Algebra liniowa z geometrią /4 Działania na zbiorach Zadanie Czy działanie : R R R określone wzorem (x x ) (y y ) := (x y x y x y + x y ) jest przemienne? Zadanie W dowolnym zbiorze X określamy działanie w następujący sposób: a b = b Wykazać że jest to działanie łączne Zadanie Zbadać własności działania : (a) określonego w zbiorze Z wzorem a b := a + b ; (b) określonego w zbiorze R wzorem a b := a + b + ab Zadanie 4 Określić za pomocą tabelki takie działanie w zbiorze {a b c d} które nie ma ani własności łączności ani przemienności Zadanie 5 W zbiorze A jest określone przemienne łączne i posiadające element neutralny e działanie W zbiorze A wszystkich podzbiorów zbioru A wprowadzamy działanie : dla dowolnych zbiorów B C A B C = {a A a = b c b B c C} Zadanie 6 Czy następujące działania są łączne przemienne mają element neutralny? (a) Działanie : A A A określone wzorem: { gdy a + b jest liczbą parzystą a b := gdy a + b jest liczbą nieparzystą (b) Działanie : R R R określone wzorem: (x x ) (y y ) := (x + y x y ) Zadanie 7 W zbiorze Z określamy działania następujące działania: Zbadać własności tego działania Ponadto czy: a b := ab + a + b oraz a b := a + b + (a) działanie jest rozdzielne względem działania (b) działanie jest rozdzielne względem działania (c) działanie jest rozdzielne względem działania (d) działanie jest rozdzielne względem działania?
Algebra liniowa z geometrią /4 Grupy ciała Zadanie Które z następujących struktur są grupami: (N +) ({ 4} +) (Z +) (nz +) dla dowolnego n Z (Q +) (R\Q +) ((R\Q) {} +) ({ } ) ({ } ) (R + ) (R ) (R\{} ) oraz ({z C z = } ) gdzie jest zwykłym mnożeniem a + zwykłym dodawaniem Zadanie Czy dwójka (X ) tworzy grupę gdzie (a) X = Z a określona jest wzorem a b := a + b +? (b) X = R a określona jest wzorem a b := a+b? (c) X = N a określona jest wzorem a b := max{a b}? (d) X jest zbiorem wszystkich naturalnych dzielników liczby 6 a określona jest wzorem a b = NW D(a b)? Zadanie Czy dwójka (Z Z ) tworzy grupę gdzie działanie określone jest wzorem (x y) (x y ) := (x + x y + y )? Zadanie 4 Pokazać że Z[ = {a + b R a b Z} z dodawaniem jest grupą Zadanie 5 Czy zbiór wszystkich liczb wymiernych z działaniem dodawania i mnożenia liczb jest ciałem? Zadanie 6 W zbiorze Q[ = {a + b R a b Q} działania dodawania i mnożenia określono tak jak na liczbach rzeczywistych Czy jest to ciało? Zadanie 7 W ciele Q[ rozwiązać równania: (a) x + x 7 + 6 = ; (b) x x = Zadanie 8 W zbiorze liczb rzeczywistych R określamy dodawanie i mnożenie w następujący sposób Czy jest to ciało? a b := a + b + a b := a + b + ab Zadanie 9 W zbiorze Q określamy działania dodawania i mnożenia w następujący sposób Czy jest to ciało? (a b) (c d) := (a + c b + d) (a b) (c d) := (ac bd) Zadanie W zbiorze R określamy działania dodawania i mnożenia w następujący sposób Czy jest to ciało? (a b) (c d) := (a + c b + d) (a b) (c d) := (ac bd ad + bc) Zadanie Znajdź wszystkie elementy odwracalne w pierścieniu Z 8 (odp Z 4 ) Oblicz odwrotność reszt 9 oraz w Z 8 (odp oraz 9 w Z 4 ) Zadanie Udowodnić że pierścień Z p jest ciałem wtedy i tylko wtedy gdy p jest liczbą pierwszą Zadanie Udowodnić że w ciele K o charakterystyce p: (a) jest spełniona tożsamość gdzie m jest liczbą natrulną; (x + y) pm = x pm + y pm (b) jeśli ciało K jest skończone to odwzorowanie ϕ: K K dane wzorem ϕ(x) = x p jest automorfizmem Zadanie 4 Rozwiąż równania i układy równań:
Algebra liniowa z geometrią /4 (a) x = 5 nad Z 7 ; (b) 5x + 9y = nad Z ; (c) (d) { x + (a + )y = nad Z 6ax + y = 7 w zależności od parametru a Z 7 ; { x + 7y = 7x + y = nad ciałem Z ; x + y + z = (e) 4x + y = nad ciałem Z 5 ; x + y + z = x + z = (f) y + z = nad Z 5 (Z ); x + z = x + z = (g) y + z = nad Z 5 (Z ) x + y = oraz wypisz wszystkie rozwiązania Zadanie 5 Znaleźć taki wielomian f(x) stopnia nie większego niż i o współczynnikach z ciała Z 5 że f() = f() = f() = f(4) = 4
Algebra liniowa z geometrią /4 Liczby zespolone Zadanie Wykonać działania na liczbach zespolonych: (a) ( + i) + ( + 5i) (b) +i +5i (c) ( + 7i)( + i) + ( 5 + i)( + 7i) (d) 4+7i i (e) ( i) (f) ( i) +(+i) (+i) +( i) Zadanie Pokazać że dla dowolnych liczb zespolonych z i z zachodzą zależności: (a) z + z = z + z (b) z z = z z (c) z z = z z (d) ( z z ) = z z (e) z z = z z (f) z + z = z + R( z z ) + z Zadanie Pokazać że dla dowolnych liczb zespolonych z u zachodzą następujące równości: (a) Rz = (z + z) (b) Iz = i (z z) (c) R(z + u) = R(z) + R(u) (d) I(z + u) = I(z) + I(u) Zadanie 4 Pokazać że dla dowolnej liczby zespolonej z spełniony jest warunek: ( ) z R = z = z + Zadanie 5 Naszkicować na płaszczyźnie R (utożsamianej z C) zbiory (a) {z C z = } (b) {z C z = i} (c) {z C < z } (d) {z C z i < } (e) {z C z i = z + i } (f) {z C z = z} (g) {z C I( iz+i z ) } (h) {z C z z+ } (i) {z C R(iz) < } Zadanie 6 Znaleźć na płaszczyźnie zespolonej zbiór punktów z spełniających warunek z z + z z = a gdzie z z C oraz a R są ustalone Zadanie 7 Rozwiązać w ciele liczb zespolonych równanie ( i)z = ( i)z + + i Zadanie 8 Rozwiązać układy równań z dwiema niewiadomymi (a) rzeczywistymi x i y: x i ( ) 4 + i + i + y = i; + i (b) zespolonymi u i w: (a) { (4 i)u + i( + i)w = 5 4i ( + i)u + (4 i)w = 6i (b) { (4 i)z + ( + i)w = 5( + i) ( i)z ( + i)w = ( + i) Zadanie 9 (a) Obliczyć pierwiastki kwadratowe z liczb zespolonych 4
Algebra liniowa z geometrią /4 (a) i (b) + 4i (c) 5 8i (b) Rozwiązać następujące równania z niewiadomą zespoloną z: (a) z z + i = (b) z 4 + z + 69 = (c) z 4 (8 4i)z + 77 + 6i = Zadanie Przedstawić w postaci trygonometrycznej następujące liczby zespolone: (a) (d) + i (g) + i (j) ( i)( + i) (b) i (e) i (h) i (k) sin(α) + i cos(α) (c) i (f) + i (i) i (l) i +i Zadanie Obliczyć: (a) ( + i) (b) ( + i) 8 (c) ( +i i i ) Zadanie Obliczyć (wykorzystując wzory de Moivre a): (a) (b) 6 i (c) i (d) 4i (e) 4 + i (f) i +i Zadanie Udowodnić że jeśli z spełnia równość z + z = cos ϕ to spełnia równość zn + z n = cos nϕ Zadanie 4 Dla trzech liczb zespolonych o tym samym różnym od zera module udowodnić że ich suma jest równa zero wtedy i tylko wtedy gdy są one wierzchołkami trójkąta równobocznego Czy podobne twierdzenie jest prawdziwe dla czterech liczb i kwadratu? Zadanie 5 Udowodnić że jeśli liczba zespolona z jest pierwiastkiem wielomianu o współczynnikach rzeczywistych to liczba z też jest pierwiastkiem tego wielomianu Czy jest tak dla wielomianów o współczynnikach zespolonych? Uzasadnić że każdy wielomian o współczynnikach rzeczywistych jest iloczynem czynników stopnia co najwyżej dwa Zadanie 6 (a) Obliczyć wszystkie pierwiastki zespolone szóstego stopnia z liczby (b) Wykazać że zbiór wszystkich pierwiastków zespolonych n-tego stopnia z tworzy grupę ze względu na mnożenie Czy jest ona izomorficzna z jakąś znaną grupą? (c) Udowodnić że dla n suma wszystkich pierwiastków zespolonych n-tego stopnia z wynosi (d) Czemu jest równy iloczyn wszystkich pierwiastków zespolonych n-tego stopnia z? (e) Wykazać że zbiór wszystkich pierwiastków zespolonych z wszystkich możliwych stopni naturalnych n tworzy grupę ze względu na mnożenie Zadanie 7 Wyprowadzić wzory: (a) cos nx = n k= (b) sin nx = n k= dla dowolnej liczby naturalnej n ( n k) ( ) k cos (n k) x sin k x ( n k+) ( ) k cos (n k) x sin k+ x 5
Algebra liniowa z geometrią /4 4 Macierze Zadanie 4 Wykonać działania na macierzach [ [ n m (a) ; (b) [ cos α sin α sin α cos α [ cos β sin β sin β cos β ; (c) (d) 4 5 ; [ 5 5 4 Zadanie 4 Obliczyć: [ n cos α sin α (a) ; (b) sin α cos α ([ 5 [ [ ) n 5 Zadanie 4 Za pomocą macierzy dopełnień algebraicznych obliczyć macierz odwrotną do macierzy (a) [ 4 9 7 (b) [ 4 8 (c) (d) [ 5 7 7 9 [ 4 5 5 7 4 9 [ 4 4 5 7 9 7 Zadanie 44 Za pomocą operacji elementarnych na wierszach znaleźć macierz odwrotną do macierzy (a) (b) (c) (d) [ 4 5 7 4 [ t t t [ 7 7 7 7 Zadanie 45 Dla jakiego parametru t R dana macierz jest odwracalna? Znajdź macierz odwrotną (a) [ t (b) [ t t [ t t t (c) (d) [ t t t t Zadanie 46 Udowodnij że jeśli A M n (R) i A + A I = to istnieje macierz A i przy tym A = A + I Zadanie 47 Za pomocą minorów obejmujących i operacji elementarnych wyznaczyć rzędy następujących macierzy: (a) (b) [ 8 7 4 5 ; 4 [ 7 7 9 7 5 4 5 ; [ 7 λ 6 9 λ 4 λ (c) (d) [ 4 7 5 7 5 4 5 ; 5 [ 77 6 5 4 6 5 4 Zadanie 48 Wyznaczyć w zależności od wartości parametru λ rząd podanych macierzy: [ λ (a) ; (c) λ 5 6 (b) λ n λ n λ n λ 7 n ; Zadanie 49 Udowodnić że: (d) λ λ λ n λ λ n λ n (a) rząd iloczynu macierzy jest nie większy od rzędu każdego z czynników tego iloczynu; (b) rząd macierzy (A B) otrzymanej przez dopisanie do macierzy A macierzy B jest nie większy od sumy rzędów macierzy A i B; (c) rząd sumy macierzy jest nie większy od sumy rzędów tych macierzy 6
Algebra liniowa z geometrią /4 Zadanie 4 Niech A i B będą macierzami o wyrazach rzeczywistych i jednakowej liczbie wierszy Wykazać że rz [ A A B 6B = rz A + rz B Zadanie 4 Wykazać że za pomocą operacji elementarnych na wierszach każdą macierz nieosobliwą można sprowadzić do postaci d Zadanie 4 Zbadać nieosobliwość macierzy a i a i (a) i a (b) i a i a w zależności od parametru a C Zadanie 4 Rozwiązać następujący układ równań liniowych (a) + i + i + i + i 7 + i 4 + 6i z z = (b) + i + i + i + i 7 + i 4 + 6i z z = i i i z i + i 4 + i + i z nad Q[i = {a + bi a b Q} (pokazać że ten zbiór tworzy ciało) oraz nad C Porównać oba zbiory rozwiązań Uzasadnić że jeśli wszystkie współczynniki pewnego nieosobliwego układu równań liniowych należą do mniejszego ciała K C to rozwiązanie tego układu ma wszystkie współrzędne w K 7
Algebra liniowa z geometrią /4 5 Przestrzenie liniowe Zadanie 5 Czy zbiór liczb rzeczywistych R z działaniami jest przestrzenią wektorową jeżeli: (a) x y = x + y α x = αx gdzie α x y R; (b) x y = x + y α x = αx gdzie α x y R? Zadanie 5 Pokazać że jeśli (K + ) jest ciałem to K jest przestrzenią liniową nad K Zadanie 5 Zbadać które z następujących struktur są przestrzeniami wektorowymi nad R: (a) zbiór ciągów o wyrazach rzeczywistych z działaniami x + y := (x + y x + y ) αx := (αx αx ) dla x = (x x ) y = (y y ) oraz α R; (b) zbiór liczb rzeczywistych dodatnich z działaniami określonymi następująco: x + y := xy αx := x α dla x y α R Zadanie 54 Czy są przestrzeniami liniowymi: (a) V a = {f F [ f( ) = } nad R; (b) V a = {f F [ f( ) = } nad R? (Przypomnijmy że F [ jest zbiorem funkcji o dziedzinie [ i przeciwdziedzinie R Działanie dodawania dla f g F [ określone jest następująco (f + g)(x) = f(x) + g(x) a mnożenie przez skalar λ R określamy wzorem (λf)(x) = λf(x)) Zadanie 55 Jakie aksjomaty przestrzeni liniowej spełnia grupa (R +) z dodawaniem po współrzędnych w której określamy mnożenie przez skalar λ R według wzoru λ(x y) := (λx )? Zadanie 56 Udowodnić następujące własności przestrzeni liniowej V nad ciałem K: (a) λ K λ = ; (b) x V x = ; (c) λ K x V [λx = (λ = x = ); (d) λ K x V λ( x) = ( λ)x = λx; (e) λ K xy V λ(x y) = αx αy; (f) λ K xy V [λ = λx = λy x = y Zadanie 57 Z ilu wektorów składa się przestrzeń liniowa (Z 5 + 5 5)? 8
Algebra liniowa z geometrią /4 6 Podprzestrzenie liniowe Zadanie 6 Niech V będzie przestrzenią liniową nad ciałem K Udowodnić poniższe własności przestrzeni V (a) Część wspólna podprzestrzeni liniowych przestrzeni V jest podprzestrzenią liniową przestrzeni V (b) Suma V + V := {v + w V jej podprzestrzenią liniową Zadanie 6 Sprawdzić czy zbiór: v V w V } podprzestrzeni V V przestrzeni liniowej V jest (a) {( x ) R x R)} jest podprzestrzenią liniową przestrzeni R nad R; (b) {(x x ) R x + x = } jest podprzestrzenią liniową przestrzeni R nad R; (c) {(x x x ) R x = x 5x } jest podprzestrzenią liniową przestrzeni R nad R Zadanie 6 Który z poniższych podzbiorów przestrzeni liniowej R n (nad R) jest jej podprzestrzenią liniową: (a) {(x x n ) R n x Z}; (b) {(x x n ) R n x = x = }? Zadanie 64 Niech K będzie dowolnym ciałem Sprawdzić które z podanych niżej podzbiorów przestrzeni liniowej K 4 (nad K) są podprzestrzeniami liniowymi: (a) {(t t + ) K 4 t K}; (b) {(t u t + u t u) K 4 t u K}; (c) {t( ) + u( ) K 4 t u K}; (d) {(tu tu ) K 4 t u K} Zadanie 65 Niech K będzie dowolnym ciałem Sprawdzić które z określonych niżej podzbiorów przestrzeni K[X (wielomianów jednej zmiennej o współczynnikach w ciele K) są podprzestrzeniami liniowymi: (a) {F K[X F () = }; (b) {F K[X deg(f ) 6}; (c) {F K[X deg(f ) = 6}; (d) {F K[X F jest podzielny przez X + } Zadanie 66 Udowodnić że podzbiór {( ) ( ) ( )} Z przestrzeni Z jest podprzestrzenią liniową 9
Algebra liniowa z geometrią /4 7 Kombinacje liniowe wektorów liniowa niezależność baza i wymiar Zadanie 7 Zapisać wektor v w postaci kombinacji liniowej wektorów v oraz v gdzie: (a) v = [ v = [ v = [ 7 ; (c) v = [ (b) v = [ 7 v = [ v = [ 4 v = [ v = [ 7 6 ; [ i [ [ Zadanie 7 Niech v = v = i oraz v = i Wyznaczyć wektory: i (a) v iv ; (b) iv + ( + i)v (i + )v [ a Zadanie 7 Dla jakich wartości parametru a wektor daje się jednoznacznie przedstawić w postaci [ a [ kombinacji liniowej wektorów oraz a? Zadanie 74 Czy wektor v jest kombinacją liniową wektorów v i gdzie (a) v = [ 5 v = [ v = (b) v(t) = t + t + 5 v (t) = t + v (t) = t + [ (c) v = [ 5 v = [ v = [ Zadanie 75 Liniowa niezależność wektorów (a) Zbadać liniową zależność wektorów nad ciałem R: (i) v = [ 4 w = [ (ii) v = [ w = [ (iii) v = [ w = u = [ 7 [ u = [ 6 4 (iv) v = (v) v = (b) Zbadać liniową zależność wektorów nad ciałem C: [ [ i [ i (i) v = w = u = (ii) v = i [ [ ab [ [ [ i i w = w = [ [ u = u = [ 4 [ i w = u = [ 5 [ c (c) Dane są wektory v = v = i v = w przestrzeni R Czy można tak dobrać wartości a b c by wektory v v v tworzyły zbiór liniowo niezależny? [ (d) W przestrzeni R [ dane są wektory v = oraz v = Znaleźć takie wektory v oraz v 4 że wektory v v v tworzą zbiór liniowo niezależny zaś wektory v v v 4 zbiór liniowo zależny (e) Wykazać że wektory v = [ v v v i w = [ w w w są liniowo niezależne wtedy i tylko wtedy gdy istnieją dwa różne indeksy i j { } takie że v i w j v j w i Czy ta równoważność zachowa się gdy zastąpimy inną liczbą naturalną? Zadanie 76 Baza i wymiar (a) Czy zbiór B jest bazą przestrzeni V gdy: (i) B = {[ i i [ i } V = C (ii) B = {[ [ [ [ } V = M (R) (b) Niech X będzie podzbiorem przestrzeni R 4 złożonym z następujących elementów: [ [ [ [ 4 [ 4 a = a = a = a 4 = a 5 = a 6 = Znaleźć podzbiór Y zawarty w X będący bazą przestrzeni X (c) Niech e i dla i = n będą elementami bazy standardowej K n Znaleźć wymiar i bazę podprzestrzeni rozpiętej przez wektory e i + e j dla i j n i j jeśli 8 [ [
Algebra liniowa z geometrią /4 (i) K = Q (ii) K = Z (d) Udowodnić że jeśli wektory u v oraz w tworzą bazę pewnej przestrzeni liniowej to wektory u u v oraz u v w też tworzą bazę tej przestrzeni (e) Znaleźć wymiar przestrzeni U wszystkich n n macierzy górnotrójkątnych o współczynnikach w ciele k (f) Niech U (odp U i U ) będzie podzbiorem U (z punktu (e)) złożonym ze wszystkich macierzy A = [a ij ij n U takich że a = a = = a nn = (odp a = a = = a nn = λ k i a + a + + a nn = ) Uzasadnić że U U i U są podprzestrzeniami U oraz znaleźć wymiary tych podprzestrzeni (g) Wykazać że funkcje e n dla n N zadane wzorem e n (m) = δ mn dla dowolnego m N tworzą zbiór wektorów liniowo niezależnych w k-przestrzeni F(N k) Czy jest to baza tej przestrzeni? Opisz podprzestrzeń generowaną przez ten zbiór Zadanie 77 Przedstawianie wektora w zadanej bazie [ [ (a) Sprawdzić że wektory v = v = i v = współrzędne w tej bazie następujących wektorów: (i) [ 48 6 (ii) [ (iii) (b) Wektor v przedstawić w bazie f f n przestrzeni Q n gdzie: [ [ [ [ 69 (i) f = f = f = oraz v = 4 [ [ [ [ 6 (ii) f = f = f = oraz v = 5 7 [ [ [ [ (iii) f = f = f = f 4 = oraz v = 4 [ [ stanowią bazę przestrzeni R Znaleźć (iv) (c) Dana jest baza { x + (x + ) (x + ) } przestrzeni F w (R R) Przedstawić w postaci liniowej kombinacji wektorów bazy następujące funkcje wielomianowe: [ 74 (i) x + x + 7x (ii) x + x [ xy z (d) Dana jest funkcja wielomianowa a n x n + + a x + a F w (R R) Znaleźć jej przedstawienie w bazie (x a) (x a) gdzie a jest ustaloną liczbą rzeczywistą Zadanie 78 Dane są dwie bazy F = {f f f } i G = {g g g } przestrzeni K oraz wektor v = x f + x f + x f Znaleźć jego przedstawienie w bazie G jeśli [ [ [ [ [ [ (a) f = f = f = g = g = g = x = x = x = a K = Z 5 [ [ [ [ [ [ (b) f = f = f = g = g = g = x = 4 x = x = a K = Q Zadanie 79 Niech F wn := F w (R; R) n oznacza podzbiór zbioru F w (R R) złożony ze wszystkich funkcji wielomianowych zadanych przez wielomiany stopnia mniejszego bądź równego n (n N) (a) Wykazać że funkcje f f f zadane przez wielomiany x + x + tworzą bazę przestrzeni F w Znaleźć współrzędne wektorów które są funkcjami zadanymi przez wielomiany x + x + ax + bx + c (b) Dana jest podprzestrzeń przestrzeni F w generowana przez funkcje wielomianowe zadane przez wielomiany 4x +5x +6x+7 x +4x +5x+6 x +x +4x+5 x +x +x+4 Znaleźć bazę tej podprzestrzeni złożoną z funkcji wielomianowych należących do podanego zbioru generatorów (c) Uzupełnić do bazy przestrzeni F w5 ciąg funkcji wielomianowych f f f f 4 zadanych odpowiednio przez wielomiany x 5 x 4 x 5 + x x 5 x x 5 + x (d) Niech f F wn będzie dowolną funkcją n N Znaleźć warunek dostateczny i wystarczający na to by zbiór funkcji {f f f f (n) } był zbiorem liniowo niezależnym
Algebra liniowa z geometrią /4 8 Układy równań Zadanie 8 Rozwiąż metodą eliminacji Gaussa układy równań nad ciałem liczb rzeczywistych: { x + x (a) + x = 4 x x + x = 7 ; 9x + 6x + 7x + x 4 = (g) 6x + 4x + x + 7x 4 = 7 ; { x + x x 5x 4 = x + x (b) + x = 4 x + x + x = 7 ; 8x + 6x + 5x + x 4 = { x + x + x + x 4 = x + x (c) + x = 4 x + x + x = 7 ; (h) 4x + x + x + x 4 = 8 ; x + x + x + x 4 = 5 7x + 4x + 5x + x 4 = 8 x + x + x = (d) 5x + x x = 4 ; 6x + 9x + x + x 4 = 4 x x + x = (i) x + x + 5x + 4x 4 = ; 4x + 6x + 4x + x 4 = x + x x = (e) x + x + x = 4 ; x + 5x + x = 5x + 5x x = 8 (j) 5x + 9x + 7x = ; x 8x + 7x = (f) x + x + x + x 4 = 5x + x x + x 4 = ; x x + x + x 4 = (k) { x + 4x + x x 4 = 6 x + x 4x + x 4 = Zadanie 8 Zbadać układ równań liniowych i znaleźć jego rozwiązanie ogólne w zależności od parametru λ R: 6x + 8x 5x x 4 = 9 x + 5x + x + x 4 = x (a) + 4x + 7x + x 4 = 4x ; (b) + 6x + x + 5x 4 = 4 ; x + 5x + 4x + x 4 = 4x + 4x + x + 7x 4 = 4 x + 7x + 7x + 7x 4 = λ x x + x + λx 4 = 7 λx + x + x = (c) x + λx + x = x + x + λx = Zadanie 8 Za pomocą wzorów Cramera rozwiązać następujący układ równań nad ciałem liczb rzeczywistych: { { x x (a) = x + 6x = 7 ; (b) x + 5x = x + 7x = ; x + x + x = (c) x + x + x = x + x + x = Zadanie 84 Znaleźć taki wielomian f o współczynnikach rzeczywistych że (a) deg f oraz f() = 8 f( ) = f() = 4 (b) deg f oraz f( ) = f( ) = f() = f() = Zadanie 85 Rozwiąż układy równań nad ciałem liczb zespolonych: (a) { (4 i)u + i( + i)w = 5 4i ( + i)u + (4 i)w = 6i ; (b) { (4 i)z + ( + i)w = 5( + i) ( i)z ( + i)w = ( + i) Zadanie 86 Udowodnić że układ równań liniowych o współczynnikach całkowitych ma rozwiązanie w liczbach całkowitych wtedy i tylko wtedy gdy dla dowolnej liczby całkowitej k największe wspólne dzielniki wszystkich minorów stopnia k macierzy układu i macierzy rozszerzonej układu są równe
Algebra liniowa z geometrią /4 9 Przekształcenia liniowe Zadanie 9 Które z poniższych odwzorowań są przekształceniami liniowymi? (a) f : R R f(x) = (b) f : R R f(x) = x + (c) f : R R f(x) = (x x) (d) f : C C f(z) = I(z) + iz gdzie C jest przestrzenią liniową nad R (C) (e) f : C C f(z) = z gdzie C jest przestrzenią liniową nad R (C) Zadanie 9 (a) Podać przykład funkcji f : R R która nie jest liniowa ale f(av) = af(v) dla a R oraz v R (b) Podać przykład funkcji z jednej przestrzeni liniowej w drugą która jest addytywna ale nie jest liniowa Zadanie 9 Pokazać że poniższe funkcje są przekształceniami liniowymi Wyznaczyć jądro i obraz oraz odpowiedzieć na pytanie które z tych przekształceń są izomorfizmami liniowymi (a) f : R R f((x y)) = x y (b) f : R R f((x x x )) = (x x x ) (c) f : R R f((x y)) = (x y x + y) (d) f : R R f((x x x )) = (x x x ) (e) f : R R f((x x x )) = (x + x x x ) (f) f : R R f((x x x )) = (x x 4x ) (g) f : C C f((z z )) = (z + z z + z ) Zadanie 94 Wyznaczyć wymiar i bazę jądra przekształcenia f (a) f : R R f(x x x ) = (x x + x ) (b) f : R R f(x x ) = (x x x + x ) (c) f : R R f(x x x ) = (x x x ) Zadanie 95 Czy jest możliwe by jądrem pewnego endomorfizmu przestrzeni R był zbiór: (a) { [ x x R : x = x = } (c) [ x x R : x + x = } (e) {[ } (b) Q (d) {[ } (f) R? Zadanie 96 Pokazać że przekształcenie liniowe ϕ: V V gdzie V jest przestrzenią liniową nad K taką że dim K V = jest postaci ϕ(v) = λv dla pewnego λ K i każdego v V Zadanie 97 Pokazać poniższe własności odwzorowań liniowych (a) Przekształcenie liniowe f : V W jest monomorfizmem wtedy i tylko wtedy gdy Ker f = {} (b) Niech f : V W będzie przekształceniem liniowym Wówczas f( a a n ) = f(a ) f(a n ) (c) Złożenie dwóch monomorfizmów (odpowiednio epimorfizmów izomorfizmów) liniowych między przestrzeniami liniowymi jest monomorfizmem (odpowiednio epimorfizmem izomorfizmem) liniowym (d) Odwzorowanie odwrotne do izomorfizmu liniowego jest izomorfizmem liniowym Zadanie 98 Czy poniższe przestrzenie liniowe są izomorficzne?
Algebra liniowa z geometrią /4 (a) (Q[ Q + ) i (Q[ Q + ) (b) (M (Q) Q + ) i (R 6 R + ) (c) (R 4 R + ) i (F w (R R) R + ) (d) (Q[ Q + ) i (R Q + ) 4
Algebra liniowa z geometrią /4 Macierz przekształcenia liniowego Zadanie Wyznaczyć macierz przekształcenia liniowego w bazach standardowych Znaleźć jądro i obraz Czy jest to izomorfizm liniowy? (a) f : R R f((x x x )) = (x x + x ) (b) f : R R f((x x )) = (x x ) (c) f : R R f((x x )) = (x x x + x ) (d) f : C C f((z z )) = (iz z z + iz ) Zadanie Przekształcenie liniowe ϕ: R R określone jest w bazach standardowych macierzą A ϕ = [ (a) Podać wzór na ϕ (b) Obliczyć ϕ(e e ) (c) wyznaczyć ϕ( e + e e e ) (d) Czy wektory e + e e e e należą do Ker ϕ Zadanie Znaleźć macierz przekształcenia liniowego f : F w (R R) R w bazach standardowych zadanego wzorem [ (f f)() f(t) = (f +f)() (f +f)( ) dla f F w (R R) Zadanie 4 Wyznaczyć macierz przekształcenia liniowego f : R R danego wzorem f((x x )) = (x + x x + x ) w bazach: (a) standardowych (b) (e e ) (e e e ) (c) (e + e e e ) (e e + e e + e + e ) Zadanie 5 Przekształcenie liniowe T = T A : R R 4 zadane jest w bazach standardowych macierzą: A = Znaleźć bazę podprzestrzeni T (V ) oraz T (V ) jeżeli [ 4 (a) V = {b b b } gdzie b = (b) V = {c c c } gdzie c = [ 4 [ 5 9 9 b = c = [ 5 b = [ 4 4 c = [ 5 5 [ 4 5
Algebra liniowa z geometrią /4 Macierz przejścia Zadanie Dla podanych baz A i B przestrzeni liniowej R n znaleźć macierz przejścia od bazy A do bazy B (a) A = ([ [ ) B = ([ [ 5 ) ([ [ [ ) ([ (b) A = B = (c) A = ([ ([ (d) A = [ [ [ [ 7 ) B = ([ ) ([ B = 4 [ [ 5 [ [ ) [ [ 6 ) ) Zadanie Niech A = (X X n ) i B = (Y Y n ) będą bazami przestrzeni liniowej V nad ciałem K Pokazać że PB A P A B = Id V gdzie PB A jest macierzą przejścia od bazy A do bazy B Zadanie Niech PB A będzie macierzą przejścia od bazy A do bazy B Znaleźć współrzędne wektora X w bazie A gdzie (a) PB A = [ [ a wektor X ma w bazie B współrzędne (b) P A B = [ a wektor X ma w bazie B współrzędne Zadanie 4 Dla podanych baz A i B przestrzeni liniowej F w (R R) znaleźć macierz przejścia od bazy A do bazy B oraz od bazy B do bazy A (a) A = ( X X ) B = (X X) (b) A = (X X) B = (X + X X + ) Zadanie 5 Znaleźć macierz przejścia od bazy B = (e e ) do bazy B = ( [ [ ) Wyznaczyć współrzędne wektora [ 5 8 w bazie B [ Zadanie 6 Wyznacz macierz przejścia od bazy ([ [ [ przestrzeni liniowej M (R) Zadanie 7 Wektor b ma w bazie B = (a a a ) współrzędne też bazą i wyznaczyć macierz przejścia od bazy B do bazy B [ [ ) do bazy ([ [ [ [ ) Pokazać że B = (a a b) jest Zadanie 8 Przekształcenie liniowej przestrzeni V w bazie (e e e e 4 ) ma macierz Wyznaczyć macierz tego przekształcenia w bazach: (a) (e 4 e e e ) [ 5 4 6 7 (b) (e e + e e + e + e e + e + e + e 4 ) Zadanie 9 Niech będzie macierzą endomorfizmu liniowego przestrzeni F w (R R) w bazie [ ( X X ) Wyznaczyć macierz tego przekształcenia w bazie (X + X + X + X + X + X + ) Zadanie Niech A = ( [ [ ) oraz A = ( [ [ ) ([ będą bazami przestrzeni liniowej R [ [ ) ([ a B = oraz B [ [ ) = bazami przestrzeni liniowej R Ponadto niech [ M f = będzie macierzą przekształcenia liniowego f : R R w bazach A i B (a) Znajdź macierz przekształcenia f w bazach A i B (b) Znajdź macierz przekształcenia f w bazach standardowych Zadanie Dane jest przekształcenie liniowe T : R R zadane w bazie standardowej przez macierz M T = [ 7 4 Znaleźć macierz tego przekształcenia w bazie f = [ f = [ 5 Czy T jest automorfizmem? 6
Algebra liniowa z geometrią /4 Zadanie Przekształcenie liniowe f : V W w bazach B V = (v v v v 4 ) B W = (w w w ) zadane jest macierzą M f = Znaleźć macierz f w bazach B V = (v v v + v v 4 ) B W = (w w w w ) [ Zadanie Niech P będzie macierzą przejścia od bazy B = (e e ) do bazy B = ([ 4 [ 8 ) Przekształcenie liniowe h ma w bazie B macierz M h = [ 5 a przekształcenie liniowe g ma w bazie B macierz M g = P Wyznacz macierz przekształcenia h g w bazie B Zadanie 4 Niech A = ( [ [ ) oraz A = ( [ [ ) ([ będą bazami przestrzeni liniowej R [ [ ) ([ a B = oraz B [ [ ) = bazami przestrzeni liniowej R Ponadto niech [ M f = będzie macierzą przekształcenia liniowego f : R R w bazach A i B a M g = [ macierzą przekształcenia liniowego g : R R w bazach A i B Znajdź macierz przekształcenia liniowego g f w bazach standardowych 7
Algebra liniowa z geometrią /4 Wartości i wektory własne Zadanie [ Znaleźć podprzestrzeń niezmienniczą przekształcenia f : R R zadanego macierzą ([ [ [ ) M f = w bazie Zadanie Znaleźć wielomian charakterystyczny wartości własne i wektory własne przekształcenia liniowego danego macierzą: (a) [ (b) [ (c) [ (d) [ 5 Zadanie Wyznacz wektory i wartości własne (a) operatora różniczkowania w przestrzeni F wn (R R) (e) (f) [ 4 4 [ 4 5 5 7 6 9 4 (b) przekształcenia liniowego T : C n C n zadanego w bazie (e e n ) następująco T (e ) = e T (e ) = e T (e n ) = e (c) przekształcenia liniowego f : R R danego wzorem f(x y) = (x + y x y) Zadanie 4 Zbadać czy macierze A i B są podobne gdzie (a) A = [ B = [ (b) A = [ B = [ Zadanie 5 Które z poniższych macierzy można sprawdzić do postaci diagonalnej przez wprowadzenie nowej bazy nad ciałem R lub nad ciałem C: (a) [ 5 (b) [ 4 7 5 4 5 (c) 9 4 Zadanie 6 Znaleźć ogólny wzór na a n dla n = jeżeli: (a) a = a = a n+ = a n+ + a n (b) a = a = a n+ = a n+ + a n [ [ 4 5 6 4 9 5 7 Zadanie 7 Rozważmy ciąg zadany następująco: a = a = a n+ = (a n+ + a n ) Znajdź wzór jawny na a n dla dowolnego n N i oblicz lim n a n Zadanie 8 Znajdź lim n P n gdzie P n = 8
Algebra liniowa z geometrią /4 Formy kwadratowe Zadanie Sprawdź które z poniższych odwzorowań są formami dwuliniowymi na odpowiednich przestrzeniach liniowych: (a) f(x Y ) = x x + xy + z X Y R ; (b) f(x Y ) = xx + yz + zz X Y R ; (c) f(x Y ) = xy + X Y R ; (d) f(x Y ) = X Y R ; (e) f(a B) = A t B A B k n ; (f) f(a B) = tr(ab) A B M n (R); (g) f(a B) = tr(ab BA) A B M n (C); (h) f(a B) = tr(a + B) A B M n (R); (i) f(a B) = det(ab) A B M n (C); (j) f(u v) = Re(uv) u v C a C rozpatrujemy jako przestrzeń liniową nad R gdzie X = [ xy z Y = [ x y jest formą dwuliniową z Zadanie Znajdź macierz formy dwuliniowej f : R R R (w bazach standardowych) zadanej wzorem: (a) f(x Y ) = xx + yy + zz (b) f(x Y ) = xx + xz + yy + yz + zx (c) f(x Y ) = xx + xy + xz + yx + yy + zx + zz (d) f(x Y ) = xx + xy + yy + xz + yz (e) f(x Y ) = xx yx + xy + yy gdzie X = [ xy z antysymetryczne Y = [ x y Które z powyższych form są symetryczne które niezdegenerowane a które z Zadanie Wykaż że funkcja d: F w F w V R dana wzorem d(f(x) g(x)) = f(x)g(x)dx jest symetryczną niezdegenerowaną formą dwuliniową Zajdź macierz formy d w bazach standardowych Zadanie 4 Sprawdź które z poniższych form kwadratowych o dwóch zmiennych określonych nad R są dodatnio określone ujemnie określone dodatnio półokreślone oraz nieokreślone (a) x + xy (b) x + 4xy 4y (c) x + xy y (d) 4x + 8xy + 5y (e) x + xy y Zadanie 5 Sprowadź poniższe formy kwadratowe do postaci kanonicznej metodą Lagrange a lub o ile to możliwe metodą Jacobiego: 9
Algebra liniowa z geometrią /4 (a) x + x + x + 4x x + x x + x x ; (b) x + x + x + x x + 4x x 6x x ; (c) x x x x + x x 6x x ; (d) x x + x x + x x 4 + x x + x x 4 + x x 4 Zadanie 6 Wykorzystując kryterium Sylvestera sprawdź które z poniższych form są dodatnio określone: (a) x + x x + x + x 4 x x x x x x 4 x x 4 + x x 4 ; (b) x + x + x + x 4 x x + x x x x 4 x x + x x 4 x x 4 ; (c) x + x + x x x + x x + x x ; (d) x + x + x + x 4 x x x x x x 4 x x 4 + x x 4
Algebra liniowa z geometrią /4 Literatura [ I Nabiałek J Klukowski Algebra dla studentów Wydwanictwa Naukowo-Techniczne 999 [ A I Kostrikin z algebry Wydawnictwo naukowe PWN 5 [ A Szlachtowski S Przybyło Algebra i wielowymiarowa geometria analityczna w zadaniach Wydawnictwa Naukowo-Techniczne 994