Przejścia fazowe w 1D modelu Isinga

Transkrypt

1 Przejścia fazowe w 1D modelu Isinga z zero-temperaturową dynamiką Glaubera Rafał Topolnicki rafal.topolnicki@gmail.com Wydział Fizyki i Astronomii Uniwersytet Wrocławski Wydział Podstawowych Problemów Techniki Politechnika Wrocławska Kielce, 26 kwietnia 2012 Przejscia fazowe w modelu Isinga z dynamik Glaubera w T=0 Kielce, 26 kwietnia / 25

2 Ogólnie o magnetyzmie Ogólnie o magnetyzmie pewne materiały zachowują namagnesowanie po usunięciu zewnętrznego pola magnetycznego, usunięcie namagnesowanie wymaga przyłożenia przeciwnie skierowanego pola koercji H c, duże H c = twarde magnetyki mające praktyczne zastosowania, stopy SmCo 5, Nd 2 Fe 14 B H c dla SmCo 5 w temperaturze 300K H c = 44kOe dla porównania - materiały magnetyczne półtwarde, HDD, H c = 100Oe Przejscia fazowe w modelu Isinga z dynamik Glaubera w T=0 Kielce, 26 kwietnia / 25

3 Ogólnie o magnetyzmie Ferromagnetyk vs. antyferromagnetyk m = ±1, ρ = 0 m = 0, ρ = 1 magnetyzacja m = 1 L N σ i i=1 gęstość bondów ρ = 1 2L N i=1 1 σ i σ i+1 Przejscia fazowe w modelu Isinga z dynamik Glaubera w T=0 Kielce, 26 kwietnia / 25

4 Single Chain Magnets Single Molecule/Chain Magnets pewne molekuły zawierające paramagnetyk mogą posiadać trwały moment magnetyczny w niskich temperaturach nie tworzą domen - większe upakowanie informacji, podobnie mogą zachowywać się molekuły o powtarzającej się budowie, C. Coulon, et al. Glauber dynamics in a single-chain magnet: From theory to real systems Phys. Rev. B 69 (2004) L. Bogani, et al. Single chain magnets: where to from here? J. Mater. Chem., 18, (2008) Przejscia fazowe w modelu Isinga z dynamik Glaubera w T=0 Kielce, 26 kwietnia / 25

5 Single Chain Magnets Single Molecule/Chain Magnets pewne molekuły zawierające paramagnetyk mogą posiadać trwały moment magnetyczny w niskich temperaturach nie tworzą domen - większe upakowanie informacji, podobnie mogą zachowywać się molekuły o powtarzającej się budowie, C. Coulon, et al. Glauber dynamics in a single-chain magnet: From theory to real systems Phys. Rev. B 69 (2004) L. Bogani, et al. Single chain magnets: where to from here? J. Mater. Chem., 18, (2008) Przejscia fazowe w modelu Isinga z dynamik Glaubera w T=0 Kielce, 26 kwietnia / 25

6 Single Chain Magnets SCM [Co(hfac) 2 NIT-C 6 H 4 -O-R] (hfac=1,1,1,5,5,5-hexafluoro-2,4-pentanedione, NIT=nitronyl-nitroxide) układ opisany modelem Isinga z dynamiką Glaubera, łańcuch Co(II) połączony rodnikami nitrynolowo-nitroksydowymi, niesparowany, zdelokalizowany na grupach NO, elektron - nośnik magnetyzmu, kształt molekuły zależy od podstawnika 1 spirala - grupa metylowa R=CH 3 2 łańcuch - grupa n-butylowa R=(CH 2) 3CH większe oddziaływania między elementami - uporządkowanie magnetyczne przy 45K, ogromne pole koercji H c = 52kOe przy 6K R. Sessoli, Record Hard Magnets: Glauber Dynamic Are Key, Angew. Chem. Int. Ed. 2008, 47, Przejscia fazowe w modelu Isinga z dynamik Glaubera w T=0 Kielce, 26 kwietnia / 25

7 O modelu Model Isinga matematyczny model ferromagnetyka, Wilhelm Lenz ! H = 1 2 i,j J ij σ i σ j i hσ i = 1 2 J i,j σ i σ j J > 0 - ferromagnetyk J < 0 - antyferromagnetyk J = 0 - brak oddziaływania między spinami Przejscia fazowe w modelu Isinga z dynamik Glaubera w T=0 Kielce, 26 kwietnia / 25

8 Przejścia fazowe w pigułce Przejścia fazowe w pigułce Musimy mieć dwie fazy, Przykłady przejść fazowych - krzepnięcie, wrzenie, pojawienie się spontanicznej magnetyzacji,... Punkt krytyczny - punkt w którym znika różnica między fazami, Klasyfikacja przejść fazowych Klasyfikacja Ehrenfesta - jeżeli potencjał TD i (n 1) pochodnych jest ciągłych, natomiast n-ta pochodna jest nieciągła to przejścia nazywamy przejściem n-tego rodzaju Klasyfikacja Fishera: przejście nieciągłe - jeżeli pochodne potencjału TD zmieniają się w sposób skokowy PF I rodzaju wg Ehernfesta przejścia ciągłe - jeżeli potencjał TD i jego pierwsza pochodna jest ciągła Przejscia fazowe w modelu Isinga z dynamik Glaubera w T=0 Kielce, 26 kwietnia / 25

9 Przejścia fazowe w pigułce Przejścia fazowe w pigułce Musimy mieć dwie fazy, Przykłady przejść fazowych - krzepnięcie, wrzenie, pojawienie się spontanicznej magnetyzacji,... Punkt krytyczny - punkt w którym znika różnica między fazami, Klasyfikacja przejść fazowych Klasyfikacja Ehrenfesta - jeżeli potencjał TD i (n 1) pochodnych jest ciągłych, natomiast n-ta pochodna jest nieciągła to przejścia nazywamy przejściem n-tego rodzaju Klasyfikacja Fishera: przejście nieciągłe - jeżeli pochodne potencjału TD zmieniają się w sposób skokowy PF I rodzaju wg Ehernfesta przejścia ciągłe - jeżeli potencjał TD i jego pierwsza pochodna jest ciągła Przejscia fazowe w modelu Isinga z dynamik Glaubera w T=0 Kielce, 26 kwietnia / 25

10 Przejścia fazowe w pigułce Wykładnik krytyczny Jeżeli nieujemna funkcja f(x) zachowuje się dla x 0 jak x λ co znaczy: lim x 0 [ ] ln f(x) = λ ln x Czym są klasy uniwersalności? Wielkości takie jak ciepło właściwe, magnetyzacja itd. mają w ogólności postać: f = T T c α ( ) α x, czyli f = T c x 0 Prawo potęgowe niezależne od skali. Przejscia fazowe w modelu Isinga z dynamik Glaubera w T=0 Kielce, 26 kwietnia / 25

11 Algorytm Metropolisa Algorytm Metropolisa 1 Zadajemy stan początkowy, 2 Wybieramy losowy węzeł j, 3 Liczymy zmianę energii jaka powstałaby na skutek obroku spinu: δe j (t) = 2σ j (t) [σ j 1 (t) + σ j+1 (t)] 4 Akceptacja nowej konfiguracji σ j (t + 1) = σ j (t) z prawdopodobieństwem W (δe) { 1 jeśli δe < 0 W (δe) = exp ( δe/kt ) jeśli δe 0 5 Powtarzaj kroki 2-4 Co dzieje się w temperaturze T 0?? W (δe) T 0 { 1 jeśli δe 0 0 jeśli δe > 0 Przejscia fazowe w modelu Isinga z dynamik Glaubera w T=0 Kielce, 26 kwietnia / 25

12 Algorytm Metropolisa Algorytm Metropolisa 1 Zadajemy stan początkowy, 2 Wybieramy losowy węzeł j, 3 Liczymy zmianę energii jaka powstałaby na skutek obroku spinu: δe j (t) = 2σ j (t) [σ j 1 (t) + σ j+1 (t)] 4 Akceptacja nowej konfiguracji σ j (t + 1) = σ j (t) z prawdopodobieństwem W (δe) { 1 jeśli δe < 0 W (δe) = exp ( δe/kt ) jeśli δe 0 5 Powtarzaj kroki 2-4 Co dzieje się w temperaturze T 0?? W (δe) T 0 { 1 jeśli δe 0 0 jeśli δe > 0 Przejscia fazowe w modelu Isinga z dynamik Glaubera w T=0 Kielce, 26 kwietnia / 25

13 Dynamika Glaubera Uogólniona dynamika Glaubera w T = 0 Uogólnienie dynamiki z algorytmu Metropolisa: 1 jeżeli δe < 0 W (δe) = W 0 jeżeli δe = 0 0 jeżeli δe > 0 Pytanie: Jaki jest wpływ wartości W 0 na zachowanie układu? Badane układy są opisane przez parę parametrów (p, W 0 ) Rodzaje updatingu model = hamiltonian + dynamika (updating) synchroniczny: wszystkie części układu uaktualniane są w tym samym czasie asynchroniczny: niewszystkie części układu uaktualniane są w tym samym czasie Przejscia fazowe w modelu Isinga z dynamik Glaubera w T=0 Kielce, 26 kwietnia / 25

14 Dynamika Glaubera Uogólniona dynamika Glaubera w T = 0 Uogólnienie dynamiki z algorytmu Metropolisa: 1 jeżeli δe < 0 W (δe) = W 0 jeżeli δe = 0 0 jeżeli δe > 0 Pytanie: Jaki jest wpływ wartości W 0 na zachowanie układu? Badane układy są opisane przez parę parametrów (p, W 0 ) Rodzaje updatingu model = hamiltonian + dynamika (updating) synchroniczny: wszystkie części układu uaktualniane są w tym samym czasie asynchroniczny: niewszystkie części układu uaktualniane są w tym samym czasie Przejscia fazowe w modelu Isinga z dynamik Glaubera w T=0 Kielce, 26 kwietnia / 25

15 Dynamika Glaubera Co robi p? p 1/L p = 1 asynchorniczny synchorniczny Przejscia fazowe w modelu Isinga z dynamik Glaubera w T=0 Kielce, 26 kwietnia / 25

18 Dynamika Glaubera Przejście fazowe ze względu na parametr p (W 0 = 1) Rysunek: a) Zależność ρ(t) dla p = 0.40, p = p c = 0.41, p = b) Uśrednianie jedynie po przeżywających konfiguracjach w zależności od wielkości układu L = 2 n, n {4,..., 13} Wykładnik krytyczny: ρ(t) t δ, δ = 0, 286(1) p=pc F. Raddichi et al., Phase Transition between Synchoronous and Asynchronous Updating Algorithms, J. Stat. Phys. (2007) Przejscia fazowe w modelu Isinga z dynamik Glaubera w T=0 Kielce, 26 kwietnia / 25

19 Model z p = 1 i zmiennym W 0 Przejścia fazowe w układzie z p = 1 Rysunek: Zmiana w czasie średniej liczby bondów dla różnych wartości W 0. L = 128 uśrednianie po 5000 realizacji Wnioski: dla każdego W 0 [0, 1], W 0 0, 5 układ osiąga stan końcowy - ferro- albo antyferro-magnetyczny, przejście fazowe dla W 0 = 0, 5 Przejscia fazowe w modelu Isinga z dynamik Glaubera w T=0 Kielce, 26 kwietnia / 25

20 Model z p = 1 i zmiennym W 0 Jak przejście fazowe wygląda w skali mikro? (p = 1) Rysunek: Wygląd sieci w czasie - współistnienie faz. Obszar biały to klaster ferromagnetyczny, czarny antyferromagnetyczny. K. Sznajd-Weron, Phase Transition in one-dimensional Ising ferromagnet [...], Phys. Rev. E 82, (2010) Przejscia fazowe w modelu Isinga z dynamik Glaubera w T=0 Kielce, 26 kwietnia / 25

21 Model z p = 1 i zmiennym W 0 Czas relaksacji τ = 1 N N τ i i=1 Czas relaksacji τ = czas potrzebny na osiągnięcie przez układ jednego z dwóch stanów stabilnych - ferro- albo antyferro-magnetycznego Gęstość bondów w stanie stacjonarnym ρ st = lim t ρ(t) Stan stacjonarny to stan do jakiego zmierza układ gdy czas rośnie do nieskończoności. Przejscia fazowe w modelu Isinga z dynamik Glaubera w T=0 Kielce, 26 kwietnia / 25

22 Model z p = 1 i zmiennym W 0 Zależność od rozmiaru liniowego L (p = 1) Rysunek: Gętość bondów w stanie stacjonarnym w zależności od wielkości układu L. b) Skalowanie czasu relaksacji wraz z rozmiarem liniowym układu Wnioski: w granicy L spodziewamy się skokowej zmiany ρ st - nieciągłe przejście fazowe na wykresie τ spodziewamy się ostrego piku dla W 0 = 0, 5 tzn. w tym punkcie τ L 2 K. Sznajd-Weron, Phase Transition in one-dimensional Ising ferromagnet [...], Phys. Rev. E 82, (2010) Przejscia fazowe w modelu Isinga z dynamik Glaubera w T=0 Kielce, 26 kwietnia / 25

23 Model z p = 1 i zmiennym W 0 Jakie przejście fazowe? Skalowanie wskazujące na ciągłe przejście fazowe. ρ st = L β/ν f ( (W 0 W c)l 1/ν) W c = 0, 5 β 0, 0 ν 1, 0 τ = L z g ( (W 0 W c)l 1/ν) W c = 0, 5 z 2, 0 ν 1, 0 I. Gu Yi et al., Comment on Phase Transition in one-dimensional Ising ferromagnet [...] arxiv:cond-mat.stat-mech/ v1, 13 Jul 2011 Przejscia fazowe w modelu Isinga z dynamik Glaubera w T=0 Kielce, 26 kwietnia / 25

24 Nowy model - zmienne p i W 0 Nowy model - zmienne p i W 0 Rysunek: Trajektorie w czasie Przejscia fazowe w modelu Isinga z dynamik Glaubera w T=0 Kielce, 26 kwietnia / 25

25 Nowy model - zmienne p i W 0 Rysunek: Diagram fazowy dla L = 40. Czarny obszar to faza antyferro-magnetyczna, biały obszar odpowiada ferromagnetykowi Porównaj: B. Skorupa et al., Phase Diagram of a zero-temperature Glauber dynamics under partially synchornous updates arxiv:cond-mat: v2 Przejscia fazowe w modelu Isinga z dynamik Glaubera w T=0 Kielce, 26 kwietnia / 25

26 Nowy model - zmienne p i W 0 Rysunek: Gęstość bondów po czasie 50000MCS. L=64 Przejscia fazowe w modelu Isinga z dynamik Glaubera w T=0 Kielce, 26 kwietnia / 25

27 Nowy model - zmienne p i W 0 Rysunek: Gęstość bondów po czasie 50000MCS. L=64 Przejscia fazowe w modelu Isinga z dynamik Glaubera w T=0 Kielce, 26 kwietnia / 25

28 Nowy model - zmienne p i W 0 Nowe wyniki Przejście fazowe dla p = 0, 95 Skalowanie skończenie rozmiarowe: ρ st = L β/ν f((w 0 W c )L 1/ν ) β > 0 - ciągłe przejście fazowe Przejscia fazowe w modelu Isinga z dynamik Glaubera w T=0 Kielce, 26 kwietnia / 25

29 Nowy model - zmienne p i W 0 Jeśli zostanie czas - dlaczego to jest trudne? Nikt tego jeszcze nie liczył, Układ jest nierównowagowy, Obliczenia są długotrwałe a wyniki trudne w interpretacji, Ogromna czułość na punkt krytyczny W c, którego nie znamy Nie znamy postaci funkcji f w skalowaniu skończenie rozmiarowym. Przejscia fazowe w modelu Isinga z dynamik Glaubera w T=0 Kielce, 26 kwietnia / 25

30 Literatura Literatura 1 F. Raddichi et al., Phase Transition between Synchoronous and Asynchronous Updating Algorithms, J. Stat. Phys. (2007) 129: , 2 K. Sznajd-Weron, Phase Transition in one-dimensional Ising ferromagnet [...], Phys. Rev. E 82, (2010), 3 B. Skorupa et al., Phase Diagram of a zero-temperature Glauber dynamics under partially synchornous updates, 4 I. Gu Yi et al., Comment on Phase Transition in one-dimensional Ising ferromagnet [...] arxiv:cond-mat.stat-mech/ v1, 13 Jul R. Sessoli, Record Hard Magnets: Glauber Dynamic Are Key, Angew. Chem. Int. Ed. 2008, 47, C. Coulon, et al. Glauber dynamics in a single-chain magnet: From theory to real systems Phys. Rev. B 69 (2004) 7 L. Bogani, et al. Single chain magnets: where to from here? J. Mater. Chem., 18, (2008) 8 K. Binger, D. Landau, Phys. Rev. B 30, 1477 (1984) Przejscia fazowe w modelu Isinga z dynamik Glaubera w T=0 Kielce, 26 kwietnia / 25

31 Podziękowanie Dziękuję za uwagę Przejscia fazowe w modelu Isinga z dynamik Glaubera w T=0 Kielce, 26 kwietnia / 25