Krytyczność i przejścia fazowe. Katarzyna Sznajd-Weron

Transkrypt

1 Krytyczność i przejścia fazowe Katarzyna Sznajd-Weron

2 Temperatura Curie

3 Temperatura Curie ciągłe przejście fazowe magnes ferromagnetyk Przejście fazowe Katarzyna Sznajd-Weron Ferromagnetyk T T c Paramagnetyk T > T c Jak to zrozumieć?

4 Model Isinga (Lenza-Isinga?) 1925 rozprawa doktorska Ernsta Isinga Brak przejścia fazowego w 1D Jedyna praca Isinga Przejście fazowe w 2D (lata czterdzieste) Skala mikro tłumaczy zachowania makro L H = J L S i S j 1D H = J i=1 S i S i+1 <i,j>

5 Skąd taki Hamiltonian? L H = J S i S i+1 i=1 L H = J S i S i+1 = J ( 1) i=1 Każdy układ dąży do minimalizacji energii L H = J i=1 L S i S i+1 = J i=1 1 = JL

6 Argument Landaua o braku przejścia fazowego w 1D L min E E 0 min E E 0 ε E 0 + ε Stan równowagi energia swobodna minimalna: F = E TS Zmiana energii: ΔF = ΔE TΔ S = ε TΔ S Entropia z jedną ścianą domenową: S = k B ln Ω = k B ln(l 1) ΔF = ε TΔ S = ε Tk B ln L 1, dla L ΔF < 0

7 Oddziaływania pomiędzy cząstkami Ferromagnetyk (konformizm) Antyferromagnetyk (antykonformizm) Wpływ (siła oddziaływania) wzrasta wraz Ze zgodnością grupy Z rozmiarem grupy Wysoka temperatura nerwowo Piotr Nyczka

8 Czego się spodziewacie? Czego się spodziewacie? Zajrzyjcie na Models Library NetLogo (środowisko do ABM) Prof. Uri Wilensky Northwestern's Center for Connected Learning and Computer-Based Modeling (CCL)

9 Ewolucja układu w czasie (ferromagnetyk) niska temperatura Oddziaływanie porządkuje Temperatura losowe zmiany W niskich temperaturach porządek W wysokich temperaturach nieporządek m =< S i > = 1 N i=1 N S i

10 Dalsze losy modelu Isinga Przejście fazowe w 2D bez pola Onsager, lata czterdzieste Symulacje Komputerowe model Isinga w 3D i 2D z polem Wykorzystanie poza fizyką

11 Symulacja Monte Carlo Modelu Isinga Przygotuj stan początkowy układu Pozwól mu ewoluować Poczekaj aż ustali się magnetyzacja Zanotuj wartość m Powtarzaj to dużo razy Policz średnią magnetyzację Jaka to średnia? N m =< S i > = 1 N i=1 S i

12 Średnia po zespole Średnia po czasie i średnia po zespole Średnia po czasie Układ ergodyczny to średnia po zespole = średnia po czasie

13 Algorytm Metropolisa 1MCS = N losowań Wylosuj jeden spin S i Oblicz energię E = E(S i ) = S i J σ j nn S j Oblicz energię E = E( S i ) = S i J σ j nn S j Oblicz zmianę energii ΔE = E E Jeżeli ΔE 0 to S i S i Jeżeli ΔE > 0 to wylosuj r z przedziału [0,1] i akceptuj nową konfigurację jeżeli: r < p = exp ΔE k B T, k B = J = 1

14 Przejście fazowe w modelu Isinga

15 Przejścia fazowe wokół nas woda faza ciekła PUNKT KRYTYCZNY Lód faza stała para faza gazowa ciągłe przejście fazowe nieciągłe przejście fazowe 2014 Katarzyna Sznajd-Weron

16 Sylwester w górach i jajka 2014 Katarzyna Sznajd-Weron

17 Nieciągłe przejście fazowe 2014 Katarzyna Sznajd-Weron

18 Równowaga i stany metastabilne LÓD WODA LÓD WODA LÓD WODA Lód i woda w równowadze Przechłodzona woda

19 Stan metastabilny: przechłodzona woda

20 Ciągłe przejście fazowe: punkt krytyczny

21 Nieciągłe przejście fazowe: punkt potrójny

22 Nieciągłe przejścia fazowe F x = du dx V = F x dx 2014 Katarzyna Sznajd-Weron

23 Ciągłe (krytyczne) przejście fazowe 2014 Katarzyna Sznajd-Weron

24 Punkty trójkrytyczne

25 Jak sprawdzić na komputerze czy przejście nieciągłe (c) 2017 Urszula Grochocińska

26 Różnice pomiędzy ciągłym i nieciągłym przejściem fazowym Ciągłe przejścia fazowe Brak utajonego ciepła przemiany q = T S 1 S 2 = 0 Nieciągłe przejścia fazowe Utajone ciepło przemiany q = T S 1 S 2 0 Brak skoku entropii Skok entropii: S 1 S 2 0 Brak współistnienia faz Brak stanów metastabilnych Skalowanie, uniwersalność, wykładniki krytyczne Parametr porządku zmienia się w sposób ciągły: φ 0, T < T c φ = 0, T > T c Współistnienie faz Stany metastabilne trywialne wykładniki krytyczne Parametr porządku zmienia się w sposób nieciągły

27 Stan krytyczny i fluktuacje Funkcja korelacyjna parametru porządku: G r 1, r 2 < φ r 1 φ r 2 > = φ 2 +< δφ(r 1 ) δφ r 2 > Niech r = r 1 r 2 G r e r/ξ r d 2+η Definicja punktu krytycznego: T T c ξ

28 Wykładniki krytyczne t = T c T zredukowana temperatura T c m T, 0 t β, m T c, h h 1/δ χ T, 0 t γ c T, 0 t α ξ T, 0 t ν G r, T c, 0 r d+2 η Model Isinga Zależą od wymiaru parametru porządku i wymiaru przestrzennego d - uniwersalność

29 Wykładniki krytyczne w modelu Isinga i wymiar krytyczny d α (1) 0 Wyniki ścisłe (Onsager) β 1/ (3) 1/2 γ 7/ (5) 1 δ (2) 3 η 1/ (5) ν (4) 1/2 Wyniki ścisłe, takie same jak MFA

30 Związki pomiędzy wykładnikami Teoria skalowania α + 2β + γ = 2 (Rushbrooke) γ = β(δ 1) (Widom) γ = 2 η ν (Fisher) 2 α = νd (Josephson)

31 Skalowanie skończonego rozmiaru ξ T, 0 t ν Dla L < maksimum w temperaturze T c L T c L T c T c L θ θ = 1 ν dla dużych L Dwuwymiarowy FSS model Isinga ciepło właściwe c t α L α/ν promień korelacji ξ t ν L parametr porządku m t β L β/ν

32 Perkolacja 2014 Katarzyna Sznajd-Weron

33 Model perkolacji Model perkolacji : Każdy węzeł (wiązanie) sieci jest zajęty niezależnie z prawdopodobieństwem p Jak duże musi być to prawdopodobieństwo p aby powstał klaster łączący brzegi sieci (przepływ)?

34 Perkolacja: Pożary lasów

35 Prawdopodobieństwo przejścia Symulacja komputerowa 101x x x1003 gęstość zadrzewienia p Dla jakiego p pożar dotrze do drugiej strony lasu?

36 Perkolacja site Rozważmy sieć dwuwymiarową L na L Każde miejsce sieci jest zajęte niezależnie z prawdopodobieństwem p Klaster grupa zajętych węzłów znajdujących się wzajemnie w najbliższym sąsiedztwie (rozmiar s)

37 Krytyczność w modelu perkolacji Próg perkolacji - najmniejsza koncentracja zapełnionych węzłów na sieci, przy której powstaje nieskończony klaster. Parametr porządku Wyniki dla sieci 2D

38 Krytyczność w modelu perkolacji Próg perkolacji dla problemu site to najmniejsza koncentracja zapełnionych węzłów na sieci, przy której powstaje nieskończony klaster. Próg perkolacji dla problemu bond to najmniejsza koncentracja zapełnionych połączeń między węzłami sieci, przy której powstaje nieskończony klaster.

39 Perkolacja na sieci kwadratowej (bond): dualność sieci Sieć wyjściowa: p mogę przejść q=1-p nie mogę przejść Sieć dualna: p nie mogę przejść q=1-p mogę przejść

40 Samodualność sieci kwadratowej p p* q q p p* q q * * q* 1 p*, q* p p* 0.5 *

41 Próg perkolacji nie jest uniwersalny! sieć site bond heksagonalna kwadratowa trójkątna diamond Prosta kubiczna BCC FCC

42 Metoda Średniego Pola (MFA) perkolacja wiązań (bond) Pytanie: Jaka jest krytyczna wartość koncentracji wiązań (mostów), przy której powstanie nieskończony klaster? Oznaczenia: prawdopodobieństwo tego, że dwa dowolne węzły sieci są połączone (tzn. że istnieje wiązanie): p prawdopodobieństwo, że i-ty węzeł należy do nieskończonego klastra: P i

43 Kiedy należy do nieskończonego klastra? Żeby węzeł i należał do klastra to: musi on mieć przy najmniej jednego sąsiada j, z którym jest połączony mostem, j należy do nieskończonego klastra. Prawdopodobieństwo tego, że ma: pp j Prawd., że nie należy do klastra

44 Mean field aproximation (MFA) z 1 P i = j=1 1 pp j MFA: i P i = P (układ jednorodny) z 1 P = j=1 1 pp = 1 pp z 1 P = 1 pp z Dla układu jednowymiarowego (1D): z = 2 1 P = 1 pp 2

45 Układ jednowymiarowy, z = 2 1 P = 1 pp 2 Pytanie: Czy istnieje takie p, żeby P > 0? 1 P = 1 2pP + p 2 P 2 p 2 P p P = 0 P(p 2 P + 1 2p ) = 0 p 2 P + 1 2p = 0 P = 2p 1 p 2 P = 2p 1 p 2 > 0 2p 1 > 0 p > 1 2

46 p p ) (1 4 ) (1 2 ' p p p p p p p p Grupa renormalizacyjna (decymacja): Perkolacja na sieci kwadratowej p=0 p =0 p =0 p=1 p =1 p =1

47 ) (1 0 1 ) (1 0 ) 2 (1 2 ', 2 ' p p p p p p p p p p p p p p p p p p p 0 p*= Szukamy punktów stałych transformacji

48 Grupa renormalizacyjna (majority rule): Perkolacja na sieci trójkątnej p prawdopodobieństwo p prawdopodobieństwo p = p 3 + 3p 2 1 p p = p p = p 3 + 3p 2 1 p 0 p c = p 3 + 3p 2 p = 0 p( 2p 2 + 3p 1) = 0 1 p 1 p 2 p = 0

49 Trzewo (sieć) Bethego (z=3) Klaster perkolujący rozciąga się w nieskończoność Rozważmy spacer po perkolującym nieskończonym klastrze Kontynuując spacer z węzła i-tego możemy pójść w z 1 kierunkach Tylko p(z 1) jest wolnych Czyli musi być przynajmniej jedna wolna p z 1 1 p c = 1 z 1

50 Perkolacja ukierunkowana site i bond? woda przepływająca przez filtr wodny w polu grawitacyjnym prąd elektryczny płynący przez losową sieć izolatorów i przewodników

51 Izotropowa kontra ukierunowana perkolacja wiązań

52 Podobieństwa Oba modele trywialne w 1D (przepływ tylko dla p=1) i D (przepływ dla każdego p>0). W wymiarach skończonych wymiarach D>1 pojawia się ciągłe przejście fazowe (p=p*) między fazą mokrą i suchą. Dla p>p* układ jest przepuszczalny (P >0 ). Dla p<p* układ jest nieprzepuszczalny (P =0).

53 Różnice Krytyczny próg p* dla ukierunkowanej perkolacji jest wyższy niż dla izotropowej W przypadku izotropowym własności krytyczne są identyczne we wszystkich kierunkach w przeciwieństwie do perkolacji ukierunkowanej Dla DP nie znane są analityczne wartości progu perkolacji p* i wykładników krytycznych Wyniki numeryczne wykładniki krytyczne dla DP są liczbami niewymiernymi

54 czas t Perkolacja ukierunkowana jako proces dynamiczny t N(t) pozycja i Układ 2 D 1D układ dynamiczny (1+1)

55 czas t Perkolacja ukierunkowana w wymiarze 1+1 pozycja i

56 Zmiana średniej liczba cząstek w czasie dla DP (1+1) krytyczna

57 Modele należące do klasy uniwersalności Directed Percolation (DP) Procesy wzrostu Procesy kontaktowe modele epidemii Dyfuzja z reakcją chemiczną Reakcje katalityczne na powierzchniach (Ziff-Gulari-Barshad,1986)

58 Literatura