MECHANIKA 2 Prowadzący: dr Krzysztof Polko
PLAN WYKŁADÓW 1. Podstawy kinematyki 2. Ruch postępowy i obrotowy bryły 3. Ruch płaski bryły 4. Ruch złożony i ruch względny 5. Ruch kulisty i ruch ogólny bryły 6. Podstawy dynamiki 7. Dynamiczne równania ruchu 8. Drgania punktu materialnego 9. Dynamika układu punktów materialnych 10.Momenty bezwładności 11.Praca, moc, sprawność, zasady zachowania 12. Zasady pracy i energii 13.Dynamika ruchu płaskiego ciała sztywnego 14.Teoria uderzenia
LITERATURA 1. SIUTA WŁADYSŁAW, Mechanika Techniczna, Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne, Warszawa 1985. 2. ZAWADZKI JERZY, SIUTA WŁADYSŁAW, Mechanika Ogólna, PWN 1970, Warszawa 1985. 3. MISIAK JAN, Mechanika Ogólna, WNT, Warszawa 1998. 4. HUBER M. T. Mechanika Ogólna i Techniczna. PAN Warszawa 1956.
Wykład 1 Podstawy kinematyki
WPROWADZENIE KINEMATYKA (kineo z greckiego poruszam) jest to dział mechaniki opisujący ruch punktu lub bryły, bez uwzględniania masy i przyczyn wywołujących zmianę ruchu (geometria ruchu). RUCH określamy jako zmianę położenia ciała materialnego względem układu odniesienia (tj. względem innego ciała lub zbioru ciał uważanych za pozostające w spoczynku) w jednostce czasu.
WPROWADZENIE W związku z tym że ciała rzeczywiste zastępujemy pojęciem punkt materialny lub ciało doskonale sztywne, kinematykę możemy podzielić na: Kinematykę punktu materialnego Kinematykę ciała sztywnego.
Tor punktu Jest to linia ciągła l utworzona przez kolejne położenia poruszającego się punktu. Tor punktu może być linią prostą lub dowolną krzywą. y Tor krzywoliniowy l l x Rys. 1
Droga, odległość W mechanice przez drogę rozumiemy odcinek toru. Odległość długość odcinka łączącego dwa punkty.
Podział ruchu Ruch prostoliniowy jednostajny Ruch prostoliniowy zmienny Ruch krzywoliniowy jednostajny Ruch krzywoliniowy zmienny
OPIS PORUSZAJĄCEGO SIĘ PUNKTU Położenie poruszającego się punktu P w przyjętym układzie współrzędnych można określić przez x, y, z. Ponieważ współrzędne te są funkcjami zmiennej t (czasu), to otrzymujemy: Kinematyczne równania ruchu punktu x = f 1 (t), y = f 2 (t), z = f 3 (t). Rys. 2
Równania ruchu w postaci wektorowej Rys. 3 ρ r = ρ r(t) Jeżeli początek promienia r pokrywa się z początkiem układu współrzędnych to składowe wektora są równe współrzędnym punktu P r x = x(t), r y = y(t), r z = z(t) Po uwzględnieniu powyższej zależności promień wektora r możemy zapisać w postaci sumy geometrycznej:
Prędkość punktu materialnego Rozpatrzmy ruch punktu P w przedziale czasu t = t 2 - t 1, w którym punkt przebył drogę s = P 1 P 2. Przyrost wektora promienia wynosi r zatem Rys. 4
Prędkość średnia v ρ = Prędkośćśrednia punktu jest ilorazem przyrostu wektora r do czasu t w którym ten przyrost nastąpił.
Prędkość chwilowa v ρ = Prędkość chwilową określa granica przy t dążącym do zera Przyrost r ma składowe x, y, z stąd
Prędkość chwilowa Wektor prędkości można zapisać w postaci: ρ ρ ρ ρ v = x & i + y& j + z& k którego moduł wynosi: v = & 2 + y& 2 + x 2 z&
Przyspieszenie punktu materialnego W czasie t = t 2 - t 1, wektor prędkości zmienia się z v 1 na v 2. Przyrost wektora prędkości wynosi v, zatem Przyspieszenie średnie punktu Przyspieszenie średnie punktu wyraża się jako iloraz przyrostu prędkości v przez przyrost czasu t.
Przyspieszenie chwilowe punktu a ρ = Wiedząc, że przyrost prędkości v ma składowe v x, v y, v z, stąd składowe wektora przyśpieszenia mają postać
Przyspieszenie chwilowe punktu Wektor przyśpieszenia można zapisać w postaci : a jego moduł
Ruch prostoliniowy jednostajny Ruchem prostoliniowym jednostajnym jest ruch punktu po torze prostoliniowym, który odbywa się w taki sposób, że w jednakowych przedziałach czasu t punkt przebywa takie same odcinki drogi.
Równania ruchu prostoliniowego jednostajnego Droga s jest liniową funkcją czasu, zatem czyli Stąd po scałkowaniu otrzymujemy
Wykres ruchu prostoliniowego jednostajnego Rys. 6 czyli
Ruch prostoliniowy zmienny Jest to ruch punktu po torze prostoliniowym, który odbywa się w taki sposób, że w jednakowych przedziałach czasu t punkt przebywa różne odcinki drogi. Ruch prostoliniowy jednostajnie zmienny Jeżeli prędkość jest liniową funkcją czasu, to ruch punktu jest jednostajnie zmienny.
Równania ruchu prostoliniowego jednostajnie zmiennego Przyśpieszenie Prędkość Droga a > 0 ruch jednostajnie przyspieszony a < 0 ruch jednostajnie opóźniony
Ruch krzywoliniowy jednostajny Jest ruch punktu po torze krzywoliniowym l, w którym wektor prędkości w każdej chwili jest styczny do toru, a jego wartość nie zmienia się z czasem (zmienia się tylko jego kierunek).
Ruch krzywoliniowy zmienny Jest to ruch punktu po torze krzywoliniowym, w którym wektor prędkości ruchomego punktu zmienia wartość i kierunek. W ruchu krzywoliniowym zmiennym wektor przyspieszenia punktu tworzy z wektorem prędkości tego punktu pewien kąt α (ostry lub rozwarty).
Przyśpieszenie normalne Z rysunku wynika,że wartość przyspieszenia składowego a n prostopadłego do prędkości ma postać: Składowa ta nosi nazwę przyspieszenia normalnego, a związana jest ze zmianą kierunku wektora prędkości.
Przyśpieszenie styczne Składowa przyspieszenia w kierunku wektora prędkości nazywana jest przyspieszeniem stycznym i związana jest ze zmianą wartości wektora prędkości. Wartość a t jest określona w postaci:
Wektor przyśpieszenia jest sumą przyspieszenia normalnego i stycznego a wartość tego wektora obliczamy z zależności
Na podstawie tych wiadomości można ustalić z jakim ruchem punktu materialnego mamy do czynienia: a n 0, a t 0 - Przyspieszenie całkowite jest nachylone pod pewnym kątem (ostrym lub rozwartym) do prędkości. Rozważany ruch jest ruchem krzywoliniowym zmiennym, zmienia się wartość i kierunek prędkości. a n =0, a t 0 - Całkowite przyspieszenie jest styczne do toru. Prędkość w takim ruchu może zmienić swoją wartość ale jej kierunek pozostaje bez zmian. Jest to ruch prostoliniowy zmienny.
a n 0, a t =0 - Całkowite przyspieszenie ma kierunek prostopadły do toru. Prędkość w tym ruchu może zmieniać jedynie swój kierunek, a wartość pozostaje stała. Rozważany ruch będzie ruchem jednostajnym krzywoliniowym. a n =0, a t =0 - Całkowite przyspieszenie jest równe zeru. Wektor prędkości w takim ruchu nie może zmienić ani swojego kierunku ani wartości. Jest to więc ruch jednostajnie prostoliniowy.
Ruch jednostajny po okręgu W ruchu jednostajnym punkt materialny porusza się ruchem jednostajnym po okręgu o promieniu r, przebywając w równych odstępach czasu t równe odcinki drogi (łuki P 1 P 2, P 2 P 3, P 3 P 4,). P 1 v a n P 1 P 2 2 r r α v Prędkość średnia punktu wyraża się jako Rys. 13 v P 4 P 3 v P 4 P 3 Jednak w tym przypadku droga jest łukiem, więc jak wiadomo z geometrii czyli
Prędkość kątowa Stosunek kąta α wyrażonego w radianach do czasu t, w którym ten kąt został zatoczony, nazywamy prędkością kątową. Tak więc wartość prędkości liniowej otrzymamy z wyrażenia
Prędkość obrotowa Prędkością obrotową punktu po okręgu nazywamy liczbę pełnych obiegów w ciągu jednej minuty Pomiędzy prędkością kątową [rad/s] i prędkością obrotową [obr/min] zachodzi zależność
Ruch zmienny po okręgu przyśpieszenie kątowe Przyśpieszenie kątowe (składowa styczna a t oznaczana przez ε ) określa zmianę wektora prędkości kątowej. W przypadku ruchu jednostajnego po okręgu składowa styczna przyśpieszenia kątowego jest równa zeru. Występuje tylko składowa normalna, której wartość określona jest wzorem:
Przykład 1. Tarcza o średnicy d=2r=20cm zaczyna obracać się ruchem jednostajnie przyspieszonym z przyspieszeniem kątowym ε=5 rad/s 2. Obliczyć przyspieszenie styczne i normalne punktów leżących na obwodzie tarczy w dziesiątej sekundzie ruchu. Rozwiązanie: a n ω a t a r v Dane: ε=5 rad/s 2 ; r=0,1m Obliczyć : a t i a n po 10 sek. ruchu Prędkość kątowa po 10 s ruchu wynosi: Przyśpieszenie normalne i styczne
Przykład 2. Ruch punktu po płaszczyźnie określony jest równaniami: x=40t, y=5t 2. Obliczyć wartości przyspieszenia stycznego i normalnego w chwili t=3s. Rozwiązanie: Składowe prędkości: Składowe przyśpieszenia Moduł wektora prędkości wynosi: dla t=3s Moduł wektora przyśpieszenia:
Pierwsza pochodna prędkości określa przyspieszenie styczne dla t=3s Przyspieszenie normalne obliczamy z zależności dla t=3s
Przykład 3 Narysować wykres s(t), v(t) oraz a(t) ilustrujący ruch ciała rzuconego pionowo w górę z prędkością początkową v 0. Dane: v 0, h 0. v 0 h 0
Rozwiązanie Wychodzimy z podstawowego równania: przez cały czas trwania ruchu. Ruch jednostajnie opóźniony. y x v 0
Rozwiązanie a(t) 0 g t w 2t w t v(t) v 0 0 t w 2t w t v 0
Rozwiązanie s(t) h max h 0 t w 2t w t
Rozwiązanie Obliczymy ponadto czas wznoszenia: Wyjdziemy z równania: v 0 y x
Rozwiązanie Wysokość rzutu obliczymy z zależności: Zatem: h max v 0 y x
Przykład 4 Ruch ciała po gładkiej równi pochyłej, a następnie po gładkim torze poziomym. a(t) = g a(t) = 0 s(t) parabola prosta gładkie przejście (funkcja różniczkowalna)!!! t
Jak odczytywać z wykresu? 1. Ruch jednostajny prostoliniowy: v(t) v 0 > 0 v(t) 0 t 0 t 0 t 0 t v 0 < 0 prędkość dodatnia punkt oddala się od obserwatora. prędkość ujemna punkt zbliża się do obserwatora.
Jak odczytywać z wykresu? 1. Ruch jednostajny prostoliniowy: s(t) s(t) tgα > 0 tgα < 0 0 α t 0 t 0 t 0 α t funkcja drogi rosnąca punkt oddala się od obserwatora. funkcja drogi malejąca punkt zbliża się do obserwatora.
Jak odczytywać z wykresu? 1. Ruch jednostajny prostoliniowy: s(t) s(t) s(t) > 0 0 t 0 t 0 α t 0 t s(t) < 0 wartości funkcji drogi dodatnie punkt porusza się po jednej stronie obserwatora. wartości funkcji drogi ujemne punkt porusza się po przeciwnej stronie obserwatora.
Jak odczytywać z wykresu? 2. Ruch jednostajnie przyspieszony (opóźniony): v(t) tg α > 0 v(t) tg α < 0 0 α t 0 t 0 t 0 α t funkcja prędkości rosnąca punkt przyspiesza. funkcja prędkości malejąca punkt zwalnia.
Jak odczytywać z wykresu? 2. Ruch jednostajnie przyspieszony (opóźniony): v(t) v(t) > 0 v(t) 0 t 0 t 0 t 0 t v(t) < 0 wartość prędkości dodatnia punkt oddala się od obserwatora. wartość prędkości ujemna punkt zbliża się od obserwatora.
Jak odczytywać z wykresu? 2. Ruch jednostajnie przyspieszony (opóźniony): Reguły są analogiczne jak dla ruchu jednostajnego prostoliniowego. Dodatkowo: α 1 α 2 α 2 α 1 parabola wypukła punkt przyspiesza. parabola wklęsła punkt zwalnia.
Przykład 5 Mając dany wykres prędkości od czasu, narysować wykres a(t) oraz s(t). Wyznaczyć: wartość przyspieszenia w każdym z przedziałów; przebytą drogę na końcu każdego przedziału. Dane dodatkowe: s(0) = v 1 t 1 /2.
Rozwiązanie Obliczymy najpierw wartość przyspieszenia i przebytej drogi w każdym z przedziałów: 0 < t < t 1 Prędkość ujemna, zatem punkt zbliża się do obserwatora. α 1
Rozwiązanie Obliczymy najpierw wartość przyspieszenia i przebytej drogi w każdym z przedziałów: t 1 < t < 2t 1 α 1 α 2
Rozwiązanie Wartość położenia na końcu każdego z przedziałów: Dla t 1 : Dla 2t 1 : prędkość malejąca parabola wklęsła prędkość rosnąca parabola wypukła α 1 α 2
Rozwiązanie Wykres drogi od czasu: s(t) v 1 t 1 2 s 1 (t) 0 t 1 s 2 (t) 2t 1 t v 1 t 1 2
Rozwiązanie Wykres przyspieszenia od czasu: a(t) v 1 t 1 0 t 1 2t 1 t v 1 t 1