PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

Transkrypt

1 Miejsce na naklejkę z kodem (Wpisuje zdający przed rozpoczęciem pracy) KOD ZDAJĄCEGO PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY Arkusz II 5 LISTOPADA 007 Instrukcja dla zdającego Czas pracy 50 minut. Proszę sprawdzić, czy arkusz egzaminacyjny zawiera stron. Ewentualny brak należy zgłosić przewodniczącemu zespołu nadzorującego egzamin.. Rozwiązania i odpowiedzi należy zapisać czytelnie w miejscu na to przeznaczonym przy każdym zadaniu. 3. Proszę pisać tylko w kolorze niebieskim lub czarnym; nie pisać ołówkiem. 4. W rozwiązaniach zadań trzeba przedstawić tok rozumowania prowadzący do ostatecznego wyniku. 5. Nie wolno używać korektora. 6. Błędne zapisy należy wyraźnie przekreślić. 7. Brudnopis nie będzie oceniany. 8. Obok każdego zadania podana jest maksymalna liczba punktów, którą można uzyskać za jego poprawne rozwiązanie. 9. Podczas egzaminu można korzystać z tablic matematycznych, cyrkla i linijki oraz kalkulatora. Nie można korzystać z kalkulatora graficznego. Życzymy powodzenia! Za rozwiązanie wszystkich zadań można otrzymać łącznie 50 punktów (Wpisuje zdający przed rozpoczęciem pracy) PESEL ZDAJĄCEGO

2 Próbny egzamin maturalny z matematyki Zadanie. (6 pkt) Dana jest funkcja f ( x) = x + x. Znajdź wzór funkcji g ( x) = f ( x ). Wykres otrzymanej funkcji g (x) przekształcono symetrycznie względem początku układu współrzędnych, otrzymując wykres funkcji h (x). Znajdź jej wzór, a następnie wyznacz jej największą i najmniejszą wartość w przedziale, 3. Odpowiedź:...

3 Próbny egzamin maturalny z matematyki 3 Zadanie. (9 pkt) Korzystając z definicji funkcji rosnącej wykaż, że w przedziale (,) rosnąca jest funkcja f ( x) = mx + nx π, gdzie m jest największą liczbą całkowitą spełniającą nierówność 3 x > 4, 5, natomiast n jest rozwiązaniem równania log 4 x log 4 ( x ) = log 4. Odpowiedź:...

4 Próbny egzamin maturalny z matematyki 4 Zadanie 3. (5 pkt) Dla jakich wartości parametru m punkt przecięcia się prostych x y + 5 = 0 oraz x + y 5m = 0 należy do okręgu o równaniu ( x + ) + ( y ) = 5? Odpowiedź:...

5 Próbny egzamin maturalny z matematyki 5 Zadanie 4. (9 pkt ) W sześciokąt foremny o boku długości a wpisujemy drugi sześciokąt foremny w taki sposób, że wierzchołki drugiego sześciokąta są jednocześnie środkami boków pierwszego sześciokąta. Czynność powtarzamy budując figurę, w której środki boków n - tego sześciokąta są wierzchołkami ( n +) sześciokąta. Oblicz różnicę pola pierwszego sześciokąta i sumy pól pozostałych. Wykonaj rysunek interpretacyjny do zadania. Odpowiedź:...

6 Próbny egzamin maturalny z matematyki 6 Zadanie 5. (4 pkt) Punkt wewnętrzny P trójkąta ABC przekształcono symetrycznie względem środków boków AB, BC i AC otrzymując w ten sposób odpowiednie punkty P, P oraz P 3. Wykaż, że trójkąty ABC i P P P3 mają równe obwody.

7 Próbny egzamin maturalny z matematyki 7 Zadanie 6. (8 pkt ) Oblicz sinus kąta nachylenia przekątnej ściany bocznej graniastosłupa prawidłowego trójkątnego do sąsiedniej ściany bocznej jeśli wiadomo, że pole podstawy tego graniastosłupa jest połową pola powierzchni bocznej tego graniastosłupa. Odpowiedź:...

8 Próbny egzamin maturalny z matematyki 8 Zadanie 7. (6 pkt ) Opis gry: Poruszamy się po planszy pionkiem, a ilość pól, o które się przesuwamy wyznacza rzut kostką. Celem gry jest przekroczenie linii mety w jak najmniejszej ilości ruchów. Pionek porusza się po prostej tyle pól, ile wyrzucono oczek w wybranym kierunku. Przykładowa strategia wygrywająca: - 5 oczek w lewo - oczko w prawo lub oczka w lewo - 3 oczka lub więcej do góry przekraczamy linię mety (koniec gry) L I N I A M E T Y Przeanalizuj następującą sytuację: L I N I A M E T Y Jakie jest prawdopodobieństwo, że zaczynając grę w zastanej sytuacji można: a) skończyć grę w dwóch ruchach b) skończyć grę w co najwyżej trzech ruchach? Odpowiedź: a)... b)...

9 Próbny egzamin maturalny z matematyki 9 Zadanie 8. (3 pkt ) Korzystając ze wzoru f następujący sposób: Analogicznie przybliż 8. ( 0 / x0 + x) f ( x0 ) + f ( x ) x można przybliżyć 5 w 5 = = 7 + 7, Odpowiedź:...

10 Próbny egzamin maturalny z matematyki 0 BRUDNOPIS

11 Próbny egzamin maturalny z matematyki BRUDNOPIS

12 Próbny egzamin maturalny z matematyki BRUDNOPIS

13 Próbny egzamin maturalny z matematyki 3 Nr zad Etapy rozwiązywania zadania Liczba punktów Podstawienie za argument x do wzoru funkcji f wyrażenia (x-) g ( x) = ( x ) + ( x ) Zapisanie wzoru funkcji g w postaci: g ( x) = x x Wykorzystanie własności przekształcenia wykresu funkcji g względem + początku układu współrzędnych h(x)=-g(-x) i zapisanie wzoru funkcji h w postaci: h ( x) = x x + Obliczenie największej wartości funkcji h: y= Obliczenie najmniejszej wartości funkcji h: y = 3 Rozwiązanie nierówności wykładniczej: x (, ) 4 Wyznaczenie m=- Zapisanie założeń do równania logarytmicznego i wyznaczenie dziedziny tego równania: x (, + ) Rozwiązanie równania wykładniczego i wyznaczenie n= Zapisanie wzoru funkcji f w postaci: f ( x) = x + x π Zapisanie założenia do dowodu: x, x (,) x < x Zapisanie tezy: f ( x) < f ( x ) Wyznaczenie różnicy: f ( x) f ( x ) = x + x + x x Rozłożenie różnicy na czynniki i określenie jej znaku na podstawie założeń: ( x x )( x x + ) < 0, zapisanie wniosku, że funkcja f jest rosnąca Wyznaczenie x = m Wyznaczenie y = m + Podstawienie współrzędnych punktu przecięcia się danych prostych do równania okręgu: ( m + ) + (m + ) = 5 Rozwiązanie otrzymanego równania: m= lub m= - Zapisanie odpowiedzi Wykonanie rysunku a 3 Obliczenie długości boku drugiego sześciokąta a = 3a Obliczenie długości boku trzeciego sześciokąta a 3 = 4 3a 3 Obliczenie pola pierwszego sześciokąta P = 9a 3 Obliczenie pola drugiego sześciokąta P = 8 7a 3 Obliczenie pola trzeciego sześciokąta P 3 = 3 Uzasadnienie, że ciąg pól sześciokątów jest ciągiem geometrycznym, 3 w którym q = 4

14 Próbny egzamin maturalny z matematyki Obliczenie sumy pól wszystkich sześciokątów począwszy od drugiego z wykorzystaniem wzoru na sumę szeregu geometrycznego 9a 3 S = Obliczenie różnicy pola pierwszego sześciokąta i sumy pól pozostałych 3a 3 9a 3 sześciokątów = 3 3a Wykonanie rysunku analiza zadania Wykorzystanie własności, że odcinek łączący środki dwóch boków + trójkąta jest równoległy do boku trzeciego i równy połowie jego długości i zapisanie równości: KL = AC, LM = AB, KM = BC oraz KL = P P, LM = P P3, MK = P P3 Obliczenie obwodu trójkąta P P P 3 Wykonanie rysunku zaznaczenie odpowiedniego kąta α Wykorzystanie informacji, że pole podstawy jest połową pola a 3 powierzchni bocznej i obliczenie wysokości graniastosłupa H = 6 Wykorzystanie odpowiedniego trójkąta prostokątnego i obliczenie + a 3 długości przyprostokątnej leżącej przy kącie α : b = 3 Obliczenie długości przekątnej ściany bocznej: h Zapisanie związku: sin α = d graniastosłupa, d- przekątna ściany bocznej sin α = 3 3 a d = 39 6, gdzie h- wysokość podstawy a)wykonanie schematu drzewa lub inny poprawny sposób analizy zadania Obliczenie prawdopodobieństwa zakończenia gry w dwóch ruchach: 9 + b) Wykonanie schematu drzewa lub inny poprawny sposób analizy zadania Obliczenie prawdopodobieństwa zakończenia gry w co najwyżej trzech 5 ruchach: Zapisanie: 8 = ,3