L.Kowals Zmee losowe welowmarowe ( ΩS P ZMIENNE LOSOWE WIELOWMIAROWE - ustaloa przestrzeń probablstcza. (... - zmea losowa - wmarowa (wetor losow cąg losow. : Ω R (fuca borelowsa P : Β R [0 - rozład zmee losowe. ( ] Dstrbuata (... ( < F P... < azwam zmeą losową soową eśl e zbór wartośc est sończo lub przelczal. azwam zmeą losową cągłą eśl e dstrbuata da sę przedstawć w postac F (... L f ( u... u du dla pewe eueme fuc f zwae gęstoścą. Uwaga.. W putach cągłośc fuc f zachodz: ( F(...... f (.... Dla A Β( R mam P ( A... f (... d... d. A... du Fuca charaterstcza zmee losowe - wmarowe. t ϕ t ϕ( t... t E e E ep( ( t... t. ( ( ( Rozład waruowe. Jeśl P... 0 to rozład zmee losowe soowe ( -... ( > wmarowe oreśloe wzorem: P (...... P P (... (...... azwam rozładem waruowm zmee losowe (... (.... pod waruem że Jeśl gęstość f 0 to rozład zmee losowe cągłe ( - wmarowe oreśloe wzorem:... > f (...... f ( f (......
L.Kowals Zmee losowe welowmarowe azwam rozładem waruowm zmee losowe (... (.... pod waruem że Nezależość zmech losowch. Zmee losowe... są ezależe eśl F(... F ( F (... F ( dla dowolch... R. gdze F - dstrbuat rozładów brzegowch edowmarowch. Dla zmech losowch soowch odpowed warue ma postać: P... P (... P ( ( dla dowolch... R Dla zmech losowch cągłch odpowed warue ma postać: f... f ( f (... f ( ( dla dowolch... R. Przpade. Dwuwmarowa zmea losowa ( ma rozład soow eśl zmee losowe maą sończo lub przelczal zbór wartośc. Rozład zmee losowe ( (łącz rozład zmech oreśla sę za pomocą fuc prawdopodobeństwa lub dstrbuat. Fucą prawdopodobeństwa soowe zmee losowe ( przmuące wartośc ( est prz czm p 0 oraz p p P(... Dstrbuatą F( soowe zmee losowe ( est fuca rzeczwsta F ( < < Fucę prawdopodobeństwa soowe zmee losowe ( przmuące wartośc ( moża zapsać w postac tablc: p... l p. p p... p l p. p p... p l p................... p p... p l p. p. p. p.... p. l gdze... wartośc zmee losowe... l wartośc zmee losowe
L.Kowals Zmee losowe welowmarowe p. sum prawdopodobeństw w olumach p. p. sum prawdopodobeństw w werszach p. Uwaga. p. Rozładem brzegowm zmee losowe azwam rozład oreślo fucą prawdopodobeństwa: p p.... p. p. p.... p. Rozładem brzegowm zmee losowe azwam rozład oreślo fucą prawdopodobeństwa:... l p. p. p.... p. l Jeśl zmea losowa ( est soowa to zmee losowe są ezależe gd dla ażde par ( (... speło est warue: Warue te moża róweż zapsać w postac P( P( P( p p. p. Przład. Rzucam dwa raz ostą. - lczba parzstch ocze w perwszm rzuce tz. 0 lub. - lczba ede w obu rzutach tz. 0 lub lub. Fuca rozładu prawdopodobeństwa te zmee losowe daa est tabelą: 0 p. 0 0/6 7/6 /6 8/6 5/6 /6 0 8/6 p. 5/6 0/6 /6 Rozład brzegowe wzaczoe są przez brzegowe wartośc te tabel. Rozład brzegow zmee losowe : 0 p. 8/6 8/6. Rozład brzegow zmee losowe : 0 p. 5/6 0/6 /6
L.Kowals Zmee losowe welowmarowe Przład. Fuce rozładu prawdopodobeństwa dae tabelam: 0 p. 0 /8 0 /8 /8 / / 0 /8 p. /8 / /8 0 p. 0 /8 0 /8 /8 0 / / /8 p. /8 / /8 maą detcze rozład brzegowe. Wose. Na ogół rozład brzegowe e wzaczaą rozładu łączego edozacze. W przpadu zmech losowch ezależch rozład brzegowe wzaczaą rozład łącz edozacze. ( azwam zmeą losową cągłą eśl e dstrbuata da sę przedstawć w postac F ( f ( s t dsdt dla pewe eueme fuc f zwae gęstoścą. Uwaga.. f ( dd. W putach cągłośc fuc f zachodz: F( f ( 5. Dla A Β( R mam P ( ( A f ( dd. A Maąc gęstość rozładu łączego gęstośc rozładów brzegowch wzaczam astępuąco. Jeśl f( est gęstoścą zmee losowe ( to fuce f ( f ( d; f ( f ( d są gęstoścam odpowedch rozładów brzegowch. Jeśl łącz rozład ( est cągł to zmee losowe są ezależe wted tlo wted gd dla dowolch rzeczwstch f( f (f (
L.Kowals Zmee losowe welowmarowe Przład. Fuca f( est gęstoścą zmee losowe (. c dla 0 0 f ( 0 dla ch Przez całowae lub z terpretac geometrcze wa że c 05 (bo pole rozpatrwaego wadratu wos. Przez całowae lub z terpretac geometrcze wa że dstrbuata tego rozładu ma postać 0 0 0 05 0 < 0 < F ( 05 0 < > 05 0 < > > > Rozład brzegowe to rozład edostae a przedzale [0 ]. Zauważm że zmee losowe są ezależe. Przład. Fuca f( est gęstoścą zmee losowe (. 05 dla 0 0 f ( 0 dla ch gęstość rozładu waruowego ma dla 0 < < postać 05/05 05; zatem 0 ( 0 f ( 05 ( 0 Parametr (mogą e steć Wartość oczewaa E ( [ E E... E ]. D ( D D...D. Waraca [ ] Momet (zwcza rzędu l l... l l l l m l l... l E(... Momet cetral rzędu l l... l Macerz owarac cov( E l l ( E ( E µ E... l l... l K [ ] gdze E E [( ( ] E( E( E( Uwaga D est waracą - te sładowe. Macerz K est wadratowa smetrcza słabo dodato oreśloa ( w szczególośc ma wzacz euem. 5
L.Kowals Zmee losowe welowmarowe cov( Macerz orelac R [ρ ] gdze ρ D D Uwaga ρ. Przpade zmee losowe dwuwmarowe Kowaracą zmech losowch ( azwam welość Cov( E[( E( E] E( E(E( Dla zmee losowe soowe ( mam: l E( l Cov( p Dla zmee losowe cągłe ( mam: p E E E( f ( dd Cov( f ( dd E E Uwaga a Dla zmech losowch ezależch Cov( 0 zatem zmee losowe ezależe są esorelowae (odwrota własość e zachodz patrz przład b Cov( D c D ( D D Cov( dowole zmee losowe Uormowaą owaracę azwam współczem orelac mędz zmem : Cov( ρ ρ( ( D ( D Współcz orelac merz słę zależośc lowe mędz zmem. Własośc współcza orelac: a ρ ( b dla ezależch zmech losowch współcz orelac est rów zero c eżel współcz orelac est dodat to mędz zmem stee zależość lowa dodata co ozacza że ze wzrostem wartośc ede zmee rosą średe wartośc druge zmee d eżel współcz orelac est uem to mędz zmem stee zależość lowa uema co ozacza że ze wzrostem wartośc ede zmee maleą średe wartośc druge zmee e eżel współcz orelac est rów lub to mędz zmem stee fuca zależość lowa Jeżel współcz orelac est rów 0 to mówm że zmee losowe są esorelowae. 6
L.Kowals Zmee losowe welowmarowe Macerz D K Cov( azwam macerzą owarac Cov( D Przład Fuca rozładu prawdopodobeństwa zmee losowe dwuwmarowe ( daa est tabelą: p. /6 /6 / 0 / 0 / /6 /6 / p. / / Oblczm współcz orelac mędz tm zmem. Rozład brzegow zmee losowe : 0 p. / /0 / Rozład brzegow zmee losowe : p. / / E 0 E / Poeważ E( ( ( /6 /6 ( /6 /6 0 E E 0; Cov( 0 to ρ 0. Zatem zmee są esorelowae. Uwaga. Zauważm że powższe zmee losowe chocaż są zależe to są esorelowae. Załadam że macerz owarac K stee. Regresa I rodzau względem zbór putów ( E(. Regresa I rodzau względem zbór putów (E(. Gdze E( E( to waruowe wartośc oczewae. Le regres I rodzau tlo w szczególch przpadach są lam prostm. Twerdzee. E(( ϕ( osąga wartość ameszą gd ϕ ( E( z prawdopodobeństwem. Jeśl poszuuem fuc lowe mmalzuące wrażee E(( ϕ( to otrzmam prostą regres zwaą prostą regres II rodzau. 7
L.Kowals Zmee losowe welowmarowe Regresa II rodzau względem to prosta Regresa II rodzau względem to prosta ρ m ρ m. ρ m ρ m. Powższe poęca regres moża uogólć a przpade - wmarowch zmech losowch. W szczególośc hperpłaszczza regres II rodzau Zmee względem zmech... ma rówae - E a ( - E... a ( - E gdze K są dopełeam algebraczm elemetów macerz owarac K. a K K Welowmarow rozład Beroullego. Dla dach N p [p p...p ] T taego że 0 p < oraz [... ] T gdze {0... } oreślam P( p!!!...! 0! 0 0 p... p gdze p0 p ; 0. Przład. Badae sstemu teleomuacego polega a welorotch próbach uzsaa połączea. Rozpatruem trz możlwe w ażdego połączea: - A 0 - połączee bez załóceń - A - połączee z załóceam - A - bra połączea. Wadomo że P(A 0 07; P(A 0; P(A 0. Woao 50 prób łączośc oblczć prawdopodobeństwo tego że w tch próbach co awże raz e uzsam połączea co awże raz uzsam połączee z załóceam. - lczba prób z braem łączośc - lczba prób z połączeam z załóceam. 50! P(!!(50! 50 07 0 0 gdze 0... 50; 50. 8
L.Kowals Zmee losowe welowmarowe Zatem P( 07 50 P( 50 0 07 9 0 0 P( 50 0 07 9 0 P( 50 9 0 0 07 0 P( 8 000000. Welowmarow rozład welomaow. Jeśl w defc rozładu Beroullego mam p o 0 azwam rozładem welomaowm. to otrzma rozład Welowmarow rozład Possoa. Dla daego λ [λ λ... λ ] T oraz [... ] T gdze {0... } oreślam P( λ λ... e!! λ 0 gdze 0 λ λ. Rozład ormal - wmarow. K - macerz owaraca ech detk 0. Zmea losowa - wmarowa ma rozład ormal - wmarow gd gęstość te zmee losowe wraża sę wzorem: L f ( f (... ep ( / l L ( / ep ( T m L( m ( m ( gdze m E( dla... L [l ]... est macerzą odwrotą do K. Dla warue K 0 est rówoważ waruow ρ. Poeważ macerz K ma wted postać ρ K to ρ ρ L ( ρ ρ Zatem gęstość rozładu ormalego -wmarowego N(m m ρ moża zapsać astępuąco: ( ( ( ( ( m m m m f ( ep ρ ρ ρ Powższa fuca gęstośc ma stałą wartość f( h a elpse: m ( m ( m ( m ( m ρ cost λ 9
L.Kowals Zmee losowe welowmarowe o środu w puce (m m gdze λ ( ρ l( ρ Dla ρ 0 ose główe maą rówaa: m ± h. ρ ( ρ ( m Dla ρ 0 ose rozpatrwae elps są rówoległe do os uładu współrzędch. Zauważm że gd ρ to eda oś sę wdłuża a druga sraca zależość mędz zmem stae sę ścśle lowa. Ose powższe elps tworzą z osą O ąt α α / gdze ρ tg α Fuca charaterstcza: T T ϕ ( t ep m t t Kt gd to ϕ ( t t ep ( tm tm ( t ρ tt t Twerdzee. Dowol rozład brzegow ormalego rozładu -wmarowego est rozładem ormalm. Twerdzee. Jeśl sładowe ormalego rozładu -wmarowego są param esorelowae to są ezależe. Twerdzee. Dowol rozład waruow ormalego rozładu -wmarowego est rozładem ormalm. Waruowa wartość oczewaa waruowa waraca są rówe: E (... K K gdze K - dopełee algebracze elemetu macerz K. K D (... K Uwaga. Dla gęstość rozładu waruowego est rówa: f ( f ( ep m ρ ( m f ( ( ρ ρ oraz E( m ρ ( m D ( ( ρ Przład. - ezależe zmee losowe o rozładze ormalm E E D D 9. Wzaczć gęstość rozładu zmee losowe ( oblczć 0
L.Kowals Zmee losowe welowmarowe a P( < < ; < < b P( >. ( ( 9 ep ( f a P( < < ; < < ( ( 9 ep dd ep ep d d / 0 / / du e dt e u t [Φ(/ - Φ(0] [Φ(/ - Φ(-/] (0695-05(0786 - ( - 069 0078 b P( > ( ( 9 ep dd ep ep d d dt e t Φ( - Φ( - 08 0587. Przład. Wzaczć gęstość rozładu ormalego ( Z eśl rozład te ma zerow wetor wartośc oczewach macerz owarac: K Rozwązae. detk. 5 K zatem ( / 5 ep ( z z z z f. Uwaga. Dla rozładu ormalego wmarowego ( taego że E E 0 D D tórego sładowe są esorelowae (ażd rozład ormal może meć taą postać po obroce uładu współrzędch o ąt α prawdopodobeństwo że wartośc zmee losowe ( ależą do elps est rówe e
L.Kowals Zmee losowe welowmarowe ZADANIA Zadae. Zmea losowa ( ma rozład oreślo tabelą: 0 0 0 0 0 0 Wzaczć macerz orelac. Oblczć współcz orelac mędz tm zmem. Cz są sorelowae? Cz są ezależe? Zadae. Zmea losowa ( ma rozład oreślo tabelą: 0 5 00 00 0 6 0 0 0 7 0 0 0 Wzacz rozład zmee losowe. Wzacz rozład zmee losowe. Oblczć współcz orelac mędz tm zmem. Cz są sorelowae? Cz są ezależe? Zadae. Dla zmee losowe z poprzedego zadaa wzacz arsu a le regres I rodzau b proste regres II rodzau.
L.Kowals Zmee losowe welowmarowe Zadae. Zmea losowa ( ma rozład oreślo tabelą: 0 5 0 0 0 6 0 0 0 7 0 0 0 a wzaczć F(; F(6; F(7; b oblczć ( 6; P c wzacz rozład waruowe ; 5 d oblczć wartośc oczewae zmech z putu c. Zadae.5 ( est zmeą losową o gęstośc c dla ( D f ( 0 dla ( D gdze D est tróątem o werzchołach (0; 0; (; 0; (;. a wzaczć c b wzaczć F(; 05 c wzaczć gęstośc rozładów brzegowch d wzaczć gęstość rozładu 0 5 e oblczć E E f oblczć cov( g oblczć współcz orelac h Cz są esorelowae? Cz są ezależe? wzacz prostą regres względem Zadae.6 Zmea losowa ( ma macerz owarac: K. 9 Ile wos współcz orelac mędz?
L.Kowals Zmee losowe welowmarowe Zadae.7 Fuca f( z est gęstoścą zmee losowe (Z. a wzaczć c c f ( z 0 dla 0 0 dla ch z b wzaczć gęstośc brzegowe edo dwuwmarowe c wzaczć gęstość rozładu waruowego Z d wzaczć gęstość rozładu waruowego ( Z e cz Z są ezależe? f wzacz wetor wartośc oczewach te zmee losowe. Zadae.8 0 z Wzaczć wartość parametru c ab fuca f ( c ep ( 5 bła gęstoścą wmarowego rozładu ormalego. Wzaczć parametr m m ρ. Zadae.9 ( ma rozład o gęstośc ( 0 ( 0 f ( ep 00 00 5. Cz są sorelowae? Cz są ezależe? Zadae.0 Zmea losowa ( ma stałą gęstość a zazaczom zborze / / Sprawdź że rozład brzegowe maą rozład edosta a przedzale (0. Sprawdź że są zależe.
L.Kowals Zmee losowe welowmarowe Zadae. Zmee losowe są ezależe maą rozład edostae odpowedo w przedzałach [0 ] [- ]. Wzacz gęstość rozładu łączego (. Zadae. ( ma rozład o dstrbuace F( e e e dla > 0 > 0 0 dla ch Wzacz gęstość zmee losowe (. Zadae. Gęstość wmarowego rozładu ormalego wraża sę fucą f ( 5 ( ep Zapsać gęstość rozładu brzegowego f ( oreślć ego parametr. Zapsać gęstość rozładu waruowego f ( oreślć ego parametr. Zadae. Wzaczć wartość parametru c ab fuca ( f ( c ep bła gęstoścą wmarowego rozładu ormalego. Wzaczć macerz owarac te zmee losowe. 5
L.Kowals Zmee losowe welowmarowe Zadae.5 Wzaczć gęstość rozładu ormalego ( Z eśl rozład te ma wetor wartośc oczewach E( Z [ - 0] T macerz owarac: K Zadae.6 Fuca ( 9 6 6z 6z f ( z ep 8z 0 0 est gęstoścą wmarowego rozładu ormalego. Wzaczć wetor wartośc oczewach macerz owarac te zmee losowe. Zadae.7 Rzucam raz moetą. - lczba orłów uzsach w tch rzutach - lczba ser orłów. a Wpsać wszste zdarzea elemetare w tm dośwadczeu losowm. b Wzaczć rozład zmee losowe ( c Wzaczć rozład brzegowe ch wartośc oczewae d Wzaczć arsować le regres I rodzau e Wzaczć arsować proste regres II rodzau. f Cz są ezależe? cz są sorelowae?. 0.00 6