Stereometria poziom podstawowy (opracowanie: Mirosława Gałdyś na bazie

Transkrypt

1 Stereometria poziom podstawowy (opracowanie: Mirosława Gałdyś na bazie 1. W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym ściana boczna o polu równym 10 jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 60. Oblicz objętość tego ostrosłupa Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego, w którym krawędź podstawy ma długość 2, a krawędź boczna długość Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego, w którym krawędź podstawy ma długość 4, a krawędź boczna długość Podstawą graniastosłupa jest trójkąt prostokątny, w którym przeciwprostokątna ma długość 8 cm, a jeden z kątów ma miarę 30. Powierzchnia boczna tego graniastosłupa po rozwinięciu na płaszczyznę jest kwadratem. Oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość tego graniastosłupa W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym połączono punkty będące środkami krawędzi,, i. Wyznacz objętość powstałej bryły wiedząc, że = 5 2 i kąt ma miarę Objętość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego o podstawie jest równa 224, a promień okręgu opisanego na podstawie jest równy Oblicz cosinus kąta między wysokością tego ostrosłupa i jego ścianą boczną Podstawą ostrosłupa jest trójkąt. Krawędź jest wysokością ostrosłupa (zobacz rysunek). Oblicz objętość ostrosłupa jeśli wiadomo, że = 12, = 6, = = Podstawą ostrosłupa jest trójkąt. Krawędź jest wysokością ostrosłupa (zobacz rysunek). Oblicz objętość ostrosłupa jeśli wiadomo, że = 24, = 12, = = Podstawą graniastosłupa jest trójkąt prostokątny równoramienny o ramieniu długości 9. Kąt między przekątną największej ściany bocznej i wysokością graniastosłupa jest równy 60. Oblicz pole powierzchni bocznej i objętość tego graniastosłupa Podstawą graniastosłupa jest trójkąt prostokątny równoramienny o ramieniu długości 6. Kąt między przekątną największej ściany bocznej i wysokością graniastosłupa jest równy 60. Oblicz pole powierzchni bocznej i objętość tego graniastosłupa Prostokąt obracając się wokół boku, zakreślił walec. Ten sam prostokąt obracając się wokół boku, zakreślił walec. Otrzymane walce mają równe pola powierzchni całkowitych. Wykaż, że prostokąt jest kwadratem Pole powierzchni bocznej stożka jest cztery razy większe od pola podstawy. Obwód przekroju osiowego stożka jest równy 30. Oblicz objętość tego stożka Pole podstawy ostrosłupa prawidłowego trójkątnego jest równe 9 3 cm 2, a jego pole powierzchni bocznej jest równe 18 3 cm 2. Oblicz objętość tego ostrosłupa W graniastosłupie prawidłowym sześciokątnym wszystkie krawędzie mają jednakową długość. Wyznacz tangensy kątów nachylenia przekątnych graniastosłupa do płaszczyzny podstawy W graniastosłupie prawidłowym sześciokątnym krawędź boczna jest dwa razy dłuższa od krawędzi podstawy. Wyznacz tangensy kątów nachylenia przekątnych graniastosłupa do płaszczyzny podstawy W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym o krawędzi podstawy 18 cm, kąt między wysokościami przeciwległych ścian bocznych ma miarę = 60. Oblicz pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa. Wykonaj odpowiedni rysunek i zaznacz kąt W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym o krawędzi podstawy 12 cm, kąt między wysokościami przeciwległych ścian bocznych ma miarę = 90. Oblicz pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa. Wykonaj odpowiedni rysunek i zaznacz kąt.

2 18. Objętość graniastosłupa prawidłowego trójkątnego jest równa 36 3, a pole powierzchni bocznej tego graniastosłupa jest równe 72. Oblicz długość krawędzi podstawy oraz długość wysokości tego graniastosłupa Objętość graniastosłupa prawidłowego trójkątnego jest równa 24 3, a pole powierzchni bocznej tego graniastosłupa jest równe 72. Oblicz długość krawędzi podstawy oraz długość wysokości tego graniastosłupa Podstawą ostrosłupa jest prostokąt o bokach 6 cm i 8 cm. Każda krawędź boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod katem 60. Oblicz pole powierzchni ostrosłupa W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym krawędź boczna ma długość 6, a pole ściany bocznej jest równe 9 3. Oblicz objętość tego ostrosłupa Jacek bawi się sześciennymi klockami o krawędzi 2 cm. Zbudował z nich jeden duży sześcian o krawędzi 8 cm i wykorzystał do tego wszystkie swoje klocki. Następnie zburzył budowlę i ułożył z tych klocków drugą bryłę graniastosłup prawidłowy czworokątny. Wtedy okazało się, że został mu dokładnie jeden klocek, którego nie było gdzie dołożyć. Oblicz stosunek pola powierzchni całkowitej pierwszej ułożonej bryły do pola powierzchni całkowitej drugiej bryły i wynik podaj w postaci ułamka nieskracalnego Oblicz wysokość prostopadłościanu, którego podstawa jest prostokątem o wymiarach 3 i 4, a pole powierzchni całkowitej wynosi W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym wysokości przeciwległych ścian bocznych, poprowadzone z wierzchołka ostrosłupa, są do siebie prostopadłe. a) Oblicz sinus kąta nachylenia krawędzi bocznej ostrosłupa do płaszczyzny podstawy. b) Jakim procentem objętości sześcianu, którego krawędź ma długość równą długości krawędzi podstawy danego ostrosłupa, jest objętość tego ostrosłupa? Oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość prostopadłościanu, w którym krawędź ma długość 10 cm i tworzy z przekątną ściany bocznej kąt 60, a krawędź jest o cztery centymetry krótsza od krawędzi Objętość graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa 224 cm 3, a promień okręgu opisanego na podstawie ma długość 4 cm. Wyznacz miarę kąta między przekątnymi sąsiednich ścian bocznych wychodzącymi z tego samego wierzchołka graniastosłupa. Wynik podaj z dokładnością do W pojemniku o kształcie walca o promieniu podstawy = 8 umieszczono dwie kule o promieniu = 5, w ten sposób, że są do siebie styczne i każda z nich dotyka powierzchni bocznej walca, jak na rysunku. Jaka co najmniej musi być wysokość pojemnika, aby kule całkowicie się w nim mieściły. Oblicz objętość tego walca Dany jest zbiór wszystkich graniastosłupów prawidłowych sześciokątnych, których suma długości wszystkich krawędzi jest równa 216. Oblicz długość krawędzi podstawy i wysokość tego z danych graniastosłupów, który ma największe pole powierzchni bocznej Przekątna przekroju osiowego walca ma długość 5 cm i jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 60. Jaką długość ma promień podstawy tego walca? Jaka jest jego wysokość? Krawędź boczna ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem takim, że sin =. Oblicz cosinus kąta nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy. " W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym wysokość ściany bocznej ma długość 4 3, a ściana boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 60. Oblicz objętość ostrosłupa Po wydłużeniu każdej krawędzi sześcianu o 2, długość jego przekątnej podwoiła się. Oblicz pole powierzchni całkowitej powiększonego sześcianu Odległość wierzchołka sześcianu od przekątnej sześcianu (do której dany wierzchołek nie należy) jest równa 4 cm. Oblicz objętość sześcianu. Wykonaj rysunek.

3 34. Podstawą ostrosłupa jest romb, którego przekątne mają długości 12 i 16. Spodek wysokości ostrosłupa pokrywa się z punktem przecięcia przekątnych rombu w podstawie, a pole powierzchni bocznej jest równe 104. Oblicz objętość ostrosłupa Mrówka przeszła po powierzchni sześcianu z wierzchołka do wierzchołka będącego drugim końcem przekątnej sześcianu wychodzącej z wierzchołka, przy czym była to droga najkrótsza. Narysuj siatkę sześcianu i oblicz odległość, jaką pokonała mrówka, jeżeli krawędź sześcianu ma długość Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny o krawędzi bocznej dwa razy dłuższej od krawędzi podstawy. a) Wyznacz cosinus kąta nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy ostrosłupa. b) Wyznacz długość krawędzi ostrosłupa, tak aby pole jego powierzchni bocznej wynosiło Oblicz objętość i pole powierzchni graniastosłupa, którego podstawą jest romb o przekątnych długości 6 cm i 8 cm, którego przekątna ściany bocznej tworzy z krawędzią podstawy kąt o mierze Przekątna sześcianu ma długość 9. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego sześcianu Wykaż, że w sześcianie, odległość krawędzi od nieprzecinającej się z nią przekątnej sześcianu jest równa połowie długości przekątnej ściany Przez środek jednej krawędzi podstawy sześcianu, koniec przeciwległej krawędzi tej podstawy oraz środek krawędzi bocznej, poprowadzono płaszczyznę. Opisz figurę, którą otrzymamy w wyniku tego przekroju. Rozważ 2 przypadki Objętość ostrosłupa prawidłowego trójkątnego (tak jak na rysunku) jest równa 72, a promień okręgu wpisanego w podstawę tego ostrosłupa jest równy 2. Oblicz tangens kąta między wysokością tego ostrosłupa i jego ścianą boczną Objętość ostrosłupa prawidłowego trójkątnego (tak jak na rysunku) jest równa 243, a promień okręgu wpisanego w podstawę tego ostrosłupa jest równy 3. Oblicz tangens kąta między wysokością tego ostrosłupa, a jego krawędzią boczną Objętość ostrosłupa prawidłowego trójkątnego (patrz rysunek) jest równa 36, a promień okręgu opisanego na podstawie tego ostrosłupa jest równy 4. Oblicz tangens kąta jaki tworzy krawędź boczna z wysokością ostrosłupa Objętość ostrosłupa prawidłowego trójkątnego (patrz rysunek) jest równa 36, a promień okręgu opisanego na podstawie tego ostrosłupa jest równy 2. Oblicz tangens kąta jaki tworzy krawędź boczna z wysokością ostrosłupa Pole powierzchni całkowitej graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego o krawędzi podstawy # wyraża się wzorem $3 3 6&# #. Wyznacz sumę długości krawędzi podstawy i wysokości tego graniastosłupa Powierzchnia boczna stożka po rozwinięciu na płaszczyznę jest półkolem. Oblicz miarę kąta rozwarcia stożka Przekrój osiowy stożka jest trójkątem równobocznym o polu Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego stożka Pole powierzchni bocznej stożka jest czterokrotnie większe od pola podstawy stożka. Oblicz wysokość stożka, wiedząc, że promień jego podstawy jest równy W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym pole podstawy jest równe 100, a pole powierzchni ścian bocznych 320. Oblicz objętość ostrosłupa Pole podstawy ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równe 100 cm 2, a jego pole powierzchni bocznej jest równe 260 cm 2. Oblicz objętość tego ostrosłupa Pole powierzchni bocznej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równe 80 cm 2, a pole jego powierzchni całkowitej wynosi 144 cm 2. Oblicz długość krawędzi podstawy i długość krawędzi bocznej tego ostrosłupa.

4 52. W ostrosłupie prawidłowym sześciokątnym dany jest kąt nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy. Oblicz stosunek pola podstawy do pola powierzchni bocznej ostrosłupa Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny o podstawie. Krawędź boczna tego ostrosłupa jest o 8 2 dłuższa od krawędzi podstawy, a wysokość ostrosłupa jest równa 14. Oblicz objętość i pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa Metalowy walec o objętości 1458( cm 3 i przekroju będącym kwadratem przetopiono na stożek o takim samym promieniu podstawy, co walec. Oblicz stosunek pola powierzchni bocznej otrzymanego stożka do pola powierzchni bocznej wyjściowego walca Długości trzech krawędzi wychodzących z jednego wierzchołka prostopadłościanu są kolejnymi liczbami parzystymi. Pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu wynosi 208. Oblicz objętość tego prostopadłościanu Długości trzech krawędzi wychodzących z jednego wierzchołka prostopadłościanu są kolejnymi liczbami nieparzystymi. Pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu wynosi 142. Oblicz objętość tego prostopadłościanu Kacper i Hela otrzymali identyczne zestawy 138 drewnianych klocków, w których każdy klocek jest sześcianem o krawędzi 2 cm. Kacper ze swoich klocków zbudował graniastosłup prawidłowy czworokątny i zostały mu dwa klocki, których nie było gdzie dołożyć. Hela ze swoich klocków zbudowała trzy identyczne graniastosłupy prawidłowe czworokątne i zostały jej trzy klocki, których nie było gdzie dołożyć. Oblicz stosunek pola powierzchni całkowitej graniastosłupa zbudowanego przez Kacpra do pola powierzchni całkowitej jednego z graniastosłupów zbudowanych przez Helę. Wynik podaj w postaci ułamka nieskracalnego Przekątna sześcianu jest o 3 dłuższa od krawędzi sześcianu. Oblicz objętość tego sześcianu Długość krawędzi sześcianu jest o 2 krótsza od długości jego przekątnej. Oblicz długość przekątnej tego sześcianu W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym krawędź boczna ma długość 6, a krawędź podstawy ma długość 3. Oblicz sinus kąta nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy Podstawą graniastosłupa prostego jest trójkąt prostokątny o przyprostokątnych mających długości 1 i 3. Podaj miary kątów między sąsiednimi ścianami bocznymi tego graniastosłupa Pole powierzchni całkowitej stożka jest trzy razy większe od pola jego podstawy. Oblicz miarę kąta rozwarcia tego stożka Objętość prostopadłościanu jest równa 405. Stosunki długości krawędzi prostopadłościanu wychodzących z tego samego wierzchołka prostopadłościanu to 1 : 3 : 5. Oblicz pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu Liczba wszystkich przekątnych podstaw i ścian bocznych pewnego graniastosłupa jest równa 110. Oblicz, ile krawędzi ma podstawa tego graniastosłupa Oblicz objętość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jeśli jego krawędź boczna o długości 6 nachylona jest do płaszczyzny podstawy pod kątem Punkty ) i * są środkami krawędzi i sześcianu o krawędzi długości 1. Punkt + jest środkiem ściany (zobacz rysunek). Oblicz obwód trójkąta )+* W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym ściana boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem ostrym, dla którego cos = ". Wysokość ostrosłupa ma długość 12 cm. Oblicz objętość tego ostrosłupa W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym ściana boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem ostrym, dla którego cos =.. Wysokość ostrosłupa ma długość 12 cm. Oblicz objętość tego ostrosłupa. " Oblicz cosinus kąta jaki tworzą dwie ściany czworościanu foremnego. Podaj przybliżoną miarę tego kąta Wykaż, że jeśli wszystkie krawędzie boczne ostrosłupa trójkątnego tworzą z podstawą kąty o równych miarach to spodek wysokości ostrosłupa jest środkiem okręgu opisanego na tym trójkącie.

5 71. Metalową kulę o promieniu 10 cm i stożek o średnicy 16 cm i wysokości 12cm przetopiono. Następnie z otrzymanego metalu wykonano walec o średnicy 8cm. Jaką wysokość ma ten walec? Metalową kulę o promieniu 5 cm i stożek o średnicy 12 cm i wysokości 15 cm przetopiono. Następnie z otrzymanego metalu wykonano walec o średnicy 8 cm. Jaką wysokość ma ten walec? Dany jest sześcian, w którym = 3 (patrz rysunek). Oblicz odległość wierzchołka od przekątnej Trapez prostokątny o podstawach długości 4 i 5 oraz kącie ostrym równym 45 obraca się wokół krótszej podstawy. Oblicz objętość otrzymanej bryły Podstawą graniastosłupa prostego jest trójkąt prostokątny równoramienny. Kąt między przekątnymi, wychodzącymi z tego samego wierzchołka, dwóch prostopadłych ścian bocznych, ma miarę 60. Wiedząc, że objętość tego graniastosłupa jest równa 32 cm 3, oblicz pole powierzchni całkowitej tej bryły W kostce mającej kształt sześcianu o boku 1 dm ścięto wszystkie naroża w ten sposób ze wszystkie krawędzie nowopowstałej bryły mają tę samą długość. Obliczyć objętość otrzymanej bryły Trójkąt równoramienny o podstawie długości 6 cm i ramionach długości 5 cm obracamy wokół jednego z ramion. Otrzymaną w ten sposób bryłę dzielimy na dwa stożki. Podaj długość promienia podstawy i długość tworzącej każdego z tych stożków Punkty ), +, *, / są środkami krawędzi,,, prostopadłościanu, w którym = 5, = = 4. Uzasadnij, że )+ = */ Powierzchnia boczna stożka jest wycinkiem kołowym, którego kąt środkowy ma miarę 150. Wiedząc, że tworząca stożka ma długość 24 cm, oblicz pole powierzchni bocznej i objętość tego stożka Powierzchnia boczna stożka jest wycinkiem kołowym, którego kąt środkowy ma miarę 120. Wiedząc, że tworząca stożka ma długość 12 cm, oblicz pole powierzchni bocznej i objętość tego stożka Dany jest graniastosłup prawidłowy trójkątny o podstawach i i krawędziach bocznych, i (zobacz rysunek). Punkt jest środkiem krawędzi. Długość krawędzi podstawy jest równa 12, a pole trójkąta jest równe Oblicz objętość tego graniastosłupa Wysokość prostopadłościanu jest równa 1, a długość przekątnej jest równa sumie długości krawędzi i. Oblicz objętość tego prostopadłościanu Z czterech ołowianych sześcianów o przekątnej długości 4 3 wykonano graniastosłup prawidłowy czworokątny o krawędzi podstawy długości 8. Oblicz długość przekątnej otrzymanego graniastosłupa Punkty ) i + są środkami krawędzi i sześcianu o krawędzi długości 1. Punkt * jest środkiem ściany (zobacz rysunek). Oblicz pole trójkąta )+* Podstawą ostrosłupa jest trójkąt równoboczny o boku długości 8. Punkt jest środkiem krawędzi, odcinek jest wysokością ostrosłupa. Krawędzie i mają długość 7. Oblicz długość krawędzi tego ostrosłupa Podstawą ostrosłupa jest trójkąt równoboczny o boku długości 6. Punkt jest środkiem krawędzi, odcinek jest wysokością ostrosłupa. Krawędzie i mają długość 46. Oblicz długość krawędzi tego ostrosłupa W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym powierzchnia boczna po rozwinięciu jest kwadratem o polu = 400 cm 2. Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tej bryły Oblicz długość przeciwprostokątnej trójkąta prostokątnego, wiedząc, że objętość brył powstałych z obrotu tego trójkąta wokół przyprostokątnych wynoszą odpowiednio 36( cm 3 i 18( cm Ściany boczne ostrosłupa prawidłowego trójkątnego są trójkątami o przyprostokątnych długości 12 cm. Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa.

6 90. Podstawą ostrosłupa jest romb o boku długości 4. Kąt rombu ma miarę 120, = = 10 i =. Oblicz sinus kąta nachylenia krawędzi do płaszczyzny podstawy ostrosłupa W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym krawędź podstawy ma długość 2 3. Oblicz objętość tego ostrosłupa jeżeli ściana boczna jest nachylona do podstawy pod kątem W sześcianie o krawędzi długości 2 połączono ze sobą środki trzech ścian mających wspólny wierzchołek. Sporządź odpowiedni rysunek i oblicz pole otrzymanego trójkąta Oblicz pole powierzchni i objętość sześcianu, którego przekątna ma długość 4 3 cm Trójkąt prostokątny o przyprostokątnych 15 i 20 obraca się wokół przeciwprostokątnej. Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tej bryły Podstawą ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest kwadrat. Pole trójkąta równoramiennego jest równe 120 oraz : = 10: 13. Oblicz pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa Podstawą graniastosłupa jest trapez równoramienny o podstawach długości 56 cm i 40 cm oraz wysokości 15 cm. Wiedząc, że wysokość graniastosłupa jest równa 10 cm, oblicz jego pole powierzchni całkowitej W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym (zobacz rysunek) przekątna podstawy ma długość 4 2. Kąt między przeciwległymi krawędziami bocznymi ostrosłupa ma miarę 60. Oblicz objętość tego ostrosłupa Powierzchnia boczna walca po rozwinięciu jest prostokątem, którego przekątna ma długość 18 cm i tworzy z bokiem odpowiadającym wysokości walca kąt o mierze 60. Oblicz objętość walca Powierzchnia boczna walca po rozwinięciu jest prostokątem, którego przekątna ma długość 6 cm i tworzy z bokiem odpowiadającym wysokości walca kąt o mierze 30. Oblicz objętość walca Oblicz objętość graniastosłupa prawidłowego trójkątnego, w którym krawędź podstawy ma długość 1, a przekątna ściany bocznej tworzy z sąsiednią ścianą kąt o mierze W graniastosłupie prawidłowym trójkątnym krawędź podstawy ma długość 4, a przekątna, ściany jest nachylona do ściany pod kątem ostrym takim, że sin = " 2. a) Zaznacz na rysunku kąt. b) Oblicz objętość graniastosłupa Pole powierzchni bocznej graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest 6 razy większe, od jego pola podstawy, a objętość tego graniastosłupa jest równa 12. Oblicz długość krawędzi podstawy oraz długość przekątnej tego graniastosłupa. Zapisz obliczenia Dany jest graniastosłup prawidłowy trójkątny o podstawach i i krawędziach bocznych,,. Oblicz pole trójkąta wiedząc, że = 10 i = 11. Narysuj ten graniastosłup i zaznacz na nim trójkąt Dany jest graniastosłup prawidłowy trójkątny o podstawach i i krawędziach bocznych,,. Oblicz pole trójkąta wiedząc, że = 6 i = 13. Narysuj ten graniastosłup i zaznacz na nim trójkąt Pole powierzchni całkowitej 3 4 stożka oraz jego pole podstawy 3 5 spełniają równanie 33 4 = 33 5 $2 + 3&. Oblicz miarę kąta rozwarcia stożka Oblicz objętość ostrosłupa prawidłowego trójkątnego o krawędzi podstawy 6 cm i krawędzi bocznej 12 cm Oblicz objętość ostrosłupa prawidłowego trójkątnego o krawędzi podstawy długości 6 cm i krawędzi bocznej 8 cm Stożek ma wysokość 10 cm. Pole przekroju osiowego tego stożka jest równe 30 cm 2. Jaką długość ma tworząca tego stożka?

7 109. Środek 3 tworzącej stożka połączono z końcami i średnicy koła w podstawie stożka tak, że 3 = 3. Wiedząc, że kąt rozwarcia stożka jest równy 60, oblicz kąty trójkąta Tangens kąta nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równy ". Oblicz tangens nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy tego ostrosłupa Graniastosłup prawidłowy trójkątny o krawędzi podstawy 4 cm i wysokości 10 cm przecięto płaszczyzną zawierającą wysokość podstawy i jedną z krawędzi bocznych. Jakie pole ma ten przekrój? Wysokość ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego jest równa 6 cm i stanowi " długości krawędzi podstawy. a) Oblicz miarę kąta nachylenia ściany bocznej do podstawy. b) Oblicz objętość ostrosłupa Wysokość ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego jest równa 9 cm i stanowi " długości krawędzi podstawy. a) Oblicz miarę kąta nachylenia ściany bocznej do podstawy. b) Oblicz objętość ostrosłupa Oblicz wysokość graniastosłupa sześciokątnego prawidłowego, wiedząc, że krawędź podstawy ma długość 5cm, zaś najdłuższa przekątna graniastosłupa jest 4 razy dłuższa od najkrótszej przekątnej podstawy Oblicz wysokość graniastosłupa sześciokątnego prawidłowego, wiedząc, że krawędź podstawy ma długość 4 cm, zaś najdłuższa przekątna graniastosłupa jest 5 razy dłuższa od najkrótszej przekątnej podstawy Powierzchnia boczna stożka jest po rozwinięciu ćwiartką koła o promieniu 16 cm. Oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość tego stożka Powierzchnia boczna stożka jest po rozwinięciu ćwiartką koła o promieniu 12 cm. Oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość tego stożka W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym o podstawie i wierzchołku trójkąt jest równoboczny i ma bok długości 8. Oblicz sinus kąta nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy tego ostrosłupa (zobacz rysunek) W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym przeciwległe krawędzie boczne są prostopadłe, a wysokość ściany bocznej poprowadzona z wierzchołka ostrosłupa ma długość 3 3. Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej bryły Podstawą ostrosłupa prawidłowego jest kwadrat o przekątnej 10 2 cm. Krawędź boczna ostrosłupa tworzy z podstawą kąt o mierze 45. Oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość tego ostrosłupa Objętość prostopadłościanu jest równa 2400, a mniejsza z jego ścian bocznych ma pole powierzchni 120. Gdyby krótszą z jego krawędzi podstawy wydłużyć o 2, a dłuższą wydłużyć o 5 to objętość prostopadłościanu wzrosłaby o Oblicz wymiary prostopadłościanu Dany jest graniastosłup prawidłowy czworokątny o podstawach i, oraz krawędziach bocznych 6, 6, 6,. Oblicz pole trójkąta wiedząc, że przekątna ściany bocznej ma długość 13 i jest nachylona do podstawy pod takim kątem, że tg = Podstawą graniastosłupa o objętości 162 jest prostokąt (zobacz rysunek), którego przekątna tworzy z jego bokiem kąt 30. Przekątna graniastosłupa tworzy z płaszczyzną jego podstawy kąt 60 stopni. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa Podstawą graniastosłupa o objętości 162 jest prostokąt (zobacz rysunek), którego przekątna tworzy z jego bokiem kąt 60. Przekątna graniastosłupa tworzy z płaszczyzną jego podstawy kąt 60 stopni. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa Pole powierzchni bocznej graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego jest równe 120 3, a pole jego powierzchni całkowitej wynosi Oblicz długość krawędzi podstawy i długość przekątnej ściany bocznej tego graniastosłupa. Zapisz obliczenia.

8 126. Długość promienia walca zmniejszono dziesięciokrotnie. Ile razy trzeba zwiększyć wysokość tego walca aby objętość się nie zmieniła? Powierzchnia boczna stożka po rozwinięciu na płaszczyznę jest wycinkiem koła o promieniu 3 i kącie środkowym 120 (zobacz rysunek). Oblicz objętość tego stożka Bryła przedstawiona na poniższym rysunku powstała przez wycięcie z graniastosłupa prostego trójkątnego innego graniastosłupa prostego. Oblicz pole powierzchni i objętość tej bryły Bryła przedstawiona na poniższym rysunku powstała przez wycięcie z graniastosłupa prostego trójkątnego innego graniastosłupa prostego. Oblicz pole powierzchni i objętość tej bryły Objętość stożka jest równa 1000(, a tworząca jest nachylona do podstawy pod kątem 30. Oblicz pole powierzchni bocznej tego stożka Objętość stożka jest równa 3000(, a tworząca jest nachylona do podstawy pod kątem 60. Oblicz pole powierzchni bocznej tego stożka Krawędź sześcianu jest o 4 krótsza od jego przekątnej. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego sześcianu Pole powierzchni całkowitej stożka jest trzy razy większe od pola jego podstawy. Oblicz stosunek objętości stożka do objętości wpisanej w niego kuli Pole podstawy stożka jest trzy razy mniejsze od jego pola powierzchni całkowitej. Oblicz stosunek objętości kuli wpisanej w stożek do objętości stożka Tworząca stożka ma długość 3 dm. Długość promienia podstawy stożka jest równa 1 dm. Powierzchnia boczna stożka po rozwinięciu na płaszczyznę jest wycinkiem koła. Oblicz miarę kąta środkowego tego wycinka Tworząca stożka ma długość 17, a wysokość stożka jest krótsza od średnicy jego podstawy o 22. Oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość tego stożka Tworząca stożka ma długość 25, a średnica podstawy stożka jest krótsza od wysokości stożka o 10. Oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość tego stożka Pole powierzchni bocznej ostrosłupa prawidłowego trójkątnego jest równe cm 2, a pole jego powierzchni całkowitej wynosi cm 2. Oblicz długość krawędzi podstawy i długość krawędzi bocznej tego ostrosłupa Przekrój osiowy stożka jest trójkątem równoramiennym o podstawie długości 12. Wysokość stożka jest równa 8. Oblicz pole powierzchni bocznej tego stożka Podstawą ostrosłupa prawidłowego jest trójkąt równoboczny. Wysokość ściany bocznej tego ostrosłupa jest równa 2 17, a tangens kąta nachylenia ściany bocznej ostrosłupa do płaszczyzny jego podstawy jest równy 4. Oblicz objętość tego ostrosłupa Przekątna sześcianu ma długość 6. Oblicz objętość tego sześcianu Pole podstawy stożka jest równe 49(, a jego pole powierzchni bocznej jest równe 7 85(. Oblicz objętość tego stożka Dany jest graniastosłup prawidłowy trójkątny o podstawach i i krawędziach bocznych, i (zobacz rysunek). Długość krawędzi podstawy jest równa 8, a pole trójkąta jest równe 52. Oblicz objętość tego graniastosłupa Powierzchnia boczna walca po rozwinięciu na płaszczyznę jest prostokątem. Przekątna tego prostokąta ma długość 12 i tworzy z bokiem, którego długość jest równa wysokości walca, kąt o mierze 30. a) Oblicz pole powierzchni bocznej tego walca. b) Sprawdź, czy objętość tego walca jest większa od Odpowiedź uzasadnij. Zad Zad. 129.

9 145. Podstawą ostrosłupa jest prostokąt, a krawędź boczna jest jego wysokością. Wykaż, że suma kwadratów pól ścian i jest równa sumie kwadratów pól ścian i Punkty ), +, * są środkami krawędzi,, sześcianu o krawędzi długości 1 (zobacz rysunek). Oblicz pole trójkąta )+* Punkty ), +, * są środkami krawędzi,, sześcianu o krawędzi długości 2 (zobacz rysunek). Oblicz pole trójkąta )+* Punkty ), +, * są środkami krawędzi,, sześcianu o krawędzi długości 4 (zobacz rysunek). Oblicz pole trójkąta )+* Oblicz sinus kąta między przekątną sześcianu a jego płaszczyzną podstawy Dach wieży ma kształt powierzchni bocznej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego, którego krawędź podstawy ma długość 4 m. Ściana boczna tego ostrosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 60. a) Sporządź pomocniczy rysunek i zaznacz na nim podane w zadaniu wielkości. b) Oblicz, ile sztuk dachówek należy kupić, aby pokryć ten dach, wiedząc, że do pokrycia 1 m 2 potrzebne są 24 dachówki. Przy zakupie należy doliczyć 8% dachówek na zapas W trójkącie ostrokątnym mamy = 7, = 8, zaś = 60. Oblicz objętość bryły powstałej z obrotu trójkąta wokół prostej zawierającej bok Oblicz objętość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego o krawędzi podstawy 2 dm i krawędzi bocznej 4 dm Oblicz objętość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego o krawędzi podstawy 4 dm i krawędzi bocznej 6 dm Podstawą ostrosłupa jest prostokąt, którego boki pozostają w stosunku 3:4, a pole jest równe 192 (rysunek). Punkt jest wyznaczony przez przecinające się przekątne podstawy, a odcinek jest wysokością ostrosłupa. Każda krawędź boczna tego ostrosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 30. Oblicz objętość ostrosłupa W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym przekątna podstawy ma długość 4. Kąt jest równy 30. Oblicz objętość ostrosłupa przedstawionego na poniższym rysunku Punkty ) i + są środkami odpowiednio podstawy i krawędzi sześcianu. Suma kwadratów długości odcinków ) i + jest równa 33. Oblicz pole powierzchni całkowitej sześcianu. Zad. 146, zad. 147, zad Zad Zad Zad Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny o podstawie i wierzchołku. Pole trójkąta jest równe 20 2, krawędź boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem, którego tangens jest równy.. Oblicz objętość ostrosłupa Objętość stożka, w którym wysokość jest równa promieniowi podstawy, jest równa ;< " cm3. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego stożka. Przyjmując przybliżenie ( 3,14 podaj wynik z dokładnością do 0, Podstawą ostrosłupa > jest prostokąt. Krawędź boczna > jest wysokością tego ostrosłupa. Krawędzie boczne >, > i > mają następujące długości: > = 6, > = 9, > = 7. Oblicz objętość tego ostrosłupa Podstawą ostrosłupa > jest kwadrat. Krawędź boczna > jest wysokością tego ostrosłupa. Krawędzie boczne > i > mają następujące długości: > = 6, > = 3. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa. 2 Zad. 159, zad. 160, zad. 161.

10 161. Podstawą ostrosłupa > jest kwadrat o polu 2. Krawędź boczna > jest wysokością tego ostrosłupa. Długości krawędzi bocznych > i > spełniają warunek: 2 > = 6 >. Oblicz objętość tego ostrosłupa W stożek o wysokości 10 wpisano kulę o promieniu 4. Oblicz pole powierzchni całkowitej stożka Dany jest graniastosłup czworokątny prosty o podstawach i oraz krawędziach bocznych,,,. Podstawa graniastosłupa jest rombem o boku długości 8 cm i kątach ostrych i o mierze 60. Przekątna graniastosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 60. Sporządź rysunek pomocniczy i zaznacz na nim wymienione w zadaniu kąty. Oblicz objętość tego graniastosłupa Podstawą graniastosłupa prostego jest romb. Krótsza przekątna rombu tworzy z krawędzią podstawy kąt 60 i ma długość 4 3. Dłuższa przekątna bryły tworzy z dłuższą przekątną rombu kąt 60. Oblicz objętość graniastosłupa W graniastosłupie prostym o podstawie rombu krótsza przekątna podstawy ma długość 6 cm i tworzy z krawędzią podstawy kąt 60. Kąt między krótszą przekątną rombu i krótszą przekątną graniastosłupa ma miarę 45. Oblicz objętość graniastosłupa Połówkę koła o promieniu 12 zwinięto w stożek. Oblicz objętość i kąt rozwarcia tego stożka jeżeli długość łuku tej połówki koła jest obwodem podstawy, a jej promień jest tworzącą stożka Krawędź podstawy ostrosłupa trójkątnego prawidłowego jest równa 6. Jego objętość jest równa 9 3. Wyznacz długość wysokości ściany bocznej ostrosłupa Podstawą ostrosłupa jest kwadrat o boku długości 12. Spodek wysokości ostrosłupa jest środkiem krawędzi. Wiedząc, że dwie krótsze krawędzie boczne mają tę samą długość, równą 10, oblicz tangens kąta nachylenia krawędzi do płaszczyzny podstawy Dany jest ostrosłup prawidłowy trójkątny. Promień okręgu opisanego na podstawie tego ostrosłupa jest równy 2 3. Ściana boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy ostrosłupa pod kątem 60. Oblicz objętość i pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym o objętości 5 " cm3 wysokość jest 2 razy dłuższa od krawędzi podstawy. Oblicz pole powierzchni tego ostrosłupa W graniastosłupie prawidłowym trójkątnym o krawędzi podstawy # = 6 przekątna ściany bocznej tworzy z drugą ścianą boczną kąt o mierze 30. Oblicz: a) Długość przekątnej ściany bocznej; b) Długość wysokości graniastosłupa; c) Objętość i pole powierzchni całkowitej W graniastosłupie prawidłowym trójkątnym o krawędzi podstawy # = 8 przekątna ściany bocznej tworzy z drugą ścianą boczną kąt o mierze 30. Oblicz: a) Długość przekątnej ściany bocznej; b) Długość wysokości graniastosłupa; c) Objętość i pole powierzchni całkowitej W graniastosłupie czworokątnym prawidłowym przekątna o długości? jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem α. Wiadomo, że sin = 0,2. Wyznacz objętość tego graniastosłupa Oblicz objętość czworościanu foremnego o krawędzi #. Zad Wszystkie krawędzie ostrosłupa prawidłowego czworokątnego mają tę samą długość. Oblicz kąt nachylenia krawędzi bocznej ostrosłupa do płaszczyzny podstawy Objętość stożka jest równa 12( dm 3, a cosinus kąta α między wysokością, a tworzącą wynosi 0,8. Oblicz: a) pole powierzchni bocznej stożka; b) miarę kąta środkowego powierzchni bocznej stożka po rozwinięciu na płaszczyźnie.

11 177. Krawędź boczna ostrosłupa prawidłowego czworokątnego ma długość 4 cm i jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 30. Oblicz długość krawędzi sześcianu, którego objętość jest równa objętości tego ostrosłupa Z jednakowych sześciennych kostek, których krawędź ma długość 1, sklejono bryłę przedstawioną na rysunku. Ile kostek należy dokleić do tej bryły, aby otrzymać wypełniony kostkami sześcian? Wysokość graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa 16. Przekątna graniastosłupa jest nachylona do płaszczyzny jego podstawy pod kątem, którego cosinus jest równy ". Oblicz pole powierzchni całkowitej tego grania-. stosłupa Wysokość graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa 18. Przekątna graniastosłupa jest nachylona do płaszczyzny jego podstawy pod kątem, którego cosinus jest równy 0,8. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa Podstawą prostopadłościanu jest kwadrat. Przekątna tego prostopadłościanu ma długość 8 2 i jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 60. Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu i wykonaj rysunek Przekątna prostopadłościanu ma długość 24 i tworzy z płaszczyzną jego podstawy kąt 60. Jedna z krawędzi podstawy ma długość 8. Wyznacz objętość i pole powierzchni całkowitej tego prostopadłościanu Przekątna prostopadłościanu ma długość 8 cm, a miara kąta, jaki tworzy ona ze ścianą boczną wynosi 30. Oblicz objętość prostopadłościanu, jeśli jego wysokość wynosi 2 7 cm Przekątna prostopadłościanu ma długość 12 cm, a miara kąta, jaki tworzy ona ze ścianą boczną wynosi 60. Oblicz objętość prostopadłościanu, jeśli jego wysokość wynosi 2 5 cm W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym krawędź podstawy ma długość 2 3. Oblicz objętość tego ostrosłupa jeżeli kąt nachylenia krawędzi bocznej do podstawy ma miarę W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym krawędź podstawy ma długość 6. Oblicz objętość tego ostrosłupa jeżeli kąt nachylenia krawędzi bocznej do podstawy ma miarę Podstawą ostrosłupa prawidłowego jest kwadrat. Wysokość ściany bocznej tego ostrosłupa jest równa 22, a tangens kąta nachylenia ściany bocznej ostrosłupa do płaszczyzny jego podstawy jest równy Oblicz objętość tego ostrosłupa Narożnik między dwiema ścianami i sufitem prostopadłościennego pokoju należy zamaskować trójkątnym fragmentem płyty gipsowo-kartonowej (patrz rysunek). Wiedząc, że = = = 1m, oblicz objętość narożnika zamaskowanego tą płytą. Wynik zaokrąglij do 0,01 m W prostopadłościanie pola trzech ścian o wspólnym wierzchołku są równe 3, 3, 3 ". Oblicz objętość tego prostopadłościanu Z drewnianego prostopadłościanu o objętości 9408 cm 3 i podstawie będącej kwadratem o boku 14 cm, wycięto ostrosłup prawidłowy czworokątny o wysokości równej połowie najdłuższej krawędzi prostopadłościanu. Otrzymano w ten sposób bryłę, której widok z dwóch stron przedstawiono na rysunku. Oblicz pole powierzchni całkowitej otrzymanej bryły Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny o podstawie. Ramię trójkąta równoramiennego ma długość 8 i jest dwa razy dłuższe od jego podstawy. Oblicz sinus kąta nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy Krawędź boczna ostrosłupa prawidłowego trójkątnego jest dwa razy dłuższa od krawędzi podstawy. Krawędź podstawy jest równa #. Oblicz pole powierzchni bocznej i sinus połowy kąta między ścianami bocznymi ostrosłupa Podstawą graniastosłupa jest prostokąt (zobacz rysunek), którego krótszy bok ma długość 3. Przekątna prostokąta tworzy z jego dłuższym bokiem kąt 30. Przekątna graniastosłupa tworzy z płaszczyzną jego podstawy kąt 60. Oblicz objętość tego graniastosłupa.

12 194. Podstawą graniastosłupa jest prostokąt (zobacz rysunek), którego dłuższy bok ma długość 6. Przekątna prostokąta tworzy z jego krótszym bokiem kąt 60. Przekątna graniastosłupa tworzy z płaszczyzną jego podstawy kąt 45. Oblicz objętość tego graniastosłupa Ściana boczna jest nachylona do podstawy pod takim kątem, że tg = 2. Wyznacz pole powierzchni bocznej tego " ostrosłupa Na narysowanej obok siatce sześcianu zaznaczono trzy środki ścian sześcianu. a) Zaznacz na powierzchni sześcianu trzy punkty 3, A, odpowiadające środkom ścian wskazanym na jego siatce. b) Wiedząc, że krawędź sześcianu ma długość 1, oblicz pole trójkąta 3A Oblicz objętość kuli wiedząc że jej pole powierzchni jest równe 1152π cm Oblicz objętość kuli wiedząc że jej pole powierzchni jest równe 972π cm Objętość ostrosłupa prawidłowego trójkątnego jest równa Długość krawędzi podstawy ostrosłupa jest równa 6 (zobacz rysunek). Oblicz pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa Oblicz cosinus kąta między ścianą boczną i płaszczyzną podstawy ostrosłupa prawidłowego trójkątnego, jeżeli wiadomo, że promień okręgu opisanego na podstawie, wysokość ostrosłupa i krawędź boczna tworzą trójkąt równoramienny Oblicz cosinus kąta między krawędzią boczną i krawędzią podstawy ostrosłupa prawidłowego trójkątnego wiedząc, że promień okręgu opisanego na podstawie, wysokość ostrosłupa i krawędź boczna tworzą trójkąt równoramienny Krawędź podstawy graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego ma długość #. Przekątne sąsiednich ścian bocznych poprowadzone z tego samego wierzchołka są prostopadłe. Oblicz objętość tego graniastosłupa Wysokość czworościanu foremnego ma długość 6 3. Oblicz jego objętość i pole powierzchni całkowitej Wysokość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego tworzy ze ścianą boczną kąt o mierze 60. Pole powierzchni bocznej ostrosłupa jest równe 72 3 cm 2. Oblicz objętość ostrosłupa Kąt rozwarcia stożka jest równy 60. Promień podstawy stożka ma długość 4. Oblicz pole powierzchni bocznej stożka Przekątna prostopadłościanu ma długość 5 i tworzy z dwoma ścianami prostopadłościanu kąty i B takie, że cos = " i cos B = 2. Oblicz objętość tego prostopadłościanu Przekątna graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego ma długość 4 6 i jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 45. Oblicz objętość tego graniastosłupa Stosunek pola powierzchni bocznej stożka do pola jego powierzchni całkowitej jest równy. Wyznacz miarę kąta nachylenia tworzącej stożka do płaszczyzny podstawy. " Trójkąt o bokach długości 5, 8 i 9 obraca się dookoła najdłuższego boku. Oblicz objętość powstałej bryły Trójkąt o bokach długości 17, 28 i 33 obraca się dookoła najdłuższego boku. Oblicz objętość powstałej bryły Trójkąt o bokach długości 3, 5 i 7 obraca się dookoła najdłuższego boku. Oblicz objętość powstałej bryły Pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu jest równe 198. Stosunki długości krawędzi prostopadłościanu wychodzących z tego samego wierzchołka prostopadłościanu to 1 : 2 : 3. Oblicz długość przekątnej tego prostopadłościanu Oblicz wysokość i objętość ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego o krawędzi podstawy 4 cm i krawędzi bocznej 10 cm Podstawą ostrosłupa jest prostokąt o polu 96 cm 2. Stosunek długości boków tego prostokąta wynosi 2:3. Krawędzie boczne ostrosłupa są nachylone do płaszczyzny podstawy pod kątem 60. Oblicz pole powierzchni całkowitej bryły.

13 215. Podstawą ostrosłupa jest kwadrat. Punkt jest środkiem krawędzi, odcinek jest wysokością ostrosłupa. Oblicz objętość ostrosłupa, jeśli wiadomo, że = 15, = W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym krawędzie boczne są dwa razy dłuższe od krawędzi podstawy. a) Wyznacz sinus kąta nachylenia ściany bocznej ostrosłupa do płaszczyzny jego podstawy. b) Wyznacz długość krawędzi podstawy, tak aby objętość ostrosłupa wynosiła " Można przyjąć, że piramida Cheopsa jest ostrosłupem prawidłowym czworokątnym o krawędzi podstawy 233 m. Długość cienia piramidy w momencie, gdy promienie słoneczne padają prostopadle do jednej ze ścian wynosi 67,5 m. Wyznacz wysokość piramidy Oblicz objętość i pole powierzchni bocznej ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego o krawędzi podstawy 2 cm i krawędzi bocznej 6 cm Wysokość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa 8. Krawędź boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 40. Oblicz objętość tego ostrosłupa Wysokość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa 6. Krawędź boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 30. Oblicz objętość tego ostrosłupa W prostopadłościanie poprowadzono z jednego wierzchołka przekątne ścian bocznych, obie o długości 4. Wiedząc, że kąt między tymi przekątnymi ma miarę 60, oblicz pole powierzchni tego prostopadłościanu Podstawą ostrosłupa jest trójkąt. Krawędź jest wysokością ostrosłupa (zobacz rysunek). Oblicz objętość ostrosłupa, jeśli wiadomo, że = 8, = = 14 oraz pole podstawy jest równe Ołowianą kulę o średnicy 60 cm przetopiono na walce o wysokości i promieniu podstawy równych 2 cm. Ile takich walców otrzymano? Ołowianą kulę o średnicy 90 cm przetopiono na walce o wysokości i promieniu podstawy równych 3 cm. Ile takich walców otrzymano? Drewnianą kulę o promieniu 5 cm pocięto na 5 części w ten sposób, że płaszczyzny cięcia są prostopadłe do ustalonej średnicy tej kuli, oraz podzieliły tę średnicę na 5 równych odcinków. Oblicz pola powierzchni otrzymanych przekrojów kołowych Do naczynia w kształcie walca wypełnionego wodą do wysokości 7 cm włożono metalową kulkę o promieniu 3 cm. Poziom wody podniósł się o 1 cm i zrównał się z górną podstawą walca. Oblicz objętość naczynia. Przyjmując ( 3,14, wynik podaj z dokładnością do 1 cm Pole powierzchni bocznej ostrosłupa prawidłowego trójkątnego równa się C D. 2, gdzie # oznacza długość krawędzi podstawy tego ostrosłupa. Zaznacz na poniższym rysunku kąt nachylenia ściany bocznej ostrosłupa do płaszczyzny jego podstawy. Miarę tego kąta oznacz symbolem B. Oblicz cos B i korzystając z tablic funkcji trygonometrycznych i odczytaj przybliżoną wartość B z dokładnością do Wysokość prostopadłościanu o podstawie kwadratowej jest dwa razy dłuższa od krawędzi podstawy. Objętość prostopadłościanu jest równa 6 3. Wyznacz pole powierzchni całkowitej tego prostopadłościanu Podstawą ostrosłupa jest romb. Wysokość ostrosłupa ma długość 12 3 cm, a spodek E tej wysokości jest punktem przecięcia przekątnych. Każda ze ścian bocznych ostrosłupa tworzy z płaszczyzną podstawy kąt o mierze 60. a) Zaznacz na rysunku kąt nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy ostrosłupa oraz poprowadź odcinek E3, którego długość jest równa odległości punktu E od ściany bocznej. b) Oblicz odległość punktu E od ściany bocznej Graniastosłup prawidłowy czworokątny o krawędzi 4 cm i wysokości 3 cm przecięto płaszczyzną, która zawiera przekątne przeciwległych ścian bocznych. Jakie pole ma ten przekrój?