Zmierzyłem i co dalej? O opracowaniu pomiarów i analizie niepewności słów kilka Jakub S. Prauzner-Bechcicki Grupa: Chemia A Kraków, dn. 7 marca 2018 r.
Plan wykładu Rozważania wstępne Prezentacja wyników Rodzaje niepewności pomiaru Przenoszenie niepewności Podsumowanie 2
Rozważania wstępne Trzy cele przeprowadzania ćwiczeń na pracowni: 1. Samodzielna obserwacja i ilościowy opis zjawisk i efektów fizycznych 2. Nauka obsługi przyrządów pomiarowych 3. Nauka podstaw opracowania i prezentacji wyników 3
Rozważania wstępne Pomiary wykonujemy codziennie Nie istnieje pomiar dokładny Każdy wynik pomiaru otrzymujemy z określoną dokładnością Niepewność pomiaru jest miarą dokładności pomiaru W codziennych pomiarach najczęściej ignorujemy niepewność pomiaru Na pracowni studenckiej i w pracy naukowej nigdy nie ignorujemy niepewności pomiaru 4
Rozważania wstępne Doprecyzowany cel nr 3 pracowni: Nabycie umiejętności: krytycznej oceny otrzymanych wyników ustalenia źródła niepewności pomiaru oszacowania wartości niepewności pomiaru wyciągnięcia wniosków z wykonanych pomiarów 5
Prezentacja wyników np. wartość zmierzona x = x np ± δx [jednostka] wartość zmierzona x = x np 1 ± δx x np m = 1.52 ± 0.14 [kg] x np oznacza wartość najbardziej prawdopodobną, np. wartość średnią δx oznacza niepewność bezwzględną pomiaru δx x np oznacza niepewność względną pomiaru Niepewność względną można też podać w procentach, tj. δx x np 100% 6
Prezentacja wyników Ważne zasady: W trakcie obliczeń nie zaokrąglamy wyników Niepewność pomiaru końcowego wyniku podajemy z dokładnością dwóch cyfr znaczących i zaokrągloną w górę, tj. DOBRZE: ŹLE: δm = 0.14 [kg] δm = 0.13176 [kg] Końcowy wynik podajemy z dokładnością wyznaczoną przez niepewność pomiaru zaokrąglając standardowo DOBRZE: ŹLE: m = 1.52 ± 0.14 [kg] m = 1.51798 ± 0.14 [kg] 7
Prezentacja wyników Ważne zasady c.d.: Wyniki przedstawiamy w możliwie czytelnej postaci: Jednostka na końcu, po wartości x np oraz δx Stosujemy przedrostki wielokrotności i podwielokrotności, tj. M- (mega-), k- (kilo-), m- (mili-), µ- (mikro-), etc. Lub stosujemy zapis wykładniczy, tj. 10 6, 10 3, 10-3, 10-6, etc. 8
Prezentacja wyników Porównanie zmierzonych wielkości: Z wielkością tablicową, x tab, (przyjmujemy ją za dokładną*) x np x tab < δx Z inną wielkością zmierzoną (uwaga na jednostki i przedrostki!!!) x np A x np B < δx A + δx B * Wielkość tablicowa najczęściej będzie zmierzona z dużo większą dokładnością, nieosiągalną dla nas 9
Prezentacja wyników Porównanie zmierzonych wielkości c.d.: Można to też zrobić graficznie 10
Rodzaje niepewności Niepewność pomiaru parametr charakteryzujący rozrzut wartości wyników, które można w uzasadniony sposób przypisać wartości mierzonej [1] Przyczyny niepewności: Wpływ otoczenia Niedokładne wzorce i materiały odniesienia Niereprezentatywność serii pomiarowej Przyjęte przybliżenia i założenia upraszczające Błędy obserwatora przy odczytywaniu przyrządów analogowych 11
Rodzaje niepewności Niepewność pomiaru: 1. Statystyczna (niepewność typu A) otrzymana na podstawie analizy statystycznej serii pomiarów 2. Systematyczna (niepewność typu B) określana metodą inną niż statystyczna, np. na podstawie działki elementarnej przyrządu pomiarowego, klasy przyrządu, etc. Niepewności systematyczne trudno ujawnić, np. jeśli do pomiaru czasu użyjemy stopera, który się spóźnia mierzone czasy zawsze będą niedoszacowane, nieważne ile razy powtórzymy pomiar Błędy grube pomyłki eksperymentatora, np. przy odczycie lub zapisie, zwykle łatwo je zauważyć, 12
Pomiar bezpośredni i pośredni Celem danego ćwiczenia jest wyznaczenie pewnej wielkości fizycznej, np. ciepła topnienia lodu czy współczynnika lepkości. By osiągnąć ten cel najczęściej konieczne będzie wykonanie dwóch rodzajów pomiarów, tj. - pomiaru bezpośredniego, np. pomiar czasu, długości - pomiaru pośredniego, np. pomiar szybkości Dla każdego z tych rodzajów pomiarów można podjąć się wyznaczenia niepewności statystycznej i systematycznej. 13
Pomiar bezpośredni Sposób postępowania a) Szacujemy niepewność systematyczną, gdy nie dysponujemy możliwością wykonania serii pomiarów lub mamy zbyt mało obserwacji. Dobrze jest wtedy określić niepewność maksymalną, np. w oparciu działkę elementarną przyrządu Np. pomiar długości x linijką o najmniejszej działce 1 mm; można przyjąć, że δx = x = 0.5 mm Wynik pomiaru byłby x = 1 ± 0.05 cm 14
Pomiar bezpośredni Sposób postępowania b) Gdy możemy pomiar wykonać wielokrotnie, np. n razy, wartość najbardziej prawdopodobną, x np, obliczamy z wzoru na średnią arytmetyczną, x: x np = n x = 1 n i=1 Niepewność pojedynczego pomiaru, x i, dobrze opisana jest przez odchylenie standardowe x i s x = 1 n n 1 i=1 x i x 2 15
Pomiar bezpośredni Sposób postępowania c.d. pkt b): Niepewność wyznaczenia wartości najbardziej prawdopodobnej pomiaru, x np, dobrze opisana jest przez odchylenie standardowe średniej s x = 1 n n(n 1) i=1 x i x 2 Podając wynik w postaci: x = x ± s x stwierdzamy, że w 68% identycznych eksperymentów wartość średnia znajdzie się w przedziale x s x; x +s x Rozszerzając przedział do x = x ± 2 s x zwiększamy prawdopodobieństwo trafienia do 95.4% 16
Pomiar bezpośredni Sposób postępowania c) Jeśli niepewności systematyczne są do zaniedbania (bądź trudno jest je jednoznacznie ustalić), odchylenie standardowe średniej przyjmiemy za miarę niepewności pomiaru. d) Jeśli potrafimy ustalić zarówno niepewność systematyczną i statystyczną końcowy wynik podamy w postaci wynik pomiaru x = x np ± s x ± x Niepewność statystyczna Niepewność systematyczna 17
Pomiar pośredni Sposób postępowania Mierzymy wielkości x, y, z, i na ich podstawie wyznaczamy szukaną wielkość f = f(x, y, z, ). a) Jeśli możemy zmierzyć wiele zestawów wielkości x, y, z, i na ich podstawie wyznaczyć serię n wartości poszukiwanej wielkości, tj. x 1, y 1, z 1, f x 1, y 1, z 1, f 1 x 2, y 2, z 2, f x 2, y 2, z 2, f 2 x 3, y 3, z 3, x n, y n, z n, f x 3, y 3, z 3, f x n, y n, z n, ostateczny wynik wyliczymy ze wzorów: f np = n f = 1 n i=1 f i f 3 f n n s f = 1 n(n 1) i=1 f i f 2 18
Pomiar pośredni Sposób postępowania c.d. pkt. a): Przykład: Zmierzyliśmy: x [m] t [s] v = x/t [m/s] 9,71 2,86 3,3951049 9,96 2,99 3,3322043 10,24 2,88 3,5592510 9,72 3,02 3,2195805 10,46 2,89 3,6237263 10,21 3,14 3,2455683 10,07 3,05 3,3024966 9,53 3,13 3,0462569 9,55 3,16 3,0239450 10,04 3,05 3,2896379 v = 3.304 ± 0.061 m/s 19
Pomiar pośredni Sposób postępowania przenoszenie niepewności b) Jeśli możemy wyznaczyć niepewności pomiarów cząstkowych ważne jest ustalanie jaki charakter mają te niepewności i czy są niezależne nie jest to łatwe. Musimy rozważyć kilka przypadków. 20
Pomiar pośredni Sposób postępowania przenoszenie niepewności c.d. pkt b): Przypadek I Mierzymy wielkości x, y, z, i chcemy policzyć f = f(x, y, z, ). Niepewności pomiarów x, y, z, są niezależne, mają charakter statystyczny i umiemy je wyznaczyć. Przepis jest następujący: Dla każdego pomiaru cząstkowego obliczamy średnią i odchylenie standardowe średniej: ( x, s x, y, s y, z, s z, ) Wartość oczekiwaną szukanej wielkości obliczamy następująco: f = f( x, y, z, ) Niepewność pomiarową wielkości f obliczamy ze wzoru: s f = f x s x 2 + f y s y 2 + f z s z 2 + 21
Pomiar pośredni Sposób postępowania przenoszenie niepewności c.d. pkt b): Przypadek II Mierzymy wielkości x, y, z, i chcemy policzyć f = f(x, y, z, ). Niepewności pomiarów x, y, z, są niezależne, mają charakter systematyczny i umiemy je wyznaczyć. Przepis jest następujący: Dla każdego pomiaru cząstkowego mamy wynik pomiaru i niepewność: ( x, x, y, y, z, z, ) Wartość oczekiwaną szukanej wielkości obliczamy podstawiając wyniki pomiarów cząstkowych: f = f(x, y, z, ) Niepewność pomiarową wielkości f obliczamy ze wzoru: f = f f f x + y + x y z z + 22
Pomiar pośredni Sposób postępowania przenoszenie niepewności c.d. pkt b): Przypadek III Mierzymy wielkości x, y, z, i chcemy policzyć f = f(x, y, z, ). Niepewności pomiarów x, y, z, mają charakter statystyczny i umiemy je wyznaczyć, ale podejrzewamy, że część z nich może być zależnych. Przepis jest następujący: Dla każdego pomiaru cząstkowego obliczamy średnią i odchylenie standardowe średniej: ( x, s x, y, s y, z, s z, ) Wartość oczekiwaną szukanej wielkości obliczamy następująco: f = f( x, y, z, ) Szacujemy niepewności maksymalne pomiarów cząstkowych, x = 3 s x, y = 3 s y, z = 3 s z, Niepewność pomiarową wielkości f obliczamy ze wzoru: f = f f f x + y + x y z z + 23
Pomiar pośredni Sposób postępowania przenoszenie niepewności c) Jeśli niepewności pomiarów cząstkowych mają różny charakter, lepiej nie stosować żadnej z reguł przenoszenia niepewności z podpunktu b). Wtedy postępujemy następująco: Ustalamy, które z pomiarów cząstkowych możemy wykonać wielokrotnie, np. mamy znaleźć f = f(x, y, z) i wiemy, że z możemy zmierzyć raz, a (x, y) wiele razy. Wykonujemy serie pomiarów (x, y) i postępujemy tak jak omówiono w pkt. a) tylko względem zmiennych (x, y), natomiast zmienną z mierzymy raz i nie uwzględniamy niepewności pomiarowej w sposób liczbowy Podczas dyskusji wyniku można spróbować oszacować wpływ niepewności pomiaru zmiennej z na końcowy wynik 24
Prezentacja wyników na wykresie Gdy mierzone wielkości są związane zależnością funkcyjną, tj. y = f x, gdzie x oraz y to wielkości mierzone, np. U = α T, U mierzone napięcie, T mierzona różnica temperatur, a α szukany parametr, konieczne jest wykonanie wykresu. 25
Regresja linowa Bardzo często mamy do czynienia z zależnością liniową pomiędzy mierzonymi wielkościami, tj. mierzymy pary (x, y), o których wiemy, że y = a x + b Interesuje nas zaś wyznaczenie parametrów a i b. np. w jednym z ćwiczeń mierzone napięcie U, mierzona różnica temperatur T i szukany parametr α, powiązane są wzorem U = α T w innym przypadku mamy pomiar wielkości R w funkcji T, o których wiemy, że są powiązane równaniem R T = R 0 e W/2kT, które możemy przekształcić do postaci ln R T = W 2k 1 T + ln R 0 26
Regresja linowa Do wyznaczenia parametrów a i b stosujemy tzw. regresję liniową. Liczenie regresji liniowej ręcznie do zrobienia, ale żmudne. Dobra wiadomość: Istnieją programy, które wykonują regresję do zadanych danych (np. Origin, Mathematica, Matlab i inne) i można ich używać. 27
Regresja linowa Przepis do liczenia regresji jest następujący: Notujemy pary pomiarów (x i, y i ) i wykonujemy wykres y = y(x) punktów pomiarowych Obliczamy parametr a, Obliczamy parametr b (nawet jeśli powinien wyjść 0!!!) Obliczamy odchylenie standardowe parametru a, czyli S a Obliczamy odchylenie standardowe parametru b, czyli S b Nanosimy na wykres prostą opisaną równaniem y = a x + b stosując znalezione parametry a i b Jako wynik podajemy wartości szukanych parametrów a i b wraz z właściwymi niepewnościami Korzystamy z dostępnego oprogramowania 28
Prezentacja wyników Przyjmijmy, że mamy dany zestaw 10 kolejnych pomiarów (t, x) Przygotowujemy wykres: 300 200 ŹLE 100 0-100 -200-300 0 2 4 6 8 10 29
Prezentacja wyników Przyjmijmy, że mamy dany zestaw 10 kolejnych pomiarów (t, x) Przygotowujemy wykres: 35 30 Lepiej 25 20 x (m) 15 10 5 0-5 0 2 4 6 8 10 t (s) 30
Prezentacja wyników Przyjmijmy, że mamy dany zestaw 10 kolejnych pomiarów (t, x) Przygotowujemy wykres: 35 30 25 Dość dobrze 20 x (m) 15 10 5 0-5 0 2 4 6 8 10 t (s) 31
Prezentacja wyników Przyjmijmy, że mamy dany zestaw 10 kolejnych pomiarów (t, x) Przygotowujemy wykres: 35 30 25 20 punkty pomiarowe dopasowanie Bardzo dobrze x (m) 15 10 5 0-5 0 2 4 6 8 10 t (s) 32
Prezentacja wyników Przyjmijmy, że mamy dany zestaw 10 kolejnych pomiarów (t, x) Przygotowujemy wykres: 35 30 25 20 punkty pomiarowe dopasowanie Bardzo dobrze x (m) 15 10 5 0-5 0 2 4 6 8 10 t (s) 33
Podsumowanie Na pracowni studenckiej i w pracy naukowej nigdy nie ignorujemy niepewności pomiaru Jeśli to możliwe: pomiar wykonujemy wielokrotnie i stosujemy statystyczne metody opracowywania danych oceniamy wielkość niepewności systematycznych Wyniki przedstawiamy w sposób czytelny, a nade wszystko poddajemy krytycznemu osądowi 34
Literatura 1. H. Szydłowski, Międzynarodowe normy oceny niepewności pomiarów, Postępy Fizyki 51, 92 (2000) 2. A. Zięba, Natura rachunku niepewności pomiaru a jego nowa kodyfikacja, Postępy Fizyki 52, 238 (2001) 3. J. R. Taylor, Wstęp do analizy błędu pomiarowego, Wyd. Naukowe PWN, Warszawa 2011 4. I Pracownia Fizyczna, red. nauk. A. Magiera, Instytut Fizyki UJ, Kraków 2012 35