ELEKRYKA 2013 Zeszyt 4 (228) Ro LIX Artur PASIERBEK, Marcin POŁOMSKI, Radosław SOKÓŁ Politechnia Śląsa w Gliwicach PORÓWNANIE WYBRANYCH ALGORYMÓW OPYMALIZACJI ROZPŁYWU MOCY W SYSEMIE ELEKROENERGEYCZNYM Streszczenie. Artyuł przedstawia wybrane algorytmy wyznaczania optymalnego rozpływu mocy w systemie eletroenergetycznym. Doonano implementacji tych algorytmów i przeprowadzono esperymenty numeryczne dla wybranych przypadów testowych stanu systemu eletroenergetycznego. Słowa luczowe: optymalizacja, rozpływ mocy, system eletroenergetyczny A COMPARISON OF SELECED OPIMAL POWER FLOW ALGORIHMS Summary. he paper presents several optimal power flow algorithms. he selected algorithms have been implemented and tested, and a number of numerical experiments were performed for given power system states. Keywords: optimization, power flow, power system 1. WPROWADZENIE Zadanie optymalizacji rozpływu mocy w systemie eletroenergetycznym (ang. optimal power flow, OPF) polega na poszuiwaniu puntu pracy systemu optymalnego z puntu widzenia zadanej funcji celu, przy jednoczesnym spełnieniu wszystich zadanych ograniczeń technicznych [3, 7]. Zadanie OPF należy do grupy zadań programowania nieliniowego. Opracowano wiele metod rozwiązania zadania OPF bazujących na różnych algorytmach numerycznych, jedna ich suteczność i wydajność jest w dużym stopniu uzależniona od wielości rozpatrywanego systemu. Ze względu na dużą liczbę elementów (węzłów i linii) sładających się na system eletroenergetyczny (SEE), uład równań stanowiący podstawę procesu optymalizacyjnego osiąga bardzo duże rozmiary. Powoduje to onieczność stosowania dedyowanych algorytmów optymalizacyjnych, przystosowanych do operowania na macierzach rzadich.
68 A. Pasierbe, M. Połomsi, R. Soół Do pratycznie stosowanych metod numerycznych znajdujących zastosowanie w zadaniu OPF zalicza się metody: gradientu sprzężonego (ang. conjugate gradient, CG), Broydena-Fletchera-Goldfarba-Shanno (BFGS), puntu wewnętrznego (ang. interior point, IP), ewolucyjne. Metody gradientu sprzężonego charateryzują się wysoą czasochłonnością ze względu na onieczność obliczania macierzy Hessego w ażdym rou optymalizacji. Alternatywną, godną uwagi metodą jest algorytm BFGS, należący do grupy metod quasi-newtonowsich [1, 2]. W ostatnich latach szczególnie często wyorzystywane są też implementacje metody puntu wewnętrznego wraz z jej wariantami, należące obecnie do grupy najbardziej wydajnych algorytmów optymalizacyjnych dla problemów wieliej sali [8, 9]. Wspomniane wyżej metody poszuują wyłącznie optimum loalnego. Możliwość poszuiwania optimum globalnego daje metoda ewolucyjna [4, 5]. W niniejszym artyule Autorzy opisali wyżej wymienione metody w aspecie zastosowania do zadania OPF oraz przedstawili wynii przeprowadzonych esperymentów numerycznych, przy użyciu autorsich implementacji tych algorytmów. 2. ZADANIE OPYMALIZACJI ROZPŁYWU MOCY W SYSEMIE ELEKROENERGEYCZNYM Poszuiwanie optymalnego rozpływu mocy w systemie eletroenergetycznym wymaga znalezienia minimum pewnej funcji celu, najczęściej formułowanej jao sumaryczny oszt bilansowania zapotrzebowania, przy jednoczesnym spełnieniu wszystich ograniczeń (w tym ograniczeń wyniających z równań bilansu mocy czynnej i biernej w węzłach systemu oraz ograniczeń technicznych). 2.1. Ogólna postać funcji celu Funcję celu można aprosymować rzywą drugiego stopnia [6]: N g i1 2 g g f x a P b P c, i i i i i x wetor zmiennych zadania optymalizacji zawierający zmienne stanu (moduły i ąty napięć węzłowych) i zmienne sterujące (moce czynne i bierne generowane w węzłach wytwórczych),
Porównanie wybranych algorytmów 69 P (g) i moc czynna generowana przez jednostę wytwórczą i, N g liczba węzłów wytwórczych, a i, b i, c i współczynnii charaterystyi osztów wytwarzania i-tego węzła wytwórczego. Sformułowane powyżej zagadnienie optymalizacyjne stanowi zadanie programowania nieliniowego [10] z ograniczeniami równościowymi i nierównościowymi, tóre można zapisać: min f ( x), x przy h( x) 0, g( x) 0, f funcja celu zadania optymalizacji, h(x) wetor ograniczeń równościowych, zawierający równania bilansu mocy czynnej i biernej w węzłach systemu, g(x) wetor ograniczeń nierównościowych, wyniający z technicznych właściwości urządzeń służących do wytwarzania i przesyłu energii eletrycznej. 2.2. Funcja celu z funcją ary Powyżej przedstawione zostały ogólne postaci funcji celu oraz funcji ograniczeń. Poszczególne metody optymalizacji wymagają wprowadzenia specyficznych dla nich modyfiacji funcji celu oraz ograniczeń. W szczególności, metody gradientu sprzężonego oraz BFGS wymagają uwzględnienia w ramach funcji celu również ograniczeń równościowych i nierównościowych [10]. K 1 2μ N h 2 min max x f x h x W g, g, g x i1 1 Ng 2 i i i i, 2μ i1 g( x) g g( x) g min min g g min max min max W g, g, g( x) 0 dla g g g, dla max max dla g g μ parametr modyfiowany w procesie optymalizacji, μ 0, h(x) wetor ograniczeń równościowych, h(x) = 0, g(x) wetor ograniczeń nierównościowych.
70 A. Pasierbe, M. Połomsi, R. Soół 3. MEODY OPYMALIZACJI ROZPŁYWU MOCY W poniższym rozdziale zostały opisane poszczególne, zbadane przez Autorów, metody wyznaczania optymalnego rozpływu mocy w systemie eletroenergetycznym. 3.1. Metoda gradientu sprzężonego Metoda gradientu sprzężonego należy do grupy metod poszuiwania minimum funcji wielu zmiennych bez ograniczeń. Ograniczenia równościowe i nierównościowe można uwzględnić przez włączenie ich do funcji celu, np. w sposób opisany w puncie 2.2. W metodzie gradientu sprzężonego nowy ierune poszuiwań minimum funcji jest ta wybierany, aby był sprzężony do wszystich poprzednich. Proces obliczeń przebiega w ilu roach. W pierwszym rou oreśla się punt startowy oraz początowy ierune wyszuiwania rozwiązania, zależny od gradientu funcji celu w puncie startowym. Następnie modyfiuje się wetor stanu, uwzględniając wyznaczony ierune oraz współczynni długości rou α, przy tórego wyznaczeniu uwzględnia się bieżącą wartość funcji celu: x i1 xi di. W olejnym etapie wyznacza się gradient funcji w nowym puncie i na jego podstawie ocenia, czy wyni został osiągnięty z zadaną doładnością. Jeżeli nie, to ierune poszuiwań jest modyfiowany, z uwzględnieniem wyznaczonej wartości gradientu oraz współczynnia długości rou β: d i xi 1 i d. 1 i 1 K d W esperymencie numerycznym przyjęte zostało wyznaczanie współczynnia β według wzoru Fletchera-Reevesa [1]. 3.2. Metoda Broydena-Fletchera-Goldfarba-Shanno W stosunu do metody gradientu sprzężonego, w metodzie Broydena-Fletchera- Goldfarba-Shanno (BFGS) aprosymuje się funcję celu w puncie wadratowym rozwinięciem aylora: 1 x x f x f x x x Vx f 0 0 0 2 Wymagana w tym rozwinięciu odwrotność macierzy Hessego nie jest obliczana wprost w ażdej iteracji, lecz iteracyjnie jest modyfiowane jej przybliżenie V [2]: V γ δ 1 V δ δ, 2 γ δ γδ V γ δ γ V V γ δ
Porównanie wybranych algorytmów 71 δ γ x 1 x, x f x f 1. 3.3. Metoda puntu wewnętrznego Minimum loalne funcji celu dla zadania programowania nieliniowego, w postaci: n g min f( x ) ln( zi), x i1 przy h( x) 0, g( x) z 0, z 0, oreślone jest przez punt stacjonarny funcji Lagrange a i muszą być zachowane waruni optymalności Karusha-Kuhna-ucera [10], stąd muszą być spełnione następujące zależności: Zπ e g( x) z L ( y, ) 0 y f ( x) ( h( x)) λ ( g( x)) π x x x hx ( ) e = [1, 1,...1], Z = diag[z i ; i = 1,..., n g ], λ wetor mnożniów Lagrange a, odpowiadający ograniczeniom równościowym, π wetor mnożniów Lagrange a, odpowiadający ograniczeniom nierównościowym, y = [z, π, x, λ]. W metodzie interior point rozwiązuje się w ażdym rou iteracyjnym następujący uład równań [9,10]: 2 yl y y yl y (, ) (, ) Δy = [Δz, Δπ, Δx, Δλ] wetor ierunu poszuiwań, 2 y L macierz Jacobiego funcji wetorowej y L. W procesie iteracyjnym, w -tym rou, wyznacza się nowe wartości zmiennych wetora p y, biorąc przy tym pod uwagę długości roów min{1, min{ zi / zi }} dla zmiennych z 0 d prymarnych x, z oraz min{1, min{ i / i }} dla zmiennych dualnych λ oraz π, nato- 0 miast wartości współczynniów γ oraz μ ustala się następująco: (0,1) i i, 1 / ng z π.
72 A. Pasierbe, M. Połomsi, R. Soół Jeżeli dla przyjętych wartości doładności w -tej iteracji spełnione są waruni zbieżności, to ryterium zbieżności algorytmu metody IP zostaje osiągnięte i działanie algorytmu przerwane. 3.4. Metoda ewolucyjna Metody ewolucyjne symulują działanie naturalnych mechanizmów ewolucji i selecji organizmów żywych w zastosowaniach numerycznych [4]. Dzięi wyorzystaniu w ich implementacji losowości można zaliczyć je do ategorii metod optymalizacji globalnej [5]. W metodzie ewolucyjnej w zastosowaniu OPF przyjmuje się wetor stanu, opisujący napięcia i fazy we wszystich węzłach systemu oraz moce generowane w węzłach wytwórczych: x xx x [,,...,, U, U,..., U, P, P,..., P ] U ( g ) ( g ) ( g) 1 2 Nw 1 2 Nw 1 2 Ng Pg W ażdym rou realizacji algorytmu rozpatrywana jest populacja, sładająca się z n osobniów, z tórych ażdy jest opisany jednym wetorem stanu. Jaość ażdego osobnia jest następnie oceniana przez wyznaczenie bilansu rozpływu mocy dla zadanych mocy generowanych w węzłach wytwórczych. Funcja jaości uwzględnia oszt generacji mocy oraz stopień zbilansowania systemu: N f ( x) i1 ( g ) 2 ( g ) ai Pi bi Pi ci d B d współczynni wagowy, B bilans mocy w systemie. Osobnii w ramach populacji są następnie porządowane w rosnącej olejności wartości funcji jaości. Część populacji o najgorszej jaości (najwięszych wartościach funcji jaości) jest odrzucana, a pozostałe są powielane, z uwzględnieniem pseudolosowych zmian w części wetora stanu x odpowiadającej mocom generowanych w węzłach wytwórczych ( mutacje ). Proces ten jest iteracyjnie powielany aż do momentu uzysania osobnia o satysfacjonującej jaości. Metoda ewolucyjna cechuje się sporym potencjałem ze względu na globalny charater optymalizacji. Możliwe jest również łatwe zrównoleglenie obliczeń wyorzystujących ten algorytm.
Porównanie wybranych algorytmów 73 4. EKSPERYMEN NUMERYCZNY W celu wyazania poprawności działania przedstawionych w artyule algorytmów optymalizacji oraz wyznaczenia czasów obliczeń, przeprowadzono testy numeryczne dla zbioru wybranych systemów testowych, tórych statystyi przedstawiono w tabeli 1. Uzysane wynii zostały zamieszczone w tabeli 2. abela 1 Statystyi systemów testowych używanych w esperymentach numerycznych Liczba węzłów Liczba węzłów wytwórczych Liczba węzłów odbiorczych Liczba linii N w N g N o N l 9 3 6 9 13 5 8 18 30 6 24 41 57 7 50 80 118 54 64 186 300 69 231 411 2383 327 2056 2896 abela 2 Wynii optymalizacji System testowy Liczba iteracji Średni czas iteracji Czas obliczeń Wartość funcji celu ms s Metoda gradientu sprzężonego (CG), wariant Fletchera-Reevesa 9 166 0,390 0,065 5 435,96 13 318 0,470 0,149 15 430,07 30 906 0,500 0,453 604,67 57 13 200 1,456 19,217 3 187,53 118 nie osiągnięto zbilansowania systemu 300 nie osiągnięto zbilansowania systemu 2383 nie osiągnięto zbilansowania systemu Metoda Broydena-Fletchera-Goldfarba-Shanno (BFGS) 9 22 1,410 0,031 5 441,78 13 134 0,580 0,078 16 975,70 30 61 1,000 0,063 604,73 57 197 4,840 0,953 3 247,72 118 220 2,305 0,507 29 831,66 300 nie osiągnięto zbilansowania systemu
74 A. Pasierbe, M. Połomsi, R. Soół cd. tabeli 2 2383 nie osiągnięto zbilansowania systemu Metoda interior point 9 11 1,300 0,015 5 296,69 13 14 1,714 0,024 15 325,31 30 13 4,600 0,061 576,89 57 15 5,667 0,085 3 176,45 118 18 19,500 0,351 29 660,69 300 29 43,000 1,247 719 725,08 2383 40 384,600 15,387 1 862 367,03 Metoda ewolucyjna 9 2000 0,9 1,8 9 425,01 13 2000 1,2 2,4 18 583,85 30 2000 2,6 5,2 612,42 57 2000 7,1 14,2 3 734,635 118 3000 11 33 24 161,12 300 19 nie osiągnięto zbilansowania systemu 2383 190 nie osiągnięto zbilansowania systemu 5. PODSUMOWANIE Algorytm gradientu sprzężonego sprawdza się dla systemów eletroenergetycznych, sładających się od ilu do iludziesięciu węzłów. W przypadu systemów o liczbie węzłów przeraczającej 50 uzysuje się znaczący wzrost czasu realizacji procesu optymalizacji. Przy wzroście liczby węzłów powyżej 100 niemożliwe było uzysanie zbilansowania badanych systemów testowych. Predestynuje to tę metodę do niewielich systemów testowych. Algorytm BFGS charateryzuje się zauważalnie rótszym czasem obliczeń i saluje się do systemów o liczebności węzłów przeraczającej 100. Niestety, w przypadu systemów sładających się z 300 i więcej węzłów metoda ta nie pozwala uzysać zbilansowania systemu. W przypadu algorytmu ewolucyjnego, nie ażdy proces optymalizacyjny ończył się znalezieniem stanu systemu o sumarycznej mocy generowanej porywającej zapotrzebowanie i straty SEE. Nie ażdy wyni optymalizacji wystarczający pod względem mocy generowanej dawał też poprawny stan systemu, możliwy do zbilansowania. Dużą rolę gra tutaj losowość leżąca u podstaw działania algorytmów ewolucyjnych. Zwięszenie pewności obliczeń realizowanych z ich wyorzystaniem wymaga dalszych badań.
Porównanie wybranych algorytmów 75 Wynii uzysiwane z wyorzystaniem algorytmów ewolucyjnych wyazują pewne przeroczenia napięć węzłowych oraz mocy. Przeroczenia są na poziomie 10-7 jednoste względnych w przypadu generowanych mocy czynnych oraz na poziomie 10-2 jednoste względnych w przypadu napięć węzłowych i mocy biernej. Dla systemów testowych liczących 300 i więcej węzłów nie uzysano też wyniu umożliwiającego porycie zapotrzebowania mocy systemu, umożliwiającego jego zbilansowanie. Metody ewolucyjne cechują się długim czasem realizacji procesu optymalizacji. Dalsze badania mogą prowadzić do srócenia czasu obliczeń. Za najbardziej wydajną i niezawodną metodę można uznać algorytm interior-point. Z jego wyorzystaniem możliwe było przeprowadzenie optymalizacji wszystich badanych systemów testowych i w ażdym przypadu uzysano zbilansowanie systemu. Algorytm ten charateryzuje się również najrótszymi czasami obliczeń oraz najmniejszą liczbą realizowanych iteracji dla wszystich badanych przypadów. Również uzysane wynii (wartość funcji celu) były najlepsze spośród wszystich metod. Co prawda, metoda ewolucyjna pozwoliła w ilu przypadach uzysać niższe wartości funcji celu, jedna następowało to osztem występowania przeroczeń dopuszczalnych poziomów napięć i mocy. BIBLIOGRAFIA 1. Baron B., Pasierbe A.: Porównanie wydajności algorytmów gradientu sprzężonego i quasi-newtonowsiego BFGS w zagadnieniu optymalizacji rozpływu mocy w systemie eletroenergetycznym. Zeszyty Nauowe Eletrya, zeszyt 3 (211), Gliwice 2009. 2. Baron B., Pasierbe A., Kraszewsi., Połomsi M., Soół R.: Zastosowanie quasi- Newtonowsiej metody BFGS do optymalizacji rozpływu mocy w systemie eletroenergetycznym. Konferencja Zastosowania Komputerów w Eletrotechnice, Poznań 2009, s. 91-92. 3. Dommel H., inney W.: Optimal Power Flow Solutions. IEEE ransactions on Power Apparatus and Systems 1968. 4. Goldberg D. E.: Algorytmy genetyczne i ich zastosowania. Wydawnictwo Nauowo- echniczne, Warszawa 2003. 5. Houc C. R., Joines J. A., Kay M. G.: A Generic Algorithm for Function Optimization: A MALAB Implementation. echnical Report NCSU-IE-R-95-09, North Carolina State University, Raleigh, NC 1995. 6. Korab R.: Optymalizacja operatorstwa przesyłowego w rajowym systemie eletroenergetycznym. Wydawnictwo Politechnii Śląsiej, Gliwice 2011.
76 A. Pasierbe, M. Połomsi, R. Soół 7. Kremens Z., Sobierajsi M.: Analiza systemów eletroenergetycznych. Wydawnictwa Nauowo-echniczne, Warszawa 1996. 8. Quintana V. H., orres G. L.: Introduction to interior-point methods. IEEE PICA, Santa Clara, CA, 1999. 9. orres G. L., Quintana V. H.: An interior-point method for nonlinear optimal power flow using voltage rectangular coordinates. IEEE ransactions on Power Systems 1998, vol. 13, no. 4, p. 1211-1218. 10. Wit R.: Metody programowania nieliniowego. Wydawnictwa Nauowo-echniczne, Warszawa 1986. Dr inż. Artur Pasierbe, Dr inż. Marcin Połomsi Politechnia Śląsa, Wydział Eletryczny Instytut Eletrotechnii i Informatyi ul. Aademica 10 44-100 Gliwice e-mail: Artur.Pasierbe@polsl.pl Marcin.Polomsi@polsl.pl Dr inż. Radosław Soół Politechnia Śląsa, Wydział Eletryczny Instytut Metrologii, Eletronii i Automatyi ul. Aademica 10 44-100 Gliwice e-mail: Radoslaw.Sool@polsl.pl