TERMODYNAMIKA MODELU FALICOVA KIMBALLA SYMULACJE MONTE CARLO

Podobne dokumenty
Równoległe symulacje Monte Carlo na współdzielonej sieci

Co to jest model Isinga?

Wielki rozkład kanoniczny

Fizyka silnie skorelowanych elektronów na przykładzie międzymetalicznych związków ceru

Janusz Adamowski METODY OBLICZENIOWE FIZYKI Kwantowa wariacyjna metoda Monte Carlo. Problem własny dla stanu podstawowego układu N cząstek

17.1 Podstawy metod symulacji komputerowych dla klasycznych układów wielu cząstek

Fizyka statystyczna Teoria Ginzburga-Landaua w średnim polu. P. F. Góra

Model elektronów swobodnych w metalu

Fizyka Materii Nieuporządkowanej

Transport jonów: kryształy jonowe

Wstęp do Optyki i Fizyki Materii Skondensowanej

Modelowanie sieci złożonych

Wykładnicze grafy przypadkowe: teoria i przykłady zastosowań do analizy rzeczywistych sieci złożonych

Nadprzewodnictwo w nanostrukturach metalicznych Paweł Wójcik Wydział Fizyki i Informatyki Stosowanej, AGH

Krytyczność i przejścia fazowe. Katarzyna Sznajd-Weron

model isinga 2d ab 10 grudnia 2016

Przewodność elektryczna ciał stałych. Elektryczne własności ciał stałych Izolatory, metale i półprzewodniki

S. Baran - Podstawy fizyki materii skondensowanej Gaz Fermiego elektronów swobodnych. Gaz Fermiego elektronów swobodnych

Oddziaływania w magnetykach

Przejścia fazowe w 1D modelu Isinga

Własności elektronowe amorficznych stopów Si/Me:H w pobliżu przejścia izolator-metal

Elementy teorii powierzchni metali

Wstęp do Optyki i Fizyki Materii Skondensowanej

Rozdział 22 METODA FUNKCJONAŁÓW GĘSTOŚCI Wstęp. Janusz Adamowski METODY OBLICZENIOWE FIZYKI 1

Termodynamiczny opis układu

Salam,Weinberg (W/Z) t Hooft, Veltman 1999 (renomalizowalność( renomalizowalność)

Kraków, dn. 25 sierpnia 2017 r. dr hab. Przemysław Piekarz Instytut Fizyki Jądrowej Polskiej Akademii Nauk ul. Radzikowskiego Kraków

Szum w urzadzeniu półprzewodnikowym przeszkoda czy szansa?

Badanie słabych przemian fazowych pierwszego rodzaju w eksperymencie komputerowym dla trójwymiarowego modelu Ashkina-Tellera

Rozdział 23 KWANTOWA DYNAMIKA MOLEKULARNA Wstęp. Janusz Adamowski METODY OBLICZENIOWE FIZYKI 1

Elektryczne własności ciał stałych

Krytyczność, przejścia fazowe i symulacje Monte Carlo. Katarzyna Sznajd-Weron Physics of Complex System

Właściwości defektów punktowych w stopach Fe-Cr-Ni z pierwszych zasad

ELEMENTY FIZYKI STATYSTYCZNEJ

OPTYKA KWANTOWA Wykład dla 5. roku Fizyki

Układy statystyczne. Jacek Jurkowski, Fizyka Statystyczna. Instytut Fizyki

Wstęp do fizyki statystycznej: krytyczność i przejścia fazowe. Katarzyna Sznajd-Weron

OPTYKA KWANTOWA Wykład dla 5. roku Fizyki

Modyfikacja schematu SCPF obliczeń energii polaryzacji

Wprowadzenie do ekscytonów

Metody rozwiązania równania Schrödingera

WYKŁAD 15. Gęstość stanów Zastosowanie: oscylatory kwantowe (ª bosony bezmasowe) Formalizm dla nieoddziaływujących cząstek Bosego lub Fermiego

Fizyka statystyczna Zwyrodniały gaz Fermiego. P. F. Góra

Pasmowa teoria przewodnictwa. Anna Pietnoczka

1 Rachunek prawdopodobieństwa

na dnie (lub w szczycie) pasma pasmo jest paraboliczne, ale masa wyznaczona z krzywizny niekoniecznie = m 0

Repeta z wykładu nr 3. Detekcja światła. Struktura krystaliczna. Plan na dzisiaj

Ciała stałe. Literatura: Halliday, Resnick, Walker, t. 5, rozdz. 42 Orear, t. 2, rozdz. 28 Young, Friedman, rozdz

Rysunek 1: Schemat doświadczenia Sterna-Gerlacha. Rysunek 2: Schemat doświadczenia Sterna-Gerlacha w różnych rzutach przestrzennych.

Stany skupienia materii

Obliczenia inspirowane Naturą

16 Jednowymiarowy model Isinga

Rzadkie gazy bozonów

Wykład IV. Półprzewodniki samoistne i domieszkowe

e E Z = P = 1 Z e E Kanoniczna suma stanów Prawdopodobieństwo wystąpienia mikrostanu U E = =Z 1 Wartość średnia energii

Zadania treningowe na kolokwium

Fizyka statystyczna i termodynamika Wykład 1: Wstęp. Katarzyna Sznajd-Weron Katedra Fizyki Teoretycznej

Elektrolity wykazują przewodnictwo jonowe Elektrolity ciekłe substancje rozpadające się w roztworze na jony

Wariacyjna teoria grupy renormalizacji w opisie uczenia głębokiego czyli Deep

Antoni Paja Zakład Fizyki Ciała Stałego Wydział Fizyki i Informatyki Stosowanej Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie

Wstęp do astrofizyki I

Materiały pomocnicze 10 do zajęć wyrównawczych z Fizyki dla Inżynierii i Gospodarki Wodnej

Wykład 12. Rozkład wielki kanoniczny i statystyki kwantowe

Zaburzenia periodyczności sieci krystalicznej

II. POSTULATY MECHANIKI KWANTOWEJ W JĘZYKU WEKTORÓW STANU. Janusz Adamowski

Algorytmy metaheurystyczne Wykład 6. Piotr Syga

Pole przepływowe prądu stałego

Funkcja rozkładu Fermiego-Diraca w różnych temperaturach

Statystyki kwantowe. P. F. Góra

Czym jest prąd elektryczny

Podstawy informatyki kwantowej

Wiązania chemiczne. Związek klasyfikacji ciał krystalicznych z charakterem wiązań atomowych. 5 typów wiązań

Szczegółowy wgląd w proces chłodzenia jedno-wymiarowego gazu bozonów

Podstawy fizyki sezon 2 3. Prąd elektryczny

Wpływ defektów punktowych i liniowych na własności węglika krzemu SiC

TEORIA PASMOWA CIAŁ STAŁYCH

Atom dwupoziomowy w niezerowej temperaturze

Przejścia optyczne w strukturach niskowymiarowych

Elektrostatyka ŁADUNEK. Ładunek elektryczny. Dr PPotera wyklady fizyka dosw st podypl. n p. Cząstka α

Spis treści Wstęp Estymacja Testowanie. Efekty losowe. Bogumiła Koprowska, Elżbieta Kukla

Struktura magnetyczna tlenku manganu β-mno 2

Laboratorium inżynierii materiałowej LIM

Elektryczne własności ciał stałych

Nagroda Nobla 2007 efekt GMR

Funkcje charakterystyczne zmiennych losowych, linie regresji 1-go i 2-go rodzaju

Absorpcja związana z defektami kryształu

Fizyka 2. Janusz Andrzejewski

Domieszki w półprzewodnikach

Teoria pasmowa ciał stałych

MAGNETYZM. PRĄD PRZEMIENNY

Podstawy fizyki sezon 2 3. Prąd elektryczny

Elektrostatyka, cz. 1

Skończona studnia potencjału

Domieszki w półprzewodnikach

Katedra Metod Matematycznych Fizyki

Rekapitulacja. Detekcja światła. Rekapitulacja. Rekapitulacja

Statystyka nieoddziaływujących gazów Bosego i Fermiego

WIĄZANIA. Co sprawia, że ciała stałe istnieją i są stabilne? PRZYCIĄGANIE ODPYCHANIE

Podstawy fizyki wykład 4

Właściwości materii. Bogdan Walkowiak. Zakład Biofizyki Instytut Inżynierii Materiałowej Politechnika Łódzka. 18 listopada 2014 Biophysics 1

Transkrypt:

TERMODYNAMIKA MODELU FALICOVA KIMBALLA SYMULACJE MONTE CARLO Katarzyna Czajka, Maciej M. Maśka Zakład Fizyki Teoretycznej, Instytut Fizyki Uniwersytet Ślaski Kazimierz 2005

PLAN Model Falicova-Kimballa Symulacje Monte Carlo Klasyczny algorytm Metropolisa Algorytm Metropolisa dla modelu FK Funkcja korelacyjna Ciepło właściwe i podatność CDW Wyniki dla modelu FK na sieci kwadratowej ρ = 0.5 Identyfikacja przejścia I-go rodzaju Funkcja korelacyjna, ciepło właściwe Rozkłady jonów i elektronów Wyznaczanie gęstości stanów Oddziaływanie NNN ρ 0.5 silne oddziaływanie słabe oddziaływanie Inne wymiki Podsumowanie

MODEL FALICOVA KIMBALLA wędrowne fermiony zlokalizowane (klasyczne) czastki jony oddziaływanie jedynie pomiędzy czastkami wędrownymi i zlokalizowanymi

MODEL FALICOVA KIMBALLA Hamiltonian: H = i,j t ij c i c j + U i n i w i c i (c i) operatory kreacji (anihilacji) elektronu, n i = c i c i liczba obsadzeń i tego węzła, t ij całka przeskoku pomiędzy węzłami i oraz j U oddziaływanie kulombowskie na węźle, w i = {1, 0} w zależności, czy w i tym węźle znajduje się masywna czastka

MODEL FALICOVA KIMBALLA Hamiltonian: H = i,j t ij c i c j + U i n i w i c i (c i) operatory kreacji (anihilacji) elektronu, n i = c i c i liczba obsadzeń i tego węzła, t ij całka przeskoku pomiędzy węzłami i oraz j U oddziaływanie kulombowskie na węźle, w i = {1, 0} w zależności, czy w i tym węźle znajduje się masywna czastka Konfiguracja masywnych czastek minimalizuje: w T = 0 energię stanu podstawowego w T > 0 energię swobodna układu EFEKTY WIELOCIAŁOWE

PRZYKŁADY ZASTOSOWAŃ Przejście półprzewodnik metal w zwiazach ziem rzadkich (m.in. SmB 6 ) [Falicov, Kimball, PRL 22, 997 (1969)]

PRZYKŁADY ZASTOSOWAŃ Przejście półprzewodnik metal w zwiazach ziem rzadkich (m.in. SmB 6 ) [Falicov, Kimball, PRL 22, 997 (1969)] Bezspinowa wersja jako przybliżenie modelu Hubbarda [Hubbard, Proc. R. Soc. London, Ser. A 276, 238 (1963)]

PRZYKŁADY ZASTOSOWAŃ Bezspinowa wersja jako przybliżenie modelu Hubbarda [Hubbard, Proc. R. Soc. London, Ser. A 276, 238 (1963)] Przejście półprzewodnik metal w zwiazach ziem rzadkich (m.in. SmB 6 ) [Falicov, Kimball, PRL 22, 997 (1969)]

PRZYKŁADY ZASTOSOWAŃ Bezspinowa wersja jako przybliżenie modelu Hubbarda [Hubbard, Proc. R. Soc. London, Ser. A 276, 238 (1963)] Przejście półprzewodnik metal w zwiazach ziem rzadkich (m.in. SmB 6 ) [Falicov, Kimball, PRL 22, 997 (1969)] Przejście fazowe α γ w cerze (Ce) [Ramirez, Falicov, PRB 3, 2425 (1971)] Statyczna podatność dla spontanicznej polaryzacji [Subrshmsnym, Barma J.Phys.C 21, L19 (1988)] Uporzadkowanie CDW [van Dongen, Vollhardt, PRL 65, 1663 (1990)] Optyczna przewodność [Moeller, Ruckenstein, PRB 46, 7427 (1992)] Rozwinięcie funkcji spektralnej f [Brandt, Urbanek, Z. Phys. B: Condens. Matter 89, 297 (1992)] Podatność ładunkowa [Freerics, Miller, PRB 62, 10022 (2000)] Zjawisko Ramana [Freerics, Davereaux, Condens. Matter Phys. 4, 149 (2001)] Wiele, wiele innych...

DOKŁADNE WYNIKI Dla U model FK można mapować na model Isinga Dokładne rozwiazanie w przestrzeni nieskończenie wymiarowej Dla symetrycznego przypadku, gdy koncentracja jonów i elektronów wynosi 0.5 w stanie podstawowym jony tworza konfigurację szachownicy, dla każdej wartości oddziaływania kulombowskiego Periodyczne uporzadkowanie oraz separacja fazowa, dla szczególnych wartości koncentacji jonow i elektronów

METODY ANALIZY MODELU MFT [Falicov, Kimball PRL 22,997 (1969), Ramirez PRB 2,3383 (1970)] CPA [Plischke, PRL 28, 361 (1972)] DMFT [Schiller PRB 60, 15660 (1999), Shvaika PRB 67, 075101 (2003)] (dokładne rozwiazanie w d ) DCA [Hettler, Mukherjee, Jarrel PRB 61, 12739 (2000)] Monte Carlo

KLASYCZNY ALGORYTM METROPOLISA Wybierz stan poczatkowy Wybierz węzeł i Obróć spin w węźle i Oblicz różnicę energii E Wybierz liczbę losowa r z przedziału (0, 1) NIE r < e E k B T TAK Powróć do starej konfiguracji Zaakceptuj nowa konfigurację

KLASYCZNY ALGORYTM METROPOLISA Wybierz stan poczatkowy Wybierz węzeł i Obróć spin w węźle i Oblicz różnicę energii E Wybierz liczbę losowa r z przedziału (0, 1) NIE r < e E k B T TAK Powróć do starej konfiguracji Zaakceptuj nowa konfigurację

KLASYCZNY ALGORYTM METROPOLISA Wybierz stan poczatkowy Wybierz węzeł i Obróć spin w węźle i Oblicz różnicę energii E Wybierz liczbę losowa r z przedziału (0, 1) NIE r < e E k B T TAK Powróć do starej konfiguracji Zaakceptuj nowa konfigurację

KLASYCZNY ALGORYTM METROPOLISA Wybierz stan poczatkowy Wybierz węzeł i Obróć spin w węźle i Oblicz różnicę energii E Wybierz liczbę losowa r z przedziału (0, 1) NIE r < e E k B T TAK Powróć do starej konfiguracji Zaakceptuj nowa konfigurację

KLASYCZNY ALGORYTM METROPOLISA Wybierz stan poczatkowy Wybierz węzeł i Obróć spin w węźle i Oblicz różnicę energii E Wybierz liczbę losowa r z przedziału (0, 1) NIE r < e E k B T TAK Powróć do starej konfiguracji Zaakceptuj nowa konfigurację

KLASYCZNY ALGORYTM METROPOLISA Wybierz stan poczatkowy Wybierz węzeł i Obróć spin w węźle i Oblicz różnicę energii E Wybierz liczbę losowa r z przedziału (0, 1) NIE r < e E k B T TAK Powróć do starej konfiguracji Zaakceptuj nowa konfigurację

KLASYCZNY ALGORYTM METROPOLISA Wybierz stan poczatkowy Wybierz węzeł i Obróć spin w węźle i Oblicz różnicę energii E Wybierz liczbę losowa r z przedziału (0, 1) NIE r < e E k B T TAK Powróć do starej konfiguracji Zaakceptuj nowa konfigurację

KLASYCZNY ALGORYTM METROPOLISA Wybierz stan poczatkowy Wybierz węzeł i Obróć spin w węźle i Oblicz różnicę energii E Wybierz liczbę losowa r z przedziału (0, 1) NIE r < e E k B T TAK Powróć do starej konfiguracji Zaakceptuj nowa konfigurację

METODA SYMULACJI a Punktem wyjścia jest suma statystyczna: Z = C Tr e e β(h(c) µn) H(C) Hamiltonian FK dla ustalonej jonowej konfiguracji C C sumowanie po jonowych konfiguracjach Tr e ślad po fermionowych stopniach swobody β = (k B T ) 1 N operator całkowitej liczby elektronów Dla konfiguracji jonów C hamiltonian H(C) jest diagonalizowany numerycznie. Sumę statyczna można wtedy zapisać jako: Z = C n (1 + e β(e n(c) µ) ), gdzie E n (C) jest n-ta wartościa własna hamiltonianu H(C) a M.Maśka, K.Czajka cond-mat/0504533

Wprowadzajac energię swobodna METODA SYMULACJI cd. F e (C) = 1 β suma statystyczna przyjmuje postać n log(1 + e β(e n(c) µ) ) Z = C e βf e(c) Wagi statystyczne można obliczyć ze wzoru: w(c) = 1 Z e βf e(c) MOŻNA STOSOWAĆ KLASYCZNY SCHEMAT METROPOLISA, ZASTEPUJ AC ENERGIE WEWNETRZN A PRZEZ ENERGIE SWOBODNA ELEKTRONÓW

ALGORYTM METROPOLISA DLA MODELU FK Wygeneruj stan poczatkowy Wybierz domieszkę i pusty węzeł Przenieś domieszkę na pusty węzeł Zdiagonalizuj hamiltonian z nowa konfiguracja domieszek Oblicz różnicę en. swobodnej F Wybierz liczbę losowa r z przedziału (0, 1) NIE r < e F k B T TAK Powróć do starej konfiguracji Zaakceptuj nowa konfigurację

ALGORYTM METROPOLISA DLA MODELU FK Wygeneruj stan poczatkowy Wybierz domieszkę i pusty węzeł Przenieś domieszkę na pusty węzeł Zdiagonalizuj hamiltonian z nowa konfiguracja domieszek Oblicz różnicę en. swobodnej F Wybierz liczbę losowa r z przedziału (0, 1) NIE r < e F k B T TAK Powróć do starej konfiguracji Zaakceptuj nowa konfigurację

ALGORYTM METROPOLISA DLA MODELU FK Wygeneruj stan poczatkowy Wybierz domieszkę i pusty węzeł Przenieś domieszkę na pusty węzeł Zdiagonalizuj hamiltonian z nowa konfiguracja domieszek Oblicz różnicę en. swobodnej F Wybierz liczbę losowa r z przedziału (0, 1) NIE r < e F k B T TAK Powróć do starej konfiguracji Zaakceptuj nowa konfigurację

ALGORYTM METROPOLISA DLA MODELU FK Wygeneruj stan poczatkowy Wybierz domieszkę i pusty węzeł Przenieś domieszkę na pusty węzeł Zdiagonalizuj hamiltonian z nowa konfiguracja domieszek Oblicz różnicę en. swobodnej F Wybierz liczbę losowa r z przedziału (0, 1) NIE r < e F k B T TAK Powróć do starej konfiguracji Zaakceptuj nowa konfigurację

ALGORYTM METROPOLISA DLA MODELU FK Wygeneruj stan poczatkowy Wybierz domieszkę i pusty węzeł Przenieś domieszkę na pusty węzeł Zdiagonalizuj hamiltonian z nowa konfiguracja domieszek Oblicz różnicę en. swobodnej F Wybierz liczbę losowa r z przedziału (0, 1) NIE r < e F k B T TAK Powróć do starej konfiguracji Zaakceptuj nowa konfigurację

ALGORYTM METROPOLISA DLA MODELU FK Wygeneruj stan poczatkowy Wybierz domieszkę i pusty węzeł Przenieś domieszkę na pusty węzeł Zdiagonalizuj hamiltonian z nowa konfiguracja domieszek Oblicz różnicę en. swobodnej F Wybierz liczbę losowa r z przedziału (0, 1) NIE r < e F k B T TAK Powróć do starej konfiguracji Zaakceptuj nowa konfigurację

ALGORYTM METROPOLISA DLA MODELU FK Wygeneruj stan poczatkowy Wybierz domieszkę i pusty węzeł Przenieś domieszkę na pusty węzeł Zdiagonalizuj hamiltonian z nowa konfiguracja domieszek Oblicz różnicę en. swobodnej F Wybierz liczbę losowa r z przedziału (0, 1) NIE r < e F k B T TAK Powróć do starej konfiguracji Zaakceptuj nowa konfigurację

ALGORYTM METROPOLISA DLA MODELU FK Wygeneruj stan poczatkowy Wybierz domieszkę i pusty węzeł Przenieś domieszkę na pusty węzeł Zdiagonalizuj hamiltonian z nowa konfiguracja domieszek Oblicz różnicę en. swobodnej F Wybierz liczbę losowa r z przedziału (0, 1) NIE r < e F k B T TAK Powróć do starej konfiguracji Zaakceptuj nowa konfigurację

ALGORYTM METROPOLISA DLA MODELU FK Wygeneruj stan poczatkowy Wybierz domieszkę i pusty węzeł Przenieś domieszkę na pusty węzeł Zdiagonalizuj hamiltonian z nowa konfiguracja domieszek Oblicz różnicę en. swobodnej F Wybierz liczbę losowa r z przedziału (0, 1) NIE r < e F k B T TAK Powróć do starej konfiguracji Zaakceptuj nowa konfigurację

WYZNACZNIE FUNKCJI KORELACYJNEJ Funkcja korelacyjna gęstość gęstość dla jonów: g n = 1 4N N i=1 τ 1,τ 2 =±n w(r i )w(r i + τ 1 x + τ 2 y) w(r i ) = w i, 0.5 k B T/t = 0.03 k B T/t = 0.06 g(n) x, y wektory jednostowe wzdłuż osi x i y. 0.4 g n 0.3 0.2 0.1 0.0 0 2 4 6 8 100 2 4 6 8 10 n n

WYZNACZNIE FUNKCJI KORELACYJNEJ Funkcja korelacyjna gęstość gęstość dla jonów: g n = 1 4N N i=1 τ 1,τ 2 =±n w(r i )w(r i + τ 1 x + τ 2 y) w(r i ) = w i, x, y wektory jednostowe wzdłuż osi x i y. g n 0.5 0.4 0.3 k B T/t = 0.03 k B T/t = 0.06 g(n) G(n) 1 0.8 0.6 G n 0.2 0.4 0.1 0.2 Zrenormalizowana funkcja G n : 0.0 0 0 2 4 6 8 100 2 4 6 8 10 n n G n = ( 1) n 4(g n ρ 2 i ) ρ i koncentracja jonów.

CIEPŁO WŁAŚCIWE I PODATNOŚĆ Ciepło właściwe można otrzymać z fluktuacji energii wewnętrznej Podatność CDW C V = E T = E2 E 2 k B T 2 χ = g2 1 g 1 2 k B T... oznacza uśrednianie po konfiguracjach zaakceptowanych w algorytmie Metropolisa.

SIEĆ KWADRATOWA ρ i = ρ e = 0.5 Ciepło właściwe, podatność CDW i funkcja korelacyjna C V, χ [arb. units] U/t = 20 C V χ C V, χ [arb. units] U/t = 1 C V χ G n 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 G 1 G 2 G 4 G 10 0,0 0,00 0,02 0,04 0,06 0,08 0,10 C V, χ [arb. units] U/t = 0.01 C V χ G n 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 G 1 G 2 G 10 0,0 0,00 0,02 0,04 0,06 0,08 C V, χ [arb. units] U/t = 0.001 C V χ G n 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0,0 0,0000 0,0002 0,0004 k B T/t G 1 G 10 G n 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0,0 0,00000 0,00002 0,00004 k B T/t G 1 G 10

SIEĆ KWADRATOWA ρ i = ρ e = 0.5 Identyfikacja przejścia I-go rodzaju U/t = 0.5 k T/t = 0.05 B 0.10 0.08 C v [arb.units] 0.06 0.04 0.02 0.00 G 1 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0 0 0,01 0,02 0,03 0,04 k B T/t 3 k B T/t = 0.050 P(E) 2 1 0-0,7040-0,7020-0,7000-0,6980-0,6960-0,6940 E/t M.Maśka, K.Czajka Physica B 359 (2005)

SIEĆ KWADRATOWA ρ i = ρ e = 0.5 Identyfikacja przejścia I-go rodzaju U/t = 0.5 k BT/t = 0.03 0.10 0.08 C v [arb.units] 0.06 0.04 0.02 0.00 G 1 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0 0 0,01 0,02 0,03 0,04 k B T/t 1 P(E) 0,5 0-0,704-0,702-0,7-0,698-0,696-0,694 E/t M.Maśka, K.Czajka Physica B 359 (2005)

SIEĆ KWADRATOWA ρ i = ρ e = 0.5 Identyfikacja przejścia I-go rodzaju U/t = 0.5 k BT/t = 0.029 0.10 0.08 C v [arb.units] 0.06 0.04 0.02 0.00 G 1 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0 0 0,01 0,02 0,03 0,04 k B T/t 1 P(E) 0,5 0-0,704-0,702-0,7-0,698-0,696-0,694 E/t M.Maśka, K.Czajka Physica B 359 (2005)

SIEĆ KWADRATOWA ρ i = ρ e = 0.5 Identyfikacja przejścia I-go rodzaju U/t = 0.5 k BT/t = 0.028 0.10 0.08 C v [arb.units] 0.06 0.04 0.02 0.00 G 1 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0 0 0,01 0,02 0,03 0,04 k B T/t 1 P(E) 0,5 0-0,704-0,702-0,700-0,698-0,696-0,694 E/t M.Maśka, K.Czajka Physica B 359 (2005)

SIEĆ KWADRATOWA ρ i = ρ e = 0.5 Identyfikacja przejścia I-go rodzaju U/t = 0.5 k BT/t = 0.025 0.10 0.08 C v [arb.units] 0.06 0.04 0.02 0.00 1,5 G 1 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0 0 0,01 0,02 0,03 0,04 k B T/t 1,0 P(E) 0,5 0,0-0,704-0,702-0,700-0,698-0,696-0,694 E/t M.Maśka, K.Czajka Physica B 359 (2005)

SIEĆ KWADRATOWA ρ i = ρ e = 0.5 Rozkład jonów i elektronów U/t = 1 k B T/t=0.08 C V [arb. units] U/t = 1 k BT/t = 0.08 0.10 0.08 0.06 0.04 0.02 0.00 G n 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 G 1 G 2 G 10 0,0 0,00 0,02 0,04 0,06 0,08 DOS -5 0 5 ω CZASTKI ZLOKALIZOWANE CZASTKI WEDROWNE

SIEĆ KWADRATOWA ρ i = ρ e = 0.5 Rozkład jonów i elektronów U/t = 1 k B T/t=0.06 C V [arb. units] U/t = 1 k BT/t = 0.06 0.10 0.08 0.06 0.04 0.02 0.00 G n 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 G 1 G 2 G 10 0,0 0,00 0,02 0,04 0,06 0,08 DOS -5 0 5 ω CZASTKI ZLOKALIZOWANE CZASTKI WEDROWNE

SIEĆ KWADRATOWA ρ i = ρ e = 0.5 Rozkład jonów i elektronów U/t = 1 k B T/t=0.05 C V [arb. units] U/t = 1 k BT/t = 0.05 0.10 0.08 0.06 0.04 0.02 0.00 G n 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 G 1 G 2 G 10 0,0 0,00 0,02 0,04 0,06 0,08 DOS -5 0 5 ω CZASTKI ZLOKALIZOWANE CZASTKI WEDROWNE

SIEĆ KWADRATOWA ρ i = ρ e = 0.5 Rozkład jonów i elektronów U/t = 1 k B T/t=0.04 C V [arb. units] U/t = 1 k BT/t = 0.04 0.10 0.08 0.06 0.04 0.02 0.00 G n 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 G 1 G 2 G 10 0,0 0,00 0,02 0,04 0,06 0,08 DOS -5 0 5 ω CZASTKI ZLOKALIZOWANE CZASTKI WEDROWNE

SIEĆ KWADRATOWA ρ i = ρ e = 0.5 Rozkład jonów i elektronów U/t = 1 k B T/t=0.02 C V [arb. units] U/t = 1 k BT/t = 0.02 0.10 0.08 0.06 0.04 0.02 0.00 G n 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 G 1 G 2 G 10 0,0 0,00 0,02 0,04 0,06 0,08 DOS 5 0 5 ω CZASTKI ZLOKALIZOWANE CZASTKI WEDROWNE

SIEĆ KWADRATOWA t 0 i ρ i = ρ e = 0.5 STAN PODSTAWOWY: dla t /t < 0.71 szachownica dla t /t > 0.71 paski

SIEĆ KWADRATOWA t 0 i ρ i = ρ e = 0.5 STAN PODSTAWOWY: dla t /t < 0.71 szachownica dla t /t > 0.71 paski

SIEĆ KWADRATOWA t 0 i ρ i = ρ e = 0.5 STAN PODSTAWOWY: dla t /t < 0.71 szachownica dla t /t > 0.71 paski

SIEĆ KWADRATOWA t 0 i ρ i = ρ e = 0.5 STAN PODSTAWOWY: dla t /t < 0.71 szachownica dla t /t > 0.71 paski

SIEĆ KWADRATOWA t 0 i ρ i = ρ e = 0.5 STAN PODSTAWOWY: dla t /t < 0.71 szachownica dla t /t > 0.71 paski

SIEĆ KWADRATOWA t 0 i ρ i = ρ e = 0.5 STAN PODSTAWOWY: dla t /t < 0.71 szachownica dla t /t > 0.71 paski

SIEĆ KWADRATOWA t 0 i ρ i = ρ e = 0.5 STAN PODSTAWOWY: dla t /t < 0.71 szachownica dla t /t > 0.71 paski

SIEĆ KWADRATOWA t 0 i ρ i = ρ e = 0.5 STAN PODSTAWOWY: dla t /t < 0.71 szachownica dla t /t > 0.71 paski 0.06 Diagram fazowy, U/t = 1 k B T c /t 0.05 0.04 0.03 0.02 T c [arb. units] 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 t /t 0.01 0.00 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 t /t

SIEĆ KWADRATOWA ρ i = ρ e = 0.4 U/t = 1 k BT/t = 0.050 0.10 0.08 0.06 0.04 0.02 0.00 CZASTKI WEDROWNE CZASTKI ZLOKALIZOWANE M.Maśka, K.Czajka phys. stat. sol. (b) 242 (2005)

SIEĆ KWADRATOWA ρ i = ρ e = 0.4 U/t = 1 k BT/t = 0.040 0.10 0.08 0.06 0.04 0.02 0.00 CZASTKI WEDROWNE CZASTKI ZLOKALIZOWANE M.Maśka, K.Czajka phys. stat. sol. (b) 242 (2005)

SIEĆ KWADRATOWA ρ i = ρ e = 0.4 U/t = 1 k BT/t = 0.030 0.10 0.08 0.06 0.04 0.02 0.00 CZASTKI WEDROWNE CZASTKI ZLOKALIZOWANE M.Maśka, K.Czajka phys. stat. sol. (b) 242 (2005)

SIEĆ KWADRATOWA ρ i = ρ e = 0.4 U/t = 1 k BT/t = 0.025 0.10 0.08 0.06 0.04 0.02 0.00 CZASTKI WEDROWNE CZASTKI ZLOKALIZOWANE M.Maśka, K.Czajka phys. stat. sol. (b) 242 (2005)

SIEĆ KWADRATOWA ρ i = ρ e = 0.4 U/t = 1 k BT/t = 0.022 0.10 0.08 0.06 0.04 0.02 0.00 CZASTKI WEDROWNE CZASTKI ZLOKALIZOWANE M.Maśka, K.Czajka phys. stat. sol. (b) 242 (2005)

SIEĆ KWADRATOWA ρ i = ρ e = 0.4 U/t = 1 k BT/t = 0.018 0.10 0.08 0.06 0.04 0.02 0.00 CZASTKI WEDROWNE CZASTKI ZLOKALIZOWANE M.Maśka, K.Czajka phys. stat. sol. (b) 242 (2005)

SIEĆ KWADRATOWA ρ i = ρ e = 0.4 U/t = 1 k BT/t = 0.010 0.10 0.08 0.06 0.04 0.02 0.00 CZASTKI WEDROWNE CZASTKI ZLOKALIZOWANE M.Maśka, K.Czajka phys. stat. sol. (b) 242 (2005)

SIEĆ KWADRATOWA ρ i = ρ e = 0.4 U/t = 1 k BT/t = 0.001 0.10 0.08 0.06 0.04 0.02 0.00 CZASTKI WEDROWNE CZASTKI ZLOKALIZOWANE M.Maśka, K.Czajka phys. stat. sol. (b) 242 (2005)

SIEĆ KWADRATOWA ρ i = ρ e = 0.4 U/t = 20 k BT/t = 0.50 0.50 0.45 0.40 0.35 0.30 0.25 0.20 0.15 0.10 0.05 0.00 CZASTKI WEDROWNE CZASTKI ZLOKALIZOWANE

SIEĆ KWADRATOWA ρ i = ρ e = 0.4 U/t = 20 k BT/t = 0.30 0.50 0.45 0.40 0.35 0.30 0.25 0.20 0.15 0.10 0.05 0.00 CZASTKI WEDROWNE CZASTKI ZLOKALIZOWANE

SIEĆ KWADRATOWA ρ i = ρ e = 0.4 U/t = 20 k BT/t = 0.10 0.50 0.45 0.40 0.35 0.30 0.25 0.20 0.15 0.10 0.05 0.00 CZASTKI WEDROWNE CZASTKI ZLOKALIZOWANE

SIEĆ KWADRATOWA ρ i = ρ e = 0.4 U/t = 20 k BT/t = 0.09 0.50 0.45 0.40 0.35 0.30 0.25 0.20 0.15 0.10 0.05 0.00 CZASTKI WEDROWNE CZASTKI ZLOKALIZOWANE

SIEĆ KWADRATOWA ρ i = ρ e = 0.4 U/t = 20 k BT/t = 0.08 0.50 0.45 0.40 0.35 0.30 0.25 0.20 0.15 0.10 0.05 0.00 CZASTKI WEDROWNE CZASTKI ZLOKALIZOWANE

SIEĆ KWADRATOWA ρ i = ρ e = 0.4 U/t = 20 k BT/t = 0.07 0.50 0.45 0.40 0.35 0.30 0.25 0.20 0.15 0.10 0.05 0.00 CZASTKI WEDROWNE CZASTKI ZLOKALIZOWANE

SIEĆ KWADRATOWA ρ i = ρ e = 0.4 U/t = 20 k BT/t = 0.06 0.50 0.45 0.40 0.35 0.30 0.25 0.20 0.15 0.10 0.05 0.00 CZASTKI WEDROWNE CZASTKI ZLOKALIZOWANE

SIEĆ KWADRATOWA ρ i = ρ e = 0.4 U/t = 20 k BT/t = 0.001 0.50 0.45 0.40 0.35 0.30 0.25 0.20 0.15 0.10 0.05 0.00 CZASTKI WEDROWNE CZASTKI ZLOKALIZOWANE

INNE WYNIKI OTRZYMANE PREZENTOWANA METODA Funkcje spektralne dla elektronów wędrownych Gęstości stanów dużo dokładniejsze niż otrzymane metoda DCA [cond-mat/0504533] Przejście fazowe dla modelu FK na sieci trójkatnej [Phisica B (w druku)] Diagram fazowy w modelu FK [cond-mat/0504533] Separacja fazowa na sieci heksagonalnej

ZAMIAST PODSUMOWANIA Rola niejednorodności w układach silnie skorelowanych: tlenki metali przejściowych statyczne lub dynamiczne niejednorodności kolosalny magnetoopór w manganitach klastery magnetyczne wstęgi w nikletach niejednorodności w nadprzewodnikach wysokotemperaturowych: pseudoszczelina nadprzewodnictwo indukowane niejednorodnościami magnetyczna separacja fazowa w tlenkach kobaltu rozcieńczone półprzewodniki magnetyczne spintronika! koegzystancja faz AF i SC lub SDW i SC w nadprzewodnikach organicznych współzawodnictwo/koegzystencja AF i SC w układach ciężkofermionowych Inhomogeneity-induced superconductivity? J. Eroles et. al. Europhys. Lett. 50, 540 (2000)

************************************************************

SIEĆ KWADRATOWA ρ i = ρ e = 0.5 Funkcje spektralne U/t =1 / B / = 0.02 8 6 4 2 0-2 -4-6 -8 (, ) (0, ) (0,0) (, ) / B / = 0.05 8 6 4 2 0-2 -4-6 -8 (, ) (0, ) (0,0) (, ) / B / = 0.1 8 6 4 2 0-2 -4-6 -8 (, ) (0, ) (0,0) (, ) U/t =8 / B / = 0.01 8 6 4 2 0-2 -4-6 -8 (, ) (0, ) (0,0) (, ) / B / = 0.1 8 6 4 2 0-2 -4-6 -8 (, ) (0, ) (0,0) (, ) / B / = 1 8 6 4 2 0-2 -4-6 -8 (, ) (0, ) (0,0) (, )

GESTOŚĆ STANÓW ρ i = ρ e = 0.5 [Hettler, Mukherjee, Jarrel, Krishnamurthy, PRB 61, 12739 (2000)]

DIAGRAM FAZOWY ρ i = ρ e = 0.5 0,10 U/t = 1 0,08 C V [arb. units] 2D Ising k B T c /t* 0,06 0,04 0 0,05 0,1 k B T/t 0,02 0,00 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 U/(U+t*) t = 2 2t wyniki dla d dla sieci Bethe go wyniki dla d dla sieci hiperkubicznej [L. Cheng, J. K. Freericks, B. A. Jones, PRB 68, 153102 (2003)] wyniki otrzymane z zamykania się szczeliny w gęstości stanów [P. de Vries, K. Michelson, H. de Raedt, Z. Phys. B 92, 353 (1993)]

SIEĆ TRÓJKATNA Frustracja sieć kwadratowa sieć trójkatna? wezel zajety przez domieszke pusty wezel Dla sieci kwadratowej stanem podstawowym jest szachownica Dla sieci trójkatnej, gdy U brak uporzadkowania dalekozasięgowego (model Isinga) Czy w przypadku słabego oddziaływania kulombowskiego dla sieci trójkatnej w MFK może istnieć uporzadkowanie dalekozasięgowe? M.Maśka, K.Czajka Physica B (w druku)

A: k T/t B =0.0001 A SIEĆ TRÓJKATNA FRUSTRATED BOND GRAPH (FB-graph) B B: k T/t B =0.02 80 U/t =1 60 40 A B 20 OCCUPIED UNOCCUPIED 0 0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 k B T/t C: k T/t B =0.005 D: k T/t B =0.3 U/t =10 C D 80 D 60 40 20 C OCCUPIED UNOCCUPIED 0 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 k B T/t

SIEĆ TRÓJKATNA PDF Pair distribution function PDF daje prawdopodobieństwo znalezienia domieszki w danej odległości od innej domieszki 0.4 0.3 U/t = 1 k B T/t = 0.0001 k B T/t = 0.05 U/t = 10 k B T/t = 0.0005 k B T/t = 0.5 PDF 0.2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 distance 1 2 3 4 5 6 7 8 9 distance Słabe oddziaływanie: Oscylacje PDF maja większy zasięg Możliwe uporzadkowanie dalekiego zasięgu w niskich temperaturach!

SIEĆ TRÓJKATNA Ciepło właściwe i gęstość stanów U/t=1 U/t=5 0.20 U/t=10 1.0 0.8 0.25 0.20 Schottky 0.15 Schottky C V 0.6 0.15 0.10 0.4 0.2 0.10 0.05 0.05 0.0 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 k B T/t 0.00 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 k B T/t 0.00 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 k B T/t 0.4 0.3 DOS 0.2 0.1 0.0-10 -5 0 5 10 ω -10-5 0 5 10 ω -10-5 0 5 10 ω Ostry pik w cieple właściwym typu Isinga dla słabych oddziaływań U T c obniża się wraz ze wzrostem oddziaływania U i daży do zera, gdy U Pik Schotky ego w C v dla średnich i silnych oddziaływań U