Maksymalne skojarzenia przy pomocy eliminacji Gaussa
|
|
- Gabriela Sikora
- 5 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Maksymalne skojarzenia przy pomocy eliminacji Gaussa Piotr Sankowski Instytut Informatyki, Uniwersytet Warszawski - p. 1/60
2 Poprzednie wyniki Dotychczas usłyszeliśmy o algorytmie działajacym w czasie: O(m n) dla grafów dwudzielnych Hopcroft, Karp, - p. 2/60
3 Poprzednie wyniki Dotychczas usłyszeliśmy o algorytmie działajacym w czasie: O(m n) dla grafów dwudzielnych Hopcroft, Karp, Dla grafów gęstych otrzymujemy czas O(n 2.5 ). - p. 2/60
4 Techniki algebraiczne Techniki algebraicznie: O(n ω ) = O(n 2.38 ) testowanie i wyznaczanie liczności Lovász, - p. 3/60
5 Techniki algebraiczne Techniki algebraicznie: O(n ω ) = O(n 2.38 ) testowanie i wyznaczanie liczności Lovász, O(n ω+1 ) = O(n 3.38 ) znajdowanie Rabin, Vazirani. - p. 3/60
6 Nasze wyniki Nowa metoda oparta na eliminacji Gaussa. - p. 4/60
7 Nasze wyniki Nowa metoda oparta na eliminacji Gaussa. Algebraicznie algorytmy znajduj ace najliczniejsze skojarzenie w grafach: - p. 4/60
8 Nasze wyniki Nowa metoda oparta na eliminacji Gaussa. Algebraicznie algorytmy znajdujace najliczniejsze skojarzenie w grafach: bardzo prosty algorytm O(n 3 ), - p. 4/60
9 Nasze wyniki Nowa metoda oparta na eliminacji Gaussa. Algebraicznie algorytmy znajdujace najliczniejsze skojarzenie w grafach: bardzo prosty algorytm O(n 3 ), algorytm O(n ω ) = O(n 2.38 ). - p. 4/60
10 Nasze wyniki Nowa metoda oparta na eliminacji Gaussa. Algebraicznie algorytmy znajdujace najliczniejsze skojarzenie w grafach: bardzo prosty algorytm O(n 3 ), algorytm O(n ω ) = O(n 2.38 ). Obydwa algorytmy sa randomizowane. - p. 4/60
11 Plan 1. Technika Lovásza, - p. 5/60
12 Plan 1. Technika Lovásza, 2. Maksymalne skojarzenia, - p. 5/60
13 Plan 1. Technika Lovásza, 2. Maksymalne skojarzenia, 3. Rabin and Vazirani, - p. 5/60
14 Plan 1. Technika Lovásza, 2. Maksymalne skojarzenia, 3. Rabin and Vazirani, 4. Eliminacja Gaussa, - p. 5/60
15 Plan 1. Technika Lovásza, 2. Maksymalne skojarzenia, 3. Rabin and Vazirani, 4. Eliminacja Gaussa, 5. Proste algorytmy O(n 3 ), - p. 5/60
16 Plan 1. Technika Lovásza, 2. Maksymalne skojarzenia, 3. Rabin and Vazirani, 4. Eliminacja Gaussa, 5. Proste algorytmy O(n 3 ), 6. Algorytm O(n ω ) dla grafów dwudzielnych, - p. 5/60
17 Plan 1. Technika Lovásza, 2. Maksymalne skojarzenia, 3. Rabin and Vazirani, 4. Eliminacja Gaussa, 5. Proste algorytmy O(n 3 ), 6. Algorytm O(n ω ) dla grafów dwudzielnych, 7. Ważone skojarzenia w grafach dwudzielnych. - p. 5/60
18 Szybkie mnożenie macierzy Niech ω oznacza wykładnik mnożenia macierzy rozmiaru n n. - p. 6/60
19 Szybkie mnożenie macierzy Niech ω oznacza wykładnik mnożenia macierzy rozmiaru n n. Twierdzenie 1 (Coppersmith i Winograd 90) ω < p. 6/60
20 Szybkie mnożenie macierzy Niech ω oznacza wykładnik mnożenia macierzy rozmiaru n n. Twierdzenie 1 (Coppersmith i Winograd 90) ω < Twierdzenie 2 (Bunch i Hopcroft 74) LU-faktoryzację macierzy można policzyć w czasie O(n ω ). - p. 6/60
21 Szybkie mnożenie macierzy Niech ω oznacza wykładnik mnożenia macierzy rozmiaru n n. Twierdzenie 1 (Coppersmith i Winograd 90) ω < Twierdzenie 2 (Bunch i Hopcroft 74) LU-faktoryzację macierzy można policzyć w czasie O(n ω ). Twierdzenie 3 (Ibarra, Moran i Hui 82) Maksymalną nieosobliwą podmacierz można znaleźć w czasie O(n ω ). - p. 6/60
22 Symboliczna macierz sasiedztwa Symboliczna macierz sasiedztwa grafu dwudzielnego: G Ã(G) = x 11 0 x x 21 x x x x 42 x x x 54 x 55 x x p. 7/60
23 Symboliczna macierz sasiedztwa det x 11 0 x x 21 x x x x 42 x x x 54 x 55 x x 66 = x 13 x 21 x 34 x 42 x 55 x 66 x 11 x 22 x 34 x 43 x 55 x 66. = Jednomiany wyznacznika odpowiadaj a doskonałym skojarzeniom w G. - p. 8/60
24 Symboliczna macierz sasiedztwa Wyznacznik jest dany przez: det(a) = p Π n σ(p) n i=1 a i,pi. - p. 9/60
25 Symboliczna macierz sasiedztwa Wyznacznik jest dany przez: det(a) = p Π n σ(p) n i=1 a i,pi. Niezerowy składnik tej sumy dla każdego wierzchołka i zadaje inny wierzchołek p i. - p. 9/60
26 Symboliczna macierz sasiedztwa Wyznacznik jest dany przez: det(a) = p Π n σ(p) n i=1 a i,pi. Niezerowy składnik tej sumy dla każdego wierzchołka i zadaje inny wierzchołek p i. Składniki sumy odpowiadaj a doskonałym skojarzeniem w grafie. - p. 9/60
27 Symboliczna macierz sasiedztwa Twierdzenie 4 (Tutte (1947)) det Ã(G) = 0 wttw gdy G ma doskonałe skojarzenie. - p. 10/60
28 Symboliczna macierz sasiedztwa Twierdzenie 4 (Tutte (1947)) det Ã(G) = 0 wttw gdy G ma doskonałe skojarzenie. Wyznacznik jest dany przez: det(a) = p Π n σ(p) n i=1 a i,pi. - p. 10/60
29 Symboliczna macierz sasiedztwa Twierdzenie 4 (Tutte (1947)) det Ã(G) = 0 wttw gdy G ma doskonałe skojarzenie. Wyznacznik jest dany przez: det(a) = p Π n σ(p) n i=1 a i,pi. Daje się uogólnić na grafy dowolne. - p. 10/60
30 Symboliczna macierz sasiedztwa Wartość det Ã(G) to wielomian n 2 zmiennych stopnia n. Może mieć wykładniczo wiele składników. - p. 11/60
31 Symboliczna macierz sasiedztwa Wartość det Ã(G) to wielomian n 2 zmiennych stopnia n. Może mieć wykładniczo wiele składników. Nie można go szybko wyliczyć, ale można szybko przetestować czy jest niezerowy. - p. 11/60
32 Pomysł Lovásza Podstaw za zmienne w Ã(G) losowe wartości i policz wyznacznik otrzymanej w ten sposób macierzy A(G) losowej macierzy sąsiedztwa. Z dużym prawdopodobieństwem det A(G) = 0 wttw det Ã(G) = 0, bo wielomiany nie maja zbyt wielu zer. - p. 12/60
33 Pomysł Lovásza Lemat 5 (Zippel, Schwartz) Niech f(x 1,..., x k ) będzie wielomianem stopnia d nad ciałem F. Liczba zer f w F k jest nie większa niż d F F k. - p. 13/60
34 Pomysł Lovásza Lemat 5 (Zippel, Schwartz) Niech f(x 1,..., x k ) będzie wielomianem stopnia d nad ciałem F. Liczba zer f w F k jest nie większa niż d F F k. Niech F = Z p dla liczby pierwszej p = Θ(n 1+c ). Operacje w Z p wykonujemy w czasie stałym - p. 13/60
35 Pomysł Lovásza Lemat 5 (Zippel, Schwartz) Niech f(x 1,..., x k ) będzie wielomianem stopnia d nad ciałem F. Liczba zer f w F k jest nie większa niż d F F k. Niech F = Z p dla liczby pierwszej p = Θ(n 1+c ). Operacje w Z p wykonujemy w czasie stałym Prawdopodobieństwo otrzymania fałszywego zera jest O( 1 n c ). - p. 13/60
36 Pomysł Lovásza Algorytm O(n ω ) (Monte Carlo) testujacy, czy graf G ma doskonałe skojarzenie: podstaw pod zmienne w Ã(G) losowe elementy Z P niech A(G) będzie otrzymana macierza if det A(G) <> 0 then return TAK else return NIE - p. 14/60
37 Pomysł Lovásza Algorytm O(n ω+2 ) (Monte Carlo) znajdujacy w G doskonałe skojarzenie: M := for e E do if G e ma doskonałe skojarzenie then usuń e wraz z końcami z G dodaj e do M - p. 15/60
38 Maksymalne skojarzenia Twierdzenie 6 (Lovász (79)) Niech m będzie rozmiarem najliczniejszego skojarzenia w G, wtedy rank(ã(g)) = m. - p. 16/60
39 Maksymalne skojarzenia Twierdzenie 6 (Lovász (79)) Niech m będzie rozmiarem najliczniejszego skojarzenia w G, wtedy rank(ã(g)) = m. Rangę Ã(G) można policzyć w czasie O(n ω ). - p. 16/60
40 Maksymalne skojarzenia Twierdzenie 6 (Lovász (79)) Niech m będzie rozmiarem najliczniejszego skojarzenia w G, wtedy rank(ã(g)) = m. Rangę Ã(G) można policzyć w czasie O(n ω ). Niech M będzie skojarzeniem wtedy z twierdzenia Tutte à V(M),V(M) (G) jest nieosobliwa rank(ã(g)) m. - p. 16/60
41 Maksymalne skojarzenia Niech à X,Y (G) będzie maksymalna nieosobliwa podmacierza Ã(G). - p. 17/60
42 Maksymalne skojarzenia Niech à X,Y (G) będzie maksymalna nieosobliwa podmacierza Ã(G). Wyznacznik à X,Y jest niezerowy. - p. 17/60
43 Maksymalne skojarzenia Niech à X,Y (G) będzie maksymalna nieosobliwa podmacierza Ã(G). Wyznacznik à X,Y jest niezerowy. Istnieje w det(ã X,Y ) niezerowa permutacja p. - p. 17/60
44 Maksymalne skojarzenia Niech à X,Y (G) będzie maksymalna nieosobliwa podmacierza Ã(G). Wyznacznik à X,Y jest niezerowy. Istnieje w det(ã X,Y ) niezerowa permutacja p. p zadaje skojarzenie więc rank(ã(g)) m. - p. 17/60
45 Algorytm Rabina i Vaziraniego A 1 i,j = ( 1) i+j det A j,i / det A, gdzie A j,i to A z usuniętym j-tym wierszem i i-ta kolumna. - p. 18/60
46 Algorytm Rabina i Vaziraniego A 1 i,j = ( 1) i+j det A j,i / det A, gdzie A j,i to A z usuniętym j-tym wierszem i i-ta kolumna. Jeżeli G to graf dwudzielny to, wtedy A j,i = A(G {u j, v i }). - p. 18/60
47 Algorytm Rabina i Vaziraniego A 1 i,j = ( 1) i+j det A j,i / det A, gdzie A j,i to A z usuniętym j-tym wierszem i i-ta kolumna. Jeżeli G to graf dwudzielny to, wtedy A j,i = A(G {u j, v i }). Macierz A(G) 1 koduje które krawędzie w G s a dozwolone, tj. zawarte w pewnym doskonałym skojarzeniu. - p. 18/60
48 Algorytm Rabina i Vaziraniego Algorytm O(n ω+1 ) = O(n 3.38 ) (Monte Carlo) na znajdowanie doskonałego skojarzenia w G: M := while G niepusty do policz A 1 (G) znajdź dozwolona krawędź e E usuń e wraz z końcami z G dodaj e do M - p. 19/60
49 Eliminacja Gaussa Twierdzenie 7 (Twierdzenie o eliminacji) Niech ( ) ( ) a1,1 v A = T, A 1 â1,1 ˆv = T u B û ˆB, gdzie â 1,1 = 0. Wtedy B 1 = ˆB û ˆv T /â 1,1. Jest to pojedynczy krok algorytmu eliminacji Gaussa. - p. 20/60
50 Algorytm O(n 3 ) Algorytm Monte Carlo znajdujacy doskonałe skojarzenie w danym grafie G w czasie O(n 3 ): M := oblicz A 1 (G) while G non-empty do znajdź dozwolona krawędź e E usuń e wraz z końcami z G dodaj e do M uaktualnij A 1 (G) używajac eliminacji Gaussa - p. 21/60
51 Leniwe obliczenia u 1 v T u k v T k = u 1... u k v T 1. v T k - p. 22/60
52 Eliminacja bez zamian Algorytm wykonujacy eliminację Gaussa bez zamian wierszy ani kolumn w czasie O(n ω ). for i := 1 to n do leniwie eliminuj i-ty wiersz i i-ta kolumnę niech k będzie takie, że 2 k i, ale 2 k+1 i uaktualnij wiersze i kolumny o numerach i + 1,..., i + 2 k - p. 23/60
53 Eliminacja bez zamian W każdym kroku wykonujemy mnożenie macierzy n 2 k przez macierz 2 k 2 k w czasie (n/2 k )(2 k ) ω = n2 k(ω 1). - p. 24/60
54 Eliminacja bez zamian W każdym kroku wykonujemy mnożenie macierzy n 2 k przez macierz 2 k 2 k w czasie (n/2 k )(2 k ) ω = n2 k(ω 1). Konkretna wartość k pojawia się n/2 k razy, a zatem obliczenia dla ustalonego k wymagaja czasu n 2 2 k(ω 2) = n 2 (2 ω 2 ) k. - p. 24/60
55 Eliminacja bez zamian W każdym kroku wykonujemy mnożenie macierzy n 2 k przez macierz 2 k 2 k w czasie (n/2 k )(2 k ) ω = n2 k(ω 1). Konkretna wartość k pojawia się n/2 k razy, a zatem obliczenia dla ustalonego k wymagaja czasu n 2 2 k(ω 2) = n 2 (2 ω 2 ) k. log n k=0 n 2 (2 ω 2 ) k Cn 2 (2 ω 2 ) log n = Cn 2 n ω 2 = Cn ω. - p. 24/60
56 Eliminacja bez zamian kolumn Algorytm Hopcrofta-Buncha wykonujacy eliminację Gaussa bez zamian kolumn w czasie O(n ω ). for i := 1 to n do znajdź wiersz j taki, że A i,j = 0 leniwie eliminuj j-ty wiersz i i-ta kolumnę niech k będzie takie, że 2 k i, ale 2 k+1 i uaktualnij kolumny i + 1,..., i + 2 k - p. 25/60
57 Eliminacja bez zamian kolumn? A B C - p. 26/60
58 Przypadek dwudzielny Twierdzenie 8 Doskonałe skojarzenie w grafie dwudzielnym można znalel ć w czasie O(n ω ) przy pomocy zmodyfikowanego algorytmu Hopcrofta-Buncha. - p. 27/60
59 Podsumowanie I Pokazaliśmy następuj ace algorytmy dla problemu maksymalnego skojarzenia: - p. 28/60
60 Podsumowanie I Pokazaliśmy następujace algorytmy dla problemu maksymalnego skojarzenia: 1. Bardzo prosty algorytm o złożoności O(n 3 ); - p. 28/60
61 Podsumowanie I Pokazaliśmy następujace algorytmy dla problemu maksymalnego skojarzenia: 1. Bardzo prosty algorytm o złożoności O(n 3 ); 2. Prosty Algorytm dla grafów dwudzielnych o złożoności O(n ω ); - p. 28/60
62 Podsumowanie I Pokazaliśmy następujace algorytmy dla problemu maksymalnego skojarzenia: 1. Bardzo prosty algorytm o złożoności O(n 3 ); 2. Prosty Algorytm dla grafów dwudzielnych o złożoności O(n ω ); 3. Kolejne wykłady algorytm dla dowolnych grafów o złożoności O(n ω ). - p. 28/60
63 Podsumowanie I Pokazaliśmy następujace algorytmy dla problemu maksymalnego skojarzenia: 1. Bardzo prosty algorytm o złożoności O(n 3 ); 2. Prosty Algorytm dla grafów dwudzielnych o złożoności O(n ω ); 3. Kolejne wykłady algorytm dla dowolnych grafów o złożoności O(n ω ). 4. Kolejne wykłady algorytm dla grafów planarnych o złożoności O(n ω/2 ) = O(n 1.19 ). - p. 28/60
64 Problem Nie ważony problem skojarzeń można rozwiazać w czasie O(n ω ). - p. 29/60
65 Problem Nie ważony problem skojarzeń można rozwiazać w czasie O(n ω ). Czy wynik ten może być rozszerzony na skojarzenia nie ważone? - p. 29/60
66 Problem Nie ważony problem skojarzeń można rozwiazać w czasie O(n ω ). Czy wynik ten może być rozszerzony na skojarzenia nie ważone? TAK w czasie O(Wn ω ) - p. 29/60
67 Outline Historia - p. 30/60
68 Outline Historia Szkic algorytmu - p. 30/60
69 Outline Historia Szkic algorytmu Algorytm dla ważonych skojarzeń - p. 30/60
70 Outline Historia Szkic algorytmu Algorytm dla ważonych skojarzeń Podsumowanie - p. 30/60
71 Outline Historia Szkic algorytmu Algorytm dla ważonych skojarzeń Podsumowanie - p. 30/60
72 Ważone skojarzenia dwudzielne O(WnVC(n, m)) implicite Egerváry (1931), - p. 31/60
73 Ważone skojarzenia dwudzielne O(WnVC(n, m)) implicite Egerváry (1931), O(n 4 ) Khun (1955) and Munkers (1957), - p. 31/60
74 Ważone skojarzenia dwudzielne O(WnVC(n, m)) implicite Egerváry (1931), O(n 4 ) Khun (1955) and Munkers (1957), O(n 2 m) Iri (1960), - p. 31/60
75 Ważone skojarzenia dwudzielne O(WnVC(n, m)) implicite Egerváry (1931), O(n 4 ) Khun (1955) and Munkers (1957), O(n 2 m) Iri (1960), O(n 3 ) Dintis and Kronrod (1969), - p. 31/60
76 Ważone skojarzenia dwudzielne O(WnVC(n, m)) implicite Egerváry (1931), O(n 4 ) Khun (1955) and Munkers (1957), O(n 2 m) Iri (1960), O(n 3 ) Dintis and Kronrod (1969), O(nSP + (n, m)) Edmonds and Karp (1970), - p. 31/60
77 Ważone skojarzenia dwudzielne O(WnVC(n, m)) implicite Egerváry (1931), O(n 4 ) Khun (1955) and Munkers (1957), O(n 2 m) Iri (1960), O(n 3 ) Dintis and Kronrod (1969), O(nSP + (n, m)) Edmonds and Karp (1970), O(n 3 4 m log W) Gabow (1983), - p. 31/60
78 Ważone skojarzenia dwudzielne O(WnVC(n, m)) implicite Egerváry (1931), O(n 4 ) Khun (1955) and Munkers (1957), O(n 2 m) Iri (1960), O(n 3 ) Dintis and Kronrod (1969), O(nSP + (n, m)) Edmonds and Karp (1970), O(n 3 4 m log W) Gabow (1983), O( nm log(nw)) Gabow and Tarjan (1991), - p. 31/60
79 Ważone skojarzenia dwudzielne O(WnVC(n, m)) implicite Egerváry (1931), O(n 4 ) Khun (1955) and Munkers (1957), O(n 2 m) Iri (1960), O(n 3 ) Dintis and Kronrod (1969), O(nSP + (n, m)) Edmonds and Karp (1970), O(n 3 4 m log W) Gabow (1983), O( nm log(nw)) Gabow and Tarjan (1991), O( nmw) Kao, Lam, Sung and Ting (1999), - p. 31/60
80 Ważone skojarzenia dwudzielne O(WnVC(n, m)) implicite Egerváry (1931), O(n 4 ) Khun (1955) and Munkers (1957), O(n 2 m) Iri (1960), O(n 3 ) Dintis and Kronrod (1969), O(nSP + (n, m)) Edmonds and Karp (1970), O(n 3 4 m log W) Gabow (1983), O( nm log(nw)) Gabow and Tarjan (1991), O( nmw) Kao, Lam, Sung and Ting (1999), O(n ω W) dziś. - p. 31/60
81 Idea - p. 32/60
82 Idea - p. 32/60
83 Idea - p. 32/60
84 Idea - p. 32/60
85 Idea - p. 32/60
86 Idea - p. 32/60
87 Idea - p. 32/60
88 Bipartite Case - p. 33/60
89 Kilka definicji Ważony n-wierzchołkowy graf dwudzielny G to czwórka G = (U, V, E, w) taka, że U = {1,..., n} and V = {n + 1,..., 2n} oznaczaja zbiory wierzchołków, E U V oznacza zbiór krawędzi, funkcja w : E Z + przypisuje wagi krawędziom. - p. 34/60
90 Kilka definicji W problemie maksymalnych skojarzeń w grafach dwudzielnych szukamy doskonałego skojarzenia M w ważonym grafie G, o maksymalnej całkowitej wadze w(m) = e M w(e). - p. 35/60
91 Kilka definicji W problemie maksymalnych skojarzeń w grafach dwudzielnych szukamy doskonałego skojarzenia M w ważonym grafie G, o maksymalnej całkowitej wadze w(m) = e M w(e). Rozmiar problemu jest zadany przez n oraz W maksymalna wagę w w. - p. 35/60
92 Kilka definicji Ważone pokrycie to y(1),..., y(2n) takie, że dla każdego ij E. y(i) + y(j) w(ij), - p. 36/60
93 Kilka definicji Ważone pokrycie to y(1),..., y(2n) takie, że dla każdego ij E. y(i) + y(j) w(ij), Problem minimalnego pokrycia wierzchołkowego polega na znalezieniu pokrycia o minimalnym koszcie. - p. 36/60
94 Twierdzenie Egerváriego Twierdzenie 9 (Egerváry 31) Niech G = (U, V, E, w) będzie ważonym grafem dwudzielnym. wtedy waga maksymalnego doskonałego skojarzenia w G jest równa wadze minimalnego pokrycie wierzchołkowego w G. - p. 37/60
95 Od pokrycia do skojarzeń - p. 38/60
96 Od pokrycia do skojarzeń Graf równościowy G p dla p i G jest zdefiniowany jako G p = (U, V, E ), E = {uv : uv E and p(u) + p(v) = w(uv)}. - p. 39/60
97 Od pokrycia do skojarzeń Graf równościowy G p dla p i G jest zdefiniowany jako G p = (U, V, E ), E = {uv : uv E and p(u) + p(v) = w(uv)}. Lemat 10 Rozważmy ważony graf dwudzielny G i minimalne pokrycie p w G. Skojarzenie M jest doskonałym skojarzeniem w G p wttw jeżeli jest maksymalnym doskonałym skojarzeniem w G. - p. 39/60
98 Od ścieżek do pokrycia - p. 40/60
99 Od ścieżek do pokrycia Niech M będzie maksymalnym skojarzeniem w ważonym dwudzielnym grafie G = (U, V, E, w). 1. skonstruuj skierowany ważony graf D = (U V {r}, A, w d ), 2. dla każdego uv E, u U i v V, dodaj krawędź (u, v) do A, w d ((u, v)) := w(uv), 3. dla każdego uv M, u U i v V, dodaj krawędź (v, u) to A, w d ((v, u)) := w uv, - p. 41/60
100 Od ścieżek do pokrycia Niech M będzie maksymalnym skojarzeniem w ważonym dwudzielnym grafie G = (U, V, E, w). 1. skonstruuj skierowany ważony graf D = (U V {r}, A, w d ), 2. dla każdego uv E, u U i v V, dodaj krawędź (u, v) do A, w d ((u, v)) := w(uv), 3. dla każdego uv M, u U i v V, dodaj krawędź (v, u) to A, w d ((v, u)) := w uv, W D nie ma ujemnych cykli. - p. 41/60
101 Od ścieżek do pokrycia - p. 42/60
102 Od ścieżek do pokrycia 1. dodamy krawędzie o zerowej wadze (r, v) dla każdego v V, 2. obliczmy odległości w D od r, 3. niech y u := dist(r, u) dla u U, 4. niech y v := dist(r, v) dla v V. - p. 43/60
103 Od ścieżek do pokrycia 1. dodamy krawędzie o zerowej wadze (r, v) dla każdego v V, 2. obliczmy odległości w D od r, 3. niech y u := dist(r, u) dla u U, 4. niech y v := dist(r, v) dla v V. Lemat 11 Znalezione y to minimalne pokrycie grafu G. - p. 43/60
104 Od ścieżek do pokrycia dist(r, u) jest funkcja potencjału w d ((u, v)) dist(r, v) dist(r, u) - p. 44/60
105 Od ścieżek do pokrycia dist(r, u) jest funkcja potencjału w d ((u, v)) dist(r, v) dist(r, u) Dla uv E mamy krawędź (u, v) w D i w d ((u, v)) dist(r, v) dist(r, u), w(uv) y(v) y(u). w(uv) y(v) + y(u). Czyli y jest pokryciem. - p. 44/60
106 Od ścierzek do pokrycia dist(r, u) jest funkcja potencjału w d ((u, v)) dist(r, v) dist(r, u) - p. 45/60
107 Od ścierzek do pokrycia dist(r, u) jest funkcja potencjału w d ((u, v)) dist(r, v) dist(r, u) Dla uv M mamy krawędź (v, u) w D i w d ((v, u)) dist(r, u) dist(r, v), w(uv) y(u) + y(v). Sumujac ta nierówność dla krawędzi w M otrzymujemy w(y) w(m). - p. 45/60
108 Od ścierzek do pokrycia dist(r, u) jest funkcja potencjału w d ((u, v)) dist(r, v) dist(r, u) Dla uv M mamy krawędź (v, u) w D i w d ((v, u)) dist(r, u) dist(r, v), w(uv) y(u) + y(v). Sumujac ta nierówność dla krawędzi w M otrzymujemy w(y) w(m). Czyli y jest minimalne. - p. 45/60
109 Od wag skojarzeń do ścieżek - p. 46/60
110 Od wag skojarzeń do ścieżek Rozważmy ważony graf dwudzielny G = (U, V, E, w). - p. 47/60
111 Od wag skojarzeń do ścieżek Rozważmy ważony graf dwudzielny G = (U, V, E, w). dodajmy wierzchołek s do U, - p. 47/60
112 Od wag skojarzeń do ścieżek Rozważmy ważony graf dwudzielny G = (U, V, E, w). dodajmy wierzchołek s do U, dodajmy wierzchołek t do V, - p. 47/60
113 Od wag skojarzeń do ścieżek Rozważmy ważony graf dwudzielny G = (U, V, E, w). dodajmy wierzchołek s do U, dodajmy wierzchołek t do V, połaczmy s z wszystkimi wierzchołkami z V krawędziami o wadze zero, - p. 47/60
114 Od wag skojarzeń do ścieżek Rozważmy ważony graf dwudzielny G = (U, V, E, w). dodajmy wierzchołek s do U, dodajmy wierzchołek t do V, połaczmy s z wszystkimi wierzchołkami z V krawędziami o wadze zero, połaczmy t z wierzchołkiem u w U. - p. 47/60
115 Od wag skojarzeń do ścieżek Rozważmy ważony graf dwudzielny G = (U, V, E, w). dodajmy wierzchołek s do U, dodajmy wierzchołek t do V, połaczmy s z wszystkimi wierzchołkami z V krawędziami o wadze zero, połaczmy t z wierzchołkiem u w U. Oznaczmy przez G(u) otrzymany graf, a przez M(u) maksymalne ważone skojarzenie w G(u). - p. 47/60
116 Od wag skojarzeń do ścieżek - p. 48/60
117 Od wag skojarzeń do ścieżek Lemat 12 Odległości w D spełniają dist(r, u) := w(m) w(m(u)) for u U. - p. 49/60
118 Od wag skojarzeń do ścieżek Lemat 12 Odległości w D spełniają dist(r, u) := w(m) w(m(u)) for u U. Rozważmy skojarzenia M(u) i M, - p. 49/60
119 Od wag skojarzeń do ścieżek Lemat 12 Odległości w D spełniają dist(r, u) := w(m) w(m(u)) for u U. Rozważmy skojarzenia M(u) i M, skierujmy wszystkie krawędzie w M od V do U, - p. 49/60
120 Od wag skojarzeń do ścieżek Lemat 12 Odległości w D spełniają dist(r, u) := w(m) w(m(u)) for u U. Rozważmy skojarzenia M(u) i M, skierujmy wszystkie krawędzie w M od V do U, skierujmy wszystkie krawędzie w M(u) od U do V, - p. 49/60
121 Od wag skojarzeń do ścieżek Lemat 12 Odległości w D spełniają dist(r, u) := w(m) w(m(u)) for u U. Rozważmy skojarzenia M(u) i M, skierujmy wszystkie krawędzie w M od V do U, skierujmy wszystkie krawędzie w M(u) od U do V, otrzymujemy skierowana ścieżkę p od s do t w D, - p. 49/60
122 Od wag skojarzeń do ścieżek Lemat 12 Odległości w D spełniają dist(r, u) := w(m) w(m(u)) for u U. Rozważmy skojarzenia M(u) i M, skierujmy wszystkie krawędzie w M od V do U, skierujmy wszystkie krawędzie w M(u) od U do V, otrzymujemy skierowana ścieżkę p od s do t w D, i zbiór C cykli alternujacych. - p. 49/60
123 Od wag skojarzeń do ścieżek - p. 50/60
124 Od macierzy do wag skojarzeń - p. 51/60
125 Od macierzy do wag skojarzeń Dla G = (U, V, E, w), zdefiniujmy macierz B(G, x) rozmiaru n n jako B(G, x) i,j = x w(ij) z i,j, gdzie z i,j to różne zmienne dla każdej krawędzi w G. - p. 52/60
126 Od macierzy do wag skojarzeń Dla G = (U, V, E, w), zdefiniujmy macierz B(G, x) rozmiaru n n jako B(G, x) i,j = x w(ij) z i,j, gdzie z i,j to różne zmienne dla każdej krawędzi w G. Lemat 13 (Karp, Upfal i Wigderson 86) Stopień x w det( B(G, x)) to waga maksymalnego ważonego doskonałego skojarzenia w G. - p. 52/60
127 Zippel-Schwartz Lemat 14 Niech p(x 1,..., x m ) będzie niezerowym wielomianem stopnia d o współczynnikach z ciała oraz niech S będzie podzbiorem tego ciała, wtedy prawdopodobieństwo że p przyjmie wartość 0 na losowym elemencie (s 1, s 2,..., s m ) S m wynosi co najwyżej d/ S. Takie wydarzenie będziemy nazywać fałszywym zerem. - p. 53/60
128 Zippel-Schwartz Lemat 14 Niech p(x 1,..., x m ) będzie niezerowym wielomianem stopnia d o współczynnikach z ciała oraz niech S będzie podzbiorem tego ciała, wtedy prawdopodobieństwo że p przyjmie wartość 0 na losowym elemencie (s 1, s 2,..., s m ) S m wynosi co najwyżej d/ S. Takie wydarzenie będziemy nazywać fałszywym zerem. Jeżeli wielomian stopnia n jest obliczony dla losowych wartości modulo liczba pierwsza p o długości (1 + c) log n, to prawdopodobieństwo fałszywego zera jest mniejsze niż 1 n c, dla c > 0. - p. 53/60
129 Od macierzy do wag skojarzeń Twierdzenie 15 (Storjohann 03) Niech A K[x] n n będzie macierzą wielomianów stopnia d, a b K[x] n 1 będzie wektorem wielomianów stopnia także d, wtedy wyznacznik det(a), rozwiązanie układu równań A 1 b, może zostać obliczone z użyciem Õ(n ω d) operacji w K. - p. 54/60
130 Od macierzy do wag skojarzeń Twierdzenie 15 (Storjohann 03) Niech A K[x] n n będzie macierzą wielomianów stopnia d, a b K[x] n 1 będzie wektorem wielomianów stopnia także d, wtedy wyznacznik det(a), rozwiązanie układu równań A 1 b, może zostać obliczone z użyciem Õ(n ω d) operacji w K. Wniosek 16 Waga maksymalnego doskonałego skojarzenia w grafie dwudzielnym może zostać policzona w czasie Õ(Wn ω ), z dużym prawdopodobieństwem. - p. 54/60
131 Od macierzy do wag skojarzeń Zdefiniujmy macierz ˆB(G, x) rozmiaru (n + 1) (n + 1) przez 0 B(G, x). ˆB(G, x) = p. 55/60
132 Od macierzy do wag skojarzeń Zdefiniujmy macierz ˆB(G, x) rozmiaru (n + 1) (n + 1) przez 0 B(G, x). ˆB(G, x) = Mamy wtedy adj( ˆB(G, x)) n+1,i ) = det( ˆB(G, x) i,n+1 )) = gdzie A i,j to A bez i-tego wiersza i j-tej kolumny. - p. 55/60
133 Od macierzy do wag skojarzeń Mamy adj( ˆB(G, x)) n+1,i ) = det( ˆB(G, x) i,n+1 )) = = det( B(G(i), x)), - p. 56/60
134 Od macierzy do wag skojarzeń Mamy adj( ˆB(G, x)) n+1,i ) = det( ˆB(G, x) i,n+1 )) = = det( B(G(i), x)), Z lematu KUW otrzymujemy deg x (adj( ˆB(G, x)) n+1,i )) = w(m(i)). - p. 56/60
135 Od macierzy do wag skojarzeń Wybierz liczbę pierwsz a p długości Θ(log n). Podstaw losowe wartości ze zbioru {1,..., p} za zmienne z i,j w ˆB(G, x) aby otrzymać B(x). - p. 57/60
136 Od macierzy do wag skojarzeń Wybierz liczbę pierwsza p długości Θ(log n). Podstaw losowe wartości ze zbioru {1,..., p} za zmienne z i,j w ˆB(G, x) aby otrzymać B(x). Oblicz używajac twierdzenia Storjohanna v = adj(b(x)) n+1,i ) = (adj(b(x))e n+1 ) i = = det(b(x)) ( B(x) 1 e n+1 )i - p. 57/60
137 Od macierzy do wag skojarzeń Wybierz liczbę pierwsza p długości Θ(log n). Podstaw losowe wartości ze zbioru {1,..., p} za zmienne z i,j w ˆB(G, x) aby otrzymać B(x). Oblicz używajac twierdzenia Storjohanna v = adj(b(x)) n+1,i ) = (adj(b(x))e n+1 ) i = = det(b(x)) ( B(x) 1 e n+1 )i Z dużym prawdopodobieństwem deg x (v i ) = w(m(i)). - p. 57/60
138 Ważone dwudzielne skojarzenia - p. 58/60
139 Summary Pokazaliśmy algorytm działajacy w czasie Õ(Wn ω ) dla problemu minimalnego pokrycia wierzchołkowego w grafie dwudzielnym. algorytm działaj acy w czasie Õ(Wn ω ) dla problemu maksymalnych ważonych skojarzeń w grafie dwudzielnym. - p. 59/60
140 Maksymalne skojarzenia przy pomocy eliminacji Gaussa Piotr Sankowski Instytut Informatyki, Uniwersytet Warszawski - p. 60/60
Znajdowanie maksymalnych skojarzeń przy pomocy eliminacji Gaussa
Znajdowanie maksymalnych skojarzeń przy pomocy eliminacji Gaussa Marcin Mucha, Piotr Sankowski Instytut Informatyki, Uniwersytet Warszawski - p. 1/55 Definicja problemu Skojarzeniem w grafie G = (V, E)
Bardziej szczegółowoSkojarzenia w grafach
Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytetu im. Adama Mickiewicza w Poznaniu Środowiskowe Studia Doktoranckie z Nauk Matematycznych Skojarzenia w grafach Wykłady 1 4 Piotr Sankowski Wydział Matematyki,
Bardziej szczegółowoZnajdowanie skojarzeń na maszynie równoległej
11 grudnia 2008 Spis treści 1 Skojarzenia w różnych klasach grafów Drzewa Grafy gęste Grafy regularne dwudzielne Claw-free graphs 2 Drzewa Skojarzenia w drzewach Fakt Wybierajac krawędź do skojarzenia
Bardziej szczegółowoReprezentacje grafów nieskierowanych Reprezentacje grafów skierowanych. Wykład 2. Reprezentacja komputerowa grafów
Wykład 2. Reprezentacja komputerowa grafów 1 / 69 Macierz incydencji Niech graf G będzie grafem nieskierowanym bez pętli o n wierzchołkach (x 1, x 2,..., x n) i m krawędziach (e 1, e 2,..., e m). 2 / 69
Bardziej szczegółowoZastosowania wyznaczników
Zastosowania wyznaczników Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 7.wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 2012 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad 2012 1 / 17
Bardziej szczegółowoFormy kwadratowe. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. 14. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2017
Formy kwadratowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 14. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2017 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2017 1 / 10 Definicja Funkcja
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna i algebra liniowa Macierze
Analiza matematyczna i algebra liniowa Macierze Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki Politechniki Poznańskiej email: imię.nazwisko@cs.put.poznan.pl pok. 2 (CW) tel. (61)665-2936 konsultacje: poniedziałek
Bardziej szczegółowoAlgorytmy Równoległe i Rozproszone Część V - Model PRAM II
Algorytmy Równoległe i Rozproszone Część V - Model PRAM II Łukasz Kuszner pokój 209, WETI http://www.sphere.pl/ kuszner/ kuszner@sphere.pl Oficjalna strona wykładu http://www.sphere.pl/ kuszner/arir/ 2005/06
Bardziej szczegółowoWykład 5. Metoda eliminacji Gaussa
1 Wykład 5 Metoda eliminacji Gaussa Rozwiązywanie układów równań liniowych Układ równań liniowych może mieć dokładnie jedno rozwiązanie, nieskończenie wiele rozwiązań lub nie mieć rozwiązania. Metody dokładne
Bardziej szczegółowoMacierze. Rozdział Działania na macierzach
Rozdział 5 Macierze Funkcję, która każdej parze liczb naturalnych (i, j) (i 1,..., n; j 1,..., m) przyporządkowuje dokładnie jedną liczbę a ij F, gdzie F R lub F C, nazywamy macierzą (rzeczywistą, gdy
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /14
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2016 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 13/14 Grafy podstawowe definicje Graf to para G=(V, E), gdzie V to niepusty i skończony zbiór, którego elementy nazywamy wierzchołkami
Bardziej szczegółowoAlgorytmy dynamiczne. Piotr Sankowski. - p. 1/14
Algorytmy dynamiczne Piotr Sankowski - p. 1/14 Dynamiczne: drzewa wyszukiwanie wzorca w tekście spójność grafu problemy algebraiczne (FFT i inne) domknięcie przechodnie oraz dynamiczne macierze najkrótsze
Bardziej szczegółowo1. Liczby zespolone i
Zadania podstawowe Liczby zespolone Zadanie Podać część rzeczywistą i urojoną następujących liczb zespolonych: z = ( + 7i)( + i) + ( 5 i)( + 7i), z = + i, z = + i i, z 4 = i + i + i i Zadanie Dla jakich
Bardziej szczegółowoSprzedaż online. Piotr Sankowski Uniwersytet Warszawski Warszawa p. 1/40
Sprzedaż online Piotr Sankowski Uniwersytet Warszawski Warszawa 18.04.2013 - p. 1/40 Plan wykładu Problem skojarzeń online Algorytm zachłanny Algorytm losowo rankujacy Dolne ograniczenie Problem aukcji
Bardziej szczegółowoa 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn x 1 x 2... x m ...
Wykład 15 Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem i niech α 1, α 2,, α n, β K. Równanie: α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n = β z niewiadomymi x 1, x 2,, x n nazywamy równaniem liniowym. Układ: a 21 x
Bardziej szczegółowoUkłady równań i nierówności liniowych
Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia 2010 1 Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X 1 + +
Bardziej szczegółowoSortowanie topologiczne skierowanych grafów acyklicznych
Sortowanie topologiczne skierowanych grafów acyklicznych Metody boolowskie w informatyce Robert Sulkowski http://robert.brainusers.net 23 stycznia 2010 1 Definicja 1 (Cykl skierowany). Niech C = (V, A)
Bardziej szczegółowoWykład 8. Drzewo rozpinające (minimum spanning tree)
Wykład 8 Drzewo rozpinające (minimum spanning tree) 1 Minimalne drzewo rozpinające - przegląd Definicja problemu Własności minimalnych drzew rozpinających Algorytm Kruskala Algorytm Prima Literatura Cormen,
Bardziej szczegółowo1 Macierze i wyznaczniki
1 Macierze i wyznaczniki 11 Definicje, twierdzenia, wzory 1 Macierzą rzeczywistą (zespoloną) wymiaru m n, gdzie m N oraz n N, nazywamy prostokątną tablicę złożoną z mn liczb rzeczywistych (zespolonych)
Bardziej szczegółowoWyk lad 5 W lasności wyznaczników. Macierz odwrotna
Wyk lad 5 W lasności wyznaczników Macierz odwrotna 1 Operacje elementarne na macierzach Bardzo ważne znaczenie w algebrze liniowej odgrywaja tzw operacje elementarne na wierszach lub kolumnach macierzy
Bardziej szczegółowoGrafem nazywamy strukturę G = (V, E): V zbiór węzłów lub wierzchołków, Grafy dzielimy na grafy skierowane i nieskierowane:
Wykład 4 grafy Grafem nazywamy strukturę G = (V, E): V zbiór węzłów lub wierzchołków, E zbiór krawędzi, Grafy dzielimy na grafy skierowane i nieskierowane: Formalnie, w grafach skierowanych E jest podzbiorem
Bardziej szczegółowoPodstawowe własności grafów. Wykład 3. Własności grafów
Wykład 3. Własności grafów 1 / 87 Suma grafów Niech będą dane grafy proste G 1 = (V 1, E 1) oraz G 2 = (V 2, E 2). 2 / 87 Suma grafów Niech będą dane grafy proste G 1 = (V 1, E 1) oraz G 2 = (V 2, E 2).
Bardziej szczegółowoRozdział 5. Macierze. a 11 a a 1m a 21 a a 2m... a n1 a n2... a nm
Rozdział 5 Macierze Funkcję, która każdej parze liczb naturalnych (i,j) (i = 1,,n;j = 1,,m) przyporządkowuje dokładnie jedną liczbę a ij F, gdzie F = R lub F = C, nazywamy macierzą (rzeczywistą, gdy F
Bardziej szczegółowo2. Układy równań liniowych
2. Układy równań liniowych Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie zima 2017/2018 rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Układy równań liniowych zima 2017/2018 1 /
Bardziej szczegółowoDrzewa spinające MST dla grafów ważonych Maksymalne drzewo spinające Drzewo Steinera. Wykład 6. Drzewa cz. II
Wykład 6. Drzewa cz. II 1 / 65 drzewa spinające Drzewa spinające Zliczanie drzew spinających Drzewo T nazywamy drzewem rozpinającym (spinającym) (lub dendrytem) spójnego grafu G, jeżeli jest podgrafem
Bardziej szczegółowo3. Macierze i Układy Równań Liniowych
3. Macierze i Układy Równań Liniowych Rozważamy równanie macierzowe z końcówki ostatniego wykładu ( ) 3 1 X = 4 1 ( ) 2 5 Podstawiając X = ( ) x y i wymnażając, otrzymujemy układ 2 równań liniowych 3x
Bardziej szczegółowoSiedem cudów informatyki czyli o algorytmach zdumiewajacych
Siedem cudów informatyki czyli o algorytmach zdumiewajacych Łukasz Kowalik kowalik@mimuw.edu.pl Instytut Informatyki Uniwersytet Warszawski Łukasz Kowalik, Siedem cudów informatyki p. 1/25 Problem 1: mnożenie
Bardziej szczegółowoUkłady równań liniowych i metody ich rozwiązywania
Układy równań liniowych i metody ich rozwiązywania Łukasz Wojciechowski marca 00 Dany jest układ m równań o n niewiadomych postaci: a x + a x + + a n x n = b a x + a x + + a n x n = b. a m x + a m x +
Bardziej szczegółowoMACIERZE I WYZNACZNIKI
Wykłady z matematyki inżynierskiej IMiF UTP 07 MACIERZ DEFINICJA. Macierza o m wierszach i n kolumnach nazywamy przyporza dkowanie każdej uporza dkowanej parze liczb naturalnych (i, j), gdzie 1 i m, 1
Bardziej szczegółowoTreść wykładu. Pierścienie wielomianów. Dzielenie wielomianów i algorytm Euklidesa Pierścienie ilorazowe wielomianów
Treść wykładu Pierścienie wielomianów. Definicja Niech P będzie pierścieniem. Wielomianem jednej zmiennej o współczynnikach z P nazywamy każdy ciąg f = (f 0, f 1, f 2,...), gdzie wyrazy ciągu f są prawie
Bardziej szczegółowoDigraf. 13 maja 2017
Digraf 13 maja 2017 Graf skierowany, digraf, digraf prosty Definicja 1 Digraf prosty G to (V, E), gdzie V jest zbiorem wierzchołków, E jest rodziną zorientowanych krawędzi, między różnymi wierzchołkami,
Bardziej szczegółowoUkłady równań liniowych
Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem. Niech n, m N. Równanie liniowe nad ciałem K z niewiadomymi (lub zmiennymi) x 1, x 2,..., x n K definiujemy jako formę zdaniową zmiennej (x 1,..., x n ) K
Bardziej szczegółowoStruktury danych i złożoność obliczeniowa Wykład 7. Prof. dr hab. inż. Jan Magott
Struktury danych i złożoność obliczeniowa Wykład 7 Prof. dr hab. inż. Jan Magott Problemy NP-zupełne Transformacją wielomianową problemu π 2 do problemu π 1 (π 2 π 1 ) jest funkcja f: D π2 D π1 spełniająca
Bardziej szczegółowodet[a 1,..., A i,..., A j,..., A n ] + det[a 1,..., ka j,..., A j,..., A n ] Dowód Udowodniliśmy, że: det[a 1,..., A i + ka j,..., A j,...
Wykład 14 Wyznacznik macierzy cd Twierdzenie 1 Niech A będzie macierzą kwadratową i niech A i, A j będą dwiema różnymi jej kolumnami, wtedy dla dowolnego k K: det[a 1,, A i,, A j,, A n ] det[a 1,, A i
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA DYSKRETNA - MATERIAŁY DO WYKŁADU GRAFY
ERIAŁY DO WYKŁADU GRAFY Graf nieskierowany Grafem nieskierowanym nazywamy parę G = (V, E), gdzie V jest pewnym zbiorem skończonym (zwanym zbiorem wierzchołków grafu G), natomiast E jest zbiorem nieuporządkowanych
Bardziej szczegółowoWstęp do metod numerycznych Uwarunkowanie Eliminacja Gaussa. P. F. Góra
Wstęp do metod numerycznych Uwarunkowanie Eliminacja Gaussa P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2012 Uwarunkowanie zadania numerycznego Niech ϕ : R n R m będzie pewna funkcja odpowiednio wiele
Bardziej szczegółowoProcesy stochastyczne
Wykład IV: dla łańcuchów Markowa 14 marca 2017 Wykład IV: Klasyfikacja stanów Kiedy rozkład stacjonarny jest jedyny? Przykład Macierz jednostkowa I wymiaru #E jest macierzą stochastyczną. Dla tej macierzy
Bardziej szczegółowoLokalna odwracalność odwzorowań, odwzorowania uwikłane
Lokalna odwracalność odwzorowań, odwzorowania uwikłane Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej Szkoła Główna Handlowa 17 maja 2012 Definicja Mówimy, że odwzorowanie F : X R n, gdzie X R n, jest lokalnie
Bardziej szczegółowoObliczenia naukowe Wykład nr 8
Obliczenia naukowe Wykład nr 8 Paweł Zieliński Katedra Informatyki, Wydział Podstawowych Problemów Techniki, Politechnika Wrocławska Literatura Literatura podstawowa [] D. Kincaid, W. Cheney, Analiza numeryczna,
Bardziej szczegółowoKodowanie i kompresja Streszczenie Studia dzienne Wykład 6
Kodowanie i kompresja Streszczenie Studia dzienne Wykład 6 1 Kody cykliczne: dekodowanie Definicja 1 (Syndrom) Niech K będzie kodem cyklicznym z wielomianem generuja- cym g(x). Resztę z dzielenia słowa
Bardziej szczegółowodr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia 2014 Przestrzeń R k R k = R R... R k razy Elementy R k wektory;
Wykłady 8 i 9 Pojęcia przestrzeni wektorowej i macierzy Układy równań liniowych Elementy algebry macierzy dodawanie, odejmowanie, mnożenie macierzy; macierz odwrotna dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia
Bardziej szczegółowoKolorowanie wierzchołków
Kolorowanie wierzchołków Mając dany graf, pokolorować jego wierzchołki w taki sposób, aby każde dwa wierzchołki sąsiednie miały inny kolor. Każda krawędź łączy wierzchołki różnych kolorów. Takie pokolorowanie
Bardziej szczegółowoPrzykłady grafów. Graf prosty, to graf bez pętli i bez krawędzi wielokrotnych.
Grafy Graf Graf (ang. graph) to zbiór wierzchołków (ang. vertices), które mogą być połączone krawędziami (ang. edges) w taki sposób, że każda krawędź kończy się i zaczyna w którymś z wierzchołków. Graf
Bardziej szczegółowoRównoległy algorytm wyznaczania bloków dla cyklicznego problemu przepływowego z przezbrojeniami
Równoległy algorytm wyznaczania bloków dla cyklicznego problemu przepływowego z przezbrojeniami dr inż. Mariusz Uchroński Wrocławskie Centrum Sieciowo-Superkomputerowe Agenda Cykliczny problem przepływowy
Bardziej szczegółowo1 Macierz odwrotna metoda operacji elementarnych
W tej części skupimy się na macierzach kwadratowych. Zakładać będziemy, że A M(n, n) dla pewnego n N. Definicja 1. Niech A M(n, n). Wtedy macierzą odwrotną macierzy A (ozn. A 1 ) nazywamy taką macierz
Bardziej szczegółowoWstęp do sieci neuronowych, wykład 11 Łańcuchy Markova
Wstęp do sieci neuronowych, wykład 11 Łańcuchy Markova M. Czoków, J. Piersa 2010-12-21 1 Definicja Własności Losowanie z rozkładu dyskretnego 2 3 Łańcuch Markova Definicja Własności Losowanie z rozkładu
Bardziej szczegółowo5. Rozwiązywanie układów równań liniowych
5. Rozwiązywanie układów równań liniowych Wprowadzenie (5.1) Układ n równań z n niewiadomymi: a 11 +a 12 x 2 +...+a 1n x n =a 10, a 21 +a 22 x 2 +...+a 2n x n =a 20,..., a n1 +a n2 x 2 +...+a nn x n =a
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /14
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2012 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 13/14 Grafy podstawowe definicje Graf to para G=(V, E), gdzie V to niepusty i skończony zbiór, którego elementy nazywamy wierzchołkami
Bardziej szczegółowoO MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ
O MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ Problem Jak rozwiązać podany układ równań? 2x + 5y 8z = 8 4x + 3y z = 2x + 3y 5z = 7 x + 8y 7z = Definicja Równanie postaci a x + a 2 x 2 + + a n x n = b gdzie a, a 2, a
Bardziej szczegółowoGrafy i macierze. Tomasz LENARCIK, Kraków. Zacznijmy od przykładu. Załóżmy, że ξ jest liczbą algebraiczną spełniającą równanie postaci
Jest to tekst związany z odczytem wygłoszonym na XLVI Szkole Matematyki Poglądowej, Podejście niestandardowe, Warszawa Miedzeszyn, styczeń 0. Grafy i macierze Tomasz LENARCIK, Kraków Streszczenie Zdarza
Bardziej szczegółowoLista. Algebra z Geometrią Analityczną. Zadanie 1 Przypomnij definicję grupy, które z podanych struktur są grupami:
Lista Algebra z Geometrią Analityczną Zadanie 1 Przypomnij definicję grupy, które z podanych struktur są grupami: (N, ), (Z, +) (Z, ), (R, ), (Q \ {}, ) czym jest element neutralny i przeciwny w grupie?,
Bardziej szczegółowoφ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i +
Teoria na egzamin z algebry liniowej Wszystkie podane pojęcia należy umieć określić i podać pprzykłady, ewentualnie kontrprzykłady. Ponadto należy znać dowody tam gdzie to jest zaznaczone. Liczby zespolone.
Bardziej szczegółowoAlgorytmy grafowe. Wykład 1 Podstawy teorii grafów Reprezentacje grafów. Tomasz Tyksiński CDV
Algorytmy grafowe Wykład 1 Podstawy teorii grafów Reprezentacje grafów Tomasz Tyksiński CDV Rozkład materiału 1. Podstawowe pojęcia teorii grafów, reprezentacje komputerowe grafów 2. Przeszukiwanie grafów
Bardziej szczegółowoPokazać, że wyżej zdefiniowana struktura algebraiczna jest przestrzenią wektorową nad ciałem
Zestaw zadań 9: Przestrzenie wektorowe. Podprzestrzenie () Wykazać, że V = C ze zwykłym dodawaniem jako dodawaniem wektorów i operacją mnożenia przez skalar : C C C, (z, v) z v := z v jest przestrzenią
Bardziej szczegółowoWyk lad 4 Macierz odwrotna i twierdzenie Cramera
Wyk lad 4 Macierz odwrotna i twierdzenie Cramera 1 Odwracanie macierzy I n jest elementem neutralnym mnożenia macierzy w zbiorze M n (R) tzn A I n I n A A dla dowolnej macierzy A M n (R) Ponadto z twierdzenia
Bardziej szczegółowo13 Układy równań liniowych
13 Układy równań liniowych Definicja 13.1 Niech m, n N. Układem równań liniowych nad ciałem F m równaniach i n niewiadomych x 1, x 2,..., x n nazywamy koniunkcję równań postaci a 11 x 1 + a 12 x 2 +...
Bardziej szczegółowoWektory i wartości własne
Treść wykładu Podprzestrzenie niezmiennicze... Twierdzenie Cayley Hamiltona Podprzestrzenie niezmiennicze Definicja Niech f : V V będzie przekształceniem liniowym. Podprzestrzeń W V nazywamy niezmienniczą
Bardziej szczegółowoUkłady równań liniowych
Układy równań liniowych Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 1. wykład z algebry liniowej Warszawa, październik 2015 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień 2015 1 / 1
Bardziej szczegółowo7. Skojarzenia w grafach. 7.1 Definicje i twierdzenia
p. 7. Skojarzenia w grafach 7.1 Definicje i twierdzenia p. 7. Skojarzenia w grafach 7.1 Definicje i twierdzenia Definicja (Skojarzenie w grafie). Podzbiór M zbioru krawędzi E(G) nazywamy skojarzeniem grafu
Bardziej szczegółowoDB Algebra liniowa semestr zimowy 2018
DB Algebra liniowa semestr zimowy 2018 SPIS TREŚCI Teoria oraz większość zadań w niniejszym skrypcie zostały opracowane na podstawie książek: 1 G Banaszak, W Gajda, Elementy algebry liniowej cz I, Wydawnictwo
Bardziej szczegółowoZaawansowane metody numeryczne
Wykład 10 Rozkład LU i rozwiązywanie układów równań liniowych Niech będzie dany układ równań liniowych postaci Ax = b Załóżmy, że istnieją macierze L (trójkątna dolna) i U (trójkątna górna), takie że macierz
Bardziej szczegółowoMetoda eliminacji Gaussa. Autorzy: Michał Góra
Metoda eliminacji Gaussa Autorzy: Michał Góra 9 Metoda eliminacji Gaussa Autor: Michał Góra Przedstawiony poniżej sposób rozwiązywania układów równań liniowych jest pewnym uproszczeniem algorytmu zwanego
Bardziej szczegółowoMetody uporządkowania
Metody uporządkowania W trakcie faktoryzacji macierzy rzadkiej ilość zapełnień istotnie zależy od sposobu numeracji równań. Powstaje problem odnalezienia takiej numeracji, przy której ilość zapełnień będzie
Bardziej szczegółowoMetody Numeryczne Wykład 4 Wykład 5. Interpolacja wielomianowa
Sformułowanie zadania interpolacji Metody Numeryczne Wykład 4 Wykład 5 Interpolacja wielomianowa Niech D R i niech F bȩdzie pewnym zbiorem funkcji f : D R. Niech x 0, x 1,..., x n bȩdzie ustalonym zbiorem
Bardziej szczegółowoWłasności wyznacznika
Własności wyznacznika Rozwinięcie Laplace a względem i-tego wiersza: n det(a) = ( 1) i+j a ij M ij (A), j=1 gdzie M ij (A) to minor (i, j)-ty macierzy A, czyli wyznacznik macierzy uzyskanej z macierzy
Bardziej szczegółowoZadania egzaminacyjne
Rozdział 13 Zadania egzaminacyjne Egzamin z algebry liniowej AiR termin I 03022011 Zadanie 1 Wyznacz sumę rozwiązań równania: (8z + 1 i 2 2 7 iz 4 = 0 Zadanie 2 Niech u 0 = (1, 2, 1 Rozważmy odwzorowanie
Bardziej szczegółowoTeoria obliczeń i złożoność obliczeniowa
Teoria obliczeń i złożoność obliczeniowa Kontakt: dr hab. inż. Adam Kasperski, prof. PWr. pokój 509 B4 adam.kasperski@pwr.wroc.pl materiały + informacje na stronie www. Zaliczenie: Egzamin Literatura Problemy
Bardziej szczegółowoWektory i wartości własne
Treść wykładu Podprzestrzenie niezmiennicze Podprzestrzenie niezmiennicze... Twierdzenie Cayley Hamiltona Podprzestrzenie niezmiennicze Definicja Niech f : V V będzie przekształceniem liniowym. Podprzestrzeń
Bardziej szczegółowoAlgorytmy aproksymacyjne i parametryzowane
Algorytmy aproksymacyjne i parametryzowane Marek Cygan Uniwersytet Warszawski 18 października 2012 Marek Cygan Algorytmy aproksymacyjne i parametryzowane 1/22 Wstęp W algorytmice problemy dzielimy na obliczeniowo
Bardziej szczegółowoWielomiany. dr Tadeusz Werbiński. Teoria
Wielomiany dr Tadeusz Werbiński Teoria Na początku przypomnimy kilka szkolnych definicji i twierdzeń dotyczących wielomianów. Autorzy podręczników szkolnych podają różne definicje wielomianu - dla jednych
Bardziej szczegółowoPorównanie algorytmów wyszukiwania najkrótszych ścieżek międz. grafu. Daniel Golubiewski. 22 listopada Instytut Informatyki
Porównanie algorytmów wyszukiwania najkrótszych ścieżek między wierzchołkami grafu. Instytut Informatyki 22 listopada 2015 Algorytm DFS w głąb Algorytm przejścia/przeszukiwania w głąb (ang. Depth First
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2013 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 14/15 Grafy podstawowe definicje Graf to para G=(V, E), gdzie V to niepusty i skończony zbiór, którego elementy nazywamy wierzchołkami
Bardziej szczegółowoLista nr 1 - Liczby zespolone
Lista nr - Liczby zespolone Zadanie. Obliczyć: a) ( 3 i) 3 ( 6 i ) 8 c) (+ 3i) 8 (i ) 6 + 3 i + e) f*) g) ( 3 i ) 77 ( ( 3 i + ) 3i 3i h) ( + 3i) 5 ( i) 0 i) i ( 3 i ) 4 ) +... + ( 3 i ) 0 Zadanie. Przedstawić
Bardziej szczegółowoPodstawowe struktury algebraiczne
Maciej Grzesiak Podstawowe struktury algebraiczne 1. Wprowadzenie Przedmiotem algebry było niegdyś przede wszystkim rozwiązywanie równań. Obecnie algebra staje się coraz bardziej nauką o systemach matematycznych.
Bardziej szczegółowoUkłady równań liniowych. Krzysztof Patan
Układy równań liniowych Krzysztof Patan Motywacje Zagadnienie kluczowe dla przetwarzania numerycznego Wiele innych zadań redukuje się do problemu rozwiązania układu równań liniowych, często o bardzo dużych
Bardziej szczegółowoWyk lad 11 1 Wektory i wartości w lasne
Wyk lad 11 Wektory i wartości w lasne 1 Wektory i wartości w lasne Niech V bedzie przestrzenia liniowa nad cia lem K Każde przekszta lcenie liniowe f : V V nazywamy endomorfizmem liniowym przestrzeni V
Bardziej szczegółowoKolorowanie wierzchołków grafu
Kolorowanie wierzchołków grafu Niech G będzie grafem prostym. Przez k-kolorowanie właściwe wierzchołków grafu G rozumiemy takie przyporządkowanie wierzchołkom grafu liczb naturalnych ze zbioru {1,...,
Bardziej szczegółowoWykład 7 Macierze i wyznaczniki
Wykład 7 Macierze i wyznaczniki Andrzej Sładek sladek@ux2mathusedupl Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski w Katowicach Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7
Bardziej szczegółowoMatematyczne Podstawy Informatyki
Matematyczne Podstawy Informatyki dr inż. Andrzej Grosser Instytut Informatyki Teoretycznej i Stosowanej Politechnika Częstochowska Rok akademicki 2013/2014 Informacje podstawowe 1. Konsultacje: pokój
Bardziej szczegółowo. : a 1,..., a n F. . a n Wówczas (F n, F, +, ) jest przestrzenią liniową, gdzie + oraz są działaniami zdefiniowanymi wzorami:
9 Wykład 9: Przestrzenie liniowe i podprzestrzenie Definicja 9 Niech F będzie ciałem Algebrę (V, F, +, ), gdzie V, + jest działaniem w zbiorze V zwanym dodawaniem wektorów, a jest działaniem zewnętrznym
Bardziej szczegółowoKolorowanie wierzchołków Kolorowanie krawędzi Kolorowanie regionów i map. Wykład 8. Kolorowanie
Wykład 8. Kolorowanie 1 / 62 Kolorowanie wierzchołków - definicja Zbiory niezależne Niech G będzie grafem bez pętli. Definicja Mówimy, że G jest grafem k kolorowalnym, jeśli każdemu wierzchołkowi możemy
Bardziej szczegółowoAlgorytmika Problemów Trudnych
Algorytmika Problemów Trudnych Wykład 9 Tomasz Krawczyk krawczyk@tcs.uj.edu.pl Kraków, semestr letni 2016/17 plan wykładu Algorytmy aproksymacyjne: Pojęcie algorytmu aproksymacyjnego i współczynnika aproksymowalności.
Bardziej szczegółowo15. Macierze. Definicja Macierzy. Definicja Delty Kroneckera. Definicja Macierzy Kwadratowej. Definicja Macierzy Jednostkowej
15. Macierze Definicja Macierzy. Dla danego ciała F i dla danych m, n IN funkcję A : {1,...,m} {1,...,n} F nazywamy macierzą m n ( macierzą o m wierszach i n kolumnach) o wyrazach z F. Wartość A(i, j)
Bardziej szczegółowoWykład 4. Droga i cykl Eulera i Hamiltona
Wykład 4. i Hamiltona Wykład 4. i Hamiltona 1 / 35 Grafy Eulera Niech G będzie grafem spójnym. Definicja Jeżeli w grafie G istnieje zamknięta droga prosta zawierająca wszystkie krawędzie grafu, to taką
Bardziej szczegółowo, A T = A + B = [a ij + b ij ].
1 Macierze Jeżeli każdej uporządkowanej parze liczb naturalnych (i, j), 1 i m, 1 j n jest przyporządkowana dokładnie jedna liczba a ij, to mówimy, że jest określona macierz prostokątna A = a ij typu m
Bardziej szczegółowoALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ. 1. Ciała
ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ WSHE, O/K-CE 1. Ciała Definicja 1. Układ { ; 0, 1; +, } złożony ze zbioru, dwóch wyróżnionych elementów 0, 1 oraz dwóch działań +:, : nazywamy ciałem
Bardziej szczegółowoUkłady równań i równania wyższych rzędów
Rozdział Układy równań i równania wyższych rzędów Układy równań różniczkowych zwyczajnych Wprowadzenie W poprzednich paragrafach zajmowaliśmy się równaniami różniczkowymi y = f(x, y), których rozwiązaniem
Bardziej szczegółowoSKOJARZENIA i ZBIORY WEWN. STABILNE WIERZCH. Skojarzeniem w grafie G nazywamy dowolny podzbiór krawędzi parami niezależnych.
SKOJARZENIA i ZBIORY WEWN. STABILNE WIERZCH. Rozważamy graf G = (V, E) Dwie krawędzie e, e E nazywamy niezależnymi, jeśli nie są incydentne ze wspólnym wierzchołkiem. Skojarzeniem w grafie G nazywamy dowolny
Bardziej szczegółowoZadania z egzaminów z Algorytmiki
1 Najkrótsze ścieżki Zadania z egzaminów z Algorytmiki Zadanie 1 Dany jest spójny graf nieskierowany G = (V, E) z wagami na krawędziach w : E N oraz cztery wyróżnione wierzchołki a, b, c, d. Należy wybrać
Bardziej szczegółowoWykład 4. Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni.
Wykład 4 Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni. Twierdzenie 1 Niech m, n Z. Jeśli n > 0 to istnieje dokładnie jedna para licz q, r, że: m = qn + r, 0 r < n. Liczbę r nazywamy resztą z dzielenia
Bardziej szczegółowoWykład 6. Metoda eliminacji Gaussa: Eliminacja z wyborem częściowym Eliminacja z wyborem pełnym
1 Wykład 6 Metoda eliminacji Gaussa: Eliminacja z wyborem częściowym Eliminacja z wyborem pełnym ELIMINACJA GAUSSA Z WYBOREM CZĘŚCIOWYM ELEMENTÓW PODSTAWOWYCH 2 Przy pomocy klasycznego algorytmu eliminacji
Bardziej szczegółowoMetody uporządkowania
Metody uporządkowania W trakcie faktoryzacji macierzy rzadkiej ilość zapełnień istotnie zależy od sposobu numeracji równań. Powstaje problem odnalezienia takiej numeracji, przy której: o ilość zapełnień
Bardziej szczegółowoRozwiazywanie układów równań liniowych. Ax = b
Rozwiazywanie układów równań liniowych Ax = b 1 PLAN REFERATU: Warunki istnienia rozwiazań układu Metoda najmniejszych kwadratów Metoda najmniejszych kwadratów - algorytm rekurencyjny Rozwiazanie układu
Bardziej szczegółowoWstęp do sieci neuronowych, wykład 12 Wykorzystanie sieci rekurencyjnych w optymalizacji grafowej
Wstęp do sieci neuronowych, wykład 12 Wykorzystanie sieci rekurencyjnych w optymalizacji grafowej Maja Czoków, Jarosław Piersa Wydział Matematyki i Informatyki, Uniwersytet Mikołaja Kopernika 2013-01-09
Bardziej szczegółowoCiała skończone. 1. Ciała: podstawy
Ciała skończone 1. Ciała: podstawy Definicja 1. Każdy zbiór liczb, w którym są wykonalne wszystkie cztery działania z wyjątkiem dzielenia przez 0 i który zawiera więcej niż jedną liczbę, nazywamy ciałem
Bardziej szczegółowoUKŁADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAŃ LINIOWYCH
Transport, studia niestacjonarne I stopnia, semestr I Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Postać układu równań liniowych Układ liniowych równań algebraicznych
Bardziej szczegółowoWyk lad 9 Baza i wymiar przestrzeni liniowej
Wyk lad 9 Baza i wymiar liniowej Baza liniowej Niech V bedzie nad cia lem K Powiemy, że zbiór wektorów {α,, α n } jest baza V, jeżeli wektory α,, α n sa liniowo niezależne oraz generuja V tzn V = L(α,,
Bardziej szczegółowoMet Me ody numer yczne Wykład ykład Dr inż. Mic hał ha Łanc Łan zon Instyt Ins ut Elektr Elektr echn iki echn i Elektrot Elektr echn olo echn
Metody numeryczne Wykład 3 Dr inż. Michał Łanczont Instytut Elektrotechniki i Elektrotechnologii E419, tel. 4293, m.lanczont@pollub.pl, http://m.lanczont.pollub.pl Zakres wykładu Pojęcia podstawowe Algebra
Bardziej szczegółowoRachunek różniczkowy i całkowy w przestrzeniach R n
Rachunek różniczkowy i całkowy w przestrzeniach R n Na dzisiejszym wykładzie rozważać będziemy funkcje f : R m R n Każda taka funkcję f można przedstawić jako wektor funkcji (f 1, f 2,, f n ), gdzie każda
Bardziej szczegółowo3. Wykład Układy równań liniowych.
31 Układy równań liniowych 3 Wykład 3 Definicja 31 Niech F będzie ciałem Układem m równań liniowych o niewiadomych x 1,, x n, m, n N, o współczynnikach z ciała F nazywamy układ równań postaci: x 1 + +
Bardziej szczegółowo