WYBRANE METODY ESTYMACJI PARAMETRÓW FUNKCJI ŁĄCZĄCYCH

Justyna Majewska Unwersytet Ekonomczny w Katowcach WYBRANE METODY ESTYMACJI PARAMETRÓW FUNKCJI ŁĄCZĄCYCH Wprowazene Funkcje łączące ystrybuantę rozkłau -wymarowego z ystrybuantam jenowymarowych rozkłaów brzegowych pozwalają częścowo rozwązać problem polegający na neznajomośc postac analtycznej emprycznego łącznego rozkłau stóp zwrotu. Funkcje łączące są barzo popularnym narzęzem służącym opsywanu nelnowych asymetrycznych zależnośc męzy zmennym opsującym rynk fnansowe 2. Możlwość wyzelena z owolnej ystrybuanty welowymarowej struktury zależnośc 3 jest wykorzystywana równeż m.n. w analze ryzyka portfel nwestycyjnych czy moelowanu zolnośc kreytowej 4. Do funamentalnych prac z zakresu teor funkcj łączących należą prace Joego Nelsena 5 ostarczające szczegółowej wezy na temat funkcj łączących, ch własnośc 2 3 4 5 Termn przyjęty za S. Helpernem, w lteraturze przemotu copula tłumaczy sę równeż: kopula, funkcja kopul, funkcja powązań. Zob. R. Doman: Zastosowana funkcj łączących w moelowanu ynamk zależnośc na rynkach fnansowych. Wyawnctwo Unwersytetu Ekonomcznego, Poznań 20, s. 7. Zob. np. J. Rorguez: Measurng Fnancal Contagon: A Copula Approach. Journal of Emprcal Fnance 2007, 4, 40-423; S. Chen, S. Poon: Moellng Internatonal Stock Market Contagon Usng Copula an Rsk Appette. Workng Paper 2007. Jest to jeno z welu poejść o baana zależnosc. Współczynnk korelacj lnowej, szeroko stosowany w fnansach jako mara zależnośc, jest opowenm narzęzem o merzena zależnośc męzy stopam zwrotu nstrumentów fnansowych tylko w przypaku, gy łączny rozkła tych zwrotów jest elptyczny. Zatem jeśl ane empryczne przeczą przyjęcu takego założena, o baana zależnośc pownno sę stosować mary ające sę określć jeyne w termnach funkcj łączących rozważane zmenne. R. Doman: Op. ct. Zob. np. Y. Malevergne, D. Sornette: Testng the Gaussan Copula Hypothess for Fnancal Assets Depenence. Quanttatve Fnance 2003, 3, 23-250; D. L: On Default Correlaton: A Copula Approach. Journal of Fxe Income 2000, 9, 43-54. H. Joe: Multvarate Moels an Depenence Concepts. Chapman & Hall, Lonon 997; R. Nelsen: An Introucton to Copulas. 2n e. Sprnger, New York 2006.

02 Justyna Majewska moelowana zależnośc. Szybk rozwój meto moelowana zależnośc z wykorzystanem funkcj łączących wzrost obszarów ch aplkacj znajuje owerzelene w bogatej lteraturze. McNel n. oraz Denut n. 6 rozważają funkcje łączące w kontekśce zarzązana ryzykem. Cherubn n. 7 przestawl funkcje łączące językem matematyk fnansowej. Choros n. 8 okonal przegląu parametrycznych neparametrycznych meto estymacj parametrów funkcj łączących zarówno la zmennych losowych, jak szeregów czasowych. Genest Favre 9 zaprezentowal semparametryczną metoę estymacj la zmennych nezależnych pochozących z jenakowego rozkłau, poperając teorę szczegółowym przykłaam emprycznym. Natomast Patton 0 okonał przegląu moel opartych na funkcjach łączących, wykorzystując je o prognozowana struktury zależnośc szeregów fnansowych ekonomcznych. Szereg stnejących moel funkcj łączących, o najprostszych statycznych po coraz barzej złożone moele z ynamką sterowaną, wymaga śwaomego wyboru metoy estymacj parametrów. Parametry funkcj mogą być estymowane różnym metoam. W praktyce najczęścej są stosowane następujące metoy estymacj: parametryczne (fully parametrc, ML, stopnowe parametryczne (stepwse parametrc, IFM oraz semparametryczne oparte na funkcj najwększej warygonośc. Metoy parametryczne semparametryczne zostały porównane w baanu symulacyjnym przez Km n. Poejśce semparametryczne oparte na funkcj najwększej warygonośc, w którym rozkłay brzegowe są wyznaczane na postawe ch emprycznych opowenków z parametram funkcj łączących oszacowanym metoą najwększej warygonośc, wykazuje najwększą efektywność esymacj najmnej obcążone oszacowana parametrów funkcj łączących. 6 7 8 9 A.J. McNel, R. Frey, P. Embrechts: Quanttatve Rsk Management. Prnceton Unversty Press, Prnceton 2005; M. Denut, J. Dhaene, M. Goovaerts, R. Kaas: Actuaral Theory for Depenent Rsks: Measures, Orers an Moels. Wley, Chchester 2005. U. Cherubn, E. Lucano, W. Vecchato: Copula Methos n Fnance. Wley, 2004. B. Choros, R. Ibragmov, E. Permakova: Copula Estmaton. W: Copula Theory an Its Applcatons. Es. P. Jaworsk, F. Durante, W. Härle, T. Rychlk. Sprnger, Dorrecht 200 (Netherlans, 77-92. C. Genest, A.C. Favre: Everythng You Always Wante to Know about Copula but You Were Afra to Ask. J Hyrol Eng 2007, 2, 347-368. 0 A. Patton: A Revew of Copula Moels for Economc Tme Seres. J Multvarate Anal 202, 0, 4-8. G. Km, M. Slvapulle, P. Slvapulle: Comparson of Semparametrc an Parametrc Methos for Estmatng Copulas. Computatonal Statstcs & Data Analyss 2007, 5, 2836-2850.

Wybrane metoy estymacj parametrów funkcj łączących 03 W nnejszym artykule okonano oceny opornośc postawowych zarazem najpopularnejszych meto estymacj parametrów funkcj łączących, przy czym metoy te bęą rozważane w kontekśce występowana obserwacj netypowych 2. W perwszej częśc przestawono elementarne postawy teor funkcj łączących nezbęne la alszej częśc artykułu. Druga część stanow ogólny przeglą meto estymacj, ze szczegółowym opsem meto, które są analzowane w artykule. W ostatnej częśc zaprezentowano wynk eksperymentu symulacj stochastycznych pozwalających na porównane prezentowanych meto po wzglęem opornośc rozważanych meto.. Wybrane elementy teor funkcj łączących Funamentalne twerzene Sklara 3 pozwala na ekopomozycję ystrybunty rozkłau -wymarowego na jenowymarowych ystrybuant brzegowych T oraz -wymarową funkcję łączącą: jeśl Y [ Y,..., Y ] ~ F, przy czym Y ~, wtey C :[0,] [0,] taka, że 4 : F F (y = C( F ( y,..., F ( y y R ( Owrotna mplkacja jest równeż prawzwa czyn wzór ( szczególne użytecznym la praktyków. To znaczy la funkcj łączącej C jenowymarowych ystrybuant F,..., F można na postawe ( wyznaczyć taką -wymarową ystrybuantę F, la której F,..., F są ystrybuantam brzegowym. Z twerzena Sklara wynkają zastosowana funkcj łączących. Znając rozkłay brzegowe łączny rozkła prawopoobeństwa wektora zmennych losowych, można opasować opoweną funkcję łączącą. Funkcja łącząca może być zastosowana o wyznaczana mar zależnośc męzy zmennym np. τ Kenalla, ρ Spearmana. Wtey marę τ Kenalla zapsujemy jako (przy założenu, że ystrybunaty brzegowe Y, są cagłe, C funkcją łączacą: ( Y2 2 Oporność można rozumeć w sense ogólnym, uwzglęnającym wszystke rozaje ostępstw o założeń (robust lub jako oporność tylko na wyróżnone ostępstwo (resstant. Wówczas rozróżna sę przykłaowo metoy oporne na występowane obserwacj netypowych, na nny nż założony w moelu rozkła oraz na brak spełnena warunku nezależnośc. Zob. S. Helpern: Moele oporne. W: Statystyczne metoy analzy anych. Re. W. Ostasewcz. Wyawnctwo Akaem Ekonomcznej m. O. Langego, Wrocław 998, s. 235-236. 3 A. Sklar: Fonctons e repartton a n mensons et leurs margers. Publcatons e l Instut Statstque e l Unverste e Pars 959, 8, 229-23. 4 W przypaku gy welowymarowa ystrybuanta jest cągła, funkcja łącząca jest wyznaczona jenoznaczne.

04 Justyna Majewska a ρ Spearmana jako: τ ( Y, Y2 = 4 C( u, u2 C( u, u2 2 [0,] ρ ( Y, Y2 = 2 C( u, u2 uu2 2 [0,] Funkcje łączące służą równeż wyznaczanu współczynnków zależnośc w ogonach rozkłau. Współczynnk zależnośc w górnym (olnym ogone λ U ( λ L zapsujemy opoweno jako la u [0,] : 2u + C( u, u λu = lm P( Y2 > FY ( u Y > FY ( u = lm u 2 u u C( u, u λl = lm P( Y2 < FY ( u Y < FY ( u = lm u 0+ 2 u 0+ u λ ( [0,] U λ L Gy λ U ( λ L (0,] zmenne Y Y 2 są zależne, gy λ U ( λ L = 0 nezależne. Ponato funkcja łącząca umożlwa okonane symulacj łącznego rozkłau prawopoobeństwa wektora zmennych przy zaanych rozkłaach brzegowych. W praktycznych zaganenach etap symulacj mus być poprzezony oszacowanem neznanych parametrów funkcj łączących na postawe anych emprycznych. Barzo ważną kwestą jest wybór opowench funkcj łączących. Zazwyczaj la anych rozkłaów brzegowych eksperymentuje sę z różnym funkcjam w celu zbaana wrażlwośc nteresującej welkośc na wybór opowenej funkcj. Pomnęto w artykule funkcje łączące typu Gaussa, które ne są w stane wychwycć zależnośc pomęzy zarzenam ekstremalnym. Ponżej przestawono jawne postac wybranych funkcj łączących, należących o klasy kopul archmeesowych, wykorzystywane w alszej częśc artykułu: a funkcja łącząca Claytona 5 :, u2 = ( u + u2 C Cl ( u, R \ {0} 3 b funkcja łącząca Franka 6 : (exp( u (exp( u ln + C Fr ( u, u2 = exp( uu 2; = 0 2 ; R \{0} 5 D.G. Clayton: A Moel for Assocaton n Bvarate Lfe Tables an Its Applcaton n Epemologcal Stues of Famlal Tenency n Chronc Dsease Incence. Bometrka 978, 65, 4-5.

Wybrane metoy estymacj parametrów funkcj łączących 05 c funkcja łącząca Gumbela 7 : C GH, u2 exp( (( lnu + ( ln 2 ( u = u, R \ {0} Rysunek przestawa rozkłay wuwymarowe la zaanych rozkłaów brzegowych rozkłaów normalnych ustalonego współczynnka korelacj τ = 0,5 otrzymane za pomocą wybranych funkcj łączących. y2-2 - 0 2 3-2 - 0 2 y 6 M.J. Frank: On the Smultaneous Assocatvty of F(x,y an xyf(x,y. Aequatones Mathematcae 979, 9, 94-226. 7 E.J. Gumbel: Bvarate Exponental Dstrbutons. Journal of the Amercan Statstcal Assocaton 960, 55, 698-707.

06 Justyna Majewska Rys.. Rozkłay wuwymarowe la zaanych rozkłaów brzegowych ustalonego współczynnka korelacj τ = 0,5 otrzymane za pomocą funkcj łączących (o góry: Claytona, Franka Gumbela Wybór tych funkcj jest arbtralną ecyzją autora, jenak wynkającą z wcześnejszych jego baań w obszarze analz na rynku fnansowym 8. Przypomnjmy, funkcje łączące archmeesowe (Claytona, Gumbela mogą sę cechować asymetrycznym wzorcam zależnośc w ogonach rozkłau. Funkcja łącząca Claytona ma zależność w ogone olnym, funkcja łącząca Gumbela w ogone górnym. Z kole funkcja łącząca Franka ne ma zależnośc w ogonach. W przypaku funkcj łączących archmeesowych zaletą jest jej neskomplkowana postać analtyczna (są funkcjam łączącym jenoparametrowym. 2. Estymacja parametrów funkcj łączących Parametry funkcj łączących mogą być estymowane różnym metoam. Przy założenu, że prawzwa funkcja łącząca należy o rozny parametrycznej { C : Θ}, zgone asymptotyczne normalne oszacowana wektora parametrów można uzyskać metoam najwększej warygonośc 9. Na potrzeby alszych rozważań przytoczono efncję gęstośc funkcj połączeń. Jeśl gęstość funkcj łączącej C stneje, to jest ona ana wzorem: C( u,..., u c( u,..., u = u... u 8 Zob. np. G. Trzpot, J. Majewska: Testng for Tal Inepenence n Extreme Value Moels Applcaton on Polsh Stock Exchange. Acta Unverstats Lozenss. Fola Economca 20, 37-46. 9 Szczegółowy ops estymacj metoą najwększej warygonośc zob. w porozzale 0. pracy: H. Joe: Op. ct.

Wybrane metoy estymacj parametrów funkcj łączących 07 Ponato jeśl C jest funkcją łączącą ystrybuanty F mającej ystrybuanty brzegowe F,..., F gęstośc brzegowe f,..., f, to zachoz następujący zwązek: L =,..., y = c( F ( y,..., F ( y f ( y = f ( y (2 Z (2 wynka postać funkcj najwększej warygonośc n j= log f ( y określonej na -wymarowej próbe,..., y y = ( y,..., y, j =,2,..., n, z gęstoścą f: gze: L C = n j= L = L C + L = log c( F jest zwązany ze strukturą zależnośc ( y,..., F ( y reprezentowaną przez funkcję łączącą C, L = n j= (3 log f ( y, =,2,..., zawera nformacje z każej z ystrybuant brzegowych. Najpopularnejsze jest stosowane wustopnowej metoy najwększej warygonośc. Zatem rozważamy funkcję łączącą C z rozny funkcj łączących zależną o wektora parametrów : C = C( u,..., u ; jenowymarowych ystrybuant brzegowych F z gęstoścam f, zależnych o wektora parametrów α, co zapsujemy: F = F ( y ; α, f = f ( y ; α. MLE MLE Estymator najwększej warygonośc ( ˆ,..., ˆ, ˆ MLE α α wektora parametrów ( α,..., α, ma postać: ( ˆ α MLE,..., ˆ α = arg max( L α,..., α, = arg max( α,..., α, MLE n C j=, ˆ ( α,..., α, + MLE logc( F ( y = arg max L( α,..., α, = α,..., α, = ; α,..., F L ( α = ( y ; α ; + n = j= log f ( x ; α (4

08 Justyna Majewska Występujące w (4 parametry można estymować w wóch etapach 20. W perwszym kroku są estymowane parametry α,...,α za pomocą funkcj maksymalzacj: IFM ˆ α = arg max L ( α (5 W rugm kroku otrzymuje sę oszacowane parametru funkcj łączącej poprzez: ˆ IFM α IFM IFM = arg max L ( ˆ α,..., ˆ α, (6 C Dwuetapowe poejśce o estymacj parametrów funkcj łączących jest nazywane metoą funkcj wnoskowana la rozkłaów brzegowych (ang. the metho of Inference Functons for Margns, IFM. Proceura IFM jest oblczenowo prostsza nż jenoetapowa estymacja wektora parametrów ( α,..., α,, gyż numeryczna optymalzacja z weloma parametram jest o wele barzej czasochłonna o klku optymalzacj z mnejszą lczbą parametrów. Jeśl każy rozkła brzegowy F = F ( y ; α, =,2,...,, jest opsany przez ozelny wektor parametrów charakteryzujących strukturę zależnośc, to można uproścć estymację w rugm kroku tak, by ne było potrzeby numerycznej optymalzacj z użą lczbą parametrów równeż w przypaku struktury zależnośc 2. Przy spełnonych warunkach regularnośc 22 estymator IFM, poobne jak estymator najwększej warygonośc, jest zgony ma własność asymptotycznej normalnośc. Z baań, jake przeprowazl Xu Joe 23, metoa IFM cechuje sę wysoką efektywnoścą w onesenu o pełnej metoy najwększej warygonośc. Kolejnym poejścem o estymacj parametrów funkcj łączących jest metoa semparametryczna 24. Ne zakłaa sę znajomośc rozkłau la ystrybuant brzegowych. Proceura, poobne jak w IFM, przebega w wóch etapach, z różncą w sposobe estymacj ystrybuant brzegowych. W perwszym kroku estymuje sę metoą rozkłay brzegowe F (wykorzystując metoy neparametryczne, na ogół empryczne ystrybuanty Fˆ, by w rugm kroku wyestymować parametr funkcj łączących: ˆ n C j= ˆ arg max ( arg max log ( (,..., ˆ ( j = L = c F y F ( y ; (7 20 H. Joe, J.J. Xu: The Estmaton Metho of Inference Functons for Margns for Multvarate Moels. Techncal Report No. 66, Department of Statstcs, Unversty of Brtsh Columba, 996. 2 R. Doman: Op. ct. 22 R.J. Serflng: Approxmaton Theorems of Mathematcal Statstcs. Wley-Blackwell, New York 980. 23 H. Joe, J.J. Xu: Op. ct. 24 X. Chen, Y. Fan: Estmaton an Moel Selecton of Semparametrc Copula-base Multvarate Dynamc Moels uner Copula Msspecfcaton. Journal of Econometrcs 2006, 35, 25-54.

Wybrane metoy estymacj parametrów funkcj łączących 09 Estymator semparametryczny jest zgony asymptotyczne normalny przy spełnenu warunków regularnośc 25. Genest n. 26 pokazal, że metoa ta przy oatkowych warunkach, które spełnają wuwymarowe funkcje łączące, np. gaussowska, Eyrau-Farle-Gumbel, rozna funkcj Claytona Franka, estymator ˆ jest w pełn efektywny, gy stneje nezależność męzy zmennym. W lteraturze stneje wele meto alternatywnych o metoy najwększej warygonośc na ogół są to metoy neparametryczne, w których najczęścej wykorzystuje sę fakt wyzelana funkcj łączącej z ystrybunaty łącznej w przypaku cagłych ystrybuant brzegowych, tzn.: C( u,..., u ( ˆ (,..., ˆ F u F ( u ˆ = Fˆ (8 gze Fˆ jest neparametrycznym estymatorem -wymarowej ystrybuanty F, a ˆ,..., ˆ F są neparametrycznym estymatoram F ( s = { t F ( t s} F ystrybuant brzegowych F,..., F. Jak już wcześne wspomnano, naturalnym sposobem estymacj parametrów funkcj łączących jest zastosowane emprycznej funkcj łączącej przez estymację emprycznej ystrybuanty F : F ˆ ( y (9,..., y = ( Y y,..., Y y T = oraz estymację emprycznych brzegowych ystrybuant: F ˆ ( y = ( Y y (0 = Kolejne poejśce o estymacj parametrów funkcj łączącej poprawa oporność estymatorów na obserwacje ostające. Najprostszą metoą poprawena opornośc metoy estymacj funkcj łączącej jest zastosowane proceury wcześnejszej entyfkacj obserwacj ostających, a następne przeprowazene estymacj metoą najwększej warygonośc. Do entyfkacj obserwacj ostającej można wykorzystać estymator macerzy kowarancj (o wysokm punkce załamana 27, np. MCD, Donoho-Stahel. 25 C. Genest, K. Ghou, L. Rvest: A Semparametrc Estmaton Proceure of Depenence Parameters n Multvarate Famles of Dstrbutons. Bometrka 995, 82, 543-552. 26 Ib. 27 Punkt załamana jest marą globalnej opornośc estymatora. Punkt załamana próby skończonej wskazuje na maksymalny osetek obserwacj netypowych w próbe, która ne sprawa, że estymator ne załamuje sę.

0 Justyna Majewska Menes n. 28 zaprezentowal oporne estymatory parametrów funkcj łączącej polegające na mnmalzacj emprycznej funkcj łączącej na postawe opasowana statystyk, np. statystykę oległośc Kołmogorova K, Anersona- -Darlnga AD czy Cramera-von Msesa W 2. 3. Ops wynk baana symulacyjnego Baane symulacyjne pozwolło na porównane wybranych estymatorów parametrów wuwymarowych funkcj łączących po wzglęem opornośc efektywnośc 29. W baanu wykorzystano koncepcję moelu ε-zaburzonego. Skontruowano rozkłay wuwymarowe, z których obe zmenne mają rozkła normalny z wprowazanym pozomam zaburzena 30 opoweno: ε = 0,2% oraz ε = 2%. Struktura zależnośc jest opsywana funkcją łączącą Claytona z parametram = 0,5 = 8, Gumbela z parametram =, 25 = 5 oraz Franka z parametram =, 86 = 8, 2. Założona postać funkcj łaczącej oznacza, że współczynnk korelacj τ Kenalla męzy zmennym 3 wynos opoweno: 0,2 0,8. Zwązk parametru z współczynnkem τ Kenalla są nastepujące: la funkcj Claytona τ =, τ, + 2 la funkcj Gumbela τ =, 0 τ, 4 4D ( la funkcj Franka τ = +, τ, 0, τ 0, x D ( = x. x ( e 0 Eksperyment polegający na konstrukcj rozkłaów wuwymarowych powtórzono 250 razy. Długość szeregu wygenerowanych anych wynosła 000 la każego rozkłau brzegowego. 28 B. Menes, E. e Melo, R. Nelsen: Robust Fts for Copula Moels. Communcatons n Statstcs Smulaton an Computaton 2007, 36(5, 997-07. 29 Wszystke oblczena zostały wykonane w programe R project 3..0. 30 Zaburzene wprowazono za zasaze losowego zastąpena 0,2% oraz 2% losowo wybranych anych przez obraną welkość. Welkość ta jest sumą śrenej wszystkch obserwacj oraz trzech ochyleń stanarowych opowaających. Ze wzglęu na przewywane rezultaty w zakrese efektywnośc estymatorów ne rozważamy przypaku, gy ε = 0%. 3 Wykorzystując różne funkcje łączące, można otrzymać różne rozkłay wuwymarowe z zaanym rozkłaam brzegowym ustalonym współczynnkem τ-kenalla.

Wybrane metoy estymacj parametrów funkcj łączących Zastosowano wuetapowe metoy estymacj funkcj łączących, co pozwolło na kombnacje meto szacowana ystrybuant brzegowych parametrów funkcj łączących. Analzowano estymację metoą najwększej warygonośc (metoa oznaczona przez MLE, neparametryczną estymację z wykorzystanem emprycznej ystrybuanty (metoa oznaczona przez NP, estymację oporną (metoa oznaczona przez ODP. Oceny meto estymacj okonano porównując śrene błęy kwaratowe N 2 ˆ( MSE = ( oraz relację MSE-efektywność wzglęem klasycznej metoy IFM. ˆ jest estymatorem parametru la -tej próby. Wynk ekspe- N = ( rymentów przestawają tabele -3. Błęy MSE oraz efektywność estymatorów w onesenu o IFM estymatora la funkcj Claytona Tabela Metoa estymacj = 0,5 = 8 ε = 0,2% Etap Etap2 MSE Eff MSE Eff MLE MLE 0,064 00,00,969 00,00 NP MLE 0,058 00,64,6320 24,90 NP ODP 0,048 0,59 0,6834 233,95 ODP ODP 0,024 09,5 0,508 295,83 ε = 2% MLE MLE 0,0243 00,00 23,76 00,00 NP MLE 0,0287 3,87 20,740 423,87 NP ODP 0,025 38,45,7328 643,89 ODP ODP 0,094 42,99 5,83 499,65 Błęy MSE oraz efektywność estymatorów w onesenu o IFM estymatora la funkcj Franka Tabela 2 Metoa estymacj = 2 =,25 ε = 0,2% Etap Etap2 MSE Eff MSE Eff MLE MLE 0,02 00,00 0,649 00,00 NP MLE 0,075 96,23 0,754 95,87 NP ODP 0,296 00,76 0,952 87,32 ODP ODP 0,020 26,76 0,388 9,69 ε = 2% MLE MLE 0,287 00,00 8,6965 00,00 NP MLE 0,264 97,85 7,9956 08,5 NP ODP 0,0748 08,92 0,887 20,8 ODP ODP 0,0065 27,48 0,6376 403,7

2 Justyna Majewska Błęy MSE oraz efektywność estymatorów w onesenu o IFM estymatora la funkcj Gumbela Tabela 3 Metoa estymacj =,25 = 5 ε = 0,2% Etap Etap2 MSE Eff MSE Eff MLE MLE 0,005 00,00 2,2857 00,00 NP MLE 0,004 2,83,0286 26,2 NP ODP 0,0039,37 0,733 563,90 ODP ODP 0,0030 5,84 0,395 672,69 ε = 2% MLE MLE 0,0778 00,00 6,99 00,00 NP MLE 0,055 439,05 7,9390 8,92 NP ODP 0,0078 657,78 0,797 2745,9 ODP ODP 0,007 497, 0,3075 6922,0 Na postawe wynków z tabel -3 wnoskuje sę, że występowane zalewe 0,2% obserwacj (czyl 2 obserwacj w 000-elementowym szeregu powouje zwększene obcążena estymatorów metoy najwększej warygonośc. W szczególnośc zjawsko nabera na sle w przypaku stnena slnejszej zależnośc wększej lczby obserwacj ekstremalnych. Neznaczne wększe błęy otrzymuje sę w przypaku zastąpena w perwszym etape metoy MLE metoą neparametryczną. Zaowalające efekty otrzymuje sę w przypaku zastosowana kombnacj estymacj opornych. Zblżone wartośc błęów onotowano la kombnacj estymacj neparametrycznej oraz opornej. Zakończene Funkcje łączące są bez wątpena potężnym narzęzem służącym o moelowana struktur zależnośc. Wykorzystywane tych funkcj bez starannośc właścwego zrozumena może oprowazć o neprawłowośc we wnoskowanu statystycznym otyczącym struktury zależnośc, co może sę przełożyć na błęne wnoskowane w zakrese zarzązana ryzykem fnansowym. Istotnym wnoskem z baana jest wskazane, ż w szczególnośc w przypaku występowana pojeynczych obserwacj ekstremalnych oporne metoy estymacj funkcj łączących ne tylko pozwalają uzyskać mnejsze błęy estymatorów, ale równeż uwzglęnają właścwą słę zależnośc męzy zmennym.

Wybrane metoy estymacj parametrów funkcj łączących 3 Lteratura Chen X., Fan Y.: Estmaton an Moel Selecton of Semparametrc Copula-base Multvarate Dynamc Moels uner Copula Msspecfcaton. Journal of Econometrcs 2006, 35, 25-54. Chen S., Poon S.: Moellng Internatonal Stock Market Contagon Usng Copula an Rsk Appette. Workng Paper 2007. Cherubn U., Lucano E., Vecchato W.: Copula Methos n Fnance. Wley, 2004. Choros B., Ibragmov R., Permakova E.: Copula Estmaton. W: Copula Theory an Its Applcatons. Es. P. Jaworsk, F. Durante, W. Härle, T. Rychlk. Sprnger, Dorrecht 200 (Netherlans, 77-92. Clayton D.G.: A Moel for Assocaton n Bvarate Lfe Tables an Its Applcaton n Epemologcal Stues of Famlal Tenency n Chronc Dsease Incence. Bometrka 978, 65, 4-5. Denut M., Dhaene J., Goovaerts M., Kaas R.: Actuaral Theory for Depenent Rsks: Measures, Orers an Moels. Wley, Chchester 2005. Doman R.: Zastosowana funkcj łączących w moelowanu ynamk zależnośc na rynkach fnansowych. Wyawnctwo Unwersytetu Ekonomcznego, Poznań 20. Frank M.J.: On the Smultaneous Assocatvty of F(x,y an xyf(x,y. Aequatones Mathematcae 979, 9, 94-226. Genest C., Favre A.C.: Everythng You Always Wante to Know about Copula but You Were Afra to Ask. J Hyrol Eng 2007, 2, 347-368. Genest C., Ghou K., Rvest L.: A Semparametrc Estmaton Proceure of Depenence Parameters n Multvarate Famles of Dstrbutons. Bometrka 995, 82, 543-552. Gumbel E.J.: Bvarate Exponental Dstrbutons. Journal of the Amercan Statstcal Assocaton 960, 55, 698-707. Helpern S.: Moele oporne. W: Statystyczne metoy analzy anych. Re. W. Ostasewcz. Wyawnctwo Akaem Ekonomcznej m. O. Langego, Wrocław 998. Helpern S.: Funkcje łączące. Wyawnctwo Akaem Ekonomcznej, Wrocław 2007. Joe H.: Multvarate Moels an Depenence Concepts. Chapman & Hall, Lonon 997. Joe H., Xu J.J.: The Estmaton Metho of Inference Functons for Margns for Multvarate Moels. Techncal Report No. 66, Department of Statstcs, Unversty of Brtsh Columba, 996. Km G., Slvapulle M., Slvapulle P.: Comparson of Semparametrc an Parametrc Methos for Estmatng Copulas. Computatonal Statstcs & Data Analyss 2007, 5, 2836-2850. L D.: On Default Correlaton: A Copula Approach. Journal of Fxe Income 2000, 9, 43-54. Malevergne Y., Sornette D.: Testng the Gaussan Copula Hypothess for Fnancal Assets Depenence. Quanttatve Fnance 2003, 3, 23-250.

4 Justyna Majewska McNel A.J., Frey R., Embrechts P.: Quanttatve Rsk Management. Prnceton Unversty Press, Prnceton 2005. Menes B., Melo E. e, Nelsen R.: Robust Fts for Copula Moels. Communcatons n Statstcs Smulaton an Computaton 2007, 36(5, 997-07. Nelsen R.: An Introucton to Copulas. 2n e. Sprnger, New York 2006. Patton A.: A Revew of Copula Moels for Economc Tme Seres. J Multvarate Anal 202, 0, 4-8. Rorguez J.: Measurng Fnancal Contagon: A Copula Approach. Journal of Emprcal Fnance 2007, 4, 40-423. Serflng R.J.: Approxmaton Theorems of Mathematcal Statstcs. Wley-Blackwell, New York 980. Sklar A.: Fonctons e repartton a n mensons et leurs margers. Publcatons e l Instut Statstque e l Unverste e Pars, 959, 8, 229-23. Trzpot G., Majewska J.: Testng for Tal Inepenence n Extreme Value Moels Applcaton on Polsh Stock Exchange. Acta Unverstats Lozenss, Łóź, Fola Economca 20, 37-46. REVIEW OF CHOSEN METHODS OF COPULA ESTIMATION Summary In ths paper we prove a bref survey of some parametrc estmaton proceures for copula moels. We revew approaches to nference on copulas for ranom samples wth epenent margnals an we also scuss the ssue of robustness of estmaton methos. The methos were consere n the context of the presence of outlers.