BRYŁY PLATOŃSKIE W CZTERECH WYMIARACH
|
|
- Mikołaj Marciniak
- 7 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 BRYŁY PLATOŃSKIE W CZTERECH WYMIARACH Adam Doliwa doliwa@matman.uwm.edu.pl Instytut Matematyczny Polskiej Akademii Nauk (Warszawa) Uniwersytet Warmińsko-Mazurski (Olsztyn) SPOTKANIA Z MATEMATYK A Olsztyn, 5 kwietnia 2011 r. Adam Doliwa (IM PAN / UWM) Bryły platońskie 5-IV / 21
2 Plan 1 Wielokaty foremne i pokrycia płaszczyzny 2 Wielościany regularne 3 Figury foremne w wyższych wymiarach Adam Doliwa (IM PAN / UWM) Bryły platońskie 5-IV / 21
3 Wielokaty foremne płaskie α 5 π α 5 Trójkat (równoboczny) Kwadrat Pieciokat,,, Szesciokat, Siedmiokat, p-katy foremne: p(= 3, 4, ( 5,...)) równych boków i katów kat wewnętrzny α p = π 1 2 p wyznacza się z równości p(π α p ) = 2π α 3 = π 3 (= 60 ), α 4 = π 2 (= 90 ),... Adam Doliwa (IM PAN / UWM) Bryły platońskie 5-IV / 21
4 Symetrie trójkata równobocznego C I I R1 R2 OA OB OC I R 1 R 2 O A O B O C najpierw R1 R 1 R 2 I OC O A O B R2 R 2 I R 1??? S OA OB OA O B O B O C I R 1 R 2??? I? A B O C O C???? I R k obrót o kπ 3 wokół środka trójkata S, k = 1, 2 O X odbicie w prostej SX, X = A, B, C I identyczność Zadanie 1: Podać generatory zbioru symetrii trójkata równobocznego Zadanie 2: Podać symetrie p-kata foremnego i ich tabelkę składania Adam Doliwa (IM PAN / UWM) Bryły platońskie 5-IV / 21
5 Pokrycia płaszczyzny jednakowymi wielokatami foremnymi trójkatny kwadratowy sześciokatny (plaster miodu) Innych foremnych parkietaży płaszczyzny nie ma Pitagoras z Samos (ok ok. 475 p.n.e.) W jednym wierzchołku styka się q p-katów formnych: qα p = 2π (q 2)(p 2) = 4 Jedynymi rozwiazaniami (p, q) w zbiorze par liczb naturalnych sa (3, 6) (4, 4) (6, 3) Adam Doliwa (IM PAN / UWM) Bryły platońskie 5-IV / 21
6 Wielościany foremne (bryły platońskie) czworościan (T) sześcian (H) ośmiościan (O) (ogień) (ziemia) (powietrze) dwunastościan (D) dwudziestościan (I) (woda) (kwintesencja, idea wszechświata) Adam Doliwa (IM PAN / UWM) Bryły platońskie 5-IV / 21
7 Istnieje tylko pięć (wypukłych) wielościanów foremnych Teajtet (Theaetetos) z Aten (ok ok. 369 p.n.e) Oprócz figur badał także liczby niewymierne (wprowadził ułamki łańcuchowe). Jest główna postacia w dwóch dialogach swego przyjaciela Platona ( p.n.e.): Teajtecie i Sofiście Niech w jednym wierzchołku styka się q > 2 p-katów formnych α 3 α 4 α5 Konstrukcja wielościanu wypukłego jest możliwa tylko wtedy gdy qα p < 2π, czyli (q 2)(p 2) < 4 Jedynymi rozwiazaniami (p, q) w zbiorze par liczb naturalnych sa (3, 3) (4, 3) (3, 4) (5, 3) (3, 5) Wszystkie sa realizowane Adam Doliwa (IM PAN / UWM) Bryły platońskie 5-IV / 21
8 Zadanie 3: Wykazać, że kat β (p,q) pomiędzy dwiema sasiednimi ścianami wielościanu foremnego (p, q) wynosi π 2ψ (p,q), gdzie cos ψ (p,q) = cos π q sin π p π 3 < β (3,3) < 2π 5, β (4,3) = π 2 < β (3,4), β (5,3) < 2π 3 < β (3,5) Zadanie 4: Pokazać, że odcinajac z wielościanu foremnego wierzchołki płaszczyznami przechodzacymi przez środki stykajacych się w nich boków otrzymujemy znowu wielościan foremny (nazywany dwualnym do wyjściowego) Zadanie 5: Wyznaczyć symetrie wielościanów foremnych Adam Doliwa (IM PAN / UWM) Bryły platońskie 5-IV / 21
9 Układ współrzędnych i realizacje brył platońskich (1) (0,0,1) P(x 1,x 2,x 3) (0,1,0) (1,0,0) Adam Doliwa (IM PAN / UWM) Bryły platońskie 5-IV / 21
10 Układ współrzędnych i realizacje brył platońskich (1) (0,0,1) P(x,x,x ) (0,1,0) (1,0,0) (0,0,0) (1,0,0) (0,1,0) (0,0,1) (1,1,0) (1,0,1) (0,1,1) (1,1,1) Adam Doliwa (IM PAN / UWM) Bryły platońskie 5-IV / 21
11 Układ współrzędnych i realizacje brył platońskich (1) (0,0,1) P(x 1,x 2,x 3) (0,1,0) ( 1,0,0) (0, 1,0) (1,0,0) (0,0, 1) Adam Doliwa (IM PAN / UWM) Bryły platońskie 5-IV / 21
12 Złoty podział - problem i konstrukcja Złoty podział Podzielić odcinek na dwie części a, b tak, żeby stosunek a+b a całości do większej części był równy stosunkowi a b większej części do mniejszej Oznaczmy τ = a+b a, wtedy a b = 1 τ 1. Przyrównanie obu ilorazów prowadzi do równania τ 2 τ 1 = 0 którego dodatnim rozwiazaniem jest τ = = 1, Konstrukcja (z twierdzenia Pitagorasa) 1/2 Adam Doliwa (IM PAN / UWM) Bryły platońskie 5-IV / 21
13 Złoty podział i pięciokat foremny D L E L τ C F L A L( τ 1) L B Z podobieństwa trójkatów i równości przeciwległych boków równoległoboku CE AB = EF 1, oraz ED = CF, czyli τ = FB τ 1 Adam Doliwa (IM PAN / UWM) Bryły platońskie 5-IV / 21
14 Złoty podział jako ułamek łańcuchowy Liczba spełnia równanie τ = τ Zadanie 6: Sprawdzić, że 2 = Adam Doliwa (IM PAN / UWM) Bryły platońskie 5-IV / 21
15 Złoty podział i dwudziestościan (z ośmiościanu) Przeciwległe krawędzie dwudziestościanu wyznaczaja prostokat o ilorazie boków równym τ Wierzchołki dwudziestościanu otrzymujemy dzielac krawędzie ośmiościanu w złotym podziale Zadanie 7: Sprawdzić, że odcinki łacz ace każdy punkt o współrzędnych (0, ±τ, ±1), (±1, 0, ±τ), (±τ, ±1, 0) z (pięcioma) najbliższymi sasiadami maja jednakowa długość Adam Doliwa (IM PAN / UWM) Bryły platońskie 5-IV / 21
16 Dwa, trzy, cztery,... wymiary Wygodnie jest rozpatrywać wierzchołki trójkata równobocznego jako punkty płaszczyzny x 1 + x 2 + x 3 = 1 zawartej w przestrzeni trójwymiarowej (0,0,1) P(x 1,x 2,x 3) (0,0,1,0) P(x 1,x 2,x 3,x 4 ) (0,0,0,1) (1,0,0) (0,1,0) trójkat równoboczny, (1,0,0,0) (0,1,0,0) czworoscian foremny Wygodnie jest rozpatrywać wierzchołki czworościanu foremnego jako punkty hiperpłaszczyzny x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 1 zawartej w przestrzeni czterowymiarowej co dalej? Adam Doliwa (IM PAN / UWM) Bryły platońskie 5-IV / 21
17 5-komórka (4-sympleks) (3, 3, 3) 3 czworościany w 5-komórce stykaja się wzdłuż jednej krawędzi współrzędne wierzchołków (rozpatrywanych jako punkty hiperpłaszczyzny x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 1) (1, 0, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0, 0),..., (0, 0, 0, 0, 1) jedna 1, reszta 0 5 możliwości N-wymiarowe uogólnienie: N-sympleks, N + 1 wierzchołków Adam Doliwa (IM PAN / UWM) Bryły platońskie 5-IV / 21
18 5-komórka (4-sympleks) (3, 3, 3) 3 czworościany w 5-komórce stykaja się wzdłuż jednej krawędzi współrzędne wierzchołków (rozpatrywanych jako punkty hiperpłaszczyzny x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 1) (1, 0, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0, 0),..., (0, 0, 0, 0, 1) jedna 1, reszta 0 5 możliwości N-wymiarowe uogólnienie: N-sympleks, N + 1 wierzchołków Adam Doliwa (IM PAN / UWM) Bryły platońskie 5-IV / 21
19 5-komórka (4-sympleks) (3, 3, 3) 3 czworościany w 5-komórce stykaja się wzdłuż jednej krawędzi współrzędne wierzchołków (rozpatrywanych jako punkty hiperpłaszczyzny x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 1) (1, 0, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0, 0),..., (0, 0, 0, 0, 1) jedna 1, reszta 0 5 możliwości N-wymiarowe uogólnienie: N-sympleks, N + 1 wierzchołków Adam Doliwa (IM PAN / UWM) Bryły platońskie 5-IV / 21
20 5-komórka (4-sympleks) (3, 3, 3) 3 czworościany w 5-komórce stykaja się wzdłuż jednej krawędzi współrzędne wierzchołków (rozpatrywanych jako punkty hiperpłaszczyzny x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 1) (1, 0, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0, 0),..., (0, 0, 0, 0, 1) jedna 1, reszta 0 5 możliwości N-wymiarowe uogólnienie: N-sympleks, N + 1 wierzchołków Adam Doliwa (IM PAN / UWM) Bryły platońskie 5-IV / 21
21 8-komórka (4-kostka, hipersześcian) (4, 3, 3) 3 sześciany w 8-komórce stykaja się wzdłuż jednej krawędzi współrzędne wierzchołków (0, 0, 0, 0), (1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0),... (1, 1, 1, 1) tylko 0 lub = 16 możliwości N-wymiarowe uogólnienie: N-kostka, 2 N wierzchołków Adam Doliwa (IM PAN / UWM) Bryły platońskie 5-IV / 21
22 8-komórka (4-kostka, hipersześcian) (4, 3, 3) 3 sześciany w 8-komórce stykaja się wzdłuż jednej krawędzi współrzędne wierzchołków (0, 0, 0, 0), (1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0),... (1, 1, 1, 1) tylko 0 lub = 16 możliwości N-wymiarowe uogólnienie: N-kostka, 2 N wierzchołków Adam Doliwa (IM PAN / UWM) Bryły platońskie 5-IV / 21
23 8-komórka (4-kostka, hipersześcian) (4, 3, 3) 3 sześciany w 8-komórce stykaja się wzdłuż jednej krawędzi współrzędne wierzchołków (0, 0, 0, 0), (1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0),... (1, 1, 1, 1) tylko 0 lub = 16 możliwości N-wymiarowe uogólnienie: N-kostka, 2 N wierzchołków Adam Doliwa (IM PAN / UWM) Bryły platońskie 5-IV / 21
24 8-komórka (4-kostka, hipersześcian) (4, 3, 3) 3 sześciany w 8-komórce stykaja się wzdłuż jednej krawędzi współrzędne wierzchołków (0, 0, 0, 0), (1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0),... (1, 1, 1, 1) tylko 0 lub = 16 możliwości N-wymiarowe uogólnienie: N-kostka, 2 N wierzchołków Adam Doliwa (IM PAN / UWM) Bryły platońskie 5-IV / 21
25 16-komórka (4-blok krzyżowy) (0,0,0,1) (0,0,1,0) ( 1,0,0,0) P(x 1,x 2,x 3,x 4 ) (0, 1,0,0) (0,1,0,0) (1,0,0,0) (0,0,0, 1) 16 komórka (0,0, 1,0) (3, 3, 4) 4 czworościany w 16-komórce stykaja się wzdłuż jednej krawędzi współrzędne wierzchołków (±1, 0, 0, 0), (0, ±1, 0, 0), (0, 0, ±1, 0), (0, 0, 0, ±1) na jednym miejscu ±1, reszta = 8 możliwości każdy punkt jest połaczony krawędzia z 6 innymi (8 6)/2 = 24 krawędzie N-wymiarowe uogólnienie: N-blok krzyżowy, 2 N wierzchołków Adam Doliwa (IM PAN / UWM) Bryły platońskie 5-IV / 21
26 16-komórka (4-blok krzyżowy) (3, 3, 4) 4 czworościany w 16-komórce stykaja się wzdłuż jednej krawędzi współrzędne wierzchołków (±1, 0, 0, 0), (0, ±1, 0, 0), (0, 0, ±1, 0), (0, 0, 0, ±1) na jednym miejscu ±1, reszta = 8 możliwości każdy punkt jest połaczony krawędzia z 6 innymi (8 6)/2 = 24 krawędzie N-wymiarowe uogólnienie: N-blok krzyżowy, 2 N wierzchołków Adam Doliwa (IM PAN / UWM) Bryły platońskie 5-IV / 21
27 16-komórka (4-blok krzyżowy) (3, 3, 4) 4 czworościany w 16-komórce stykaja się wzdłuż jednej krawędzi współrzędne wierzchołków (±1, 0, 0, 0), (0, ±1, 0, 0), (0, 0, ±1, 0), (0, 0, 0, ±1) na jednym miejscu ±1, reszta = 8 możliwości każdy punkt jest połaczony krawędzia z 6 innymi (8 6)/2 = 24 krawędzie N-wymiarowe uogólnienie: N-blok krzyżowy, 2 N wierzchołków Adam Doliwa (IM PAN / UWM) Bryły platońskie 5-IV / 21
28 16-komórka (4-blok krzyżowy) (3, 3, 4) 4 czworościany w 16-komórce stykaja się wzdłuż jednej krawędzi współrzędne wierzchołków (±1, 0, 0, 0), (0, ±1, 0, 0), (0, 0, ±1, 0), (0, 0, 0, ±1) na jednym miejscu ±1, reszta = 8 możliwości każdy punkt jest połaczony krawędzia z 6 innymi (8 6)/2 = 24 krawędzie N-wymiarowe uogólnienie: N-blok krzyżowy, 2 N wierzchołków Adam Doliwa (IM PAN / UWM) Bryły platońskie 5-IV / 21
29 16-komórka (4-blok krzyżowy) (3, 3, 4) 4 czworościany w 16-komórce stykaja się wzdłuż jednej krawędzi współrzędne wierzchołków (±1, 0, 0, 0), (0, ±1, 0, 0), (0, 0, ±1, 0), (0, 0, 0, ±1) na jednym miejscu ±1, reszta = 8 możliwości każdy punkt jest połaczony krawędzia z 6 innymi (8 6)/2 = 24 krawędzie N-wymiarowe uogólnienie: N-blok krzyżowy, 2 N wierzchołków Adam Doliwa (IM PAN / UWM) Bryły platońskie 5-IV / 21
30 Warunek konieczny istnienia regularnej wypukłej wielokomórki (p, q, r) w czterech wymiarach Jeśli r > 2 wielościanów regularnych (p, q) ma wspólna krawędź, to suma ich katów dwuściennych nie może przekraczać kata pełnego 2π Sprawdzajac katy dwuścienne znanych wielościanów regularnych widzimy, że oprócz rozważanych już 5-komórki (3, 3, 3), 8-komórki (4, 3, 3) i 16-komórki (3, 3, 4) warunek ten spełniaja (hipotetyczne) wielokomórki o symbolach (3, 4, 3), (3, 3, 5), (5, 3, 3) Istnieje dokładnie sześć (wypukłych) wielokomórek foremnych w wymiarze N = 4. Dla N > 4 wieloblokami formemnymi sa jedynie N-sympleks, N-kostka i N-blok krzyżowy Ludwig Schläfli ( ) Adam Doliwa (IM PAN / UWM) Bryły platońskie 5-IV / 21
31 Warunek konieczny istnienia regularnej wypukłej wielokomórki (p, q, r) w czterech wymiarach Jeśli r > 2 wielościanów regularnych (p, q) ma wspólna krawędź, to suma ich katów dwuściennych nie może przekraczać kata pełnego 2π Sprawdzajac katy dwuścienne znanych wielościanów regularnych widzimy, że oprócz rozważanych już 5-komórki (3, 3, 3), 8-komórki (4, 3, 3) i 16-komórki (3, 3, 4) warunek ten spełniaja (hipotetyczne) wielokomórki o symbolach (3, 4, 3), (3, 3, 5), (5, 3, 3) Istnieje dokładnie sześć (wypukłych) wielokomórek foremnych w wymiarze N = 4. Dla N > 4 wieloblokami formemnymi sa jedynie N-sympleks, N-kostka i N-blok krzyżowy Ludwig Schläfli ( ) Adam Doliwa (IM PAN / UWM) Bryły platońskie 5-IV / 21
32 24-komórka (3, 4, 3) Jej wierzchołkami sa środki krawędzi 16-komórki (3, 3, 4). Składa się z 24 ośmiościanów foremnych Grupa symetrii ma rzad 1152 Adam Doliwa (IM PAN / UWM) Bryły platońskie 5-IV / 21
33 600-komórka (3, 3, 5) i 120-komórka (5, 3, 3) Sa to wielokomórki dwoiste, a ich grupa symetrii ma rzad Adam Doliwa (IM PAN / UWM) Bryły platon skie 5-IV / 21
34 Literatura H. S. M. Coxeter, Wstęp do geometrii dawnej i nowej, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1967 D. Hilbert, S. Cohn-Vossen, Geometria pogladowa, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1956 H. S. M. Coxeter, Regular polytopes, Dover, Adam Doliwa (IM PAN / UWM) Bryły platońskie 5-IV / 21
Stereometria bryły. Wielościany. Wielościany foremne
Stereometria bryły Stereometria - geometria przestrzeni trójwymiarowej. Przedmiotem jej badań są własności brył oraz przekształcenia izometryczne i afiniczne przestrzeni. Przyjęte oznaczenia: - Pole powierzchni
STEREOMETRIA CZYLI GEOMETRIA W 3 WYMIARACH
STEREOMETRIA CZYLI GEOMETRIA W 3 WYMIARACH Stereometria jest działem geometrii, którego przedmiotem badań są bryły przestrzenne oraz ich właściwości. WZAJEMNE POŁOŻENIE PROSTYCH W PRZESTRZENI 2 proste
Z przestrzeni na płaszczyznę
Z przestrzeni na płaszczyznę Wstęp W naszej pracy zajęłyśmy się nietypowymi parkietażami. Zwykle parkietaże związane są z wielokątami i innymi figurami płaskimi. Postanowiłyśmy zbadać jakie parkietaże
GEOMETRIA PRZESTRZENNA (STEREOMETRIA)
GEOMETRIA PRZESTRZENNA (STEREOMETRIA) WZAJEMNE POŁOŻENIE PROSTYCH W PRZESTRZENI Stereometria jest działem geometrii, którego przedmiotem badań są bryły przestrzenne oraz ich właściwości. Na początek omówimy
XIII Olimpiada Matematyczna Juniorów
XIII Olimpiada Matematyczna Juniorów Zawody stopnia pierwszego część testowa (8 września 017 r.) Rozwiązania zadań testowych 1. W każdym z trzech lat 018, 019 i 00 pensja pana Antoniego będzie o 5% większa
STEREOMETRIA. Poziom podstawowy
STEREOMETRIA Poziom podstawowy Zadanie ( 8 pkt ) W stożku tworząca o długości jest nachylona do powierzchni podstawy pod kątem, którego tangens jest równy Oblicz stosunek pola powierzchni bocznej do pola
Opracowanie tablic: Adam Konstantynowicz, Anna Konstantynowicz, Kaja Mikoszewska
Opracowanie tablic: Adam Konstantynowicz, Anna Konstantynowicz, Kaja Mikoszewska Redaktor serii: Marek Jannasz Ilustracje: Magdalena Wójcik Projekt okładki: Teresa Chylińska-Kur, KurkaStudio Projekt makiety
PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY
PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS WWW.ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY 10 MARCA 2018 CZAS PRACY: 170 MINUT 1 Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT) Liczba 4 7 8 25 0, 5
MAZOWIECKI PROGRAM STYPENDIALNY DLA UCZNIÓW SZCZEGÓLNIE UZDOLNIONYCH NAJLEPSZA INWESTYCJA W CZŁOWIEKA 2016/2017
MAZOWIECKI PROGRAM STYPENDIALNY DLA UCZNIÓW SZCZEGÓLNIE UZDOLNIONYCH NAJLEPSZA INWESTYCJA W CZŁOWIEKA 2016/2017 Nr z wniosku ID: 3313 Tytuł projektu edukacyjnego: Jakie bryły przestrzenne spotykamy na
XII. GEOMETRIA PRZESTRZENNA GRANIASTOSŁUPY
pitagoras.d2.pl XII. GEOMETRIA PRZESTRZENNA GRANIASTOSŁUPY Graniastosłup to wielościan posiadający dwie identyczne i równoległe podstawy oraz ściany boczne będące równoległobokami. Jeśli podstawy graniastosłupa
w jednym kwadrat ziemia powietrze równoboczny pięciobok
Wielościany Definicja 1: Wielościanem nazywamy zbiór skończonej ilości wielokątów płaskich spełniających następujące warunki: 1. każde dwa wielokąty mają bok lub wierzchołek wspólny albo nie mają żadnego
XI Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów
XI Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów Zawody stopnia pierwszego część testowa www.omg.edu.pl (24 września 2015 r.) Rozwiązania zadań testowych 1. Dane są takie dodatnie liczby a i b, że 30% liczby a
Treści zadań Obozu Naukowego OMG
STOWARZYSZENIE NA RZECZ EDUKACJI MATEMATYCZNEJ KOMITET GŁÓWNY OLIMPIADY MATEMATYCZNEJ GIMNAZJALISTÓW Treści zadań Obozu Naukowego OMG Poziom OM 2015 rok SZCZYRK 2015 Pierwsze zawody indywidualne Treści
KONKURS ZOSTAŃ PITAGORASEM MUM. Podstawowe własności figur geometrycznych na płaszczyźnie
KONKURS ZOSTAŃ PITAGORASEM MUM ETAP I TEST II Podstawowe własności figur geometrycznych na płaszczyźnie 1. A. Stosunek pola koła wpisanego w kwadrat o boku długości 6 do pola koła opisanego na tym kwadracie
Tytuł. Autor. Dział. Innowacyjne cele edukacyjne. Czas. Przebieg. Etap 1 - Wprowadzenie z rysem historycznym i dyskusją
Tytuł Kto nie zna geometrii, niech tu nie wchodzi czyli geometria brył platońskich Autor Dariusz Kulma Dział Bryły Innowacyjne cele edukacyjne Uczeń zapoznaje się z kolejnymi wielościanami foremnymi. Czas
Sprawdzian całoroczny kl. II Gr. A x
. Oblicz: a) (,5) 8 c) ( ) : ( ). Oblicz: Sprawdzian całoroczny kl. II Gr. A [ ] d) 6 a) ( : ) 5 6 6 8 50. Usuń niewymierność z mianownika: a). Oblicz obwód koła o polu,π dm. 5. Podane wyrażenia przedstaw
PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI
WPISUJE ZDAJĄCY KOD PESEL PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY PRZED MATURĄ MAJ 015 1. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 16 stron (zadania 1 34). Ewentualny brak zgłoś przewodniczącemu
9. Funkcje trygonometryczne. Elementy geometrii: twierdzenie
9. Funkcje trygonometryczne. Elementy geometrii: twierdzenie Pitagorasa i twierdzenie cosinusów, twierdzenie o kącie wpisanym i środkowym, okrąg wpisany i opisany na wielokącie, wielokąty foremne (c.d).
KRYTERIA OCEN Z MATEMATYKI DLA UCZNIÓW KL. II GIMNAZJUM
KRYTERIA OCEN Z MATEMATYKI DLA UCZNIÓW KL. II GIMNAZJUM POTĘGI I PIERWIASTKI - pojęcie potęgi o wykładniku naturalnym; - wzór na mnożenie i dzielenie potęg o tych samych podstawach; - wzór na potęgowanie
Czy pamiętasz? Zadanie 1. Rozpoznaj wśród poniższych brył ostrosłupy i graniastosłupy.
1. Bryły Tradycyjna futbolówka jest zszyta z 3232 kawałków. Gdybyśmy ją rozcięli, ujrzelibyśmy siatkę dwudziestościanu ściętego. Kulisty kształt piłka otrzymuje dzięki wypełnieniu sprężonym powietrzem.
PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY
PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS WWW.ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY 14 KWIETNIA 2018 CZAS PRACY: 170 MINUT 1 Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT) Liczba 5 30 2 3 5
Ostrosłupy ( ) Zad. 4: Jedna z krawędzi ostrosłupa trójkątnego ma długość 2, a pozostałe 4. Znajdź objętość tego ostrosłupa. Odp.: V =
Ostrosłupy Zad 1: W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym kwadrat długości krawędzi podstawy, kwadrat długości wysokości ostrosłupa i kwadrat długości krawędzi bocznej są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego
IX Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów
IX Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów Zawody stopnia pierwszego część testowa www.omg.edu.pl (3 października 2013 r.) Rozwiązania zadań testowych 1. Liczba 3 9 3 27 jest a) niewymierna; b) równa 3 27;
Geometria. Rodzaje i własności figur geometrycznych:
Geometria Jest jednym z działów matematyki, którego przedmiotem jest badanie figur geometrycznych i zależności między nimi. Figury geometryczne na płaszczyźnie noszą nazwę figur płaskich, w przestrzeni
Ćwiczenia z Geometrii I, czerwiec 2006 r.
Waldemar ompe echy przystawania trójkątów 1. unkt leży na przekątnej kwadratu (rys. 1). unkty i R są rzutami prostokątnymi punktu odpowiednio na proste i. Wykazać, że = R. R 2. any jest trójkąt ostrokątny,
Symetria w fizyce materii
Symetria w fizyce materii - Przekształcenia symetrii w dwóch i trzech wymiarach - Wprowadzenie w teorię grup; grupy symetrii - Wprowadzenie w teorię reprezentacji grup - Teoria grup a mechanika kwantowa
XII Olimpiada Matematyczna Juniorów
XII Olimpiada Matematyczna Juniorów Zawody stopnia pierwszego część testowa (29 września 2016 r.) Rozwiązania zadań testowych 1. odatnia liczba a powiększona o 50% jest równa dodatniej liczbie b pomniejszonej
=, =, =, = Funkcje trygonometryczne kąta skierowanego określa się wzorami:
Matematyka to nauka o naszych wspólnych urojeniach. Ale urojenia jak to urojenia, jak się je nieco usystematyzuje to stają się rzeczywistością. To już druga część słynnego kompendium czyli funkcje trygonometryczne,
Siatki i sklejanie wielościanów Praca konkursowa Matematyka dla Młodych
Siatki i sklejanie wielościanów Praca konkursowa Matematyka dla Młodych Miłosz Tresenberg Zespół Szkół w Kleszczewie ul. Poznańska 2, 3-005 Kleszczewo klasa 3GB Spis treści Rozdział 1. Wstęp... 3 Rozdział
VII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów
VII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów Zawody stopnia pierwszego część testowa, test próbny www.omg.edu.pl (wrzesień 2011 r.) Rozwiązania zadań testowych 1. Liczba krawędzi pewnego ostrosłupa jest o
Treści zadań Obozu Naukowego OMG
STOWARZYSZENIE NA RZECZ EDUKACJI MATEMATYCZNEJ KOMITET GŁÓWNY OLIMPIADY MATEMATYCZNEJ GIMNAZJALISTÓW Treści zadań Obozu Naukowego OMG Poziom OMG 2016 rok SZCZYRK 2016 Pierwsze zawody indywidualne Treści
Regionalne Koło Matematyczne
Regionalne Koło Matematyczne Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu Wydział Matematyki i Informatyki http://www.mat.umk.pl/rkm/ Lista rozwiązań zadań nr 2 (14-19.10.2009) nalogie i różnice miedzy trójkątem
XVI Warmińsko-Mazurskie Zawody Matematyczne Eliminacje cykl lutowy Poziom: szkoły ponadgimnazjalne
Zadanie. XVI Warmińsko-Mazurskie Zawody Matematyczne Eliminacje cykl lutowy Poziom: szkoły ponadgimnazjalne Wyznacz wartość bezwzględną sumy współczynników a, b, c, d, e w przedstawieniu liczby w postaci
PLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 3
DEFINICJE PLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 3 Czworokąt to wielokąt o 4 bokach i 4 kątach. Przekątną czworokąta nazywamy odcinek łączący przeciwległe wierzchołki. Wysokością czworokąta nazywamy
LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURA
NAJWIEKSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURA DLA KLAS TRZECICH POZIOM PODSTAWOWY GRUPA I 1 STYCZNIA 011 CZAS PRACY: 170 MINUT Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT.) Liczba
PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY
PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS WWW.ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY 25 KWIETNIA 2015 CZAS PRACY: 170 MINUT 1 Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT) Pierwiastek równania
Funkcje trygonometryczne. sinus (sin) cosinus (cos) tangens (tg) kotangens (ctg) secans (sec) cosecans (cosec)
Matematyka to nauka o naszych wspólnych urojeniach. Ale urojenia jak to urojenia, jak się je nieco usystematyzuje to stają się rzeczywistością. To już druga część słynnego kompendium czyli funkcje trygonometryczne,
Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne
rozpoznaje figury podobne zna własności figur podobnych rozpoznaje trójkąty prostokątne podobne Rozdział 6. Figury podobne zna cechy podobieństwa trójkątów prostokątnych podobnych podaje skalę podobieństwa
9. Funkcje trygonometryczne. Elementy geometrii: twierdzenie
9. Funkcje trygonometryczne. Elementy geometrii: twierdzenie Pitagorasa i twierdzenie cosinusów, twierdzenie o kącie wpisanym i środkowym, okrąg wpisany i opisany na wielokącie, wielokąty foremne (c.d).
Matematyka rozszerzona matura 2017
Matematyka rozszerzona matura 017 Zadanie 1 Liczba ( 3 + 3) jest równa A. B. 4 C. 3 D. 3 ( 3 + 3) = 3 ( 3)( + 3) + + 3 = A. 3 4 3 + + 3 = 4 1 = 4 = Zadanie. Nieskończony ciąg liczbowy jest określony wzorem
Wielokąty na płaszczyźnie obliczenia z zastosowaniem trygonometrii. Trójkąty. Trójkąt dowolny. Wielokąty trygonometria 1.
Wielokąty na płaszczyźnie obliczenia z zastosowaniem trygonometrii Wielokąt wypukły miara każdego kąt wewnętrznego jest mniejsza od 180 o. Liczba przekątnych: n*(n-2) Suma kątów wewnętrznych wielokąta
XXV Rozkosze Łamania Głowy konkurs matematyczny dla klas I i III szkół ponadgimnazjalnych. zestaw A klasa I
XXV Rozkosze Łamania Głowy konkurs matematyczny dla klas I i III szkół ponadgimnazjalnych zestaw A klasa I 1. Zbiór wszystkich środków okręgów (leżących na jednej płaszczyźnie) przechodzących przez: a)
1. ODPOWIEDZI DO ZADAŃ TESTOWYCH
R O Z W I A Z A N I A 1. ODPOWIEDZI DO ZADAŃ TESTOWYCH 1. Dla dowolnych zbiorów A, B, C zachodzi równość (A B) (B C) (C A) = (A B C) (A B C), A (B C) = (A B) (A C), A (B C) = (A B) (A C). 2. Wyrażenie
GEOMETRIA ELEMENTARNA
Bardo, 7 11 XII A. D. 2016 I Uniwersytecki Obóz Olimpiady Matematycznej GEOMETRIA ELEMENTARNA materiały przygotował Antoni Kamiński na podstawie zbiorów zadań: Przygotowanie do olimpiad matematycznych
MATEMATYKA KLASA II GIMNAZJUM - wymagania edukacyjne. DZIAŁ Potęgi
MATEMATYKA KLASA II GIMNAZJUM - wymagania edukacyjne. (Przyjmuje się, że jednym z warunków koniecznych uzyskania danej oceny jest spełnienie wymagań na wszystkie oceny niższe.) DZIAŁ Potęgi DOPUSZCZAJĄCY
Kurs ZDAJ MATURĘ Z MATEMATYKI - MODUŁ 13 Teoria stereometria
1 GRANIASTOSŁUPY i OSTROSŁUPY wiadomości ogólne Aby tworzyć wzory na OBJĘTOŚĆ i POLE CAŁKOWITE graniastosłupów musimy znać pola figur płaskich a następnie na ich bazie stosować się do zasady: Objętość
Treści zadań Obozu Naukowego OMG
STOWARZYSZENIE NA RZECZ EDUKACJI MATEMATYCZNEJ KOMITET GŁÓWNY OLIMPIADY MATEMATYCZNEJ GIMNAZJALISTÓW Treści zadań Obozu Naukowego OMG Poziom OMG 2015 rok SZCZYRK 2015 Treści zadań Pierwsze zawody indywidualne
Końcoworoczne kryteria oceniania dla klasy II z matematyki przygotowały mgr Magdalena Murawska i mgr Iwona Śliczner
Końcoworoczne kryteria oceniania dla klasy II z matematyki przygotowały mgr Magdalena Murawska i mgr Iwona Śliczner Semestr I Rozdział: Potęgi i pierwiastki zapisuje w postaci potęgi iloczyn tych samych
Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne
rozpoznaje figury podobne zna własności figur podobnych rozpoznaje trójkąty prostokątne podobne Rozdział 6. Figury podobne zna cechy podobieństwa trójkątów prostokątnych podobnych podaje skalę podobieństwa
Konkurs dla gimnazjalistów Etap II 8 lutego 2017 roku
Konkurs dla gimnazjalistów Etap II 8 lutego 017 roku Instrukcja dla ucznia 1. W zadaniach o numerach od 1. do 15. są podane cztery warianty odpowiedzi: A, B, C, D. Dokładnie jedna z nich jest poprawna.
Wymagania edukacyjne z matematyki dla klasy II gimnazjum wg programu Matematyka z plusem
Wymagania edukacyjne z matematyki dla klasy II gimnazjum wg programu Matematyka z plusem pojęcie potęgi o wykładniku naturalnym wzór na mnożenie i dzielenie potęg o tych samych podstawach wzór na potęgowanie
VII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów
VII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów Zawody stopnia pierwszego część testowa www.omg.edu.pl (29 września 2011 r.) Rozwiązania zadań testowych 1. Istnieje taki graniastosłup, którego liczba krawędzi
Matematyka z kluczem. Układ treści w klasach 4 8 szkoły podstawowej. KLASA 4 (126 h) część 1 (59 h) część 2 (67 h)
Matematyka z kluczem Układ treści w klasach 4 8 szkoły podstawowej KLASA 4 (126 h) część 1 (59 h) I. LICZBY NATURALNE część 1 (23) 1. Jak się uczyć matematyki (1) 2. Oś liczbowa 3. Jak zapisujemy liczby
Jarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, zima 2011/12
168. Uporządkować podane liczby w kolejności niemalejącej. sin50, cos80, sin170, cos200, sin250, cos280. 169. Naszkicować wykres funkcji f zdefiniowanej wzorem a) f(x) = sin2x b) f(x) = cos3x c) f(x) =
PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY
PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW NR 145743 WYGENEROWANY AUTOMATYCZNIE W SERWISIE ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY CZAS PRACY: 170 MINUT 1 Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT) Odcinki AD i CE sa
Wymagania edukacyjne niezbędne do uzyskania poszczególnych śródrocznych ocen klasyfikacyjnych z matematyki klasa 2 (oddział gimnazjalny)
edukacyjne niezbędne do uzyskania poszczególnych śródrocznych ocen klasyfikacyjnych z matematyki klasa 2 (oddział gimnazjalny) Stopień Rozdział 1. Potęgi i pierwiastki zapisuje w postaci potęgi iloczyn
Agnieszka Kamińska, Dorota Ponczek. Matematyka na czasie Gimnazjum, klasa 3 Rozkład materiału i plan wynikowy
Agnieszka Kamińska, Dorota Ponczek Matematyka na czasie Gimnazjum, klasa Rozkład materiału i plan wynikowy I. FUNKCJE 1 1. Pojęcie funkcji zbiór i jego elementy pojęcie przyporządkowania pojęcie funkcji
Nawi zanie do gimnazjum Planimetria Trójk Rysujemy Rysujemy Rysujemy Zapisujemy t zewn trzny trójk ta, Trójk ty ze wzgl du na miary k tów Trójk
PLANIMETRIA Lekcja 102-103. Miary kątów w trójkącie str. 222-224 Nawiązanie do gimnazjum Planimetria to., czy planimetria zajmuje się. (Dział geometrii, który zajmuje się badaniem płaskich figur geometrycznych)
Pytania do spr / Własności figur (płaskich i przestrzennych) (waga: 0,5 lub 0,3)
Pytania zamknięte / TEST : Wybierz 1 odp prawidłową. 1. Punkt: A) jest aksjomatem in. pewnikiem; B) nie jest aksjomatem, bo można go zdefiniować. 2. Prosta: A) to zbiór punktów; B) to zbiór punktów współliniowych.
Karta pracy M+ do multipodręcznika dla klasy 8 szkoły podstawowej
Karta pracy M+ do multipodręcznika dla klasy 8 szkoły podstawowej Geometria w starożytnym świecie Część A. Sprawdź, czy rozumiesz film. 1. Skreśl w tekście niewłaściwe słowa i sformułowania. Bryły platońskie
Temat: PRZEKROJE PROSTOPADŁOŚCIANÓW. Cel lekcji: kształcenie wyobraźni przestrzennej
Temat: PRZEKROJE PROSTOPADŁOŚCIANÓW Cel lekcji: kształcenie wyobraźni przestrzennej Przypomnienie podstawowych wiadomości potrzebnych do rozwiązywania zadań z przekrojami prostopadłościanów. 1. Prostopadłościan
PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY
PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW NR 49988 WYGENEROWANY AUTOMATYCZNIE W SERWISIE WWW.ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY CZAS PRACY: 70 MINUT Zadania zamknięte ZADANIE ( PKT) Odległość punktu A =
Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu. Egzamin wstępny z matematyki
Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu Egzamin wstępny z matematyki lipca 2006 roku Zestaw I wariant A Czas trwania egzaminu: 240 minut 1. Dane są zbiory liczbowe A = {x; x R x < 2}, B = {x; x R x +
KORESPONDENCYJNY KURS PRZYGOTOWAWCZY Z MATEMATYKI
KORESPONDENCYJNY KURS PRZYGOTOWAWCZY Z MATEMATYKI PRACA KONTROLNA nr 1 październik 1999 r 1. Stop składa się z 40% srebra próby 0,6, 30% srebra próby 0,7 oraz 1 kg srebra próby 0,8. Jaka jest waga i jaka
PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY
PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW NR 160358 WYGENEROWANY AUTOMATYCZNIE W SERWISIE ZADANIA.INFO POZIOM ROZSZERZONY CZAS PRACY: 180 MINUT 1 Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT) Liczba punktów wspólnych
Temat lekcji Zakres treści Osiągnięcia uczeń: I. FUNKCJE 14
I. FUNKCJE 1 Podstawowe Ponadpodstawowe grupuje dane elementy w zbiory ze względu na wspólne cechy wymienia elementy zbioru rozpoznaje funkcje wśród przyporządkowa opisanych słownie lub za pomocą grafu
Przedmiotowy system oceniania Wymagania na poszczególne oceny,,liczy się matematyka
Przedmiotowy system oceniania Wymagania na poszczególne oceny,,liczy się matematyka I. Potęgi i pierwiastki. Klasa II 1. Zapisuje w postaci potęgi iloczyn tych samych czynników i odwrotnie. 2. Oblicza
KRYTERIA OCEN Z MATEMATYKI DLA UCZNIÓW KL. II GIMNAZJUM
KRYTERIA OCEN Z MATEMATYKI DLA UCZNIÓW KL. II GIMNAZJUM POTĘGI I PIERWIASTKI - pojęcie potęgi o wykładniku naturalnym; - wzór na mnożenie i dzielenie potęg o tych samych podstawach; - wzór na potęgowanie
Skrypt 19. Bryły. 14. Zastosowanie twierdzenia Pitagorasa do obliczania pól powierzchni ostrosłupów
Projekt Innowacyjny program nauczania matematyki dla gimnazjów współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Skrypt 19 Bryły 11. Ostrosłupy - rozpoznawanie,
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA 2 I. POTĘGI I PIERWIASTKI oblicza wartości potęg o wykładnikach całkowitych liczb różnych od zera zapisuje liczbę w postaci potęgi o wykładniku ujemnym porządkuje
X Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów
X Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów Zawody stopnia pierwszego część testowa www.omg.edu.pl (27 listopada 2014 r.) Rozwiązania zadań testowych 1. Istnieje ostrosłup, który ma dokładnie 15 14 a) wierzchołków;
postaci kanonicznej i iloczynowej trójmiany: y = 0,5x 2. Podaj określenie ciągu arytmetycznego. Dany jest ciąg a n
Propozycje pytań na maturę ustną ( profil podstawowy ) Elżbieta Kujawińska ZESTAW Podaj wzory na postać kanoniczną i iloczynową funkcji kwadratowej Sprowadź do postaci kanonicznej i iloczynowej trójmiany:
Elementy geometrii klasycznej
Elementy geometrii klasycznej Maciej Czarnecki Katedra Geometrii Uniwersytetu Łódzkiego maczar@math.uni.lodz.pl Spis treści 1 Geometria euklidesowa 1.1 Przestrzeń liniowa, afiniczna i euklidesowa........................
Matematyka z plusem dla szkoły ponadgimnazjalnej. ZAŁOŻENIA DO PLANU RALIZACJI MATERIAŁU NAUCZANIA MATEMATYKI W KLASIE III (zakres podstawowy)
Program nauczania: Matematyka z plusem, Liczba godzin nauki w tygodniu: 3 Planowana liczba godzin w ciągu roku: 72 ZAŁOŻENIA DO PLANU RALIZACJI MATERIAŁU NAUCZANIA MATEMATYKI W KLASIE III (zakres podstawowy)
PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY
PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS WWW.ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY 3 MARCA 2018 CZAS PRACY: 170 MINUT 1 Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT) Adam kupił 2 owoce mango
5. Oblicz pole powierzchni bocznej tego graniastosłupa.
11. STEREOMETRIA Zad.11.1. Oblicz pole powierzchni całkowitej sześcianu, wiedząc Ŝe jego objętość wynosi 16 cm. Zad.11.. Oblicz długość przekątnej sześcianu, jeśli jego pole powierzchni całkowitej wynosi
Test na koniec nauki w klasie trzeciej gimnazjum
8 Test na koniec nauki w klasie trzeciej gimnazjum imię i nazwisko ucznia...... data klasa Test 2 1 Na przeciwległych ścianach każdej z pięciu sześciennych kostek umieszczono odpowiednio liczby: 1 i 1,
1. FUNKCJE DZIAŁ Z PODRĘCZNIKA L.P. NaCoBeZu kryteria sukcesu w języku ucznia
L.P. DZIAŁ Z PODRĘCZNIKA 1. FUNKCJE 2. POTĘGI I PIERWIASTKI NaCoBeZu kryteria sukcesu w języku ucznia 1. Wiem, co to jest układ współrzędnych, potrafię nazwać osie układu. 2. Rysuję układ współrzędnych
PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY
PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS WWW.ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY+ 19 MARCA 2011 CZAS PRACY: 170 MINUT 1 Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT.) Wskaż nierówność, która
Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki w roku szkolnym 2018/2019 klasy 2 a BS i 2 b BS
Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki w roku szkolnym 2018/2019 klasy 2 a BS i 2 b BS Podstawowa wiedza zawiera się w pisemnych sprawdzianach które odbyły się w ciągu całego roku szkolnego. Umiejętność
Wymagania edukacyjne z matematyki dla klasy II gimnazjum wg programu Matematyka z plusem
Wymagania edukacyjne z matematyki dla klasy II gimnazjum wg programu Matematyka z plusem Ocenę dopuszczającą otrzymuje uczeń, który umie: 1.zapisywać potęgi w postaci iloczynów 2. zapisywać iloczyny jednakowych
V Konkurs Matematyczny Politechniki Białostockiej
V Konkurs Matematyczny Politechniki iałostockiej Rozwiązania - klasy pierwsze 27 kwietnia 2013 r. 1. ane są cztery liczby dodatnie a b c d. Wykazać że przynajmniej jedna z liczb a + b + c d b + c + d a
EGZAMIN MATURALNY 2010 MATEMATYKA
Centralna Komisja Egzaminacyjna w Warszawie EGZAMIN MATURALNY MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY Klucz punktowania odpowiedzi MAJ Egzamin maturalny z matematyki Za prawidłowe rozwiązanie każdego z zadań inną
Matematyka z plusem Wymagania programowe na poszczególne oceny dla klasy II. Szczegółowe kryteria oceniania po pierwszym półroczu klasy I:
Matematyka z plusem Wymagania programowe na poszczególne oceny dla klasy II Szczegółowe kryteria oceniania po pierwszym półroczu klasy I: DZIAŁ 1. POTĘGI zna podręcznik i zeszyt ćwiczeń, z których będzie
PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY
PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW NR 196324 WYGENEROWANY AUTOMATYCZNIE W SERWISIE WWW.ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY CZAS PRACY: 170 MINUT 1 Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT) Rozwiazaniem
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY II
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY II (A) zna; (B) rozumie; umie zastosować wiadomości w sytuacjach typowych; (D) umie zastosować wiadomości w sytuacjach problemowych; 1. Pierwiastki i potęgi
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE DRUGIEJ GIMNAZJUM w roku szkolnym 2015/2016
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE DRUGIEJ GIMNAZJUM w roku szkolnym 2015/2016 Dział Na ocenę dopuszczającą Na ocenę dostateczną Na ocenę dobrą POTĘGI PIERWIASTKI Uczeń: zna i rozumie pojęcie o
PRZEDMIOTOWE ZASADY OCENIANIA I WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI Klasa 3
PRZEDMIOTOWE ZASADY OCENIANIA I WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI Klasa 3 I. FUNKCJE grupuje elementy w zbiory ze względu na wspólne cechy wymienia elementy zbioru rozpoznaje funkcje wśród przyporządkowań
SZCZEGÓŁOWY OPIS OSIĄGNIĘĆ NA POSZCZEGÓLNE OCENY MATEMATYKA KLASA DRUGA
SZCZEGÓŁOWY OPIS OSIĄGNIĘĆ NA POSZCZEGÓLNE OCENY MATEMATYKA KLASA DRUGA DZIAŁ I: POTĘGI I PIERWIASTKI zna i rozumie pojęcie potęgi o wykładniku naturalnym (2) umie zapisać potęgę w postaci iloczynu (2)
Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i przykładowe rozwiązania zadań otwartych
Centralna Komisja Egzaminacyjna Materiał współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Próbny egzamin maturalny z matematyki listopad 009 Klucz odpowiedzi do
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II W PUBLICZNYM GIMNAZJUM NR 2 W ZESPOLE SZKÓŁ W RUDKACH
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II W PUBLICZNYM GIMNAZJUM NR 2 W ZESPOLE SZKÓŁ W RUDKACH Marzena Zbrożyna DOPUSZCZAJĄCY: Uczeń potrafi: odczytać informacje z tabeli odczytać informacje z diagramu
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA II GIMNAZJUM Małgorzata Janik
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA II GIMNAZJUM Małgorzata Janik DOPUSZCZAJĄCY DOSTATECZNY DOBRY BARDZO DOBRY Potęgi i pierwiastki Uczeń: Zna i rozumie pojęcie potęgi o wykładniku naturalnym Umie
PLAN REALIZACJI MATERIAŁU NAUCZANIA MATEMATYKI W KLASIE III WRAZ Z PLANEM WYNIKOWYM (ZAKRES PODSTAWOWY)
PLAN REALIZACJI MATERIAŁU NAUCZANIA MATEMATYKI W KLASIE III WRAZ Z PLANEM WYNIKOWYM (ZAKRES PODSTAWOWY) Kategorie celów nauczania: A zapamiętanie wiadomości, B rozumienie wiadomości, C stosowanie wiadomości
KRZYŻÓWKA 2. 11. Może być np. równoboczny lub rozwartokątny. Jego pole to a b HASŁO:
KRZYŻÓWKA.Wyznaczają ją dwa punkty.. Jego pole to π r² 3. Jego pole to a a 4.Figura przestrzenna, której podstawą jest dowolny wielokąt, a ściany boczne są trójkątami o wspólnym wierzchołku. 5.Prosta mająca
Matematyka z kluczem. Układ treści w klasach 4 8 szkoły podstawowej. KLASA 4 (126 h) część 1 (59 h) część 2 (67 h)
Matematyka z kluczem Układ treści w klasach 4 8 szkoły podstawowej KLASA 4 (126 h) część 1 (59 h) I. LICZBY NATURALNE część 1 (23) 1. Jak się uczyć matematyki (1) 2. Oś liczbowa 3. Jak zapisujemy liczby
SPIS TREŚCI. PIERWIASTKI 1. Pierwiastki Działania na pierwiastkach Działania na pierwiastkach (cd.) Zadania testowe...
SPIS TREŚCI POTĘGI 1. Potęga o wykładniku naturalnym................................. 7 2. Iloczyn i iloraz potęg o jednakowych podstawach................ 8 3. Potęgowanie potęgi................................................
Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki w roku szkolnym 2018/2019 klasa 1 TŻiUG
Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki w roku szkolnym 2018/2019 klasa 1 TŻiUG Podstawowa wiedza zawiera się w pisemnych sprawdzianach które odbyły się w ciągu całego roku szkolnego. Umiejętność
KLASA II WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE STOPNIE MATEMATYKA. Wymagania edukacyjne. dostosowane są do programu MATEMATYKA Z PLUSEM DZIAŁ I
WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE STOPNIE MATEMATYKA Wymagania edukacyjne dostosowane są do programu MATEMATYKA Z PLUSEM KLASA II DZIAŁ I POTĘGI I PIERWIASTKI Poziomy wymagań edukacyjnych: K - konieczny
PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY
PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS WWW.ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY 17 KWIETNIA 2010 CZAS PRACY: 170 MINUT 1 Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT.) Jeżeli liczba 3b
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE DRUGIEJ GIMNAZJUM
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE DRUGIEJ GIMNAZJUM POZIOMY WYMAGAŃ EDUKACYJNYCH: K - ocena dopuszczająca (2) K, P - ocena dostateczna (3) K, P, R ocena dobra (4) K, P, R, D - ocena bardzo dobra