Předmluva Na Fakultě Jaderé a fyzikálě ižeýrské ČVUT se vyučuje předmět Matematická aalýza v růzých úrovích, pričemž studetů studujících lehčí úrově je více ež těch, kteří studují úroveň těžší. Kvalití fakultí sbírky z matematické aalýzy pro. ročík z miulých let [, 4] však byly psáy v době, kdy výuka takto diverzifikováa ještě ebyla, a áročostí i počtem příkladů mohdy přesahují odhodláí studetů lehčích úroví a ematematických zaměřeí. Jak plye z pozámky doc. Miloše Zahradíka z MFF UK uvedeé v jeho kize Používáme lieárí algebru, eí to je případ FJFI: Vzpomíám a kolegu ze studií, chlubícího se v letím semestru druhého ročíku, že koečě vlastoručě dopočítal všech 4460 příkladů té sbírky (Děmidovičovy [], poz. aut.)! Šlo o ěkolikátý přetisk pátého vydáí z roku 96, které přieslo 00 ových úloh. Tahle doba je již pryč, podobí jedici se des již asi sotva ajdou a pokud ao, tak spíš tráví většiu času v počítačové laboratoři. Toto skriptum abízí studetům. ročíku výběr velmi malého počtu úloh, které však zahrují základí zalosti a dovedosti, které by si studet z úvodího kurzu matematické aalýzy měl odést. Studeti těžší úrově ajdou dostatek áročějších úloh v jiých osvědčeých sbírkách [,, 5, 6]. Skriptum pokrývá část látky zimího semestru. ročíku (ity posloupostí a fukcí). Jeho další část je v přípravě. Vzhledem k charakteru skript (řešeé příklady) jej mohou využít i studeti jiých fakult a vysokých škol.
Úvod Na úvod velmi stručě shreme, které pojmy považujeme za daé a zámé a jakých zalostí budeme využívat při řešeí úloh. Elemetárí fukce Předpokládáme, že čteář je obezáme se základími pojmy (ituitiví) teorie moži, umí používat možiové operace sjedoceí, průik, doplěk, je mu zám pojem kartézského součiu a uspořádaé -tice a umí pracovat s obory čísel přirozeých, celých, racioálích, reálých a kompleích. Tyto číselé obory po řadě začíme písmey N, Z, Q, R a C. Jsou-li a, b reálá čísla, začíme (a, b), a, b, a, b), (a, b postupě otevřeý, uzavřeý a polouzavřeé itervaly. Předpokládáme také, že čteáři je zám pojem zobrazeí a pojem fukce. Protože zejméa pojem fukce budeme hojě používat, krátce připomeňme, co tyto pojmy zameají. Zobrazeí z možiy X do možiy Y je určeo pravidlem (předpisem), které každému prvku z možiy X přiřadí ejvýše jede prvek možiy Y. Zobrazeí či fukce obvykle začíme malými písmey f, g, h, výjimečě jiými. Zápis f() y začí, že zobrazeí f přiřazuje prvku prvek y. Defiičím oborem D(f) zobrazeí f azýváme tu možiu prvků z X, kterým oo pravidlo přiřadí právě jede prvek možiy Y. Oborem hodot H(f) zobrazeí f azýváme všechy prvky y z možiy Y takové, že eistuje z možiy X takové, že zobrazeí přiřazuje prvku prvek y. Symbolicky to zapisujeme D(f) { X ( y Y )(y f())}, H(f) {y Y ( X)(y f())}. Říkáme, že zobrazeí je prosté, pokud pro každé y H(f) eistuje právě jedo D(f) tak, že f() y. Říkáme, že zobrazeí, které zobrazuje do možiy Y, je zobrazeí a Y, pokud H(f) Y. Fukcí pak rozumíme zobrazeí, pro které je oborem hodot číselá možia. V tetu se budou vyskytovat převážě reálé fukce jedé reálé proměé, což jsou zobrazeí z R do R. Předpokládáme, že čteář zá vlastosti elemetárích fukcí a úrovi středoškolského učiva. Především se jedá o tyto třídy fukcí: lieárí, kvadratické, mocié (s celým a reálým epoetem), epoeciálí, logaritmické a goiometrické. Předpokládáme, že čteáři jsou zámy jedoduché vztahy, zejméa počítáí s epoety a vztahy pro goiometrické fukce: součtové vzorce a vzorce pro polovičí a dvojásobý argumet. V příkladech je mohdy užitečé umět ačrtout průběh těchto fukcí. Některé partie skript se také věují fukcím cyklometrickým a hyperbolickým, s vědomím toho, že a středí škole se jejich vlastosti obvykle eprobírají. Čteář však vystačí pouze s defiicí těchto fukcí. Korektí zavedeí reálých čísel a elemetárích fukcí eí triviálí záležitostí. Protože ve skriptech jsou uvedey také příklady, které jsou ezřídka používáy pro budováí teorie, je potřeba k jejich řešeí přistupovat s rozmyslem a řešit je pouze prostředky, které máme mometálě k dispozici. Nezřídka se ale při jejich řešeí odvoláváme a ěkteré vlastosti elemetárích fukcí. Čteář tak může mít oprávěé pochybosti, zda se tím edopouštíme kruhu. Popisu, jak korektě zavést ěkteré elemetárí fukce, věujeme závěr skript, příslušá tvrzeí ale uvádíme bez důkazů; čteáře odkazujeme a libovolou učebici matematické aalýzy. Na tomto místě je zdůrazěme, které vlastosti používáme: 4
. Fukce mociá f() a s reálým eulovým epoetem a zobrazuje prostě iterval (0, + ) a iterval (0, + ). Z toho plye, že pro a 0 a y > 0 má rovice a y v kladých číslech právě jedo řešeí. Mociá fukce je pro a > 0 ostře rostoucí a (0, + ) a pro a < 0 ostře klesající a (0, + ).. Fukce epoeciálí f() a s kladým základem a růzým od jedé zobrazuje prostě iterval (, + ) a iterval (0, + ). Z toho plye, že pro a > 0, a a y > 0 má rovice a y právě jedo řešeí. Epoeciálí fukce je pro 0 < a < ostře klesající a (, + ) a pro a > ostře rostoucí a (, + ). Podotkěme a tomto místě, že reálou mociu lze defiovat přímo z vlastostí reálých čísel (pomocí tzv. aiomu o supremu) a tyto vlastosti mocié a epoeciálí fukce lze odvodit přímo z jejich defiic, vlastostí algebraických operací a defiice suprema.. Fukce logaritmická f() log a s kladým základem růzým od jedé je defiovaá jako fukce iverzí k epoeciálí fukci se stejým základem. Z toho přímo vyplývá, že zobrazuje prostě iterval (0, + ) a iterval (, + ) a že pro a > 0, a a y > 0 má rovice log a y právě jedo řešeí. Logaritmická fukce je pro 0 < a < ostře klesající a (0, + ) a pro a > ostře rostoucí a (0, + ). (Základ a 0 epíšeme, pro fukci log e, kde e je Eulerovo číslo (viz.vi.), používáme začku l.) Vlastosti logaritmické fukce tedy plyou přímo z faktu, že jde o fukci iverzí k epoeciále. 4. Goiometrické fukce uvažujeme zavedeé geometricky přes jedotkovou kružici. Pokládáme tedy za zámé pojmy délka křivky, úhel a jeho velikost (v radiáech) a potřebujeme také pojem obsahu roviého obrazce. U goiometrických fukcí využíváme vlastostí plyoucích z jejich geometrické defiice přes jedotkovou kružici, zejméa jejich souvislost s pravoúhlým trojúhelíkem. Dále využíváme součtové vzorce, vztahy pro polovičí a dvojásobý argumet, toho, že fukce sius je π-periodická, a itervalech π + kπ, π + kπ, kde k je celé číslo, je ostře rostoucí a a itervalech π + kπ, π + kπ, kde k je celé číslo, je ostře klesající a zobrazuje každý z uvedeých itervalů a iterval,. Obdobě využíváme toho, že fukce kosius je π-periodická, a itervalech π +kπ, π +kπ, kde k je celé číslo, je ostře rostoucí a a itervalech 0 + kπ, π +kπ, kde k je celé číslo, je ostře klesající a zobrazuje každý z uvedeých itervalů a iterval,. Aalogických vlastostí užíváme u fukcí tages a kotages, zpravidla však vystačíme s defiičími vztahy tg si cos cos a cotg si. Zavedeí goiometrických fukcí využívá hlubší teorie. Geometrický způsob zavedeí je přirozeý, aráží ale a potíže, kdy musíme přesě defiovat geometrické pojmy, jako je délka křivky ebo obsah obrazce. Defiovat je uspokojivým způsobem, třeba pomocí teorie míry, eí jedoduché a vymyká se možostem tohoto tetu. Způsob, jakým lze zavést goiometrické fukce aiomaticky bez užití geometrie, je v krátkosti azače v závěrečé kapitole. Důkazy vlastostí goiometrických fukcí pak sice využívají pokročilých prostředků matematické aalýzy, užívají ale obecé teorie, eí tak potřeba obávat se kruhu, pokud v příkladech využijeme kokrétí vlastosti goiometrických fukcí. Geometrický způsob zavedeí používáme podstatým způsobem k výpočtu důležité ity v XIX. kapitole. Pokud bychom brali za výchozí aiomatické zavedeí, je tato ita přímo jedím ze čtyř aiomů. Nerovosti V ěkolika úlohách využíváme ásledující dvě tvrzeí. AG-erovost. Necht je přirozeé číslo a a, a,..., a jsou ezáporá reálá čísla. Potom platí, že a a a a +... + a. Výraz alevo azýváme geometrickým a výraz apravo aritmetickým průměrem čísel a,..., a, odtud ázev erovosti. Lze ji dokázat matematickou idukcí. Beroulliova erovost. Necht je reálé číslo, a je přirozeé číslo. Potom ( + ) +. Opět ji lze dokázat matematickou idukcí. Pozameejme, že dokoce platí pro. Rozšířeí moži reálých a kompleích čísel K možiě reálých čísel R přidáváme dva body, které azveme plus a mius ekoečo a začíme je + a. Na možiu R R {, + } rozšiříme uspořádáí tímto způsobem: 5
) < +, ) Pro každé reálé je < < +. Tím máme defiovaé uspořádáí a možiě R, kterou azýváme rozšířeou možiou reálých čísel. Podobě k možiě kompleích čísel C přidáváme jede bod, který ozačíme. Rozšířeou možiu kompleích čísel začíme C C { }. Okolí Okolí a prstecové okolí v R. Necht a je reálé číslo, ε > 0. Symetrickým ebo také ε-okolím bodu a azveme iterval (a ε, a + ε). Prstecovým okolím bodu a rozumíme okolí, v ěmž je vyechá bod a, tedy možiu (a ε, a + ε) \ {a}. Okolí ekoeče a rozšířeé reálé ose. Okolím evlastího bodu + rozumíme iterval (K, + ), kde K je libovolé reálé číslo. Okolím evlastího bodu rozumíme iterval (, K), kde K je libovolé reálé číslo. Okolí a prstecové okolí pro evlastí body je tetýž pojem. Levé a pravé okolí. Levým prstecovým okolím bodu a R azveme průik libovolého prstecového okolí bodu a s možiou { R a}. Obdobě, pravým prstecovým okolím bodu a R azveme průik libovolého prstecového okolí bodu a s možiou { R a}. Levá prstecová okolí bodu a R jsou tedy itervaly typu (a ε, a) a pravá prstecová okolí itervaly typu (a, a + ε). Libovolé prstecové okolí (K, + ) evlastího bodu + je jeho levým prstecovým okolím a pravá okolí bod + emá. Libovolé prstecové okolí evlastího bodu je jeho pravým prstecovým okolím a levá okolí bod emá. Okolí a prstecové okolí v C. Necht a je kompleí číslo, ε-okolím bodu a rozumíme otevřeý kruh se středem v bodě a o poloměru ε > 0, což je možia {z C z a < ε}. Prstecovým okolím bodu a rozumíme okolí, v ěmž je vyechá bod a: {z C z a < ε} \ {a}. Okolí ekoeča v C. Okolím rozumíme doplěk v C libovolého uzavřeého kruhu se středem v počátku, tedy možiu typu {z C z > r}, kde r > 0 je libovolé kladé číslo. Zdůrazěme, že podobě jako a reálé ose ekoečo do svého okolí v této defiici epatří. Prstecové okolí a okolí je pro ekoečo v C tetýž pojem. Pozámka o zobecňováí. V obecé topologii je pojem okolí širší, dokoce i pro případ reálé osy a kompleí roviy. Otevřeým okolím bodu a R se rozumí libovolá otevřeá možia obsahující bod a, přičemž možiu A azveme otevřeou, jestliže s každým bodem A do í patří také ějaké ε-okolí bodu. Odtud samozřejmě vyplývá, že každé otevřeé okolí bodu a obsahuje pro vhodé ε ějaké ε-okolí bodu a. Pro účely ity fukce (a ity poslouposti) můžeme předpokládat bez újmy a obecosti, že uvažovaá okolí jsou symetrická. Defiice otevřeého okolí v kompleí roviě je aalogická. 6
Kapitola Limita poslouposti I. Defiice poslouposti a její vlastí ity Posloupost. Reálou (či kompleí) posloupostí rozumíme zobrazeí, které každému přirozeému číslu přiřadí ějaké reálé (kompleí) číslo a. Takovou posloupost začíme a, a, a,... ebo (a ) +. Posloupost můžeme zadat vzorcem pro -tý čle, apříklad a tvoří posloupost (,,, 4, 5, 6,...), a ( tvoří posloupost,, 4, 8, 6, ),.... Posloupost můžeme zadat také rekuretě: to zameá, že určíme její prví čle, popřípadě ěkolik prvích čleů, a zadáme vzorec, jak -tý čle spočítat pomocí čleů předchozích. Například a a, a tvoří posloupost (,,,...) (!,!,!,...). Někdy, jako v předchozím případě, bývá jedoduché uhodout z rekuretě zadaého vzorce také vzorec pro -tý čle. Častěji to je velmi těžké ebo emožé. Defiice ity poslouposti pomocí okolí. Necht L je reálé (kompleí) číslo, popřípadě ± (ebo v kompleím případě). Řekeme, že reálá (kompleí) posloupost (a ) + má itu L, jestliže je splěa ásledující podmíka: Pro každé okolí U bodu L eistuje N přirozeé tak, že pro každé > N je a U. Fakt, že posloupost (a ) má itu L, začíme a L. + V této kapitole si všimeme především případu, kdy L je reálé (respektive kompleí) číslo, v takovém případě říkáme, že posloupost má vlastí itu. V té příští se zaměříme a případ, kdy je ita ekoečá, pak mluvíme o evlastí itě. V případě, že posloupost má vlastí itu, říkáme také, že je kovergetí. V opačém případě říkáme, že je divergetí. Vlastí ita poslouposti. Necht L je reálé (kompleí) číslo. Uvědomíme-li si, jak vypadají okolí v R a v C, můžeme defiici ekvivaletě zformulovat takto: reálá (kompleí) posloupost (a ) + má vlastí itu L, jestliže je splěa ásledující podmíka: Pro každé ε > 0 eistuje N přirozeé tak, že pro každé > N je a L < ε. Symbolicky to zapisujeme takto: ( ε > 0)( N N)( N, > N)( a L < ε). 7
Důkaz, že ějaká posloupost má vlastí itu L, probíhá takto: Napíšeme si erovici a L < ε pro ezámou, ve které ε vystupuje jako kladý parametr, a sažíme se ajít její řešeí, ze kterého určíme N splňující defiici ity. Viz ásledující příklad. Příklad. Dokážeme, že posloupost ( )+ má vlastí itu 0. Necht tedy ε > 0 je kladý parametr. Řešíme erovici 0 < ε. Protože dostaeme je kladé číslo pro každé přirozeé, můžeme absolutí hodotu odstrait a úpravami < ε > ε. Z toho vidíme, že řešeím je každé přirozeé číslo > ε. Pokud tedy položíme N rovo ε zaokrouhleo ahoru, pak každé > N je řešeím původí erovice. A to je přesě podmíka defiice ity: pro každé ε > 0 umíme ajít N jako ε zaokrouhleo ahoru, aby pro každé > N bylo 0 < ε. Někdy se může stát, že se erovice a L < ε špatě řeší, v takovém případě bývá dobré výraz a L odhadout seshora ěčím jedodušším. Příklad. Dokážeme, že posloupost ( 4 ++0 )+ má vlastí itu 0. Necht tedy ε > 0 je kladý parametr. Řešíme erovici 4 + + 0 0 < ε. Protože 4 ++0 je kladé číslo pro každé přirozeé, můžeme absolutí hodotu odstrait a dostaeme 4 + + 0 < ε. Tuto erovici je velmi obtížé eplicitě vyřešit. Situaci si zjedodušíme, když použijeme odhad (zmešíme jmeovatel) 4 ++0 < a budeme řešit ovou erovici < ε. Z toho vidíme, že řešeím je každé přirozeé číslo > ε. Pokud položíme N rovo ε zaokrouhleo ahoru, pak každé > N je řešeím erovice < ε. Tím spíše tedy bude také 4 ++0 < ε, podmíka defiice ity je splěa. Shrňme postup do ásledujících kroků. Jestliže máme dokázat z defiice, že posloupost (a ) má vlastí itu L, potom. Napíšeme rovici a L < ε, kde ε považujeme za kladý parametr. a. Jestliže umíme erovici vyřešit vzhledem k parametru ε, učiíme tak. b. Jestliže erovici vyřešit eumíme, sažíme se výraz a L vhodě odhadout seshora, aby se řešeí zjedodušilo.. Z řešeí erovice ajdeme pro každé ε > 0 číslo N, které splňuje defiici ity. I.. Necht +. Pomocí defiice ity poslouposti dokažte, že. + Návod. Volme ε > 0 libovolě a řešme erovici + < ε + < ε + < ε > ε. Z toho plye, že pokud položíme N zaokrouhleo ahoru (jedičku přičítáme, aby N bylo přirozeé), pak ε pro všechy > N je uvedeá erovost pravdivá. Pro libovolé ε > 0 tedy umíme ajít N (pomocí vzorce ε zaokrouhleo ahoru) tak, že pro každé > N je < ε. Podle defiice je itou poslouposti ( ). Vyecháí koečě moha čleů. Neí obtížé z defiice dokázat, že platí ásledující věta. Jestliže posloupost (a ) + má itu L, potom pro každé p přirozeé má posloupost (a +p) +, vziklá vyecháím prvích p čleů původí poslouposti, také itu L. Vyecháím koečě moha čleů se tedy ezměí ita poslouposti. S ohledem a teto fakt učiíme ásledující úmluvu. Mějme apříklad vypočítat itu poslouposti a, kde,,.... Zlomek pro eí defiová a zadáí tedy striktě vzato emá smysl. Přitom ale, at třetí 8
čle poslouposti dodefiujeme jakkoliv, její ita bude stále ulová. Z tohoto důvodu od této chvíle budeme při počítáí ity poslouposti připouštět, že daá posloupost emá koečý počet čleů defiová (respektive si představujeme, že je v těchto čleech dodefiováa zcela libovolě). I.. Pomocí defiice vlastí ity poslouposti dokažte, že a) ( )+, b) +, c)!, d) ( ) 0,999. 0 pro ásledující poslouposti: + Návod. Dokázat z defiice kovergeci k ule zameá dokázat tvrzeí: pro každé ε > 0 eistuje N N tak, že pro každé N, > N platí 0 < ε. K tomu použijte ásledujících odhadů: a) ( )+ N zaokrouhleo ahoru. ε b) +. Nyí si uvědomte, že erovost < ε je splěa pro všecha větší ež. Stačí tedy položit ε. Nerovost < ε je splěa pro všecha větší ež + c) a dále jako v a).! ( )( )... d) ( ) 0,999 0,999. Řešme tedy erovost 0,999 < ε, kde ε > 0. Logaritmováím dostaeme erovost log 0,999 < log ε a odtud děleím > (ebot logaritmus čísla mešího ež je záporý). log ε log 0,999 I.. Pomocí defiice vlastí ity poslouposti dokažte, že ε. + 0, pokud <. Návod. Máme dokázat, že pro každé ε > 0 eistuje N přirozeé tak, že pro > N je < ε. Řešme tuto erovici: < ε < ε log < log ε log < log ε > log ε log. V posledí erovosti se obrací zaméko, protože log < 0 (jelikož < ). Odtud plye, že stačí volit za N jakékoliv přirozeé číslo větší ež log ε log. II. Nevlastí ita poslouposti Důvod, proč reálá posloupost emusí mít vlastí itu, může být v zásadě dvojího druhu. Bud mohou čley poslouposti růst ad všechy meze či klesat pod každou mez. O takových posloupostech říkáme, že mají evlastí ity plus či mius ekoečo. Druhý důvod tkví v tom, že čley poslouposti skáčou, oscilují od jedoho čísla k druhému. Takové poslouposti emají ai vlastí, ai evlastí itu. Nevlastí ity reálé poslouposti. Uvědomíme-li si, jak vypadají okolí ekoeča v reálém případě, můžeme defiici evlastí ity přepsat takto: reálá posloupost (a ) + má evlastí itu +, jestliže je splěa podmíka: Pro každé K reálé eistuje N přirozeé tak, že pro každé > N je a > K. Podobě reálá posloupost (a ) + má evlastí itu, jestliže je splěa podmíka: Pro každé K reálé eistuje N přirozeé tak, že pro každé > N je a < K. Důkaz, že ita reálé poslouposti je evlastí, probíhá jedoduše: v podstatě se řeší erovice a > K, popřípadě a < K, kde K vystupuje v roli parametru. Pokud jsou řešeím všecha přirozeá čísla od ějakého N počíaje, kde N dokážeme udat předpisem pomocí parametru K, pak je důkaz hotov. Uvědomme si také, že parametr K emusí probíhat všecha reálá čísla, ale stačí, když abývá pouze všech hodot větších resp. meších, ež je jakákoliv pevě daá mez, apříklad 0. To může důkaz usadit. Příklad. Dokážeme, že posloupost a má evlastí itu +. Volme tedy libovolé reálé číslo K a řešme erovici a > K, tedy po dosazeí za a řešíme erovici > K. Vidíme, že řešeím jsou všecha přirozeá taková, která jsou větší ež K zaokrouhleo ahoru. Pro libovolé K tedy umíme ajít N (je to K zaokrouhleo ahoru) takové, že všecha přirozeá čísla > N jsou řešeím erovice a > K. Tím je ověřea podmíka defiice evlastí ity v plus ekoeču. 9
Podobě jako u vlastích it i zde pozameejme, že občas se erovice a > K (resp. a < K) špatě řeší. Pak se hodí použít jedoduchý odhad, který erovici zjedoduší. Příklad. Dokážeme, že posloupost a α + β + γ, kde α, β, γ jsou reálá čísla a α > 0, má itu +. Řešme tedy erovici s parametrem a > K, po dosazeí α + β + γ > K. Tato rovice se obecě řeší velmi špatě. Proto použijeme jedoduchý odhad zdola: α + β + γ α. Stačí ám tak vyřešit erovici α > K. Pokud se omezíme a K > 0 (což můžeme), je tato erovice ekvivaletí erovici > K α. Položíme-li N K α zaokrouhleo ahoru, pak vidíme, že pro každé > N je splěa erovice α > K a tím spíše tedy erovice a α + β + γ > K. Důkaz je hotov. Pojem evlastí ity se liší u reálých a u kompleích posloupostí. Důvodem je, že a možiě kompleích čísel eí defiováo uspořádáí. Nevlastí ita kompleí poslouposti. Necht (z ) je posloupost kompleích čísel. Přepis defiice je v tomto případě ásledující: ita poslouposti (z ) je, jestliže je splěa podmíka Pro každé K reálé eistuje N přirozeé tak, že pro každé > N je z > K. Jiými slovy, kompleí posloupost má itu ekoečo, jestliže posloupost absolutích hodot (což je reálá posloupost) diverguje do plus ekoeča. Příklad. Ukážeme, že posloupost ( ) v reálých číslech emá itu (ai evlastí), zato v kompleích číslech diverguje do ekoeča. V reálých číslech posloupost emůže mít itu, protože její sudé čley jsou větší ež a její liché čley meší ež. Nemůže mít tedy evlastí itu (evyroste ad ai eklese pod pro všechy čley od ějakého počíaje). Nemůže mít ai vlastí itu, protože každé dva sousedí čley se od sebe liší ejméě o přitom, aby posloupost byla kovergetí, musely by se od ějakého čleu počíaje lišit je velmi málo od své ity a tedy také velmi málo samy od sebe. Naopak v kompleích číslech diverguje do ekoeča, protože ( ), a my už víme, že posloupost () má evlastí itu +. II.. Dokažte, že poslouposti a), b) log(log ) mají evlastí itu + v reálých a v kompleích číslech. Návod. Dokazujeme, že pro libovolé kladé číslo K eistuje N N tak, že > K (resp. > K) pro všecha > N. a) Pro položme N (log K) zaokrouhleo ahoru, ebot log K K a je ostře rostoucí fukce. b) Položme N 0 0K zaokrouhleo ahoru, ebot log(log 0 0K ) log 0 K log 0 K log 0 log 0 K. III. Základí metody výpočtu it posloupostí Defiice vybraé poslouposti. Necht (a ) je posloupost, reálá či kompleí. Necht dále (k i ) + i je posloupost přirozeých čísel taková, že k < k < k <.... Potom ovou posloupost (a ki ) + i (a k, a k, a k,...) azveme vybraou posloupostí z poslouposti (a ) ebo též podposloupostí (a ). Pojmeováí je výstižé: vybraou posloupost opravdu tvoří ěkteré vybraé čley původí poslouposti. Mějme apříklad posloupost ( ) (0, 0,, 0, 0, 6, 0, 0, 9,... ). 0
Potom podposloupost ( ) obsahující její každý třetí čle je posloupost ( ( ), 6, ) 9,.... Platí ásledující užitečá věta, jejíž důsledek se velmi často používá pro důkaz divergece poslouposti. Věta o itě vybraé poslouposti. Necht posloupost (a ) má itu a. Potom i každá její podposloupost má itu a. Důsledek. Pokud lze z poslouposti vybrat dvě podposlouposti mající růzé ity, pak původí posloupost diverguje. Věta o itě skorovybraé poslouposti. Pro účely věty o itě vybraé poslouposti je požadavek a podposloupost příliš přísý. Lze lehce ukázat, že platí ásledující zobecěí: Necht posloupost (a ) má itu a, echt (k ) je posloupost přirozeých čísel mající itu +. Pak i posloupost (a k ) má za itu číslo a. Posloupost (a k ) azýváme skorovybraá posloupost z poslouposti (a ). Omezeost. Mějme posloupost reálých čísel (a ). Řekeme, že tato posloupost je shora omezeá, jestliže eistuje M R tak, že a M pro každé N, zdola omezeá, jestliže eistuje M R tak, že a M pro každé N, omezeá, jestliže eistuje M R tak, že a M pro každé N. Je jedoduché dokázat, že posloupost reálých čísel je omezeá, právě když je zdola i shora omezeá. Pojem omezeosti (e však omezeost shora, zdola) takto defiovaý má smysl i pro kompleí poslouposti. Platí ásledující důležité věty, které se často používají pro důkaz divergece posloupostí. Věta. Každá kovergetí posloupost je omezeá. Každá reálá posloupost mající evlastí itu + je omezeá zdola a eí omezeá shora. Každá reálá posloupost mající evlastí itu je omezeá shora a eí omezeá zdola. Obráceé věty eplatí, apříklad omezeá posloupost emusí být kovergetí. Platí ale o ěco slabší tvrzeí. Bolzao-Weierstrassova věta. Z každé omezeé poslouposti lze vybrat kovergetí podposloupost. Aritmetika it. Následující věta, které se často říká také věta o aritmetice it, je základím ástrojem pro určováí it posloupostí. Věta o aritmetice it posloupostí. Necht a, b jsou poslouposti reálých či kompleích čísel. Potom ásledující rovosti platí, pokud má pravá straa smysl. + b ) + +, + + b ) +, + + b ) +, + + a + b + a + b Pravá straa má smysl vždy, pokud jsou příslušé ity vlastí, s výjimkou ve čtvrtém případě, kdy vylučujeme děleí ulou. Pro případ, že jsou ěkteré ity evlastí, defiujeme pro všecha, y R + (+ ) (+ ) + + pro >, + ( ) ( ) + pro < +, (± ) (± ) ± pro > 0, (± ) (± ) pro < 0, 0, (± ) ; ± y + ( y), y, pokud je def. pravá straa. y Závorky v ěkterých případech, kde ehrozí edorozuměí, epíšeme. V edefiovaých případech pravá straa emá smysl. Nedefiováy zůstaly pro všecha R výrazy + (+ ), ( ), + + ( ), + (+ ), 0 (± ), ± ±, 0. V případě kompleích čísel podobou aritmetiku ezavádíme. Případ kompleích posloupostí můžeme převést a reálý případ. Platí totiž ásledující věta:
Věta o itě kompleí poslouposti. Kompleí posloupost (a +b i), kde a, b R, má vlastí itu a + bi, kde a, b R, právě když reálé poslouposti (a ), (b ) mají vlastí ity a a b. V případě evlastí ity pak stačí zkoumat reálou posloupost absolutích hodot, jak dokládá ásledující věta: Věta o itě abs. hodoty poslouposti. Platí a a + a a. + Pokud a 0 ebo a, platí zde dokoce ekvivalece, tj. i směr zprava doleva (klademe ± + ). III.A. Limity posloupostí ve tvaru racioálí fukce či její odmociy Limity posloupostí ve tvaru racioálí fukce se určují jedoduše vytkutím proměé s ejvětším epoetem a ásledým použitím věty o aritmetice it. Určete ásledující ity posloupostí. III.. 0000 + + Návod. Vytkeme a použijeme větu o aritmetice it: III.. + 0000 + + + 0000 + + + + ( + ) ( + ) + ( + 4) 0000 + + + + + 0 0000 + + Návod. Z čitatele i jmeovatele vytkeme s ejvyšším epoetem: + + ( + ) ( + ) + ( + 4) + + 0000 + 0 0000 0. + ( + ) + ( + ) + ( + 4 ) +. III.. 8 ( ) + ( ) + Návod. Z čitatele i jmeovatele vytkeme s ejvyšším epoetem, což je : 8 ( ) 6 + + ( ) + + + + 6 + + 0 + 0 0 + 0 4. III.4. + + + ( + ) + ( + ) + ( + ) Návod. Z čitatele i jmeovatele vytkeme s ejvyšším epoetem: + + + + ( + ) + ( + ) + ( + ) + + + 0 + 0. ( + ) + ( + 4 + 4 ) + ( + ) 0 + 0 + a α + a α +... + a p αp III.5., kde p, jsou přirozeá čísla, ostatí čísla jsou reálá a platí + b β + b β +... + b β a 0, b 0 a α >... > α p, β >... > β
Návod. Z čitatele i jmeovatele vytkeme s ejvyšším epoetem, tedy α a β. Dostaeme a α + a α +... + a p αp α + b β + b β +... + b β + a + aα α +... + a p αp α β b + b β β +... + b β β Nyí zřejmě ita druhého zlomku je a b, ebot γ, kde γ je záporé, koverguje k ule. Limita prvího zlomku eí jasá, mohou astat tři případy. Výpočet pokračuje takto: a b + α β 8 >< >: + pro α > β a a b > 0, pro α > β a a b < 0, a b pro α β, 0 pro α < β. Nyí přejdeme k itám, v ichž se vyskytují odmociy, resp. racioálí epoety. Vytkutí s ejvyšším epoetem fuguje i zde, pokud eastae případ, kdy se odčítají dva čley stejého ejvyššího řádu se stejým koeficietem. Teto případ si echáme a později, ted procvičíme metodu vytýkáí z odmoci. Budeme potřebovat ásledující větu: Věta o itě odmociy poslouposti. Necht (a ) je posloupost ezáporých čísel a r N. Necht pak eistuje také ita poslouposti ( r a ) a platí a L, + r a r L. + Pokud je L 0 ebo L + (klademe r + + ), je tvrzeí triviálí. Pro L > 0 pak plye z úpravy r a r a L L r a r + r a r r r L +... + r a L r + r L r, kde pro dostatečě velká je a a L ε a L L ε, kde ε > 0, takže jmeovatel lze odhadout apříklad čleem r r (L ε) r r(l ε). III.6. + 4 ( + ) + 4 8 ( ) 7 Návod. V čitateli jsou čley, 4 p ( + ) a. Prví a posledí jsou prvího řádu (ebot ) a prostředí je řádu 4, eí tedy zajímavý. Čley prvího řádu se od sebe odčítají, ale emají u sebe stejé koeficiety. U prvího je koeficiet, u druhého. Podobě ve jmeovateli jsou dva čley prvího řádu a jede řádu 7, te je ezajímavý. Čley prvího řádu se 8 odčítají, ale protože u ich estojí stejé koeficiety (4 ), eí to opět problém. Výpočet tedy lze provést vytkutím s ejvětším epoetem: + 4p ( + ) + 4 8p ( ) 7 + 4 (+) + 4 III.7. + + + + + 4 8 ( ) 7 8 + 0 4 0. Návod. + s r + p + + + + + + + + 4 + p 0 + 0 + 0 + 0. III.8. + + + 4 + +
Návod. V tomto případě, kdy eí hed zcela jasé, která z moci je vlastě ejvětší, je lepší vytýkat opatrě a postupě. s s + p r + + r 4 + + + + + + 4 4 + + + + + + + s + r + + 4 + + p + r + 0 + + +. + 0 Nyí se podíváme a horší případ, kdy se odčítají dva čley stejého ejvyššího řádu se stejými koeficiety. Pomůže použití vzorce III.9. ( ) + + A B (A B) A k B k. k0 Návod. Sado se přesvědčíme, že vytkutí efuguje, ebot ( + ) + + r + r! + ( ) + 0 a to je edefiovaý výraz, větu o aritmetice it elze použít. Je třeba použít vhodé rozšířeí: ( + + + + + ) 0. + + + + + + + + + + III.0. ( ) + + Návod. Obdobě jako v předchozím příkladu vede vytkutí a eurčitý výraz 0 +. Vhodě rozšíříme: ` ` + + + + + + + + + + + yí vytkeme ze jmeovatele a zkrátíme III.. Návod. III.. + + ( + ) + + + + + + + + +. p + p p + p + + + + + + + ( ) + + + ( + + ) + + + + + + 0 + + 0. Návod. p + + p + + p + + p + + + + + + + + + + 4
III.. ( + + ) ( + ) + + + + + + + + + ( + + ) + + + + + + + +. + + Návod. Od předchozího příkladu se teto liší velmi eápadě, přesto dostaeme jiý výsledek. p + + p + + III.4. p + + p + + + + + + + + + + ( + + ) ( + ) + + + + + + + + + + + + + + + +. + Návod. + + + + r! + + + + + + 0. + ( ) III.5. + + + Návod. Rozšiřujeme podle vztahu (A B ) (A B)(A + AB + B ). Proved me to kokrétě: ve jmeovateli máme rozdíl dvou čleů stejého řádu, chtěli bychom jej tedy rozšířit. Představíme si jmeovatel jako rozdíl dvou čleů A B, kde A + +, B a budeme tak rozšiřovat čleem + A + AB + B p ( + + ) + p + + p + p ( ). + + + Tím se ve jmeovateli zbavíme odmoci, čitatel zůstae a dostáváme + + p ( + + ) + + + + p ( ) p ( + + ) + + + + p ( ) + p ( + + ) + + + + p ( ) ( + + ) ( ) p ( + + ) + + + + p ( ) + + 4 yí vytkeme ejvyšší mociu z čitatele a výpočet dokočíme obvyklým způsobem III.6. + + 4 ( + + ) + + + + ( ) ( + 4 ) ( + + ) + + + + ( ) + 4 ( + α + ), kde α R 5 + +.
Návod. V itě máme zadá parametr α. Upravíme proto itu a tvar, kdy podle hodoty parametru α budeme moci rozhodout o itě. p + α + p p + α + p p ( + ) + + + p ( ) p ( + ) + + + p ( ) ( + ) ( ) + α p ( + ) + + + p ( ) α + 4 ( + ) + + yí použijeme větu o aritmetice it a dostaeme a yí rozlišíme tři případy: α + 4 + α + 4 8 ( + ) + + + ( ) + ( ) p ( + 0) + + 0 0 + p ( 0) α 4 : >< α < 4 : α + 4 α + 4, α + 4 0 0, >: α > 4 : α + 4 + +. III.7. ( + α + ), kde α R Návod. Nejprve rozšíříme vější odmociy a uvidíme, co dostaeme. + α + «+ α + «p + + p p + + p + α Použití věty o aritmetice it dává: Nyí rozlišíme tři případy: ( + ) ( ) p + + p + α 8 + α + + + α α : >< α < : + + + α. + α 0, «>: α > : + α +. III.8. ( + α + ), kde α R. 6
Návod. Obdobě jako v miulém příkladu ejprve rozšíříme vější odmociy a uvidíme, co dostaeme. + α + «+ α + «p + + p p + + p + α Použití věty o aritmetice it dává: Nyí rozlišíme tři případy: ( + ) ( ) p + + p + α 8 + α + 5 + + α α : + 5 + 5 + α. «5 >< α < : + α 0, >: α > : + α +. III.9. + i0 k a i + i, pokud je k a i 0. i0 Návod. Limita je ulová, což dokážeme idukcí. Jestliže k, pak z podmíky a 0 a, a tedy + a0 + a + ` + a0 + + a0 X a i a 0 + a 0 plye, že i0 + + «0. Idukčí předpoklad je, že tvrzeí platí pro přirozeá čísla,..., k, a dokazujeme jej pro k. Položme B a 0 a... a k. Platí, že + i0 kx a i + i + "! k X a i + i + B + k + (a k B) # + k + a k + k i0 k X Nyí prví ita je rova ule aplikací idukčího předpokladu, protože B + a i 0 a těchto čleů je celkem k. Odtud také plye, že a k + a k B 0, a tedy a k B a k. Výpočet pokračuje «0 + a k + k + ak + k a k 0. + + + k + + k Tvrzeí je idukcí dokázáo. i0 III.B. Geometrická posloupost Geometrickou posloupostí se azývá posloupost a 0, a 0, a 0, a 0,..., která vziká přeásobeím předchozího čleu určitým číslem. Číslu se říká kvociet. Vzorec pro -tý čle a rekuretí vzorec jsou jedoduché: (bývá výhodé výjimečě ideovat od uly a e od jedičky) a a 0, a + a. 7
Pokud ebo a 0 0, je geometrická posloupost kostatí, má tedy za itu číslo a 0. Ostatí případy jsou ásledující:. V případě reálé poslouposti platí: pokud >, posloupost diverguje do + či (podle zaméka a 0 ), což lze sado ukázat z defiice ity. Pokud, pak posloupost osciluje mezi kladými a záporými čísly a emá itu, ebot lze vybrat podposloupost sudých a lichých čleů s růzými itami ±. V případě < posloupost koverguje k ule, jak se opět sado ukáže z defiice ity.. V případě kompleí poslouposti a > posloupost diverguje do, pro < koverguje k ule; v případě a posloupost ekoverguje, viz příklad III.. Užijte těchto faktů při výpočtu ásledujících it reálých posloupostí. ( ) ( III.0. a) + b) c) d) + + ) + ( ) Návod. a) +, b) 0, c) 0, d) emá itu. III.. + ( ) + ( ) + + + Návod. Vhodým vytkutím plye + ( ) + ( ) + + + + + + ` ` + + + 0 + 0 +. III.. + + + 4 + 5 + 5,000 Návod. Mohli bychom postupovat vytkutím, ale zde to jde jedodušeji. Limitu roztrheme pomocí věty o aritmetice it a pět kusů. «+ + + 4 + 5 «+ + + 5,000 + 5,000 + 5,000 «««4 5 + + + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 0, + 5,000 + 5,000 + 5,000 ebot v každé závorce je kvociet v absolutí hodotě ostře meší ež jeda. III.. Bud, a 0 C,, a 0 0. Ukažte, že kompleí posloupost a 0, 0,,,... emá itu, pokud. Návod. Předpokládejme, že ita poslouposti eistuje, ozačme ji L. Podle věty o itě vybraé poslouposti musí eistovat též ita podposlouposti a 0,,,... a musí být rova L. Podle věty o aritmetice it tato podposloupost má itu L. Musí tedy platit L L, odkud kráceím (L 0 podle věty o itě absolutí hodoty poslouposti, ebot a 0 a 0 0). Dokázali jsme, že pokud ita původí poslouposti eistuje, je utě. Odtud plye, že pokud, ita původí poslouposti eeistuje. IV. Hlubší věty o itě poslouposti V této kapitole se podíváme, jak souvisí s itou poslouposti její mootoie a jaký vliv má erovost mezi posloupostmi a erovost mezi jejich itami. Tyto obecé věty pak použijeme v ásledujících kapitolách a odvozeí růstové škály a vlastostí Eulerova čísla. Mootoie. Mějme posloupost reálých čísel (a ). Řekeme, že tato posloupost je ostře rostoucí, jestliže pro libovolé N platí a + > a, rostoucí, jestliže pro libovolé N platí a + a, klesající, jestliže pro libovolé N platí a + a, ostře klesající, jestliže pro libovolé N platí a + < a. 8
Souhrě říkáme, že posloupost je mootóí, pokud astává alespoň jede z těchto čtyř případů a ryze mootóí, pokud je ostře rostoucí ebo ostře klesající. Termiologie zde poěkud ešt astým způsobem kolísá. Místo čtveřice pojmů ostře rostoucí rostoucí klesající ostře klesající se ěkdy používá ve stejém pořadí čtveřice pojmů rostoucí eklesající erostoucí klesající. Slovo klesající tedy má v české matematické literatuře dva kofliktí výzamy a je uto vždy dávat pozor, jakou defiici který autor používá. Mootoie s itou úzce souvisí. Následující věty se používají třeba pro poslouposti zadaé rekuretě ebo pro důkaz eistece ity, pokud ji eumíme či echceme přímo spočítat. Věta. Každá mootóí posloupost má itu (vlastí či evlastí). Každá shora omezeá a roustoucí posloupost má vlastí itu, tj. je kovergetí. Každá zdola omezeá a klesající posloupost má vlastí itu, tj. je kovergetí. Každá omezeá a mootóí posloupost má vlastí itu, tj. je kovergetí. Limita a erovosti. Neostrá erovost, která platí mezi dvěma reálými posloupostmi, se přeáší i a jejich ity, jak ukazuje ásledující věta. Věta o erovostech mezi itami. Necht eistují ity reálých posloupostí a echt a b pro všecha. Pak platí a b. + + a a b + + Velmi často se používá ásledující věta zámá pod růzými ázvy: Věta o itě sevřeé poslouposti (o srováí, o strážících). Necht (a ), (b ), (c ) jsou poslouposti reálých čísel a platí Potom eistuje také ita a b c pro všecha a a c. + + b a platí, že + b + a + c. + Velmi často používaým důsledkem této věty je věta o omezeé krát ulové poslouposti: Věta o itě omezeé krát ulové poslouposti. Necht (a ) je omezeá posloupost a Potom eistuje také ita a b a platí, že + b 0. + a b 0. + Věta sado plye z věty o itě sevřeé poslouposti a odhadu 0 a b K b, kde K > 0 je vhodá kostata. V. Růstová škála V této kapitole odvodíme ity zajímavé z teoretického hlediska i užitečé pro budoucí výpočty. Budeme se po řadě zabývat podíly ásledujících posloupostí: l α, β, a,!, kde α, β > 0 a a >. Všechy tyto poslouposti za uvedeých podmíek rostou ad všechy meze do ekoeča, viz prví příklad. My se budeme zabývat poěkud jemější otázkou a to jak rychle rostou. Ukážeme, že v tomto pořadí jsou seřazey od ejlíějšího logaritmu po ejrychlejší, přičemž ijak ezáleží a tom, kolik je α, β ebo a, pokud splňují uvedeé podmíky. Přesěji: budeme počítat ity l α + β, β + a, a +!,! +. 9
Ukážeme, že všechy tyto ity jsou rovy ule, pokud α, β > 0 a a >. Uvedeé ity se ejčastěji pamatují pod pravidly: mocia přebije logaritmus, epoeciála přebije mociu, a tak dále. Budeme také potřebovat ásledující větu. Věta o itě mociy poslouposti. Necht (a ) je posloupost ezáporých čísel a r > 0. Potom pokud + a L, pak eistuje také ita poslouposti (a r ) a platí + ar L r. Pro případ, že r je přirozeé číslo, toto tvrzeí okamžitě plye z věty o aritmetice it. V případě, že r je tvaru N, plye tvrzeí z věty o itě odmociy. Odtud už tvrzeí plye pro r racioálí kombiací předchozích dvou speciálích případů. Rozšířeí a reálá čísla eí jedoduché a stadardí důkaz využívá obtížějších vět z teorie it fukcí: Heieho věty, větu o itě složeé fukce a spojitosti mocié fukce. Eistuje ale i přímý důkaz pomocí mootoie mociy, věty o itě sevřeé poslouposti a faktu, že každé reálé číslo je supremem možiy všech meších racioálích čísel a lze jej tedy sevřít libovolě blízko mezi dvě racioálí čísla. (Vlastě se tak imituje důkaz spojitosti mocié fukce.) V.. Dokažte, že pro α, β > 0 a a > divergují ásledující poslouposti do + : a) l α, b) β, c) a, d)!, e). Návod. Díky faktu, že všechy uvedeé poslouposti jsou (ostře) rostoucí (v prvích třech případech to plye z vlastostí příslušých fukcí, ve čtvrtém a pátém případě je lehké to dokázat), stačí ukázat, že žádá z ich eí omezeá shora. Pro libovolé daé K > 0 ajdeme N tak, aby příslušý N-tý čle poslouposti byl větší ež K. a) Položme za N libovolé přirozeé číslo tak, aby bylo větší ež e K α. Je totiž «l α e K α l e K α α K α α l e K α α K α α K. b) Položme za N přirozeé číslo větší ež K β. Máme (K β ) β K. c) Položme za N přirozeé číslo větší ež log a K. Je a log a K K. d) Protože zřejmě!, stačí položit N K zaokrouhleo ahoru. e) Stačí položit N K zaokrouhleo ahoru. Pro K je K K K K. V.. (Podílový test) Dokažte ásledující tvrzeí: Necht (a ) je posloupost kladých čísel. Necht N N a R takové, že a + a < pro všecha N přirozeá. Potom pro každé N platí, že a a N N a + a 0. Návod. Důkaz erovosti se provede idukcí. Pro N + tvrzeí platí, ebot a N+ a N N+ N an+ a N, což je pravda podle předpokladu tvrzeí. Předpokládejme yí platost tvrzeí pro N a dokazujme jej pro +. Pak a + a + a, a yí využijeme idukčí předpoklad, totiž že dokazovaá erovost platí pro, a tedy a a N N. Dostaeme což jsme chtěli dokázat. a + a a N N a N + N, Nyí použijeme větu o itě sevřeé poslouposti. Máme odhad (pro N, kde N je pevě daé přirozeé číslo), že 0 a a N N. Platí ale, že ebot podle příkladu I. je 0 0 a + + an N a N N + 0, protože <. Tedy i a 0. + 0 + a N N 0 0,
V.. (Podílový test ití verze) Dokažte ásledující tvrzeí: Necht (a ) je posloupost kladých čísel. Necht platí, že a + <. + a Potom platí, že a 0. + a Návod. Stačí použít předchozí tvrzeí. Ozačme + + a L. Podle předpokladu je 0 L <. Volme ε L. Potom ε > 0 a z defiice ity plye, že musí eistovat N takové, že pro N platí a+ L < ε. Tato erovost se dá přepsat do podmíek ε < a+ a Z defiice ε vyplývá, že L + ε L + L Odtud plye, že pro N platí erovost a L < ε L ε < a+ a < L + ε. L + a + < L + <. a Zjišt ujeme, že uvedeá posloupost (a ) splňuje předpoklady předchozího tvrzeí (podílového testu) pro L+. Podle předchozího tvrzeí musí být a 0. + <. V.4. (Faktoriál vs. ) Dokažte, že! + 0. Návod. Použije se věta o itě sevřeé poslouposti. Platí totiž, že 0!... ( )... přičemž poslouposti a obou krajích kovergují k ule., Alterativě se dá použít i ití verze podílového testu. K tomu je třeba zát itu e je Eulerovo číslo. Tu si ukážeme v ásledující kapitole. V.5. (Epoeciála vs. faktoriál) Dokažte, že pro libovolé a > je a +! 0. Návod. Použije se ití verze podílového testu. Platí totiž a + (+)! + a! a +! + a ( + )! + a + 0 <. ( + + ), kde e V.6. (Mocia vs. epoeciála) Pro β > 0 a a > dokažte, že β + a 0. Návod. Stačí použít ití verzi podílového testu. Platí totiž, že + (+) β a + ( + ) β β a + β a a + a + + Dodejme, že ( + + )β β plye z věty o itě mociy poslouposti. «β a <.
V.7. (Logaritmus vs. mocia) a) Dokažte, že pro libovolé α > 0 (tj. libovolě velké) je l α + 0. b) Odtud odvod te silější tvrzeí, že dokoce pro libovolé β > 0 (tj. libovolě malé) je l α + β 0. Návod. b) lehko plye z a) pomocí věty o itě mociy poslouposti, ebot l α + β +! l α β β 0 β 0. Zbývá dokázat a). Podílový test tetokrát epomůže. Uvědomte si ale, že v zásadě stačí dokázat erovost, že pro libovolé m přirozeé platí od ějakého N počíaje pro všecha N l m. ( ) Bereme-li toto tvrzeí za pravdivé, pak stačí zvolit m > α a je pro N 0 lα a použít větu o itě sevřeé poslouposti. lm l m α l m α + 0 Pro dokočeí řešeí příkladu stačí tedy dokázat erovost ( ). Za tím účelem substituujeme e y (pro každé přirozeé takové y reálé eistuje). Dostaeme tak erovost l m e y e y y m e y. Položme yí Y rové y zaokrouhleému dolů. Potom Y 0 a platí, že y m (Y + ) m, e y e Y e ey +. Stačí tedy dokázat erovost (Y + ) m e ey + (Y + )m e Y + e. Ta ale jistě platí pro každé přirozeé Y větší ež vhodé přirozeé číslo M, protože ita levé stray pro Y + je ulová, jak víme z předchozího příkladu. Tím je důkaz erovosti ( ) pro > e M hotov a stačí položit N e M zaokrouhleo ahoru. Pozameejme a tomto místě, že růstová škála platí podobě také pro fukce. Podívejte se třeba a příklad XXI.. V ásledujícím příkladu spočítáme ěkteré základí ity, v ichž se vyskytuje -tá odmocia. Otázka svým způsobem zí, jak moc rychle musí posloupost a růst, aby posloupost b a rostla ad všechy meze. V.8. (Růstová škála vs. -tá odmocia) Necht a > 0. Dokažte, že platí: a) a, b), c) a, d)! +. + + + + Návod. Začeme od koce. d) Dá se sado dokázat idukcí, že platí k( k + ) pro k,,...,. Odtud plye! ( )......, eboli!, odkud! +. Tvrzeí pak plye z věty o erovostech mezi itami. c) Plye ihed z b) pomocí věty o itě mociy poslouposti, ebot a + ` a + + «a a.
a) Stačí dokázat tvrzeí pro a >, ebot pro a je zřejmé a pro 0 < a < je > a vše vyplye počítáím a pomocí věty o itě podílu: a + Pro a > si ukážeme čtyři možá řešeí. s + a + a + a. ) Posloupost je zřejmě klesající a zdola omezeá, ebot a > pro libovolé N. Musí tedy být kovergetí. Eistuje tedy a L. Zároveň musí eistovat a být ji rova ita vybraé poslouposti + + a L. Na druhou strau ovšem musí platit L a + (a ) + + a «L L. Musí tedy být rovo L L, což je možé jediě tehdy, jestliže L ebo L 0. Protože a > pro každé, epřichází ula v úvahu. ) Dokážeme, že pro libovolé ε > 0 eistuje N tak, že pro každé N je a + ε. Pokud to dokážeme, pak jsme vlastě dokázali itu z defiice. Pro spor tedy předpokládejme, že tomu tak eí, tz. že eistuje ε > 0 takové, že pro libovolě velké N eistuje N tak, že je a > + ε. Pak by ale a > ( + ε) pro libovolě velké. Protože posloupost ( + ε) diverguje do +, eí to možé, ebot a je pevě daé reálé číslo, tj. a < +. ) Sadé řešeí umožňuje kalkulus it fukcí (viz kapitola ), kokrétě věta o itě složeé fukce spolu s Heieho větou: je totiž a a + + + (el a ) e l a l a e + e 0. + 4) Klasické řešeí poskytuje tzv. Beroulliova erovost, která říká, že pro každé (dokoce ) platí, že ( + ) + pro každé přirozeé. Tato erovost se jedoduše dokáže matematickou idukcí. Potom lze využít odhad pro a > a ( a) ( + ( a )) + ( a ), z čehož ihed vyplývá, že 0 a a + 0. Zbytek zařídí věta o itě sevřeé poslouposti. b) Všechy postupy ukázaé v části a) lze použít i zde. ) Pro postup ) eí hed jasé, že posloupost je klesající (platí pro ), důkaz lze provést s využitím vlastostí posloupostí sloužících pro defiici Eulerova čísla (viz kap. VI.). ) Pro postup ) je potřeba odůvodit, že pro libovolé ε > 0 je od určitého N počíaje je pro N platá erovost ( + ε). Ta je splěa díky růstové škále, protože (+ε) +, jistě tedy od ějakého N počíaje je (+ε). Bez růstové škály bychom se ale také obešli. Stačí použít z biomické věty plyoucí odhad ( + ε) + ε + ( ) ε. l ) Kalkulus fukcí fuguje s přehledem, opět ale za pomoci růstové škály pro fukce (je 0). + + + + (el ) e l l e + e 0. + 4) Beroulliovu erovost lze použít též, ale ejde to tak přímočaře jako v případě a). Díky í platí odhad pro sudé ( ) ( + ( )) + ( ) + ( ). Pro liché lze dostat stejý odhad, pouze dva kroky jsou přehozeé a využije se mootoie fukce b pro b > : ( ) ( + ( )) ( + ( )) + ( ). Z obou odhadů plye, že pro libovolé přirozeé platí Proto podle věty o itě sevřeé poslouposti 0 ( ) ( ) 0 + 0.. +
VI. Eulerovo číslo e Mezi všemi epoeciálími fukcemi zaujímá jeda výzačé postaveí a to ta, jejímž základem je Eulerovo číslo e. Také mezi logaritmy eistuje jede výzačý logaritmus (přirozeý), což je opět logaritmus při základu e. Obě fukce jsou výjimečé už je svými vzorci pro derivaci: třeba e je jediá fukce (až a faktor), která je zároveň i svou derivací. Proto se Eulerovo číslo e těší začé pozorosti. Jsou růzé ekvivaletí možosti, jak jej defiovat. Nejčastěji se to dělá jedou z ásledujících it: e + ( + ), e + ( 0! +! +! +... +! Eistují ale i růzé jié charakterizace. Například číslo e je jedié reálé číslo, pro které platí (viz př. XXII.) e, 0 což je důležitá ita fukce pro odvozeí moha základích vzorců pro derivace fukcí, v prví řadě pro samotou epoeciálu, ale také třeba pro mociou fukci s reálým epoetem. VI.. (Defiice Eulerova čísla) Dokažte, že posloupost ( + ),,,... je ostře rostoucí a omezeá a že posloupost ( y + ) +,,,... je ostře klesající a omezeá. Odtud pak odvod te, že obě tyto poslouposti mají společou itu, která se ozačuje písmeem e. Návod. Ukázat, že posloupost ( ) je ostře rostoucí, vlastě zameá ukázat erovost + >, což pro kladé poslouposti je ekvivaletí erovosti + >. Odhadujeme + «+ «+ + + použitím Beroulliovy erovosti ( + ) ( + ) ( + ) ««+ + «+ + + + + ( + ) ( + ) + ( + ) >. ). «+ ( + ) + Posloupost ( ) je zřejmě omezeá, ebot zřejmě < y pro všecha a (y ) je ostře klesající, viz dále.! Omezeost shora můžeme ukázat i přímo takto: je ( )( )... ( k + ) ( k)! k, a tedy 0 + «! X k X! k ( k)!k! X k k! k0 + +! +! +... +! + + + +... +, ` ebot ita + +... + +. Protože posloupost () je mootóí a omezeá, musí mít vlastí itu, ozačme ji e. Ukázat, že posloupost (y ) je ostře klesající, lze aalogicky. Dokazujeme erovost y < y, což je ekvivaletí erovosti y y >. Máme ««+ «y y + ( )( + ) + «+ + + «+ podle Beroulliovy erovosti + «+ ( + ) ( )( + ) + + 4 k0 k0
+ + + + ( )( + ) >. Posloupost (y ) je kladá a ostře klesající, tedy je omezeá. Protože posloupost (y ) je mootóí a omezeá, musí mít vlastí itu, ozačme ji e. Zbývá ukázat, že obě poslouposti kovergují k téže itě. Zřejmě y ` +. Proto e + y + «+ + + Je tedy e e, obě poslouposti kovergují k téže itě, kterou začíme e. VI.. (Rychlost kovergece) Dokažte, že platí ( 0 < e + ) <,,,.... + «e e. Návod. Víme z miulého příkladu, že posloupost ( + ) je ostře rostoucí a ekostatí, a proto je její ita e větší ež kterýkoliv čle této poslouposti. Z toho plye erovost e ( + ) > 0. Druhá erovost plye pomocí předchozích příkladů: už víme, že pro každé je ( + ), a dále víme, že e < ( + )+ pro každé, ebot posloupost ( + )+ je klesající. Odtud plye dokazovaá erovost takto: e < + «+ + «+ «+ «+ + «+ «+. VI.. (Kovergece jiých posloupostí) Necht p je libovolá posloupost, která má evlastí itu +, a echt je libovolá posloupost, která má evlastí itu. (Pro pohodlí předpokládejme, že p,.) Dokažte, že platí ( + ) p ( + ) e. + p + Návod. Necht p začí p zaokrouhleo dolů a p p +. Pak platí odhad + «p + «p + «p + «p + «p + «e e. p p p p p p p (Nejprve jsme zvětšili jmeovatel u zlomku, posléze zmešili epoet. Limita výrazu + je rova e, p ebot jde o skorovybraou posloupost z poslouposti `( + ).) Opačý odhad lze odvodit obdobě: + «p + «p + «p + «p + + «p + «e e. p p p p p p Srováím obou odhadů dostáváme, že + «p e. + p Druhou itu lze odvodit pomocí prví. Položme b a p b. Pak + p ( ) + + a máme + ««b + + b + + b + b + «b + + + p «p + b + p b b «b «b b + b «b + + p «e ( + 0) e. «p+ 5
VI.4. (Alterativí defiice) Dokažte, že + Odtud odvod te, že eistuje číslo θ tak, že ( + +! +! +... +! ) e. kde 0 < θ <. e + +! +! +... +! + θ!, Návod. Platí odhad (pomocí biomické věty a erovosti Limitím přechodem + «X k0! ( k)! k! k e! ( k)! k ) X k0 + + +! +... + «.! k! + +! +... +!. Chceme dokázat opačou erovost. Volme libovolě a echt N <. Potom + +! + +! + ««+! X k0! ( k)!k! k X k0 ««+... +! ( )...( k + ) k! k ««... «+ ««+... + ««... N! N! Nerovost platí proto, že jsme oproti předchozímu řádku zapoměli ěkteré čley (od N+-ího dále). Učiíme-li ití přechod v předchozí erovosti pro + (N je pevé), všechy kulaté závorky mají za itu a dostaeme e + «+ + +! +... + N!, tato erovost platí pro libovolé přirozeé N. Limitím přechodem (pro N + ) obdržíme opačou erovost. Koečě pro odvozeí rovosti e + +! +! +... +! + θ!, kde 0 < θ <, stačí ukázat, že pro všecha přirozeá k je Abychom ukázali erovost apravo, stačí uvážit, že + ( + )! + ( + )! +...+ ( + k)! ( + )! < 0 0! < ( + )! + ( + )! +... + ( + k)! <!. + ( + )! ( + ) + ( + ) +... + ( + ) k ( + )! + +! ««. ( + ) + ( + )( + ) +... + ( + )( + )...( + k) + + + <! (+) k ( + )! + < + +!. ( + )! + (Prví erovost je důsledkem zmešeí jmeovatele u zlomků, třetí plye z odhadu + + < +.) VI.5. (Iracioalita) Dokažte, že Eulerovo číslo e je iracioálí. ) Hezký způsob, jak také dokázat opačou erovost, je využít derivováí: protože (e ) e a platí, že e pro 0, je fukce f() e ostře rostoucí a 0, + ) (derivace je kladá) a, protože f(0) 0, platí také e 0. Dále se postupuje iduktivě. Derivováím dostaeme (e! ) e 0 0 podle předchozího, fukce e je tedy rostoucí a v ule rova ule, tím se odvodí erovost e! 0. Opakovaým postupem! se dá odvodit erovost e + +! +... +!, platá pro každé přirozeé a každé 0, + ). 6
Návod. Využijeme předchozího příkladu. Předpokládejme pro spor, že e je racioálí, tedy že eistují přirozeá čísla a, b esoudělá tak, že e a. Volme přirozeé N > b a uvědomme si, že b Násobeím N! dostaeme Odtud máme, že a b e +! +! +... + N! + θn N! N. N!a b N! + N!! + N!! +... + + θn N. N! + N! «! +... + N!a b! + N! θn N. Uvědomme si, že z podmíky N > b plye, že a levé straě rovosti je celé číslo. Na pravé straě rovosti je však číslo θ N N, které eí celé, ebot 0 < θ N N <. To je spor. Pomocí vlastostí Eulerova čísla, které jsme právě dokázali, yí odvodíme ěkteré zajímavé odhady pro faktoriál, logaritmus a epoeciálí fukci. VI.6. (Odhad faktoriálu, verze I) Dokažte erovosti ( ) ( ) <! < e. e Návod. Dokazujme matematickou idukcí. Pro obě erovosti platí, jak plye z příkladu VI.4. Předpokládejme, že platí pro, a dokazujme je pro +. Dostaeme «+? + ( + )! ( + )! > ( + ) >. e e Otázka zí, zda platí posledí erovost s otazíkem. Ta je však po jedoduchém kráceí a vyděleí ekvivaletí erovosti «+ e > + «. O této erovosti víme, že platí, ebot posloupost apravo je ostře rostoucí a koverguje k číslu e. Druhá erovost se odvodí podobě, ebot platí «+? + ( + )! ( + )! < ( + )e < e. Po jedoduchém kráceí si všimeme, že posledí erovost je ekvivaletí erovosti «+ < + «a tato erovost je pravdivá, protože posloupost apravo je ostře rostoucí a pro erovost platí. VI.7. (Odhad faktoriálu, verze II) Dokažte erovosti ( ) ( ) e <! < e. e e Návod. Postupujeme opět matematickou idukcí. Pro obě erovosti platí. Předpokládejme, že platí pro a dokazujme je pro +. Dostaeme «+? + ( + )! ( + )! > ( + )e > e. e e Posledí erovost je ekvivaletí erovosti «+ e > + «. O této erovosti víme, že platí, ebot posloupost apravo je ostře rostoucí a koverguje k číslu e. Druhá erovost se odvodí podobě, platí «+? + ( + )! ( + )! < ( + )e < e( + ). e e Posledí erovost je ekvivaletí erovosti «+ + e < + «+, tato erovost platí, protože posloupost apravo je ostře klesající a má itu e. 7