WYKŁAD 3 Witold Bednorz, Paweł Wolff 1 Instytut Matematyki Uniwersytet Warszawski Rachunek Prawdopodobieństwa, WNE, 2010-2011
Schemmat Bernouliego Rzucamy 10 razy moneta, próba Bernouliego jest pojedynczy rzut, sukces to wyrzucenie orła, p-stwo sukcesu wynosi 1 2.
Schemmat Bernouliego Rzucamy 10 razy moneta, próba Bernouliego jest pojedynczy rzut, sukces to wyrzucenie orła, p-stwo sukcesu wynosi 1 2. Rzucamy 5 razy kostka go gry, próba Bernouliego jest pojedynczy rzut, sukces to wyrzucenie liczby oczek 2, p-stwo sukcesu 1 3.
Schemmat Bernouliego Rzucamy 10 razy moneta, próba Bernouliego jest pojedynczy rzut, sukces to wyrzucenie orła, p-stwo sukcesu wynosi 1 2. Rzucamy 5 razy kostka go gry, próba Bernouliego jest pojedynczy rzut, sukces to wyrzucenie liczby oczek 2, p-stwo sukcesu 1 3. W urnie znajduje się 5 kul białych i 4 czarne, prób a Bernouliego jest pojedyncze wylosowanie dwóch kul z urny, sukces to wylosowanie dwóch kul białych, p-swto sukcesu ( 5 2) / ( 9 2).
Schemat Bernouliego Schemat Bernouliego (ozn. B(n, p)) opisuje ciag n niezależnych eksperymentów w których możliwe sa dwa wyniki: sukces-1 i porażka-0.
Schemat Bernouliego Schemat Bernouliego (ozn. B(n, p)) opisuje ciag n niezależnych eksperymentów w których możliwe sa dwa wyniki: sukces-1 i porażka-0. Przestrzeń probabilistyczna ma postać: Ω = {0, 1} n to znaczy Ω = {(ω 1, ω 2,..., ω n ), ω i {0, 1}}.
Schemat Bernouliego Schemat Bernouliego (ozn. B(n, p)) opisuje ciag n niezależnych eksperymentów w których możliwe sa dwa wyniki: sukces-1 i porażka-0. Przestrzeń probabilistyczna ma postać: Ω = {0, 1} n to znaczy Ω = {(ω 1, ω 2,..., ω n ), ω i {0, 1}}. Przyjmujemy F = 2 Ω, czyli mierzalne s a wszystkie podzbiory.
Schemat Bernouliego Schemat Bernouliego (ozn. B(n, p)) opisuje ciag n niezależnych eksperymentów w których możliwe sa dwa wyniki: sukces-1 i porażka-0. Przestrzeń probabilistyczna ma postać: Ω = {0, 1} n to znaczy Ω = {(ω 1, ω 2,..., ω n ), ω i {0, 1}}. Przyjmujemy F = 2 Ω, czyli mierzalne sa wszystkie podzbiory. Funkcja p-stwa ma postać P({ω 1,..., ω n }) = p n i=1 ω i q n n i=1 ω i, gdzie 0 p, q 1,p + q = 1, p p-stwo sukcesu, q p-stwo porażki
Przykłady Z definicji wynika, że p-stwo otrzymania dokładnie k sukcesów wynosi ( n k) p k q n k, gdzie 0 k n.
Przykłady Z definicji wynika, że p-stwo otrzymania dokładnie k sukcesów wynosi ( n k) p k q n k, gdzie 0 k n. Rzucamy 10 razy kostka, oblicz p-stwo że szóstka wypadnie raz lub dwa razy? Odp. P(OK ) = P(1 6)+P(2 6) = ( 10 1 ) ( 1 6 )(5 6 )9 + ( 10 2 ) ( 1 6 )2 ( 5 6 )8.
Przykłady Z definicji wynika, że p-stwo otrzymania dokładnie k sukcesów wynosi ( n k) p k q n k, gdzie 0 k n. Rzucamy 10 razy kostka, oblicz p-stwo że szóstka wypadnie raz lub dwa razy? Odp. P(OK ) = P(1 6)+P(2 6) = ( 10 1 ) ( 1 6 )(5 6 )9 + ( 10 2 ) ( 1 6 )2 ( 5 6 )8. Dany jest schemat B(n, p). Jaka jest najbardziej prawdopodobna liczba sukcesów? Oznaczmy p k = P(dok k) = ( n k) p k q n k, q = 1 p. Odp. [(n + 1)p], bo p k+1 p k = ( n k+1( n k ) p k+1 q n k 1 ) p k q n k = (n k)p (k + 1)q.
Przybliżenie Poissona Rozważmy przypadek B(n, p n ), w którym lim n np n = λ > 0, to znaczy mamy dużo prób z małym p-stwem sukcesu.
Przybliżenie Poissona Rozważmy przypadek B(n, p n ), w którym lim n np n = λ > 0, to znaczy mamy dużo prób z małym p-stwem sukcesu. Dla dowolnego k = 0, 1, 2,... zachodzi lim n ( n )p kn(1 p n ) n k = λk k k! e λ.
Przybliżenie Poissona Rozważmy przypadek B(n, p n ), w którym lim n np n = λ > 0, to znaczy mamy dużo prób z małym p-stwem sukcesu. Dla dowolnego k = 0, 1, 2,... zachodzi lim n ( n )p kn(1 p n ) n k = λk k k! e λ. Oszacowanie błędu w przybliżeniu Poissona: Niech λ = np n, S n - liczba skucesów w B(n, p n ). Dla dowolnego A {0, 1, 2,...} zachodzi P(S n A) k A λ k k! e λ npn 2 = λ2 n
Przykłady W urnie znajduje się 999 kul czarnych i 1 biała. Wyznaczyć p-swto, że losujac 500 razy ze zwracaniem wylosujemy 2 razy biała kulę.
Przykłady W urnie znajduje się 999 kul czarnych i 1 biała. Wyznaczyć p-swto, że losujac 500 razy ze zwracaniem wylosujemy 2 razy biała kulę. Rozwiazanie: mamy schemat B(500, 1/1000). Zatem n = 500, p n = 1/1000, λ = np n = 1/2. Wzór Poissona daje P(S 1000 = 2) 2 2 2! e 1 2 = 0, 076.
Przykłady W urnie znajduje się 999 kul czarnych i 1 biała. Wyznaczyć p-swto, że losujac 500 razy ze zwracaniem wylosujemy 2 razy biała kulę. Rozwiazanie: mamy schemat B(500, 1/1000). Zatem n = 500, p n = 1/1000, λ = np n = 1/2. Wzór Poissona daje P(S 1000 = 2) 2 2 2! e 1 2 = 0, 076. Oszacowanie na przybliżenie Poissona wynosi np 2 n = λ 2 /n = 1/2000, zatem P(S 1000 = 2) 0, 076 = 0, 0002.
Przykłady Artykuł liczy 10 5 = 100000. Podczas wprowadzania artykułu do komputera, ps-wto pomyłki wynosi 0, 0001 = 10 4. Jakie jest p-stwo, że w artykule sa co najmniej 2 błędy?
Przykłady Artykuł liczy 10 5 = 100000. Podczas wprowadzania artykułu do komputera, ps-wto pomyłki wynosi 0, 0001 = 10 4. Jakie jest p-stwo, że w artykule sa co najmniej 2 błędy? Rozwiazanie: mamy schemat B(10 5, 10 4 ). Zatem n = 10 5, p n = 10 4, λ = np n = 10. Wzór Poissona daje P(S 10 5 {0, 1}) 100 0! e 10 + 101 1! e 10 = 11e 10 = 0, 0005.
Przykłady Artykuł liczy 10 5 = 100000. Podczas wprowadzania artykułu do komputera, ps-wto pomyłki wynosi 0, 0001 = 10 4. Jakie jest p-stwo, że w artykule sa co najmniej 2 błędy? Rozwiazanie: mamy schemat B(10 5, 10 4 ). Zatem n = 10 5, p n = 10 4, λ = np n = 10. Wzór Poissona daje P(S 10 5 {0, 1}) 100 0! e 10 + 101 1! e 10 = 11e 10 = 0, 0005. Oszacowanie na przybliżenie Poissona wynosi np 2 n = λ 2 /n = 10 3, zatem P(S 10 5 {0, 1}) 0, 9995 0, 001.
Przykłady Z przedziału [0, 2] wybieramy losowo 100 punktów. Jakie jest p-swto, że co najmniej jeden z nich będzie należał do odcinka [0, 1/4]?
Przykłady Z przedziału [0, 2] wybieramy losowo 100 punktów. Jakie jest p-swto, że co najmniej jeden z nich będzie należał do odcinka [0, 1/4]? Rozwiazanie: mamy schemat B(100, 1/8). Zatem n = 100, p n = 1/8, λ = np n = 12, 5. Wzór Poissona daje P(S 100 = 0) (12, 5)0 e 12,5 = 0, 000004. 0!
Przykłady Z przedziału [0, 2] wybieramy losowo 100 punktów. Jakie jest p-swto, że co najmniej jeden z nich będzie należał do odcinka [0, 1/4]? Rozwiazanie: mamy schemat B(100, 1/8). Zatem n = 100, p n = 1/8, λ = np n = 12, 5. Wzór Poissona daje P(S 100 = 0) (12, 5)0 e 12,5 = 0, 000004. 0! Oszacowanie na przybliżenie Poissona wynosi np 2 n = λ 2 /n = 1, 5625, zatem to przybliżenie jest bezwartosciowe, gdyż P(S 100 > 0) 0, 000004 1, 5625.
Dowód Mamy pokazać, że lim n ( n k ) p k q n k = λk k! e λ.
Dowód ( Mamy pokazać, że lim n ) n k p k q n k = λk k! e λ. Zauważmy, że p k = n k (np) k oraz ( ) n n(n 1)...(n k + 1) =, q n k = (1 np k k! n )n k.
Dowód ( Mamy pokazać, że lim n ) n k p k q n k = λk k! e λ. Zauważmy, że p k = n k (np) k oraz ( ) n n(n 1)...(n k + 1) =, q n k = (1 np k k! n )n k. Z założenia lim n np = λ, zatem lim n n(n 1)...(n k + 1) n k (np k ) = λk k! k!, lim n (1 np n )n k = lim n (1 np n ) k (1 np n )n = 1 e λ.
Zmienne losowe Zmienna losowa nazywamy funkcję mierzalna X : Ω R.
Zmienne losowe Zmienna losowa nazywamy funkcję mierzalna X : Ω R. Mierzalność oznacza, że dla dowolnego A B(R) X 1 (A) = {ω Ω : X(ω) A} F, to znaczy przeciwobraz dowolnego zbioru mierzalnego na prostej jest mierzalny w modelu probabilistycznym.
Zmienne losowe Zmienna losowa nazywamy funkcję mierzalna X : Ω R. Mierzalność oznacza, że dla dowolnego A B(R) X 1 (A) = {ω Ω : X(ω) A} F, to znaczy przeciwobraz dowolnego zbioru mierzalnego na prostej jest mierzalny w modelu probabilistycznym. Równoważnie X jest mierzalna wtedy i tylko wtedy, gdy X 1 ((, a]) = {ω Ω : X(ω) a} F.
Zmienne losowe Zmienna losowa nazywamy funkcję mierzalna X : Ω R. Mierzalność oznacza, że dla dowolnego A B(R) X 1 (A) = {ω Ω : X(ω) A} F, to znaczy przeciwobraz dowolnego zbioru mierzalnego na prostej jest mierzalny w modelu probabilistycznym. Równoważnie X jest mierzalna wtedy i tylko wtedy, gdy X 1 ((, a]) = {ω Ω : X(ω) a} F. Jeśli Ω-dyskretny oraz F = 2 Ω, to każda funkcja X : Ω R jest zmienna losowa.
Przykłady Rzucamy 2 razy kostk a, X-liczba orłów. Mamy Ω = {(O, O), (O, R), (R, O), (R, R)}, X(O, O) = 2, X(O, R) = X(R, O) = 1, X(R, R) = 0.
Przykłady Rzucamy 2 razy kostka, X-liczba orłów. Mamy Ω = {(O, O), (O, R), (R, O), (R, R)}, X(O, O) = 2, X(O, R) = X(R, O) = 1, X(R, R) = 0. Rzucamy dwa razy kostk a, X-smmua oczek. Mamy Ω = {(a, b) : a, b {1,..., 6}}, X(a, b) = a + b.
Przykłady Rzucamy 2 razy kostka, X-liczba orłów. Mamy Ω = {(O, O), (O, R), (R, O), (R, R)}, X(O, O) = 2, X(O, R) = X(R, O) = 1, X(R, R) = 0. Rzucamy dwa razy kostka, X-smmua oczek. Mamy Ω = {(a, b) : a, b {1,..., 6}}, X(a, b) = a + b. Z odcinka [0, 3] wybieramy punkt x. Niech X oznacza jego odległośc od najbliższej liczby całkowitej. Wówczas Ω = [0, 3] i dla ω [0, 3], X(ω) X(ω) = ω k, ω [k 1 2, k + 1 ] [0, 3], k = 0, 1, 2, 3. 2
Funkcje borelowskie Przypomnijmy, że B(R) jest najmniejszym σ-ciałem zawierajacym zbiory otwarte na R.
Funkcje borelowskie Przypomnijmy, że B(R) jest najmniejszym σ-ciałem zawierajacym zbiory otwarte na R. Funkcję f : R R nazywamy Borelowsk a, jeśli f 1 (A) B(R) dla dowolnego A B(R).
Funkcje borelowskie Przypomnijmy, że B(R) jest najmniejszym σ-ciałem zawierajacym zbiory otwarte na R. Funkcję f : R R nazywamy Borelowska, jeśli f 1 (A) B(R) dla dowolnego A B(R). Wiekszość funkcji zadanych jawnym wzorem jest borelowska, np. f (x) = sin x, f (x) = x 3 + tg x, f (x) = x 1 sa borelowskie.
Funkcje borelowskie Przypomnijmy, że B(R) jest najmniejszym σ-ciałem zawierajacym zbiory otwarte na R. Funkcję f : R R nazywamy Borelowska, jeśli f 1 (A) B(R) dla dowolnego A B(R). Wiekszość funkcji zadanych jawnym wzorem jest borelowska, np. f (x) = sin x, f (x) = x 3 + tg x, f (x) = x 1 sa borelowskie. Złożenie f (X) : Ω R jest zmmienna losowa, jeśli X była mierzalna.
Zmienne losowe niezależne Dla dowolnej zmiennej losowej X definiujemy σ-cialo σ(x) = {X 1 (A) F : A B(R)}.
Zmienne losowe niezależne Dla dowolnej zmiennej losowej X definiujemy σ-cialo σ(x) = {X 1 (A) F : A B(R)}. Mówimy, że zmienne losowe X 1,..., X n : Ω R sa niezależne jeśli σ-ciała σ(x 1 ),..., σ(x n ) sa niezależne.
Zmienne losowe niezależne Dla dowolnej zmiennej losowej X definiujemy σ-cialo σ(x) = {X 1 (A) F : A B(R)}. Mówimy, że zmienne losowe X 1,..., X n : Ω R sa niezależne jeśli σ-ciała σ(x 1 ),..., σ(x n ) sa niezależne. Równoważnie dla dowolnych A 1,..., A n B(R) zachodzi P({X 1 A 1 } {X 2 A 2 }... {X n A n }) = = P(X 1 A 1 )...P(X n A n ).
Zmienne losowe niezależne Dla dowolnej zmiennej losowej X definiujemy σ-cialo σ(x) = {X 1 (A) F : A B(R)}. Mówimy, że zmienne losowe X 1,..., X n : Ω R sa niezależne jeśli σ-ciała σ(x 1 ),..., σ(x n ) sa niezależne. Równoważnie dla dowolnych A 1,..., A n B(R) zachodzi P({X 1 A 1 } {X 2 A 2 }... {X n A n }) = = P(X 1 A 1 )...P(X n A n ). Równoważnie dla dowolnych t 1,..., t n R zachodzi P({X 1 t 1 } {X 2 t 2 }... {X n t n }) = = P(X 1 t 1 )...P(X n t n ).
Przykłady Niech B(n, p) ozancza schemat Bernouliego. Zmienna X k ((ω 1,..., ω n )) = ω k, 1 k n, to znaczy X k równa się 1 jeśli w k-tym zdarzeniu mamy sukces 0 jeśli porażkę.
Przykłady Niech B(n, p) ozancza schemat Bernouliego. Zmienna X k ((ω 1,..., ω n )) = ω k, 1 k n, to znaczy X k równa się 1 jeśli w k-tym zdarzeniu mamy sukces 0 jeśli porażkę. Zmienne losowe X 1,..., X n sa niezależne. Jeśli ustalimy konkretne wartości X k = ω k, ω k {0, 1}, to przecięcie {X 1 = ω 1 }... {X n = ω n } odpowiada punktowi (ω 1,..., ω n ) Ω. Zatem P({X 1 = ω 1 }... {X n = ω n }) = p n i=1 ω i q n n i=1 ω i, q = 1 p.
Przykłady Niech B(n, p) ozancza schemat Bernouliego. Zmienna X k ((ω 1,..., ω n )) = ω k, 1 k n, to znaczy X k równa się 1 jeśli w k-tym zdarzeniu mamy sukces 0 jeśli porażkę. Zmienne losowe X 1,..., X n sa niezależne. Jeśli ustalimy konkretne wartości X k = ω k, ω k {0, 1}, to przecięcie {X 1 = ω 1 }... {X n = ω n } odpowiada punktowi (ω 1,..., ω n ) Ω. Zatem P({X 1 = ω 1 }... {X n = ω n }) = p n i=1 ω i q n n i=1 ω i, q = 1 p. Z drugiej strony P(X k = ω k ) = p jeśli ω k = 1 i P(X k = ω k ) = q jeśli ω k = 0. P(X 1 = ω 1 )...P(X n = ω n ) = p n i=1 ω i q n n i=1 ω i, zatem X 1,..., X n sa niezależne.
Przykałdy Rozważymy uogólnienie B(n, p), czyli niech Ω = {0, 1,..., a} n, F = 2 Ω, P((ω 1,..., ω n )) = gdzie a j=0 p j = 1, p j 0. a j=0 p i: ω i =j j,
Przykałdy Rozważymy uogólnienie B(n, p), czyli niech Ω = {0, 1,..., a} n, F = 2 Ω, P((ω 1,..., ω n )) = a j=0 p i: ω i =j j, gdzie a j=0 p j = 1, p j 0. Wtedy analogicznie jak w B(n, p) zmienne X k (ω 1,..., ω n ) = ω k sa niezależne.
Rozkłady zmiennych losowych Rzucamy 3 razy symetryczna moneta, niech X oznacza liczbę orłów. Mamy P(X = 0) = 1 8, P(X = 1) = P(X = 2) = 3 8, P(X = 3) = 1 8.
Rozkłady zmiennych losowych Rzucamy 3 razy symetryczna moneta, niech X oznacza liczbę orłów. Mamy P(X = 0) = 1 8, P(X = 1) = P(X = 2) = 3 8, P(X = 3) = 1 8. Zauważmy, że Y liczba wyrzuconych reszek ma te same p-stwa, ndato X + Y = 3.
Rozkłady zmiennych losowych Rzucamy 3 razy symetryczna moneta, niech X oznacza liczbę orłów. Mamy P(X = 0) = 1 8, P(X = 1) = P(X = 2) = 3 8, P(X = 3) = 1 8. Zauważmy, że Y liczba wyrzuconych reszek ma te same p-stwa, ndato X + Y = 3. Z koła o promieniu 1 losujemy punkt. Niech X oznacza odleglość tego punktu od środka koła. Wówczas X przyjmuje wartości z przedziału [0, 1]. Dla a [0, 1] mamy P(X [0, a]) = πa2 π = a2.
Rozkład p-stwa Rozkładem p-stwa nazywamy miarę probabilistyczna (spełniajac a aksjomaty funkcji p-stwa) na przstrzeni (R, B(R)) zadana wzorem µ X (A) = P(X A).
Rozkład p-stwa Rozkładem p-stwa nazywamy miarę probabilistyczna (spełniajac a aksjomaty funkcji p-stwa) na przstrzeni (R, B(R)) zadana wzorem µ X (A) = P(X A). Zatem µ X (R) = 1, µ X (A) [0, 1] oraz dla A i B(R) zbiorów parami rozłacznych µ X ( A i ) = i=1 µ X (A i ). i=1
Rozkład p-stwa Rozkładem p-stwa nazywamy miarę probabilistyczna (spełniajac a aksjomaty funkcji p-stwa) na przstrzeni (R, B(R)) zadana wzorem µ X (A) = P(X A). Zatem µ X (R) = 1, µ X (A) [0, 1] oraz dla A i B(R) zbiorów parami rozłacznych µ X ( A i ) = i=1 µ X (A i ). i=1 Istnieja różne zmienne losowe, które maja ten samm rozkład.
Opis rozkładu Dla zmiennych losowych X przyjmujacych skończenie wiele (badź przeliczalnie wiele) wartości aby opisać rozkład podajemmy p-stwa wszystkich wartości. To znaczy X ma wartości w zbiorze S = {s 0, s 1,..., s n,...} podajemy p k = µ X ({s k }) = P(X = s k ), dla k = 0, 1, 2,...
Opis rozkładu Dla zmiennych losowych X przyjmujacych skończenie wiele (badź przeliczalnie wiele) wartości aby opisać rozkład podajemmy p-stwa wszystkich wartości. To znaczy X ma wartości w zbiorze S = {s 0, s 1,..., s n,...} podajemy p k = µ X ({s k }) = P(X = s k ), dla k = 0, 1, 2,... Na przykład dla X liczby sukcesów w B(n, p), q = 1 p rozkład opisuje ( ) n p k = µ X ({k}) = P(X = k) = p k q n k, k = 0, 1,..., n. k
Opis rozkładu Dla zmiennych losowych X przyjmujacych skończenie wiele (badź przeliczalnie wiele) wartości aby opisać rozkład podajemmy p-stwa wszystkich wartości. To znaczy X ma wartości w zbiorze S = {s 0, s 1,..., s n,...} podajemy p k = µ X ({s k }) = P(X = s k ), dla k = 0, 1, 2,... Na przykład dla X liczby sukcesów w B(n, p), q = 1 p rozkład opisuje ( ) n p k = µ X ({k}) = P(X = k) = p k q n k, k = 0, 1,..., n. k Dzieje się tak dlatego, że aby podać µ X (A), A B(R) obliczamy µ X (A) = P(X A) = s k A P(X = s k ) = s k A µ X ({s k }) = s k A p k.
Opis rozkładu Jeśli zmienna X ma rozkład ciagły, do opisu rozkładu µ X będzie służyła gęstość f. Gęstość jest funkcja borelowska, dodatnia taka, że R f (x)dx = 1.
Opis rozkładu Jeśli zmienna X ma rozkład ciagły, do opisu rozkładu µ X będzie służyła gęstość f. Gęstość jest funkcja borelowska, dodatnia taka, że R f (x)dx = 1. O gestości mówimy gdy µ X (A) = A f (x)dx dla dowolnego A B(R).
Opis rozkładu Jeśli zmienna X ma rozkład ciagły, do opisu rozkładu µ X będzie służyła gęstość f. Gęstość jest funkcja borelowska, dodatnia taka, że R f (x)dx = 1. O gestości mówimy gdy µ X (A) = A f (x)dx dla dowolnego A B(R). Jesli X odelglość losowego punktu od środka koła o promieniu 1, ma gęstość f (x) = 3x 3 1 x [0,1]. Istotnie da dowolnego a [0, 1] µ X ([0, a]) = a 2 = a 0 3x 2 dx.
Przykłady Rozkład Bernouliego B(n, p), µ X ({k}) = ( n k) p k q n k, k = 0, 1,..., n, q = 1 p.
Przykłady Rozkład Bernouliego B(n, p), µ X ({k}) = ( n k) p k q n k, k = 0, 1,..., n, q = 1 p. Rozkład geometryczny Geom(p), µ X ({k}) = pq k 1, k = 1, 2,..., p + q = 1, p, q 1.
Przykłady Rozkład Bernouliego B(n, p), µ X ({k}) = ( n k) p k q n k, k = 0, 1,..., n, q = 1 p. Rozkład geometryczny Geom(p), µ X ({k}) = pq k 1, k = 1, 2,..., p + q = 1, p, q 1. Rozkład Poissona µ X ({k}) = λk k! e λ, k = 0, 1, 2,..., λ > 0.
Przykłady Rozkład Bernouliego B(n, p), µ X ({k}) = ( n k) p k q n k, k = 0, 1,..., n, q = 1 p. Rozkład geometryczny Geom(p), µ X ({k}) = pq k 1, k = 1, 2,..., p + q = 1, p, q 1. Rozkład Poissona µ X ({k}) = λk k! e λ, k = 0, 1, 2,..., λ > 0. Rozkład ciagły na [a, b], U(a, b), µ X ma gęstość 1 b a 1 [a,b](x).