Ekonometria Finansowa II EARF. Michał Rubaszek

Transkrypt

1 Ekonometria Finansowa II EARF Michał Rubaszek 1

2 Cele - Zapoznanie z charakterystykami szeregów finansowych - Omówienie jednowymiarowych metod liczenia VaR - Omówienie wielowymiarowych metod liczenia VaR - Backtesting - Programowanie w pakiecie R - Liczenie VaR jako projekt badawczy 2

3 Literatura 3

4 Spotkanie 2 Ryzyko portfela N aktywów 4

5 Stopy zwrotu Prosta stopa zwrotu: = + = exp 1 Logarytmiczna stopa zwrotu (=stopa o ciągłej kapitalizacji): = ln + ln = ln (1 + ) Stopa zwrotu z portfela K aktywów:, =, =,, 5

6 Wielowymiarowe modele zmienności A. Rozkład normalny B. Funkcje łączące C. Wielowymiarowe modele klasy GARCH D. Wielowymiarowe modele zmienności stochastycznej 6

7 Rozkład normalny W większości zastosowań przyjmuje się, że stopy zwrotu mają wielowymiarowy rozkład normalny: ~, Σ Założenie to upraszcza wnioskowanie na temat właściwości stóp zwrotu z portfela = : ~, gdzie = oraz = Σw 7

8 Rozkład normalny Przy założeniu wielowymiarowego rozkładu normalnego zależność między zmiennymi y i x jest liniowa = + +, =,, = Oznacza to, że zależność między zmiennymi jest zawsze taka sama, niezależnie od skali zmiany W praktyce, jednakże powiązania mogą zależeć od skali zmian (siła zależności inna w trakcie kryzysu, a inna w normalnych okolicznościach) Korelacja stóp zwrotu dla złota i srebra

9 Rozkład normalny Skalę nieliniowości zależności między zmiennymi możemy sprawdzić m.in. poprzez stworzenie wykresu dla exceedance correlation : gdzie ( ) oraz ( ) to p-te percentyle dla X i Y 9

10 Rozkład normalny 10

11 Funkcje łączące Funkcja łącząca jako dogodna metoda modelowania nieliniowych zależności między zmiennymi Ogólna idea polega na podzieleniu rozkładu łącznego dla zmiennych Y i X na 2 części: Rozkłady brzegowe dla X i Y Funkcja łącząca rozkłady brzegowe 11

12 Funkcje łączące Oznaczenia: f(x) oraz g(y): U=F(X) oraz V=G(Y): h(x,y) oraz H(X,Y): C(U,V): funkcje gęstości rozkładu brzegowego dystrybuanty rozkładu brzegowego f. gęstości oraz dystrybuanta rozkładu łącznego f. łącząca, =, =, h, = (, ) Aby ustalić rozkład łączny należy dokonać wyboru nt.: - rozkładów brzegowych F(X) i G(Y) - postaci funkcji łączącej C(U,V) 12

13 Funkcje łączące TWIERDZENIE SKLARA: Niech H(X,Y) będzie dwuwymiarową funkcją dystrybuanty z dystrybuantami brzegowymi F(X) i G(Y). Wtedy istnieje kopula C spełniająca warunek:, =, Jeżeli F i G są ciągłe, wówczas C jest jednoznaczna. 13

14 B. Funkcje łączące Losowanie z rozkładu łącznego Etap 1: Losujemy (U,V) z C(U,V) Etap 2: Liczymy X=F -1 (U) oraz Y=G -1 (V) 14

15 Najpopularniejsze funkcje łączące 15

16 B. Eliptyczne funkcje łączące Gęstość eliptycznych funkcji łączących wynosi (2 zmienne):, = Σ. { Σ ( )} gdzie = [ ] zaś to tzw. generator Generator, tj. Wielowymiarowy normalny = const exp ( ) Wielowymiarowy t-student, = const

17 B. Funkcje łączące: copula normalna 17

18 B. Funkcje łączące: copula t-studenta 18

19 B. Archimedesowe funkcje łączące Wartość archimedesowych funkcji łączących wynosi:, = ( + ) gdzie to tzw. generator 19

20 B. Funkcje łączące: copula Claytona 20

21 B. Funkcje łączące: copula Franka 21

22 B. Funkcje łączące: copula Gumbela 22

23 Copula normalna Różne rozkłady brzegowe 23

24 B. Funkcje łączące: copula normalna 24

25 B. Funkcje łączące: copula normalna 25

26 B. Funkcje łączące: copula normalna 26

27 B. Funkcje łączące: copula normalna 27

28 Dopasowanie do danych 28

29 B. Funkcje łączące Metoda momentów korelacja tau Kendalla : Definicja tau Kendalla: = P{ > 0} P{ < 0} Wartość tau Kendalla w próbie: = ( 1)/2 P liczba par zgodnych (concordant): N{ > 0} Q liczba par niezgodnych (discordant): N{ < 0} Dla Copuli (, ) szukamy parametru dla której wartość: = 4,, 1 Jest najbliższa 29

30 B. Funkcje łączące Łączna estymacja ML dla wszystkich parametrów: szukamy parametru dla którego funkcja osiąga maximum, = log, + log ( ) +log ( ) Dwu-krokowa metoda ML Krok 1: estymacja parametrów rozkładów brzegowych Krok 2: estymacja parametrów funkcji łączącej 30

31 VaR i ES: symulacje Monte Carlo 31

32 Metoda liczenia VaR i ES 1. Losujemy (u,v) z C(U,V) 2. Liczymy x=f -1 (u) oraz y=g -1 (v) 3. Kroki 1 i 2 powtarzamy N razy, aby otrzymać szeregi (, ) dla i=1,2,,n 4. Liczymy stopy zwrotu dla portfela = + (podobnie jak dla metody symulacja historyczna ) - porządkujemy stopy zwrotu od najmniejszej do największej: < - VaR( ) ustalany jako = ( )-ta stopa ( ) = - ( ) liczony jako średnia stopa zwrotu dla stóp mniejszych niż ( ) = 1 32