Krytyczność, przejścia fazowe i symulacje Monte Carlo. Katarzyna Sznajd-Weron Physics of Complex System

Transkrypt

1 Krytyczność, przejścia fazowe i symulacje Monte Carlo Katarzyna Sznajd-Weron Physics of Complex System

2 Przejścia fazowe wokół nas woda faza ciekła PUNKT KRYTYCZNY Lód faza stała para faza gazowa ciągłe przejście fazowe nieciągłe przejście fazowe 2014 Katarzyna Sznajd-Weron

3 Sylwester w górach i jajka 2014 Katarzyna Sznajd-Weron

4 Nieciągłe przejścia fazowe F x = du dx V = F x dx 2014 Katarzyna Sznajd-Weron

5 Nieciągłe przejście fazowe 2014 Katarzyna Sznajd-Weron

6 Równowaga i stany metastabilne LÓD WODA LÓD WODA LÓD WODA Lód i woda w równowadze Przechłodzona woda

7 Stan metastabilny: przechłodzona woda

8 Jak działają ogrzewacze rąk? 2014 Katarzyna Sznajd-Weron

9 Ciągłe (krytyczne) przejście fazowe 2014 Katarzyna Sznajd-Weron

10 Diagram fazowy woda faza ciekła PUNKT KRYTYCZNY Lód faza stała para faza gazowa ciągłe przejście fazowe nieciągłe przejście fazowe 2014 Katarzyna Sznajd-Weron

11 Ciągłe przejście fazowe: punkt krytyczny

12 Nieciągłe przejście fazowe: punkt potrójny

13 Perkolacja 2014 Katarzyna Sznajd-Weron

14 Perkolacja: Pożary lasów

15 Prawdopodobieństwo przejścia Symulacja komputerowa 101x x x1003 gęstość zadrzewienia p Dla jakiego p pożar dotrze do drugiej strony lasu?

16 Perkolacja site Rozważmy sieć dwuwymiarową L na L Każde miejsce sieci jest zajęte niezależnie z prawdopodobieństwem p Klaster grupa zajętych węzłów znajdujących się wzajemnie w najbliższym sąsiedztwie (rozmiar s)

17 Krytyczność w modelu perkolacji Próg perkolacji - najmniejsza koncentracja zapełnionych węzłów na sieci, przy której powstaje nieskończony klaster. Parametr porządku Wyniki dla sieci 2D

18 Próg perkolacji nie jest uniwersalny! sieć site bond heksagonalna kwadratowa trójkątna diamond Prosta kubiczna BCC FCC

19 Przypadek jako narzędzie budowania modeli Miesięczny zapis gry w ruletkę w Monte Carlo może dostarczyć nam podstaw do dyskutowania fundamentów nauki Karl Pearson ( ) Metoda Monte Carlo ABM Metoda Monte Carlo

20 Liczby losowe Tippett (1927) Random Sampling Numbers Pierwsza tablica liczb losowych cyfr ułożonych w zestawach po 4 Dane o powierzchni parafii z brytyjskiego spisu powszechnego (odrzucone 2 pierwsze i 2 ostatnie cyfry)

21 21 Jak inaczej otrzymać liczby losowe? Czy coś zwraca waszą uwagę?

22 22 Albo Idź do szpitala po zapis kolejnych urodzeń chłopców i dziewczynek: CDDDCCD Przetasuj liczby (Tablica liczb przetasowanych czterocyfrowych Hugo Steinhausa wydana w 1954)

23 Generatory liczb pseudolosowych (PRNG) PRNG generuje deterministycznie ciąg bitów, który pod pewnymi względami jest nieodróżnialny od ciągu uzyskanego z prawdziwie losowego źródła. Algorytm liniowy (liczby o rozkładzie jednostajnym): x ax b mod c n 1 n a,b,c liczby magiczne, np: a 7 5, b 0, c

24 Cechy dobrego generatora do MC Długi okres powtarzalności Losowość brak korelacji, równomierność (specjalne testy) Szybki

25 Generator Mersenne Twister ( Makoto Matsumoto i Takuji Nishimura,1997 Nadaje się do Symulacji Monte Carlo, ale nie do kryptografii Zalety MT19937 Mersenne Twistera: Okres (udowodnione) Wysoki stopień równomiernego rozmieszczenia Spełnia większość testów losowości Szybki

26 Metoda Monte Carlo Metoda Monte Carlo (MC) jest techniką rozwiązania problemów, która polega na generowaniu zmiennych losowych w celu oszacowania parametrów ich rozkładu John von Neumann

27 Idea metody Monte Carlo Jaka jest szansa ułożenia pasjansa? Ciężko to policzyć analitycznie bo wygrana zależy od wielu ruchów A gdyby tak parę razy spróbować ułożyć pasjansa i zobaczyć ile razy się to uda? Przegrana Przegrana Wygrana Przegrana Szansa ułożenia to ¼!

28 Temperatura Curie ciągłe przejście fazowe magnes ferromagnetyk Przejście fazowe Katarzyna Sznajd-Weron Ferromagnetyk T T c Paramagnetyk T > T c Jak to zrozumieć?

29 Model Isinga (Lenza-Isinga?) 1925 rozprawa doktorska Ernsta Isinga Brak przejścia fazowego w 1D Jedyna praca Isinga Przejście fazowe w 2D (lata czterdzieste) Skala mikro tłumaczy zachowania makro L H = J L S i S j 1D H = J i=1 S i S i+1 <i,j>

30 Skąd taki Hamiltonian? L H = J S i S i+1 i=1 L H = J S i S i+1 = J ( 1) i=1 Każdy układ dąży do minimalizacji energii L H = J i=1 L S i S i+1 = J i=1 1 = JL

31 Oddziaływania pomiędzy cząstkami Ferromagnetyk (konformizm) Antyferromagnetyk (antykonformizm) Wpływ (siła oddziaływania) wzrasta wraz Ze zgodnością grupy Z rozmiarem grupy Wysoka temperatura nerwowo Piotr Nyczka

32 Czego się spodziewacie? Czego się spodziewacie? Zajrzyjcie na Models Library NetLogo (środowisko do ABM) Prof. Uri Wilensky Northwestern's Center for Connected Learning and Computer-Based Modeling (CCL)

33 Ewolucja układu w czasie (ferromagnetyk) niska temperatura Oddziaływanie porządkuje Temperatura losowe zmiany W niskich temperaturach porządek W wysokich temperaturach nieporządek m =< S i > = 1 N i=1 N S i

34 Dalsze losy modelu Isinga Przejście fazowe w 2D bez pola Onsager, lata czterdzieste Symulacje Komputerowe model Isinga w 3D i 2D z polem Wykorzystanie poza fizyką

35 Symulacja Monte Carlo Modelu Isinga Przygotuj stan początkowy układu Pozwól mu ewoluować Poczekaj aż ustali się magnetyzacja Zanotuj wartość m Powtarzaj to dużo razy Policz średnią magnetyzację Jaka to średnia? N m =< S i > = 1 N i=1 S i

36 Średnia po zespole Średnia po czasie i średnia po zespole Średnia po czasie Układ ergodyczny to średnia po zespole = średnia po czasie

37 Algorytm Metropolisa 1MCS = N losowań Wylosuj jeden spin S i Oblicz energię E = E(S i ) = S i J σ j nn S j Oblicz energię E = E( S i ) = S i J σ j nn S j Oblicz zmianę energii ΔE = E E Jeżeli ΔE 0 to S i S i Jeżeli ΔE > 0 to wylosuj r z przedziału [0,1] i akceptuj nową konfigurację jeżeli: r < p = exp ΔE k B T, k B = J = 1

38 Przejście fazowe w modelu Isinga