Znajdowanie maksymalnych skojarzeń przy pomocy eliminacji Gaussa

Znajdowanie maksymalnych skojarzeń przy pomocy eliminacji Gaussa Marcin Mucha, Piotr Sankowski Instytut Informatyki, Uniwersytet Warszawski - p. 1/55

Definicja problemu Skojarzeniem w grafie G = (V, E) nazywamy zbiór krawędzi M E taki, że żadne dwie krawędzie w M nie maja wspólnego końca. - p. 2/55

Definicja problemu Skojarzeniem w grafie G = (V, E) nazywamy zbiór krawędzi M E taki, że żadne dwie krawędzie w M nie maja wspólnego końca. Doskonałe skojarzenie to skojarzenie o liczności V /2. - p. 2/55

Definicja problemu Skojarzeniem w grafie G = (V, E) nazywamy zbiór krawędzi M E taki, że żadne dwie krawędzie w M nie maja wspólnego końca. Doskonałe skojarzenie to skojarzenie o liczności V /2. Chcemy znajdować doskonałe skojarzenia lub najliczniejsze skojarzenia w grafie. - p. 2/55

Poprzednie wyniki Najszybsze dotychczas znane algorytmy działaja w czasie: O(m n) dla grafów dwudzielnych Hopcroft, Karp, - p. 3/55

Poprzednie wyniki Najszybsze dotychczas znane algorytmy działaja w czasie: O(m n) dla grafów dwudzielnych Hopcroft, Karp, O(m n) dla dowolnych grafów Micali, Vazirani, - p. 3/55

Poprzednie wyniki Najszybsze dotychczas znane algorytmy działaja w czasie: O(m n) dla grafów dwudzielnych Hopcroft, Karp, O(m n) dla dowolnych grafów Micali, Vazirani, Dla grafów gęstych otrzymujemy czas O(n 2.5 ). - p. 3/55

Techniki algebraiczne Techniki algebraicznie: O(n ω ) = O(n 2.38 ) testowanie i wyznaczanie liczności Lovász, - p. 4/55

Techniki algebraiczne Techniki algebraicznie: O(n ω ) = O(n 2.38 ) testowanie i wyznaczanie liczności Lovász, O(n ω+1 ) = O(n 3.38 ) znajdowanie Rabin, Vazirani. - p. 4/55

Nasze wyniki Nowa metoda oparta na eliminacji Gaussa. - p. 5/55

Nasze wyniki Nowa metoda oparta na eliminacji Gaussa. Algebraicznie algorytmy znajduj ace najliczniejsze skojarzenie w grafach: - p. 5/55

Nasze wyniki Nowa metoda oparta na eliminacji Gaussa. Algebraicznie algorytmy znajdujace najliczniejsze skojarzenie w grafach: bardzo prosty algorytm O(n 3 ), - p. 5/55

Nasze wyniki Nowa metoda oparta na eliminacji Gaussa. Algebraicznie algorytmy znajdujace najliczniejsze skojarzenie w grafach: bardzo prosty algorytm O(n 3 ), algorytm O(n ω ) = O(n 2.38 ). - p. 5/55

Nasze wyniki Nowa metoda oparta na eliminacji Gaussa. Algebraicznie algorytmy znajdujace najliczniejsze skojarzenie w grafach: bardzo prosty algorytm O(n 3 ), algorytm O(n ω ) = O(n 2.38 ). Obydwa algorytmy sa randomizowane. - p. 5/55

Grafy Planarne Najszybsze dotychczas znane algorytmy działaja w czasie: O(n 4 3) dla dwudzielnych grafów planarnych Klein, Rao, Rauch, Subramanian, - p. 6/55

Grafy Planarne Najszybsze dotychczas znane algorytmy działaja w czasie: O(n 4 3) dla dwudzielnych grafów planarnych Klein, Rao, Rauch, Subramanian, O(n n) dla dowolnych grafów planarnych Micali, Vazirani, - p. 6/55

Grafy Planarne Najszybsze dotychczas znane algorytmy działaja w czasie: O(n 4 3) dla dwudzielnych grafów planarnych Klein, Rao, Rauch, Subramanian, O(n n) dla dowolnych grafów planarnych Micali, Vazirani, Nasze wyniki: prosty algorytm O(n 3 2), - p. 6/55

Grafy Planarne Najszybsze dotychczas znane algorytmy działaja w czasie: O(n 4 3) dla dwudzielnych grafów planarnych Klein, Rao, Rauch, Subramanian, O(n n) dla dowolnych grafów planarnych Micali, Vazirani, Nasze wyniki: prosty algorytm O(n 3 2), algorytm O(n ω 2 ) = O(n 1.19 ). - p. 6/55

Plan 1. Technika Lovásza, - p. 7/55

Plan 1. Technika Lovásza, 2. Maksymalne skojarzenia, - p. 7/55

Plan 1. Technika Lovásza, 2. Maksymalne skojarzenia, 3. Rabin and Vazirani, - p. 7/55

Plan 1. Technika Lovásza, 2. Maksymalne skojarzenia, 3. Rabin and Vazirani, 4. Eliminacja Gaussa, - p. 7/55

Plan 1. Technika Lovásza, 2. Maksymalne skojarzenia, 3. Rabin and Vazirani, 4. Eliminacja Gaussa, 5. Proste algorytmy O(n 3 ), - p. 7/55

Plan 1. Technika Lovásza, 2. Maksymalne skojarzenia, 3. Rabin and Vazirani, 4. Eliminacja Gaussa, 5. Proste algorytmy O(n 3 ), 6. Algorytm O(n ω ) dla grafów dwudzielnych, - p. 7/55

Plan 1. Technika Lovásza, 2. Maksymalne skojarzenia, 3. Rabin and Vazirani, 4. Eliminacja Gaussa, 5. Proste algorytmy O(n 3 ), 6. Algorytm O(n ω ) dla grafów dwudzielnych, 7. Algorytm O(n ω ) dla dowolnych grafów. - p. 7/55

Szybkie mnorzenie macierzy Niech ω oznacza wykładnik mnożenia macierzy rozmiaru n n. - p. 8/55

Szybkie mnorzenie macierzy Niech ω oznacza wykładnik mnożenia macierzy rozmiaru n n. Twierdzenie 1 (Coppersmith i Winograd 90) ω < 2.376. - p. 8/55

Szybkie mnorzenie macierzy Niech ω oznacza wykładnik mnożenia macierzy rozmiaru n n. Twierdzenie 1 (Coppersmith i Winograd 90) ω < 2.376. Twierdzenie 2 (Bunch i Hopcroft 74) LU-faktoryzację macierzy można policzyć w czasie O(n ω ). - p. 8/55

Szybkie mnorzenie macierzy Niech ω oznacza wykładnik mnożenia macierzy rozmiaru n n. Twierdzenie 1 (Coppersmith i Winograd 90) ω < 2.376. Twierdzenie 2 (Bunch i Hopcroft 74) LU-faktoryzację macierzy można policzyć w czasie O(n ω ). Twierdzenie 3 (Ibarra, Moran i Hui 82) Maksymalną nieosobliwą podmacierz mozna znaleźć w czaise O(n ω ). - p. 8/55

Symboliczna macierz sasiedztwa Symboliczna macierz sasiedztwa grafu dwudzielnego: G Ã(G) 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 = x 11 0 x 13 0 0 0 x 21 x 22 0 0 0 0 x 31 0 0 x 34 0 0 0 x 42 x 43 0 0 x 46 0 0 0 x 54 x 55 x 56 0 0 0 0 0 x 66 6 6 - p. 9/55

Symboliczna macierz sasiedztwa det x 11 0 x 13 0 0 0 x 21 x 22 0 0 0 0 x 31 0 0 x 34 0 0 0 x 42 x 43 0 0 x 46 0 0 0 x 54 x 55 x 56 0 0 0 0 0 x 66 = x 13 x 21 x 34 x 42 x 55 x 66 x 11 x 22 x 34 x 43 x 55 x 66. = Jednomiany wyznacznika odpowiadaj a doskonałym skojarzeniom w G. - p. 10/55

Symboliczna macierz sasiedztwa Wyznacznik jest dany przez: det(a) = p Π n σ(p) n i=1 a i,pi. - p. 11/55

Symboliczna macierz sasiedztwa Wyznacznik jest dany przez: det(a) = p Π n σ(p) n i=1 a i,pi. Niezerowy składnik tej sumy dla każdego wierzchołka i zadaje inny wierzchołek p i. - p. 11/55

Symboliczna macierz sasiedztwa Wyznacznik jest dany przez: det(a) = p Π n σ(p) n i=1 a i,pi. Niezerowy składnik tej sumy dla każdego wierzchołka i zadaje inny wierzchołek p i. Składniki sumy odpowiadaj a doskonałym skojarzeniem w grafie. - p. 11/55

Symboliczna macierz sasiedztwa Symboliczna macierz sasiedztwa dla dowolnego grafu: G 5 6 4 = 1 2 3 Ã(G) 0 x 12 x 13 x 14 x 15 x 16 x 12 0 x 23 0 0 x 26 x 13 x 23 0 x 34 0 0 x 14 0 x 34 0 x 45 0 x 15 0 0 x 45 0 x 56 x 16 x 62 0 0 x 56 0 - p. 12/55

Symboliczna macierz sasiedztwa Twierdzenie 4 (Tutte (1947)) det Ã(G) = 0 wttw gdy G ma doskonałe skojarzenie. - p. 13/55

Symboliczna macierz sasiedztwa Twierdzenie 4 (Tutte (1947)) det Ã(G) = 0 wttw gdy G ma doskonałe skojarzenie. Wyznacznik jest dany przez: det(a) = p Π n σ(p) n i=1 a i,pi. - p. 13/55

Symboliczna macierz sasiedztwa Twierdzenie 4 (Tutte (1947)) det Ã(G) = 0 wttw gdy G ma doskonałe skojarzenie. Wyznacznik jest dany przez: det(a) = p Π n σ(p) n i=1 a i,pi. Niezerowy wyraz sumy odpowiada pokryciu G skierowanymi cyklami. - p. 13/55

Symboliczna macierz sasiedztwa Pokrycia cyklami parzystej długości zadaj a skojarzenia. - p. 14/55

Symboliczna macierz sasiedztwa Pokrycia cyklami parzystej długości zadaja skojarzenia. Rozważmy pokrycie p zawieraj ace cykl C nieparzystej długości. - p. 14/55

Symboliczna macierz sasiedztwa Pokrycia cyklami parzystej długości zadaja skojarzenia. Rozważmy pokrycie p zawierajace cykl C nieparzystej długości. Wkład p kasuje się z wkładem p, w którym C skierowany jest przeciwnie, bo p ma: - p. 14/55

Symboliczna macierz sasiedztwa Pokrycia cyklami parzystej długości zadaja skojarzenia. Rozważmy pokrycie p zawierajace cykl C nieparzystej długości. Wkład p kasuje się z wkładem p, w którym C skierowany jest przeciwnie, bo p ma: te same zmienne, - p. 14/55

Symboliczna macierz sasiedztwa Pokrycia cyklami parzystej długości zadaja skojarzenia. Rozważmy pokrycie p zawierajace cykl C nieparzystej długości. Wkład p kasuje się z wkładem p, w którym C skierowany jest przeciwnie, bo p ma: te same zmienne, ta sama parzystość, - p. 14/55

Symboliczna macierz sasiedztwa Pokrycia cyklami parzystej długości zadaja skojarzenia. Rozważmy pokrycie p zawierajace cykl C nieparzystej długości. Wkład p kasuje się z wkładem p, w którym C skierowany jest przeciwnie, bo p ma: te same zmienne, ta sama parzystość, przeciwne znaki w C. - p. 14/55

Symboliczna macierz sasiedztwa Wartość det Ã(G) to wielomian n 2 zmiennych stopnia n. Może mieć wykładniczo wiele składników. - p. 15/55

Symboliczna macierz sasiedztwa Wartość det Ã(G) to wielomian n 2 zmiennych stopnia n. Może mieć wykładniczo wiele składników. Nie można go szybko wyliczyć, ale można szybko przetestować czy jest niezerowy. - p. 15/55

Pomysł Lovásza Podstaw za zmienne w Ã(G) losowe wartości i policz wyznacznik otrzymanej w ten sposób macierzy A(G) losowej macierzy sąsiedztwa. Z dużym prawdopodobieństwem det A(G) = 0 wttw det Ã(G) = 0, bo wielomiany nie maja zbyt wielu zer. - p. 16/55

Pomysł Lovásza Lemat 5 (Zippel, Schwartz) Niech f(x 1,..., x k ) będzie wielomianem stopnia d nad ciałem F. Liczba zer f w F k jest nie większa niż d F F k. - p. 17/55

Pomysł Lovásza Lemat 5 (Zippel, Schwartz) Niech f(x 1,..., x k ) będzie wielomianem stopnia d nad ciałem F. Liczba zer f w F k jest nie większa niż d F F k. Niech F = Z p dla liczby pierwszej p = Θ(n 1+c ). Operacje w Z p wykonujemy w czasie stałym - p. 17/55

Pomysł Lovásza Lemat 5 (Zippel, Schwartz) Niech f(x 1,..., x k ) będzie wielomianem stopnia d nad ciałem F. Liczba zer f w F k jest nie większa niż d F F k. Niech F = Z p dla liczby pierwszej p = Θ(n 1+c ). Operacje w Z p wykonujemy w czasie stałym Prawdopodobieństwo otrzymania fałszywego zera jest O( 1 n c ). - p. 17/55

Pomysł Lovásza Algorytm O(n ω ) (Monte Carlo) testujacy, czy graf G ma doskonałe skojarzenie: podstaw pod zmienne w Ã(G) losowe elementy Z P niech A(G) będzie otrzymana macierza if det A(G) <> 0 then return TAK else return NIE - p. 18/55

Pomysł Lovásza Algorytm O(n ω+2 ) (Monte Carlo) znajdujacy w G doskonałe skojarzenie: M := for e E do if G e ma doskonałe skojarzenie then usuń e wraz z końcami z G dodaj e do M - p. 19/55

Maksymalne skojarzenia Twierdzenie 6 (Lovász (79)) Niech m będzie rozmiarem najliczniejszego skojarzenia w G, wtedy rank(ã(g)) = 2m. - p. 20/55

Maksymalne skojarzenia Twierdzenie 6 (Lovász (79)) Niech m będzie rozmiarem najliczniejszego skojarzenia w G, wtedy rank(ã(g)) = 2m. Rangę Ã(G) można policzyć w czasie O(n ω ). - p. 20/55

Maksymalne skojarzenia Twierdzenie 6 (Lovász (79)) Niech m będzie rozmiarem najliczniejszego skojarzenia w G, wtedy rank(ã(g)) = 2m. Rangę Ã(G) można policzyć w czasie O(n ω ). Niech M będzie skojarzeniem wtedy z twierdzenia Tutte Ã V(M),V(M) (G) jest nieosobliwa rank(ã(g)) 2m. - p. 20/55

Maksymalne skojarzenia Niech Ã X,Y (G) będzie maksymalna nieosobliwa podmacierza Ã(G). - p. 21/55

Maksymalne skojarzenia Niech Ã X,Y (G) będzie maksymalna nieosobliwa podmacierza Ã(G). Niech p to niezerowy wyraz w det(ã X,Y (G)). - p. 21/55

Maksymalne skojarzenia Niech Ã X,Y (G) będzie maksymalna nieosobliwa podmacierza Ã(G). Niech p to niezerowy wyraz w det(ã X,Y (G)). Niech p to niezerowy wyraz w det(ã Y,X (G)) antysymetria. - p. 21/55

Maksymalne skojarzenia Niech Ã X,Y (G) będzie maksymalna nieosobliwa podmacierza Ã(G). Niech p to niezerowy wyraz w det(ã X,Y (G)). Niech p to niezerowy wyraz w det(ã Y,X (G)) antysymetria. Suma p p to pokrycie conajmniej X wierzchołków w G cyklami parzystej długości rank(ã(g)) 2m - p. 21/55

Algorytm Rabina i Vaziraniego A 1 i,j = ( 1) i+j det A j,i / det A, gdzie A j,i to A z usuniętym j-tym wierszem i i-ta kolumna. - p. 22/55

Algorytm Rabina i Vaziraniego A 1 i,j = ( 1) i+j det A j,i / det A, gdzie A j,i to A z usuniętym j-tym wierszem i i-ta kolumna. Jeżeli G to graf dwudzielny to, wtedy A j,i = A(G {u j, v i }). - p. 22/55

Algorytm Rabina i Vaziraniego A 1 i,j = ( 1) i+j det A j,i / det A, gdzie A j,i to A z usuniętym j-tym wierszem i i-ta kolumna. Jeżeli G to graf dwudzielny to, wtedy A j,i = A(G {u j, v i }). Macierz A(G) 1 koduje które krawędzie w G s a dozwolone, tj. zawarte w pewnym doskonałym skojarzeniu. - p. 22/55

Algorytm Rabina i Vaziraniego A 1 i,j = ( 1) i+j det A j,i / det A, gdzie A j,i to A z usuniętym j-tym wierszem i i-ta kolumna. Jeżeli G to graf dwudzielny to, wtedy A j,i = A(G {u j, v i }). Macierz A(G) 1 koduje które krawędzie w G sa dozwolone, tj. zawarte w pewnym doskonałym skojarzeniu. Podobnie jest dla dowolnych grafów. - p. 22/55

Algorytm Rabina i Vaziraniego Algorytm O(n ω+1 ) = O(n 3.38 ) (Monte Carlo) na znajdowanie doskonałego skojarzenia w G: M := while G niepusty do policz A 1 (G) znajdź dozwolona krawędź e E usuń e wraz z końcami z G dodaj e do M - p. 23/55

Eliminacja Gaussa Twierdzenie 7 (Twierdzenie o eliminacji) Niech ( ) ( ) a1,1 v A = T, A 1 â1,1 ˆv = T u B û ˆB, gdzie â 1,1 = 0. Wtedy B 1 = ˆB û ˆv T /â 1,1. Jest to pojedynczy krok algorytmu eliminacji Gaussa. - p. 24/55

Algorytm O(n 3 ) Algorytm Monte Carlo znajdujacy doskonałe skojarzenie w danym grafie G w czasie O(n 3 ): M := oblicz A 1 (G) while G non-empty do znajdź dozwolona krawędź e E usuń e wraz z końcami z G dodaj e do M uaktualnij A 1 (G) używajac eliminacji Gaussa - p. 25/55

Leniwe obliczenia u 1 v T 1 +...+u k v T k = u 1... u k v T 1. v T k - p. 26/55

Eliminacja bez zamian Algorytm wykonujacy eliminację Gaussa bez zamian wierszy ani kolumn w czasie O(n ω ). for i := 1 to n do leniwie eliminuj i-ty wiersz i i-ta kolumnę niech k będzie takie, że 2 k i, ale 2 k+1 i uaktualnij wiersze i kolumny o numerach i + 1,..., i + 2 k - p. 27/55

Eliminacja bez zamian W każdym kroku wykonujemy mnożenie macierzy n 2 k przez macierz 2 k 2 k w czasie (n/2 k )(2 k ) ω = n2 k(ω 1). - p. 28/55

Eliminacja bez zamian W każdym kroku wykonujemy mnożenie macierzy n 2 k przez macierz 2 k 2 k w czasie (n/2 k )(2 k ) ω = n2 k(ω 1). Konkretna wartość k pojawia się n/2 k razy, a zatem obliczenia dla ustalonego k wymagaja czasu n 2 2 k(ω 2) = n 2 (2 ω 2 ) k. - p. 28/55

Eliminacja bez zamian W każdym kroku wykonujemy mnożenie macierzy n 2 k przez macierz 2 k 2 k w czasie (n/2 k )(2 k ) ω = n2 k(ω 1). Konkretna wartość k pojawia się n/2 k razy, a zatem obliczenia dla ustalonego k wymagaja czasu n 2 2 k(ω 2) = n 2 (2 ω 2 ) k. log n k=0 n 2 (2 ω 2 ) k Cn 2 (2 ω 2 ) log n = Cn 2 n ω 2 = Cn ω. - p. 28/55

Weryfikacja skojarzenia Twierdzenie 8 Maksymalne w sensie zawierania dozwolone podskojarzenie M danego skojarzenia M w G można znaleźć w czasie O(n ω ) (Monte Carlo). - p. 29/55

Weryfikacja skojarzenia Twierdzenie 8 Maksymalne w sensie zawierania dozwolone podskojarzenie M danego skojarzenia M w G można znaleźć w czasie O(n ω ) (Monte Carlo). v 2 v 1 v 1 v 2 v 3 v 4... v n 1 v n v 4 v 3... v n 1 v n... - p. 29/55

Eliminacja bez zamian kolumn Algorytm Hopcrofta-Buncha wykonujacy eliminację Gaussa bez zamian kolumn w czasie O(n ω ). for i := 1 to n do znajdź wiersz j taki, że A i,j = 0 leniwie eliminuj j-ty wiersz i i-ta kolumnę niech k będzie takie, że 2 k i, ale 2 k+1 i uaktualnij kolumny i + 1,..., i + 2 k - p. 30/55

Eliminacja bez zamian kolumn? A B C - p. 31/55

Przypadek dwudzielny Twierdzenie 9 Doskonałe skojarzenie w grafie dwudzielnym można znaleźć w czasie O(n ω ) przy pomocy zmodyfikowanego algorytmu Hopcrofta-Buncha. - p. 32/55

Dowolne grafy grafy dwudzielne dowolne grafy?? W przypadku ogólnym efektywne opóźnianie obliczeń wydaje się niemożliwe. - p. 33/55

Dowolne grafy Algorytm znajdujacy doskonałe skojarzenia w dowolnych grafach: znajdź skojarzenie zachłanne M w G wybierz z M maksymalne dozwolone podskojarzenie M skojarz wierzchołki M i usuń je z G if M n/8 then znajdź doskonałe skojarzenie w G else podziel G na mniejsze grafy znajdź w nich doskonałe skojarzenia - p. 34/55

Rozklad kanoniczny Graf elementarny to taki graf majacy doskonałe skojarzenie, w którym dozwolone krawędzie tworza podgraf spójny. - p. 35/55

Rozklad kanoniczny Graf elementarny to taki graf majacy doskonałe skojarzenie, w którym dozwolone krawędzie tworza podgraf spójny. Wystarczy rozpatrywać grafy elementarne. - p. 35/55

Rozklad kanoniczny Graf elementarny to taki graf majacy doskonałe skojarzenie, w którym dozwolone krawędzie tworza podgraf spójny. Wystarczy rozpatrywać grafy elementarne. Dla G elementarnego, niech G będzie następujac a relacja: u G v wtw G {u, v} nie ma doskonałego skojarzenia. - p. 35/55

Rozklad kanoniczny Graf elementarny to taki graf majacy doskonałe skojarzenie, w którym dozwolone krawędzie tworza podgraf spójny. Wystarczy rozpatrywać grafy elementarne. Dla G elementarnego, niech G będzie następujac a relacja: u G v wtw G {u, v} nie ma doskonałego skojarzenia. Relację G można odczytać z macierzy A(G) 1. - p. 35/55

Rozklad kanoniczny Twierdzenie 10 G jest relacją równoważności. Rozkladem kanonicznym G, ozn. P(G), nazywamy zbiór V(G)/ G. - p. 36/55

Rozklad kanoniczny Twierdzenie 11 (Twierdzenie o rozkładzie) Niech G będzie elementarny, S P(G), S 2, i niech C będzie spójną składową G S. Wtedy: 1. Graf dwudzielny G S otrzymany z G przez ściągnięcie każdej ze składowych G S do pojedynczego wierzchołka i usunięcie krawędzi w S, jest elementarny; 2. Składowa C jest factor-critical; 3. Graf C otrzymany z G[V(C) S] przez ściągnięcie zbioru S do pojedynczego wierzchołka v c, jest elementarny; 4. P(C ) = {{v c }} {T V(C) T P(G)}. - p. 37/55

Rozklad kanoniczny - p. 38/55

Podsumowanie Pokazaliśmy następuj ace algorytmy dla problemu maksymalnego skojarzenia: - p. 53/55

Podsumowanie Pokazaliśmy następujace algorytmy dla problemu maksymalnego skojarzenia: 1. Bardzo prosty algorytm o złożoności O(n 3 ); - p. 53/55

Podsumowanie Pokazaliśmy następujace algorytmy dla problemu maksymalnego skojarzenia: 1. Bardzo prosty algorytm o złożoności O(n 3 ); 2. Prosty algorytm dla grafów dwudzielnych o złożoności O(n ω ); - p. 53/55

Podsumowanie Pokazaliśmy następujace algorytmy dla problemu maksymalnego skojarzenia: 1. Bardzo prosty algorytm o złożoności O(n 3 ); 2. Prosty algorytm dla grafów dwudzielnych o złożoności O(n ω ); 3. Algorytm dla dowolnych grafów o złożoności O(n ω ). - p. 53/55

Inne zastosowania Fakt 12 (*) Przy pomocy eliminacji Gaussa można znajdować doskonałe skojarzenia w grafach planarnych w czasie O(n ω/2 ) = O(n 1.19 ). (*) Maximum matchings in Planar Graphs via Gaussian Elimination M. Mucha, P. Sankowski, ESA 2004. - p. 54/55

Znajdowanie maksymalnych skojarzeń przy pomocy eliminacji Gaussa Marcin Mucha, Piotr Sankowski Instytut Informatyki, Uniwersytet Warszawski - p. 55/55