WYKŁAD XIII METODY NUMERYCZNE W MODELOWANIU PROCESÓW

1 WYKŁAD XIII METODY NUMERYCZNE W MODELOWANIU PROCESÓW Część II 13.3 METODA ELEMENTÓW SKOŃCZONYCH. 13.3.1 Wstęp. Metoda elementów skończonych (MES) została zapoczątkowana przez Turnera w 1956 r., jakkolwek wymena sę równeż nazwsko Couranta, którego matematyczna praca z 194 r. stanow podwalny tej metody. Rozwój MES nastąpł w późnych latach sześćdzesątych sedemdzesątych wraz z rozwojem technk komputerowej, która umożlwła rozwązywane bardzej złożonych zagadneń mechank, m.n. problemów nelnowych. Lata osemdzesąte to dalszy rozwój metody w różnych dzedznach mechank klasycznej, mechank płynów termodynamk, nelnowych zagadneń geometrycznych materałowych, drgań tp. W Polsce popularność tej metody została zapoczątkowana podręcznkem O.C. Zenkewcza: Metoda Elementów Skończonych, przetłumaczonym przez prof. Igora Ksela z Poltechnk Wrocławskej, podręcznka wydanego w 197 r. Obecne dzęk powszechnośc komputerów osobstych ch stale rosnących mocy oblczenowych metoda elementów skończonych jest powszechne dostępna wykorzystywana w nauce przez pracownków studentów oraz przez lczne bura projektowe. 13.3. Podstawy MES. Metoda elementów skończonych polega na dyskretyzacj kontnuum skończoną lczbą podobszarów (elementów) zwykle o prostej geometr, które są ze sobą połączone w punktach nazywanych węzłam, najczęścej występującym w narożach elementów. W węzłach elementów poszukwane jest przyblżone rozwązane równana różnczkowego lub układu równań. Jest to węc zasadncza różnca w stosunku do rozwązana metodą różnc skończonych, w której dyskretyzacj podlegają równana różnczkowe, podczas gdy w MES dyskretyzuje sę obszar rozwązana. Metoda elementów skończonych dla welu zagadneń wykazuje przewagę nad klasyczną metodą różnc skończonych, szczególne w przypadku nejednorodnośc ośrodka złożonych geometryczne warunków brzegowych, które są w MES spełnone w sposób naturalny. Ponadto zaletą MES jest łatwość budowana algorytmów oblczenowych ch unezależnene od warunków brzegowych początkowych. Algorytm oblczeń MES można przedstawć w postac w postac następujących etapów: 1. dokonane podzału obszaru rozwązana na podobszary w postac prostych geometryczne elementów, zwykle trójkątów lub prostokątów (czworokątów) dla zagadnena D, albo czworoścanów, granastosłupów lub prostopadłoścanów w problemach trójwymarowych;. wybór punktów węzłowych dla wybranego typu elementu, w których określane będą newadome wartośc welkośc fzycznych. Iloczyn lczby punktów węzłowych lczby newadomych w węźle stanow wymar układu równań algebracznych; 3. wybór funkcj rozkładu newadomych welkośc fzycznych w elemence w zależnośc od wartośc węzłowych; 4. przekształcene równań różnczkowych do układu równań algebracznych poprzez zastosowane funkcj wagowych; 5. ułożene układu równań algebracznych dla całego obszaru na podstawe nformacj o topolog elementów węzłów; 6. uwzględnene w macerzy warunków brzegowych początkowych poprzez modyfkację współczynnków lub elmnację częśc równań;

7. rozwązane układu równań znalezene wartośc poszukwanych welkośc fzycznych w węzłach obszaru; 8. dla zagadneń nelnowych lub nestacjonarnych powtarzane etapów 6 7 aż do uzyskana żądanej dokładnośc lub osągnęca wymaganej lczby kroków czasowych. Istneje klka sformułowań MES. Najczęścej stosuje sę podejśce waracyjne, polegające na mnmalzacj funkcjonału lub sformułowane Galerkna oparte na metodze ważonych rezduów (reszt). Należy podkreślć, że obe metody prowadzą do jednakowego rozwązana, tj. zbudowana takego samego układu równań algebracznych. 13.3.3 Metoda ważonych rezduów Metoda ważonych rezduów jest narzędzem rozwązywana równań różnczkowych posada klka odman. Jeśl dowolne równane różnczkowe ważne jest w obszarze cągłym ogranczonym Ω, zapszemy symbolczne w postac: L( u ) = 0 w Ω (13.1) z warunkem brzegowym B( u ) = 0 na Γ = Γ 1 + Γ, (13.) to wstawając w rów.(13.) w mejsce funkcj u( x, y, z) jej przyblżene, otrzymujemy resztę R różną od zera, bowem funkcja aproksymująca û ne spełn dokładne równana różnczkowego: ( ) L uˆ = R 0. (13.3) Załóżmy, że funkcja û spełna warunk brzegowe (13.). Błąd aproksymacj R może być mnmalzowany (w średnm sense) przez ortogonalzację wyrażena (13.3),tj.:, (13.4) R, w = w R d Ω = 0 gdze w jest funkcją wagową zależną tylko od współrzędnych. Ω Jeżel lczba wartośc poszukwanej funkcj w węzłach jest n to należy wybrać n-lczbowo nezależnych funkcj wagowych w (=1,..n), z których każda mus spełnć równane (13.4). Uzyskuje sę w ten sposób odpowedną lczbę równań algebracznych: 13.3.3.1 Metoda kolokacj. w R d Ω = 0 dla = 1,,..., k. (13.5) Ω Jeśl przyjmemy, że warunek zerowana rezduum będze spełnony w skończonej lczbe punktów w Ω, to wówczas możemy wyrazć funkcje wagowe jako dystrybucje Draca - δ ( x x ) współrzędne punktów, w których spełnony będze warunek (13.5). Dystrybucja Draca posada tę własność, że dla każdej funkcj cągłej w x :,, gdze ξ wyraża f ( x) δ ( x, x ) dx = f ( x ). (13.6) Przyjmując postać aproksymującej funkcj jako: n uˆ = α ϕ, (13.7) k = 1 k k

3 gdze funkcje ϕk spełnają jednorodne warunk brzegowe, równane (13.4) można zapsać następująco: δ R d = Ω 0, (13.8) Ω gdze: δreprezentują funkcję Draca w punktach kolokacj = 1,,... n, R jest wyrażenem rezduum z rów. (13.3). W rezultace całkowana (13.8) otrzyma sę układ równań pozwalający na oblczene współczynnków α k dla k = 1,..., n, a następne określene postac poszukwanej funkcj u. Odmaną tej metody jest metoda kolokacj podobszarach, w której zakłada sę podzał obszaru rozwązana na szereg podobszarów oraz zakłada sę, że średn błąd w podobszarze zanka. Podobszary ne mają punktów wspólnych, ale razem pokrywają cały obszar rozwązana. W tym przypadku funkcje wagowe mogą być wyrażone przez funkcje Heavsde a H ( x ξ ), które są zdefnowane następująco: 1, x > ξ H ( x ξ ) =, (13.9) 0, x < ξ Przypadek kedy x = ξ, ne jest rozpatrywany. Przy odpowednm doborze funkcj aproksymującej otrzymany układ równań jest tożsamy z rozwązanem metodą różnc skończonych dla funkcj aproksymującej w postac welomanu drugego stopna. 13.3.3. Metoda momentów. W metodze momentów wybera sę jako funkcje wagowe zbór funkcj lnowo nezależnych, t.j. spełnających warunek: b f + b f +... + b f = 0 b = b =... = b = 0. (13.10) 1 1 n n 1 n Dla zagadnena jednowymarowego takm funkcjam są: 1, x, x,.... (13.11) Poszukwana funkcja u jest aproksymowana za pomocą równana (13.7). Wstawając powyższe wyrażena do warunku zerowana rezduum (13.4), otrzymuje sę układ równań zależny od parametrów α k, którego rozwązane pozwala na określene postac funkcj u. 13.3.3.3 Metoda najmnejszych kwadratów. Metoda najmnejszych kwadratów jest znana z jako jedna z metod oszacowana błędu pomaru. Polega na mnmalzacj kwadratu błędu poprzez oblczene pochodnej przyrównane jej do zera. Jeśl postać funkcj aproksymacyjnej wyraża sę wzorem (13.7) to wówczas rezduum jest funkcją neznanych współczynnków α, a mnmalzacja błędu będze dana układem n równań algebracznych dla = 1,..., n : k ( α ) R x, ( R( x, α )) dω = R ( x, α ) dω = 0 α α Ω Ω Funkcje wagowe w tym przypadku będą dane wyrażenem:. (13.1) R w =. (13.13) α

4 13.3.3.4 Metoda Galerkna. Metoda zaproponowana przez Galerkna jest szczególnym przypadkem metody ważonych rezduów, bowem stosuje sę w nej take same funkcje aproksymujące wagowe, tj.: uˆ = α1ϕ 1 + αϕ +... + αnϕn, (13.14) w = β1ϕ 1 + βϕ +... + βnϕn, (13.15) co z reguły prowadz do najlepszego przyblżena. Podstawając powyższe wyrażena do równana (13.5) otrzymamy układ równań, których rozwązane da poszukwane wartośc Często funkcję wagową zapsuje sę w postac: w = δu = δα1ϕ 1 + δα ϕ +... + δα nϕn, (13.16) gdze δα β, które to współczynnk są utożsamane z wrtualnym welkoścam fzycznym, np. przemeszczenam lub prędkoścam. Dzęk swojej własnośc równoważnych funkcj aproksymacyjnych wagowych współczynnk w układze równań są (na ogół) symetryczne, co ma duże praktyczne znaczene przy rozwązywanu tego układu. Metoda Galerkna jest najczęścej wykorzystywana przy formułowanu układów równań w metodze elementów skończonych. Aproksymacj funkcj u( x, y, z ) wewnątrz elementu skończonego dokonuje sę przy pomocy lnowej kombnacj neznanych wartośc węzłowych znanych funkcj bazowych (funkcj kształtu) : û = N u, (13.17) gdze: e = [ N 1, N,..., Nn ] = [ u,u,...,u ] e N macerz funkcj bazowych zależnych tylko od współrzędnych dla elementu e, e 1 e e e α. u wektor poszukwanych wartośc funkcj w węzłach elementu e. Dla całego obszaru można zapsać: û = N u. (13.18) Przyjmując funkcje wagowe w, take same jak funkcje bazowe N podstawając kolejno równane(13.18) do równana(13.3), a następne do (13.4), można stosowne równane metody Galerkna zapsać następująco: w ( ˆ L u) d Ω= N L( Nu ) d Ω = 0, = 1,... n. (13.19) Ω Ω Zakładając, że całka po całym obszarze Ω może być zastąpona sumą całek po elementach, otrzymujemy: gdze e - oznacza element skończony Ω T N L( Nu) d Ω= L( N u ) N dω, (13.0) m e= 1 Ωe e e e 13.3.4 Przykłady rozwązań jednowymarowych. Zasady stosowana metody Galerkna przedstawmy na przykładze przepływu Possevlle'a. Jest to stacjonarny, płask przepływ ceczy lepkej neścślwej, poruszającej sę pod wpływem sły cężkośc pomędzy dwema równoległym płytkam z perodycznym warunkam brzegowym (Rys.13.15). Na podstawe uzyskanych w p-kce VI. wynków możemy równane ruchu zapsać w forme uproszczonej:

5 Warunk brzegowe: d u µ 1= 0. (13.1) dy ( ) ( ) ( ) u ( x h) u 0, y = u l, y warunek perodycznośc, u x,0 =, = 0 warunek adhezj. (13.) Rys.13.15. Schemat oblczenowy dla przepływu płaskego pomędzy dwema płytkam. Przyjmjmy na podstawe rów. (13.17), że funkcja aproksymacyjna w obszarze jednoelementowym jest w postac: = N u (13.3) oraz û 1 1 π N 1 sn y h =. (13.4) Funkcja ta została dobrana w tak sposób, by spełnać warunek adhezj na powerzchn płytek, tj. 0 0 ( ) ( ) N = N h =. 1 1 Stąd: π û sn y u 1 h =. (13.5) Oblczamy następne funkcję resduum: d û π π y R = µ 1 = µ sn u1 1. (13.6) dy h h Po podstawenu do równana (13.4) : h h π π y π y wrdω = N1RdΩ = µ sn u 1 sn dy = h h h Ω 0 0 π y 1 cos π u h π y = µ dy sn dy = h h Oblczoną wartość u1 podstawamy do równana (13.5): h h 1 0 0 (13.7) π u h 4h = µ = = h π µπ 1 0 u1 3

6 4h π y û = sn. (13.8) 3 µπ h Błąd wyznaczena wartośc û w stosunku do rozwązana dokładnego danego wzorem: 1 µ u u = y ( h y) przedstawono na wykrese (Rys.13.16) w tabel 13..dla wartośc dokładnych - µ h µ û przyblżonych - h 0,14 0,1 0,1 0,08 0,06 0,04 0,0 0 0 0, 0,4 0,6 0,8 1 wartośc dokładne wartośc przyblżone Rys.13.16. Błąd tachody prędkośc dla rozwązana dokładnego przyblżonego MES. Tabela 13.. Procentowy błąd rozwązana MES y/h µu/h µ û /h (u- û)/u [%] 0.1 0. 0.3 0.4 0.5 0.045 0.080 0.105 0.10 0.15 0.039 0.076 0.104 0.1 0.19 Istotą metody elementów skończonych jest podzał obszaru na elementy skończone odpowedn dobór funkcj bazowych. Funkcje te muszą aproksymować rozwązane lokalne, tj. w obrębe elementu muszą być cągłe oraz zapewnać cągłość rozwązana na styku elementów. Spróbujmy zagadnene przepływu Possevlle'a rozwązać ponowne dla czterech elementów skończonych o długośc l każdy (Rys.13.17). 13.3 5.0 1.0 1.6 3.0

7 Rys.13.17. Podzał obszaru przepływu Possevlle'a na elementy. Każdy z elementów jest odcnkem zbudowanym na dwóch węzłach. Dla takego typu elementu zakłada sę, że funkcja u będze lnowa, jak przedstawono na rysunkach 13.18 13.113. Postać funkcj bazowej jest następująca: stąd Rys.13.18. Jednowymarowy element lnowy. û = ay + b, u = ay + b, u = ay + b, j j j û u u u j Nu N ju j y j y y j y y j y y j y j j u u u u y y y y = y y + = + = + = Nu. (13.9) Funkcje N N j nazywane są, ze względu na swój kształt, funkcjam daszkowym mają następujące własnośc (Rys.13.19): N =1, N =0 dla węzła, N j=0, N j=1 dla węzła. j (13.30)

8 Rys.13113. Funkcje daszkowe. Zauważmy jeszcze, że: j d N 1 d N j 1 1 =, = Ndy = l dy l dy l y. (13.31) Obnżamy rząd pochodnej w równanu rezduum poprzez całkowane perwszego członu przez częśc: h h h h h µ d u du du dw w dy wd y = w dy wd y dy dy dy 0 dy 0 0 0 0 y. (13.3) Z warunku brzegowego na u wynka, że perwszy człon po prawej strone rów. (13.3) jest równy zeru. Dla elementu 1 na podstawe równań (13.9) (13.3) oraz z warunku lnowej nezależnośc funkcj bazowych oblczamy: dla węzła 1: y y1 y duˆ dn 1 µ N1 du = 0 dy dy, (13.33) y1 stąd: µ u u = l ; (13.34) l l 1 1 dla węzła : stąd: y y duˆ dn dy Ndy 0 dy dy, (13.35) y1 y1 µ = µ 1 1 ( u u ) l l + l =. (13.36) Równane macerzowe elementu 1 ma węc postać:

9 µ 1 1 1 u1 1 l 1 1 = u. (13.37) Powtarzając procedurę oblczenową dla pozostałych trzech elementów możemy utworzyć globalne równane macerzowe jako sumę po wszystkch macerzach elementów oznaczonych lną przerywaną: 1 1 1 0 0 0 u1 1 1 1 1+ 1 1 0 0 u + µ 1 1 0 1 1+ 1 1 0 u 3 = +. (13.38) l 1 1 0 0 1 1+ 1 1 u4 + 1 0 0 0 1 1 u 5 Po uwzględnnenu warunku zerowana prędkośc na brzegu (13.) macerz ta redukuje sę do postac zaznaczonej lną cągłą. Rozwązane (13.38) daje następujące wartośc, które odpowadają rozwązanu ścsłemu: 3 h 1 h u = u 3 =, u4 =. 3 µ 8 µ 13.3.5 Rodzaje elementów ch funkcje bazowe. W zależnośc od wyboru kształtu elementu, lczby węzłów w elemence ch rozmeszczena oraz wyboru funkcj bazowych otrzymuje sę różne rodzaje elementów skończonych dla rozwązana zagadneń jedno-, dwu- trójwymarowych, opsanych równanam różnczkowym rzędu drugego. Przykłady różnych elementów ch funkcj bazowych przedstawono w tabel 13.3. Obszerne omówene sposobu wyprowadzena funkcj bazowych dla elementów przedstawonych w tabel 3 oraz nne rodzaje elementów, w tym elementy krzywolnowe, można znaleźć w monografach [Odena, 197], [Zenkewcza, 1978], [Owena, 1980].

10 Tabela 13.3. Rodzaje elementów skończonych Typ elementu Geometra elementu Funkcje bazowe 1. Jednowymarowy N = 1 ξ. Jednowymarowy drugego rzędu N = ξ ( ξ 1) 3. Trójkątny N N N N N N L L L j k j j j k = ξ 1 = 1 ξ 1 = ξ ξ + = L = L j = L = = = k ( 1) ( j k k j ) + ( j k ) + ( k j ) x y x y y y x x x y A x y x y y y x x x y ( ) + ( ) + ( ) k k k k A ( j j ) + ( j ) + ( j ) x y x y y y x x x y A pole trójkąta A

4. Trójkątny drugego rzędu węzły narożne: N = L 1 L td. ( ) węzły na środkach boków: N = 4L L td. m j 11 5. Prostokątny (rodzna serendpowska) 1 N = 4ab b x a y 1 N = 4ab b + x a y 1 N = 4ab b + x a + y 1 N = 4ab b x a + y ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) x y Podstawając ξ = oraz η = otrzymuje sę: a b 1 N = ( 1 + ξξ )( 1 + ηη ) ξ = ± 1, η = ± 1 4

6. Prostokątny drugego rzędu (rodzna serendpowska) 7. Izoparametryczn y (czworokąt) 8. Czworoścenny Węzły narożne: 1 N = 1 + ξξ 1 + ηη ξξ + ηη 1 4 ξ = ± 1, η = ± 1 ( )( )( ) Węzły na środkach boków: 1 ξ = 0, N = ( 1 ξ )( 1+ ηη ) 1 η = 0, N = ( 1+ ξξ )( 1 η ) ( 1 ξ )( 1 η ) 1 N = ( 1 ξ )( 1 η ) x = Nm ( ξ, η ) xm 4 1 N = ( 1 + ξ )( 1 η ) y = N ( ξ, η ) y 4 1 Nk = ( 1 + ξ )( 1 + η ) m = (, j, k, l) 4 N = + N l j m m a + b x + c y + dz = L = 6V x j y j z j 1 y j z j a = xm ym z m, b = 1 ym z m xk yk z k 1 yk z k 1 x j z j 1 x j y j c = 1 xm z m, c 1 xm y = m 1 xk z k 1 xk y k 1

9. Prostopadłoścan (rodzna serendpowska) V objętość czworoścanu 13 1 N = 1 + ξξ 1 + ηη 1 + ξξ 8 ( )( )( ) 10. Prostopadłoścan drugego rzędu (rodzna serendpowska) Węzły narożne: 1 N = 1 + ξξ 1 + ηη 1 + ζζ ξξ + ηη + ζζ 8 ( )( )( )( ) Węzły na środkach boków: ξ = 0, 1 = ( 1 ξ )( 1 + ηη )( 1 + ξξ ) td. 4 N

13.3.6 Aproksymacja lokalna globalna. Przedstawone w tabel 13.3. funkcje kształtu wyrażone są w lokalnych, charakterystycznych dla danego typu elementu układach współrzędnych wraz z lokalną numeracją jego węzłów. Dla zbudowana macerzy dla całego obszaru nezbędna jest transformacja macerzy poszczególnych elementów do układu globalnego. Procedura ta jest prosta polega na dodanu do właścwych pozycj macerzy całego układu równań odpowednch wyrazów macerzy elementu, zgodne z numeracją węzłów elementu w układze globalnym (tak jak w rozpatrywanym uprzedno przykładze). W ten sposób globalna reprezentacja funkcj aproksymującej jest sumą jej wartośc lokalnych uzyskanych z oblczeń wszystkch elementów skończonych. Jeżel lokalne układy elementów skończonych są obrócone w stosunku do układu globalnego, jak np. dla elementów zoparametrycznych (poz. 7 w tabel 13.3), zachodz potrzeba transformacj współrzędnych dla właścwego oblczena pochodnych całek. Macerz transformacj J, zwana macerzą Jacobego, zdefnowana jest następująco: x y ξ ξ = x x η η Transformacja pochodnych wymaga wykonana następującej operacj: J. (13.39) Oblczane całek wykonuje sę według wzoru: u x = u y ( ) dx dy = ( ) u ξ u η 1 J, (13.40) J d ξ d η. (13.41) Po transformacj macerzy elementów do układu globalnego otrzymujemy układ równań lnowych w ogólnej postac macerzowej: Au ˆ = b, (13.4) gdze macerz A jest symetryczna, pasmowa dodatno określona. W wynku rozwązana układu równań (13.4), tj. znalezene wektora û, wymaga zastosowana procedury numerycznej bezpośrednej np. Gaussa, metodę rozkładu macerzy na układy trójkątne, metodę sprzężonych gradentów. W przypadku układu równań z dużą, rzadką macerzą najczęścej stosuje sę metodę teracyjnej Gaussa-Sedela, Jacobego lub Czybyszewa. W przypadku nelnowego równana konstytutywnego, np. równana Navera-Stokesa lub/ nelnowych warunków brzegowych, otrzymamy układ równań nelnowych. Rozwązane takego układu równań jest dużo bardzej skomplkowane trudno jest sformułować jednolte kryterum stnena rozwązana bez dodatkowych założeń na macerz układu równań [Fortuna, 005]. Ogólne można powedzeć, że do rozwązana takego układu stosuje sę

procedury teracyjne take jak nelnowa metoda Newtona, Gaussa-Sedela, lub nne, których szerszy ops można znaleźć w lteraturze [Fortuna, 005], [Björck,1983], [Zenkewcz, 1978]. 13.3.7 Algorytm MES rozwązana równana przepływu ceczy lepkej neścślwej. W punkce 13..4.1 został określony problem przepływu ceczy lepkej, dla której, w skutek wolnego płynęca, można w rozważanach pomnąć sły bezwładnośc - opsany równanem Stokesa. Przyjmjmy równeż, że brzeg obszaru składać sę będze z odcnków brzegu stałego neprzepuszczalnego na którym obowązują warunk Drchleta dla prędkośc oraz odcnków brzegu stanowącego grancę obszaru płynnego, na którym zadane są warunk perodycznośc dla cśnena oraz prędkośc. W nnejszym punkce przedstawona zostanem metoda rozwązana tego zagadnena przy wykorzystanu technk sprzężonych gradentów metody elementów skończonych Galerkna. Wykorzystajmy metodę sprężonych gradentów (ze stałym krokem teracyjnym) do rozwązana następującego zagadnena opsanego równanam -. Załóżmy ponadto, że rozważamy cśnene knematyczne, t.j.: P p ρ = : 1 o zakładamy znajomość rozkładu początkowego cśnena dla t = 0 : o dla n 0 defnujemy n u n 1 P + 0 P - perodyczne na za pomocą Γ ; (13.43) n P z równana: f n n µ u = f P w Ω, (13.44) u n = g 0 na s n u perodyczne na Γ, (13.45) Γ f, (13.46) n 1 n n P + = P α u, (13.47) n 1 P + perodyczne na f Γ. (13.48) Metoda ta jest zbeżna gdy [Głowńsk, 1983]: µ 0 < α < (13.49) N gdze: N - wymar przestrzen,α - parametr mający wymar kroku czasowego. Zauważmy jeszcze, że mmo ż problem opsany równanam (13.43) - (13.48) jest rozwązanem n nezależnych zagadneń Drchleta, to przyjmując, że α t w praktyce sprowadza sę do rozwązywana równana różncowego dla pochodnej po czase: n 1 n P + P + n = t 0 u. (13.50) Zastosowane metody elementów skończonych Galerkna do tego zadana wymaga oblczena macerzy elementów dla wszystkch wyrażeń występujących w równanach (13.44) (13.47). Zakładając, że poszukujemy rozwązana w przestrzen R, dogodne jest zastosować trójkątne, lnowe elementy

skończone z newadomym składowym prędkoścam w narożach cśnenem w środku elementu traktowanym jako funkcja odcnkam stała. Stosując klasyczną metodę Galerkna do każdego z równań otrzymujemy dla elementu następujące wyrażena macerzowe: z równana (6.65) otrzymamy: µ A u = F C P, (13.51) n n j j x x e z równana (6.68) µ A v = F C P, (13.5) n n j j y y e B P + = B P ρ( E u + E v. (13.53) n 1 n n e e xj j yj j Zgodne z zasadam omówonym w rozdzale 13.3.3.4 poszczególne wyrazy macerzy oblczane są na podstawe następujących wzorów całkowych: A N N j N N j j = ( + ) d Ωe Ω x x y y, (13.54) e Dla csnena przy założenu, że jego wartość w elemence będze stała otrzymamy: B = 1dΩ e, (13.55) Ω e N = d Ωe, ( α=x,y ) Ω α C α, (13.56) e E N j xj = N d Ωe, ( α = x, y ) Ω α, (13.57) e F = α N fα d Ωe, ( α = x, y). (13.58) Ωe gdze:, j oznaczają numery węzłów w elemence skończonym (np. dla elementów trójkątnych 1 do 3), w przypadku powtarzana sę ndeksów obowązuje umowa sumacyjna, e - oznacza numer elementu. Praktyczne oblczena numeryczne zagadnena przepływu Stokesa z perodycznym warunkam brzegowym zostały przedstawone w rozdzale VI. 13.3.8 Przykłady zastosowana MES. Przykład 1: Rozwązane zagadnena opływu fundamentu budowl pętrzącej.

Rozpatrzmy zagadnene opływu budowl pętrzącej posadowonej na grunce przepuszczalnym dla wód gruntowych. Zakładamy, że mamy do czynena z ośrodkem uwarstwonym, złożonym z dwóch warstw o różnych współczynnkach fltracj. Załóżmy, że mąższość warstwy pasku grubego zalegającego pod fundamentem budowl pętrzącej wyżej wynos m1 = 0m 4 współczynnk fltracj wynos k = 10 m / s. Ponżej tej warstwy zalega warstwa żwru o mąższośc 3 m = 10m współczynnku fltracj równym k =,5*10 m / s. Pod fundamentem budowl pętrzącej zostały zamontowane dwe ścank szczelne jedna o długośc L1 = 10m, a druga o długośc L = 15m. Szerokość fundamentu budowl pętrzącej wynos s = 5m. Pomędzy ścankam szczelnym umejscowono dren w postac rury o średncy d = 0.8m. Przepływ wód podzemnych odbywa sę pod dzałanem gradentu wysokośc hydraulcznej. Dla uproszczena przyjęto, że po strone odpowetrznej wysokość hydraulczna wynos h = 0m, a po strone zbornka wodnego wysokość h = H wysokośc spętrzena wody. Poszukujemy funkcj potencjału prędkośc fltracj Φ = kh funkcj prądu Ψ. Rozpatrywane zagadnene dotyczy rozwązana równana Laplace a, które dla przypadku oblczana potencjału prędkośc fltracj ma postać: a dla przypadku funkcj prądu: Φ = 0, Ψ = 0. Schemat zagadnena przedstawono na Rys. 13.0

Rys. 13.0. Schemat opływu budowl pętrzącej z wygenerowaną satką elementów skończonych. Na brzegach obszaru fltracj przyjęto warunk brzegowe różne w zależnośc od zagadnena : 1. poszukwana potencjału prędkośc Φ - przedstawono na Rys. 13.1a);. poszukwana funkcj prądu Ψ - przedstawono na Rys. 13.1b). a) b) Rys. 13.1. Warunk brzegowe zagadnena opływu budowl pętrzącej dla oblczeń rozkładu ln ekwpotencjalnych wysokośc hydraulcznej: a) dla zagadnena potencjału prędkośc Φ, b) dla zagadnena funkcj prądu Ψ. Oblczena wykonano dla klku welkośc różncy wysokośc hydraulcznej: H = 10m, H = 50m, H = 100m. Na Rys. 13. przedstawono wynk oblczeń wartośc funkcj wysokośc hydraulcznej dla H = 50m. Kształt funkcj wysokośc hydraulcznej ne ulega zmane jedyne zmenają sę wartośc funkcj h( x, y ) Trójwymarowy wykres zman wysokośc hydraulcznej dla H = 50 przedstawono na Rys.13. 3. Rozkład wysokośc hydraulcznej wzdłuż powerzchn ogranczającej od góry obszar fltracj obrazuje wykres na rys. 13.4 wykonany dla H = 50m. Na podstawe rys. 13.4 można zauważyć, że ścank szczelne powodują znaczną redukcję wysokośc hydraulcznej, co znaczne zmnejsza nebezpeczeństwo utraty statecznośc

fltracyjnej obszaru fltracj. Dla lustracj przedstawmy równeż rozkład wysokośc hydraulcznej wzdłuż ln rozgranczającej obszaru o różnych współczynnkach fltracj rys. 13.5. Rys. 13.. Wynk oblczeń wartośc funkcj wysokośc hydraulcznej dla H = 50m.

Rys. 13.3. Trójwymarowy wykres wysokośc hydraulcznej dla H = 50m.

Rys. 13.4. Wykres wysokośc hydraulcznej na ln brzegowej ogranczającej od góry obszar fltracj. Rys. 13.5. Wykres wysokośc hydraulcznej na ln rozgranczającej obszary fltracj o różnych współczynnkach fltracj. Dla zobrazowana pola prędkośc fltracj przedstawone je przykładowo dla trzech lokalzacj: w poblżu wypływu wody z gruntu po strone odpowetrznej (dla H = 50m ) na Rys. 13.6.

Rys.13.6. Pole prędkośc w obszarze wypływu wody po strone odpowetrznej. w okolcy opływu drugej ścank szczelnej (dla H = 50m ) na Rys.13.7.

Rys. 13.7. Pole opływu w okolcy dolnego końca ścank szczelnej. w okolcy drenu (dla H = 50m ) na Rys.13.8: Rys. 13.8. Pole prędkośc fltracj w poblżu drenu. Przyjmując kryterum zastnena stanu upłynnena gruntu na skutek fltracj, oblczono pole skalarne potencjału sł masowych R (patrz rozdz. IV pracy), który wyraża sę wzorem: gh y R = ρ + + R ( ) 0 Welkość R dla poszczególnych trzech wartośc H = 10 m, H = 50 m, H = 100m ma postać wyrażoną na wykresach Rys. 13.9 a) - d)

Rys. 13.13. Pole potencjału sł masowych R : a) dla H = 10m, b) dla H = 50m, c) dla H = 100m,d) dla H = 150m. Dla zobrazowana powstane stref upłynnena gruntu pokazano na Rys. 13.30. zolne składowej ponowej sł masowych fltracj dla obszaru najbardzej narażonego na upłynnene.

Rys. 13.30. Wykres składowej ponowej sł masowych oddzaływujących na szkelet gruntowy. a) dla H = 10m, b) dla H = 50m, c) dla H = 100m,d) dla H = 150m. Na podstawe wykresów 13.9 a)-d) wdać, że w zależnośc od gradentu hydraulcznego zmena sę w sposób stotny kształt funkcj potencjału sł masowych, co ma stotny wpływ na stateczność fltracyjną obszaru fltracj. Z kole z wykresów 13.30 a)-d) można wnoskować, że dla H = 10m ne występuje strefa, dla której składowe ponowe sł masowych są mnejsze lub równe zeru, ne ma węc zagrożena wystąpena utraty statecznośc fltracyjnej. Dla H = 50m welkość ponowych sł masowych jest w okolcy dolnego końca ścank szczelnej rzędu welkośc zera (obszar oznaczony ntensywnejszym kolorem zelonym) Sytuacja ta ne zagraża jednakże statecznośc całego obszaru fltracj. W przypadku gdy H = 100m obszary te (kolor ntensywne zelony) są znaczne wększe. Jak wynka to z rysunku 13.30d) dla H = 150m obszar oznaczony kolorem słabym zelonym ma dodatne wartośc składowej ponowej jest węc obszarem upłynnena. Trudno

sobe jednakże wyobrazć tak welke spętrzene wody, węc przyjęte zabezpeczene w postac drenu ścanek szczelnych zabezpecza w rozpatrywanym przypadku obszar fltracj dla różncy wysokośc hydraulcznej h 50m. Ponżej, na Rys. 13.31 przedstawono analogczny wykres ponowej składowej sł masowych, gdy ne zastosujemy zabezpeczeń w postac ścanek szczelnych drenażu, a pozostałe parametry zagadnena brzegowego pozostawmy bez zmany. Już przy wysokośc spętrzena równej 40 m. wartość składowej ponowej sły masowej osąga wartość zero przy wypływe, co może być przyczyną postępującego upłynnena całego obszaru. Rys. 13.31. Wykres składowej ponowej sł masowych oddzaływujących na szkelet gruntowy w przypadku analogcznego zadana ale z pomnęcem ścanek szczelnych drenażu dla H = 40m. Rozwązane drugego zagadnena pozwala na określene funkcj prądu dla rozpatrywanego zadana. Ponżej na Rys. 13.3 przedstawono wykres funkcj prądu Ψ.

Rys. 13.3. Wykres funkcj prądu. Przykład : Rozwązane zagadnena fltracj przez grodzę zemną przepuszczalnym. na grunce Rozpatrzmy zagadnene fltracj wody przez grodzę zemną posadowoną na grunce przepuszczalnym dla wód gruntowych. Załóżmy, że mąższość warstwy pasku grubego zalegającego pod grodzą zemną budowl 4 pętrzącej wyżej wynos m1 = 100m współczynnk fltracj wynos k = 10 m / s. 0 Grodza zemna o wysokośc 9m ma skarpy nachylone pod katem 45. Po strone odpowetrznej, u podnóża skarpy został położony dren pozomy o długośc 10m. Cała szerokość zapory merzona u jej podstawy wynos 0m. Założono wysokość spętrzena wody na 8m. Wykonano oblczena metodą elementów skończonych przy wykorzystanu programu Flex PDE5. Oblczena wykonano w dwóch etapach:

1. oblczono funkcję wysokośc hydraulcznej h( x, y ), przyjmując warunk brzegowe zagadnena jak na Rys. 13.33; Rys. 13.33. Warunk brzegowe dla oblczeń funkcj wysokośc hydraulcznej.. oblczono funkcję prądu ( x, y) Ψ, przyjmując warunk brzegowe jak na Rys. 13.34. Rys. 13.34. Warunk brzegowe do oblczena funkcj prądu Ψ.

Geometrę obszaru fltracj wraz z wygenerowaną przez program satką trójkątnych elementów skończonych przedstawono na Rys.13.35. Rys. 13.35. Geometra obszaru fltracj. W wynku oblczeń otrzymano wartośc funkcj wysokośc hydraulcznej, której prezentację grafczną przedstawono na Rys.13.36

Rys..36. Rozkład wysokośc hydraulcznej w obszarze fltracj. Wartośc funkcj prądu dla rozpatrywanego przypadku przedstawono na Rys. 13.37.

Rys. 13.37 Rozkład funkcj prądu. Porównując uzyskane wynk z rezultatam oblczeń satk hydrodynamcznej przepływu dla tego przypadku wdzmy, że uzyskane wynk są analogczne do uzyskanych metodą analtyczną. W procese oblczeń uzyskano potencjał sł masowych, który przedstawono na Rys. 13.38. Rys. 13.38. Potencjał sł masowych. Znając wartośc potencjału sł masowych, można oblczyć strefy wypadkowych ponowych sł masowych, określć czy występują w jakm zakrese obszary narażone na utratę statecznośc fltracyjnej. Na przedstawonym ponżej rysunku 13.39 dostajemy taką strefę przy założonej wysokośc spętrzena wody w okolcy drenu pozomego.

Rys. 13.313. Obszary warunku statecznośc fltracyjnej. Jak wdać, obszar przekroczena warunku statecznośc fltracyjnej występuję wewnątrz grodzy w okolcy końca drenu. Ponadto w dość obszernym obszarze wypadkowa ponowa sła masowa jest blska zeru.jak wdać, przyjęty pozom spętrzena wody stwarza dla przyjętego modelu fltracj sytuację blską utraty statecznośc fltracyjnej. Na pewno w obszarze drenu możemy lczyć sę z sufozją drobnejszych cząstek przemeszczene sę ch do obszaru drenu, co może powodować kolmatację drenu, szczególne w przypadku gdy do jego wykonana użyto materałów geotekstylnych. Ponżej na Rys. 13.40 Rys. 13.41 przedstawono wykresy prędkośc v x v y fltracj wzdłuż ln pozomej stycznej do drenu pozomego.

Rys. 13.40. Wykres prędkośc ponowej wzdłuż ln 1-. Rys. 13.41. Wykres prędkośc pozomej wzdłuż ln 1-.

Przykład 3: Rozwązane zagadnena porosprężystośc Bota wywołanej dzałanem drenów obcążena. Rozwążemy płaske zadane porosprężystośc w płaskm stane odkształcena. Układ równań porosprężystośc Bota wyrażony w przemeszczenach sprowadza sę do układu trzech równań różnczkowych cząstkowych, które zgodne z teorą konsoldacj Bota przedstawoną w rozdzale IV, ma postać: u u v H σ + + + + =, x y x y R x ( M N ) N ( M N ) v v u H σ + + + + =, x y x y R x ( M N ) N ( M N ), RK t RK x t y t 1 σ H u v σ = + (13.59) gdze: u oznacza przemeszczene w kerunku os x, v oznacza przemeszczene w kerunku os y, σ oznacza naprężene w ceczy powązane z cśnenem p zwązkem: σ = fp, (13.60) K jest współczynnkem wyrażonym wzorem: k K =, (13.61) f ρg przy czym k jest wspólczynnkem fltracj Darcy ego, f oznacza porowatość, a właścwy wody M,N,H,R są to stałe Bota rozważanego ośrodka. ρ g określa cężar Powyższy układ przemeszczenowych równań porosprężystośc Bota uzupełnają: Zwązk konstytutywne cała Bota dla przypadku procesów zotermcznych:

gdze Q Q 1 σ xx = N + M ε xx + M ε yy + σ, R R R Q Q 1 σ xx = M ε xx + N + M ε yy + σ, R R R Q τ xy = M ε xy, R (13.6) σ xx jest naprężenem normalnym w kerunku os x, σ yy jest naprężenem normalnym w kerunku os y, τ xy jest naprężenem stycznym, ε xx, ε yy, ε xy są odkształcenam określonym zwązkam geometrycznym. Zwązk geometryczne w przypadku małych odkształceń (zwązk lnowe): u ε xx =, x v ε yy =, y ε xy 1 v u = +. x y (13.63) Dla przedstawonego powyżej rozwązano przykładowo dwa zagadnena: a. konsoldację warstwy o skończonej mąższośc pod wpływem dzałana drenów kołowych o określonej średncy: jednego odprowadzającego cecz z ośrodka na skutek dzałana podcśnena względem cśnena atmosferycznego; drugego nawadnającego ośrodek na skutek nadcśnena względem cśnena atmosferycznego, b. konsoldację warstwy pod wpływem obcążena przekazywanego przez sztywną płytę fundamentową na grunt drenażu pozomego w postac rurek drenarskch. Ad a) Rozwązane zagadnena asymetrycznego odkształceń cała Bota pod wpływem dodatnego ujemnego źródła kołowego ceczy. Zagadnene odkształceń ośrodka Bota pod wpływem źródeł ceczy było tematem lcznych publkacj [Gaszyńskego 1998, 004]. Do oblczeń przyjęto następujące welkośc parametrów ośrodka: Współczynnk fltracj k 9 = 1,5*10 m / s, Porowatość: f = 0,3,

Cężar właścwy wody: 4 3 ρ g = 10 N / m, Stałe Bota, na podstawe dysertacj doktorskej [Emmrcha, 1984], dla kaolntu z kopaln Mara w Nowogródźcu: N = 50MPa, M = 80MPa, R = 150MPa, H = 750MPa. Przyjęto, że warstwa ośrodka ma mąższość równą m = 40m oraz przyjęto, że rozpętość warstwy wynos ld = 100m. Średncę drenów przyjęto równą d = 0, 4m, a ch usytuowane jest symetryczne względem os ponowej przechodzącej przez współrzędną ld /. Satkę elementów skończonych oraz geometrę obszaru pokazano na Rys. 13.4. Rys. 13.4. Geometra zagadnena. Warunk granczne zagadnena. Warunk brzegowe przedstawono schematyczne na Rys.13.43.

Rys. 13.43. Warunk brzegowe zagadnena. Przyjęto następujące warunk początkowe: ( 0) ( 0) ( 0) u = 0, v = 0, σ = 10 kpa. Oblczena wykonano dla czasów: 3 4 5 6 7 8 9 10 0 t = 0.1 s,1 s,10 s,10 s,10 s,10 s,10 s,10 s,10 s,10 s,10 s,10 s,...10 s. Ponżej przedstawmy tylko wybrane rezultaty dla czasu: t = 1s t 0 = 10 s. Przemeszczena dla czasu t = 1s przedstawono na Rys. 13.44.

Rys. 13.44. Pole wektorowe przemeszczena dla t = 1s. Pole przemeszczeń po zakończene procesu konsoldacj obrazuje Rys. 13.37. Rys. 13.45. Pole wektorowe przemeszczeń dla t 0 = 10 s.

Wdać wyraźne różncę pomędzy stanem początkowym pola przemeszczeń a polem po zakończenu procesu konsoldacj cała Bota. Dla zobrazowana pola przemeszczeń węzłów satk elementów skończonych przedstawono je w skal skażonej po zakończenu procesu konsoldacj na Rys. 13.46 (przemeszczena węzłów przemnożono przez lczbę 500). Rys. 13.46. Przemeszczena węzłów satk po czase t 0 = 10 s. Pole przemeszczeń pozomych dla czasu t = 1s przedstawono na Rys. 13. 47a), natomast pole 0 przemeszczeń pozomych dla t = 10 s na Rys. 13.47b). Zarówno dla czasu początkowego, jak po czase odpowedno długm, aby uznać, że proces odkształceń sę zakończył, obraz jest symetryczny względem os ponowej przechodzącej przez połowę szerokośc modelu oblczenowego, co zgodne jest z ntucją.

Rys. 13.47. Rozkład przemeszczeń pozomych dla czasu: a) dla t = 1s ; b) dla t 0 = 10 s. Analogczne rozkład przemeszczeń ponowych przedstawono dla czasu t = 1s na Rys. 13.48a) 0 oraz dla czasu t = 10 s na Rys. 13.48b). Wynk oblczeń pokazuje antysymetryczny charakter rozkładu przemeszczeń w obszarze konsoldacj. Rys. 13.48. Rozkład przemeszczeń ponowych dla czasu: a) dla t = 1s ; b) dla t 0 = 10 s. Ponżej przedstawmy porównane naprężeń hydrostatycznych σ prawe natychmastowych po 0 czase t = 0,1s na Rys. 13.49a oraz po czase t = 10 s na Rys. 13.49b. Wdzmy, że po odpowedno długm czase naprężena hydrostatyczny tworzą w obszarze fltracj

antysymetryczne dwa leje przechodzące jeden w drug. Rozkład cśneń σ pozwala określć lne prądu fltrującej przez ośrodek ceczy. Rys. 13.413. Trójwymarowy naprężeń wykres hydrostatycznych: a) dla t = 0,1s ; b) dla t 0 = 10 s. Program pozwala na obserwację przepływu wody w ośrodku konsoldującym. Dla przykładu pokażemy pole prędkośc fltracj w poblżu drenu odcągającego wodę z ośrodka (drenu 0 ujemnego) dla momentu t = 1s na Rys. 13.50a) oraz dla t = 10 s na Rys.13.50b).

Rys. 13.50. Pole prędkośc w poblżu drenu a) dla t = 1s ; b) dla t = 10 0 s Interesujący jest wykres składowej ponowej prędkośc fltracj na pozome terenu. Przedstawono go na Rys. 13.51. Zgodne z przewdywanem, wartość składowej ponowej wektora prędkośc fltracj zmena znak jest skerowana w dół, w kerunku drenu ujemnego (ssącego) w obszarze ponad tym drenem oraz w górę w obszarze drenu dodatnego. Rys. 13.51. Składowa ponowa prędkośc fltracj na brzegu obszaru dla t 0 = 10 s.

Ad b) Rozwązane zagadnena konsoldacj warstwy pod wpływem obcążena przekazywanego przez sztywną płytę fundamentową na grunt pod wpływem budowl pętrzącej fltracj Zagadnene odkształceń ośrodka Bota pod wpływem obcążena było tematem lcznych publkacj [Sobczyńskej, 1966, 1967], [Strzeleckego, 1973a, 1973b, 1973c, 1974b], [Gaszyńskego, 1978, 1980, 1998], [Gaszyńskego nnych, 1975a, 1975b, 1975c, 1976, 1977]. Ne znalezono w lteraturze rozwązań analtycznych, w których jednocześne do ośrodka przykładano by obcążene narzucono gradent wysokośc hydraulcznej. Rozpatrywane przez nas zagadnene ma charakter dydaktyczny. W zagadnenach zwązanych z procesam rzeczywstym należałoby ułożyć pewen scenarusz oblczeń, zwązany z odwzorowanem procesów naturalnych, zawerający proces osadań pod wpływem sł cężkośc, proces wzrostu naprężeń wywołany budową konstrukcj budowl pętrzącej na końcu spętrzene wód wpływ fltracj na proces odkształcena naprężena. Istnejące narzędza nformatyczne w pełn pozwalają na tak zaprogramowany proces analzy zjawsk pełzana ośrodka porowatego. Do oblczeń przyjęto welkośc parametrów ośrodka dentyczne jak w poprzednm przykładze oblczenowym. Schemat oblczenowy oraz satkę elementów skończonych przedstawono na Rys. 13.5. Rys. 13.5. Geometra zagadnena satka elementów skończonych. Przemeszczena węzłów satk w skal skażonej (składowe przemeszczena przemnożono przez 1000) przedstawono na Rys. 13.53, przy czym przemeszczena satk w chwl t = 0, 01s - Rys.13.53a) można traktować jako przemeszczena natychmastowe, natomast 0 przemeszczena po czase t = 10 s (Rys. 13.53b) reprezentują przemeszczena końcowe po procese konsoldacj.

Rys. 13.53. Przemeszczena satk elementów skończonych w skal skażonej po czase 0 a) t = 0, 01s b) t = 10 s. Wektorowe pole przemeszczeń w dwóch skrajnych momentach czasowych przedstawono na Rys. 13.54. Jak wdać, pole przemeszczeń od początku zachowuje ten sam charakter. Obraz przemeszczeń różn sę jedyne co do wartośc wektorów przemeszczena. 0 Rys. 13.54. Pole wektorowe przemeszczeń a) t = 0, 01s b) t = 10 s.

Ponżej przedstawono pole wartośc składowej pozomej naprężeń σ xx dla trzech przedzałów 0 czasowych: Rys. 13.55a) t = 0,1s, Rys.13.55b) t = 10000s, Rys.13.55c) t = 10 s. 0 Rys. 13.55. Pole naprężeń σ dla a) t = 0,1s b) t = 10000s c) t = 10 s. xx Przedstawone rysunk wskazują na ewolucję naprężeń pozomych w czase. Wartośc naprężeń mają w całym obszarze znak ujemny (ścskane). Kształt zoln naprężeń wskazuje na stotny wpływ na pole naprężęń pozomych rozkładu naprężeń hydrostatycznych fltracj wody przez ośrodek. Pole naprężeń ponowych dla trzech czasów przedstawono na Rys.13.56a dla t = 0,1s Rys. 0 13.56b dla t = 10000s, Rys. 13.56c dla t = 10 s. Wdać na przedstawonych rysunkach, że charakter zoln naprężeń ponowych σ ulega stotnej zmane w procese konsoldacj. Znak yy naprężeń jest jednak w całym obszarze ujemny, co wskazuje na fakt, że mamy do czynena ze ścskanem w całym obszarze konsoldacj. Naprężena po zakończenu pełzana ośrodka porowatego pokazują, że welkość naprężeń ponowych jest o rząd welkośc wększa pod

budowlą pętrzącą nż po strone odpowetrznej budowl pętrzącej. Łatwo sprawdzć, że wraz ze wzrostem cśnena hydrostatycznego po strone spętrzonej wody mamy do czynena ze spadkem welkośc tych naprężeń aż do zmany znaku. Metoda ta może służyć do określana warunku grancznego upłynnena ośrodka porowatego, czyl określena strefy przekroczena statecznośc fltracyjnej ośrodka. 0 Rys. 13.56. Pole naprężeń σ dla a) t = 0,1s b) t = 10000s c) t = 10 s. yy Istotną rolę w procese konsoldacj odgrywa ewolucja w czase naprężena hydrostatycznego w czase. Ponżej przedstawono proces ewolucj tego naprężena dla t = 0,1s - Rys.13.57a, dla 0 t = 10000s - rys. 13.57b, dla t = 10 s - Rys. 13.57c. Powyższe wykresy 3D pokazują, jak w początkowej faze procesu pełzana odgrywa przyłożone obcążene poprzez sztywną płytę fundamentową, a w późnejszym okrese, jak na kształt funkcj ma wpływ różnca cśneń po strone spętrzena wody po strone odpowetrznej budowl pętrzącej. Końcowy rozkład funkcj naprężena hydrostatycznego jest charakterystyczny dla przypadku, gdy mamy do czynena tylko z fltracją wody opływającej budowlę pętrzącą. Wpływ obcążena cężarem budowl pętrzącej całkowce zanka.

Rys. 13.57. Naprężene hydrostatyczne w 3D dla a) t = 0,1s, b) t = 10000s, c) t 0 = 10 s. Mmo że ne zajmujemy sę modelem lepko sprężysto plastycznym cała Bota oblczyć możemy zachowane sę potencjału plastycznośc G, lnowego modelu Coulomba Mohra, zdefnowanego wzorem: 1 1 G = ( σ1 σ ) + ( σ1 + σ ) snϕ c cosϕ, (13.64) gdze σ 1 σ, to naprężena główne wyrażone przy pomocy składowych tensora naprężena dla płaskego stanu odkształcena wzoram: σ j

1 1 σ1 = ( σ + σ ) + ( σ σ ) + τ 1 1 σ = ( σ + σ ) ( σ σ ) + τ xx yy xx yy 4 xy, xx yy xx yy 4 xy. (13.65) Na ponższych rysunkach przedstawono wykresy welkośc potencjału G w obszarze modelu dla 0 t = 0,1s - Rys. 13.58a, t = 10000s - Rys. 13.58b, t = 10 s - Rys. 13.58c. Oblczena wykonano, przyjmując wartośc: kąta tarca wewnętrznego kohezj c 4 = 10 N / m. 0 ϕ = 0, Wdać z wykresów, że dla przyjętych wartośc kąta tarca wewnętrznego kohezj tylko w momence początkowym wartość potencjału jest dla częśc obszaru dodatna lub równa zeru, czyl dla przyjętych parametrów modelu Coulomba mamy do czynena ze strefą uplastycznena. Występuje ona pod fundamentem budowl pętrzącej. W dalszym procese konsoldacj wartość G przyjmuje jednolty znak ujemny, co wskazuje, że strefa plastyczna zanka znajdujemy sę w zakrese modelu lepko sprężystego.

0 Rys. 13.58. Funkcja potencjału Coulomba-Mohra dla: a) t = 0,1s b) t = 10000s c) t = 10 s. Dla zobrazowana pole wektorowego fltracj obserwowano przepływ fltracyjny w nteresujących obszarach. Ponżej przedstawono pole wektorowe prędkośc fltracj w okolcy wpływu wód pod 0 fundament budowl pętrzącej na Rys. 13.59 dla: a) t = 10000s b) t = 10 s. Wdać, że charakter pola ne ulega zmane, jedyne wyraźne ulegają zmane (o rząd welkośc) wartośc wektorów prędkośc. Oczywśce w faze początkowej prędkośc wywołane dzałanem obcążena gradentu cśneń hydrostatycznych, są wększe ustalają sę po upływe znacznego czasu konsoldacj. Wykres zman dylatacj powerzchn terenu przedstawony został na rysunkach 13.60a)-13.60c). Rys. 13.513. Pole wektorowe prędkośc w okolcy wpływu pod fundament budowl pętrzącej 0 a) t = 10000s b) t = 10 s.

Rys. 13.60. Wykres zman dylatacj na brzegu dla 0 a) t = 0,1s b) t = 10000s c) t = 10 s.