TERMODYNAMIKA MODELU FALICOVA KIMBALLA SYMULACJE MONTE CARLO

TERMODYNAMIKA MODELU FALICOVA KIMBALLA SYMULACJE MONTE CARLO Katarzyna Czajka, Maciej M. Maśka Zakład Fizyki Teoretycznej, Instytut Fizyki Uniwersytet Ślaski Kazimierz 2005

PLAN Model Falicova-Kimballa Symulacje Monte Carlo Klasyczny algorytm Metropolisa Algorytm Metropolisa dla modelu FK Funkcja korelacyjna Ciepło właściwe i podatność CDW Wyniki dla modelu FK na sieci kwadratowej ρ = 0.5 Identyfikacja przejścia I-go rodzaju Funkcja korelacyjna, ciepło właściwe Rozkłady jonów i elektronów Wyznaczanie gęstości stanów Oddziaływanie NNN ρ 0.5 silne oddziaływanie słabe oddziaływanie Inne wymiki Podsumowanie

MODEL FALICOVA KIMBALLA wędrowne fermiony zlokalizowane (klasyczne) czastki jony oddziaływanie jedynie pomiędzy czastkami wędrownymi i zlokalizowanymi

MODEL FALICOVA KIMBALLA Hamiltonian: H = i,j t ij c i c j + U i n i w i c i (c i) operatory kreacji (anihilacji) elektronu, n i = c i c i liczba obsadzeń i tego węzła, t ij całka przeskoku pomiędzy węzłami i oraz j U oddziaływanie kulombowskie na węźle, w i = {1, 0} w zależności, czy w i tym węźle znajduje się masywna czastka

MODEL FALICOVA KIMBALLA Hamiltonian: H = i,j t ij c i c j + U i n i w i c i (c i) operatory kreacji (anihilacji) elektronu, n i = c i c i liczba obsadzeń i tego węzła, t ij całka przeskoku pomiędzy węzłami i oraz j U oddziaływanie kulombowskie na węźle, w i = {1, 0} w zależności, czy w i tym węźle znajduje się masywna czastka Konfiguracja masywnych czastek minimalizuje: w T = 0 energię stanu podstawowego w T > 0 energię swobodna układu EFEKTY WIELOCIAŁOWE

PRZYKŁADY ZASTOSOWAŃ Przejście półprzewodnik metal w zwiazach ziem rzadkich (m.in. SmB 6 ) [Falicov, Kimball, PRL 22, 997 (1969)]

PRZYKŁADY ZASTOSOWAŃ Przejście półprzewodnik metal w zwiazach ziem rzadkich (m.in. SmB 6 ) [Falicov, Kimball, PRL 22, 997 (1969)] Bezspinowa wersja jako przybliżenie modelu Hubbarda [Hubbard, Proc. R. Soc. London, Ser. A 276, 238 (1963)]

PRZYKŁADY ZASTOSOWAŃ Bezspinowa wersja jako przybliżenie modelu Hubbarda [Hubbard, Proc. R. Soc. London, Ser. A 276, 238 (1963)] Przejście półprzewodnik metal w zwiazach ziem rzadkich (m.in. SmB 6 ) [Falicov, Kimball, PRL 22, 997 (1969)]

PRZYKŁADY ZASTOSOWAŃ Bezspinowa wersja jako przybliżenie modelu Hubbarda [Hubbard, Proc. R. Soc. London, Ser. A 276, 238 (1963)] Przejście półprzewodnik metal w zwiazach ziem rzadkich (m.in. SmB 6 ) [Falicov, Kimball, PRL 22, 997 (1969)] Przejście fazowe α γ w cerze (Ce) [Ramirez, Falicov, PRB 3, 2425 (1971)] Statyczna podatność dla spontanicznej polaryzacji [Subrshmsnym, Barma J.Phys.C 21, L19 (1988)] Uporzadkowanie CDW [van Dongen, Vollhardt, PRL 65, 1663 (1990)] Optyczna przewodność [Moeller, Ruckenstein, PRB 46, 7427 (1992)] Rozwinięcie funkcji spektralnej f [Brandt, Urbanek, Z. Phys. B: Condens. Matter 89, 297 (1992)] Podatność ładunkowa [Freerics, Miller, PRB 62, 10022 (2000)] Zjawisko Ramana [Freerics, Davereaux, Condens. Matter Phys. 4, 149 (2001)] Wiele, wiele innych...

DOKŁADNE WYNIKI Dla U model FK można mapować na model Isinga Dokładne rozwiazanie w przestrzeni nieskończenie wymiarowej Dla symetrycznego przypadku, gdy koncentracja jonów i elektronów wynosi 0.5 w stanie podstawowym jony tworza konfigurację szachownicy, dla każdej wartości oddziaływania kulombowskiego Periodyczne uporzadkowanie oraz separacja fazowa, dla szczególnych wartości koncentacji jonow i elektronów

METODY ANALIZY MODELU MFT [Falicov, Kimball PRL 22,997 (1969), Ramirez PRB 2,3383 (1970)] CPA [Plischke, PRL 28, 361 (1972)] DMFT [Schiller PRB 60, 15660 (1999), Shvaika PRB 67, 075101 (2003)] (dokładne rozwiazanie w d ) DCA [Hettler, Mukherjee, Jarrel PRB 61, 12739 (2000)] Monte Carlo

KLASYCZNY ALGORYTM METROPOLISA Wybierz stan poczatkowy Wybierz węzeł i Obróć spin w węźle i Oblicz różnicę energii E Wybierz liczbę losowa r z przedziału (0, 1) NIE r < e E k B T TAK Powróć do starej konfiguracji Zaakceptuj nowa konfigurację

METODA SYMULACJI a Punktem wyjścia jest suma statystyczna: Z = C Tr e e β(h(c) µn) H(C) Hamiltonian FK dla ustalonej jonowej konfiguracji C C sumowanie po jonowych konfiguracjach Tr e ślad po fermionowych stopniach swobody β = (k B T ) 1 N operator całkowitej liczby elektronów Dla konfiguracji jonów C hamiltonian H(C) jest diagonalizowany numerycznie. Sumę statyczna można wtedy zapisać jako: Z = C n (1 + e β(e n(c) µ) ), gdzie E n (C) jest n-ta wartościa własna hamiltonianu H(C) a M.Maśka, K.Czajka cond-mat/0504533

Wprowadzajac energię swobodna METODA SYMULACJI cd. F e (C) = 1 β suma statystyczna przyjmuje postać n log(1 + e β(e n(c) µ) ) Z = C e βf e(c) Wagi statystyczne można obliczyć ze wzoru: w(c) = 1 Z e βf e(c) MOŻNA STOSOWAĆ KLASYCZNY SCHEMAT METROPOLISA, ZASTEPUJ AC ENERGIE WEWNETRZN A PRZEZ ENERGIE SWOBODNA ELEKTRONÓW

ALGORYTM METROPOLISA DLA MODELU FK Wygeneruj stan poczatkowy Wybierz domieszkę i pusty węzeł Przenieś domieszkę na pusty węzeł Zdiagonalizuj hamiltonian z nowa konfiguracja domieszek Oblicz różnicę en. swobodnej F Wybierz liczbę losowa r z przedziału (0, 1) NIE r < e F k B T TAK Powróć do starej konfiguracji Zaakceptuj nowa konfigurację

WYZNACZNIE FUNKCJI KORELACYJNEJ Funkcja korelacyjna gęstość gęstość dla jonów: g n = 1 4N N i=1 τ 1,τ 2 =±n w(r i )w(r i + τ 1 x + τ 2 y) w(r i ) = w i, 0.5 k B T/t = 0.03 k B T/t = 0.06 g(n) x, y wektory jednostowe wzdłuż osi x i y. 0.4 g n 0.3 0.2 0.1 0.0 0 2 4 6 8 100 2 4 6 8 10 n n

WYZNACZNIE FUNKCJI KORELACYJNEJ Funkcja korelacyjna gęstość gęstość dla jonów: g n = 1 4N N i=1 τ 1,τ 2 =±n w(r i )w(r i + τ 1 x + τ 2 y) w(r i ) = w i, x, y wektory jednostowe wzdłuż osi x i y. g n 0.5 0.4 0.3 k B T/t = 0.03 k B T/t = 0.06 g(n) G(n) 1 0.8 0.6 G n 0.2 0.4 0.1 0.2 Zrenormalizowana funkcja G n : 0.0 0 0 2 4 6 8 100 2 4 6 8 10 n n G n = ( 1) n 4(g n ρ 2 i ) ρ i koncentracja jonów.

CIEPŁO WŁAŚCIWE I PODATNOŚĆ Ciepło właściwe można otrzymać z fluktuacji energii wewnętrznej Podatność CDW C V = E T = E2 E 2 k B T 2 χ = g2 1 g 1 2 k B T... oznacza uśrednianie po konfiguracjach zaakceptowanych w algorytmie Metropolisa.

SIEĆ KWADRATOWA ρ i = ρ e = 0.5 Ciepło właściwe, podatność CDW i funkcja korelacyjna C V, χ [arb. units] U/t = 20 C V χ C V, χ [arb. units] U/t = 1 C V χ G n 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 G 1 G 2 G 4 G 10 0,0 0,00 0,02 0,04 0,06 0,08 0,10 C V, χ [arb. units] U/t = 0.01 C V χ G n 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 G 1 G 2 G 10 0,0 0,00 0,02 0,04 0,06 0,08 C V, χ [arb. units] U/t = 0.001 C V χ G n 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0,0 0,0000 0,0002 0,0004 k B T/t G 1 G 10 G n 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0,0 0,00000 0,00002 0,00004 k B T/t G 1 G 10

SIEĆ KWADRATOWA ρ i = ρ e = 0.5 Identyfikacja przejścia I-go rodzaju U/t = 0.5 k T/t = 0.05 B 0.10 0.08 C v [arb.units] 0.06 0.04 0.02 0.00 G 1 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0 0 0,01 0,02 0,03 0,04 k B T/t 3 k B T/t = 0.050 P(E) 2 1 0-0,7040-0,7020-0,7000-0,6980-0,6960-0,6940 E/t M.Maśka, K.Czajka Physica B 359 (2005)

SIEĆ KWADRATOWA ρ i = ρ e = 0.5 Identyfikacja przejścia I-go rodzaju U/t = 0.5 k BT/t = 0.03 0.10 0.08 C v [arb.units] 0.06 0.04 0.02 0.00 G 1 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0 0 0,01 0,02 0,03 0,04 k B T/t 1 P(E) 0,5 0-0,704-0,702-0,7-0,698-0,696-0,694 E/t M.Maśka, K.Czajka Physica B 359 (2005)

SIEĆ KWADRATOWA ρ i = ρ e = 0.5 Identyfikacja przejścia I-go rodzaju U/t = 0.5 k BT/t = 0.025 0.10 0.08 C v [arb.units] 0.06 0.04 0.02 0.00 1,5 G 1 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0 0 0,01 0,02 0,03 0,04 k B T/t 1,0 P(E) 0,5 0,0-0,704-0,702-0,700-0,698-0,696-0,694 E/t M.Maśka, K.Czajka Physica B 359 (2005)

SIEĆ KWADRATOWA ρ i = ρ e = 0.5 Rozkład jonów i elektronów U/t = 1 k B T/t=0.08 C V [arb. units] U/t = 1 k BT/t = 0.08 0.10 0.08 0.06 0.04 0.02 0.00 G n 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 G 1 G 2 G 10 0,0 0,00 0,02 0,04 0,06 0,08 DOS -5 0 5 ω CZASTKI ZLOKALIZOWANE CZASTKI WEDROWNE

SIEĆ KWADRATOWA ρ i = ρ e = 0.5 Rozkład jonów i elektronów U/t = 1 k B T/t=0.02 C V [arb. units] U/t = 1 k BT/t = 0.02 0.10 0.08 0.06 0.04 0.02 0.00 G n 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 G 1 G 2 G 10 0,0 0,00 0,02 0,04 0,06 0,08 DOS 5 0 5 ω CZASTKI ZLOKALIZOWANE CZASTKI WEDROWNE

SIEĆ KWADRATOWA t 0 i ρ i = ρ e = 0.5 STAN PODSTAWOWY: dla t /t < 0.71 szachownica dla t /t > 0.71 paski

SIEĆ KWADRATOWA t 0 i ρ i = ρ e = 0.5 STAN PODSTAWOWY: dla t /t < 0.71 szachownica dla t /t > 0.71 paski 0.06 Diagram fazowy, U/t = 1 k B T c /t 0.05 0.04 0.03 0.02 T c [arb. units] 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 t /t 0.01 0.00 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 t /t

SIEĆ KWADRATOWA ρ i = ρ e = 0.4 U/t = 1 k BT/t = 0.050 0.10 0.08 0.06 0.04 0.02 0.00 CZASTKI WEDROWNE CZASTKI ZLOKALIZOWANE M.Maśka, K.Czajka phys. stat. sol. (b) 242 (2005)

SIEĆ KWADRATOWA ρ i = ρ e = 0.4 U/t = 20 k BT/t = 0.50 0.50 0.45 0.40 0.35 0.30 0.25 0.20 0.15 0.10 0.05 0.00 CZASTKI WEDROWNE CZASTKI ZLOKALIZOWANE

INNE WYNIKI OTRZYMANE PREZENTOWANA METODA Funkcje spektralne dla elektronów wędrownych Gęstości stanów dużo dokładniejsze niż otrzymane metoda DCA [cond-mat/0504533] Przejście fazowe dla modelu FK na sieci trójkatnej [Phisica B (w druku)] Diagram fazowy w modelu FK [cond-mat/0504533] Separacja fazowa na sieci heksagonalnej

ZAMIAST PODSUMOWANIA Rola niejednorodności w układach silnie skorelowanych: tlenki metali przejściowych statyczne lub dynamiczne niejednorodności kolosalny magnetoopór w manganitach klastery magnetyczne wstęgi w nikletach niejednorodności w nadprzewodnikach wysokotemperaturowych: pseudoszczelina nadprzewodnictwo indukowane niejednorodnościami magnetyczna separacja fazowa w tlenkach kobaltu rozcieńczone półprzewodniki magnetyczne spintronika! koegzystancja faz AF i SC lub SDW i SC w nadprzewodnikach organicznych współzawodnictwo/koegzystencja AF i SC w układach ciężkofermionowych Inhomogeneity-induced superconductivity? J. Eroles et. al. Europhys. Lett. 50, 540 (2000)

************************************************************

SIEĆ KWADRATOWA ρ i = ρ e = 0.5 Funkcje spektralne U/t =1 / B / = 0.02 8 6 4 2 0-2 -4-6 -8 (, ) (0, ) (0,0) (, ) / B / = 0.05 8 6 4 2 0-2 -4-6 -8 (, ) (0, ) (0,0) (, ) / B / = 0.1 8 6 4 2 0-2 -4-6 -8 (, ) (0, ) (0,0) (, ) U/t =8 / B / = 0.01 8 6 4 2 0-2 -4-6 -8 (, ) (0, ) (0,0) (, ) / B / = 0.1 8 6 4 2 0-2 -4-6 -8 (, ) (0, ) (0,0) (, ) / B / = 1 8 6 4 2 0-2 -4-6 -8 (, ) (0, ) (0,0) (, )

GESTOŚĆ STANÓW ρ i = ρ e = 0.5 [Hettler, Mukherjee, Jarrel, Krishnamurthy, PRB 61, 12739 (2000)]

DIAGRAM FAZOWY ρ i = ρ e = 0.5 0,10 U/t = 1 0,08 C V [arb. units] 2D Ising k B T c /t* 0,06 0,04 0 0,05 0,1 k B T/t 0,02 0,00 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 U/(U+t*) t = 2 2t wyniki dla d dla sieci Bethe go wyniki dla d dla sieci hiperkubicznej [L. Cheng, J. K. Freericks, B. A. Jones, PRB 68, 153102 (2003)] wyniki otrzymane z zamykania się szczeliny w gęstości stanów [P. de Vries, K. Michelson, H. de Raedt, Z. Phys. B 92, 353 (1993)]

SIEĆ TRÓJKATNA Frustracja sieć kwadratowa sieć trójkatna? wezel zajety przez domieszke pusty wezel Dla sieci kwadratowej stanem podstawowym jest szachownica Dla sieci trójkatnej, gdy U brak uporzadkowania dalekozasięgowego (model Isinga) Czy w przypadku słabego oddziaływania kulombowskiego dla sieci trójkatnej w MFK może istnieć uporzadkowanie dalekozasięgowe? M.Maśka, K.Czajka Physica B (w druku)

A: k T/t B =0.0001 A SIEĆ TRÓJKATNA FRUSTRATED BOND GRAPH (FB-graph) B B: k T/t B =0.02 80 U/t =1 60 40 A B 20 OCCUPIED UNOCCUPIED 0 0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 k B T/t C: k T/t B =0.005 D: k T/t B =0.3 U/t =10 C D 80 D 60 40 20 C OCCUPIED UNOCCUPIED 0 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 k B T/t

SIEĆ TRÓJKATNA PDF Pair distribution function PDF daje prawdopodobieństwo znalezienia domieszki w danej odległości od innej domieszki 0.4 0.3 U/t = 1 k B T/t = 0.0001 k B T/t = 0.05 U/t = 10 k B T/t = 0.0005 k B T/t = 0.5 PDF 0.2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 distance 1 2 3 4 5 6 7 8 9 distance Słabe oddziaływanie: Oscylacje PDF maja większy zasięg Możliwe uporzadkowanie dalekiego zasięgu w niskich temperaturach!

SIEĆ TRÓJKATNA Ciepło właściwe i gęstość stanów U/t=1 U/t=5 0.20 U/t=10 1.0 0.8 0.25 0.20 Schottky 0.15 Schottky C V 0.6 0.15 0.10 0.4 0.2 0.10 0.05 0.05 0.0 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 k B T/t 0.00 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 k B T/t 0.00 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 k B T/t 0.4 0.3 DOS 0.2 0.1 0.0-10 -5 0 5 10 ω -10-5 0 5 10 ω -10-5 0 5 10 ω Ostry pik w cieple właściwym typu Isinga dla słabych oddziaływań U T c obniża się wraz ze wzrostem oddziaływania U i daży do zera, gdy U Pik Schotky ego w C v dla średnich i silnych oddziaływań U