EWOLUCYJNA OPTYMALIZACJA WIELORYTERIALNA I JEJ ZASTOSOWANIA W AUTOMATYCE Zdzisław owalczuk Politechnika Gdańska Wydział Elektroniki Telekomunikacji i Informatyki atedra Automatyki Narutowicza 11/1, 8-95 Gdańsk e-mail: kova@pg.gda.pl ZTS
WPROWADZENIE ZAGADNIENIE optymalizacja wielu kryteriów - bez definiowania szczegółowych relacji pomiędzy nimi STOSOWANE METODY ważonych zysków odległości sekwencyjnych ograniczeń nierównościowych rankingu według Pareto-optymalności... NOWA IDEA EVOLUCYJNYCH OBLICZEŃ oparta na informacji o rodzajniku genetycznym wariancie kryterialnym
WIELORYTERIALNA OPTYMALIZACJA Rozważmy m-wymiarowy wektor funkcji kryterialnych gdzie T m [ f x f x ] R f x = x 1 f m x = T n [ x x ] R 1 x n jest wektorem poszukiwanych parametrów Założenie: wszystkie współrzędne f x są funkcjami zysku zadanie wielokryterialnej maksymalizacji bez ograniczeń: max x f x
GENETYCZNY WARIANT W naturze podział ze względu na płeć wiąże się z: - funkcjonalną przydatnością dla danej grupy / gatunku - funkcjami rozrodczymi Idea genetycznego rodzajnika wariantu kryterialnego: - podział funkcji celu na podzbiory warianty rozwiązań - przydział każdemu wariantowi atrybutu rodzajnika Xj GENDERS={ X1, X,... Xj,..., Xs } Przykład: Dwuelementowy zbiór rodzajników GENDERS={ XX, XY}
Genetyczny rodzajnik motywacje: - może wynikać z wyróżnionych wspólnych charakterystyk poszczególnych kryteriów wspólny Xj opisuje cele podobne rodzaj wewnętrznej rywalizacji - mniej istotnej dla projektanta różne Xj wyrażają rozmaite grupy interesów rodzaj zewnętrznej rywalizacji -trudny do rozsądzenia dla projektanta patrz pojęcie Pareto-optymalności Ewolucyjny cykl obliczeń: - dynamiczny przydział rodzajnika -krzyżowanie jedynie osobników o różnych rodzajnikach Xj
METODA WARIANTÓW RYTERIALNYCH SUBOPTYMALNOŚĆ Podział wektora funkcji celu f x na s podwektorów T m [ f x f x f ] R f x = x 1 s gdzie m j T f jx R -j-ty podwektor subkryterium; j = 1,,..., s opisany rodzajnikiem Xj analizowanych osobników Ocena Pareto-optymalności osobników względem subkryteriów Wektor rang i-tego osobnika: r [ r x r x r x ] T x i = 1 i i s i gdzie rj x i rj x = µ µ x + 1, µ = max µ i jmax j jmax i= 1,,, N - ranga i-tego rozwiązania x i w j-tym wariancie Xj i j x i µ x - stopień zdominowania x i w sensie Pareto względem fj j i
METODA WARIANTÓW GENETYCZNYCH PRESELECJA Genetyczna preselekcja przydział rodzajnika j max ϕi, i = arg max j= 1,,..., s j= 1,,..., s ϕ i = l ϕ j i gdzie ϕ j i = r j r x j max i, r j max = max i= 1,,..., N { r x } j i ϕi rj max - najwyższy rozmyty stopień suboptymalności, tj. przynależności i-tego osobnika do l i -tego wariantu - najwyższa ranga uzyskana wśród wszystkich osobników względem j-tego subkryterium fj tj. dla j-tego rodzajnika Xj Selekcja wariantowych puli rodzicielskich oparta na o suboptymalności z zastosowaniem stochastycznego doboru resztowego Nowe rozwiązania pokolenia generowane poprzez krzyżowanie jedynie osobników o różnym rodzajniku wariancie
Program GVAR GEND Inicjacja populacji V o N osobnikach; dopóki t t max Obliczenie przystosowania każdego osobnika; P-suboptymalny ranking osobników; Rozpoznanie genetycznego rodzajnika osobników; Selekcja suboptymalnych pul rodzicielskich; Tworzenie nowej generacji V poprzez: -krzyżowanie osobników różnowariantowych; - mutację; Zastąpienie starej populacji nową V V ; t t+1; koniec
PROSTE PRZYŁADY Rozważmy 1-parametrowe zadanie optymalizacji eksperyment 1 min x f x = min x [ f x f x ] T 1 gdzie 1 x = x + 5 f f x = x 5 oraz naturalny podział na dwa jedno-wymiarowe subkryteria warianty: - rodzajnik genetyczny XY - rodzajnik genetyczny XX f 1 x f x GENDERS={ XY, XX }
45 4 Wyniki klasycznego GA osobniki 4 35 liczba osobników 35 3 5 15 f x =x-5 f 1 x =x+5 3 5 f x, f x 15 1 1 1 5 5-15 -1-5 5 1 15 x Histogram osobników ostatniej populacji
Wyniki metody GVAR 45 4 4 osobniki XY osobniki XX 35 liczba osobników 35 3 5 15 f x=x-5 f 1 x=x+5 3 5 f x, f x 15 1 1 1 5 5-15 -1-5 5 1 15 x Histogram osobników ostatniej populacji
Rozważmy -parametryczne zadanie -kryterialne eksperyment min x f x = min x [ f x f x ] T 1 gdzie 1 x1, x = x1 + 5 f + x x1, x = x1 5 f + x oraz dwa -wymiarowe subkryteria warianty: - rodzajnik genetyczny XY - rodzajnik genetyczny XX f1 x1, x f x1, x GENDERS={ XY, XX }
Wyniki klasycznego GA 1 8 6 4 x - -4-6 -8-1 -1-5 5 1 x 1 Rozwiązania optymalne w przestrzeni parametrów
Wyniki klasycznego GA Optymalność rozwiązań w zbiorze wartości osiągalnych
Wyniki algorytmu GVAR 1 8 6 4 x - -4-6 -8-1 -1-5 5 1 x 1 Rozwiązania optymalne w przestrzeni parametrów
Wyniki metody GVAR Optymalność rozwiązań w zbiorze wartości osiągalnych
SYNTEZA REGULATORA PID Rozważmy zadanie wielokryterialnej optymalizacji regulatora PID 1 G c s = p + + st i st d dotyczące wektora parametrów: x T 3 [ x x ] = x 1 3 R gdzie x x x 1 3 = = T = T i p d
Założone funkcje kryterialne: IMSE = 1 [ e& x, t + λe x, t ] f x = dt ISC = f 3 x = u x, t dt g m x = f4 x = gain margin p m x = f5 x = phase margin
Dobieramy dwa subkryteria / warianty o różnych rodzajnikach: T 5 [ f x f ] f x = x R 1 gdzie f T [ f x f ] 1 x = 1 x R - JAOŚĆ XX kryteria całkowe f T [ f x f ] x = 4 5 x R - ODPORNOŚĆ XY zapasy wzmocnienia i fazy
PRZYŁADOWA WIELORYTERIALNA OPTYMALIZACJA Rozważmy nieminimalnofazowy obiekt liniowy: G p s = s s.5s + 1 s + 4 + s + 6s + 1 oraz przeszukiwaną kostkę parametrów PID: x1 = p [, 1 ] x = T i [, 3] x3 = T d [, 1]
WYNII EWOLUCYJNYCH POSZUIWAŃ 35 3 GA GVAR 5 ISC 15 1 5 1 3 4 5 6 7 8 9 1 IMSE Dwa typy P-optymalizacji w kategoriach jakościowych
5 45 GA GVAR 4 35 3 pm 5 15 1 5 4 6 8 1 1 14 16 18 gm Dwa typy P-optymalizacji w kategoriach odpornościowych
8 6 rozwiązania jakościowe rozwiązania odpornościowe 4 ISC 18 16 14 1.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 IMSE P-optymalne rozwiązania na płaszczyźnie jakościowej
5 45 rozwiązania jakościowe rozwiązania odpornościowe 4 pm 35 3 5.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5 gm P-optymalne rozwiązania na płaszczyźnie odpornościowej
WYNII SYMULACJI 1.6 1.4 1. 1 wyjście.8.6.4. układ zamknięty PID Ziegler-Nichols PID tradycyjny GA PID jakościowy GVAR PID odpornościowy GVAR -. 4 6 8 1 1 14 16 18 czas [s] Odpowiedzi skokowe układu sterowania obiektem nominalnym
.5 Układ zamknięty PID Ziegler-Nichols PID tradycyjny GA PID jakościowy GVAR PID odpornościowy GVAR 1.5 wyjście 1 ście.5 -.5 4 6 8 1 1 14 16 18 czas [s] Odpowiedzi skokowe układu sterowania obiektem zaburzonym
SYNTEZA GENERATORA RESIDUÓW System FDI usterki zakłócenia sterowanie f t dt ut F F 1 vt N B x& t xt C yt Szumy pomiarowe pomiary Szumy obiektowe wt A Obiekt B x t & xt yt C Generator resztowy A Q rt residua
Problem wielokryterialnej optymalizacji generatora resztowego = min min, min, min, min, max, 6 5 4, 3,, 1,, Q Q Q Q Q J Q Q Q Q Q J J J J J J opt =, 1 1 s s J rf G W Q =, s s J rd G W Q =, 3 3 s s J rw G W Q =, 4 4 s s J rv G W Q J s 1 6 = C A J s 1 5 C A = gdzie
Macierzowe funkcje przenoszenia { C n 1 1 [ si A C ] F F } G s = Q + F G G G rf rd rw rv s = QC n 1 [ si A C ] N [ si A ] 1 s = QC C n 1 = Q{ I m C n [ si A C ] } s oraz [ M j ] M s = supσ ω M s = σ ω [ M] σ [] - największa wartość szczególna macierzy W s, W s, W3 s, W4 1 s - macierze wagowe
Przedefiniowanie problemu wielokryterialnej optymalizacji optymalizacja w-własnych { } i λ macierzy A C przy: przyjęciu Q jako macierzy jednostkowej ustaleniu macierzy ważących W s, W s, W s, W 1 3 4 s wyznaczaniu macierzy dla ustalonego spektrum opt, Q J, Q = opt J = opt λ J λ
Podział kryteriów na 3 subkryteria rodzajniki / warianty gdzie T 6 [ J λ J λ J λ ] J λ = R 1 3 T [ λ ] R J1 λ = J1 - JAOŚĆ X1 wpływ usterek na residuum J T 3 [ J λ J λ J λ ] λ = 3 4 R - NIEWRAŻLIWOŚĆ X wpływ zakłóceń oraz szumów wejściowych i pomiarowych J T [ J λ J λ ] 3 λ = 5 6 R - ODPORNOŚĆ X3 wpływ odchyłek od nominalnego modelu obiektu
Rozważmy stanowy model okrętowego systemu napędowego x & t = Ax t + Bu t + Nd t + F1 f t + w t y t = Cx t + F f t + v t gdzie x = [ θ n v ] T Q eng - wektor stanu θ -kąt natarcia śruby względem kierunku obrotów n -prędkość obrotowa wału v -prędkość okrętu Qeng - moment obrotowy silnika Diesla u = [ θ ] T ref Y - wektor sterowania θref -wartość zadana kąta natarcia Y - wtrysk paliwa
f [ θ θ n] T = & θ & θ - addytywny wektor usterek -błąd pomiaru kata natarcia - wyciek hydrauliczny wolny dryft kąta natarcia n -błąd pomiaru prędkości obrotowej d = [ ] T Q f T ext -zakłócenia Q f - moment tarcia Text -zewnętrzna siła reprezentująca wpływ wiatru i fal y = [ θ n v ] T m m m - pomiary w, v R 3 -szumy wejściowe i pomiarowe
Wektor poszukiwanych wartości własnych j-tych osobników λ j = λ λ λ λ 1 j j 3 j 4 j R 4 Hiperkostka poszukiwanych parametrów 1 λ j [ 3,.5] λ j [ 3,.5] 3 λ j [ 1, 31] 4 λ j [ 1, 31]
WYNII EWOLUCYJNYCH POSZUIWAŃ 18 GA GVAR 16 14 J 1 max 1 1 8 6 4 4 6 8 1 1 14 16 18 J 1 max Dwa typy P-optymalizacji w kategoriach jakościowych
6x 1 8 GA GVAR 8 x 15 7 J 4 min 5 4 3 1 J 3 min 6 5 4 3 8x 1 5 6 4 J 3 min.5 J min 1 1.5x 1-6 1..4.6.8 1 1. 1.4 J min x 1-6 Dwa typy P-optymalizacji w kategoriach niewrażliwościowych
4.5 5 x 18 GA GVAR 4 3.5 3 J 6 min.5 1.5 1.5.5 1 1.5.5 3 3.5 4 4.5 5 J 5 min x 1 8 Dwa typy P-optymalizacji w kategoriach odpornościowych
18 16 rozwiązania jakościowe rozwiązania niewrażliwe rozwiązania odporne 14 J 1 max 1 1 8 6 4 4 6 8 1 1 14 16 18 J 1 max Rozwiązania P-optymalne na płaszczyźnie jakościowej
rozwiązania niewrażliwe rozwiązania jakościowe rozwiązania odpornościowe 1x 1 4-5 7.545 x 1 8 7.54 J 4 min 6 4 J 3 min 7.535 7.53 7.55x 1-5 7.54 7.53 J 3 min 7.5 1 J min 3 x 1-6 7.55 7.5.5 1 1.5.5 3 J min x 1-6 Rozwiązania P-optymalne w przestrzeni niewrażliwości
4 x 18 3.5 3 rozwiązania odporne rozwiązania jakościowe rozwiązania niewrażliwe.5 J 6 min 1.5 1.5 1 3 4 5 6 7 8 9 J x 1 8 5 min Rozwiązania P-optymalne na płaszczyźnie odpornościowej
6 5 Liczba frontów Pareto 4 3 rozwiązania niewrażliwe rozwiązania odpornościowe rozwiązania jakościowe rozwiązania klasyczne 1 4 6 8 1 1 14 16 18 numer generacji Liczba frontów Pareto w trakcie ewolucji
WYNII SYMULACJI θ n. θ.5 θ high low -.5 5 1 15 5 3 35.18 1 n max min -1 5 1 15 5 3 35 θ n 5 1 15 5 3 35 time second Sekwencja możliwych addytywnych usterek
4 rozwiązanie jakościowe rozwiązanie klasyczne r θ - 5 1 15 5 3 35 5 r n -5 5 1 15 5 3 35. r v -. 5 1 15 5 3 35 Czas [s] Przebiegi sygnałów w dwu generatorach resztowych
4 rozwiązanie niewrażliwe rozwiązanie klasyczne r θ - 5 1 15 5 3 35 5 r n -5 5 1 15 5 3 35. r v -. 5 1 15 5 3 35 czas [s] Przebiegi sygnałów w dwu generatorach resztowych
r θ 1-1 5 1 15 5 3 35 5 rozwiązanie odporne rozwiązanie klasyczne r n -5 5 1 15 5 3 35. r v -. 5 1 15 5 3 35 Czas [s] Przebiegi sygnałów w dwu generatorach resztowych
WNIOSI Nowa metoda rozwiązywania zadań wielokryterialnej optymalizacji oparta na obliczeniach ewolucyjnych z zastosowaniem preselekcji, tj. rozpoznawania genetycznego rodzajnika / wariantu suboptymalności Informacja o stopniu przynależności do wariantu uzyskiwana jest poprzez Pareto-optymalny ranking rozwiązań Informacja ta wykorzystywana jest w procesie między-wariantowego krzyżowania Miejsce i rola Pareto-optymalizacji: - subkryterialna suboptymalna ocena rozwiązań / osobników - preselekcja jednowariantowych / rodzajnikowych pul rodzicielskich - końcowa ocena różno- wariantowych rozwiązań por. koncepcję globalnego wskaźnika optymalności rzyżowanie różnowariantowych osobników jest bardziej skuteczne z p.w. wymiany materiału genetycznego i dynamiki poszukiwań unika się też w ten sposób krzyżowania osobników podobnych
Praktyczne aspekty w kategoriach skuteczności w opozycji do podejścia klasycznego: 1 możliwość prostego formułowania subkryteriów bez ważenia bardziej regularne fronty Pareto efekt kryterialnego niszowania 3 większa liczba frontów Pareto mniejszy wymiar przestrzeni 4 rozmaitość rozwiązań przeciwdziałająca przedwczesnej zbieżności 5 bardziej efektywne, różnowariantowe krzyżowanie z p.w. postępu 6 jasne podstawy wyboru ostatecznych rozwiązań Zastosowania wariantowej/rodzajnikowej Pareto-optymalizacji EC/GA: - optymalizacja parametryczna regulatorów PID, GPC,..., - filtrów analogowych, cyfrowych,... - obserwatorów detekcyjnych i układów diagnostycznych, - modeli rozmytych, sieci neuronowych, itd.