NAFTA-GAZ marzec 2011 ROK LXVII Tadeusz Kwlosz Instytut Nafty Gazu, Oddzał Krosno Zastosowane metody statystycznej do oszacowana zapasu strategcznego PMG, z uwzględnenem nepewnośc wyznaczena parametrów pracy systemu gazownczego Wprowadzene Mając na uwadze zakłócena w dostawach gazu zemnego do Polsk w latach 2004 2006 oraz uwarunkowana zwązane z lberalzacją rynku gazu zemnego, w tym rozdzał dzałalnośc secowej (przesyłu dystrybucj) od obrotu oraz konsekwencje tego procesu dla bezpeczeństwa dostaw gazu zemnego do odborców, dna 16 lutego 2007 r. uchwalono ustawę o zapasach ropy naftowej, produktów naftowych gazu zemnego oraz zasadach postępowana w sytuacjach zagrożena bezpeczeństwa palwowego. Ustawa ta nakłada na przedsęborstwa zajmujące sę obrotem gazem zemnym z zagrancą obowązek tworzena utrzymywana zapasów obowązkowych gazu zemnego, w welkośc odpowadającej co najmnej 30-dnowemu średnemu dzennemu przywozow tego gazu, ustalonemu w sposób określony w art. 25 ust. 2 albo ust. 5 ustawy. Istneje zatem potrzeba oszacowana możlwośc tworzena zapasów gazu w poszczególnych PMG, w loścach pozwalających na zrealzowane odboru tych zapasów zgodne z zapsam ustawy. Kluczową kwestą jest koneczność odboru całkowtej welkośc utworzonego zapasu w cągu 40 dn pracy PMG. Poneważ ne wadomo kedy (w jakm stane pojemnośc czynnej PMG) zapas zostane uruchomony (decyzja Mnstra Gospodark), należy założyć najbardzej nekorzystny (z punktu wdzena zdolnośc produkcyjnych PMG) okres, czyl ostatne 40 dn odboru. Ustawa przewduje sankcje dla dostawców gazu w konsekwencj dla Operatora Systemu Magazynowana, za przekroczene jej przepsów w zakrese utrzymana odboru zapasu obowązkowego. W tej sytuacj zasadnczym jest pytane: jaka dla danego PMG jest welkość zasobów gazu możlwych do odebrana w cągu 40 ostatnch dn fazy odboru? W ujęcu determnstycznym problem można rozwązać wykonując prognozę odboru gazu z PMG oblczając sumę z 40 ostatnch dn uzyskanej prognozy. Do tego celu można wykorzystać numeryczny model symulacyjny złoża lub posłużyć sę prostszym modelem analtycznym, opartym o równane blansu materałowego. Poneważ model determnstyczny ne uwzględna nepewnośc, jakm obarczone są jego parametry, warto posłużyć sę modelem uzupełnonym o statystyczną metodę analzy pozwalającą na uwzględnene owych nepewnośc uzyskane szacowanego wynku w postac rozkładu prawdopodobeństwa zmennej losowej. W prezentowanej pracy użyto analtycznego modelu prognozowana wydobyca gazu z PMG, opartego o równana blansu materałowego statystyczne skalbrowane krzywe spadku cśnena. Za pomocą tego modelu użytego w wersj determnstycznej wyznaczono welkość obowązkowego zapasu gazu. Trzeba zwrócć uwagę, że wynk uzyskano zakładając optymalne warunk odboru; ogranczone jedyne czynnkam złożowym oraz cśnenem gazu w punkce zdawczo-odborczym. W drugm warance wykorzystano ten sam model w połączenu z metodą Monte Carlo wyznaczono welkośc zapasu gazu w postac 192
artykuły rozkładu prawdopodobeństwa zmennej losowej. W tym przypadku uwzględnono nepewność zwązaną z wyznaczenem cśnena odboru gazu. Jak wynka z analzy pracy rozpatrywanego PMG, często odbór gazu z tego magazynu ne odbywał sę zgodne z warunkam złożowym oraz tym, jake panują w systeme gazownczym. Zanżone (w porównanu z modelowanym) welkośc odboru gazu prawdopodobne spowodowane są przez szereg czynnków, takch jak: chwlowe brak w zapotrzebowanu na gaz (pogoda), aware technczne nne. Aby ocenć to zjawsko, zdefnowano wskaźnk wykorzystana mocy PMG, jako loraz dobowych wydajnośc odboru (z klku ostatnch cykl odboru) odpowadających m welkośc prognozowanych. Tak skonstruowany wskaźnk, a ścślej mówąc jego rozkład, wykorzystany został do wprowadzena kolejnego źródła nepewnośc wyznaczena szacowanej welkośc zapasu. Wszystke procedury zastosowanego modelu zostały zamplementowane w postac makr arkusza kalkulacyjnego EXCEL. Dane użyte w oblczenach są rzeczywste dotyczą jednego z PMG w Polsce. Model wyznaczana zapasu obowązkowego w wersj determnstycznej Sporządzene prognozy wydajnośc odboru gazu z PMG jest warunkem wyznaczena bezpecznej (pod względem jego realzacj) welkośc zapasu. Wydajnośc odwertów zależą od cśnena złożowego, depresj oraz od nnych warunków złożowych. W praktyce wydajność każdego odwertu jest wypadkową dwóch czynnków: perwszy z nch jest funkcją dopływu gazu do odwertu w wynku występowana depresj na jego spodze (nflow), natomast z drugej strony wydajność zależy równeż od ogranczeń spowodowanych oporam przepływu gazu w odwerce (outflow). W przedstawonej pracy do prognozowana wydajnośc odwertu wykorzystano formułę dwuczłonową: DP 2 = a V + b V 2 gdze: DP depresja cśnena na spodze odwertu, V wydajność odboru gazu, a, b współczynnk. Bazując na tym modelu, uzupełnonym o statystyczne wyznaczone współczynnk równana opsującego zmany cśnena odboru gazu oraz cśneń głowcowych dennych w odwertach, zaproponowano następujący algorytm wyznaczana wydajnośc odboru gazu w kolejnych krokach czasowych pracy PMG. 1. Danym wyjścowym modelu są: pojemność całkowta PMG V c [m 3 ], projektowana wartość odboru gazu w cyklu Q [m 3 ], cśnene złożowe przed rozpoczęcem fazy odboru P p [MPa], cśnene złożowe po zakończenu fazy odboru P k [MPa], współczynnk korelacj pomędzy cśnenem dennym a głowcowym: a p, b p, współczynnk korelacj pomędzy cśnenem odboru a pojemnoścą całkowtą: a s, b s, współczynnk korelacj; wydajnośc poszczególnych odwertów z depresją na dne odwertów: a, b, dla = 1...n, granczne wartośc pojemnośc całkowtej, dla której spodzewane jest wyłączene odwertu ze względu na jego zawodnene V off, [m 3 ], dla = 1...n, maksymalny dobowy odbór gazu z PMG Q max [m 3 ], maksymalny dobowy odbór gazu z odwertów Q max, [m 3 ], dla = 1...n, n lczba odwertów. 2. Oblczane są: współczynnk wążące cśnene złożowe z pojemnoścą całkowtą magazynu, a także początkowe cśnene złożowe. Pp Pk a = Q b = a V c + P p P ds = a V c + b 3. W pętl na kolejne krok czasowe (k) (1 krok = 1 doba) wylczane jest sumaryczne wydobyce gazu z odwertów oraz zmana cśnena złożowego na skutek zmany objętośc. q = P gs Pds b = a P odb = a s V c + b s a 2 + 4b p p 2 2 ( P P ) gs 2b l.odw. = = 1 Q k q Q = Q Q k odb V c = V c Q k P ds = a V c + b a nr 3/2011 193
NAFTA-GAZ Kryterum zakończena oblczeń jest zrealzowane programu zatłaczana/odboru gazu (Q = 0). Wszystke parametry wejścowe modelu zostały wyznaczone za pomocą korelacj statystycznych, na podstawe danych z hstorycznych cykl pracy podzemnych magazynów gazu. W wynku zastosowana algorytmu otrzymano tablcę wydajnośc odboru gazu (w odnesenu do całego PMG, jak w rozbcu na odwerty) oraz tablcę zmany cśnena złożowego. Zasadnczym wynkem jest welkość obowązkowego zapasu gazu, przyjęta jako suma czterdzestu ostatnch wartośc odboru Z g. Ops modelu wyznaczana wydajnośc odboru magazynu w wersj stochastycznej Model opsany w poprzednm rozdzale reprezentuje determnstyczne podejśce do loścowej analzy szacowanych parametrów; zarówno parametry wejścowe modelu, jak wynk mają charakter jednoznaczny, pozbawone są oceny nepewnośc, z jaką zostały wyznaczone. Celem nnejszego opracowana było uogólnene tego podejśca, tzn. przedstawene wynku w postac rozkładu prawdopodobeństwa jego uzyskana. Założony, praktyczny program odboru jest zazwyczaj realzowany w odnesenu do całkowtej welkośc odboru gazu; problem z jego realzacją może wystąpć jedyne w przypadku przyjęca zupełne nerealnych welkośc projektowanego odboru w kontekśce pojemnośc całkowtej PMG relacj pomędzy cśnenem złożowym a cśnenem odboru w punkce zdawczo-odborczym. Zupełne nna sytuacja ma mejsce, jeśl rozważymy czas realzacj takego programu. Sezonowe warunk zwązane z zapotrzebowanem na gaz sprawają, że pytane o czas tempo realzacj założonego wydobyca gazu jest kluczowym, w kontekśce wyznaczena zapasu obowązkowego. Wszystke parametry modelu z wyjątkem założonej welkośc wydobyca gazu obarczone są nepewnoścą ch wyznaczena. Na użytek tej pracy dokonano statystycznej oceny wyznaczena wejścowych parametrów modelu ch wpływu na szacowaną lczbę dn realzacj odboru gazu. Jak już wspomnano, badane parametry modelu zostały wyznaczone z korelacj statystycznych, na podstawe danych z hstor pracy PMG. W kolejnym kroku zbadano, jak zaburzene tych danych w zakrese praktyczne prawdopodobnym (odchylonych od średnej o wartość jednego odchylena standardowego) wpływa na ocenany czas odboru gazu. W wynku przeprowadzonych eksperymentów okazało sę, że zaburzene wększośc parametrów modelu ne ma praktycznego wpływu (zmana ne wększa nż jeden dzeń realzacj odboru gazu) na uzyskwane rezultaty. Powodem takego stanu rzeczy jest obserwowana slna korelacja pomędzy badanym parametram, skutkująca stosunkowo małą wartoścą odchylena standardowego od wyznaczonych wartośc średnch oraz lnowym lub quas lnowym charakterem równań modelu w badanym zakrese zmennośc (wyjątkem jest nepewność wyznaczena charakteru zmany cśnena w punkce zdawczo-odborczym, w trakce realzacj programu odboru gazu). Źródłem stotnej (z punktu wdzena szacowanych parametrów) nepewnośc wyznaczena tych parametrów są warunk nezależne od złoża, a manowce zmenne warunk pogodowe oraz co za tym dze zapotrzebowane na gaz. Zgodne z tą obserwacją oraz zasadą nekomplkowana modelu o czynnk nestotne, założono, że jedynym parametrem (o charakterze złożowym zwązanym z systemem gazownczym) o stotnej nepewnośc jest cśnene odboru gazu. Założono, że badany parametr posada rozkład prawdopodobeństwa estymowany rozkładem normalnym o znanej średnej, odchylenu standardowym wartoścach: maksymalnej mnmalnej. Jak już wspomnano, założene, że z PMG będze wydobywany surowec przez cały okres odboru zgodne z optymalnym prognozowanym wartoścam jest nadto ryzykowne. Analza ostatnch cykl pracy tego magazynu pozwolła wylczyć wartośc wskaźnka wykorzystana mocy PMG, w postac funkcj f m zależnej od V c, zdefnowanej jako loraz wartośc wydobyca odpowadających m welkośc prognozowanych wylczanych dla danej pojemnośc czynnej. W prezentowanym modelu losowym wartośc tej funkcj w sposób multplkatywny zmenają wylczone dobowe welkośc odboru gazu; zmenność tych welkośc została potraktowana jako kolejne źródło nepewnośc wyznaczena zapasu. Podobne jak w przypadku cśnena odboru, założono, że badany parametr posada rozkład prawdopodobeństwa estymowany rozkładem normalnym o znanej średnej, odchylenu standardowym wartoścach: maksymalnej mnmalnej. Zbadano korelacje pomędzy zmerzonym wartoścam cśnena odboru a wartoścam funkcj f m. Wylczony współczynnk korelacj Pearsona (równy 0,38) wskazuje, że ne ma stotnej korelacj mędzy tym parametram. Zasadnczym problemem zwązanym z głównym celem tego opracowana jest wybór zastosowane metody, która na postawe rozkładów parametrów modelu wyznaczy rozkład szacowanego wynku. Podstawowa trudność wynka z faktu, że w przypadku, gdy parametry wejścowe równana 194 nr 3/2011
artykuły opsane są za pomocą dowolnych rozkładów (nawet jeśl są to teoretyczne rozkłady o znanych parametrach), ne stneją analtyczne metody wyznaczana parametrów wynkowego rozkładu szacowanej welkośc. Istneje klka metod służących do rozwązana tego zagadnena; najczęścej stosowaną jest stochastyczna metoda Monte Carlo (Monte Carlo Smulaton MCS). MCS jest metodą opracowaną w 1964 r. przez Hertz a, w celu rozwązana zagadneń z dzedzny ekonom, dla których ne stnały rozwązana analtyczne. Zapsana w postac punktów (kroków algorytmu), metoda ta polega na: 1) określenu korelacj pomędzy zborem welkośc nezależnych oraz welkoścą wynkową szacowaną, 2) wyznaczenu rozkładu eksperymentalnego dla każdego parametru wejścowego skojarzonego ze zborem opsujących go wartośc dopasowanu do tego rozkładu odpowedno dobranego rozkładu teoretycznego, 3) wyznaczenu dystrybuanty dla każdego rozkładu zdefnowanego w pkt. 2, 4) wylosowanu lczby z przedzału (0,1) dla każdego parametru wejścowego (zmennej nezależnej) równana wyznaczenu dla tak wylosowanej lczby (przy pomocy właścwej dystrybuanty) wartośc tego parametru, 5) wylczenu wartośc wynkowej poprzez zastosowane formuły zdefnowanej w pkt. 1, na podstawe wyznaczonych wartośc parametrów wejścowych, 6) powtarzanu punktów 4 5 zadaną lczbę razy; generując w ten sposób wynkowy rozkład prawdopodobeństwa szacowanego parametru. Stosując opsaną metodę w wersj standardowej zakładamy, że ne stneje korelacja pomędzy param parametrów wejścowych, natomast jeśl taka korelacja występuje, to wówczas metodę MCS należy zmodyfkować, aby tę korelację uwzględnć (w przypadku neuwzględnena tego faktu wygenerowany rozkład sumaryczny szacowanego parametru obarczony będze dodatkowym błędem). Pomnąć należy szczegółowy ops zmodyfkowanej metody uwzględnającej korelacje pomędzy parametram, zważywszy na to, że jedyna grupa parametrów opsana rozkładem statystycznym w rozpatrywanym modelu to jest cśnene odboru z natury rzeczy jest nezależna od parametrów złożowych, poneważ zwązana jest z cśnenem w sec przesyłowej. Warto jedyne zwrócć uwagę na fakt, że w zależnośc od mary (sły) korelacj, zmodyfkowany jest proces losowana lczb dla pary skorelowanych parametrów w tak sposób, aby utrudnć zestawene ze sobą w jednej parze wartośc, których wystąpene w obrębe badanej próbk jest mało prawdopodobne. W wersj metody Monte Carlo zamplementowanej dla potrzeb nnejszego opracowana, dla każdej realzacj algorytmu na skutek zastosowana mechanzmu losowego wyznaczane są nezależne dwe wartośc, reprezentujące cśnena odboru oraz wartość wskaźnka wykorzystana mocy odboru gazu. Wartośc te wyznaczone są zgodne z odpowednm rozkładam prawdopodobeństwa. Następne tak wylosowane welkośc wstawane są do równana modelu wylczana jest welkość zapasu obowązkowego. Oblczone w kolejnych przebegach losowych metody, welkośc te podlegają rozkładow estymowanemu krzywą gęstośc rozkładu normalnego. Z dystrybuanty tak dopasowanego estymatora wylczane są kwantyle L10, L50 L90, których wartośc należy nterpretować tak, że: z 10-procentowym prawdopodobeństwem welkość zapasu PMG jest ne wększa nż L10; z 50-proc. prawdopodobeństwem jest ne wększa nż L50 oraz z 90-proc. prawdopodobeństwem jest ne wększa nż L90. Inaczej rzecz ujmując, z prawdopodobeństwem 80% welkość zapasu obowązkowego meśc sę w przedzale od L10 do L50. Przykład zastosowanej metody Opracowaną metodę przetestowano na danych pochodzących z jednego z podzemnych magazynów gazu w Polsce. W celu wyznaczena korelacj statystycznych zachodzących pomędzy średnm cśnenem złożowym oraz cśnenem odboru, a pojemnoścą całkowtą PMG, posłużono sę danym z dzewęcu cykl odboru gazu z PMG w latach 2001 2009. Na tej podstawe przyjęto: średne cśnene złożowe, początkowe dla fazy odboru: P p = 11,48 MPa (dla pojemnośc całkowtej 962,01 mln m 3 ) cśnene końcowe: 7,00 MPa (dla pojemnośc całkowtej 663 mln m 3 ), welkość prognozowanego odboru: 350 mln m 3, Na podstawe korelacj zmerzonych welkośc średnego cśnena złożowego średnego cśnena głowcowego wyznaczono współczynnk korelacj: gdze: a p = 1,11166, b p = 0,08129. P ds = a p P gs + b p Funkcję zmany cśnena odboru od pojemnośc całkowtej opsuje zależność lnowa (z wyznaczonym metodą statystyczną współczynnkam): nr 3/2011 195
NAFTA-GAZ gdze: a s = 0,000001799, b s = 3,091. P odb = a s V c + b s W podobny sposób wyznaczono współczynnk przepływu a, b z korelacj wydajnośc poszczególnych odwertów z depresją na dne tych odwertów. Dla warantu z użytą metodą statystyczną zbadano struktury danych opsujące zbory zmerzonych cśneń odboru oraz wylczone wartośc wskaźnka wykorzystana mocy odboru. W obydwu przypadkach okazało sę, że badane wartośc charakteryzuje newelk trend zwązany ze zmaną pojemnośc czynnej magazynu. W zwązku z tym, na podstawe wylczonej sły trendu zmodyfkowano obydwa zbory danych, elmnując wpływ oszacowanego trendu. W dalszej częśc (podczas stosowana metody losowej) wylosowane wartośc cśnena odboru oraz wskaźnka wykorzystana mocy odboru będą modyfkowane tak, aby wyelmnowany trend przywrócć. Dla tak przekształconych zborów danych wyznaczono parametry opsujących je rozkładów prawdopodobeństwa (tablca 1). Tablca 1. Parametry rozkładów szacowanych zmennych modelu losowego Szacowany parametr x śr Odch. stand. x mn x max Cśnene odboru gazu 4,49 0,166 3,89 4,89 Wskaźnk wykorzystana mocy odboru gazu 0,65 0,282 0,00 1,22 Uzyskane wynk Na wstępe uruchomono algorytm w wersj determnstycznej uzyskano wartość zapasu gazu Z g = 158,3 mln m 3. Należy zaznaczyć, że w warance tym ne uwzględna sę współczynnka wykorzystana mocy odboru zakłada sę, że odbór gazu odbywa sę zgodne z symulowanym warunkam złożowym. Następne uruchomono procedurę Monte Carlo dla założonego odboru gazu wykonano 30 000 realzacj prognoz. Po wykonanu każdej prognozy oblczono welkość zapasu gazu w ten sposób wyznaczono szacowany parametr w postac zmennej losowej, o rozkładze zblżonym do normalnego. Po dokonanu estymacj, za pomocą krzywej rozkładu normalnego wylczono kwantyle tych rozkładów, które wynoszą: L10 = 103,5 mln m 3, L50 = 113,0 mln m 3 L90 = 122,5 mln m 3. Herogram eksperymentalny oraz dystrybuantę uzyskanego rozkładu prawdopodobeństwa przedstawono na rysunkach 1 oraz 2. Rys. 1. Hstogram eksperymentalny dla welkośc zapasu obowązkowego gazu w PMG 196 nr 3/2011
artykuły Rys. 2. Dystrybuanta rozkładu welkośc zapasu obowązkowego gazu w PMG Wnosk Oblczona metodą determnstyczną welkość zapasu (158,3 mln m 3 ) w sposób stotny odbega od welkośc wyznaczonych metodą statystyczną (L50 = 124,5 mln m 3 ). Różnca wynka z tego, że w metodze determnstycznej ne uwzględnono wskaźnka wykorzystana mocy odboru gazu. Z tego punktu wdzena, wynk metody statystycznej są bardzej realstyczne. Wprowadzene problemu stochastycznej oceny warygodnośc szacowanych parametrów jest podejścem pożądanym coraz częścej stosowanym w praktyce górnctwa nafty gazu. W umowe śwadczena usług magazynowych należy podać jedną wartość zapasu gazu, jaką można ustanowć na danym magazyne. To jaką wartość sę przyjme zależy od awersj do ryzyka: przy małej awersj można przyjąć wartość L50 = 124,5 mln m 3 gazu, a przy dużej awersj L10 = 119,3 mln m 3 gazu. Najczęścej przyjmuje sę wartość L50. Artykuł nadesłano do Redakcj 22.11.2010 r. Przyjęto do druku 11.01.2011 r. Lteratura [1] Coller R.S., Monash E., Hultqust P.: Modelng natural gas reservors a smple model. SPE, October 1981. [2] Flar B., Kwlosz T.: Opracowane komputerowego programu służącego do nżynerskej obsług pracy podzemnych magazynów gazu, na przykładze PMG Brzeźnca. ING, Krosno 1999. [3] Molnard J.E., Pelce V., Tek M.R.: Practcal model for predctng pressure n gas-storage reservors. SPE, November 1990. Recenzent: prof. dr nż. Andrzej Frońsk Dr Tadeusz Kwlosz adunkt w Zakładze Podzemnego Magazynowana Gazu Instytutu Nafty Gazu, Oddzał w Krośne. Zajmuje sę optymalzacją modelowanem zagadneń zwązanych z eksploatacją złóż oraz podzemnych magazynów gazu. nr 3/2011 197