WOJEWÓDZKI KONKURS MATEMATYCZNY dla uczniów gimnazjów i oddziałów gimnazjalnych województwa pomorskiego w roku szkolnym 2017/2018

Transkrypt

1 WOJEWÓDZKI KONKURS MATEMATYCZNY dla uczniów gimnazjów i oddziałów gimnazjalnych województwa pomorskiego w roku szkolnym 017/018 etap wojewódzki Kryteria oceniania Zad.1.(0 3) Michał, Romek, Staszek, Tomek i Agnieszka poszli do lasu na grzyby. Ale naprawdę zbierała tylko Agnieszka, chłopcom nie chciało się trudzić. Wracając do domu, Agnieszka wszystkie znalezione grzyby miała ich 4 rozdzieliła pomiędzy chłopców. W drodze powrotnej Michał znalazł jeszcze dwa grzyby, Romek dwa zgubił, Staszek znalazł aż połowę tej ilości grzybów, którą miał w koszyku, za to Tomek zgubił połowę swoich grzybów. Po powrocie do domu dzieci przeliczyły swoje grzyby i okazało się, że każdy ma jednakową ich ilość. Ile grzybów każdy z chłopców dostał od Agnieszki? Agnieszka 4 grzyby rozdzieliła na chłopców kolejno: Michał otrzymał a grzybów, Romek b, Staszek c, Tomek d. Po powrocie do domu chłopcy mieli: Michał = a +, Romek = b, Staszek = 1,5 c, Tomek = 0,5d. Każdy miał tę samą liczbę grzybów, zatem np.: a + = b stąd a = b 4 1,5 c = 0,5d stąd d = 3c, b 4 = 0,5d czyli b = 0,5d + a + = 0,5d stąd a = 0,5d Do równości: a + b + c + d = 4 podstawiamy otrzymane związki i otrzymamy równanie: 0,5d + 0,5d d + d = 4 którego rozwiązaniem jest liczba d = Podstawiając, otrzymujemy: a = 7, b = 11, c = 6. Odp. Michał otrzymał od Agnieszki 7 grzybów, Romek 11, Staszek 6, Tomek pkt. za uzależnienie początkowej liczby grzybów każdego dziecka od jednej zmiennej 1 pkt. za zapisanie równania z jedną niewiadomą 1 pkt. za obliczenie liczb grzybów jaką otrzymał każdy z chłopców

2 Zad..(0 3) Objętość prawidłowego ostrosłupa sześciokątnego jest równa 6. Krawędź podstawy ma długość 1. Oblicz długość krawędzi bocznej tego ostrosłupa. P p = 6 a 3 4 = = 3 3 V = 1 P 3 p H, więc 6 = 3 H, czyli H = 4 3 H + a = b, więc b = (4 3) + 1 = 49 = 7. 1 pkt. za obliczenie pola podstawy P p = pkt. za obliczenie wysokości ostrosłupa H = pkt. za obliczenie długości krawędzi bocznej b = 7

3 Zad.3.(0 3) Pole podstawy stożka jest równe 9π, a jego powierzchnia całkowita wynosi 4π. Wyznacz objętość tego stożka. P p = πr πr = 9π, więc r = 3 P c = πr + πrl, więc 4π = 9π + 3πl, czyli l = 5. H + r = l, zatem: H + 9 = 5, czyli H = 4. V = 1 3 πr H = 1 9π 4 = 1π. 3 1 pkt. za obliczenie promienia stożka ( r = 3) i tworzącej stożka (l = 5) 1 pkt. za obliczenie wysokości stożka (H = 4) 1 pkt. za obliczenie objętości stożka V = 1 3

4 Zad.4.(0 ) Wiedząc, że a i b są długościami boków kwadratów przedstawionych na rysunku, wyznacz wartość ilorazu a b. Promień okręgu opisanego na kwadracie o boku a ma długość R = a. Promień okręgu wpisanego w kwadrat o boku b ma długość r = b. Ponieważ R = r, to a = b, czyli a b = 1 =. 1 pkt. za uzależnienie promienia okręgu od długości boków kwadratów: r = a 1 pkt. za podanie stosunku długości boków kwadratów: a b = 1 = i r = b 4

5 Zad.5.(0 3) W ciągu trzech lat wiek czterech członków pewnej rodziny wzrósł odpowiednio o 6%; 7,5%; 15% i 0%. Oblicz, o ile procent wzrosła średnia wieku tych czterech osób. I osoba ma x lat, czyli 6% x = 3, zatem x = 50 II osoba ma y lat, czyli 7,5% y = 3, zatem y = 40 III osoba ma z lat, czyli 15% z = 3, zatem z = 0 IV osoba ma w lat, czyli 0% w = 3, zatem w = 15 Łączny wiek wszystkich członków rodziny wynosił 15 lat, a zatem średnia ich wieku wynosiła 31,5 lat. Po trzech latach łączny wiek wyniósł 137 lat (15 + 1), a średnia ich wieku wyniosła 34,5 lat. Różnica średnich wieku jest równa 3 (34,5 31,5). Obliczamy, jakim procentem liczby 31,5 jest liczba 3: 31,5 to 100% 3 to 3 100% 31,5 = 9,6%, co oznacza, ze średnia wieku tych osób wzrosła o 9,6%. 1 pkt. za obliczenie wieku każdego członka rodziny 1 pkt. za obliczenie średniej wieku tych czterech osób po 3 latach (34,5) 1 pkt. za obliczenie o ile procent wzrosła średnia wieku tych czterech osób (o 9,6%). 5

6 Zad.6.(0 4) Dane są cztery miejscowości X, Y, W, Z leżące w wierzchołkach kwadratu Postanowiono wybudować między nimi sieć dróg łączących je. W tym celu sporządzono dwa projekty, zaprezentowane na rysunkach. Sprawdź, który z nich zawiera krótszą sieć dróg. Uzasadnij swoją odpowiedź. Projekt I: Suma długości sieci dróg: XW + YZ = a + a = a. Projekt II: Korzystamy z własności trójkąta prostokątnego o kątach wewnętrznych: 30, 60, 90. Suma długości sieci dróg: (a x) + 4 x = a + 6x = = a + a 3 = a(1 + 3). Jeśli dokonamy przybliżenia długości otrzymanych dróg, mamy: a 1,41a =,8a oraz a(1 + 3) a (1 + 1,73) =,73a Zatem: a > a(1 + 3). Projekt II zawiera krótszą sieć dróg. 1 pkt. za wyznaczenie długości sieci dróg z projektu I ( a) 1 pkt. za zastosowanie własności trójkąta prostokątnego i właściwe opisanie jego boków odcinkami 1 pkt. za wyznaczenie długości sieci dróg z projektu II: a(1 + 3) 1 pkt. za właściwe porównanie a > a(1 + 3) z uzasadnieniem 6

7 Zad.7.(0 4) Dane są dwa okręgi zewnętrznie styczne i prosta k styczna zewnętrznie do obu tych okręgów. Wykaż, że otrzymane w ten sposób punkty styczności są wierzchołkami trójkąta prostokątnego. Okręgi są styczne zewnętrznie, zatem S 1 S = r + R. Trójkąty ABS 1 i ACS są równoramienne, więc mają po dwa równe kąty wewnętrzne. Trzeci z kątów w tych trójkątach ma odpowiednio miarę 180 α i 180 β. Promienie okręgów są prostopadłe do prostej w punktach styczności B i C, zatem odcinki BS 1 i CS są równoległe. Czworokąt BCS S 1 jest trapezem, zatem suma miar kątów leżących przy jednym ramieniu jest równa 180. Czyli: (180 α) + (180 β) = 180. Wynika stąd, że α + β = 90. Kąty α, γ, β tworzą kąt półpełny. Zatem α + γ + β = 180, więc γ = = pkt. za wykonanie ilustracji do zadania pokazującej trapez prostokątny, którego wierzchołkami są środki okręgów i ich punkty styczności z prostą 1 pkt. za zauważenie dwóch par trójkątów równoramiennych i opisanie kątów tych trójkątów jako: α, α, (180 α) oraz β, β, (180 β) 1 pkt. za ułożenie równania prowadzącego do wniosku, że α + β = 90 1 pkt. za wykazanie, że trójkąt ABC ma przy wierzchołku A będącym punktem styczności okręgów kąt 90 7

8 Zad.8.(0 3) Prosta przecięła kwadrat w taki sposób, że podzieliła obwód kwadratu w stosunku 9 : 7, a dwa boki kwadratu w stosunku 7 : 1 i 5 : 3. W jakim stosunku prosta ta podzieliła pole kwadratu? I przypadek: Obwód kwadratu jest tu podzielony w stosunku: II przypadek: 7 8 a+5 8 a+a 1 8 a+a+3 8 a = 0 8 a 1 8 a = 5 3. Obwód kwadratu jest tu podzielony w stosunku: 18 8 a 14 8 a = 9 7. P ABFE = (1 8 a a) a = 3 8 a P EFCD = (3 8 a a) a = 5 8 a Pole kwadratu jest podzielone w stosunku: 3 5 Proponowana punktacja: 1 pkt. za uzasadnienie, który podział zachowuje stosunek pól części kwadratu pkt. za wyznaczenie pól części kwadratu 3 8 a i 5 8 a, gdzie a to bok kwadratu 1 pkt. za wyznaczenie stosunku pól czworokątów ( 3 5 lub 5 3) 8