.. OSTROSŁUPY Ostrosłupy ścin boczn - trójkąt podstw ostrosłup - dowolny wielokąt Wysokość ostrosłup odcinek łączący wierzcołek ostrosłup z płszczyzną podstwy, prostopdły do podstwy Czworościn - ostrosłup trójkątny ( podstwą tego ostrosłup jest trójkąt). Ostrosłup prwidłowy ostrosłup, którego podstwą jest wielokąt foremny, ściny boczne są przystjącymi trójkątmi równormiennymi. Wzory n pole powierzcni cłkowitej i objętość ostrosłup: P c Pp Pb V Pp Ostrosłup prwidłowy czworokątny α Kąty w ostrosłupie α kąt płski przy wierzcołku β kąt ncyleni krwędzi bocznej do płszczyzny podstwy γ kąt ncyleni ściny bocznej do płszczyzny podstwy δ kąt miedzy sąsiednimi ścinmi bocznymi δ β γ Ostrosłup prwidłowy trójkątny α kąt między krwędzią boczną, krwędzią podstwy β kąt ncyleni krwędzi bocznej do płszczyzny podstwy γ kąt ncyleni ściny bocznej do płszczyzny podstwy δ kąt miedzy sąsiednimi ścinmi bocznymi δ α γ β
Ostrosłup prwidłowy czworokątny ostrosłup, którego podstwą jest kwdrt, ściny boczne są trójkątmi równormiennymi. b krwędź podstwy b - krwędź boczn - wysokość ściny bocznej wysokość ostrosłup d przekątn podstwy d 0,5d 0,5 Wzór n pole powierzcni cłkowitej ostrosłup prwidłowego czworokątnego: P c Wzór n objętość ostrosłup prwidłowego czworokątnego: V Przykłd... Przekrój ostrosłup prwidłowego czworokątnego utworzony przez płszczyznę przecodzącą przez dwie krwędzie boczne i przekątn podstwy jest trójkątem prostokątnym o polu 8 cm. Oblicz pole powierzcni cłkowitej i objętość ostrosłup. Rozwiąznie Komentrz Anliz zdni. Przy obliczniu objętości ostrosłup wykorzystujemy wzór V Pp. PoniewŜ podstwą ostrosłup jest kwdrt, to P p, ztem V. Dne: Szukne: Wzory: P 8cm c? P c α 90 V? V d P b P Pisząc wzór n pole powierzcni cłkowitej ostrosłup wykorzystujemy wzór P c Pp Pb. PoniewŜ P p orz powierzcnię boczną tworzą cztery trójkąty równormienne o podstwie i wysokości,ztem P c
W obliczenic wykorzystujemy równieŝ wzór n przekątną kwdrtu d. P b 8 b Przekrojem ostrosłup jest trójkąt prostokątny ADF o przyprostokątnyc b. Ztem pole tego trójkąt Obliczmy b P b b 8 9 Korzystjąc z twierdzenie Pitgors obliczmy długość podstwy ostrosłup. Wykorzystujemy wzór d b b d ( 8) ( 8) ( ) 8 8 8 / : Korzystjąc z twierdzenie Pitgors obliczmy wysokość ostrosłup. Wykorzystujemy wzór d ( 0,5d ) b ( 8)
8 8 8 8 9 Korzystjąc z twierdzenie Pitgors obliczmy wysokość ściny bocznej ostrosłup. ( 0,5) b 8 8 7 8 5 ( 8) 5 9 P c 8 8 9 8 9 8 8 cm Obliczmy V i P c V 8 8cm Przykłd... Dc wieŝy m ksztłt powierzcni bocznej ostrosłup prwidłowego czworokątnego, którego krwędź podstwy m długość, m. Ścin boczn tego ostrosłup jest ncylon do podstwy pod kątem 70. Ile sztuk dcówek nleŝy kupić, by pokryć ten dc, wiedząc,ŝe do pokryci m potrzebne są dcówki..
Rozwiąznie Anliz zdni. Komentrz Powierzcnię boczną tworzą cztery trójkąty równormienne o podstwie i wysokości,ztem P b Dne: Szukne:, m x ilość dcówek α 70 m dcówki Wzory: P b Obliczmy wysokość ściny bocznej Wykorzystujemy definicję kosinus: przyprostoktn_ przy_α cosα przeciwprostoktn 0,5 cosα,8 cos70,8 0,0,8 5, 0,0 P b, 5, 7, 87m m dcówki 7,87m x dcówek Z zwierjącyc przybliŝone wrtości funkcji trygonometrycznyc odczytujemy wrtość cos 70 Obliczmy powierzcnię dcu. Obliczmy ilość dcówek potrzebnyc n pokrycie dcu. W tym celu ukłdmy proporcję. x 7,87 8,8 Odp. : NleŜy kupić 8 dcówek.
Ostrosłup prwidłowy trójkątny ostrosłup, którego podstwą jest trójkąt równoboczny, ściny boczne są trójkątmi równormiennymi. r b R krwędź podstwy b - krwędź boczn - wysokość ściny bocznej wysokość ostrosłup wysokość podstwy r promień okręgu wpisnego w podstwę r r R promień okręgu opisnego n podstwie R R Wzór n pole powierzcni cłkowitej ostrosłup prwidłowego trójkątnego: P c Wzór n objętość ostrosłup prwidłowego trójkątnego: V Przykłd... W ostrosłupie prwidłowym trójkątnym krwędź boczn tworzy z podstwą kąt 0. Oblicz objętość i pole powierzcni cłkowitej tego ostrosłup, jeśli krwędź podstwy wynosi. Rozwiąznie Komentrz Anliz zdni. Przy obliczniu objętości ostrosłup wykorzystujemy wzór V Pp. PoniewŜ podstwą ostrosłup jest trójkąt równoboczny, to V P p, ztem. Pisząc wzór n pole powierzcni cłkowitej ostrosłup wykorzystujemy wzór P c Pp Pb. PoniewŜ
Dne: Szukne: Wzory: V? V α 0 P c? P c P p orz powierzcnię boczną tworzą trzy trójkąty równormienne o podstwie i wysokości,ztem P c. r R W obliczenic wykorzystmy równieŝ wzory n promień okręgu wpisnego w podstwę: r n podstwie: orz n promień okręgu opisnego R Obliczmy wysokość ostrosłup. tgα R tg0 / : Korzystmy z definicji tngens: tg α przyprostoktn _ nprzeciw _ α przyprostoktn _ przy _ α Wykorzystujemy równieŝ wzór R Obliczmy wysokość ściny bocznej ostrosłup. Korzystmy z twierdzeni Pitgors. Wykorzystujemy równieŝ wzór: r
7 r V 7 9 9 7 7 P c Obliczmy V i c P Czworościn foremny ostrosłup, którego wszystkie ściny są trójkątmi równobocznymi. krwędź czworościnu wysokość czworościnu wysokość ściny r promień okręgu wpisnego w ścinę r r R promień okręgu opisnego n ścinie R R Wzór n pole powierzcni cłkowitej czworościnu foremnego: P c Wzór n objętość czworościnu foremnego: V r R
Przykłd... Pole powierzcni cłkowitej czworościnu foremnego jest równe cm. Oblicz objętość tego czworościnu. Rozwiąznie Komentrz Anliz zdni. Przy obliczniu objętości czworościnu wykorzystujemy wzór V Pp. PoniewŜ podstwą ostrosłup jest trójkąt równoboczny, to. P p, ztem V Dne: Szukne: P c cm V? Wzory: P c V Powierzcnię cłkowitą czworościnu foremnego stnowią cztery trójkąty równoboczne. Ztem P c WykŜemy, Ŝe wysokość czworościnu foremnego jest równ Korzystmy z twierdzeni Pitgors i wzoru n promień okręgu opisnego n podstwie: R R 9 9
P c / : 9 8 V 8 Wykorzystując wzór P c długość krwędzi czworościnu., obliczmy Obliczmy wysokość czworościnu foremnego wykorzystując wzór. Obliczmy objętość czworościnu Przykłd..5. Oblicz cosinus kąt, jki tworzą dwie ściny czworościnu foremnego Rozwiąznie Anliz zdni. Komentrz W zdniu wykorzystmy wzory n wysokość ściny czworościnu foremnego: orz promień okręgu wpisnego w ścinę : r Szukne : cos α? Wzory: r Obliczmy kosinus: cos α, korzystmy z definicji przyprostoktn_ przy_α cosα przeciwprostoktn r cos α
Ostrosłup prwidłowy sześciokątny ostrosłup, którego podstwą jest sześciokąt foremny, ściny boczne są trójkątmi równormiennymi. b krwędź podstwy b - krwędź boczn - wysokość ściny bocznej wysokość ostrosłup r promień okręgu wpisnego w podstwę r R promień okręgu opisnego n podstwie R r R Wzór n pole powierzcni cłkowitej ostrosłup prwidłowego sześciokątnego: P c Wzór n objętość ostrosłup prwidłowego sześciokątnego: V Przykłd... Oblicz pole powierzcni i objętość ostrosłup prwidłowego sześciokątnego, w którym wysokość ściny bocznej wynosi 9, ntomist róŝnic między polem koł opisnego n podstwie tego ostrosłup, polem koł wpisnego w jego podstwę wynosi 8 π.
Rozwiąznie Anliz zdni. Komentrz Przy obliczniu objętości ostrosłup wykorzystujemy wzór V Pp PoniewŜ podstwą ostrosłup jest sześciokąt foremny, to P p, ztem V.. Dne : Szukne: 9 P c? P P 8π V? o w Wzory: P c V P o πr P w πr r R Pisząc wzór n pole powierzcni cłkowitej ostrosłup wykorzystujemy wzór P c Pp Pb. PoniewŜ P p orz powierzcnię boczną tworzy sześć trójkątów równormiennyc o podstwie i wysokości,ztem P c W obliczenic wykorzystmy równieŝ wzory n promień okręgu wpisnego w podstwę r, promień okręgu R orz wzór P πr opisnego n podstwie n pole koł P o P w R πr 8π π 8π / : π 8 8/ Obliczmy długość krwędzi podstwy. Wykorzystujemy wzory : R r i
r ( ) 57 8 8 8 9 Obliczmy wysokość ostrosłup. Korzystmy z twierdzeni Pitgors. Wykorzystujemy wzór r ( ) 9 8 9 9 57 57 57 V ( ) 08 8 08 8 9 P c Obliczmy V i c P
ĆWICZENIA Ćwiczenie... (pkt.) Oblicz pole powierzcni cłkowitej i objętość ostrosłup prwidłowego czworokątnego wiedząc, Ŝe jego ścin boczn jest ncylon do podstwy pod kątem 5 i krwędź podstwy m długość 0 cm. scemt ocenini Numer Odpowiedź Liczb punktów odpowiedzi Podnie wysokości ostrosłup. Podnie wysokości ściny bocznej. Podnie pol powierzcni cłkowitej ostrosłup. Podnie objętości ostrosłup. Ćwiczenie... (5pkt.) W ostrosłupie prwidłowym trójkątnym krwędź boczn długości cm jest ncylon do podstwy pod kątem 0. Oblicz pole powierzcni cłkowitej i objętość ostrosłup. scemt ocenini Numer Odpowiedź Liczb punktów odpowiedzi Podnie wysokości ostrosłup. Podnie wysokości ściny bocznej. Podnie długości krwędzi podstwy. Podnie pol powierzcni cłkowitej ostrosłup. 5 Podnie objętości ostrosłup. Ćwiczenie... (pkt.) Oblicz objętość czworościnu foremnego, wiedząc, Ŝe jego wysokość wynosi cm. scemt ocenini Numer Odpowiedź Liczb punktów odpowiedzi Podnie długości krwędzi czworościnu. Podnie objętości czworościnu. Ćwiczenie... (5pkt.) Przekrojem ostrosłup prwidłowego sześciokątnego płszczyzną przecodzącą przez njdłuŝszą przekątną podstwy i krwędzie boczne jest trójkątem prostokątnym o polu. Oblicz pole powierzcni cłkowitej i objętość tego ostrosłup. scemt ocenini Numer Odpowiedź Liczb punktów odpowiedzi Podnie długości krwędzi podstwy. Podnie wysokości ostrosłup. Podnie wysokości ściny bocznej. Podnie pol powierzcni cłkowitej ostrosłup. 5 Podnie objętości ostrosłup.