Grupy Coxetera i diagramy Coxetera Dynkina Justyna Kosakowska Szczecin, kwiecień 2013
Cel wykładu Omówimy klasyfikację oraz pewne własności skończonych grup Coxetera. Wstęp Skończone grupy Coxetera odgrywają ważną rolę m.in. w klasyfikacji półprostych algebr i grup Liego; teorii grup algebraicznych. klasyfikacji wielościanów foremnych; Znana jest klasyfikacja skończonych grup Coxetera (wykorzystująca systemy pierwiastków oraz grafy Coxetera).
Oznaczenia M n (R) algebran n-macierzyowspółczynnikach wciele R; e 1,...,e n bazastandardowap.lin. R n ;, : R n R n R standardowyiloczynskalarny; O(n) =O(n,R) ={A M n (R) ; A A tr =E}grupa macierzy ortogonalnych(pełna grupa ortogonalna); grupao(n)jestizomorficznazgrupąo(r n )wszystkich liniowychortogonalnychprzekształceńf : R n R n (tzn. f(u),f(v) = u,v ); dalej będziemy utożsamiać te grupy;
Definicja Przekształcenieliniowes: R n R n nazywamyodbiciem, jeśliistniejehiperpłaszczyznapw R n (tzn.podprzestrzeń liniowawymiarun 1)taka,żes(x) =x,jeślix Poraz s(x) = x,jeślix P. Niech0 α P.WtedyodbiciewzględemPjestpostaci Oczywiścies α O(n). s α (x) =x 2 x,α α,α α. Problem Opisać skończone podgrupy w O(n) generowane przez odbicia.
Odbicia Każde odbicie s wyznacza jednoznacznie hiperprzestrzeń P oraz prostą L =P =αr,0 α P. Będziemystosowaćoznaczenias=s α,p =P α orazl =L α. Wektor α(tzw. pierwiastek) NIE jest jednoznacznie wyznaczonyprzezs(s α =s λα dla0 λ R). α P α L α
Dwa przykłady Niech m będziem-kątemforemnymwr 2 (ośrodkuciężkości w (0,0))orazniech H m :=O( m ) ={A O(2) ; A( m ) = m } ={E,R θ,r 2 θ,...,r m 1 θ,t,r θ T,R 2 θ T,...,R m 1 θ T}, gdzie R θ = ( cosθ sinθ sinθ cosθ ), T = oraz θ = 2π/m,(grupa dyhedralna). ( 1 0 0 1 GrupaH m jestgenerowanaprzezdwaodbicia:torazr θ T. ).
GrupyH 4,H 6 orazh 5 θ 2 θ 2 θ 2 1 1 1 R θ =s 2 s 1
Dwa przykłady NiechS n będziegrupąsymetryczną.wtedys n O(n) (permutacje wektorów bazowych). Transpozycja (ij)działajakodbicie:przeprowadzae i e j w (e i e j )orazjestniezmienniczenaprzestrzeni prostopadłejdoe i e j. ZatemgrupaS n jestgenerowanaprzezodbicia (i,i +1), 1 i n 1. Wiadomo,że (R n ) Sn = (e 1 +e 2 +...+e n )R.ZatemS n działa równieżna R n 1 orazs n O(n 1).
Uwaga NiechW O(n)będziepodgrupąorazniech V 0 =V 0 (W) = (R n ) W Wtedy R n =V 0 V 0 orazw(v 0 ) =V 0,W(V 0 ) =V 0. ZatemW O(m),gdziem=dim R V 0.Bezstratyogólności możnazałożyć,żev 0 =0. Definicja Skończoną podgrupę W O(n) generowaną przez odbicia oraztaką,żev 0 (W) =0będziemynazywaćgrupąCoxetera.
Definicja Niech W będzie grupą Coxetera oraz niech Φ = Φ W ={α, α ; α =1orazs α W}. Zbiór Φ nazywamy systemem pierwiastków grupy W. SystemypierwiastkówgrupH 4,H 6 orazh 5
Niecht R n będzietaki,że t,r 0dlakażdegor Φ. Definiujemy Φ + = Φ + t ={r Φ ; t,r >0} oraz Φ t = Φ + t.wtedy Φ = Φ+ t Φ t oraz Φ + t = Φ t. Ustalamy Φ +.Niech Φ + będzieminimalnympodzbiorem otejwłasności,żekażdyr Φ + jestkombinacjąliniową o nieujemnych współczynnikach elementów z. Taki zbiór nazywamy t-bazą(krótko: bazą) systemu Φ. Niech ={r 1,...,r n }będziebaząsystemu Φ(jestto równieżbazaliniowa R n ).Pierwiastkir 1,...,r n nazywamy prostymi pierwiastkami natomiast odpowiadające im odbicia s 1,...,s n fundamentalnymiodbiciamiww.
SystemypierwiastkówgrupH 4 orazh 6 Φ t Φ + Φ t Φ + Φ ={,,}, Φ + ={,}, ={}.
Twierdzenie Niech W O(n) będzie grupą Coxetera. Wtedy istnieje dokładnie jedna t-baza systemu Φ; każdat-bazasystemu Φjestbaząliniowąprzestrzeni R n ; jeśli, sąodp.t,t -bazami,toistniejew Wtakie, żew( ) =. Twierdzenie(Coxeter, 1934) W = s 1,...,s n ; (s i s j ) p ij =1,i,j =1,...,n, gdziep ij jestrzędemelementus i s j wgrupiew. Uwaga Grupą Coxetera nazywa się też każdą grupę posiadającą taką prezentację(wymagamyp ii =1,aledopuszczamyp ij = ).
Definicja SkończonygrafnieskierowanyQ= (V,E)zwaluacją ω :E NnazywamygrafemCoxetera,oiledlakażdej krawędzi i j jejwagaω ij =ω(i j )jestliczbą naturalną > 2. Definicja Niech W będzie grupą Coxetera generowaną przez {s 1,...,s n }.GrafQ W = ({1,...,n},E)zwaluacją p :E N,p(i j ) =p ij,gdzie E ={i j ;p ij >2},nazywamygrafemCoxetera grupyw. Q Hn = H n 2 : n
Twierdzenie NiechW 1,W 2 O(n)będągrupamiCoxetera.Jeśli Q W1 =Q W2,toistniejeT O(n)taki,żeTW 1 T 1 =W 2. Dowód Niech 1, 2 będąbazami(odpowiedniosystemu Φ W1 oraz Φ W2 ),którewyznaczajągrafq W1 =Q W2.Stąd 1 ={r 1,...,r n }oraz 2 ={r 1,...,r n}, gdzie r i,r j = r i,r j = cos( π p ij)( p ij =p ij)dlai,j. Def.p.lin.T : R n R n przezt(r i ) =r i.mamy więct O(n). T(r i ),T(r j ) = r i,r j = r i,r j,
Dowód Niechs i,s ibędąodbiciamiodpowiadającymiodpowiednio pierwiastkomr i,r i.mamys i =Ts i T 1.Istotnie, Ts i T 1 (r i ) =Ts i(r i ) =T( r i ) = r i orazdlaxtakiego,że x,r i =0zachodzi 0 = T 1 (x),t 1 (r i ) = T 1 (x),r i. Stąd Ts i (T 1 (x)) =T(T 1 (x)) =x. Ponieważodbicias 1,...,s n orazs 1,...,s n generują odpowiedniogrupyw 1 orazw 2,więcW 2 =TW 1 T 1.
Definicja Grupę Coxetera W nazywamy nieprzywiedlną, jeśli nie jest ona produktem dwóch nietrywialnych grup Coxetera. Stwierdzenie NiechWbędziegrupąCoxeteraorazQ W jejgrafemcoxetera. Grupa W jest nieprzywiedlna wtedy i tylko wtedy, gdy grafq W jestspójny. JeśliQ 1,...,Q m sąspójnymiskładowymigrafuq W,to W =W 1... W m orazq Wi =Q i (i =1,...,m). Wniosek Wystarczy podać klasyfikację nieprzywiedlnych grup Coxetera.
Twierdzenie JeśliWjestnieprzywiedlnągrupąCoxetera,toQ W jest jednym z poniższych grafów Coxetera-Dynkina. Uwaga Dla każdego grafu Coxetera-Dynkina Q istnieje grupa CoxeteraWtaka,żeQ W =Q. Piszemy i p ij j,jeślip ij >3oraz i j,jeślip ij =3.
A n : Grafy Coxetera-Dynkina (n 1wierzchołków) B n : 4 (n 2wierzchołków) D n : (n 4wierzchołków) F 4 : 4 H n 2 : n (n 5) I 3 : 5 I 4 : 5 E 6 : E 7 : E 8 :
Idea dowodu Z grafem Coxetera stowarzysza się macierz symetryczną tzw. macierz Coxetera. Graf Coxetera nazywamy dodatnio określonym, jeśli odpowiadająca mu macierz jest dodatnio określona. Pokazuje się, że graf Coxetera grupy Coxetera jest dodatnio określony. Dowodzi się, że jedynymi dodatnio określonymi grafami Coxetera są te wymienione powyżej. Dla każdego z powyższych grafów Coxetera wskazuje się (konstruuje) odpowiednią grupę Coxetera.
Wielościany/wielokomórki foremne wypukłe wielokątyforemnewypukłe m w R 2 ; bryłyplatońskiewr 3 ; w R 4 : 24-ścian(ścianami są trzywymiarowe ośmiościany); 120-ścian(ścianami są trzywymiarowe dwunastościany); 600-ścian(ścianami są trzywymiarowe czworościany); n-wymiarowesympleksywr n ; n-wymiarowekostkiwr n ; n-wymiarowe2 n -wielokomórki;
Typ H n 2 : n GrafemCoxeteragrupyH n =O( n )jest H n 2. Typ A n : GrafemCoxeteragrupyS n 1 jest A n. S 3 =H3 =O( 3 ); S 4 =O(T4 )(permutujewierzchołkiczworościanu foremnegot 4 ); S n+1 =O( n )(permutujewierzchołkisympleksu n wymiarun); Typ B n : 4 GrupaCoxetera:O(I n ),gdziei n jestn-wymiarowąkostką (I 3 =T 6 orazo(t 6 ) =O(T 8 )).
Typ D n : Grupa Coxetera: grupa symetrii n-wymiarowej demi-kostki. Typ I 3 : 5 GrupaCoxetera:O(T 12 ) =O(T 20 )jest I 3. Typ I 4 : 5 Grupa Coxetera: grupa symetrii foremnego 4-wymiarowego 120-ścianu(lub 600-ścianu).
Typ F 4 : 4 Grupa Coxetera: grupa symetrii foremnego 4-wymiarowego 24-ścianu. Typ E 6, E 7, E 8 E 6 : Grupy Coxetera: grupy symetrii półforemnych wielościanów opisanychw1900rokuprzezt.gosseta.sątotzw.6-ic,7-ic oraz 8-ic półforemne wielościany.