Obliczenia Naukowe i Metody Numeryczne Przykładowe zadania z Analizy Numerycznej z poprzednich lat 5 października 2009 1. Co to jest epsilon maszynowy? Napisać schemat algorytmu obliczania w komputerze epsilona maszynowego. 2. Podać parametry definiujące typ single w standardzie IEEE. 3. Zbadać uwarunkowanie zadania rozwiązania układu równań liniowych x+αy=1, αx+y=0. Rozwiązujemy ten układ za pomocą eliminacji Gaussa. Przeprowadzić analizę błędów zaokrągleń dla tego algorytmu. Z jaką dokładnością obliczymy x? 4.Funkcjęf C 2 [,1]interpolujemywielomianemstopniapierwszegozwęzłamiinterpolacjix 0,x 1 [,1].Niech c= max ξ [,1] f (ξ). Podaćoszacowanieresztyinterpolacjizapomocąciwęzłów.Jakwybraćx 0 ix 1,żeby zminimalizować to oszacowanie? Z jakim twierdzeniem wiąże się ten wybór węzłów? 5.Niechf(x)=a n x n +a n x n +...+a 0.Jakąwartośćprzyjmujeilorazróżnicowyrzędu n funkcji f dla dowolnych n + 1 różnych węzłów? Wybrać poprawną odpowiedź spośród następujących odpowiedzi i ją uzasadnić: (a)n!a n, (b)a n, (c)a n /n!. 6. Wybrać parametr a tak, by ciąg kolejnych przybliżeń x k+1 = ax k+1 sinx k, x 0 =0.5, 1+a zerafunkcjif(x)=1 x sinxbyłmożliwieszybkozbieżny. 7. Udowodnić prawdziwość lub pokazać nieprawdziwość następującego stwierdzenia: Jeśli1= A > B tomacierzc=a Bjestnieosobliwa. 8. Podać warunek dostateczny(który nie jest warunkiem koniecznym) na to, by macierz I Bbyłanieosobliwa. 9. Co wiadomo o numerycznych własnościach eliminacji Gaussa z częściowym wyborem elementu głównego? Podać jakieś twierdzenie opisujące te własności i napisać, co z tego twierdzenia wynika. 10. Podać sposób pamiętania liczb zdenormalizowanych w standardzie IEEE. 11.Niechxiybędądokładnymirozwiązaniamiukładux+αy=1, αx+y=0.zbadać wrażliwość x na zaburzenia parametru α? Przeprowadzić analizę algorytmu obliczania x + y w arytmetyce zmiennopozycyjnej.
12.Danesąwartościcos45 =1/ 2=0.7071orazcos60 =1/2.Wykorzystaćtewartości do wyznaczenia wielomianu w(x) interpolującego funkcję cos x(argument x w stopniach)iocenić,zjakądokładnościąw(50 )przybliżawartośćcos50.czy(idlaczego) dokładność tego przybliżenia zmieni się, jeśli kąty zamiast w stopniach wyrazimy w radiach, tzn. zamiast funkcji cos(x) będziemy interpolować funkcję cos tπ? Zatem będziemyprzybliżaćwartośćcos 50 180 πzapomocąwartościwielomianuinterpolującego costπwwęzłacht 0 =1/4,t 1 =1/3inastępującymiwartościamifunkcjiinterpolowanej cos tπ: cos 1 4 π=1/ 2=0.7071, cos 1 3 π=1/2. 13.Niechwielomianw(x)interpolujefunkcjęf(x)=x n +a n x n +...+a 0.Jakowęzły interpolacji wybrano zera wielomianu Czebyszewa stopnia n. Czy reszta interpolacji w punkciex [,1]jestrówna (a)t n (x ) (b)2 (n) (c)2 (n) T n (x ). Wybrać poprawną odpowiedź i ją uzasadnić, cytując odpowiednie wzory lub twierdzenia. 14. Czy następujący ciąg x k+1 = bx2 k +2cx k c ax 2 k możebyćzbieżnydorozwiązaniarrównaniaax 2 +bx+c=0?cobędziejeślic=0? Niechc 0iniechar 2 cdlarozwiązaniar.jakijestwówczaswykładnikzbieżności tej metody? 15. Sformułować twierdzenie o punkcie stałym. Co to jest punkt stały odwzorowania? 16. Korzystając z odpowiedniego twierdzenia podanego na wykładzie, udowodnić następującywniosek:jeśli A E <1to (A+E) A 1 A E. 17. Co to jest wykładnik zbieżności metody iteracyjnej? Jaki wykładnik zbieżności ma metoda siecznych? Jaki jest związek metody siecznych w interpolacją odwrotną? 18. Jak pamięta się w standardzie IEEE najmniejszą liczbę dodatnią w typie single? Co to jest BIAS? 19.Zbadaćwrażliwośćpierwiastkówtrójmianukwadratowegox 2 +x anazaburzenia parametrua>0. 20. Zaproponować algorytm obliczania większego co do modułu pierwiastka tego trójmianu i przeprowadzić analizę błędów zaokrągleń dla zaproponowanego algorytmu. 21. Podać definicję wielomianu interpolacyjnego Lagrange a i udowodnić, że jest on jednoznaczny. 22. Do obliczenia zera następujących funkcji stosujemy metodę Newtona: (a)f(x)=x 1/3,x 0 0, (b)f(x)=xe x, x 0 =2lubx 0 =40. Jakie wady lub zalety metody Newtona ilustrują te przykłady? 2
23. Niech A będzie nieosobliwa. Podać warunek dostateczny na to, by macierz A + była nieosobliwa. Z jakim twierdzeniem, podanym na wykładzie, wiąże się to pytanie? [ ] 1 2 24.NiechA=. Podać, jak teoretycznie może zmienić się rozwiązanie ukła- 1 2.01 duax=b,jeślizamiastbweźmiemy b=b+δb?jakmożnaoszacowaćtęzmianę? Swoje przewidywania, oparte na materiale z wykładu, zweryfikować dla następujących konkretnych b: b=[4,4] T, b=[3,5]. Jakie stąd wynikają wnioski? 25. Jak w standardzie IEEE w typie single pamięta się NANy i nieskończoność? 26.Dladanychaib,a 2 +b 2 >0,obliczamyxzgodniezinstrukcjąx:=a 2 +ab+b 2. Przeprowadzić analizę błędów zaokrągleń dla tego algorytmu i dowolnych a, b. Czy następujący algorytm: x=(a+ b 2 )2 + 3b2 4 jest lepszy? Czy jest numerycznie poprawny? 27. Niech w(x) będzie wielomianem interpolującym funkcję sin x w węzłach interpolacji x 0 =a,x 1 =(a+b)/2ix 2 =b.oszacowaćresztyinterpolacjidla [a,b]=[0, π 6 ], [a,b]=[ π 6,π 2 ]. Jaki wniosek wynika z tego przykładu? 28.Niechg:[a,b] [a,b]będzieodwzorowaniemzwężającym.udowodnić,żepunktstały odwzorowanie g w przedziale[a, b] jest jednoznaczny. 29. Niech f(x)= 2x2 3x 2, g(x)=x 2+ x x x. x k+1 =g(x k ). Zbadaćzbieżnośćciągux k dozerafunkcjif.jakijestwykładnikzbieżnośćitejmetody? 30. Rozważyć układ równań liniowych [ ][ ] [ 1 2 x1 = 1+δ 2 x 2 3 3+δ ] dlamalychδ>0. Wyznaczyć wskaźnik uwarunkowania zadania rozwiązania tego układu. Co będzie, gdy δ 0?Przyjąćx=[3,0] T jakoobliczonejakąśmetodąrozwiązanietegoukładui wykonać jeden krok(iterację) iteracyjnego poprawiania. 31.Niechf(x)=a n x n +a n x n +...+a 0.Jakąwartośćprzyjmujeilorazróżnicowy f[x 0,...,x n ]dladowolnychn+1paramiróżnychwęzłówx j?odpowiedźuzasadnić. 3
32. Pokazać, że zamiana zmiennych x= b a 2 t+b+a 2 przekształcaprzedział t 1naprzedziała x b.niecht k będąpierwiastkami wielomianuczebyszewat n+1 (t)iniechx k = 1 2 (b a)t k+ 1 2 (b+a).uzasadnić,dlaczego ( b a max (x x 0)...(x x n ) =2 a x b 4 ) n+1. 33.Dowyznaczeniarozwiązaniarównania2 x 5x+2=0stosujemymetodęiteracyjną x i+1 = 2+2x i, x 0 =0. 5 Czy ten ciąg jest monotonicznie zbieżny do rozwiązania? Dlaczego? Zlokalizować graficznie rozwiążanie tego równania. 34. Porównać czas obliczania wartości wielomianu interpolacyjnego z wzoru Newtona i z wzoru Lagrange a. Zakładamy, że czasy mnożenia i dzielenia są pięć razy dłuższe od czasu dodawania i odejmowania. 35.Doobliczeniazerafunkcjif(x)=xe x stosujemymetodęnewtona.rozpatrzyćdwa sposobywyboruprzybliżeniapoczątkowegox 0 =2ix 0 =40.Jakzachowujesięmetoda Newtona dla tych przybliżeń początkowych? 36. Niech g będzie odwzorowaniem zwężającym ze stała Lipschitza L i niech r będzie punktemstałymodwzorowaniag.niechx i+1 =g(x i ).Wiadomo,że Korzystają z nierówności x i+1 x i L i x 1 x 0. x i+j x j x i+j x i+j +...+ x j+1 x j, udowodnić, że Czy stąd wynika, że x i+j x j Lj 1 L x 1 x 0. r x i Li 1 L x 1 x 0? 37.Niechwielomianw(x)interpolujefunkcjęf(x)=x n +a n x n +...+a 0 wwęzłach interpolacjibędącychpierwiastkamiwielomianuczebyszewat n (x)stopnian.podać wzórnaresztęinterpolacjif(x) w(x)wpunkciex [,1],wykorzystującfakt,że węzły interpolacji są pierwiastkami wielomianu Czebyszewa. Czy tym wzorem może być któreś z poniższych wyrażeń: T n (x ), 2 (n), 2 (n) T n (x ). Odpowiedź zasadnić, cytując odpowiednie wzory lub twierdzenia. 4
38.Niechfunkcjaf(x)maprzeciwneznakinakońcachprzedzialu[a,b]iniechjejdruga pochodna nie zmienia znaku w przedziale[a, b]. Założenia te występują w pewnym twierdzeniu o zbieżności metody Newtona. Co jeszcze w tym twierdzeniu zakłada się, aby mieć gwarancję zbieżności metody Newtona do jednoznacznego zera funkcji f w przedziale[a,b]dladowolnegox 0 [a,b]?niechc>0,f(x)=x 2 c.niechkońce przedziału[a, b] spełniają warunki 1<a< c, b> 1 2 ( a+ c ). a Sprawdzić, czy funkcja f spełnia na przedziale[a, b] wszystkie założenia powyższego twierdzenia. 39.Chcemyobliczyćpierwiastektrzeciegostopniar= 3 17zdokładnością±10 7,rozwiązującrównaniex 3 7=0zapomocąmetodyNewtona.Ocenić,ileiteracjimusimy wykonać? Jak wybrać przybliżenie początkowe? 40. Uzasadnić następujący związek rekurencyjny spełniany przez wielomiany Czebyszewa stopnia parzystego T 2n+2 (x)=2(2x 2 )T 2n (x) T 2n 2 (x). 41.Niechg(x)=x/2+1/x.Zbadaćzbieżnośćciągux i+1 =g(x i ),x 0 =1,korzystającz twierdzenia o punkcie stałym. 42.Podaćschematalgorytmuobliczaniawartościwielomianuinterpolacyjnegostopnia n podanego w postaci Newtona. Zakładamy, że ilorazy różnicowe, występujące we wzorze Newtona, są już wyznaczone i są zapamiętane w tablicy c. 43.Niechh(x)= 1+x 2.Dowyznaczeniazerapochodnejfunkcjih,czylidorozwiązania równaniah (x)=0stosujemymetodęnewtona.zbadaćzbieżnośćmetodynewtona dlaprzybliżeniapoczątkowegox 0 spełniającegowarunek x 0 <1orazdlaprzybliżenia początkowegospełniającegowarunek x 0 >1. 44. Napisać schemat algorytmu wyznaczania ilorazów różnicowych, które występują we wzorzenewtonanawielomianinterpolacyjnylagrange azwęzłamiinterpolacjix 0,...,x n. 45.Udowodnić,żewielomianinterpolacyjnyLagrange aopartynawęzłachinterpolacjix 0 ix 1 przybliżafunkcjęfzbłędemnieprzekraczającym 1 8 (x 1 x 0 ) 2 M.Czemurównasię M?Niechh=x 1 x 0.Jakmałamusibyćodległośćhmiędzywęzłamiinterpolacji x 0 ix 1,abywielomianinterpolacyjnyprzybliżałfunkcjęf(x)=sinxzbłędemnie przekraczającym 1 2 10 6? 46.Udowodnić,żemetodaobliczania rzapomocąwzoru marządrówny3. x i+1 = x i(x 2 i +3r) 3x 2 i +r 47. Sformułować twierdzenie o punkcie stałym. W którym z przedziałów funkcjag(x)= xjestzwężająca? [ 1 2, ), [1 8,1], [1 4,2], [0,1], [1 5,3 2 ] 5
48. Wyznaczyć wskaźniki uwarunkowania zadania obliczania mniejszego pierwiastka wielomianux 2 2rx+s 2.Kiedytozadaniejestźleuwarunkowane? 49.Niechf(x)=1/(3+x)iniech[a,b]=[,1].Porównaćoszacowanieresztyinterpolacji dla funkcji f na przedziale[a, b] dla dwóch przypadków wyboru węzłów interpolacji: 50. Niech (a)x 0 =,x 1 =1 (b)x 0 ix 1 -pierwiastkiwielomianuczebyszewat 2 (x). A= [ 0.005 1 1 1 ], b=[0.5,1] T. Czy zadanie rozwiązania układu równań liniowych Ax = b jest dobrze uwarunkowane? Od czego zależy wrażliwość rozwiązania układu na zaburzenia elementów macierzy A? Niech y będzie rozwiązaniem układu(a+ )y = b. Podać oszacowanie błędu względnego x y / x. 51.CzymożnatakdobraćstałeA 1,A 2,A 3,żebydladowolnegowielomianuwstopnia 5 zachodziła równość 1 Odpowiedź uzasadnić. w(x) 1 x 2 dx=a 1w()+A 2 w(0)+a 3 w(1)? 52. Niech f(x) = 1/x. Na przedziale[1, 2] wyznaczyć wielomian optymalny stopnia pierwszego, aproksymujący funkcje f w sensie aproksymacji średniokwadratowej, waga p(x) = 1. 53. Sformułować twierdzenia będące podstawą odpowiedzi. Dlaczego tę metodę można było zastosować? Czy wyznaczony wielomian optymalny jest jednoznaczny? Dlaczego? 54.Wiadomo,żefunkcjaf(x)=2x [cosx] 2 mazeror 0.42.Czyciąg x i+1 = 1 2 [cosx i] 2 jestzbieżnydor?dlaczego?czyprzybliżeniepoczątkowex 0 możebyćdowolne? 55. Znaleźć błąd, z jakim wyrażenie 1 h 4[f(x+2h) 4f(x+h)+6f(x) 4f(x h)+f(x 2h)] przybliżaczwartąpochodnąf (IV) (x). 56.Jakobliczyćwkomputerzey=x/(1 x 2 )?Przeprowadzićanalizębłędówzaokrągleń zaproponowanego algorytmu i zbadać uwarunkowanie zadania obliczania y. Jaki stąd otrzymujemy wniosek? 57.Niechh(x)=af(x)+bg(x)(aibsąustalonymiliczbami).Niechdanebędąróżnewęzły interpolacjix 0,x 1,...,x n.niechwielomianyw(x)iu(x),stopnia n,interpolująw tychwęzłachodpowiedniofunkcjef(x)ig(x):w(x j )=f(x j ), u(x j )=g(x j ) (j= 0, 1,..., n). Dlaczego stąd wynika następujący związek między ilorazami różnicowymi h[x 0,...,x n ]=af[x 0,...,x n ]+bg[x 0,...,x n ]?Czyresztęinterpolacjidlafunkcjif można wyrazić za pomocą odpowiedniego ilorazu różnicowego? 6
58. Wyznaczyć wskaźnik wzrostu(growth factor) dla eliminacji Gaussa bez wyboru elementu głównego zastosowanej do rozwiązania układu Ax = b z macierzą 10 1 1 A= 1 10 1. 1 1 10 Sformułować twierdzenie, w którym występuje wskaźnik wzrostu. 59.Aproksymujemyfunkcjęf C[,1]wsensienormy f 2 = 1 (1 x 2 ) /2 f 2 (x)dx. Wyrazić n ty wielomian optymalny dla f za pomocą wielomianów Czebyszewa. Sformułować twierdzenie, z którego wynika odpowiedź. 60.Niechf(x)= 1 x 2.Zbadać,czyzmodyfikowanametodaNewtona x k+1 =x k τ f(x k) f (x k ) możebyćzastosowanadowyznaczeniazerafunkcjif.rozważyćparametrτ [0,1]. Dla jakiego τ zbieżność będzie kwadratowa? 61.Pokazać,żebłąd,zjakimwyrażenie 1 12h [ f(x+2h)+8f(x+h) 8f(x h)+f(x 2h)] przybliżapierwsząpochodnąf (x),zależyodh 4. 62.Danyjestukładrównańx+dy=1, dx+y=0.wyrazićniewiadomexiyjakofunkcje parametrudizbadać,czyxiysątaksamowrażliwenazaburzeniaparametrud. 63.NiechxbędziedokładnymrozwiązaniemukładuAx=b,A-macierznieosobliwa,b 0. Niech y będzie dokładnym rozwiązaniem układu Ay = c. Udowodnić, że x y 2 x 2 cond 2 (A) c b 2 b 2. Czy można podać jakieś inne lepsze oszacowanie błędu względnego x y / x (tzn. nie przekraczające podanego powyżej oszacowania z góry)? 64.Niecha>0.Udowodnić,żeciąg x i+1 = 1 2 (x i + a x i ) jestzbieżnydo adladowolnegox 0 >0.Jakijestwykładnikzbieżnościtejmetody? 65. Wyznaczyć stałe a, b, c, żeby wyrażenie 1 0 [x x ax 2 bx c] 2 dx miało najmniejszą możliwą wartość. Sformułować twierdzenie, które jest podstawą zastosowanej metody. 7
66. Wyprowadzić wzór na błąd, z jakim wyrażenie 1 2h 3[f(x+2h) 2f(x+h)+2f(x h) f(x 2h)] przybliżatrzeciąpochodnąf (x). 67.Niechz =f(x,y)= x+y x y, s=g(x,y)= x2 +y 2 x 2 y.porównaćuwarunkowaniazadań 2 obliczania wartości s i z. Kiedy te zadania są dobrze uwarunkowane? Niech y będzie rozwiązaniem układu Ay = b +. Podać oszacowanie błędu względnego x y / x. Wybrać normę wektora zgodną z normą macierzy wybraną przy obliczaniu wskaźnika uwarunkowania. 69. Zbadać, czy funkcja g(x)= x 2 +1 x generujeciągx i+1 =g(x i )zbieżnydo 2dla,naprzykład,przybliżeniapoczątkowego x 0 > 2. 70.Niechfunkcjafprzyjmujewpunktachx j =j(j=1,2,3,4,5)odpowiedniowartości 2,1,1,2,0.Wyznaczyćtakiestałea,b,c,dlaktórychwyrażenie 5 [ax 2 k +bx k+c f(x k )] 2 k=1 przyjmuje najmniejszą możliwą wartość. Czy te stałe są określone jednoznacznie? Z jakiego twierdzenia wynika odpowiedź? 71.Znaleźćbłąd,zjakimwyrażenie 1 h 3 [f(x+3h) 3f(x+2h)+3f(x+h) f(x)]przybliża trzeciąpochodnąf (x). 72. Metodą eliminacji Gaussa z pełnym wyborem elementów głownych rozwiązać układ równańliniowychax=b,gdzie 9 1 17 A= 3 2, b=[5,9, 3] T. 6 8 1 Uwaga. Zamiast wykonywania ręcznych obliczeń można podać schemat algorytmu w pseudokodzie. 68. Zbadać uwarunkowanie zadania rozwiązania układu równań liniowych Ax = b z macierzą [ ] 1 1 A=. 1 0.999 73.Niechfunkcjafmaciągłąpierwsząpochodnąiniechistniejejejdrugapochodnawpewnym otoczeniu zera r. Niech iteracyjna metoda Newtona będzie zbieżna do pojedyńczego pierwiastkarfunkcjifdladowolnegoprzybliżeniapoczątkowegox 0 zodpowiedniego otoczeniapierwiastkar.udowodnić,żeciągkolejnychprzybliżeńx i wyznaczonychmetodą Newtona jest zbieżny kwadratowo, tzn. x i+1 r (r) lim i x i r 2 = f 2 f (r). 8
74.Niechf(x)= 1 2 (ex e x ).Niechwielomianw(x)interpolujefunkcjęfwnróżnych węzłachzprzedziału[,1]iniechzerobędziejednymztychwęzłów.pokazać,żedla x [,1]mamy f(x) w(x) 2n n! f(x). 75.Niechx 0,x 1,...,x n będąróżnymiliczbamirzeczywistymi.niechw(x)interpolujefunkcjęf(x)wtychwęzłach.pokazać,żewspółczynnikwwielomianiew(x)przyx n jest równy n f(x k ) (x k x j ) k=0 j=0,j k Korzystając z własności wielomianu interpolacyjnego, pokazać, że dla dowolnego wielomianuqstopnia nmamy n q(x k ) k=0 j=0,j k (x k x j ) =0. 76. Czym różnią się dwa pojęcia: uwarunkowanie zadania i algorytm numerycznie poprawny (stabilny)? Zilustrować to na przykładzie obliczania pierwiastków trójmianu kwadratowegox 2 +2px+q,wktórymp 2 q>0. 77. Korzystając z postaci Newtona i postaci Lagrange a dla wielomianu interpolacyjnego w(x)(stopnia n),spełniającegowarunki w(x k )=f(x k ) dla k=0,1,...,n, wyrazićexpliciteilorazróżnicowyf[x 0,...,x n ]zapomocąf(x k )ix k dlak=0,...,n. 78.Funkcjęf(x)=e x interpolujemywielomianemstopnia20naprzedziale[0,2].oszacować f(x) w(x) dlax [0,2]. 79. Niech A= [ 2 1 1 2 ObliczyćnormęspektralnąmacierzyAiA. 80.Naczympolegaijakąrolęodgrywaskalowanieukładurównańliniowych?Conaten temat podano na wykładzie? 81.Gdzieleżąpierwiastkirzeczywistewielomianuw(x)=2x 3 9x 2 +12x+15?Narysować wykres tego wielomianu. Przeanalizować zachowanie się metody Newtona, zastosowanej do obliczenia pierwiastków wielomianu w(x). Rozważyć przybliżenia początkowe x 0 =3, x 0 >3, x 0 <3. 82.Wyznaczyćwspółczynnikiparaboliy=ax 2 +b,któranajlepiejprzybliżazbiórpunktów (, 3.1), (0, 0.9), (1, 2.9) w sensie najmniejszych kwadratów. Jak można to zadanie (polecenie) sformułować za pomocą wzorów? Uwaga. Powyższe punkty interpretujemy jakoparyx k iy k =f(x k ). ]. 9
83. Niech wielomian ortogonalny Legendre a L(x), stopnia n, będzie tak unormowany, że mawspólczynnikrówny1przynajwyższejpotędze:l(x)=x n +...Udowodnić,żedla każdego wielomianu monicznego w(x), stopnia n, zachodzi nierówność: 1 ( ) 2dx 1 ( 2dx L(x) w(x)) 84. Niech wielomian w(x) stopnia 1 interpoluje funkcję f = 1/(3+x) w węzłach Czebyszewa x 0 ix 1 (cotosąwęzłyczebyszewa?).oszacować max (x x 0)(x x 1 ) [,1] oraz resztę interpolacji(jakim wzorem ona sie wyraża?). Wyznaczyć wielomian interpolujący. Co zyskujemy stosując węzły Czebyszewa? 85. Zbadać uwarunkowanie zadania rozwiązania układu równań liniowych o macierzy układu [ ] 1 1 A= oraz b=[1,1] T. 1 ǫ Podać wzór i obliczyć wskaźnik uwarunkowania tego zadania dla normy Frobeniusa. Co będzie, jak ǫ będzie bliskie zera? 86.Wyznaczyćwielomianw(x)stopnia 1najlepiejaproksymującywsensienajmniejszych kwadratów na zbiorze S={x 1,x 2,x 3,x 4 }, gdziex j =j,funkcjęf(x)owartościach f(x 1 )=0, f(x 2 )=2, f(x 3 )=1, f(x 4 )=1. 87.Niechc>0.Czyciąg x i+1 = 1 2 (x i + c x i ), x 0 dane jestzbieżnydo c?jeślitak,toczywykładnikzbieżnościjestrówny2? 88.Niechx i =a+(i)h,h=(b a)/(n),1 i n.wiadomo,żezłożonywzór trapezów ma postać: b f(x)dx= h n ( f(x i )+f(x i+1 ) ) b a 2 12 h2 f (ξ). a i=2 Jakdużemusibyćn,żebycałkę 1 sinx 0 x dx obliczyćztegowzoruzbłędemmniejszymniż10 4? 89.Niechw(x)będziewielomianeminterpolującymfunkcjęf(x)wwęzłachx 0,...,x n i niech l k (x)= x x j x j k k x j Udowodnić, że f(x) w(x)= n i=0 ( ) f(x) f(x i ) l i (x). 10
90. Przeprowadzić analizę błędów zaokrągleń w arytmetyce zmniennopozycyjnej fl następującego algorytmu: 2x y= (1 x)(1+x). 91. Wyznaczyć współczynniki a i b tak, by wielomian w(x) = ax+b najlepiej aproksymował wsensienajmniejszychkwadratównazbiorzes={1,2,,3}funkcjęfowartościach: f(1)=, f(2)=1, f(3)=0. 92. Czy taki wielomian jest jednoznacznie określony? Z czego wynika odpowiedź? 93.Niechf C 2 [,1].Funkcjęfinterpolujemywielomianemstopnia 1,mającwęzłyx i orazwartościf(x i )dlai=0,1.zakładamy,że Niech x 0,x 1 [,1]. α= 1 2 max f (ξ) max x x 0 x x 1. ξ [,1] x [,1] Jakwybraćx 0 ix 1,byαbyłomożliwiemałe?Czy(ijaki)istniejezwiązekmiędzy (x x 0 )(x x 1 )iwielomianamiczebyszewa? 94.WyznaczyćtrzypierwszewielomianyL 0,L 1,L 2 ortogonalnenaprzedziale[,1]zwagąp(x)=1.jakijestmiędzynimizwiązekrekurencyjny?cotoznaczy,żeonesą ortognalne? 95. Niech A będzie macierzą nieosobliwa. Niech x i y będą dokładnymi rozwiązaniami odpowiednioukładówax=biay=c,przyczymb 0.Podaćoszacowaniebłędu względnego x y 2 x 2. Zbadać realistyczność tego oszacownia(tzn. obliczyć faktyczny błąd względny i porównać jego wartość z oszacowaniem) na przykładzie macierzy [ ] 1 2 A= 1 2.01 ib=[4,4] T ic=[3,5] T. 96. Zastosować wzór złożony trapezów do obliczenia całki z funkcji sinx x naprzedziale[0,1]zbłędemmniejszymniz10 4.Nailepoprzedziałówtrzebapodzielić przedział[0, 1]? Jaki jest wzór na błąd złożonej kwadratury trapezów? 97.Niechf(x)=x n.niechx 0,x 1,...,x n będąróżnymiliczbamirzeczywistymi.korzystając z własności wielomianowej interpolacji Lagrange a i definicji ilorazów różnicowych udowodnić, że (a)ilorazróżnicowyf[x 0,x 1,...,x n ]jestrówny1, 11
(b)ailorazróżnicowyf[x 0,x 1,...,x n ]jestrównysumie Σ n k=0 x k. 98. Co to jest epsilon maszynowy? Napisać schemat algorytmu obliczania w komputerze epsilona maszynowego. 99. Co to jest rząd kwadratury? Jakiego rzędu jest poniższa kwadratura 1 (E oznacza błąd kwadratury). 100. Niech f(x)dx=f ( 1 ( 1 )+f 3 )+E? 3 f(x)=x n iniechx 0,x 1,...,x n będąróżnymiliczbamirzeczywistymi.czy w(x)=x n jestwielomianeminterpolującymfunkcjęf(x)wwęzłachx 0,...,x n?dlaczego?korzystajączdefinicjiilorazówróżnicowychudowodnić,żeilorazróżnicowyf[x 0,x 1,...,x n ] dlafunkcjif(x)=x n jestrówny1. 101. Niech α będzie 2 krotnym zerem funkcji f(x). Co można powiedzieć o szybkości zbieżności metody Newtona zastosowanej do wyznaczenia zera α funkcji f? Czy poniższa metoda będzie miała w tym przypadku większy wykładnik zbieżności niż metoda Newtona? Dlaczego? x n+1 =x n 2 f(x n) f (x n ) 102. Opisać algorytm wyznaczania najlepszej aproksymacji średniokwadratowej funkcji f(x) = x 3 naprzedziale[,1]zapomocąwielomianówstopnia 2(wagajestrównajeden). Z jakiego twierdzenia wynika ten algorytm? Czy ta najlepsza aproksymacja jest jednoznaczna? Dlaczego? 103. Niech A= [ 0 5 1 2 1 ], b=[1,0] T. Obliczyć wskaźnik uwarunkowania zadania rozwiązania układu Ax = b dla wybranej przez siebie normy macierzy. Dokładne rozwiązanie układu Ax = b jest równe x 1 =0.4999975..., x 2 =0.999995... Rozwiązać układ Ax = b za pomocą eliminacji Gaussa bez wyboru elementu głównego w arytmetyce zmiennopozycyjnej dziesiętnej z 4-cyfrową mantysą. Co zadecydowało o błędzie, jakim jest obarczone obliczone rozwiązanie- zastosowany algorytm czy uwarunkowanie zadania? Czy wybór elementu głównego poprawiłby dokładność obliczonego wyniku? Dlaczego? 12
104.Niech f = <f,f>.udowodnićnastępującąwłasnośćnormyokreślonejzapomocą iloczynuskalarnego: f+g 2 + f g 2 =2( f 2 + g 2 ). 105. Wyznaczyć najlepszą aproksymację w sensie najmniejszych kwadratów funkcji f o wartościachf()=1,f(0)=0,f(1)=1nazbiorzepunktów{,0,1}zapomocąwielomianówstopnia 1.Sformułowaćtwierdzenie,którejestuzasadnieniemdlawybranej metody. 106. Dane są trzy wielomiany stopnia pierwszego, przybliżające funkcję f = 1/(3 + x) na przedziale[, 1]. Są to: (a)(6 2x)/17 (b) 1 8 x 8 (c)(3 x)/8. Czy któryś z tych wielomianów jest wielomianem optymalnym w sensie aproksymacji średniokwadratowej? Dlaczego? 107.Niechnormabędziezdefiniowanazapomocąiloczynuskalarnego: f = <f,f>. Udowodnić,żejeśli<f,g>=0,to f+g 2 = f 2 + g 2. 108.Wyznaczyćnajlepsząaproksymacjeśredniokwadratowąfunkcjie x naprzedziale[0,1]za pomocąwielomianówstopnia 2względemnormyzwiązanejziloczynemskalarnym <f,g>= 1 0 f(x)g(x)dx. Do obliczenia odpowiednich całek zastosować całkowanie przez części. Sprawdzić, że całkanieoznaczonazfunkcjix 2 e x jestrówna(x 2 2x+2)e x,azfunkcjixe x jestrówna xe x e x. 109. Niech λ będzie liczbą rzeczywistą, f, g wektorami z przestrzeni liniowej, w której jest określonyiloczynskalarny.wyrazićiloczynskalarny<f+λg,f+λg>zapomocą normfigoraziloczynuslakarnego<f,g>. 110. Niech ( 1 f 2 = 1 ) 1/2. f(x)f(x)dx 1 x 2 Jakimwzoremwyrażasięoptymalnywielomianstopnian 2aproksymującyfunkcję sinxwzględemnormy 2.Sformułowaćtwierdzenie,któreuzasadniaodpowiedź. 111. Niech <f,g> 1 f(x)g(x)dx. Niechwielomianyp k,k=0,1,...,będąortogonalnewzględemtegoiloczynuskalarnego, p 0 (x)=1,p 1 (x)=x a 1.Niechp 2 (x)=(x a 2 )p 1 (x) b 2 p 0 (x).udowodnić,że współczynnikb 2 jestdodatni. 112.Niechf(x)=1/(x+1).Danesąpunktyx 0 =1,x 1 =0.75,x 2 =0.25,x 3 =0.Wyznaczyć wielomianw(x)stopnian 1,dlaktóregowyrażenie 3 k=0 [ ] 2 f(x k ) w(x k ) 13
przyjmuje najmniejszą wartość. Z jakiego twierdzenia wynika zastosowana metoda wyznaczania wielomianu optymalnego? 113.Udowodnić,żejeśliukład{g 1,g 2,...,g n }jestortonormalny,to Σ n k=1a k g k 2 =Σ n k=1a 2 k. Uwaga.Normajestzdefinionaprzeziloczynskalarny: f = <f,f>. 114.Danesąwartościf()=1,f(0)=2,f(1)=4.Wyznaczyćwielomianystopnian=1i stopnia n = 2 aproksymujące funkcję f w sensie najmniejszych kwadratów. Czy któryś z nich jest jednocześnie wielomianem interpolującym Lagrange a? Dlaczego? Odpowiedzieć na to dodatkowe pytanie bez wykonywania obliczeń. 115.Niechwielomianyp 0 ip 1 będąortogonalne,tzn.<p 0,p 1 >=0.Niechwielomianp 2 (x)= (x a 2 )p 1 (x) b 2 p 0 (x)będzieprostopadłydowielomianowp 0 ip 1.Wyprowadzićwzory nawspółczynnikia 2 ib 2. 116.NiechfunkcjafbędzieliniowąkombinacjąwielomianówCzebyszewaf=a 0 T 0 +a 1 T 1 +...+a n+1 T n+1.czyw(x)jestnajlepsząaproksymacjąśredniokwadratowądlafunkcjif względem normy ( 1 1 ) 1/2? f 2 = f(x)f(x)dx 1 x 2 Dlaczego? 117. Wyznaczyć wskaźniki uwarunkowania zadania obliczania mniejszego pierwiastka wielomianux 2 2rx+s 2.Kiedytozadaniejestźleuwarunkowane? 118.Niechf(x)=1/(3+x)iniech[a,b]=[,1].Porównaćoszacowanieresztyinterpolacji dla funkcji f na przedziale[a, b] dla dwóch przypadków wyboru węzłów interpolacji: (a)x 0 =,x 1 =1 (b)x 0 ix 1 -pierwiastkiwielomianuczebyszewat 2 (x). 119.Wiadomo,żefunkcjaf(x)=2x [cosx] 2 mazeror 0.42.Czyciąg x i+1 = 1 2 [cosx i] 2 jestzbieżnydor?dlaczego?czyprzybliżeniepoczątkowex 0 możebyćdowolne? 120.Jakobliczyćwkomputerzey=x/(1 x 2 )?Przeprowadzićanalizębłędówzaokrągleń zaproponowanego algorytmu i zbadać uwarunkowanie zadania obliczania y. Jaki stąd otrzymujemy wniosek? 121.Niechh(x)=af(x)+bg(x)(aibsąustalonymiliczbami).Niechdanebędąróżnewęzły interpolacjix 0,x 1,...,x n.niechwielomianyw(x)iu(x),stopnia n,interpolująw tychwęzłachodpowiedniofunkcjef(x)ig(x):w(x j )=f(x j ), u(x j )=g(x j ) (j= 0, 1,..., n). Dlaczego stąd wynika następujący związek między ilorazami różnicowymi h[x 0,...,x n ]=af[x 0,...,x n ]+bg[x 0,...,x n ]?Czyresztęinterpolacjidlafunkcjif można wyrazić za pomocą odpowiedniego ilorazu różnicowego? 14
122.Aproksymujemyfunkcjęf C[,1]wsensienormy f 2 = 1 (1 x 2 ) /2 f 2 (x)dx. Wyrazić n ty wielomian optymalny dla f za pomocą wielomianów Czebyszewa. Sformułować twierdzenie, z którego wynika odpowiedź. 123.Danyjestukładrównańx+dy=1, dx+y=0.wyrazićniewiadomexiyjakofunkcje parametrudizbadać,czyxiysątaksamowrażliwenazaburzeniaparametrud. 124.NiechxbędziedokładnymrozwiązaniemukładuAx=b,A-macierznieosobliwa,b 0. Niech y będzie dokładnym rozwiązaniem układu Ay = c. Udowodnić, że x y 2 x 2 cond 2 (A) c b 2 b 2. Czy można podać jakieś inne lepsze oszacowanie błędu względnego x y / x (tzn. nie przekraczające podanego powyżej oszacowania z góry)? 125.Niecha>0.Udowodnić,żeciąg x i+1 = 1 2 (x i + a x i ) jestzbieżnydo adladowolnegox 0 >0.Jakijestwykładnikzbieżnościtejmetody? 126. Wyznaczyć stałe a, b, c, żeby wyrażenie 1 0 [x x ax 2 bx c] 2 dx 127.Niechz =f(x,y)= x+y x y, s=g(x,y)= x2 +y 2.Porównaćuwarunkowaniazadań x 2 y 2 obliczania wartości s i z. Kiedy te zadania są dobrze uwarunkowane? miało najmniejszą możliwą wartość. Sformułować twierdzenie, które jest podstawą zastosowanejmetody.wielomianamistopnia 2. 128.Niechfunkcjafbędzieaproksymowanawielomianemstopnia nnazbiorzen+2punktów w sensie Czebyszewa(aproksymacja jednostajna). Jakie warunki interpolacyjne spełnia wielomian optymalny i jak dzięki temu można go wyznaczyć bez rozwiązywania odpowiedniego układu równań liniowych? 129. Zbadać, czy funkcja g(x)= x 2 +1 x generujeciągx i+1 =g(x i )zbieżnydo 2dla,naprzykład,przybliżeniapoczątkowego x 0 > 2. 130. Niech A= [ 2 1 1 2 ObliczyćnormęspektralnąmacierzyAiA. ]. 15
131.Wielomianf(x)=x 2 x 2madwapierwiastki:r 1 =2ir 2 =.Tepierwiastki chcemy wyznaczyć za pomocą metody iteracyjnej Do wyboru mamy następujące funkcje g: x k+1 =g(x k ). g(x)=x 2 2, g(x)= x+2, g(x)=1+ 2 x, g(x)=x2 +2 2x. Zbadaj,czyciągigenerowanezapomocątychfunkcjigsązbieżnedopierwiastkar 1. Jeśli tak, to jak szybko? Wystarczy rozpatrzyć dwie z powyższych czterech funkcji g. 132.Niechf(x)=x 2 sin(x).graficzniezlokalizujzerofunkcjifiwyjaśnij,czymożnado jego wyznaczenia zastosować metodę Newtona. Podaj jakieś własności metody Newtona. Czy szybkości zbieżności metody Newtona zależy od krotności zera funkcji? Jak to uzasadnić? 133. Niech r będzie pierwiastkiem wielomianu w(x). Napisać w pseudokodzie algorytm obliczania ilorazu w(x)/(x r) za pomocą prostego algorytmu Hornera. 134.Niechf(x)=x 2 a,gdziea>0.zerofunkcjif,czyli a,chcemywyznaczyćzapomocą metodyiteracyjnejx k+1 =g(x k ).Dowyborumamynastępującefunkcjeg: g(x)=a+x x 2, g(x)=1+x x2 a. Zbadaj,czyciągigenerowanezapomocątychfunkcjigsązbieżnedopierwiastka a. Jeśli tak, to jak szybko? Czy jest to szybsza zbieżność niż zbieżność metody Newtona? Dlaczego? 135. Co to jest macierz Grama i jakie ma własności? Co to jest macierz Vandermonde a? Przy okazji jakich problemów pojawiły się na wykadzie te macierze? 136.Wyznaczyćwielomianw(x)=c 1 x+c 2 x 3 aproksymującyfunkcjęsin(x)naprzedziale [ π, π] w sensie aproksymacji średniokwadratowej(waga jest równa 1). 137. Wyznaczyć wielomian stopnia 3 aproksymujący funkcję arc cos(x) na przedziale[, 1] wsensieaproksymacjiśredniokwadratowej,zwagą1/ 1 x 2. 138. Niech f(x) = xg(x). Uzasadnić następujący związek między ilorazami różnicowymi f[x 0,x 1,...,x n ]=x n g[x 0,x 1,...,x n ]+g[x 0,x 1,...,x n ]. 139. Na przedziale[0, 2π] skonstruowano wielomiany interpolacyjne Lagrange a pierwszego stopniadlafunkcjif(x)=sin(x)ifunkcjig(x)=cos(x),wybierającjakowęzłyinterpolacjix 0 = π 4,x 1= 5π 4.Wartośćtychwielomianówwpunkcie3π/4lepiejprzybliża funkcję f czy g, odpowiednio? A może błąd przybliżenia jest taki sam? 140. Napisać schemat rozwiązywania układu równań liniowych z macierzą trójkątną dolną. 141. Omówić zalety i wady róźnych kryteriów kończenia procesu iteracyjnego, stosowanych w metodach wyznaczania zer funkcji. 142. Co iteracyjne metody Newtona i siecznych mają współnego z interpolacją? 16