POLTECHNKA ŚLĄSKA WYDZAŁ CHEMCZNY KATEDRA FZYKOCHEM TECHNOLOG POLMERÓW LABORATORUM Z FZYK Wyznaczanie momentów bezwładności brył sztywnych metodą zawieszenia trójnitkowego
WYZNACZANE MOMENTÓW BEZWŁADNOŚC BRYŁ SZTYWNYCH Wyznaczanie momentów bezwładności brył sztywnych metodą zawieszenia trójnitkowego. Wprowadzenie Rozpatrzmy obracającą się bryłę sztywną, np. koło obracające się wokół osi przechodzącej przez jego środek. MoŜemy potraktowac koło, jako obiekt, który składa się z wielu cząsteczek umieszczonych w róŝnych odległościach R, R,... R n od jego osi obrotu. Moment bezwładności bryły mierzy siłę z jaką obiekt przeciwstawia się zmianom prędkości obrotowej i jest określony równaniem: = R mi Ri = mr + m +...[kg m ] (.) Suma m R i jest sumą iloczynów mas cząstek i kwadratów ich odległości do osi obrotu. Jak wynika z równania (.) moment bezwładności bryły zaleŝy nie tylko od jego masy ale równieŝ od tego jak rozłoŝona jest jego masa względem osi obrotu. Na przykład cylinder o duŝej średnicy będzie miał większy moment bezwładności niŝ walec o tej samej masie lecz mniejszej średnicy wynika to z tego, Ŝe cząstki bardziej oddalone muszą podlegać większym zmianom prędkości stycznej przy zadanej zmianie prędkości kątowej. Moment bezwładności danego obiektu jest róŝny dla róŝnych osi obrotu. Wiele brył sztywnych moŝe być rozpatrywanych jako obiekty o ciągłym rozkładzie masy. W takim przypadku moment bezwładności otrzymujemy z wyraŝenia: = R dm gdzie dm odpowiada infinitezymalnie małym częściom ciała a R jest odległością prostopadłą do osi obrotu. Całkowanie wykonuje się po całej objętości (zazwyczaj jest to całka podwójna lub potrójna). (.). Część doświadczalna Bryłę o masie m, której moment bezwładności względem osi (głównej, centralnej) pragniemy wyznaczyć, kładziemy na poziomej, jednorodnej tarczy kołowej o promieniu R, zawieszonej na trzech pionowych niciach. Nici mają jednakową długość l i są przymocowane do tarczy w równych odległościach R od jej środka O w wierzchołkach trójkąta równobocznego. Oś główna bezwładności bryły powinna pokrywać się z osią tarczy OO (rys. ).
WYZNACZANE MOMENTÓW BEZWŁADNOŚC BRYŁ SZTYWNYCH 3 Rys.. Przyrząd do wyznaczania momentów bezwładności JeŜeli obrócimy tarczę o niewielki (kilka stopni) kąt φ, to punkt C zajmie połoŝenie D, a środek cięŝkości zawieszonych mas podniesie się o niewielki odcinek z. JeŜeli teraz puścimy tarczę, będzie ona wykonywać drgania o okresie: T R + m + m = π = C (.3) l g + m + m gdzie: m - masa tarczy - moment bezwładności pustej tarczy Wzór ten wynika bezpośrednio z zapisania drugiego prawa Newtona ruchu obrotowego dla układu tarczy. Gdy obrócimy tarczę o pewien kąt φ, nitki odchylą się od pionu w przybliŝeniu o kąt β=φr/l. Na odchylone nitki działa siła grawitacji pochodząca od tarczy i badanego ciała. Siła ta wyznacza składową pionową napręŝenia nici. Dla małych wychyleń, składowa ta jest prawie równa całkowitemu napręŝeniu nici. Z kolei składowa pozioma napręŝenia równa jest napręŝeniu, przemnoŝonemu przez sinβ. Stąd, drugie prawo Newtona dla tego układu to
WYZNACZANE MOMENTÓW BEZWŁADNOŚC BRYŁ SZTYWNYCH 4 ε = Rmg sin β ε Rmgβ R ε Rmg ϕ l d ϕ m g R ϕ dt l Ostatnie równanie jest równaniem oscylatora harmonicznego względem φ. W równaniu takim, współczynnik stojący przy -φ po prawej stronie to kwadrat częstości kolowej ω. Wobec tego, ω = π T = R π T M m g = R l l g Dla znanych wartości R i l moŝemy obliczyć stałą π l C =, a następnie moment R g bezwładności pustej tarczy z równania: mr = (.4) Następnie mierząc T wyliczamy ze wzoru (.3). Wyznaczamy moment bezwładności drewnianego prostopadłościanu względem jednej z głównych, centralnych osi bezwładności i porównujemy wielkość otrzymaną z wielkością obliczoną na podstawie pomiarów długości krawędzi i masy (rys..). Rys.. Prostopadłościan z wymiarami potrzebnymi do obliczenia momentu bezwładności Moment bezwładności jednorodnego prostopadłościanu (rys..) o masie m względem osi OO prostopadłej do krawędzi W i L wynosi:
WYZNACZANE MOMENTÓW BEZWŁADNOŚC BRYŁ SZTYWNYCH 5 ( W ) = m L + (.5 Analogicznie naleŝy policzyć moment bezwładności dla stalowego prostopadłościanu oraz drewnianego krąŝka (rys..3) Moment bezwładności walca o promieniu r jest równy: mr = (.6) Rys. 3Walec z wymiarami potrzebnymi do obliczenia momentu bezwładności Pomiary okresu T naleŝy przeprowadzić sześć razy dla kaŝdego rodzaju bryły sztywnej. Dane naleŝy umieścić w tabeli..3 Wyniki, obliczenia i analiza błędów Dla danych zebranych w tabeli. obliczamy średnie wartości pomiaru i błąd metodą róŝniczki zupełnej. Tabela. Typ ciała (np. metalowy walec, drewniany walec, metalowy prostopadłościan) Czas [s] Okres T [s] T = (.7) n n T i i=
WYZNACZANE MOMENTÓW BEZWŁADNOŚC BRYŁ SZTYWNYCH 6 Po obliczeniu z równania (.3) naleŝy obliczyc niepewność pomiaru złoŝonego z wzoru: d = dt + dl + dr + dr (.8) T dl dr R Końcowy wynik naleŝy podac w postaci: = ± d (.9) Porównaj moment bezwładności uzyskanego z danych eksperymentalnych z wielkością obliczoną na podstawie pomiarów długości krawędzi i masy..4 Pytania. PokaŜ, Ŝe moment bezwładności jednorodnej tulei (wydrąŝonego walca) o wewnętrznym promieniu R, zewnętrznym promieniu R i masie M jest równe M ( R + R ) = przy załoŝeniu, Ŝe oś obrotu pokrywa się z osią symetrii.. Na czym polega zasada zachowania momentu pędu? 3. Wyprowadź i wyjaśnij pojęcie energii kinetycznej w ruchu obrotowym. 4. Zdefiniuj moment siły. Gdzie moŝemy wykorzystać moment siły? 5. Wyprowadź wzór na pracę i moc dla ciała obracającego się wokół ustalonej osi. 6. Omów miary bezwładności w ruchu postępowym i obrotowym. 7. Wyprowadź i omów równanie oscylatora harmonicznego względem φ 8. Podaj i omów twierdzenie Steinera. 9. Co to jest bryła sztywna?. Omów podstawowe prawa dynamiki bryły sztywnej..5 Literatura. S.Szczeniowski, Fizyka Doświadczalna, Część, Mechanika i Akustyka,PWN, Warszawa, 98. J.Orear, Fizyka, Tom, PWN Warszawa 98 3. R.Resnick, D.Halliday, Fizyka, PWN, Warszawa,98 4. H.Szydłowski, Pracownia fizyczna, PWN, Warszawa, 994 5. Douglas C.Giancoli, Physics for Scientist & Engineers,Prentice Hall,