Maksymalne skojarzenia przy pomocy eliminacji Gaussa

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Maksymalne skojarzenia przy pomocy eliminacji Gaussa"

Transkrypt

1 Maksymalne skojarzenia przy pomocy eliminacji Gaussa Piotr Sankowski Instytut Informatyki, Uniwersytet Warszawski - p. 1/60

2 Poprzednie wyniki Dotychczas usłyszeliśmy o algorytmie działajacym w czasie: O(m n) dla grafów dwudzielnych Hopcroft, Karp, - p. 2/60

3 Poprzednie wyniki Dotychczas usłyszeliśmy o algorytmie działajacym w czasie: O(m n) dla grafów dwudzielnych Hopcroft, Karp, Dla grafów gęstych otrzymujemy czas O(n 2.5 ). - p. 2/60

4 Techniki algebraiczne Techniki algebraicznie: O(n ω ) = O(n 2.38 ) testowanie i wyznaczanie liczności Lovász, - p. 3/60

5 Techniki algebraiczne Techniki algebraicznie: O(n ω ) = O(n 2.38 ) testowanie i wyznaczanie liczności Lovász, O(n ω+1 ) = O(n 3.38 ) znajdowanie Rabin, Vazirani. - p. 3/60

6 Nasze wyniki Nowa metoda oparta na eliminacji Gaussa. - p. 4/60

7 Nasze wyniki Nowa metoda oparta na eliminacji Gaussa. Algebraicznie algorytmy znajduj ace najliczniejsze skojarzenie w grafach: - p. 4/60

8 Nasze wyniki Nowa metoda oparta na eliminacji Gaussa. Algebraicznie algorytmy znajdujace najliczniejsze skojarzenie w grafach: bardzo prosty algorytm O(n 3 ), - p. 4/60

9 Nasze wyniki Nowa metoda oparta na eliminacji Gaussa. Algebraicznie algorytmy znajdujace najliczniejsze skojarzenie w grafach: bardzo prosty algorytm O(n 3 ), algorytm O(n ω ) = O(n 2.38 ). - p. 4/60

10 Nasze wyniki Nowa metoda oparta na eliminacji Gaussa. Algebraicznie algorytmy znajdujace najliczniejsze skojarzenie w grafach: bardzo prosty algorytm O(n 3 ), algorytm O(n ω ) = O(n 2.38 ). Obydwa algorytmy sa randomizowane. - p. 4/60

11 Plan 1. Technika Lovásza, - p. 5/60

12 Plan 1. Technika Lovásza, 2. Maksymalne skojarzenia, - p. 5/60

13 Plan 1. Technika Lovásza, 2. Maksymalne skojarzenia, 3. Rabin and Vazirani, - p. 5/60

14 Plan 1. Technika Lovásza, 2. Maksymalne skojarzenia, 3. Rabin and Vazirani, 4. Eliminacja Gaussa, - p. 5/60

15 Plan 1. Technika Lovásza, 2. Maksymalne skojarzenia, 3. Rabin and Vazirani, 4. Eliminacja Gaussa, 5. Proste algorytmy O(n 3 ), - p. 5/60

16 Plan 1. Technika Lovásza, 2. Maksymalne skojarzenia, 3. Rabin and Vazirani, 4. Eliminacja Gaussa, 5. Proste algorytmy O(n 3 ), 6. Algorytm O(n ω ) dla grafów dwudzielnych, - p. 5/60

17 Plan 1. Technika Lovásza, 2. Maksymalne skojarzenia, 3. Rabin and Vazirani, 4. Eliminacja Gaussa, 5. Proste algorytmy O(n 3 ), 6. Algorytm O(n ω ) dla grafów dwudzielnych, 7. Ważone skojarzenia w grafach dwudzielnych. - p. 5/60

18 Szybkie mnożenie macierzy Niech ω oznacza wykładnik mnożenia macierzy rozmiaru n n. - p. 6/60

19 Szybkie mnożenie macierzy Niech ω oznacza wykładnik mnożenia macierzy rozmiaru n n. Twierdzenie 1 (Coppersmith i Winograd 90) ω < p. 6/60

20 Szybkie mnożenie macierzy Niech ω oznacza wykładnik mnożenia macierzy rozmiaru n n. Twierdzenie 1 (Coppersmith i Winograd 90) ω < Twierdzenie 2 (Bunch i Hopcroft 74) LU-faktoryzację macierzy można policzyć w czasie O(n ω ). - p. 6/60

21 Szybkie mnożenie macierzy Niech ω oznacza wykładnik mnożenia macierzy rozmiaru n n. Twierdzenie 1 (Coppersmith i Winograd 90) ω < Twierdzenie 2 (Bunch i Hopcroft 74) LU-faktoryzację macierzy można policzyć w czasie O(n ω ). Twierdzenie 3 (Ibarra, Moran i Hui 82) Maksymalną nieosobliwą podmacierz można znaleźć w czasie O(n ω ). - p. 6/60

22 Symboliczna macierz sasiedztwa Symboliczna macierz sasiedztwa grafu dwudzielnego: G Ã(G) = x 11 0 x x 21 x x x x 42 x x x 54 x 55 x x p. 7/60

23 Symboliczna macierz sasiedztwa det x 11 0 x x 21 x x x x 42 x x x 54 x 55 x x 66 = x 13 x 21 x 34 x 42 x 55 x 66 x 11 x 22 x 34 x 43 x 55 x 66. = Jednomiany wyznacznika odpowiadaj a doskonałym skojarzeniom w G. - p. 8/60

24 Symboliczna macierz sasiedztwa Wyznacznik jest dany przez: det(a) = p Π n σ(p) n i=1 a i,pi. - p. 9/60

25 Symboliczna macierz sasiedztwa Wyznacznik jest dany przez: det(a) = p Π n σ(p) n i=1 a i,pi. Niezerowy składnik tej sumy dla każdego wierzchołka i zadaje inny wierzchołek p i. - p. 9/60

26 Symboliczna macierz sasiedztwa Wyznacznik jest dany przez: det(a) = p Π n σ(p) n i=1 a i,pi. Niezerowy składnik tej sumy dla każdego wierzchołka i zadaje inny wierzchołek p i. Składniki sumy odpowiadaj a doskonałym skojarzeniem w grafie. - p. 9/60

27 Symboliczna macierz sasiedztwa Twierdzenie 4 (Tutte (1947)) det Ã(G) = 0 wttw gdy G ma doskonałe skojarzenie. - p. 10/60

28 Symboliczna macierz sasiedztwa Twierdzenie 4 (Tutte (1947)) det Ã(G) = 0 wttw gdy G ma doskonałe skojarzenie. Wyznacznik jest dany przez: det(a) = p Π n σ(p) n i=1 a i,pi. - p. 10/60

29 Symboliczna macierz sasiedztwa Twierdzenie 4 (Tutte (1947)) det Ã(G) = 0 wttw gdy G ma doskonałe skojarzenie. Wyznacznik jest dany przez: det(a) = p Π n σ(p) n i=1 a i,pi. Daje się uogólnić na grafy dowolne. - p. 10/60

30 Symboliczna macierz sasiedztwa Wartość det Ã(G) to wielomian n 2 zmiennych stopnia n. Może mieć wykładniczo wiele składników. - p. 11/60

31 Symboliczna macierz sasiedztwa Wartość det Ã(G) to wielomian n 2 zmiennych stopnia n. Może mieć wykładniczo wiele składników. Nie można go szybko wyliczyć, ale można szybko przetestować czy jest niezerowy. - p. 11/60

32 Pomysł Lovásza Podstaw za zmienne w Ã(G) losowe wartości i policz wyznacznik otrzymanej w ten sposób macierzy A(G) losowej macierzy sąsiedztwa. Z dużym prawdopodobieństwem det A(G) = 0 wttw det Ã(G) = 0, bo wielomiany nie maja zbyt wielu zer. - p. 12/60

33 Pomysł Lovásza Lemat 5 (Zippel, Schwartz) Niech f(x 1,..., x k ) będzie wielomianem stopnia d nad ciałem F. Liczba zer f w F k jest nie większa niż d F F k. - p. 13/60

34 Pomysł Lovásza Lemat 5 (Zippel, Schwartz) Niech f(x 1,..., x k ) będzie wielomianem stopnia d nad ciałem F. Liczba zer f w F k jest nie większa niż d F F k. Niech F = Z p dla liczby pierwszej p = Θ(n 1+c ). Operacje w Z p wykonujemy w czasie stałym - p. 13/60

35 Pomysł Lovásza Lemat 5 (Zippel, Schwartz) Niech f(x 1,..., x k ) będzie wielomianem stopnia d nad ciałem F. Liczba zer f w F k jest nie większa niż d F F k. Niech F = Z p dla liczby pierwszej p = Θ(n 1+c ). Operacje w Z p wykonujemy w czasie stałym Prawdopodobieństwo otrzymania fałszywego zera jest O( 1 n c ). - p. 13/60

36 Pomysł Lovásza Algorytm O(n ω ) (Monte Carlo) testujacy, czy graf G ma doskonałe skojarzenie: podstaw pod zmienne w Ã(G) losowe elementy Z P niech A(G) będzie otrzymana macierza if det A(G) <> 0 then return TAK else return NIE - p. 14/60

37 Pomysł Lovásza Algorytm O(n ω+2 ) (Monte Carlo) znajdujacy w G doskonałe skojarzenie: M := for e E do if G e ma doskonałe skojarzenie then usuń e wraz z końcami z G dodaj e do M - p. 15/60

38 Maksymalne skojarzenia Twierdzenie 6 (Lovász (79)) Niech m będzie rozmiarem najliczniejszego skojarzenia w G, wtedy rank(ã(g)) = m. - p. 16/60

39 Maksymalne skojarzenia Twierdzenie 6 (Lovász (79)) Niech m będzie rozmiarem najliczniejszego skojarzenia w G, wtedy rank(ã(g)) = m. Rangę Ã(G) można policzyć w czasie O(n ω ). - p. 16/60

40 Maksymalne skojarzenia Twierdzenie 6 (Lovász (79)) Niech m będzie rozmiarem najliczniejszego skojarzenia w G, wtedy rank(ã(g)) = m. Rangę Ã(G) można policzyć w czasie O(n ω ). Niech M będzie skojarzeniem wtedy z twierdzenia Tutte à V(M),V(M) (G) jest nieosobliwa rank(ã(g)) m. - p. 16/60

41 Maksymalne skojarzenia Niech à X,Y (G) będzie maksymalna nieosobliwa podmacierza Ã(G). - p. 17/60

42 Maksymalne skojarzenia Niech à X,Y (G) będzie maksymalna nieosobliwa podmacierza Ã(G). Wyznacznik à X,Y jest niezerowy. - p. 17/60

43 Maksymalne skojarzenia Niech à X,Y (G) będzie maksymalna nieosobliwa podmacierza Ã(G). Wyznacznik à X,Y jest niezerowy. Istnieje w det(ã X,Y ) niezerowa permutacja p. - p. 17/60

44 Maksymalne skojarzenia Niech à X,Y (G) będzie maksymalna nieosobliwa podmacierza Ã(G). Wyznacznik à X,Y jest niezerowy. Istnieje w det(ã X,Y ) niezerowa permutacja p. p zadaje skojarzenie więc rank(ã(g)) m. - p. 17/60

45 Algorytm Rabina i Vaziraniego A 1 i,j = ( 1) i+j det A j,i / det A, gdzie A j,i to A z usuniętym j-tym wierszem i i-ta kolumna. - p. 18/60

46 Algorytm Rabina i Vaziraniego A 1 i,j = ( 1) i+j det A j,i / det A, gdzie A j,i to A z usuniętym j-tym wierszem i i-ta kolumna. Jeżeli G to graf dwudzielny to, wtedy A j,i = A(G {u j, v i }). - p. 18/60

47 Algorytm Rabina i Vaziraniego A 1 i,j = ( 1) i+j det A j,i / det A, gdzie A j,i to A z usuniętym j-tym wierszem i i-ta kolumna. Jeżeli G to graf dwudzielny to, wtedy A j,i = A(G {u j, v i }). Macierz A(G) 1 koduje które krawędzie w G s a dozwolone, tj. zawarte w pewnym doskonałym skojarzeniu. - p. 18/60

48 Algorytm Rabina i Vaziraniego Algorytm O(n ω+1 ) = O(n 3.38 ) (Monte Carlo) na znajdowanie doskonałego skojarzenia w G: M := while G niepusty do policz A 1 (G) znajdź dozwolona krawędź e E usuń e wraz z końcami z G dodaj e do M - p. 19/60

49 Eliminacja Gaussa Twierdzenie 7 (Twierdzenie o eliminacji) Niech ( ) ( ) a1,1 v A = T, A 1 â1,1 ˆv = T u B û ˆB, gdzie â 1,1 = 0. Wtedy B 1 = ˆB û ˆv T /â 1,1. Jest to pojedynczy krok algorytmu eliminacji Gaussa. - p. 20/60

50 Algorytm O(n 3 ) Algorytm Monte Carlo znajdujacy doskonałe skojarzenie w danym grafie G w czasie O(n 3 ): M := oblicz A 1 (G) while G non-empty do znajdź dozwolona krawędź e E usuń e wraz z końcami z G dodaj e do M uaktualnij A 1 (G) używajac eliminacji Gaussa - p. 21/60

51 Leniwe obliczenia u 1 v T u k v T k = u 1... u k v T 1. v T k - p. 22/60

52 Eliminacja bez zamian Algorytm wykonujacy eliminację Gaussa bez zamian wierszy ani kolumn w czasie O(n ω ). for i := 1 to n do leniwie eliminuj i-ty wiersz i i-ta kolumnę niech k będzie takie, że 2 k i, ale 2 k+1 i uaktualnij wiersze i kolumny o numerach i + 1,..., i + 2 k - p. 23/60

53 Eliminacja bez zamian W każdym kroku wykonujemy mnożenie macierzy n 2 k przez macierz 2 k 2 k w czasie (n/2 k )(2 k ) ω = n2 k(ω 1). - p. 24/60

54 Eliminacja bez zamian W każdym kroku wykonujemy mnożenie macierzy n 2 k przez macierz 2 k 2 k w czasie (n/2 k )(2 k ) ω = n2 k(ω 1). Konkretna wartość k pojawia się n/2 k razy, a zatem obliczenia dla ustalonego k wymagaja czasu n 2 2 k(ω 2) = n 2 (2 ω 2 ) k. - p. 24/60

55 Eliminacja bez zamian W każdym kroku wykonujemy mnożenie macierzy n 2 k przez macierz 2 k 2 k w czasie (n/2 k )(2 k ) ω = n2 k(ω 1). Konkretna wartość k pojawia się n/2 k razy, a zatem obliczenia dla ustalonego k wymagaja czasu n 2 2 k(ω 2) = n 2 (2 ω 2 ) k. log n k=0 n 2 (2 ω 2 ) k Cn 2 (2 ω 2 ) log n = Cn 2 n ω 2 = Cn ω. - p. 24/60

56 Eliminacja bez zamian kolumn Algorytm Hopcrofta-Buncha wykonujacy eliminację Gaussa bez zamian kolumn w czasie O(n ω ). for i := 1 to n do znajdź wiersz j taki, że A i,j = 0 leniwie eliminuj j-ty wiersz i i-ta kolumnę niech k będzie takie, że 2 k i, ale 2 k+1 i uaktualnij kolumny i + 1,..., i + 2 k - p. 25/60

57 Eliminacja bez zamian kolumn? A B C - p. 26/60

58 Przypadek dwudzielny Twierdzenie 8 Doskonałe skojarzenie w grafie dwudzielnym można znalel ć w czasie O(n ω ) przy pomocy zmodyfikowanego algorytmu Hopcrofta-Buncha. - p. 27/60

59 Podsumowanie I Pokazaliśmy następuj ace algorytmy dla problemu maksymalnego skojarzenia: - p. 28/60

60 Podsumowanie I Pokazaliśmy następujace algorytmy dla problemu maksymalnego skojarzenia: 1. Bardzo prosty algorytm o złożoności O(n 3 ); - p. 28/60

61 Podsumowanie I Pokazaliśmy następujace algorytmy dla problemu maksymalnego skojarzenia: 1. Bardzo prosty algorytm o złożoności O(n 3 ); 2. Prosty Algorytm dla grafów dwudzielnych o złożoności O(n ω ); - p. 28/60

62 Podsumowanie I Pokazaliśmy następujace algorytmy dla problemu maksymalnego skojarzenia: 1. Bardzo prosty algorytm o złożoności O(n 3 ); 2. Prosty Algorytm dla grafów dwudzielnych o złożoności O(n ω ); 3. Kolejne wykłady algorytm dla dowolnych grafów o złożoności O(n ω ). - p. 28/60

63 Podsumowanie I Pokazaliśmy następujace algorytmy dla problemu maksymalnego skojarzenia: 1. Bardzo prosty algorytm o złożoności O(n 3 ); 2. Prosty Algorytm dla grafów dwudzielnych o złożoności O(n ω ); 3. Kolejne wykłady algorytm dla dowolnych grafów o złożoności O(n ω ). 4. Kolejne wykłady algorytm dla grafów planarnych o złożoności O(n ω/2 ) = O(n 1.19 ). - p. 28/60

64 Problem Nie ważony problem skojarzeń można rozwiazać w czasie O(n ω ). - p. 29/60

65 Problem Nie ważony problem skojarzeń można rozwiazać w czasie O(n ω ). Czy wynik ten może być rozszerzony na skojarzenia nie ważone? - p. 29/60

66 Problem Nie ważony problem skojarzeń można rozwiazać w czasie O(n ω ). Czy wynik ten może być rozszerzony na skojarzenia nie ważone? TAK w czasie O(Wn ω ) - p. 29/60

67 Outline Historia - p. 30/60

68 Outline Historia Szkic algorytmu - p. 30/60

69 Outline Historia Szkic algorytmu Algorytm dla ważonych skojarzeń - p. 30/60

70 Outline Historia Szkic algorytmu Algorytm dla ważonych skojarzeń Podsumowanie - p. 30/60

71 Outline Historia Szkic algorytmu Algorytm dla ważonych skojarzeń Podsumowanie - p. 30/60

72 Ważone skojarzenia dwudzielne O(WnVC(n, m)) implicite Egerváry (1931), - p. 31/60

73 Ważone skojarzenia dwudzielne O(WnVC(n, m)) implicite Egerváry (1931), O(n 4 ) Khun (1955) and Munkers (1957), - p. 31/60

74 Ważone skojarzenia dwudzielne O(WnVC(n, m)) implicite Egerváry (1931), O(n 4 ) Khun (1955) and Munkers (1957), O(n 2 m) Iri (1960), - p. 31/60

75 Ważone skojarzenia dwudzielne O(WnVC(n, m)) implicite Egerváry (1931), O(n 4 ) Khun (1955) and Munkers (1957), O(n 2 m) Iri (1960), O(n 3 ) Dintis and Kronrod (1969), - p. 31/60

76 Ważone skojarzenia dwudzielne O(WnVC(n, m)) implicite Egerváry (1931), O(n 4 ) Khun (1955) and Munkers (1957), O(n 2 m) Iri (1960), O(n 3 ) Dintis and Kronrod (1969), O(nSP + (n, m)) Edmonds and Karp (1970), - p. 31/60

77 Ważone skojarzenia dwudzielne O(WnVC(n, m)) implicite Egerváry (1931), O(n 4 ) Khun (1955) and Munkers (1957), O(n 2 m) Iri (1960), O(n 3 ) Dintis and Kronrod (1969), O(nSP + (n, m)) Edmonds and Karp (1970), O(n 3 4 m log W) Gabow (1983), - p. 31/60

78 Ważone skojarzenia dwudzielne O(WnVC(n, m)) implicite Egerváry (1931), O(n 4 ) Khun (1955) and Munkers (1957), O(n 2 m) Iri (1960), O(n 3 ) Dintis and Kronrod (1969), O(nSP + (n, m)) Edmonds and Karp (1970), O(n 3 4 m log W) Gabow (1983), O( nm log(nw)) Gabow and Tarjan (1991), - p. 31/60

79 Ważone skojarzenia dwudzielne O(WnVC(n, m)) implicite Egerváry (1931), O(n 4 ) Khun (1955) and Munkers (1957), O(n 2 m) Iri (1960), O(n 3 ) Dintis and Kronrod (1969), O(nSP + (n, m)) Edmonds and Karp (1970), O(n 3 4 m log W) Gabow (1983), O( nm log(nw)) Gabow and Tarjan (1991), O( nmw) Kao, Lam, Sung and Ting (1999), - p. 31/60

80 Ważone skojarzenia dwudzielne O(WnVC(n, m)) implicite Egerváry (1931), O(n 4 ) Khun (1955) and Munkers (1957), O(n 2 m) Iri (1960), O(n 3 ) Dintis and Kronrod (1969), O(nSP + (n, m)) Edmonds and Karp (1970), O(n 3 4 m log W) Gabow (1983), O( nm log(nw)) Gabow and Tarjan (1991), O( nmw) Kao, Lam, Sung and Ting (1999), O(n ω W) dziś. - p. 31/60

81 Idea - p. 32/60

82 Idea - p. 32/60

83 Idea - p. 32/60

84 Idea - p. 32/60

85 Idea - p. 32/60

86 Idea - p. 32/60

87 Idea - p. 32/60

88 Bipartite Case - p. 33/60

89 Kilka definicji Ważony n-wierzchołkowy graf dwudzielny G to czwórka G = (U, V, E, w) taka, że U = {1,..., n} and V = {n + 1,..., 2n} oznaczaja zbiory wierzchołków, E U V oznacza zbiór krawędzi, funkcja w : E Z + przypisuje wagi krawędziom. - p. 34/60

90 Kilka definicji W problemie maksymalnych skojarzeń w grafach dwudzielnych szukamy doskonałego skojarzenia M w ważonym grafie G, o maksymalnej całkowitej wadze w(m) = e M w(e). - p. 35/60

91 Kilka definicji W problemie maksymalnych skojarzeń w grafach dwudzielnych szukamy doskonałego skojarzenia M w ważonym grafie G, o maksymalnej całkowitej wadze w(m) = e M w(e). Rozmiar problemu jest zadany przez n oraz W maksymalna wagę w w. - p. 35/60

92 Kilka definicji Ważone pokrycie to y(1),..., y(2n) takie, że dla każdego ij E. y(i) + y(j) w(ij), - p. 36/60

93 Kilka definicji Ważone pokrycie to y(1),..., y(2n) takie, że dla każdego ij E. y(i) + y(j) w(ij), Problem minimalnego pokrycia wierzchołkowego polega na znalezieniu pokrycia o minimalnym koszcie. - p. 36/60

94 Twierdzenie Egerváriego Twierdzenie 9 (Egerváry 31) Niech G = (U, V, E, w) będzie ważonym grafem dwudzielnym. wtedy waga maksymalnego doskonałego skojarzenia w G jest równa wadze minimalnego pokrycie wierzchołkowego w G. - p. 37/60

95 Od pokrycia do skojarzeń - p. 38/60

96 Od pokrycia do skojarzeń Graf równościowy G p dla p i G jest zdefiniowany jako G p = (U, V, E ), E = {uv : uv E and p(u) + p(v) = w(uv)}. - p. 39/60

97 Od pokrycia do skojarzeń Graf równościowy G p dla p i G jest zdefiniowany jako G p = (U, V, E ), E = {uv : uv E and p(u) + p(v) = w(uv)}. Lemat 10 Rozważmy ważony graf dwudzielny G i minimalne pokrycie p w G. Skojarzenie M jest doskonałym skojarzeniem w G p wttw jeżeli jest maksymalnym doskonałym skojarzeniem w G. - p. 39/60

98 Od ścieżek do pokrycia - p. 40/60

99 Od ścieżek do pokrycia Niech M będzie maksymalnym skojarzeniem w ważonym dwudzielnym grafie G = (U, V, E, w). 1. skonstruuj skierowany ważony graf D = (U V {r}, A, w d ), 2. dla każdego uv E, u U i v V, dodaj krawędź (u, v) do A, w d ((u, v)) := w(uv), 3. dla każdego uv M, u U i v V, dodaj krawędź (v, u) to A, w d ((v, u)) := w uv, - p. 41/60

100 Od ścieżek do pokrycia Niech M będzie maksymalnym skojarzeniem w ważonym dwudzielnym grafie G = (U, V, E, w). 1. skonstruuj skierowany ważony graf D = (U V {r}, A, w d ), 2. dla każdego uv E, u U i v V, dodaj krawędź (u, v) do A, w d ((u, v)) := w(uv), 3. dla każdego uv M, u U i v V, dodaj krawędź (v, u) to A, w d ((v, u)) := w uv, W D nie ma ujemnych cykli. - p. 41/60

101 Od ścieżek do pokrycia - p. 42/60

102 Od ścieżek do pokrycia 1. dodamy krawędzie o zerowej wadze (r, v) dla każdego v V, 2. obliczmy odległości w D od r, 3. niech y u := dist(r, u) dla u U, 4. niech y v := dist(r, v) dla v V. - p. 43/60

103 Od ścieżek do pokrycia 1. dodamy krawędzie o zerowej wadze (r, v) dla każdego v V, 2. obliczmy odległości w D od r, 3. niech y u := dist(r, u) dla u U, 4. niech y v := dist(r, v) dla v V. Lemat 11 Znalezione y to minimalne pokrycie grafu G. - p. 43/60

104 Od ścieżek do pokrycia dist(r, u) jest funkcja potencjału w d ((u, v)) dist(r, v) dist(r, u) - p. 44/60

105 Od ścieżek do pokrycia dist(r, u) jest funkcja potencjału w d ((u, v)) dist(r, v) dist(r, u) Dla uv E mamy krawędź (u, v) w D i w d ((u, v)) dist(r, v) dist(r, u), w(uv) y(v) y(u). w(uv) y(v) + y(u). Czyli y jest pokryciem. - p. 44/60

106 Od ścierzek do pokrycia dist(r, u) jest funkcja potencjału w d ((u, v)) dist(r, v) dist(r, u) - p. 45/60

107 Od ścierzek do pokrycia dist(r, u) jest funkcja potencjału w d ((u, v)) dist(r, v) dist(r, u) Dla uv M mamy krawędź (v, u) w D i w d ((v, u)) dist(r, u) dist(r, v), w(uv) y(u) + y(v). Sumujac ta nierówność dla krawędzi w M otrzymujemy w(y) w(m). - p. 45/60

108 Od ścierzek do pokrycia dist(r, u) jest funkcja potencjału w d ((u, v)) dist(r, v) dist(r, u) Dla uv M mamy krawędź (v, u) w D i w d ((v, u)) dist(r, u) dist(r, v), w(uv) y(u) + y(v). Sumujac ta nierówność dla krawędzi w M otrzymujemy w(y) w(m). Czyli y jest minimalne. - p. 45/60

109 Od wag skojarzeń do ścieżek - p. 46/60

110 Od wag skojarzeń do ścieżek Rozważmy ważony graf dwudzielny G = (U, V, E, w). - p. 47/60

111 Od wag skojarzeń do ścieżek Rozważmy ważony graf dwudzielny G = (U, V, E, w). dodajmy wierzchołek s do U, - p. 47/60

112 Od wag skojarzeń do ścieżek Rozważmy ważony graf dwudzielny G = (U, V, E, w). dodajmy wierzchołek s do U, dodajmy wierzchołek t do V, - p. 47/60

113 Od wag skojarzeń do ścieżek Rozważmy ważony graf dwudzielny G = (U, V, E, w). dodajmy wierzchołek s do U, dodajmy wierzchołek t do V, połaczmy s z wszystkimi wierzchołkami z V krawędziami o wadze zero, - p. 47/60

114 Od wag skojarzeń do ścieżek Rozważmy ważony graf dwudzielny G = (U, V, E, w). dodajmy wierzchołek s do U, dodajmy wierzchołek t do V, połaczmy s z wszystkimi wierzchołkami z V krawędziami o wadze zero, połaczmy t z wierzchołkiem u w U. - p. 47/60

115 Od wag skojarzeń do ścieżek Rozważmy ważony graf dwudzielny G = (U, V, E, w). dodajmy wierzchołek s do U, dodajmy wierzchołek t do V, połaczmy s z wszystkimi wierzchołkami z V krawędziami o wadze zero, połaczmy t z wierzchołkiem u w U. Oznaczmy przez G(u) otrzymany graf, a przez M(u) maksymalne ważone skojarzenie w G(u). - p. 47/60

116 Od wag skojarzeń do ścieżek - p. 48/60

117 Od wag skojarzeń do ścieżek Lemat 12 Odległości w D spełniają dist(r, u) := w(m) w(m(u)) for u U. - p. 49/60

118 Od wag skojarzeń do ścieżek Lemat 12 Odległości w D spełniają dist(r, u) := w(m) w(m(u)) for u U. Rozważmy skojarzenia M(u) i M, - p. 49/60

119 Od wag skojarzeń do ścieżek Lemat 12 Odległości w D spełniają dist(r, u) := w(m) w(m(u)) for u U. Rozważmy skojarzenia M(u) i M, skierujmy wszystkie krawędzie w M od V do U, - p. 49/60

120 Od wag skojarzeń do ścieżek Lemat 12 Odległości w D spełniają dist(r, u) := w(m) w(m(u)) for u U. Rozważmy skojarzenia M(u) i M, skierujmy wszystkie krawędzie w M od V do U, skierujmy wszystkie krawędzie w M(u) od U do V, - p. 49/60

121 Od wag skojarzeń do ścieżek Lemat 12 Odległości w D spełniają dist(r, u) := w(m) w(m(u)) for u U. Rozważmy skojarzenia M(u) i M, skierujmy wszystkie krawędzie w M od V do U, skierujmy wszystkie krawędzie w M(u) od U do V, otrzymujemy skierowana ścieżkę p od s do t w D, - p. 49/60

122 Od wag skojarzeń do ścieżek Lemat 12 Odległości w D spełniają dist(r, u) := w(m) w(m(u)) for u U. Rozważmy skojarzenia M(u) i M, skierujmy wszystkie krawędzie w M od V do U, skierujmy wszystkie krawędzie w M(u) od U do V, otrzymujemy skierowana ścieżkę p od s do t w D, i zbiór C cykli alternujacych. - p. 49/60

123 Od wag skojarzeń do ścieżek - p. 50/60

124 Od macierzy do wag skojarzeń - p. 51/60

125 Od macierzy do wag skojarzeń Dla G = (U, V, E, w), zdefiniujmy macierz B(G, x) rozmiaru n n jako B(G, x) i,j = x w(ij) z i,j, gdzie z i,j to różne zmienne dla każdej krawędzi w G. - p. 52/60

126 Od macierzy do wag skojarzeń Dla G = (U, V, E, w), zdefiniujmy macierz B(G, x) rozmiaru n n jako B(G, x) i,j = x w(ij) z i,j, gdzie z i,j to różne zmienne dla każdej krawędzi w G. Lemat 13 (Karp, Upfal i Wigderson 86) Stopień x w det( B(G, x)) to waga maksymalnego ważonego doskonałego skojarzenia w G. - p. 52/60

127 Zippel-Schwartz Lemat 14 Niech p(x 1,..., x m ) będzie niezerowym wielomianem stopnia d o współczynnikach z ciała oraz niech S będzie podzbiorem tego ciała, wtedy prawdopodobieństwo że p przyjmie wartość 0 na losowym elemencie (s 1, s 2,..., s m ) S m wynosi co najwyżej d/ S. Takie wydarzenie będziemy nazywać fałszywym zerem. - p. 53/60

128 Zippel-Schwartz Lemat 14 Niech p(x 1,..., x m ) będzie niezerowym wielomianem stopnia d o współczynnikach z ciała oraz niech S będzie podzbiorem tego ciała, wtedy prawdopodobieństwo że p przyjmie wartość 0 na losowym elemencie (s 1, s 2,..., s m ) S m wynosi co najwyżej d/ S. Takie wydarzenie będziemy nazywać fałszywym zerem. Jeżeli wielomian stopnia n jest obliczony dla losowych wartości modulo liczba pierwsza p o długości (1 + c) log n, to prawdopodobieństwo fałszywego zera jest mniejsze niż 1 n c, dla c > 0. - p. 53/60

129 Od macierzy do wag skojarzeń Twierdzenie 15 (Storjohann 03) Niech A K[x] n n będzie macierzą wielomianów stopnia d, a b K[x] n 1 będzie wektorem wielomianów stopnia także d, wtedy wyznacznik det(a), rozwiązanie układu równań A 1 b, może zostać obliczone z użyciem Õ(n ω d) operacji w K. - p. 54/60

130 Od macierzy do wag skojarzeń Twierdzenie 15 (Storjohann 03) Niech A K[x] n n będzie macierzą wielomianów stopnia d, a b K[x] n 1 będzie wektorem wielomianów stopnia także d, wtedy wyznacznik det(a), rozwiązanie układu równań A 1 b, może zostać obliczone z użyciem Õ(n ω d) operacji w K. Wniosek 16 Waga maksymalnego doskonałego skojarzenia w grafie dwudzielnym może zostać policzona w czasie Õ(Wn ω ), z dużym prawdopodobieństwem. - p. 54/60

131 Od macierzy do wag skojarzeń Zdefiniujmy macierz ˆB(G, x) rozmiaru (n + 1) (n + 1) przez 0 B(G, x). ˆB(G, x) = p. 55/60

132 Od macierzy do wag skojarzeń Zdefiniujmy macierz ˆB(G, x) rozmiaru (n + 1) (n + 1) przez 0 B(G, x). ˆB(G, x) = Mamy wtedy adj( ˆB(G, x)) n+1,i ) = det( ˆB(G, x) i,n+1 )) = gdzie A i,j to A bez i-tego wiersza i j-tej kolumny. - p. 55/60

133 Od macierzy do wag skojarzeń Mamy adj( ˆB(G, x)) n+1,i ) = det( ˆB(G, x) i,n+1 )) = = det( B(G(i), x)), - p. 56/60

134 Od macierzy do wag skojarzeń Mamy adj( ˆB(G, x)) n+1,i ) = det( ˆB(G, x) i,n+1 )) = = det( B(G(i), x)), Z lematu KUW otrzymujemy deg x (adj( ˆB(G, x)) n+1,i )) = w(m(i)). - p. 56/60

135 Od macierzy do wag skojarzeń Wybierz liczbę pierwsz a p długości Θ(log n). Podstaw losowe wartości ze zbioru {1,..., p} za zmienne z i,j w ˆB(G, x) aby otrzymać B(x). - p. 57/60

136 Od macierzy do wag skojarzeń Wybierz liczbę pierwsza p długości Θ(log n). Podstaw losowe wartości ze zbioru {1,..., p} za zmienne z i,j w ˆB(G, x) aby otrzymać B(x). Oblicz używajac twierdzenia Storjohanna v = adj(b(x)) n+1,i ) = (adj(b(x))e n+1 ) i = = det(b(x)) ( B(x) 1 e n+1 )i - p. 57/60

137 Od macierzy do wag skojarzeń Wybierz liczbę pierwsza p długości Θ(log n). Podstaw losowe wartości ze zbioru {1,..., p} za zmienne z i,j w ˆB(G, x) aby otrzymać B(x). Oblicz używajac twierdzenia Storjohanna v = adj(b(x)) n+1,i ) = (adj(b(x))e n+1 ) i = = det(b(x)) ( B(x) 1 e n+1 )i Z dużym prawdopodobieństwem deg x (v i ) = w(m(i)). - p. 57/60

138 Ważone dwudzielne skojarzenia - p. 58/60

139 Summary Pokazaliśmy algorytm działajacy w czasie Õ(Wn ω ) dla problemu minimalnego pokrycia wierzchołkowego w grafie dwudzielnym. algorytm działaj acy w czasie Õ(Wn ω ) dla problemu maksymalnych ważonych skojarzeń w grafie dwudzielnym. - p. 59/60

140 Maksymalne skojarzenia przy pomocy eliminacji Gaussa Piotr Sankowski Instytut Informatyki, Uniwersytet Warszawski - p. 60/60

Znajdowanie maksymalnych skojarzeń przy pomocy eliminacji Gaussa

Znajdowanie maksymalnych skojarzeń przy pomocy eliminacji Gaussa Znajdowanie maksymalnych skojarzeń przy pomocy eliminacji Gaussa Marcin Mucha, Piotr Sankowski Instytut Informatyki, Uniwersytet Warszawski - p. 1/55 Definicja problemu Skojarzeniem w grafie G = (V, E)

Bardziej szczegółowo

Skojarzenia w grafach

Skojarzenia w grafach Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytetu im. Adama Mickiewicza w Poznaniu Środowiskowe Studia Doktoranckie z Nauk Matematycznych Skojarzenia w grafach Wykłady 1 4 Piotr Sankowski Wydział Matematyki,

Bardziej szczegółowo

Znajdowanie skojarzeń na maszynie równoległej

Znajdowanie skojarzeń na maszynie równoległej 11 grudnia 2008 Spis treści 1 Skojarzenia w różnych klasach grafów Drzewa Grafy gęste Grafy regularne dwudzielne Claw-free graphs 2 Drzewa Skojarzenia w drzewach Fakt Wybierajac krawędź do skojarzenia

Bardziej szczegółowo

Reprezentacje grafów nieskierowanych Reprezentacje grafów skierowanych. Wykład 2. Reprezentacja komputerowa grafów

Reprezentacje grafów nieskierowanych Reprezentacje grafów skierowanych. Wykład 2. Reprezentacja komputerowa grafów Wykład 2. Reprezentacja komputerowa grafów 1 / 69 Macierz incydencji Niech graf G będzie grafem nieskierowanym bez pętli o n wierzchołkach (x 1, x 2,..., x n) i m krawędziach (e 1, e 2,..., e m). 2 / 69

Bardziej szczegółowo

Zastosowania wyznaczników

Zastosowania wyznaczników Zastosowania wyznaczników Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 7.wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 2012 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad 2012 1 / 17

Bardziej szczegółowo

Formy kwadratowe. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. 14. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2017

Formy kwadratowe. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. 14. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2017 Formy kwadratowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 14. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2017 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2017 1 / 10 Definicja Funkcja

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna i algebra liniowa Macierze

Analiza matematyczna i algebra liniowa Macierze Analiza matematyczna i algebra liniowa Macierze Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki Politechniki Poznańskiej email: imię.nazwisko@cs.put.poznan.pl pok. 2 (CW) tel. (61)665-2936 konsultacje: poniedziałek

Bardziej szczegółowo

Algorytmy Równoległe i Rozproszone Część V - Model PRAM II

Algorytmy Równoległe i Rozproszone Część V - Model PRAM II Algorytmy Równoległe i Rozproszone Część V - Model PRAM II Łukasz Kuszner pokój 209, WETI http://www.sphere.pl/ kuszner/ kuszner@sphere.pl Oficjalna strona wykładu http://www.sphere.pl/ kuszner/arir/ 2005/06

Bardziej szczegółowo

Wykład 5. Metoda eliminacji Gaussa

Wykład 5. Metoda eliminacji Gaussa 1 Wykład 5 Metoda eliminacji Gaussa Rozwiązywanie układów równań liniowych Układ równań liniowych może mieć dokładnie jedno rozwiązanie, nieskończenie wiele rozwiązań lub nie mieć rozwiązania. Metody dokładne

Bardziej szczegółowo

Macierze. Rozdział Działania na macierzach

Macierze. Rozdział Działania na macierzach Rozdział 5 Macierze Funkcję, która każdej parze liczb naturalnych (i, j) (i 1,..., n; j 1,..., m) przyporządkowuje dokładnie jedną liczbę a ij F, gdzie F R lub F C, nazywamy macierzą (rzeczywistą, gdy

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /14

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /14 Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2016 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 13/14 Grafy podstawowe definicje Graf to para G=(V, E), gdzie V to niepusty i skończony zbiór, którego elementy nazywamy wierzchołkami

Bardziej szczegółowo

Algorytmy dynamiczne. Piotr Sankowski. - p. 1/14

Algorytmy dynamiczne. Piotr Sankowski. - p. 1/14 Algorytmy dynamiczne Piotr Sankowski - p. 1/14 Dynamiczne: drzewa wyszukiwanie wzorca w tekście spójność grafu problemy algebraiczne (FFT i inne) domknięcie przechodnie oraz dynamiczne macierze najkrótsze

Bardziej szczegółowo

1. Liczby zespolone i

1. Liczby zespolone i Zadania podstawowe Liczby zespolone Zadanie Podać część rzeczywistą i urojoną następujących liczb zespolonych: z = ( + 7i)( + i) + ( 5 i)( + 7i), z = + i, z = + i i, z 4 = i + i + i i Zadanie Dla jakich

Bardziej szczegółowo

Sprzedaż online. Piotr Sankowski Uniwersytet Warszawski Warszawa p. 1/40

Sprzedaż online. Piotr Sankowski Uniwersytet Warszawski Warszawa p. 1/40 Sprzedaż online Piotr Sankowski Uniwersytet Warszawski Warszawa 18.04.2013 - p. 1/40 Plan wykładu Problem skojarzeń online Algorytm zachłanny Algorytm losowo rankujacy Dolne ograniczenie Problem aukcji

Bardziej szczegółowo

a 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn x 1 x 2... x m ...

a 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn x 1 x 2... x m ... Wykład 15 Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem i niech α 1, α 2,, α n, β K. Równanie: α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n = β z niewiadomymi x 1, x 2,, x n nazywamy równaniem liniowym. Układ: a 21 x

Bardziej szczegółowo

Układy równań i nierówności liniowych

Układy równań i nierówności liniowych Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia 2010 1 Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X 1 + +

Bardziej szczegółowo

Sortowanie topologiczne skierowanych grafów acyklicznych

Sortowanie topologiczne skierowanych grafów acyklicznych Sortowanie topologiczne skierowanych grafów acyklicznych Metody boolowskie w informatyce Robert Sulkowski http://robert.brainusers.net 23 stycznia 2010 1 Definicja 1 (Cykl skierowany). Niech C = (V, A)

Bardziej szczegółowo

Wykład 8. Drzewo rozpinające (minimum spanning tree)

Wykład 8. Drzewo rozpinające (minimum spanning tree) Wykład 8 Drzewo rozpinające (minimum spanning tree) 1 Minimalne drzewo rozpinające - przegląd Definicja problemu Własności minimalnych drzew rozpinających Algorytm Kruskala Algorytm Prima Literatura Cormen,

Bardziej szczegółowo

1 Macierze i wyznaczniki

1 Macierze i wyznaczniki 1 Macierze i wyznaczniki 11 Definicje, twierdzenia, wzory 1 Macierzą rzeczywistą (zespoloną) wymiaru m n, gdzie m N oraz n N, nazywamy prostokątną tablicę złożoną z mn liczb rzeczywistych (zespolonych)

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 5 W lasności wyznaczników. Macierz odwrotna

Wyk lad 5 W lasności wyznaczników. Macierz odwrotna Wyk lad 5 W lasności wyznaczników Macierz odwrotna 1 Operacje elementarne na macierzach Bardzo ważne znaczenie w algebrze liniowej odgrywaja tzw operacje elementarne na wierszach lub kolumnach macierzy

Bardziej szczegółowo

Grafem nazywamy strukturę G = (V, E): V zbiór węzłów lub wierzchołków, Grafy dzielimy na grafy skierowane i nieskierowane:

Grafem nazywamy strukturę G = (V, E): V zbiór węzłów lub wierzchołków, Grafy dzielimy na grafy skierowane i nieskierowane: Wykład 4 grafy Grafem nazywamy strukturę G = (V, E): V zbiór węzłów lub wierzchołków, E zbiór krawędzi, Grafy dzielimy na grafy skierowane i nieskierowane: Formalnie, w grafach skierowanych E jest podzbiorem

Bardziej szczegółowo

Podstawowe własności grafów. Wykład 3. Własności grafów

Podstawowe własności grafów. Wykład 3. Własności grafów Wykład 3. Własności grafów 1 / 87 Suma grafów Niech będą dane grafy proste G 1 = (V 1, E 1) oraz G 2 = (V 2, E 2). 2 / 87 Suma grafów Niech będą dane grafy proste G 1 = (V 1, E 1) oraz G 2 = (V 2, E 2).

Bardziej szczegółowo

Rozdział 5. Macierze. a 11 a a 1m a 21 a a 2m... a n1 a n2... a nm

Rozdział 5. Macierze. a 11 a a 1m a 21 a a 2m... a n1 a n2... a nm Rozdział 5 Macierze Funkcję, która każdej parze liczb naturalnych (i,j) (i = 1,,n;j = 1,,m) przyporządkowuje dokładnie jedną liczbę a ij F, gdzie F = R lub F = C, nazywamy macierzą (rzeczywistą, gdy F

Bardziej szczegółowo

2. Układy równań liniowych

2. Układy równań liniowych 2. Układy równań liniowych Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie zima 2017/2018 rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Układy równań liniowych zima 2017/2018 1 /

Bardziej szczegółowo

Drzewa spinające MST dla grafów ważonych Maksymalne drzewo spinające Drzewo Steinera. Wykład 6. Drzewa cz. II

Drzewa spinające MST dla grafów ważonych Maksymalne drzewo spinające Drzewo Steinera. Wykład 6. Drzewa cz. II Wykład 6. Drzewa cz. II 1 / 65 drzewa spinające Drzewa spinające Zliczanie drzew spinających Drzewo T nazywamy drzewem rozpinającym (spinającym) (lub dendrytem) spójnego grafu G, jeżeli jest podgrafem

Bardziej szczegółowo

3. Macierze i Układy Równań Liniowych

3. Macierze i Układy Równań Liniowych 3. Macierze i Układy Równań Liniowych Rozważamy równanie macierzowe z końcówki ostatniego wykładu ( ) 3 1 X = 4 1 ( ) 2 5 Podstawiając X = ( ) x y i wymnażając, otrzymujemy układ 2 równań liniowych 3x

Bardziej szczegółowo

Siedem cudów informatyki czyli o algorytmach zdumiewajacych

Siedem cudów informatyki czyli o algorytmach zdumiewajacych Siedem cudów informatyki czyli o algorytmach zdumiewajacych Łukasz Kowalik kowalik@mimuw.edu.pl Instytut Informatyki Uniwersytet Warszawski Łukasz Kowalik, Siedem cudów informatyki p. 1/25 Problem 1: mnożenie

Bardziej szczegółowo

Układy równań liniowych i metody ich rozwiązywania

Układy równań liniowych i metody ich rozwiązywania Układy równań liniowych i metody ich rozwiązywania Łukasz Wojciechowski marca 00 Dany jest układ m równań o n niewiadomych postaci: a x + a x + + a n x n = b a x + a x + + a n x n = b. a m x + a m x +

Bardziej szczegółowo

MACIERZE I WYZNACZNIKI

MACIERZE I WYZNACZNIKI Wykłady z matematyki inżynierskiej IMiF UTP 07 MACIERZ DEFINICJA. Macierza o m wierszach i n kolumnach nazywamy przyporza dkowanie każdej uporza dkowanej parze liczb naturalnych (i, j), gdzie 1 i m, 1

Bardziej szczegółowo

Treść wykładu. Pierścienie wielomianów. Dzielenie wielomianów i algorytm Euklidesa Pierścienie ilorazowe wielomianów

Treść wykładu. Pierścienie wielomianów. Dzielenie wielomianów i algorytm Euklidesa Pierścienie ilorazowe wielomianów Treść wykładu Pierścienie wielomianów. Definicja Niech P będzie pierścieniem. Wielomianem jednej zmiennej o współczynnikach z P nazywamy każdy ciąg f = (f 0, f 1, f 2,...), gdzie wyrazy ciągu f są prawie

Bardziej szczegółowo

Digraf. 13 maja 2017

Digraf. 13 maja 2017 Digraf 13 maja 2017 Graf skierowany, digraf, digraf prosty Definicja 1 Digraf prosty G to (V, E), gdzie V jest zbiorem wierzchołków, E jest rodziną zorientowanych krawędzi, między różnymi wierzchołkami,

Bardziej szczegółowo

Układy równań liniowych

Układy równań liniowych Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem. Niech n, m N. Równanie liniowe nad ciałem K z niewiadomymi (lub zmiennymi) x 1, x 2,..., x n K definiujemy jako formę zdaniową zmiennej (x 1,..., x n ) K

Bardziej szczegółowo

Struktury danych i złożoność obliczeniowa Wykład 7. Prof. dr hab. inż. Jan Magott

Struktury danych i złożoność obliczeniowa Wykład 7. Prof. dr hab. inż. Jan Magott Struktury danych i złożoność obliczeniowa Wykład 7 Prof. dr hab. inż. Jan Magott Problemy NP-zupełne Transformacją wielomianową problemu π 2 do problemu π 1 (π 2 π 1 ) jest funkcja f: D π2 D π1 spełniająca

Bardziej szczegółowo

det[a 1,..., A i,..., A j,..., A n ] + det[a 1,..., ka j,..., A j,..., A n ] Dowód Udowodniliśmy, że: det[a 1,..., A i + ka j,..., A j,...

det[a 1,..., A i,..., A j,..., A n ] + det[a 1,..., ka j,..., A j,..., A n ] Dowód Udowodniliśmy, że: det[a 1,..., A i + ka j,..., A j,... Wykład 14 Wyznacznik macierzy cd Twierdzenie 1 Niech A będzie macierzą kwadratową i niech A i, A j będą dwiema różnymi jej kolumnami, wtedy dla dowolnego k K: det[a 1,, A i,, A j,, A n ] det[a 1,, A i

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA DYSKRETNA - MATERIAŁY DO WYKŁADU GRAFY

MATEMATYKA DYSKRETNA - MATERIAŁY DO WYKŁADU GRAFY ERIAŁY DO WYKŁADU GRAFY Graf nieskierowany Grafem nieskierowanym nazywamy parę G = (V, E), gdzie V jest pewnym zbiorem skończonym (zwanym zbiorem wierzchołków grafu G), natomiast E jest zbiorem nieuporządkowanych

Bardziej szczegółowo

Wstęp do metod numerycznych Uwarunkowanie Eliminacja Gaussa. P. F. Góra

Wstęp do metod numerycznych Uwarunkowanie Eliminacja Gaussa. P. F. Góra Wstęp do metod numerycznych Uwarunkowanie Eliminacja Gaussa P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2012 Uwarunkowanie zadania numerycznego Niech ϕ : R n R m będzie pewna funkcja odpowiednio wiele

Bardziej szczegółowo

Procesy stochastyczne

Procesy stochastyczne Wykład IV: dla łańcuchów Markowa 14 marca 2017 Wykład IV: Klasyfikacja stanów Kiedy rozkład stacjonarny jest jedyny? Przykład Macierz jednostkowa I wymiaru #E jest macierzą stochastyczną. Dla tej macierzy

Bardziej szczegółowo

Lokalna odwracalność odwzorowań, odwzorowania uwikłane

Lokalna odwracalność odwzorowań, odwzorowania uwikłane Lokalna odwracalność odwzorowań, odwzorowania uwikłane Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej Szkoła Główna Handlowa 17 maja 2012 Definicja Mówimy, że odwzorowanie F : X R n, gdzie X R n, jest lokalnie

Bardziej szczegółowo

Obliczenia naukowe Wykład nr 8

Obliczenia naukowe Wykład nr 8 Obliczenia naukowe Wykład nr 8 Paweł Zieliński Katedra Informatyki, Wydział Podstawowych Problemów Techniki, Politechnika Wrocławska Literatura Literatura podstawowa [] D. Kincaid, W. Cheney, Analiza numeryczna,

Bardziej szczegółowo

Kodowanie i kompresja Streszczenie Studia dzienne Wykład 6

Kodowanie i kompresja Streszczenie Studia dzienne Wykład 6 Kodowanie i kompresja Streszczenie Studia dzienne Wykład 6 1 Kody cykliczne: dekodowanie Definicja 1 (Syndrom) Niech K będzie kodem cyklicznym z wielomianem generuja- cym g(x). Resztę z dzielenia słowa

Bardziej szczegółowo

dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia 2014 Przestrzeń R k R k = R R... R k razy Elementy R k wektory;

dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia 2014 Przestrzeń R k R k = R R... R k razy Elementy R k wektory; Wykłady 8 i 9 Pojęcia przestrzeni wektorowej i macierzy Układy równań liniowych Elementy algebry macierzy dodawanie, odejmowanie, mnożenie macierzy; macierz odwrotna dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia

Bardziej szczegółowo

Kolorowanie wierzchołków

Kolorowanie wierzchołków Kolorowanie wierzchołków Mając dany graf, pokolorować jego wierzchołki w taki sposób, aby każde dwa wierzchołki sąsiednie miały inny kolor. Każda krawędź łączy wierzchołki różnych kolorów. Takie pokolorowanie

Bardziej szczegółowo

Przykłady grafów. Graf prosty, to graf bez pętli i bez krawędzi wielokrotnych.

Przykłady grafów. Graf prosty, to graf bez pętli i bez krawędzi wielokrotnych. Grafy Graf Graf (ang. graph) to zbiór wierzchołków (ang. vertices), które mogą być połączone krawędziami (ang. edges) w taki sposób, że każda krawędź kończy się i zaczyna w którymś z wierzchołków. Graf

Bardziej szczegółowo

Równoległy algorytm wyznaczania bloków dla cyklicznego problemu przepływowego z przezbrojeniami

Równoległy algorytm wyznaczania bloków dla cyklicznego problemu przepływowego z przezbrojeniami Równoległy algorytm wyznaczania bloków dla cyklicznego problemu przepływowego z przezbrojeniami dr inż. Mariusz Uchroński Wrocławskie Centrum Sieciowo-Superkomputerowe Agenda Cykliczny problem przepływowy

Bardziej szczegółowo

1 Macierz odwrotna metoda operacji elementarnych

1 Macierz odwrotna metoda operacji elementarnych W tej części skupimy się na macierzach kwadratowych. Zakładać będziemy, że A M(n, n) dla pewnego n N. Definicja 1. Niech A M(n, n). Wtedy macierzą odwrotną macierzy A (ozn. A 1 ) nazywamy taką macierz

Bardziej szczegółowo

Wstęp do sieci neuronowych, wykład 11 Łańcuchy Markova

Wstęp do sieci neuronowych, wykład 11 Łańcuchy Markova Wstęp do sieci neuronowych, wykład 11 Łańcuchy Markova M. Czoków, J. Piersa 2010-12-21 1 Definicja Własności Losowanie z rozkładu dyskretnego 2 3 Łańcuch Markova Definicja Własności Losowanie z rozkładu

Bardziej szczegółowo

5. Rozwiązywanie układów równań liniowych

5. Rozwiązywanie układów równań liniowych 5. Rozwiązywanie układów równań liniowych Wprowadzenie (5.1) Układ n równań z n niewiadomymi: a 11 +a 12 x 2 +...+a 1n x n =a 10, a 21 +a 22 x 2 +...+a 2n x n =a 20,..., a n1 +a n2 x 2 +...+a nn x n =a

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /14

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /14 Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2012 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 13/14 Grafy podstawowe definicje Graf to para G=(V, E), gdzie V to niepusty i skończony zbiór, którego elementy nazywamy wierzchołkami

Bardziej szczegółowo

O MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ

O MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ O MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ Problem Jak rozwiązać podany układ równań? 2x + 5y 8z = 8 4x + 3y z = 2x + 3y 5z = 7 x + 8y 7z = Definicja Równanie postaci a x + a 2 x 2 + + a n x n = b gdzie a, a 2, a

Bardziej szczegółowo

Grafy i macierze. Tomasz LENARCIK, Kraków. Zacznijmy od przykładu. Załóżmy, że ξ jest liczbą algebraiczną spełniającą równanie postaci

Grafy i macierze. Tomasz LENARCIK, Kraków. Zacznijmy od przykładu. Załóżmy, że ξ jest liczbą algebraiczną spełniającą równanie postaci Jest to tekst związany z odczytem wygłoszonym na XLVI Szkole Matematyki Poglądowej, Podejście niestandardowe, Warszawa Miedzeszyn, styczeń 0. Grafy i macierze Tomasz LENARCIK, Kraków Streszczenie Zdarza

Bardziej szczegółowo

Lista. Algebra z Geometrią Analityczną. Zadanie 1 Przypomnij definicję grupy, które z podanych struktur są grupami:

Lista. Algebra z Geometrią Analityczną. Zadanie 1 Przypomnij definicję grupy, które z podanych struktur są grupami: Lista Algebra z Geometrią Analityczną Zadanie 1 Przypomnij definicję grupy, które z podanych struktur są grupami: (N, ), (Z, +) (Z, ), (R, ), (Q \ {}, ) czym jest element neutralny i przeciwny w grupie?,

Bardziej szczegółowo

φ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i +

φ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i + Teoria na egzamin z algebry liniowej Wszystkie podane pojęcia należy umieć określić i podać pprzykłady, ewentualnie kontrprzykłady. Ponadto należy znać dowody tam gdzie to jest zaznaczone. Liczby zespolone.

Bardziej szczegółowo

Algorytmy grafowe. Wykład 1 Podstawy teorii grafów Reprezentacje grafów. Tomasz Tyksiński CDV

Algorytmy grafowe. Wykład 1 Podstawy teorii grafów Reprezentacje grafów. Tomasz Tyksiński CDV Algorytmy grafowe Wykład 1 Podstawy teorii grafów Reprezentacje grafów Tomasz Tyksiński CDV Rozkład materiału 1. Podstawowe pojęcia teorii grafów, reprezentacje komputerowe grafów 2. Przeszukiwanie grafów

Bardziej szczegółowo

Pokazać, że wyżej zdefiniowana struktura algebraiczna jest przestrzenią wektorową nad ciałem

Pokazać, że wyżej zdefiniowana struktura algebraiczna jest przestrzenią wektorową nad ciałem Zestaw zadań 9: Przestrzenie wektorowe. Podprzestrzenie () Wykazać, że V = C ze zwykłym dodawaniem jako dodawaniem wektorów i operacją mnożenia przez skalar : C C C, (z, v) z v := z v jest przestrzenią

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 4 Macierz odwrotna i twierdzenie Cramera

Wyk lad 4 Macierz odwrotna i twierdzenie Cramera Wyk lad 4 Macierz odwrotna i twierdzenie Cramera 1 Odwracanie macierzy I n jest elementem neutralnym mnożenia macierzy w zbiorze M n (R) tzn A I n I n A A dla dowolnej macierzy A M n (R) Ponadto z twierdzenia

Bardziej szczegółowo

13 Układy równań liniowych

13 Układy równań liniowych 13 Układy równań liniowych Definicja 13.1 Niech m, n N. Układem równań liniowych nad ciałem F m równaniach i n niewiadomych x 1, x 2,..., x n nazywamy koniunkcję równań postaci a 11 x 1 + a 12 x 2 +...

Bardziej szczegółowo

Wektory i wartości własne

Wektory i wartości własne Treść wykładu Podprzestrzenie niezmiennicze... Twierdzenie Cayley Hamiltona Podprzestrzenie niezmiennicze Definicja Niech f : V V będzie przekształceniem liniowym. Podprzestrzeń W V nazywamy niezmienniczą

Bardziej szczegółowo

Układy równań liniowych

Układy równań liniowych Układy równań liniowych Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 1. wykład z algebry liniowej Warszawa, październik 2015 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień 2015 1 / 1

Bardziej szczegółowo

7. Skojarzenia w grafach. 7.1 Definicje i twierdzenia

7. Skojarzenia w grafach. 7.1 Definicje i twierdzenia p. 7. Skojarzenia w grafach 7.1 Definicje i twierdzenia p. 7. Skojarzenia w grafach 7.1 Definicje i twierdzenia Definicja (Skojarzenie w grafie). Podzbiór M zbioru krawędzi E(G) nazywamy skojarzeniem grafu

Bardziej szczegółowo

DB Algebra liniowa semestr zimowy 2018

DB Algebra liniowa semestr zimowy 2018 DB Algebra liniowa semestr zimowy 2018 SPIS TREŚCI Teoria oraz większość zadań w niniejszym skrypcie zostały opracowane na podstawie książek: 1 G Banaszak, W Gajda, Elementy algebry liniowej cz I, Wydawnictwo

Bardziej szczegółowo

Zaawansowane metody numeryczne

Zaawansowane metody numeryczne Wykład 10 Rozkład LU i rozwiązywanie układów równań liniowych Niech będzie dany układ równań liniowych postaci Ax = b Załóżmy, że istnieją macierze L (trójkątna dolna) i U (trójkątna górna), takie że macierz

Bardziej szczegółowo

Metoda eliminacji Gaussa. Autorzy: Michał Góra

Metoda eliminacji Gaussa. Autorzy: Michał Góra Metoda eliminacji Gaussa Autorzy: Michał Góra 9 Metoda eliminacji Gaussa Autor: Michał Góra Przedstawiony poniżej sposób rozwiązywania układów równań liniowych jest pewnym uproszczeniem algorytmu zwanego

Bardziej szczegółowo

Metody uporządkowania

Metody uporządkowania Metody uporządkowania W trakcie faktoryzacji macierzy rzadkiej ilość zapełnień istotnie zależy od sposobu numeracji równań. Powstaje problem odnalezienia takiej numeracji, przy której ilość zapełnień będzie

Bardziej szczegółowo

Metody Numeryczne Wykład 4 Wykład 5. Interpolacja wielomianowa

Metody Numeryczne Wykład 4 Wykład 5. Interpolacja wielomianowa Sformułowanie zadania interpolacji Metody Numeryczne Wykład 4 Wykład 5 Interpolacja wielomianowa Niech D R i niech F bȩdzie pewnym zbiorem funkcji f : D R. Niech x 0, x 1,..., x n bȩdzie ustalonym zbiorem

Bardziej szczegółowo

Własności wyznacznika

Własności wyznacznika Własności wyznacznika Rozwinięcie Laplace a względem i-tego wiersza: n det(a) = ( 1) i+j a ij M ij (A), j=1 gdzie M ij (A) to minor (i, j)-ty macierzy A, czyli wyznacznik macierzy uzyskanej z macierzy

Bardziej szczegółowo

Zadania egzaminacyjne

Zadania egzaminacyjne Rozdział 13 Zadania egzaminacyjne Egzamin z algebry liniowej AiR termin I 03022011 Zadanie 1 Wyznacz sumę rozwiązań równania: (8z + 1 i 2 2 7 iz 4 = 0 Zadanie 2 Niech u 0 = (1, 2, 1 Rozważmy odwzorowanie

Bardziej szczegółowo

Teoria obliczeń i złożoność obliczeniowa

Teoria obliczeń i złożoność obliczeniowa Teoria obliczeń i złożoność obliczeniowa Kontakt: dr hab. inż. Adam Kasperski, prof. PWr. pokój 509 B4 adam.kasperski@pwr.wroc.pl materiały + informacje na stronie www. Zaliczenie: Egzamin Literatura Problemy

Bardziej szczegółowo

Wektory i wartości własne

Wektory i wartości własne Treść wykładu Podprzestrzenie niezmiennicze Podprzestrzenie niezmiennicze... Twierdzenie Cayley Hamiltona Podprzestrzenie niezmiennicze Definicja Niech f : V V będzie przekształceniem liniowym. Podprzestrzeń

Bardziej szczegółowo

Algorytmy aproksymacyjne i parametryzowane

Algorytmy aproksymacyjne i parametryzowane Algorytmy aproksymacyjne i parametryzowane Marek Cygan Uniwersytet Warszawski 18 października 2012 Marek Cygan Algorytmy aproksymacyjne i parametryzowane 1/22 Wstęp W algorytmice problemy dzielimy na obliczeniowo

Bardziej szczegółowo

Wielomiany. dr Tadeusz Werbiński. Teoria

Wielomiany. dr Tadeusz Werbiński. Teoria Wielomiany dr Tadeusz Werbiński Teoria Na początku przypomnimy kilka szkolnych definicji i twierdzeń dotyczących wielomianów. Autorzy podręczników szkolnych podają różne definicje wielomianu - dla jednych

Bardziej szczegółowo

Porównanie algorytmów wyszukiwania najkrótszych ścieżek międz. grafu. Daniel Golubiewski. 22 listopada Instytut Informatyki

Porównanie algorytmów wyszukiwania najkrótszych ścieżek międz. grafu. Daniel Golubiewski. 22 listopada Instytut Informatyki Porównanie algorytmów wyszukiwania najkrótszych ścieżek między wierzchołkami grafu. Instytut Informatyki 22 listopada 2015 Algorytm DFS w głąb Algorytm przejścia/przeszukiwania w głąb (ang. Depth First

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15 Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2013 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 14/15 Grafy podstawowe definicje Graf to para G=(V, E), gdzie V to niepusty i skończony zbiór, którego elementy nazywamy wierzchołkami

Bardziej szczegółowo

Lista nr 1 - Liczby zespolone

Lista nr 1 - Liczby zespolone Lista nr - Liczby zespolone Zadanie. Obliczyć: a) ( 3 i) 3 ( 6 i ) 8 c) (+ 3i) 8 (i ) 6 + 3 i + e) f*) g) ( 3 i ) 77 ( ( 3 i + ) 3i 3i h) ( + 3i) 5 ( i) 0 i) i ( 3 i ) 4 ) +... + ( 3 i ) 0 Zadanie. Przedstawić

Bardziej szczegółowo

Podstawowe struktury algebraiczne

Podstawowe struktury algebraiczne Maciej Grzesiak Podstawowe struktury algebraiczne 1. Wprowadzenie Przedmiotem algebry było niegdyś przede wszystkim rozwiązywanie równań. Obecnie algebra staje się coraz bardziej nauką o systemach matematycznych.

Bardziej szczegółowo

Układy równań liniowych. Krzysztof Patan

Układy równań liniowych. Krzysztof Patan Układy równań liniowych Krzysztof Patan Motywacje Zagadnienie kluczowe dla przetwarzania numerycznego Wiele innych zadań redukuje się do problemu rozwiązania układu równań liniowych, często o bardzo dużych

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 11 1 Wektory i wartości w lasne

Wyk lad 11 1 Wektory i wartości w lasne Wyk lad 11 Wektory i wartości w lasne 1 Wektory i wartości w lasne Niech V bedzie przestrzenia liniowa nad cia lem K Każde przekszta lcenie liniowe f : V V nazywamy endomorfizmem liniowym przestrzeni V

Bardziej szczegółowo

Kolorowanie wierzchołków grafu

Kolorowanie wierzchołków grafu Kolorowanie wierzchołków grafu Niech G będzie grafem prostym. Przez k-kolorowanie właściwe wierzchołków grafu G rozumiemy takie przyporządkowanie wierzchołkom grafu liczb naturalnych ze zbioru {1,...,

Bardziej szczegółowo

Wykład 7 Macierze i wyznaczniki

Wykład 7 Macierze i wyznaczniki Wykład 7 Macierze i wyznaczniki Andrzej Sładek sladek@ux2mathusedupl Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski w Katowicach Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7

Bardziej szczegółowo

Matematyczne Podstawy Informatyki

Matematyczne Podstawy Informatyki Matematyczne Podstawy Informatyki dr inż. Andrzej Grosser Instytut Informatyki Teoretycznej i Stosowanej Politechnika Częstochowska Rok akademicki 2013/2014 Informacje podstawowe 1. Konsultacje: pokój

Bardziej szczegółowo

. : a 1,..., a n F. . a n Wówczas (F n, F, +, ) jest przestrzenią liniową, gdzie + oraz są działaniami zdefiniowanymi wzorami:

. : a 1,..., a n F. . a n Wówczas (F n, F, +, ) jest przestrzenią liniową, gdzie + oraz są działaniami zdefiniowanymi wzorami: 9 Wykład 9: Przestrzenie liniowe i podprzestrzenie Definicja 9 Niech F będzie ciałem Algebrę (V, F, +, ), gdzie V, + jest działaniem w zbiorze V zwanym dodawaniem wektorów, a jest działaniem zewnętrznym

Bardziej szczegółowo

Kolorowanie wierzchołków Kolorowanie krawędzi Kolorowanie regionów i map. Wykład 8. Kolorowanie

Kolorowanie wierzchołków Kolorowanie krawędzi Kolorowanie regionów i map. Wykład 8. Kolorowanie Wykład 8. Kolorowanie 1 / 62 Kolorowanie wierzchołków - definicja Zbiory niezależne Niech G będzie grafem bez pętli. Definicja Mówimy, że G jest grafem k kolorowalnym, jeśli każdemu wierzchołkowi możemy

Bardziej szczegółowo

Algorytmika Problemów Trudnych

Algorytmika Problemów Trudnych Algorytmika Problemów Trudnych Wykład 9 Tomasz Krawczyk krawczyk@tcs.uj.edu.pl Kraków, semestr letni 2016/17 plan wykładu Algorytmy aproksymacyjne: Pojęcie algorytmu aproksymacyjnego i współczynnika aproksymowalności.

Bardziej szczegółowo

15. Macierze. Definicja Macierzy. Definicja Delty Kroneckera. Definicja Macierzy Kwadratowej. Definicja Macierzy Jednostkowej

15. Macierze. Definicja Macierzy. Definicja Delty Kroneckera. Definicja Macierzy Kwadratowej. Definicja Macierzy Jednostkowej 15. Macierze Definicja Macierzy. Dla danego ciała F i dla danych m, n IN funkcję A : {1,...,m} {1,...,n} F nazywamy macierzą m n ( macierzą o m wierszach i n kolumnach) o wyrazach z F. Wartość A(i, j)

Bardziej szczegółowo

Wykład 4. Droga i cykl Eulera i Hamiltona

Wykład 4. Droga i cykl Eulera i Hamiltona Wykład 4. i Hamiltona Wykład 4. i Hamiltona 1 / 35 Grafy Eulera Niech G będzie grafem spójnym. Definicja Jeżeli w grafie G istnieje zamknięta droga prosta zawierająca wszystkie krawędzie grafu, to taką

Bardziej szczegółowo

, A T = A + B = [a ij + b ij ].

, A T = A + B = [a ij + b ij ]. 1 Macierze Jeżeli każdej uporządkowanej parze liczb naturalnych (i, j), 1 i m, 1 j n jest przyporządkowana dokładnie jedna liczba a ij, to mówimy, że jest określona macierz prostokątna A = a ij typu m

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ. 1. Ciała

ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ. 1. Ciała ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ WSHE, O/K-CE 1. Ciała Definicja 1. Układ { ; 0, 1; +, } złożony ze zbioru, dwóch wyróżnionych elementów 0, 1 oraz dwóch działań +:, : nazywamy ciałem

Bardziej szczegółowo

Układy równań i równania wyższych rzędów

Układy równań i równania wyższych rzędów Rozdział Układy równań i równania wyższych rzędów Układy równań różniczkowych zwyczajnych Wprowadzenie W poprzednich paragrafach zajmowaliśmy się równaniami różniczkowymi y = f(x, y), których rozwiązaniem

Bardziej szczegółowo

SKOJARZENIA i ZBIORY WEWN. STABILNE WIERZCH. Skojarzeniem w grafie G nazywamy dowolny podzbiór krawędzi parami niezależnych.

SKOJARZENIA i ZBIORY WEWN. STABILNE WIERZCH. Skojarzeniem w grafie G nazywamy dowolny podzbiór krawędzi parami niezależnych. SKOJARZENIA i ZBIORY WEWN. STABILNE WIERZCH. Rozważamy graf G = (V, E) Dwie krawędzie e, e E nazywamy niezależnymi, jeśli nie są incydentne ze wspólnym wierzchołkiem. Skojarzeniem w grafie G nazywamy dowolny

Bardziej szczegółowo

Zadania z egzaminów z Algorytmiki

Zadania z egzaminów z Algorytmiki 1 Najkrótsze ścieżki Zadania z egzaminów z Algorytmiki Zadanie 1 Dany jest spójny graf nieskierowany G = (V, E) z wagami na krawędziach w : E N oraz cztery wyróżnione wierzchołki a, b, c, d. Należy wybrać

Bardziej szczegółowo

Wykład 4. Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni.

Wykład 4. Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni. Wykład 4 Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni. Twierdzenie 1 Niech m, n Z. Jeśli n > 0 to istnieje dokładnie jedna para licz q, r, że: m = qn + r, 0 r < n. Liczbę r nazywamy resztą z dzielenia

Bardziej szczegółowo

Wykład 6. Metoda eliminacji Gaussa: Eliminacja z wyborem częściowym Eliminacja z wyborem pełnym

Wykład 6. Metoda eliminacji Gaussa: Eliminacja z wyborem częściowym Eliminacja z wyborem pełnym 1 Wykład 6 Metoda eliminacji Gaussa: Eliminacja z wyborem częściowym Eliminacja z wyborem pełnym ELIMINACJA GAUSSA Z WYBOREM CZĘŚCIOWYM ELEMENTÓW PODSTAWOWYCH 2 Przy pomocy klasycznego algorytmu eliminacji

Bardziej szczegółowo

Metody uporządkowania

Metody uporządkowania Metody uporządkowania W trakcie faktoryzacji macierzy rzadkiej ilość zapełnień istotnie zależy od sposobu numeracji równań. Powstaje problem odnalezienia takiej numeracji, przy której: o ilość zapełnień

Bardziej szczegółowo

Rozwiazywanie układów równań liniowych. Ax = b

Rozwiazywanie układów równań liniowych. Ax = b Rozwiazywanie układów równań liniowych Ax = b 1 PLAN REFERATU: Warunki istnienia rozwiazań układu Metoda najmniejszych kwadratów Metoda najmniejszych kwadratów - algorytm rekurencyjny Rozwiazanie układu

Bardziej szczegółowo

Wstęp do sieci neuronowych, wykład 12 Wykorzystanie sieci rekurencyjnych w optymalizacji grafowej

Wstęp do sieci neuronowych, wykład 12 Wykorzystanie sieci rekurencyjnych w optymalizacji grafowej Wstęp do sieci neuronowych, wykład 12 Wykorzystanie sieci rekurencyjnych w optymalizacji grafowej Maja Czoków, Jarosław Piersa Wydział Matematyki i Informatyki, Uniwersytet Mikołaja Kopernika 2013-01-09

Bardziej szczegółowo

Ciała skończone. 1. Ciała: podstawy

Ciała skończone. 1. Ciała: podstawy Ciała skończone 1. Ciała: podstawy Definicja 1. Każdy zbiór liczb, w którym są wykonalne wszystkie cztery działania z wyjątkiem dzielenia przez 0 i który zawiera więcej niż jedną liczbę, nazywamy ciałem

Bardziej szczegółowo

UKŁADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAŃ LINIOWYCH

UKŁADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAŃ LINIOWYCH Transport, studia niestacjonarne I stopnia, semestr I Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Postać układu równań liniowych Układ liniowych równań algebraicznych

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 9 Baza i wymiar przestrzeni liniowej

Wyk lad 9 Baza i wymiar przestrzeni liniowej Wyk lad 9 Baza i wymiar liniowej Baza liniowej Niech V bedzie nad cia lem K Powiemy, że zbiór wektorów {α,, α n } jest baza V, jeżeli wektory α,, α n sa liniowo niezależne oraz generuja V tzn V = L(α,,

Bardziej szczegółowo

Met Me ody numer yczne Wykład ykład Dr inż. Mic hał ha Łanc Łan zon Instyt Ins ut Elektr Elektr echn iki echn i Elektrot Elektr echn olo echn

Met Me ody numer yczne Wykład ykład Dr inż. Mic hał ha Łanc Łan zon Instyt Ins ut Elektr Elektr echn iki echn i Elektrot Elektr echn olo echn Metody numeryczne Wykład 3 Dr inż. Michał Łanczont Instytut Elektrotechniki i Elektrotechnologii E419, tel. 4293, m.lanczont@pollub.pl, http://m.lanczont.pollub.pl Zakres wykładu Pojęcia podstawowe Algebra

Bardziej szczegółowo

Rachunek różniczkowy i całkowy w przestrzeniach R n

Rachunek różniczkowy i całkowy w przestrzeniach R n Rachunek różniczkowy i całkowy w przestrzeniach R n Na dzisiejszym wykładzie rozważać będziemy funkcje f : R m R n Każda taka funkcję f można przedstawić jako wektor funkcji (f 1, f 2,, f n ), gdzie każda

Bardziej szczegółowo

3. Wykład Układy równań liniowych.

3. Wykład Układy równań liniowych. 31 Układy równań liniowych 3 Wykład 3 Definicja 31 Niech F będzie ciałem Układem m równań liniowych o niewiadomych x 1,, x n, m, n N, o współczynnikach z ciała F nazywamy układ równań postaci: x 1 + +

Bardziej szczegółowo