Harmonogramowanie czynności (1)

Harmonogramowanie czynności (1) dr inż. Mariusz Kaleta Instytut Automatyki i Informatyki Stosowanej Politechnika Warszawska Październik 2011 dr inż. Mariusz Kaleta Elementy zarządzania produkcją 1 / 50

Podstawy Przedmiot harmonogramowania Obszar badań operacyjnych związany z modelowaniem wybranych problemów decyzyjnych opracowywaniem algorytmów optymalizacyjnych i decyzyjnych Typowe obszary aplikacyjne to modele i algorytmy harmonogramowania i zarządzania procesami produkcji dóbr oraz usług dystrybucji w systemach produkcyjnych, informacyjnych, komunikacyjnych jako element informatycznych systemów zarządzania dr inż. Mariusz Kaleta Elementy zarządzania produkcją 2 / 50

Podstawy Metodyka badań operacyjnych Cykl postępowania Deskryptywna analiza problemu Tworzenie modelu decyzyjnego Opracowanie algorytmu i rozwiązywanie Analiza rozwiązań (analiza wrażliwościowa i parametryczna) Sprzężenie zwrotne (porównanie z obiektem rzeczywistym i ewentualne wprowadzenie dodatkowych warunków) dr inż. Mariusz Kaleta Elementy zarządzania produkcją 3 / 50

Podstawy Modelowanie rzeczywistych obiektów Model obiektu Pewien wzorcowy (bardziej lub mniej precyzyjny) opis, abstrakcyjna, uproszczona reprezentacja obiektu, przedstawiająca wybrane cechy lub zasady działania Nie jest dokładną kopią modelowanego obiektu Rodzaje modeli: techniczny, matematyczny, symulacyjny Model deskryptywny vs. decyzyjny Model matematyczny Zawiera istotne stałe i zmienne wielkości parametry obiektu oraz matematyczne zależności opisujące relacje pomiędzy parametrami dr inż. Mariusz Kaleta Elementy zarządzania produkcją 4 / 50

Podstawy Modelowanie rzeczywistych obiektów Model decyzyjny Model matematyczny, w którym występują określone kryteria, warunki oraz zmienne decyzyjne z pewnego zbioru rozwiązań Istnieje pewna swoboda wyboru decyzji i możliwość ich oceny Jeżeli zmienne decyzyjne są poddawane procesowi optymalizacji model optymalizacyjny dr inż. Mariusz Kaleta Elementy zarządzania produkcją 5 / 50

Podstawy Podstawowe pojęcia System obsługi Złożony z wielu procesorów Na procesorach wykonywane pewne zadania elementarne, czyli operacje Do systemu napływają obiekty (zadania), które są przetwarzane w wyniku wykonywania operacji na poszczególnych procesorach Zadania mogą składać się z wielu operacji, np. powiązanych relacją poprzedzania System modelowany jako sieć złożona z pojedynczych stanowisk obsługi dr inż. Mariusz Kaleta Elementy zarządzania produkcją 6 / 50

Podstawy Podstawowe pojęcia Stanowisko obsługi Pojedyncze stanowisko obsługi składa się z procesora bufora wejściowego (w szczególności o zerowej pojemności) zadań nadchodzących Zadania gotowe do obsługi na danym stanowisku konkurują między sobą o dostęp do procesora oraz inne wymagane zasoby dr inż. Mariusz Kaleta Elementy zarządzania produkcją 7 / 50

Podstawy Podstawowe pojęcia Proces Przebieg następujących po sobie i powiązanych przyczynowo określonych stanów systemu (przebieg zmian stanów systemu) Zmiany występują w sposób nieciągły proces dyskretny Zmiany występują w sposób ciągły proces ciągły Zasób Pewna ilość posiadanych środków materialnych lub niematerialnych Zebrana, nagromadzona w celu wykorzystywania przy realizacji planowanych zadań, operacji czy procesów Zasób może stać się istotnie zauważalny dopiero wtedy, gdy go zaczyna brakować Zasób jest tym, czego brak może spowodować zablokowanie realizacji procesu dr inż. Mariusz Kaleta Elementy zarządzania produkcją 8 / 50

Podstawy Podstawowe pojęcia Klasyfikacja zasobów Zasoby zużywalne Zasoby dostępne w ograniczonej ilości w rozważanym okresie czasu, których porcje są zużywane podczas wykonywania operacji Jeżeli porcja zasobu jest przydzielona do wykonywania operacji, wielkość dostępnego zasobu jest na stałe redukowana o wielkość zużytej porcji Przykłady: energia, materiały, pieniądze Zasoby odnawialne Ograniczone chwilowo, dostępne w w ograniczonej liczbie lub ilości w każdej chwili Jeżeli pewna liczba lub ilość zasobu ograniczonego chwilowo zostanie przydzielona podczas wykonywania operacji, to po zakończeniu wykonywania operacji ta liczba lub ilość zasobu zostanie zwolniona i może być później wykorzystywana przy innych operacjach Przykłady: maszyna, procesor, mocy chwilowa dr inż. Mariusz Kaleta Elementy zarządzania produkcją 9 / 50

Podstawy Podstawowe pojęcia Czas Jest szczególnym rodzajem zasobu Wyróżnionym ze względu na nieubłagalny i niezależny od podejmowanych decyzji Jest zmienną niezależną, w funkcji której określamy dostępność innych zasobów dr inż. Mariusz Kaleta Elementy zarządzania produkcją 10 / 50

Podstawy Podstawowe pojęcia Czynności/operacje/zdarzenia Operacja część procesu obejmująca czynności realizowane w jednorodnych warunkach (na jednym obiekcie z wykorzystaniem ustalonego zestawu zasobów) Operacja jest zazwyczaj utożsamiana z pojedynczymi czynnościami Zdarzenia charakteryzując bieżący stan operacji, np. rozpoczęcie, zakończenie Ukończenie operacji może być jednoczesne z rozpoczęcie innych operacji Atrybutem operacji jest jej czas trwania, a atrybutem zdarzenia chwila wystąpienia dr inż. Mariusz Kaleta Elementy zarządzania produkcją 11 / 50

Podstawy Procesy dyskretne Proces dyskretny jest złożony z operacji dyskretnych Przejście do kolejnych operacji po ukończeniu wcześniejszych operacji wymaga nieciągłej zmiany warunków realizacji procesu, np. ukończenia pewnej usługi, przydzielenia zasobu, zmiany asortymentu produkcji, wymiany narzędzia, montażu kilku detali w jeden podzespół Proces złożony składa się z wielu działających współbieżnie procesów składowych (operacji), które są wzajemnie związane i oddziałują na siebie np. poprzez występowanie warunków poprzedzania pewnych operacji oraz konieczność dzielenia wspólnych zasobów Model wirtualny (model systemu operacyjnego ) Każdy proces jest traktowany współbieżnie jako realizowany na wirtualnym zestawie własnych zasobów (procesorów) Pozwala na ukrycie złożonych powiązań pomiędzy procesami współbieżnymi konkurującymi o dostęp do wspólnych zasobów dr inż. Mariusz Kaleta Elementy zarządzania produkcją 12 / 50

Podstawy Macierz zasoby/procesy Zasoby Procesy współbieżne proces 1... proces i... Zasób 1 X X Zasób 2 X Zasób 3 X X Zasób 4 X dr inż. Mariusz Kaleta Elementy zarządzania produkcją 13 / 50

Podstawy Wykres Gantta Wykres obrazujący realizację operacji zaalokowanych do procesorów na osi czasu 1 2 3 4 5 Harmonogramowanie Wyznaczanie najlepszych przebiegów procesów dyskretnych harmonogramu realizacji operacji oraz przydziału zasobów do realizacji operacji dr inż. Mariusz Kaleta Elementy zarządzania produkcją 14 / 50

Podstawy Charakterystyka zadań Parametry j n j l a j r j q j d j D j p j w j indeks zadania, j = 1,..., n liczba operacji zadania j indeks procesora, l = 1,..., L chwila przybycia zadania do systemu chwila gotowości do obsługi czas dostawy po wykonaniu zadania pożądany termin ukończenia zadania krytyczny termin ukończenia zadania czas wykonywania zadania priorytet zadania dr inż. Mariusz Kaleta Elementy zarządzania produkcją 15 / 50

Podstawy Miary jakości Miary charakteryzujące zadanie j S j chwila rozpoczęcia wykonywania zadania C j chwila zakończenia zadania (lub termin dostawy, gdy q j > 0) W j czas oczekiwania, czas wykonania p j może być małym ułamkiem W j F j = C j r j czas przepływu (przebywania zadania j w systemie) L j = C j d j czas opóźnienia (dodatni lub ujemny) T j = max(0, L j ) czas spóźnienia E j = max(0, L j ) czas przyspieszenia, wyprzedzenia, np. z karą h j U j U j = 1, gdy zadanie spóźnione, U j = 0 w przeciwnym przypadku UN j = E j + T j nieterminowość, (niepunktualność) UNj w = h j E j + w j T j nieterminowość ważona dr inż. Mariusz Kaleta Elementy zarządzania produkcją 16 / 50

Podstawy Miary jakości harmonogramu maksymalny czas zakończenia C max = max j C j maksymalny czas przepływu F max = max j F j maksymalne opóźnienie L max = max j L j maksymalne spóźnienie T max = max j T j suma czasów zakończenia nj=1 C j suma czasów przepływu nj=1 F j suma czasów opóźnienia nj=1 L j suma czasów spóźnienia nj=1 T j liczba zadań spóźnionych nj=1 U j suma czasów nieterminowości nj=1 UN j ważona suma czasów zakończenia nj=1 w j C j ważona suma czasów przepływu nj=1 w j F j ważona suma czasów opóźnienia nj=1 w j L j ważona suma czasów spóźnienia nj=1 w j T j ważona liczba zadań spóźnionych nj=1 w j U j ważona suma nieterminowości nj=1 w j UN j dr inż. Mariusz Kaleta Elementy zarządzania produkcją 17 / 50

Podstawy Klasyfikacja problemów szeregowania Miary równoważne wj C j = w j F j + w j r j = w j L j + w j d j Notacja 3-polowa α β γ α charakteryzuje rodzaj systemu obsługi 1 system jednoprocesorowy P układ procesorów równoległych O otwarty system obsługi F system przepływowy J ogólny system gniazdowy Liczba procesorów m oraz ewentualnie inne parametry charakteryzujące zasoby i topologię systemu dr inż. Mariusz Kaleta Elementy zarządzania produkcją 18 / 50

Podstawy Klasyfikacja problemów szeregowania Notacja 3-polowa α β γ β charakteryzuje zadania podzielność (pmtn) lub niepodzielność zadań wymaganie dodatkowych zasobów (res) relacje poprzedzania (prec) występowanie niezerowych czasów gotowości r j lub dostaw q j charakterystyki czasów wykonywania operacji terminy krytyczne zadań wymagania niemożności oczekiwania w kolejkach puste pole oznacza zadania niepodzielne i niezależne, r j = 0, q j = 0 oraz dowolne czasy wykonywania p j γ definiuje kryterium jakości dr inż. Mariusz Kaleta Elementy zarządzania produkcją 19 / 50

Podstawy Klasyfikacja problemów szeregowania Notacja 3-polowa α β γ P4 C max szeregowanie niepodzielnych i niezależnych zadań na 4 procesorach równoległych z kryterium C max O3 ptmn F j szeregowanie podzielnych i niezależnych zadań w trzyprocesorowym, otwartym systemie obsługi z kryterium minimalizacji sumy czasów przepływu dr inż. Mariusz Kaleta Elementy zarządzania produkcją 20 / 50

Podstawy Reguły priorytetowe Reguły statyczne LIFO (Last In First Out) FIFO (First In First Out) LPT (Longest Processing Time First) SPT (Shortest Processing Time First) EDD (Earliest Due Date First) dr inż. Mariusz Kaleta Elementy zarządzania produkcją 21 / 50

Podstawy Reguły priorytetowe Reguły dynamiczne p j (t) suma czasów pozostałych do wykonania operacji zadania T j w chwili t n j (t) liczba pozostałych do wykonania operacji zadania T j w chwili t MWR (Most Work Remaining) priorytet największej pozostałej pracochłonności p j (t) STR (Slack Time Remaining) STR j (t) = d j t p j (t) STO (Slack Time remaining per Operation) STO j (t) = d j t p j (t) n j (t) dr inż. Mariusz Kaleta Elementy zarządzania produkcją 22 / 50

Podstawy Reguły priorytetowe Reguły dynamiczne CR (Critical Ratio) lub CR j = STR j(t) STR j (0) CR j = STR j(t) p j (t) dr inż. Mariusz Kaleta Elementy zarządzania produkcją 23 / 50

Wprowadzenie Problemy harmonogramowania a modele sieciowe Wiele zadań harmonogramowania można modelować jako zadania sieciowe, szczególnie zagadnienia planowania procesów produkcyjnych (planowanie przedsięwzięcia) planowanie dystrybucji dóbr przydział pracowników do stanowisk Modele sieciowe są łatwe własność unimodularności dedykowane algorytmy sieciowe dr inż. Mariusz Kaleta Elementy zarządzania produkcją 24 / 50

Podstawowe oznaczenia Elementy modelu sieciowego Zbiór wierzchołków V = {1...m} Zbiór krawędzi E = {(i, j)} : i, j V } Graf G = (V, E) Macierz incydencji A = [a ik ] m n 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 1 dr inż. Mariusz Kaleta Elementy zarządzania produkcją 25 / 50

Podstawowe oznaczenia Parametry sieci Przepustowość łuków x ij Jednostkowe koszty/zyski na łukach c ij Przepływ x ij Ograniczenia na dywergencje węzłów b i Dywergencja P(i) zbiór poprzedników N(i) zbiór następników Dywergencja div x (i) = j N(i) x ij j P(i) x ji dr inż. Mariusz Kaleta Elementy zarządzania produkcją 26 / 50

Podstawowe oznaczenia Dywergencja Źródła o wydajności b i : div x (i) b i x ij b i (i,j) E Ujścia o zapotrzebowaniu b i : div x (i) b i x ji b i (j,i) E Wierzchołki pośredniczące b i = 0: div x (i) = 0 x ij x ji = 0 (i,j) E (j,i) E dr inż. Mariusz Kaleta Elementy zarządzania produkcją 27 / 50

Model sieciowy a model ZPL Zadanie przypływu w sieci to szczególny przypadek modelu ZPL gdzie A jest macierzą incydencji min x 0 = c T x x Ax = b 0 x x dr inż. Mariusz Kaleta Elementy zarządzania produkcją 28 / 50

Funkcja celu Maksymalizacja przepływu (zdefiniowane przepustowości) Minimalizacja kosztu przesyłu (zdefiniowane koszty) Koszty addytywne (nieograniczone przepustowości) Koszty addytywne (ograniczone przepustowości) Koszt maksymalny (nieograniczone przepustowości) Koszt maksymalny (ograniczone przepustowości) dr inż. Mariusz Kaleta Elementy zarządzania produkcją 29 / 50

Zadanie maksymalnego przepływu Należy znaleźć przepływ o maksymalnej wartości pomiędzy źródłem a ujściem w sieci przepływowej Algorytm Forda-Fulkersona Metoda iteracyjna W każdej iteracji poszukiwana ścieżka powiększająca przepływ Przebieg iteracji Cechowanie wierzchołków Aktualizacja przepływów dr inż. Mariusz Kaleta Elementy zarządzania produkcją 30 / 50

Zadanie maksymalnego przepływu Cechowanie wierzchołków Dla wierzchołka j cechowanie za pomocą pary (i{+ }, ɛ) A jest wierzchołkiem z którego jest rozważany przepływ znak + lub - oznacza zwiększenie lub zmniejszenie dywergencji węzła j ɛ jest wartością o jaką przepływ może zostać zmodyfikowany Wierzchołek początkowy jest cechowany (, ) Dalej cechujemy nieocechowane wierzchołki... i jest ocechowany (??, ɛ), j jest nieocechowany, (i, j) E, x ij < x ij, to cechujemy (i+, min{ɛ, x ij x ij }) i jest ocechowany (??, ɛ), j jest nieocechowany, (j, i) E, x ji > 0, to cechujemy (i, min{ɛ, x ij })...dopóki Ocechowany zostanie wierzchołek końcowy znaleziono ścieżkę powiększającą Nie będzie można ocechować końcowego, ani żadnego innego wierzchołka dr inż. Mariusz Kaleta Elementy zarządzania produkcją 31 / 50

Zadanie maksymalnego przepływu Aktualizacja przepływu Przepływy są zmieniane rozpoczynając od wierzchołka końcowego i przechodząc łukami zgodnie ze znakowaniem Wszystkie przepływy są zmieniane o wartość ɛ dla wierzchołka końcowego Przepływ na łuku (i, j) jest zwiększany, gdy znakowanie w wierzchołku i jest + Przepływ na łuku (i, j) jest zmniejszany, gdy znakowanie w wierzchołku i jest - dr inż. Mariusz Kaleta Elementy zarządzania produkcją 32 / 50

Minimalny przekrój sieci Minimalny przekrój sieci Przekrój (S, T ) grafu G = (V, E) jest podziałem V na rozłączone podzbiory S i T takie, że S T, S T = Przepustowość przekroju (S, T ) wynosi (i,j) E:i S,j T x ij Minimalny przekrój sieci to przekrój, którego przepustowość jest najmniejsza ze wszystkich przekrojów sieci Maksymalny przepływ w sieci jest równy minimalnemu przekrojowi w sieci (minimalny przekrój jest wąskim gardłem w sieci) Wyznaczanie minimalnego przekroju sieci Po ostatniej iteracji algorytmu F.-F. otrzymujemy minimalny przekrój sieci (V 1, V 2 ), gdzie V 1 to wierzchołki oznakowane, a V 2 wierzchołki nieoznakowane dr inż. Mariusz Kaleta Elementy zarządzania produkcją 33 / 50

Zadanie przydziału Zadanie przydziału Należy przydzielić (skojarzyć) dwie kategorie obiektów/zasobów, np. procesory i zadania, tak aby każdy procesor był przydzielony do co najwyżej jednego zadania każde zadanie było przydzielone do co najwyżej jednego procesora minimalizować pewne kryterium jakości Przykłady Przydział zespołów/pracowników do stanowisk/zadań Przydział zadań do stanowisk obróbki Przydział zleceń do filii dr inż. Mariusz Kaleta Elementy zarządzania produkcją 34 / 50

Zadanie przydziału model sieciowy Model sieciowy Zasoby z pierwszej grupy Zasoby z drugiej grupy dr inż. Mariusz Kaleta Elementy zarządzania produkcją 35 / 50

Zadanie przydziału funkcja celu Przydział jak największej liczby zasobów maksymalizacja przepływu Minimalizacja sumy kosztów przy zadanej liczbie skojarzeń Minimalizacja najdroższego przydziału przy zadanej liczbie skojarzeń dr inż. Mariusz Kaleta Elementy zarządzania produkcją 36 / 50

Zadanie przydziału przykład Przykład Przydzielić jak najwięcej zadań 1..4 do zespołów A..D A B C D 1 X X 2 X 3 X X 4 X X Model sieciowy dr inż. Mariusz Kaleta Elementy zarządzania produkcją 37 / 50

Zadanie przydziału przykład Przykład Przydzielić jak najwięcej zadań 1..4 do zespołów A..D A B C D 1 X X 2 X 3 X X 4 X X Model sieciowy dr inż. Mariusz Kaleta Elementy zarządzania produkcją 37 / 50

Szeregowanie zadań jako problem przydziału Wiele zadań szeregowania można przedstawić jako problemy przydziału Wierzchołkom mogą odpowiadać operacje, zadania, zasoby, procesory, jednostki czasu, pozycje zadania w uszeregowaniu, itp. Przepływy na łukach modelują przydział elementów dr inż. Mariusz Kaleta Elementy zarządzania produkcją 38 / 50

Szeregowanie zadań jako problem przydziału Przydział zasobów do zadań sformułowanie n zadań do wykonania Każde zadanie wymaga jednostki zasobu i jest realizowane w przedziale czasu [a i ; b i ] Czas potrzebny na przezbrojenie zasobu z zadania i na zadanie j wynosi r ij Należy zminimalizować liczbę jednostek zasobu Przydział zasobów do zadań sposób rozwiązania Wyznaczamy macierz relacji poprzedzania a ij zawierającą 1 jeżeli zadanie j może być wykonane po zadaniu i, 0 w p.p. Szukamy maksymalnego przydziału zadań do zadań przy możliwych przydziałach zdefiniowanych przez a ij dr inż. Mariusz Kaleta Elementy zarządzania produkcją 39 / 50

Minimalizacja kosztów przydziału Koszty sumacyjne Klasyczne sformułowanie ZPL problemu sieciowego max x 0 = c T x x x ij 1 j x i,j {0, 1} i x ij 1 (i, j) E dr inż. Mariusz Kaleta Elementy zarządzania produkcją 40 / 50

Minimalizacja sumy kosztów przydziału Algorytm węgierski Macierz kosztów c n n Krok 1 Od każdego elementu macierzy kosztów odejmij najmniejszą wartość w danym wierszu Od każdego elementu macierzy kosztów odejmij najmniejszą wartość w danej kolumnie Krok 2 sprawdzenie liczby niezależny zer Wykreśl linie pionowe i poziome przechodzące przez zera w macierzy kosztów, tak aby liczba linii była minimalna Jeżeli użyto n to koniec algorytmu Krok 3 powiększenie liczby zer niezależnych Znajdź najmniejszy nieskreślony element Odejmij ten element od wszystkich nieskreślonych elementów Dodaj ten element do wszystkich elementów podwójnie skreślonych dr inż. Mariusz Kaleta Elementy zarządzania produkcją 41 / 50

Minimalnokosztowe zadanie przydziału Cel: dokonać przydziału jak największej liczby zasobów przy jak najmniejszym koszcie Dekompozycja problemu na dwa etapy: Maksymalizacja przydziału poprzez sprowadzenie do zadania maksymalnego przypływu Minimalizacja kosztów przy zadanej liczbie skojarzeń poprzez sprowadzenie do problemu minimalnokosztowego przepływu w sieci dr inż. Mariusz Kaleta Elementy zarządzania produkcją 42 / 50

Minimalizacja kosztów przydziału Minimalizacja maksymalnego kosztu Metoda progowa Wyznaczenie progu startowego C, np. jako wybór większej wartości z minimum z każdego wiersza i minimum z każdej kolumny Usunięcie wszystkich elementów większych od C Sprawdzenie, czy istnieje pełny przydział Jeżeli nie istnieje, to zwiększamy wartość C do następnej wielkości z tabeli i dopisujemy wartości do tabeli Najmniejsze C dla którego istnieje przydział pełny, jest poszukiwanym czasem cyklu dr inż. Mariusz Kaleta Elementy zarządzania produkcją 43 / 50

Minimalizacja kosztów przydziału Minimalizacja maksymalnego kosztu przykład Przydział pracowników do stanowisk A B C D F 1 18 16 17 19 2 9 13 3 20 22 25 15 4 14 15 15 22 5 28 16 11 dr inż. Mariusz Kaleta Elementy zarządzania produkcją 44 / 50

Sieciowe modele dystrybucji dóbr Problem transportowy m dostawców, n odbiorców Zapotrzebowanie odbiorcy j wynosi D j m x ij D j j = 1,... n i=1 Zdolności wytwórcze wytwórcy i wynoszą C i n x ij C i i = 1,... m j=1 Przepływy są nieujemne x ij 0 Minimalizacja sumarycznych kosztów, gdzie k ij jest jednostkowym kosztem przesyłu m n min K = k ij x ij i=1 j=1 dr inż. Mariusz Kaleta Elementy zarządzania produkcją 45 / 50

Problem transportowy Problem transportowy [0;C 1 ] 1 k 11 k 1j k 1m 1 [D 1 ; ] S [0;C i ] i k i1 k ij k im j [D j ; ] T [0;C n ] n k n1 k nj k nm m [D m ; ] dr inż. Mariusz Kaleta Elementy zarządzania produkcją 46 / 50

Zarządzanie produkcją i dystrybucją wyrobów Zarządzanie produkcją i dystrybucją wyrobów Zakłady produkcyjne z 1,..., z l,..., z J, wyroby w 1,..., w i,..., w N, odbiorcy o 1,..., o r,..., o K Znane koszty wytworzenia c li oraz transportu c lir Znane zapotrzebowania d ir Dokonać alokacji zleceń do zakładów 1 1 1 1 1 1 2 2 1 1 2 1 3 1 2 2 1 2 2 2 2 3 2 3 Zakład j Zakład j, wyrób i Wyrób i, odbiorca k Odbiorca k dr inż. Mariusz Kaleta Elementy zarządzania produkcją 47 / 50

Wyznaczanie marszrut Problem komiwojażera, TSP (traveling salesman problem) Polega na znalezieniu minimalnego cyklu Hamiltona (każdy wierzchołek jest odwiedzony dokładnie raz) w pełnym grafie ważonym Przykłady problemów: wyznaczanie marszrut narzędzie podczas obróbki (np. produkcja układów scalonych), logistyce (np. harmonogramowanie tras dostaw), planowaniu (np. układanie planów elementarnych) Problem NP-trudny Heurystyki i algorytmy przybliżone dr inż. Mariusz Kaleta Elementy zarządzania produkcją 48 / 50

Problem komiwojażera minimalizacja przezbrojeń Plany elementarne 1 2 3 4 Model komiwojażera dr inż. Mariusz Kaleta Elementy zarządzania produkcją 49 / 50

Problem marszrutyzacji (VRP Vehicle Routing Problem) Polega na wyznaczeniu optymalnych tras przewozowych dla pewnej lokalizacji odbiorców, centrów dystrybucyjnych, określonej liczby środków transportu i przy założonych ograniczeniach Obsługa zlecenia przez co najwyżej jeden pojazd Ograniczona pojemność towarów Okienka czasowe, w których pojazd musi odwiedzić zadają lokalizację Maksymalna długość trasy... Problem NP-trudny Heurystyki dr inż. Mariusz Kaleta Elementy zarządzania produkcją 50 / 50