Przykładowy zestaw zadań nr z matematyki ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR POZIOM PODSTAWOWY Nr zadania Nr czynności Etapy rozwiązania zadania Liczba punktów Uwagi. Podanie dziedziny funkcji f: 6, 8.. Podanie wszystkich miejsc zerowych funkcji f: x =, x =, x = 6.. Podanie wartości funkcji f dla argumentu x = : f ( ) =.. Podanie zbioru wartości funkcji f:, 6.. Podanie przedziału o długości, w którym funkcja f jest rosnąca:, 8..6. Zapisanie zbioru wszystkich argumentów, dla których funkcja f przyjmuje x,, 6. wartości ujemne: ( ) ( ) Zapisanie, że pierwsza współrzędna wierzchołka paraboli będącej wykresem funkcji f jest równa i należy do przedziału 0,.. Obliczenie najmniejszej wartości funkcji f w przedziale 0, : f ( ) = 0.. Obliczenie największej wartości funkcji f w przedziale 0, : f ( ) = 9.. Przekształcenie lewej strony nierówności do postaci iloczynowej ( x) ( x) 0 i podanie miejsc zerowych: x = lub x =, (albo wyznaczenie pierwiastków trójmianu y = x x+ ).. Zapisanie zbioru rozwiązań nierówności: (,, ).. Zapisanie układu równań wynikających z treści zadania: x+ y = x y =. +. Rozwiązanie układu równań: x = i y =.. Obliczenie iloczynu szukanych liczb: x y =. Przyznajemy punkt, gdy zdający zapisze x w =.
Przykładowy zestaw zadań nr z matematyki II sposób rozwiązania:. x+ y = Zapisanie układu równań wynikających z treści zadania:. x y = Podniesienie stron każdego z równań do kwadratu i zapisanie układu:. x + xy+ y =. x xy+ y =. Obliczenie iloczynu szukanych liczb: x y =.. Zapisanie równania prostej AB: x y+ = 0.. Obliczenie odległości punktu C od prostej AB:. Zapisanie warunku, przy którym punkt D leży na prostej AB:. m + = 0 stąd m = 0........6 ( ) Stwierdzenie i zapisanie, że dla m 0 punkty A, B i D są wierzchołkami trójkąta. Wykorzystanie definicji pierwiastka wielomianu i zapisanie warunku: + d = 0. Obliczenie wartości współczynnika d, gdy liczba jest pierwiastkiem wielomianu: d =. Zapisanie wielomianu Q dla d = w postaci sumy iloczynów, z których Q x = x + x x+. będzie wynikał wspólny czynnik: ( ) ( ) ( ) Zastosowanie wzoru skróconego mnożenia na sumę sześcianów i zapisanie Q x = x+ x x+ x x+. wielomianu Q w postaci: ( ) ( )( ) ( ) Zapisanie wielomianu Q w postaci iloczynu dwóch wielomianów: Q x = x+ x x+. ( ) ( )( ) Zapisanie wielomianu Q w postaci iloczynu trzech wielomianów stopnia pierwszego: Q( x) ( x )( x )( x ) Q x = x+ x x = + lub ( ) ( ) ( ). Wystarczy jeśli zdający Q = 0. zapisze ( )
Przykładowy zestaw zadań nr z matematyki 6 6. 6. Wykorzystanie wzoru na ( różnice kwadratów i zapisanie lewej strony 6 )( 6 + ) nierówności w postaci: x. 6 + Włączenie przed nawias wspólnego czynnika i zapisanie prawej strony 6 6 =. nierówności w postaci: ( ) ( ) 6. Rozwiązanie nierówności: x >.. 6. Zapisanie najmniejszej liczby całkowitej spełniającej daną nierówność: ( ). I sposób rozwiązania: Obliczenie przybliżonej wartości kąta α : α.. Obliczenie przybliżonej wartości kąta: β.. Oszacowanie sumy kątów α i β : α + β > 90.. Stwierdzenie sprzeczności oraz zapisanie wniosku: trójkąt nie jest prostokątny. II sposób rozwiązania:. Obliczenie sin β (na podstawie równości sin β = cosα ): sin β =.. Obliczenie cos β : cos β =.. Obliczenie tgβ : tgβ =. Porównanie uzyskanego wyniku z wartością funkcji tgβ daną w zadaniu. i stwierdzenie sprzeczności oraz zapisanie wniosku: trójkąt nie jest prostokątny. Wystarczy obliczenie przybliżonej wartości sumy tych kątów.
Przykładowy zestaw zadań nr z matematyki III sposób rozwiązania: B β...... C α A Wykorzystanie definicji funkcji cosinus i obliczenie długości przyprostokątnej AC AC : = cosα stąd AC = 8. AB Wykorzystanie definicji funkcji tangens i obliczenie długości przyprostokątnej AC BC : = tgβ stąd BC =. BC Obliczenie sumy kwadratów przyprostokątnych i kwadratu przeciwprostokątnej: AC BC ( ) Uzyskanie sprzeczności + = 8 + = 06, AB = 6. AC + BC AB i zapisanie wniosku: trójkąt nie jest prostokątny. IV sposób rozwiązania: Wykorzystanie definicji funkcji cosinus i obliczenie długości przyprostokątnej AC AC : = cosα stąd AC = 8. AB Zastosowanie twierdzenia Pitagorasa i obliczenie długości przyprostokątnej BC: BC = 6.. Wykorzystanie funkcji tangens i obliczenie tangensa kąta β : tgβ =.. Uzyskanie sprzeczności: tgβ = i z warunków zadania tgβ =..
Przykładowy zestaw zadań nr z matematyki 8 9 8. Zapisanie równania: ( n + ) =. 8. Rozwiązanie równania: n = 0. 8. Zauważenie, że wartości wyrazów a, a, a9, a, a, a, a, są liczbami całkowitymi tworzącymi ciąg arytmetyczny lub obliczenie pierwszego wyrazu ciągu a = i zapisanie, że kolejny składnik szukanej sumy jest większy od poprzedniego o. 8. Obliczenie ostatniego składnika szukanej sumy: a 9 =. 8. Obliczenie liczby wyrazów ciągu, które są liczbami całkowitymi:. a+ a9 + 8.6 Obliczenie sumy : S = = =. 9. Wprowadzenie oznaczeń, np.: r promień podstawy stożka, h wysokość stożka, l tworzącą stożka i zapisanie, że l = oraz przedstawienie metody obliczenia długości promienia podstawy stożka, np. porównanie długości łuku, równego trzeciej części łuku okręgu o promieniu l i obwodu koła w podstawie stożka o promieniu r : πl = π r lub porównanie pola trzeciej części pola koła o promieniu l i pola powierzchni bocznej stożka rl. 9. Wyznaczenie promienia podstawy stożka: r =. 9. Obliczenie wysokości stożka: h =. Wystarczy, że zdający zapisze sumę + + + 0 +... bez jej ostatniego składnika. Obliczenie różnicy ciągu nie jest konieczne. Jeżeli zdający od razu zapisze +, to otrzymuje punkty w czynnościach 8., 8. i 8..
Przykładowy zestaw zadań nr z matematyki 6 0 9. Obliczenie objętości stożka: V = π r h = π = π. Wprowadzenie oznaczeń, np.: a, b długości boków równoległoboku h i wykorzystanie zależności = do zapisania proporcji zachodzącej między 0. h a bokami a oraz b równoległoboku: b = 0. Wyznaczenie długości jednego z boków równoległoboku, np.: b= a. Zapisanie obwodu równoległoboku w zależności od długości jednego z boków, 0. np.: a+ a=. 0. Wyznaczenie długości boków równoległoboku: a =, b = =. 0. II sposób rozwiązania: Wprowadzenie oznaczeń, np.: a, b - długości boków równoległoboku i zapisanie pola równoległoboku na dwa sposoby: a h = b h. 0. b Obliczenie stosunku długości boków równoległoboku: a = 0. a+ b= Zapisanie układu równań z niewiadomymi a i b, np.: b. = a 0. Rozwiązanie układu równań i zapisanie długości boków równoległoboku: a =, b =. Nie oceniamy, czy zdający analizuje zależność między długościami boków równoległoboku.
Przykładowy zestaw zadań nr z matematyki. Zapisanie, że w danym doświadczeniu jest zdarzeń elementarnych.. Zapisanie, że zdarzeń elementarnych sprzyja zdarzeniu A suma wylosowanych liczb jest podzielna przez.. Obliczenie prawdopodobieństwa zdarzenia A: P( A ) = =. II sposób rozwiązania: (metoda drzewa) Narysowanie drzewa: np... Zapisanie prawdopodobieństwa szukanego zdarzenia, jako sumy odpowiednich iloczynów: P( A ) = + + + + + +. P A =.. Obliczenie prawdopodobieństwa zdarzenia A: ( ) Zdający, analizując drugi etap losowania, może uwzględnić tylko istotnie potrzebne gałęzie.