PROBLEM PRZEPŁYWOWY Z PRZEZBROJENIAMI ORAZ CIĄGŁĄ PRACĄ MASZYN

PROBLEM PRZEPŁYWOWY Z PRZEZBROJENIAMI ORAZ CIĄGŁĄ PRACĄ MASZYN Wojcech BOŻEJKO, Radosław IDZIKOWSKI, Meczysław WODECKI Streszczene: W pracy rozpatrujemy probem przepływowy z przezbrojenam maszyn pomędzy oejno wyonywanym operacjam oraz cągłą pracą maszyn ang. no de). Przyjęte ogranczena, dotyczące asycznego probemu przepływowego, są fundamentane przy budowe mode do harmonogramowana przedsęwzęć budowanych reazowanych w systeme potoowym. Przedstawamy mode matematyczny oraz grafowy zagadnena oraz dowodzmy pewnych jego własnośc, tóre zastosowano w onstrucj agorytmu heurystycznego opartego na metodze przeszuwana z tabu Słowa uczowe: szeregowane zadań, przezbrojena, metaheurystya 1. Wprowadzene W procese panowana obetów budowanych pojawa sę probem harmonzacj robót z uwzgędnenem szeregu ogranczeń technoogcznych organzacyjnych. Jednym z najstotnejszych jest oneczność zapewnena cągłośc wyonywana pewnych prac. W przypadu znacznego rozproszena reazowanych obetów onecznym jest taże uwzgędnene czasów przemeszczana sprzętu pracownów oraz ch narzędz. Jeże przedsęwzęce jest reazowana w systeme potoowym Bożejo n. [1], [2], to jego odpowednem w przemyśe jest system producj przepływowej ang. fow). Już szczegóny przypade rozpatrywanego probemu, tj. asyczny probem przepływowy F C ) naeży do asy najtrudnejszych, sne NP-trudnych, probemów optymazacj ombnatorycznej. Ograncza to zares stosowana agorytmów doładnych do nstancj o newech rozmarach. Z tego powodu, do wyznaczana satysfacjonujących rozwązań rozpatrywanego probemu, stosujemy agorytm metaheurystyczny oparty na metodze przeszuwana z tabu. 2. Sformułowane probemu Probem przepływowy z pracą cągłą pewnych maszyn oraz czasam przezbrojeń maszyn pomędzy operacjam można sformułować następująco: Probem: Zadana ze zboru J { J1, J 2, Jn}, naeży wyonać na maszynach ze zboru M M, M, M }. Każdy zadane J J jest cągem m operacj { 1 2 m J = [ O, O,2,, O,,1 m ], 559

przy czym operacja O, j = 1,2,, n, j = 1,2,, m) z zadana J jest wyonywana przez maszynę M w czase j p,. Nech O będze zborem wszystch operacj. j Po zaończenu pewnej, a przed rozpoczęcem następnej operacj naeży doonać przezbrojene maszyny. Nech s, M, j, j J) będze czasem przezbrojena j - tej maszyny pomędzy operacjam O, oraz O. Załadamy, że ażda maszyna ze n zboru M M n M ) pracuje w sposób cągły, tj. bezpośredno po wyonanu dowonej operacj następuje przezbrojene maszyny natychmast rozpoczęce następnej operacj. Operacje zadana J J naeży wyonać w zadany porządu technoogcznym, tzn. dowona operacja, j O, ma być wyonywana po zaończenu j O, j1, a przed rozpoczęcem O, j1 2 j m 1). Muszą być przy tym spełnone następujące ogranczena: a) ażda operacja może być wyonywana tyo przez jedną, oreśoną przez porząde technoogczny, maszynę, b) żadna maszyna ne może wyonywać jednocześne węcej nż jedną operację, c) w ramach ażdego zadana mus być zachowany porząde technoogczny, d) wyonywane żadnej operacj ne może być przerwane przed jej zaończenem, e) wyróżnone maszyny muszą pracować w systeme cągłym. Operacje ażdego zadana są wyonywane w taej samej oejnośc, wobec tego ażde rozwązane może być reprezentowane przez permutację zadań. Oznaczmy przez zbór wszystch tach permutacj = n! ). Rozpatrywany w pracy probem sprowadza sę do wyznaczena permutacj zadań tj. momentów rozpoczęca wyonywana poszczegónych operacj) spełnających ogranczena a)-e), aby moment zaończena wszystch zadań był mnmany. W sróce probem ten będzemy oznacza przez NSFS. 2.1. Mode matematyczny Jeże zadana są wyonywane w oejnośc oraz C ), jest momentem j zaończena operacj O, to wyznaczene momentu zaończena wyonywana ), j wszystch zadań sprowadza sę do wyznaczena: C 1) ) = C m, n) przy ogranczenach: C,, j) p 1, j) C 1, j ) = 1,..., m 1, j = 1,..., n, 2) C, j) p, j1) s j ), j1) C, j1), = 1,..., m, j = 1,..., n 1, 3) =, n C, j) C, j 1) p, j) s j1), j) j = 2,3,..., n, M, 4) W tym przypadu momenty rozpoczęca operacj S, j ) = C, j ) p, j), = 1,2,, m, j = 1,2,, n. 5) 560

Bez straty ogónośc możemy przyjąć, że termn rozpoczęca wyonywana perwszej operacj przez perwszą maszynę S = 0. 1, 1) Można łatwo sprawdzć, że oreśone przez 1)-4) momenty rozpoczęca zaończena operacj spełnają ogranczena a)-e), węc są rozwązanem dopuszczanym probemu NSFS. Wobec tego, rozwązane rozpatrywanego w pracy probemu sprowadza sę do wyznaczena permutacj optymanej taej, że C ) = mn{ C ) : }. Rozpatrujemy przyład probemu szeregowana sedmu zadań n = 7 ) na trzech maszynach m = 3). Czasy wyonywana zadań na poszczegónych maszynach operacj) są zameszczone w tabe 1. Tabea 1. Czasy wyonywana zadań na maszynach. Zadane 1 2 3 4 5 6 7 Maszyna 1 4 4 1 5 2 4 2 Maszyna 2 1 2 3 1 5 3 3 Maszyna 3 4 3 3 3 1 2 4 Rozpatrujemy uszeregowane zadań, permutację naturaną = 1,2,3,4,5,6,7). Harmonogram Gantta, da asycznego probemu szreregowana, tj. harmonogramu spełnającego ogranczena 2)-4), jest przedstawony na rysunu 1. Termn uończena wszystch zadań C ) = 30. Na rysunu 2 przedstawono dagram Gantta da probemu z cągłą pracą drugej maszyny dodatowo z ogranczenem 5)), tj. M n = { Maszyna 2}. W tm przypadu, termn uończena wszystch zadań C ) = 32. Rys. 1. Kasyczny probem przepływowy 561

Rys. 2. Probem przepływowy z cągłą pracą maszyn Łatwo udowodnć, że wartość optymanego rozwązana probemu przepływowego jest donym ogranczene wartośc rozwązana probemu NSFS. 3. Metoda rozwązana Rozpatrywany w pracy probem wyznaczena oejnośc wyonywana zadań jest NPtrudny. Do jego rozwązana będzemy stosowa agorytm heurystyczny oparty na na metodze przeszuwana z tabu Goer [6], [7]), w sróce TS. Jest to obecne jedna z najbardzej efetywnych metod onstruowana agorytmów przybżonych, a przy tym determnstyczna. Zasadnczym eementem tej metody jest otoczene - sposób jego generowana oraz przeszuwana ma decydujący wpływ na czas obczeń oraz jaość wyznaczanych rozwązań. Aby zmnejszyć czas wyonywana pojedynczej teracj, będzemy orzysta z subotoczeń generowanych z wyorzystanem tzw. własnośc emnacyjnych boów stosowanych w najepszych agorytmach rozwązywana probemu przepływowego, opubowanych przez Nowcego Smutncego [10] oraz Grabowsego Wodecego [8]. 3.1. Otoczena Zarówno w asycznych już dzś agorytmach przybżonych rozwązywana probemów optymazacj dysretnej np. przeszuwane z tabu, symuowane wyżarzane, agorytmy memetyczne, td.), ja obecne coraz bardzej popuarnych agorytmach bazujących na metodach sztucznej ntegencj np. sec neuronowe, agorytmy stadne, mmunoogczne, mrówowe, td.) stosuje sę przeszuwane otoczeń. Jego ceem jest wyznaczene oanego mnmum z pewnego podzboru przestrzen rozwązań. W przypadu, gdy rozwązana dopuszczane probemu optymazacyjnego są reprezentowane przez permutacje, do generowana otoczeń są stosowane ruchy - funcje zamenające pozycjam eementy w permutacj. Do najczęścej stosowanych naeżą ruchy typu zameń ang. swap) oraz wstaw ang. nsert), a taże ch złożena tzw. mutruchy, Bożejo Wodec [4]). Otoczena generowane przez pojedyncze ruchy mają zazwyczaj czbę eementów rzędu O n 2 ) gdze n jest czbą eementów permutacj). W przypadu mutruchów może być ona wyładncza Congram n. [5] oraz [4]. W teraturze przedstawono wee własnośc przyspeszjących proces przeszuwana otoczeń. Wśród nch można wyróżnć tzw. własnośc emnacyjne boów, tóre z powodzenem zastosowano w agorytmach rozwązywana trudnych probemów jednomaszynowych 562

Wodec [12]) oraz weomaszynowych Nowc Smutnc [10]). W daszej częśc pracy przedstawmy metodę generowana otoczeń oraz subotoczeń zastosowaną w agorytme TS rozwązywana probemu NSFS. Udowodnmy własnośc, umożwające pomnęce weu ruchów eementów otoczena), poneważ generowane przez te ruchy rozwązana ne dają poprawy wartośc atuane najepszego rozwązana. Nech będze pewną n-eementową permutacją - rozwązanem dopuszczanym rozpatrywanego probemu. Ruchem nazywamy przeształcene generujące z nową permutację, tóra jest rozwązanem dopuszczanym probemu, tj. naeży do zboru. Ruch poega węc na zmane oejnośc eementów w permutacj. Jeże I jest pewnym ustaonym zborem ruchów, wówczas N I ) = { : = r ), r I} 6) jest otoczenem permutacj. Oczywśce, zbór N I ). W onstrucjach weu agorytmów rozwązywana probemów optymazacj dysretnej są z powodzenem stosowane zarówno otoczena o weomanowej, ja wyładnczej czbe eementów. Im otoczene jest węsze, tym dłużej trawa jego przeszuwane. Są to zazwyczaj najbardzej czasochłonne obczena w weu agorytmach metaheurystycznych. W daszej częśc pracy udowodnmy, że pewne ruchy, tóre ne generują rozwązań epszych nż, można pomnąć w procese generowana otoczena. 3.2. Reprezentacja grafowa rozwązana Da rozwązana = 1), 2),, n)), tj. oejnośc wyonywana zadań przez ażdą z maszyn onstruujemy graf serowany G ) = V, A ); p, s, r), z obcążonym werzchołam łuam, gdze: a) zbór werzchołów V = O, b) zbór łuów A ) = R ) E ) E ) zawera: n m1 - łu ponowe: R ) = { O, ), O 1, ) }. Łu tego zbóru łączą oejne =1 =1 operacje tego samego zadana reprezentują cąg technoogczny). m n1 - łu pozome: E ) = { O, ), O, 1) }, reprezentujące permutację, =1 =1 n1 ) = { O, 1), O, ) B n m=1 - łu powrotne: E }, zapewnające cągłość pracy maszyny. c) wag werzchołów p : V, p O ) = p, O J, J J,,, j, j, j M d) wag łuów: - ponowych, jest równa zero, - pozomych s : E ), s O, O ) = s, = 1,2,, n 1,, ), 1 ), 1) M, 563

- powrotnych : E r ), r O, O ) = p s., 1),, ) ), 1) 1, w) = 1, 2,, w, 1 Cąg werzchołów W ) grafu G ) tach, że ) A ), = 1,2,..., w 1 nazywamy śceżą z werzchoła 1 do w. Jej długość L w 1, w) = p ) =1 w1 s, 1 =1 jest równa sume wag werzchołów łuów włączne z wagą perwszego ostatnego werzchoła). Przez W O1, 1), O m, n) ) oznaczamy śceżę rytyczną w grafe G ), tj. najdłuższą śceżę w grafe z werzchoła O do 1, 1) Om,, przez n) L O1, 1), O m, n) ) jej długość. Wnose 1 Da permutacj zadań czas zaończena wyonywana wszystch operacj przez maszyny jest równy długośc śceż rytycznej W O, 1, 1) O ) w grafe G ), tj. C ) = L O, ). 1, 1) O m, n) m, n) Da ustaonej permutacj, nech P O1, 1), O m, n) ) będze cągem werzchołów śceż rytycznej w grafe G ). Subpermutację zadań tj. cąg bezpośredno występujących po sobe zadań w permutacj) K = a ), a 1),, b )) M nazywamy -tą sładową śceż rytycznej, jeże: ) operacje z K są wyonywane przez tą samą -tą maszynę, ) K jest masymaną ze wzgędu na zawerane) subpermutacją spełnającą ogranczene ). 1 2 m Przez K = [ K, K,, K ] będzemy oznacza cąg oejnych sładowych permutacj. Łatwo zauważyć, że ażde zadane naeży do przynajmnej jednej ze sładowych oraz jeże < j,, j M, to 1. K K j =, gdy 1 < j ub j j 2. K K = { b ) = a )}, gdy 1 = j. Eementam wspónym oejnych sładowych są węc jedyne ch perwsze oraz ostatne eementy. 3.3. Bo zadań Cąg werzchołów,, ) V, = 1,2,, t) grafu G ) nazywamy śceżą 1 2 t omwojażera z 1 do t jeże jest to najrótsza śceża pomędzy tym werzchołam zawerająca wszyste eementy zboru,,, }. Łatwo zauważyć, że dowona { 2 3 t 1 zmana oejnośc werzchołów tej śceż ne zmnejsza odegłośc pomędzy 1 do t w grafe G ). 564

Nech K = a ), a 1),, b będze -tą sładową. Permutację = a ), a 1), b ) nazywamy wzorcem da -tej sładowej, jeże a ) = a ), b ) = b ) oraz a ),, b )) jest śceżą omwojażera zawerającą doładne wszyste werzchoł sładowej K. Wobec tego, zadań sładowej Nech K przez -tą maszynę. J )) jest optymaną oejnoścą wyonywana = a), a 1),, b)), 7) będze cągem bezpośredno występujących po sobe zadań w sładowej K, wzorcem oraz u, u, a u, b ) parą pozycj w permutacj tach, że: jej W1: a) = u), a 1) = u 1),, b 1) = 1), b) = ), ub W2: b) = u), b 1) = u 1),, a 1) = 1), a) = ), W3: J jest masymanym podcągem ze wzgędu na zawerane tj. ne można go powęszyć an o eement a 1), an o b 1) ), spełnającym ogranczene W1 ub W2. Jeże cąg zadań 7) w permutacj spełna warun W1 W3 ub W2 W3, to nazywamy go boem da -tej maszyny M ). Bo bez perwszego ostatnego eementu tj. gdy b a 2 ) nazywamy boem wewnętrznym. Nech J [ J, J,, J ] będze cągem boów da -tej sładowej. Łatwo = 1 2 n wyazać, że ażdy eement sładowej K naeży do doładne jednego bou. Agorytm rozbca sładowej na bo n eementowej permutacj) ma złożoność obczenową O n), zobacz [3]. Twerdzene 1 Jeże permutacja została wygenerowana z oejnośc eementów w pewnym bou wewnętrznym, to C ) C ). przez zmanę Dowód. Nech będze permutacją wygenerowaną z przez zamanę oejnośc eementów w pewnym bou wewnętrznym permutacj. Załadamy ne wprost, że C ) < C ). Idea daszej częśc bazuje na dowodze Twerdzena 3 zameszczonego w pracy [8]. Z Twerdzena 1 wyna, że generując otoczene można pomnąć rozwązana wyznaczone przez zmanę oejnośc eementów bou wewnętrznego. Ne dają bowem one bezpośrednej poprawy wartośc beżącego rozwązana. 565

3.4. Generowane subotoczeń W teraturze opsano wee ruchów bazujących na zamane oejnośc eementów w permutacj. Na podstawe Twerdzena 1 można wysnuć przypuszczene, że orzystnym będze stosowane ruchów typu,,wstaw" -ruch) powęszających bo. Generane, ta ruch sprowadza sę do przestawena eementu z jego pozycj w permutacj przed ub za nny eement. Doładnej, da różnych pozycj t, w permutacj ruch typu wstaw t t t generuje nową permutację = ) przez przestawene eementu t) z pozycj t na pozycję w. Otoczene 6) generowane z zastosowanem tzw. własnośc emnacyjnych boów Twerdzene 1) będzemy nazywa subotoczenem. Jego stosowane znaczne przyspesza dzałane agorytmu TS. Im węsze są bo tym mnejsze są subotoczena, a węc rótszy jest czas ch przeszuwana. Jeże I ) jest zborem wszystch -ruchów, to otoczenem permutacj, jest zbór t t t N ) = { ) = : I )}. I Lczba eementów otoczena moc zboru ) N generowanego przez -ruchy wynos 2 n 1). Nech 1 2 m K = [ K, K,, K ] będze cągem sładowych permutacj. Załadamy, że da -tej sładowej K = a ),, b ), permutacja = a ),, b ) jest wzorcem, a J I = 1,2,, n -tym boem. Da ustaena uwag załóżmy, że J = a), a 1),, b)). Jeże ) = a) a b ), to przez a oznaczamy -rucha poegający na a bezpośredn przez bo). Podobe, 1 przestawenu eementu z pozycj na pozycję 1 1 przez przez b oznaczamy ruch poegający na przestawenu eementu z pozycj na pozycję b 1 bezpośredno za bo). Da bou J, = 1,2,, n, defnujemy zbory zadań andydatów do przestawena w permutacj u I = { ) : u = a, a 1,, a 2, b 2, b 3,, b, { a 1, b 1}}, Zbory te zawerają eementy, tóre będą przestawane,,za" ub,,przed" odpowedn bo, tj. za ostatn ub przed perwszy eement bou. Oczywśce ruchy ze zborów I mogą ecz ne muszą) przyneść poprawę beżącej wartośc rozwązana C ). Na podstawe przedstawonych rozważań, ostateczne generując z nową permutację 566

będzemy stosowa ruchy ze zboru m n I ) = I ), 8) =1 =1 Rozmar tego otoczena zaeży bezpośredno od czby boów, a ne bezpośredno od czby zadań n oraz maszyn m. Przejdzemy obecne do opsu metody wyznaczana eementu w permutacj, tóry zostane przestawone za ostatn ub przed perwszy) eement bou. Szuamy -ruchu generującego permutację graf) o możwe najmnejszej długośc śceż rytycznej. Da uproszczena zapsu przyjmujemy następujące założena: 1. beżąca permutacja ) = 1,2,3,, n), 2. rozpatrujemy r-ty bo B = a, a 1,, b 1, b), 3. pomjamy ndesy maszyn np. przy oznaczenach czasów przezbrojeń). Da dowonego ruchu I ), = a 1 tj. przestawającego eement bezpośredno przed bo B ) wprowadzamy oznaczene af, ) = s 1, 1 s 1, s, 1 s, a s, s, a. 9) Podobne da ruch I ), = b 1 tj. przestawającego eement bezpośredno za bo B ) b bf 1, 1 1,, 1 b,, b1 b, b1, ) = s s s s s s. 10) Złożoność obczenowa wyznaczena wartośc wyrażena, ), { a, b} jest O 1). Twerdzene 2 Jeże permutacja została wygenerowana z ruchu I ), to termn zaończena wszystch zadań gdze { a, b}. C ) C ) af, ), przez wyonane Dowód. Dowód sprowadza sę do wyazana, że w grafe G ) stneje pewna droga z werzchoła O 1, 1) do werzchoła m, n) O o długośc C ), ). Poneważ C ) jest najdłuższą taą drogą, stąd wyna nerówność w teze twerdzena. Wartość wyrażena C ), ) jest węc donym oszacowanem rozwązana af C ). Wobec tego, x) { af, bf } mogą być stosowane jao ryterum wyboru najepszego ruchu - eementu z subotoczena N I ). Stosując ruchy typu zameń swap), w podobny sposób możemy generować oraz przeszuwać subotoczena w agorytme TS. af 567

4. Wyznaczane wzorców Do wyznaczana boów da -tej maszyny oneczny jest wzorzec - śceża omwojażera pomędzy parą werzchołów w grafe. Jej wyznaczene jest probemem NPtrudnym. Da pratycznych probemów z dużą czbą zadań, czas obczeń agorytmu optymanego jest w pratyce neaceptowany. W tym przypadu stosować będzemy agorytm przybżony 2-opt. Ma on neweą złożoność O n 2 ), ja wyna z opsanych w teraturze esperymentów obczenowych, wyznacza rozwązana różnące sę o a procent od optymanych. Zastosowane agorytmu przybżonego powoduje, że mogą ne być spełnone założena dotyczące defncj bou wzorzec może ne być śceżą omwojażera). W wynu tego, orzystając z Twerdzena 1, przy generowanu subotoczeń mogą być ewentuane wyemnowane dobre tj. dające bezpośredną poprawę) rozwązana. 5. Esperymenty obczenowe Przeprowadzone zostały esperymenty numeryczne tórych ceem było zweryfowane efetywnośc badanego agorytmu przeszuwana z tabu. Agorytm zampementowany został w języu C++ w środowsu Mcrosoft Vsua Studo 2010 przetestowany na omputerze Samsung NP730U3E-S02PL wyposażonym w procesor Inte Core 7-3537U 2,0 GHz pracujacym pod ontroą systemu operacyjnego Wndows 10. Obczena zostały przeprowadzone na zborze 110 przyładów przepływowego probemu szeregowana z rpzezbrojenam zaczerpnętych z pracy Ruz Stütze [11]. Dane pogrupowano w 11 grup, ażda o tej samej czbe zadań oraz maszyn. Jao marę jaośc agorytmu przyjęto średne procentowe odchyene Percentage Reate Deaton, PRD) ref najepszego otrzymanego rozwązana wzgędem rozwązana referencyjnego : ref ref PRD ) = 100% C ) C ))/ C ). Agorytm został zampementowany w dwóch wersjach: z otoczenem generowanym rucham typu wstaw nsert) oraz zameń swap). Obczena przeprowadzono da czby teracj wynoszącej 1000. Da ażdej nstancj probemu jao referencyjne przyjęte zostało rozwązane otrzymane za pomocą onstrucyjnego agorytmu NEH Nawaz, Enscore, Ham [9]). Otrzymane wyn zaprezentowane są w tabe 2. Poszczegóne oumny oznaczają odpowedno: t N czas dzałana agorytmu NEH, t I czas dzałana agorytmu TS z otoczenem typu wstaw nsert), t S czas dzałana agorytmu TS z otoczenem typu zameń swap), PRD I procentowy błąd wzgędny agorytmu z rucham typu wstaw PRD S procentowy błąd wzgędny agorytmu z rucham typu zameń. 568

Tabea 2. Czas obczeń oraz PRD da ustaonej czby teracj. t N s t I s) t S s) %) PRD n m ) PRD %) 20 5 0,0034 0,0186 0,0177-2,74-2,19 20 10 0,0193 0,0567 0,0567-2,64-2,66 20 20 0,0204 0,1306 0,1285-3,83-3,14 50 5 0,0991 0,2092 0,2156-1,56-1,69 50 10 0,1630 0,4528 0,4459-3,25-3,86 50 20 0,3034 0,9229 0,9302-3,48-3,82 100 5 7,7354 1,2632 1,2317-0,88-0,99 100 10 1,5440 2,7882 2,7226-1,26-1,37 100 20 3,2280 5,7525 5,7632-2,29-2,73 200 10 20,766 19,158 19,243-0,84-1,02 200 20 43,731 41,346 41,033-1,50-1,73 Średno 6,4194 6,5544 6,5265-2,21-2,29 Na podstawe zameszczonych wynów można stwerdzć, że wybór ruchu, przy generowanu otoczena, pratyczne ne ma wpływu na czas obczeń oraz wartośc wyznaczanych rozwązań różnce są newee). Naeży podreść, że obe wersje agorytmu przeszuwana z tabu mają nema dentyczny średn czas obczeń, ja agorytm onstrucyjny NEH. 6. Wnos W pracy przedstawono agorytm przeszuwana z tabu da probemu przepływowego z cągłą pracą pewnych maszyn oraz przezbrojenam maszyn pomędzy oejno wyonywanym operacjam. Przy generowanu otoczeń wyorzystano emnacyjne własnośc boów ze śceż rytycznej. Natomast, w procedurze przeszuwana subotoczena, wartośc funcj ceu są szacowane z dołu w czase stałym, nezaeżnym od czby zadań oraz czby maszyn. Lteratura 1. Bożejo W., Hejduc Z., Wodec M., Appyng metaheurstc strateges n constructon projects management, Journa of C Engneerng and Management, Tayor & Francs, 2012, Vaume 185), 621 630. 2. Bożejo W., Hejduc Z., Uchrońs M., Wodec M., Song resource-constraned con-structon schedung probems wth oeraps by metaheurstc, Journa of C Engneerng and Management, Tayor & Francs, 2014, Voume 205), 649-659. 3. Bożejo W., Uchrońs M., Wodec M., Boc approach to the cycc fow shop schedung, Computers & Industra Engneerng, 81, 2015, 158 166. 4. Bożejo W., Wodec M., On the theoretca propertes of swap mutmoes, Operatons Research Letters, 352), 2007, 227 231. 5. Congram, R.K., Potts C.N., Van de Vede S.L., An terated dynasearch agorthm for the snge-machne tota weghted tardness schedung probem, INFORMS Journa on Computng, o. 14, no. 1, 2002, 52 67. 6. Goer F., Tabu search. Part I.ORSA Journa on Computng, 1, 1989, 190-206. 7. Goer F., Tabu search. Part II.ORSA Journa on Computng, 2, 1990, 4 32. I S 569

8. Grabows J., Wodec M., A ery fast tabu search agorthm for the permutaton fow shop probem wth maespan crteron, Computers & Operatons Research, 31, 2004, 1891 1909. 9. Nawaz M., Enscore E.E., Ham I., A heurstc agorthm for the m -machne, n -job fow-shop sequencng probem, OMEGA, 11/1, 1983, 91 95. 10. Nowc E., C. Smutnc, A fast tabu search agorthm for the permutaton fow-shop probem, European Journa of Operatona Research, 1996, 91, 160 175. 11. Ruz R., Stütze T., An terated greedy heurstc for the sequence dependent setup tmes fowshop probem wth maespan and weghted tardness objectes, European Journa of Operatona Research 187 3), 2008, 1143 1159. 12. Wodec M., A boc approach to earness-tardness schedung probems, Internatona Journa on Adanced Manufacturng Technoogy, 40, 2009, 797 807. Dr hab. Wojcech BOŻEJKO, prof. nadzw. Mgr nż. Radosław IDZIKOWSKI Katedra Automaty, Mechatron Systemów Sterowana Wydzał Eetron Potechna Wrocławsa, Wyb. Wyspańsego 27,50-370 Wrocław e-ma: wojcech.bozejo@pwr.edu.p radosaw.dzows@pwr.edu.p Dr hab. Meczysław WODECKI, prof. nadzw. Instytut Informaty Unwersytet Wrocławs, u.joot-cure 50-383 Wrocław, e-ma: meczysaw.wodec@uwr.edu.p 570