova integrálu Výpočet Newtonova Leibnizova věta Aplikace výpočet objemů a obsahů 30

FAKULTA STAVEBNÍ. Stavební statika. Telefon: WWW:

kontaktní modely (Winklerův, Pasternakův)

x2 + 2x 15 x 2 + 4x ) f(x) = x 2 + 2x 15 x2 + x 12 3) f(x) = x 3 + 3x 2 10x. x 3 + 3x 2 10x x 2 + x 12 10) f(x) = log 2.

Zadání: Vypočítejte hlavní momenty setrvačnosti a vykreslete elipsu setrvačnosti na zadaných

Cesko - polský matematický slovník

Kristýna Kuncová. Matematika B2 18/19. Kristýna Kuncová (1) Vzorové otázky 1 / 36

Funkce více proměnných: limita, spojitost, parciální a směrové derivace, diferenciál

Lineární algebra - iterační metody

Geometrická nelinearita: úvod

Teorie plasticity. Varianty teorie plasticity. Pružnoplastická matice tuhosti materiálu

Obsah. Aplikovaná matematika I. Vlivem meze Vlivem funkce Bernhard Riemann. Mendelu Brno. 3 Vlastnosti určitého integrálu

Matematická analýza 2. Kubr Milan

Obsah. 1.2 Integrály typu ( ) R x, s αx+β

Robotika. Kinematika 13. dubna 2017 Ing. František Burian Ph.D.

Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky METODA FAST MARCHING PRO

Funkce více proměnných: limita, spojitost, derivace

Obsah. Petr Hasil. (konjunkce) (disjunkce) A B (implikace) A je dostačující podmínka pro B; B je nutná podmínka pro A A B: (A B) (B A) A (negace)

Základní elektrotechnická terminologie,

Univerzita Palackého v Olomouci

Rozvíjení matematických talentů. kolektiv autorů. Praha 2019

Obsah. Limita posloupnosti a funkce. Petr Hasil. Limita posloupnosti. Pro a R definujeme: Je-li a < 0, pak a =, a ( ) =. vlastní body.

Katedra kybernetiky skupina Inteligentní Datové Analýzy (IDA) Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti

Elementární funkce. Edita Pelantová. únor FJFI, ČVUT v Praze. katedra matematiky, FJFI, ČVUT v Praze

Rovnice proudění Slapový model

Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 2018

Powyższe reguły to tylko jedna z wersji gry. Istnieje wiele innych wariantów, można też ustalać własne zasady. Miłej zabawy!

Statistika (KMI/PSTAT)

Komplexní analýza. Příklad Body. Nepište obyčejnou tužkou ani červeně, jinak písemka nebude přijata. Soupis vybraných vzorců. 4a.

Kombinatorika a grafy I

Matematická analýza II pro kombinované studium. Konzultace první a druhá. RNDr. Libuše Samková, Ph.D. pf.jcu.cz

Matematika I (KMI/PMATE) Co se naučíme? x = a a x = b. rozumět pojmu střední hodnota funkce na daném intervalu. Obrázek 1.

Ústav teorie informace a automatizace RESEARCH REPORT. Pavel Boček, Karel Vrbenský: Implementace algoritmu MIDIA v prostředí Google Spreadsheets

Petr Hasil. c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 1 / 187

Mendelova univerzita v Brně user.mendelu.cz/marik

Pojem množiny nedefinujeme, pouze připomínáme, že množina je. Nejprve shrneme pojmy a fakta, které znáte ze střední školy.

Matematika prˇedna sˇka Lenka Prˇibylova 7. u nora 2007 c Lenka Prˇibylova, 200 7

Internet a zdroje. (Zdroje na Internetu) Mgr. Petr Jakubec. Katedra fyzikální chemie Univerzita Palackého v Olomouci Tř. 17.

ÚVOD DO ARITMETIKY Michal Botur

KATEDRA INFORMATIKY UNIVERZITA PALACKÉHO VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN

1 Definice. A B A B vlastní podmnožina. 4. Relace R mezi množinami A a B libovolná R A B. Je-li A = B relace na A

Operace s funkcemi [MA1-18:P2.1] funkční hodnota... y = f(x) (x argument)

Laplaceova transformace

Sb ırka pˇr ıklad u z matematick e anal yzy II Petr Tomiczek

NDMI002 Diskrétní matematika

K SAMOSTATNÉ MODULOVÉ SCHODY MONTÁŽI. asta

Tvarová optimalizace pro 3D kontaktní problém

(a). Pak f. (a) pro i j a 2 f

POLIURETANOWE SPRĘŻYNY NACISKOWE. POLYURETHANOVÉ TLAČNÉ PRUŽINY

Transkrypt:

Obsah 1 2 Kosinová věta pro úhel Pravoúhlý sférický trojúhelník Podpořeno z projektu FRVŠ 584/2011.

Referenční plochy, souřadnicové soustavy Důležité křivky - loxodroma, ortodroma Kartografická zobrazení, třídění zobrazení. Tissotova indikatrix, hlavní směry. Kartografická zkreslení (délkové, směrníkové, úhlové a plošné). Jednoduchá zobrazení kuželová, azimutální a válcová. Odvození zobrazovacích rovnic pro jednoduchá zobrazení. Azimutální a válcové projekce. Křovákovo zobrazení. Gaussovo konformní zobrazení elipsoidu v poledníkových pásech. Cassini-Soldnerovo zobrazení.

Referenční plochy, souřadnicové soustavy Důležité křivky - loxodroma, ortodroma Kartografická zobrazení, třídění zobrazení. Tissotova indikatrix, hlavní směry. Kartografická zkreslení (délkové, směrníkové, úhlové a plošné). Jednoduchá zobrazení kuželová, azimutální a válcová. Odvození zobrazovacích rovnic pro jednoduchá zobrazení. Azimutální a válcové projekce. Křovákovo zobrazení. Gaussovo konformní zobrazení elipsoidu v poledníkových pásech. Cassini-Soldnerovo zobrazení.

Referenční plochy, souřadnicové soustavy Důležité křivky - loxodroma, ortodroma Kartografická zobrazení, třídění zobrazení. Tissotova indikatrix, hlavní směry. Kartografická zkreslení (délkové, směrníkové, úhlové a plošné). Jednoduchá zobrazení kuželová, azimutální a válcová. Odvození zobrazovacích rovnic pro jednoduchá zobrazení. Azimutální a válcové projekce. Křovákovo zobrazení. Gaussovo konformní zobrazení elipsoidu v poledníkových pásech. Cassini-Soldnerovo zobrazení.

Referenční plochy, souřadnicové soustavy Důležité křivky - loxodroma, ortodroma Kartografická zobrazení, třídění zobrazení. Tissotova indikatrix, hlavní směry. Kartografická zkreslení (délkové, směrníkové, úhlové a plošné). Jednoduchá zobrazení kuželová, azimutální a válcová. Odvození zobrazovacích rovnic pro jednoduchá zobrazení. Azimutální a válcové projekce. Křovákovo zobrazení. Gaussovo konformní zobrazení elipsoidu v poledníkových pásech. Cassini-Soldnerovo zobrazení.

Literatura http://gis.zcu.cz/studium/mk2/multimedialni_ texty/index.html Buchar P.: Matematická kartografie (skriptum ČVUT)

Požadavky Vypracování semestrální práce Zkouška - písemná + ústní.

Požadavky Vypracování semestrální práce Zkouška - písemná + ústní.

Matematická kartografie Řeší různé způsoby zobrazení Země (resp. koule, elipsoidu) do roviny na základě požadavků na ně kladených. Důležitý obor pro tvorbu map, a vyjádření jejich zkreslení. Důlěžitý obor pro určení základních geometrických veličin (úhlů, délek) na mapách.

Matematická kartografie Řeší různé způsoby zobrazení Země (resp. koule, elipsoidu) do roviny na základě požadavků na ně kladených. Důležitý obor pro tvorbu map, a vyjádření jejich zkreslení. Důlěžitý obor pro určení základních geometrických veličin (úhlů, délek) na mapách.

Obsah 1 2 Kosinová věta pro úhel Pravoúhlý sférický trojúhelník

Kulová plocha Kulovou plochou nazýváme množinu všech bodů v prostoru E 3, jejíž každý bod X má od pevně zvoleného bodu O, který nazýváme střed kulové plochy, konstantní vzdálenost OX = r > 0 (tzv. poloměr). Pro zjednodušení úvah budeme v mnoha případech uvažovat OX = r = 1. Kulovou plochu o poloměru r = 1 nazýváme jednotková kulová plocha. Figure: Kulová plocha (převzato z [3])

Přímky a úsečky na sféře, délka úsečky V rovinné geometrii rozumíme úsečkou nejkratší spojnici dvou bodů. Přímku chápeme jako úsečku nekonečně prodlouženou na obě strany. Stejně zavádíme pojem úsečky a přímky i na kulové ploše (s-přímka, s-úsečka).

Hlavní kružnice Nechť jsou dány dva libovolné body A, B na kulové ploše a bod O, střed kulové plochy. Rovina proložená body A, B a středem O protíná kulovou plochu v kružnici k, která se nazývá hlavní kružnice. Figure: Hlavní kružnice (převzato z [3])

Vedlejší kružnice Všechny ostatní kružnice na kulové ploše vzniklé řezem roviny, která neprochází středem kulové plochy, nazýváme vedlejší kružnice. Pro jednotkovou kulovou plochu je poloměr libovolné hlavní kružnice roven jedné, vedlejší kružnice mají poloměr r menší než 1.

Délka s-úsečky Pro měření délek na sféře využijeme obloukové míry. Na tomto místě proto připomeneme jak pojem obloukové míry, tak definici radiánu. Velikost úhlu α vyjádříme v obloukové míře jako délku oblouku l, který je vyťat rameny úhlu α na jednotkové kružnici se středem ve vrcholu úhlu. Radiánem nazýváme úhel ρ, jehož oblouková míra je rovna 1; jeho velikost ve stupňové míře je ρ = 180 /π. = 57 17

Délka s-úsečky Pro měření délek na sféře využijeme obloukové míry. Na tomto místě proto připomeneme jak pojem obloukové míry, tak definici radiánu. Velikost úhlu α vyjádříme v obloukové míře jako délku oblouku l, který je vyťat rameny úhlu α na jednotkové kružnici se středem ve vrcholu úhlu. Radiánem nazýváme úhel ρ, jehož oblouková míra je rovna 1; jeho velikost ve stupňové míře je ρ = 180 /π. = 57 17 Figure: Délka úsečky - převzato z [3])

Vzdálenost d(a, B) mezi dvěma body A, B na sféře S Délka nejkratšího kruhového oblouku, který tyto body spojuje - v obloukové míře odpovídá velikosti příslušného středového úhlu. Figure: Délka s-úsečky (převzato z [3])

Sférický trojúhelník Trojhran: Figure: Trojhran s vyznačeným úhlem při hraně OB (převzato z [3])

Sférický trojúhelník Průnik trojhranu O(A B C ) a kulové plochy, jejíž střed je ve vrcholu O trojhranu - sférický trojúhelník Figure: Sférický trojúhelník (převzato z [3])

Sférický trojúhelník Délky stran (jsou určeny úhly BOC, AOC, AOB) úhly α, β, γ, což jsou úhly příslušného trojhranu. Strany sférického trojúhelníku jsou zároveň délky příslušných oblouků BC, AC, AB hlavních kružnic.

Sférický trojúhelník Délky stran (jsou určeny úhly BOC, AOC, AOB) úhly α, β, γ, což jsou úhly příslušného trojhranu. Strany sférického trojúhelníku jsou zároveň délky příslušných oblouků BC, AC, AB hlavních kružnic.

Sférický trojúhelník Trojúhelník definovaný pomocí trojhranu se nazývá konvexní nebo také Eulerův. Každý z jeho základních prvků, tj. stran a úhlů, je menší než π.

Polární trojúhelník Krajní body průměru kulové plochy, kolmého na rovinu dané hlavní kružnice, se nazývají póly této kružnice. Mějme na kulové ploše sférický trojúhelník ABC. Nechť A 0 je pól hlavní kružnice určené body B, C, ležící na stejné polokouli jako bod A. Analogicky získáme i body B 0, C 0. Říkáme, že trojúhelník A 0B 0 C 0 je polární k danému trojúhelníku ABC.

Polární trojúhelník Figure: Polární trojúhelník (převzato z [3])

Polární trojúhelník Figure: Polární trojúhelník (převzato z [3]) Jestliže trojúhelník A 0 B 0 C 0 je polární k trojúhelníku ABC, pak také obráceně trojúhelník ABC je polární k trojúhelníku A 0 B 0 C 0. Strany polárního trojúhelníku jsou a 0 = 180 α, b 0 = 180 β, c 0 = 180 γ; jeho úhly jsou α 0 = 180 a, β 0 = 180 b, γ 0 = 180 c

Sférická kružnice Sférická kružnice (kružnice na kulové ploše) je množinou všech bodů kulové plochy, které mají od daného bodu C na kulové ploše sférickou vzdálenost r, M = {X S; d(xc) = r}, kde d(xc) je sférická vzdálenost bodů X, C Bod C je sférický střed kružnice, vzdálenost r nazýváme (sférický) poloměr kružnice.

Obsah Kosinová věta pro úhel Pravoúhlý sférický trojúhelník 1 2 Kosinová věta pro úhel Pravoúhlý sférický trojúhelník

Kosinová věta pro úhel Pravoúhlý sférický trojúhelník a, b, c, α, β, γ (0 o, 180 o ) Součet libovolných dvou stran je vetší než strana třetí. Proti stejným stranám leží stejné úhly, proti vetší straně leží vetší úhel. Součet všech stran je menší než 360 o, tj. a + b + c < 360 o. Součet všech úhlu je vetší než 180 o a menší než 540 o, tj. 180 o < a + b + g < 540 o. Rozdíl mezi součtem všech úhlu sférického trojúhelníku a úhlem prímým se nazývá exces sférického trojúhelníku (nadbytek), znací se e, tj. e = a + b

Kosinová věta pro úhel Pravoúhlý sférický trojúhelník Matematický základ pro rešení problému, které se vyskytují v geodézii, kartografii, astronomii Kosinová veta pro úhel Řešení sférického trojúhelníku

Kosinová věta pro úhel Pravoúhlý sférický trojúhelník Opakování rovinná trigonometrie... wikipedie Kosinová věta Pravoúhlý trojúhelník

Kosinová věta pro úhel Pravoúhlý sférický trojúhelník Figure: odvození (Převzato z [3])

Kosinová věta pro úhel Pravoúhlý sférický trojúhelník BS = BA sin α BA = BO sin c BS = BO sin c sin α BS = BC sin γ BC = BO sin a BS = BO sin a sin γ porovnáním a po úpravě Obdobně platí: sin c sin α = sin a sin γ sin a sin α = sin c sin γ sin b sin β = sin c sin γ, sin a sin α = sin b sin β.

Kosinová věta pro úhel Pravoúhlý sférický trojúhelník Figure: Kosinová věta odvození (Převzato z [3])

Kosinová věta pro úhel Pravoúhlý sférický trojúhelník Podle kosinové věty rovinné trigonometrie platí pro ABC resp. ACO: AC 2 = AB 2 + BC 2 2AB BC cos β AC 2 = OA 2 + OC 2 2OA OC cos b Pravé strany rovnic dáme do rovnosti a využijeme Pythagorovu větu pro OAB resp. OBC: 2OA OC cos b = OB 2 OB {}} 2 {{}}{ OA 2 AB 2 + OC 2 BC 2 +2AB BC cos β 2OA OC cos b = 2OB 2 + 2AB BC cos β

Kosinová věta pro úhel Pravoúhlý sférický trojúhelník Podle kosinové věty rovinné trigonometrie platí pro ABC resp. ACO: AC 2 = AB 2 + BC 2 2AB BC cos β AC 2 = OA 2 + OC 2 2OA OC cos b Pravé strany rovnic dáme do rovnosti a využijeme Pythagorovu větu pro OAB resp. OBC: 2OA OC cos b = OB 2 OB {}} 2 {{}}{ OA 2 AB 2 + OC 2 BC 2 +2AB BC cos β 2OA OC cos b = 2OB 2 + 2AB BC cos β

Kosinová věta pro úhel Pravoúhlý sférický trojúhelník Zkrátíme dvěma a obě strany vyděĺıme délkami stran OA a OC. Za poměry stran můžeme následně dosadit odpovídající goniometrické funkce rovinné trigonometrie: cos b = OB OC OB OC + AB OA BC OC cos β cos b = cos a cos c + sin c sin a cos β Obdobně pro zbývající strany a úhly. Tento vztah nazýváme kosinová věta pro stranu ve sférickém trojúhelníku: Jsou-li a, b, c strany a α, β, γ úhly sférického trojúhelníku. Platí: cos a = cos b cos c + sin b sin c cos α

Kosinová věta pro úhel Pravoúhlý sférický trojúhelník Jsou-li a, b, c strany a α, β, γ úhly sférického trojúhelníku, pak platí: cos α = cos β cos γ + sin β sin γ cos a (a cyklické rovnosti).

Pravoúhlý sférický trojúhelník Kosinová věta pro úhel Pravoúhlý sférický trojúhelník pravoúhlé - mají jeden úhel pravý, strana proti pravému úhlu se nazývá přepona, zbylé strany jsou odvěsny, rovnoramenné - mají dvě strany shodné, tyto strany nazýváme ramena, zbývající strana je základna, rovnostranné - mají všechny strany shodné polární -...

Pravoúhlý sférický trojúhelník Kosinová věta pro úhel Pravoúhlý sférický trojúhelník V případě pravoúhlého trojúhelníku se věta sinová a kosinová výrazně zjednoduší. Položme γ = 90 (sin γ = 1, cos γ = 0): věta sinová pro pravoúhlý sférický trojúhelník bude mít tvar: sin a = sin c sin α, sin b = sin c sin β věty kosinové pro pravoúhlý sférický trojúhelník se změní na: cos α = sin β cos a, cos β = sin α cos b kos. věta pro úhel cos c = cos a cos b kos. věta pro stranu

Kosinová věta pro úhel Pravoúhlý sférický trojúhelník Neperovo pravidlo pro pravoúhlý trojúhelník: Do kruhového schématu zapíšeme nejprve přeponu c, po stranách přilehlé úhly α, β a proti nim rozdíly 90 a, 90 b, kde a, b jsou odvěsny pravoúhlého trojúhelníku. Dle Neperova pravidla platí:, že a kosinus každého prvku v kruhovém schématu je roven součinu sinů protilehlých prvků kosinus každého prvku v kruhovém schématu zároveň součinu kotangent sousedních prvků.

Kosinová věta pro úhel Pravoúhlý sférický trojúhelník Neperovo pravidlo pro pravoúhlý trojúhelník Figure: Převzato z [3]

Kosinová věta pro úhel Pravoúhlý sférický trojúhelník Neperovo pravidlo pro pravoúhlý trojúhelník Figure: Neperovo pravidlo, Převzato z [3]

Kosinová věta pro úhel Pravoúhlý sférický trojúhelník Zdroje: Grafarend E., Krumm F.: Map Projections, Springer, Germany, 2006 Buchar P.: Mtematická kartografie 10, Skriptum ČVUT, 2002 Hložek M.:, Dimplová práce ZČU, 2005