MATURA Przygotowanie do matury z matematyki

Transkrypt

1 MATURA 01 Przygotowanie do matury z matematyki Część IX: Stereometria ROZWIĄZANIA Powtórka jest organizowana przez redaktorów portalu MatmaNa.pl we współpracy z dziennikarzami Gazety Lubuskiej.

2 Witaj, dzisiaj możesz sprawdzić swoje rozwiązania zadań ze stereometrii. Jeżeli coś jest niejasne to zapraszamy na znajdziesz tam wyjaśnienia wszystkich wymaganych zagadnień wraz z ćwiczeniami interaktywnymi. Ostatnia części powtórki już w najbliższy poniedziałek na Powodzenia, Redaktorzy portalu MatmaNa.pl Dziennikarze Gazety Lubuskiej Powtórka maturalna > Część IX: Stereometria /14

3 Zadanie 1: Stereometria Jeżeli suma wszystkich krawędzi sześcianu wynosi 4 cm, to jego objętość jest równa: a 4 cm b 1 cm c 8 cm d 4 cm Prawidłowa odpowiedź: c) Niech a oznacza długość jednej krawędzi sześcianu. Suma długości wszystkich dwunastu krawędzi sześcianu wynosi 4 cm, stąd otrzymujemy: Obliczamy objętość. Zadanie : 1 a=4, a=. V =a = =8 [cm ] Przekątna prostopadłościanu o wymiarach 8 10 wynosi: a 10 b 10 c 10 d 100 Powtórka maturalna > Część IX: Stereometria /14

4 Prawidłowa odpowiedź: b) Obliczamy długość przekątnej podstawy. AC = AB BC Ponieważ AC 0, to AC =10. AC =8 =100 Obliczamy długość przekątnej prostopadłościanu. d = AC CD Ponieważ d 0, to d =10 10 =00 d= 00=10. Zadanie : Jeżeli pole powierzchni kuli jest równe 4, to ile wynosi jej objętość? a 4 b 1 c 8 d Prawidłowa odpowiedź: a) P P =4 R 4 =4 R Powtórka maturalna > Część IX: Stereometria 4/14

5 R =1 Ponieważ R 0, to otrzymujemy R=1. V = 4 R V = 4 1 = 4 Zadanie 4: W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym kąt nachylenia krawędzi bocznej do podstawy wynosi 0. Jeżeli krawędź podstawy ma długość a, to objętość ostrosłupa wynosi: a a b a 18 c a d a Prawidłowa odpowiedź: d) OC = a tg = h OC h=tg0 a = a = a V = 1 P h=1 p a a = a Powtórka maturalna > Część IX: Stereometria 5/14

6 Zadanie 5: Pole podstawy walca wynosi, a jego wysokość 10. Pole powierzchni bocznej tego walca wynosi: a b 10 c 00 d 0 Prawidłowa odpowiedź: b) P p = r = r r = Ponieważ, r 0, to otrzymujemy r=. Obliczamy pole boczne walca. P b = r H= 10=10 Zadanie : Objętość stożka wynosi 7, a długość jego wysokości to. Oblicz kąt nachylenia tworzącej tego stożka do płaszczyzny podstawy. Niech oznacza kąt nachylenia tworzącej stożka do płaszczyzny podstawy. Wtedy prawdziwa jest zależność: tg = H r Obliczamy długość promienia podstawy stożka. V = 1 r H Powtórka maturalna > Część IX: Stereometria /14

7 Ponieważ r 0, to r= 7=. 7 = 1 r r =7 tg = = =0 Zadanie 7: Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny. Wszystkie krawędzie tego ostrosłupa mają taką samą długość. Oblicz długość krawędzi tego ostrosłupa, jeżeli jego objętość 4 wynosi cm. Odcinek CE jest połową przekątnej stąd długość tego odcinka wynosi CE = a Z Twierdzenia Pitagorasa obliczamy długość wysokości ostrosłupa. h CE = CS h = CS CE. Powtórka maturalna > Część IX: Stereometria 7/14

8 h =a a =a a 4 = a Ponieważ h 0, to otrzymujemy h= a. Korzystając z danej objętości ostrosłupa, obliczamy długość krawędzi. V = 1 a a = a Długość krawędzi ostrosłupa to cm. 4 =a a =8 a= [cm] Zadanie 8: Wykaż, że jeżeli a jest długością krawędzi czworościanu foremnego, to V = a 1. Podstawą czworościanu foremnego jest trójkąt równoboczny, stąd pole podstawy wynosi a 4. Pozostaje obliczyć wysokość czworościanu. Powtórka maturalna > Część IX: Stereometria 8/14

9 Długość odcinka CD, to wysokości trójkąta będącego w podstawie. Stąd CD = a =a Korzystając z Twierdzenia Pitagorasa, obliczamy wysokość czworościanu. h =a CD h = CS h = CS CD a =a a = a Ponieważ h 0, to otrzymujemy h= a. Obliczamy objętość czworościanu. V = 1 P h=1 p a 4 a =a 1 Zadanie 9: Powierzchnia boczna stożka po rozwinięciu jest wycinkiem koła o promieniu R i kącie α. Oblicz objętość tego stożka. Powtórka maturalna > Część IX: Stereometria 9/14

10 Długość łuku AB wynosi d= R= R i jest to także obwód koła będącego podstawą stożka. Niech r oznacza długość promienia podstawy stożka. Obliczamy długość promienia podstawy: r= R r= R Aby obliczyć objętość stożka, musimy znać długość wysokości tego stożka. Skorzystamy z Twierdzenia Pitagorasa: Obliczamy objętość stożka. H= R r = R H r =R R 4 =R 1 4 V = 1 r H= 1 R 4 R R = 1 4 Powtórka maturalna > Część IX: Stereometria 10/14

11 Zadanie 10: Dany jest ostrosłup prawidłowy trójkątny jak na rysunku. Wiedząc, że objętość tego ostrosłupa wynosi 8 i tg = oblicz: a) długość krawędzi postawy, b) wysokość, c) kąt nachylenia ściany bocznej do podstawy. a) długość krawędzi postawy Oznaczmy długość krawędzi podstawy przez a. Podstawą tego ostrosłupa jest trójkąt równoboczny, zatem jego pole wynosi: Powtórka maturalna > Część IX: Stereometria 11/14

12 P p = a 4 Długość odcinka CE, to h, gdzie h jest długością wysokości trójkąta równobocznego będącego w podstawie. Wysokość trójkąta równobocznego o boku a długości a, to, dlatego: CE = a =a Z treści zadania wiemy, że tg =, czyli: tg = H CE = H= CE = a =a Obliczamy objętość ostrosłupa. b) obliczamy wysokość V = 1 a 4 a =a 7 a 7 =8 a = 8 7 a =19 a=4 H= a = 4 = c) obliczamy kąt nachylenia ściany bocznej do podstawy tg = H DE Powtórka maturalna > Część IX: Stereometria 1/14

13 DE = 1 h=1 a =a DE = 4 = tg = H DE = = =0 Powtórka maturalna > Część IX: Stereometria 1/14

14 Kolejne zadania do powtórek będą dostępne w poniedziałek pod adresem Szczegółowe wyjaśnienia zagadnień z działu liczby rzeczywiste, które pomogą Ci w rozwiązaniu powyższych zadań znajdziesz na stronie Wszelkie uwagi, komentarze na temat powtórki maturalnej można kierować na adres powtorka@matmana.pl. Redaktorzy MatmaNa.pl prowadzą: Powtórka maturalna > Część IX: Stereometria 14/14