Kwantowe splątanie dwóch atomów

Walne Zebranie Oddziału Poznańskiego Polskiego Towarzystwa Fizycznego Poznań, 7 grudnia 2006 Kwantowe splątanie dwóch atomów Ryszard Tanaś Uniwersytet im. Adama Mickiewicza Zakład Optyki Nieliniowej http://zon8.physd.amu.edu.pl/~tanas

Plan wykładu 1 Dwa atomy w próżni 6 1.1 Emisja spontaniczna................ 6 1.2 Równanie master................. 21 1.3 Stany kolektywne.................. 23 2 Ewolucja układu dwóch atomów 32 2.1 Baza obliczeniowa................. 32 2.2 Baza stanów kolektywnych............. 34 2.3 Równania ruchu................... 36 2.4 Rozwiązania analityczne.............. 37 3 Jak mierzyć splątanie 38 3.1 Ujemność (ang. negativity)............. 38

3.2 Zgodność (ang. concurrence)............ 40 4 Ewolucja splątania dwóch atomów 42 4.1 Dwa atomy w stanie symetrycznym......... 42 4.2 Dwa atomy w stanie antysymetrycznym...... 44 4.3 Jeden atom wzbudzony.............. 45 4.4 Dwa atomy wzbudzone.............. 50 4.5 Nagła śmierć splątania.............. 55 4.6 Zaniki i odrodzenia................. 82 5 Krótkie podsumowanie 116

Współpraca i wsparcie finansowe Współpraca: Dr Zbigniew Ficek The University of Queensland, Brisbane, Australia Wsparcie finansowe: Ministerstwo Nauki i Szkolnictwa Wyższego Grant 1 P03B 064 28 The University of Queensland, Australia Travel grant, 2006

1 Dwa atomy w próżni 1.1 Emisja spontaniczna e 1 ω 0 g 1 Atom dwupoziomowy jest modelem od lat używanym w optyce kwantowej.

1 Dwa atomy w próżni 1.1 Emisja spontaniczna e 1 ω 0 g 1 Atom dwupoziomowy jest modelem od lat używanym w optyce kwantowej. Obecnie, w informatyce kwantowej, każdy układ dwustanowy to kubit (ang. qubit)! atom dwupoziomowy = kubit

e 1 g 1 Zwykle taki atom znajduje się w stanie podstawowym.

e 1 g 1 Jeśli jednak oświetlimy go światłem o częstości bliskiej częstości przejścia atomowego, to atom, absorbując foton, przechodzi do...

e 1 g 1... stanu wzbudzonego. Z tego stanu atom spontanicznie, a właściwie w wyniku oddziaływania z próżnią fotonową, przechodzi do...

e 1 g 1... stanu podstawowego emitując foton. Takie przejście to emisja spontaniczna.

e 1 g 1... stanu podstawowego emitując foton. Takie przejście to emisja spontaniczna. Szybkość z jaką atom traci energię charakteryzuje dane przejście atomowe; jest to współczynnik Einsteina A, tutaj zwany Γ.

e 1 g 1 Wypromieniowany w wyniku emisji spontanicznej foton o energii hω 0 rozpoczyna własne życie w przestrzeni stanów pola.

e 1 e 2 g 1 g 2 Jeśli foton trafi na drugi atom będący w stanie podstawowym...

e 1 e 2 g 1 g 2... to ten drugi atom może taki foton zaabsorbować...

e 1 e 2 g 1 g 2... i przejść do stanu wzbudzonego.

e 1 e 2 g 1 g 2 Wzbudzony atom w wyniku emisji spontanicznej emituje foton...

e 1 e 2 g 1 g 2... i przechodzi do stanu podstawowego.

e 1 e 2 g 1 g 2 Ale foton może być wyemitowany przez atom w dowolnym kierunku, a więc jest pewna szansa, że dotrze także do atomu pierwszego...

e 1 e 2 g 1 g 2... i wzbudzi atom pierwszy.

e 1 e 2 g 1 g 2... i wzbudzi atom pierwszy. W ten sposób powstaje pomiędzy atomami oddziaływanie. Atomy przestają być niezależne i zaczynają zachowywać się kolektywnie. Tak poglądowo, i nie całkiem poprawnie (chodzi raczej o fotony wirtualne), można objaśnić kolektywne zachowanie się atomów.

e 1 e 2 r 12 g 1 g 2 Oddziaływanie pomiędzy atomami jest tym silniejsze im mniejsza jest odległość pomiędzy nimi. (r 12 = const < λ).

e 1 e 2 r 12 g 1 g 2 Oddziaływanie pomiędzy atomami jest tym silniejsze im mniejsza jest odległość pomiędzy nimi. (r 12 = const < λ). Badamy kolektywną emisję spontaniczną, dla różnych warunków początkowych, np. jeden atom wzbudzony, jak tutaj...

e 1 e 2 r 12 g 1 g 2... lub obydwa atomy wzbudzone, jak tutaj.

e 1 e 2 r 12 g 1 g 2... lub obydwa atomy wzbudzone, jak tutaj. Interesuje nas kwantowe splątanie dwóch atomów.

e 1 e 2 r 12 g 1 g 2... lub obydwa atomy wzbudzone, jak tutaj. Interesuje nas kwantowe splątanie dwóch atomów. Dwa atomy to przecież dwukubitowy rejestr, a splątanie kwantowe to główne paliwo z punktu widzenia informatyki kwantowej!

1.2 Równanie master Ewolucją dwóch atomów w próżni rządzi równanie: ˆρ t = i 2 1 2 i=1 2 i,j=1 ω i [S z i, ˆρ] i 2 i j Ω ij [ S + i S j, ˆρ ] Γ ij (ˆρS + i S j + S+ i S j ˆρ 2S j ˆρS+ i )

1.2 Równanie master Ewolucją dwóch atomów w próżni rządzi równanie: ˆρ t = i 2 1 2 i=1 2 i,j=1 ω i [S z i, ˆρ] i 2 i j Ω ij [ S + i S j, ˆρ ] Γ ij (ˆρS + i S j + S+ i S j ˆρ 2S j ˆρS+ i ) Parametry kolektywne: Ω 12 (r 12 ) = Ω 21 (r 12 ) Γ 12 (r 12 ) = Γ 21 (r 12 ) oddziaływanie dipol-dipol tłumienie kolektywne

1.5 Γ 12 Ω 12 1 Γ12/Γ Ω12/Γ 0.5 0-0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 r 12 /λ Zależność parametrów kolektywnych Γ 12 i Ω 12 od odległości r 12 pomiędzy atomami ( ˆµ ˆr 12 ).

1.3 Stany kolektywne e 1 e 2 ω 0 ω 0 g 1 g 2 Niezależne atomy baza obliczeniowa: { g 1 g 2, e 1 e 2, g 1 e 2, e 1 g 2 }

e 1 e 2 ω 0 Ω 12 ω 0 g 1 g 2 Włączenie oddziaływania dipol-dipol do hamiltonianu i jego rediagonalizacja prowadzi do nowych stanów stanów kolektywnych układu dwóch atomów.

e e 1 ω 0 e 2 s Ω 12 Ω 12 a g 1 ω 0 g 2 Stany kolektywne: g { g = g 1 g 2, e = e 1 e 2, s = 1 2 ( e1 g 2 + g 1 e 2 ), a = 1 2 ( e1 g 2 g 1 e 2 ) }

e e 1 e 2 s a g 1 g 2 g Jeśli przygotujemy układ w stanie symetrycznym s = 1 ( e1 2 g 2 + g 1 e 2 ), to mamy dwa atomy w stanie maksymalnie splątanym!

e e 1 e 2 s a g 1 g 2 g Jeśli przygotujemy układ w stanie symetrycznym s = 1 ( e1 2 g 2 + g 1 e 2 ), to mamy dwa atomy w stanie maksymalnie splątanym! Jest to jeden ze stanów Bella!

e e 1 e 2 s g 1 Γ + Γ 12 a g 2 g Emisja spontaniczna powoduje, że obsadzenie stanu symetrycznego s maleje w tempie Γ + Γ 12 (szybko).

e e 1 e 2 s g 1 Γ + Γ 12 a g 2 g Emisja spontaniczna powoduje, że obsadzenie stanu symetrycznego s maleje w tempie Γ + Γ 12 (szybko). W jakim tempie maleje stopień splątania?

e e 1 e 2 s g 1 Γ + Γ 12 a g 2 g Emisja spontaniczna powoduje, że obsadzenie stanu symetrycznego s maleje w tempie Γ + Γ 12 (szybko). W jakim tempie maleje stopień splątania? Jak mierzyć stopień splątania?

e e 1 e 2 s a g 1 g 2 g Podobnie, dwa atomy w stanie antysymetrycznym a = 1 ( e1 2 g 2 g 1 e 2 ) są maksymalnie splątane!

e e 1 e 2 s a g 1 g 2 g Podobnie, dwa atomy w stanie antysymetrycznym a = 1 ( e1 2 g 2 g 1 e 2 ) są maksymalnie splątane! Jest to kolejny stan Bella!

e e 1 e 2 s a g 1 Γ Γ 12 g 2 g Emisja spontaniczna powoduje, że obsadzenie stanu antysymetrycznego a maleje w tempie Γ Γ 12 (wolno decoherence free ).

e e 1 e 2 s a g 1 Γ Γ 12 g 2 g Emisja spontaniczna powoduje, że obsadzenie stanu antysymetrycznego a maleje w tempie Γ Γ 12 (wolno decoherence free ). W jakim tempie maleje stopień splątania?

e e 1 e 2 s a g 1 g 2 g Jeśli obydwa atomy są wzbudzone, to układ znajduje się w stanie e = e 1 e 2, który jest stanem iloczynowym i nie ma splątania.

e e 1 s Γ + Γ 12 Γ Γ 12 e 2 g 1 Γ + Γ 12 Γ Γ 12 a g 2 g Emisja spontaniczna powoduje obsadzanie stanów splątanych s i a.

e e 1 s Γ + Γ 12 Γ Γ 12 e 2 g 1 Γ + Γ 12 Γ Γ 12 a g 2 g Emisja spontaniczna powoduje obsadzanie stanów splątanych s i a. Czy w trakcie ewolucji pojawi się splątanie?

2 Ewolucja układu dwóch atomów 2.1 Baza obliczeniowa 1 = g 1 g 2 2 = e 1 e 2 3 = g 1 e 2 4 = e 1 g 2 Jeśli w bazie obliczeniowej macierz gęstości ma... ρ 11 (0) ρ 12 (0) 0 0 ρ 21 (0) ρ 22 (0) 0 0 ρ(0) = 0 0 ρ 33 (0) ρ 34 (0) 0 0 ρ 43 (0) ρ 44 (0)... początkowo postać blokową...

1 = g 1 g 2 2 = e 1 e 2 3 = g 1 e 2 4 = e 1 g 2... to dla dowolnego czasu t ewolucja... ρ(t) = ρ 11 (t) ρ 12 (t) 0 0 ρ 21 (t) ρ 22 (t) 0 0 0 0 ρ 33 (t) ρ 34 (t) 0 0 ρ 43 (t) ρ 44 (t)... zachowuje blokową postać macierzy gęstości.

2.2 Baza stanów kolektywnych g = g 1 g 2 e = e 1 e 2 s = 1 2 ( e1 g 2 + g 1 e 2 ) a = 1 2 ( e1 g 2 g 1 e 2 ) W bazie stanów kolektywnych macierz gęstości... ρ gg (0) ρ ge (0) 0 0 ρ eg (0) ρ ee (0) 0 0 ρ(0) = 0 0 ρ ss (0) ρ sa (0) 0 0 ρ as (0) ρ aa (0)... ma także postać blokową.

g = g 1 g 2 e = e 1 e 2 s = 1 2 ( e1 g 2 + g 1 e 2 ) a = 1 2 ( e1 g 2 g 1 e 2 ) Podobnie jak w bazie obliczeniowej, ewolucja zachowuje... ρ(t) = ρ gg (t) ρ ge (t) 0 0 ρ eg (t) ρ ee (t) 0 0 0 0 ρ ss (t) ρ sa (t) 0 0 ρ as (t) ρ aa (t)... blokową postać macierzy gęstości w stanach kolektywnych.

2.3 Równania ruchu ρ ee = 2Γρ ee ρ eg = (Γ + 2iω 0 ) ρ eg ρ ss = (Γ + Γ 12 ) (ρ ss ρ ee ) ρ aa = (Γ Γ 12 ) (ρ aa ρ ee ) ρ as = (Γ + i2ω 12 ) ρ as W przypadku dwóch identycznych atomów w próżni ewolucja w bazie stanów kolektywnych opisywana jest bardzo prostym układem równań, który łatwo rozwiązać.

2.4 Rozwiązania analityczne ρ ss (t) = ρ ss (0) e (Γ+Γ12)t + ρ ee (0) Γ + Γ ( 12 e (Γ+Γ12)t e 2Γt) Γ Γ 12 ρ aa (t) = ρ aa (0) e (Γ Γ12)t + ρ ee (0) Γ Γ ( 12 e (Γ Γ12)t e 2Γt) Γ + Γ 12 ρ as (t) = ρ as (0) e (Γ+i2Ω 12)t ρ ee (t) = ρ ee (0) e 2Γt ρ eg (t) = ρ eg (0) e (Γ+2iω 0)t ρ gg (t) = 1 ρ ee (t) ρ ss (t) ρ aa (t)

2.4 Rozwiązania analityczne ρ ss (t) = ρ ss (0) e (Γ+Γ12)t + ρ ee (0) Γ + Γ ( 12 e (Γ+Γ12)t e 2Γt) Γ Γ 12 ρ aa (t) = ρ aa (0) e (Γ Γ12)t + ρ ee (0) Γ Γ ( 12 e (Γ Γ12)t e 2Γt) Γ + Γ 12 ρ as (t) = ρ as (0) e (Γ+i2Ω 12)t ρ ee (t) = ρ ee (0) e 2Γt ρ eg (t) = ρ eg (0) e (Γ+2iω 0)t ρ gg (t) = 1 ρ ee (t) ρ ss (t) ρ aa (t) ρ ij (t ) 0 (ρ ij ρ gg )

3 Jak mierzyć splątanie 3.1 Ujemność (ang. negativity) A. Peres, Phys. Rev. Lett. 77, 1413 (1996) M. Horodecki, P. Horodecki, R. Horodecki, Phys. Lett. A 223, 1 (1996)

3 Jak mierzyć splątanie 3.1 Ujemność (ang. negativity) A. Peres, Phys. Rev. Lett. 77, 1413 (1996) M. Horodecki, P. Horodecki, R. Horodecki, Phys. Lett. A 223, 1 (1996) N = max 0, 2 i ν i {ν i } ujemne wartości częściowo transponowanej macierzy gęstości ρ T 1

3 Jak mierzyć splątanie 3.1 Ujemność (ang. negativity) A. Peres, Phys. Rev. Lett. 77, 1413 (1996) M. Horodecki, P. Horodecki, R. Horodecki, Phys. Lett. A 223, 1 (1996) N = max 0, 2 i ν i {ν i } ujemne wartości częściowo transponowanej macierzy gęstości ρ T 1 0 N 1 N = 0 N = 1 nie ma splątania maksymalne splątanie

Dla układu dwóch atomów, przy warunkach początkowych ograniczających ewolucję do dwóch bloków macierzy gęstości, ujemność (ang. negativity) dana jest wyrażeniem: N (t) = max { 0, N 1 (t), N 2 (t) } N 1 (t)= 2 ρ ge(t) 2 + [ Rρ sa(t) ] 2 [ ρss(t) + ρ aa(t) ] N 2 (t)= [ρss(t) ρ aa(t) ] 2 + [ 2Iρsa(t) ] 2 + [ ρgg(t) + ρ ee(t) ] 2 [ ρ gg (t) + ρ ee (t) ]

3.2 Zgodność (ang. concurrence) W.K. Wootters, Phys. Rev. Lett. 80, 2245 (1998)

3.2 Zgodność (ang. concurrence) W.K. Wootters, Phys. Rev. Lett. 80, 2245 (1998) C = max (0, λ 1 λ 2 λ 3 λ 4 ) {λ i } wartości własne macierzy R R = ρ ( σ y σ y ρ σ y σ y )

3.2 Zgodność (ang. concurrence) W.K. Wootters, Phys. Rev. Lett. 80, 2245 (1998) C = max (0, λ 1 λ 2 λ 3 λ 4 ) {λ i } wartości własne macierzy R R = ρ ( σ y σ y ρ σ y σ y ) 0 C 1 C = 0 C = 1 nie ma splątania maksymalne splątanie

Dla układu dwóch atomów, przy warunkach początkowych ograniczających ewolucję do dwóch bloków macierzy gęstości, zgodność (ang. concurrence) dana jest wyrażeniem: C(t) = max { 0, C 1 (t), C 2 (t) } C 1 (t)= 2 ρ ge (t) [ρss(t) + ρ aa(t) ] 2 [ 2Rρsa(t) ] 2 C 2 (t)= [ρss (t) ρ aa (t) ] 2 + [ 2Iρsa (t) ] 2 2 ρee (t)ρ gg (t)

4 Ewolucja splątania dwóch atomów 4.1 Dwa atomy w stanie symetrycznym e e 1 e 2 s g 1 Γ + Γ 12 a g 2 g

4 Ewolucja splątania dwóch atomów 4.1 Dwa atomy w stanie symetrycznym e e 1 e 2 s g 1 Γ + Γ 12 a g 2 g N (t) = 1 2ρ ss (t) [ 1 ρ ss (t) ] [ 1 ρ ss (t) ]

4 Ewolucja splątania dwóch atomów 4.1 Dwa atomy w stanie symetrycznym e e 1 e 2 s g 1 Γ + Γ 12 a g 2 g N (t) = 1 2ρ ss (t) [ 1 ρ ss (t) ] [ 1 ρ ss (t) ] C(t) = ρ ss (t) = e (Γ+Γ 12)t

C(t), N(t) 1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 C(t) N(t) 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 Γt Ewolucja C(t) oraz N (t) dla symetrycznego stanu początkowego dla r 12 = λ/12 (Γ 12 = 0.95 Γ)

4.2 Dwa atomy w stanie antysymetrycznym e e 1 e 2 s a g 1 Γ Γ 12 g 2 g

4.2 Dwa atomy w stanie antysymetrycznym e e 1 e 2 s a g 1 Γ Γ 12 g 2 g N (t) = 1 2ρ aa (t) [ 1 ρ aa (t) ] [ 1 ρ aa (t) ] C(t) = ρ aa (t) = e (Γ Γ 12)t

C(t), N(t) 1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 C(t) N(t) 0 5 10 15 20 25 30 35 40 Γt Ewolucja C(t) oraz N (t) dla antysymetrycznego stanu początkowego dla r 12 = λ/12 (Γ 12 = 0.95 Γ)

4.3 Jeden atom wzbudzony e 1 e 2 g 1 g 2 Stan początkowy: Ψ(0) = e 1 g 2 Stan iloczynowy.

4.3 Jeden atom wzbudzony e 1 e 2 g 1 g 2 Stan początkowy: Ψ(0) = e 1 g 2 Stan iloczynowy. Nie ma splątania!

e e 1 e 2 s a g 1 g 2 g W bazie stanów kolektywnych: Ψ(0) = 1 2 ( s + a )

e e 1 e 2 s a g 1 g 2 g W bazie stanów kolektywnych: Ψ(0) = 1 2 ( s + a ) Niezerowe elementy: ρ ss (0) = ρ aa (0) = 1 2 ρ as (0) = ρ sa (0) = 1 2 obsadzenia koherencje

e e 1 e 2 s g 1 Γ + Γ 12 Γ Γ 12 a g 2 g

e e 1 e 2 s g 1 Γ + Γ 12 Γ Γ 12 a g 2 g Zgodność ma wtedy postać: C(t) = 1 [e (Γ+Γ 12)t e ] (Γ Γ 2 [ 12)t + 2e Γt sin(2ω 12 t) ] 2 2

1 0.8 C(t) ρ aa (t) + ρ ss (t) ρ aa (t) ρ ss (t) 0.6 C(t) 0.4 0.2 0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 Γt Ewolucja C(t); jeden atom wzbudzony ( Ψ(0) = e 1 g 2 ) przy ˆµ ˆr 12 oraz r 12 = λ/12 (Γ 12 = 0.95 Γ, 2Ω 12 = 9.30 Γ)

4.4 Dwa atomy wzbudzone e 1 e 2 g 1 g 2 Stan początkowy: Ψ(0) = e 1 e 2 Nie ma splątania!

e e 1 e 2 s a g 1 g 2 g W bazie stanów kolektywnych odpowiada to: ρ ee (0) = 1

e e 1 s Γ + Γ 12 Γ Γ 12 e 2 g 1 Γ + Γ 12 Γ Γ 12 a g 2 g Emisja spontaniczna przebiega dwoma kanałami.

Zgodność ma wtedy postać: C(t) = max { 0, C 2 (t) } C 2 (t) = Γ + Γ ( 12 e (Γ+Γ12)t e 2Γt) Γ Γ 12 Γ Γ 12 Γ + Γ 12 ( e (Γ Γ 12)t e 2Γt) 2e Γt ρgg

Zgodność ma wtedy postać: C(t) = max { 0, C 2 (t) } C 2 (t) = Γ + Γ ( 12 e (Γ+Γ12)t e 2Γt) Γ Γ 12 Γ Γ ( 12 e (Γ Γ12)t e 2Γt) 2e Γt ρgg Γ + Γ 12 ρ gg (t) = 1 [ Γ + Γ12 ( e (Γ+Γ12)t e 2Γt) Γ Γ 12 + Γ Γ 12 Γ + Γ 12 ( e (Γ Γ 12)t e 2Γt) + e 2Γt ]

Zgodność ma wtedy postać: C(t) = max { 0, C 2 (t) } C 2 (t) = Γ + Γ ( 12 e (Γ+Γ12)t e 2Γt) Γ Γ 12 Γ Γ ( 12 e (Γ Γ12)t e 2Γt) 2e Γt ρgg Γ + Γ 12 ρ gg (t) = 1 [ Γ + Γ12 ( e (Γ+Γ12)t e 2Γt) Γ Γ 12 + Γ Γ ( 12 e (Γ Γ12)t e 2Γt) ] + e 2Γt Γ + Γ 12 Wynik nie zależy od Ω 12.

0.025 0.02 C(t) N(t) ρ aa (t) C(t) N(t) 0.015 0.01 0.005 0 0 5 10 15 20 Γt Zgodność C(t) ujemność N (t); dwa atomy wzbudzone ρ ee (0) = 1 przy r 12 = λ/12 (Γ 12 = 0.95 Γ)

4.5 Nagła śmierć splątania T. Yu, J. H. Eberly, Phys. Rev. Lett. 93, 140404 (2004) e 1 e 2 g 1 g 2 W tym modelu dwa atomy umieszczone są w odległych od siebie wnękach. Zostały przygotowane w stanie splątanym i potem nie mają możliwości bezpośredniego oddziaływania. Dla pewnych warunków początkowych splątanie zanika w skończonym czasie. Następuje nagła śmierć splątania (C(t > t d ) = 0).

4.5 Nagła śmierć splątania T. Yu, J. H. Eberly, Phys. Rev. Lett. 93, 140404 (2004) e 1 e 2 g 1 g 2 W tym modelu dwa atomy umieszczone są w odległych od siebie wnękach. Zostały przygotowane w stanie splątanym i potem nie mają możliwości bezpośredniego oddziaływania. Dla pewnych warunków początkowych splątanie zanika w skończonym czasie. Następuje nagła śmierć splątania (C(t > t d ) = 0). A co będzie jeśli atomy są we wspólnej próżni?

e e 1 e 2 s a g 1 g 2 g ρ ss (0) = 2 3, ρ gg(0) = 1 (1 α), 3 ρ ee(0) = 1 3 α

e e 1 e 2 s a g 1 g 2 g ρ ss (0) = 2 3, ρ gg(0) = 1 (1 α), 3 ρ ee(0) = 1 3 α C(0) = 2 3 ( 1 ) α(1 α)

e e 1 s Γ + Γ 12 Γ Γ 12 e 2 g 1 Γ + Γ 12 Γ Γ 12 a g 2 g C 2 (t) = ρ ss (t) ρ aa (t) 2 ρ gg (t) ρ ee (t)

g = g 1 g 2 e = e 1 e 2 s = 1 2 ( e1 g 2 + g 1 e 2 ) a = 1 2 ( e1 g 2 g 1 e 2 ) ρ(0) = 1 3 (1 α) 0 0 1 3 α 0 0 0 0 0 0 0 0 2 3 0 0 0

g = g 1 g 2 e = e 1 e 2 s = 1 2 ( e1 g 2 + g 1 e 2 ) a = 1 2 ( e1 g 2 g 1 e 2 ) ρ(t) = ρ gg (t) 0 0 ρ ee (t) 0 0 0 0 0 0 0 0 ρ ss (t) 0 0 ρ aa (t)

ρ gg (t) = 1 [ρ ee (t) + ρ ss (t) + ρ aa (t)] ρ ee (t) = α 3 e 2Γt ρ ss (t) = 2 3 e (Γ+Γ 12)t + α Γ + Γ [ 12 e (Γ+Γ12)t e 2Γt] 3 Γ Γ 12 ρ aa (t) = α Γ Γ [ 12 e (Γ Γ12)t e 2Γt] 3 Γ + Γ 12

ρ gg (t) = 1 [ρ ee (t) + ρ ss (t) + ρ aa (t)] ρ ee (t) = α 3 e 2Γt ρ ss (t) = 2 3 e (Γ+Γ 12)t + α Γ + Γ [ 12 e (Γ+Γ12)t e 2Γt] 3 Γ Γ 12 ρ aa (t) = α Γ Γ [ 12 e (Γ Γ12)t e 2Γt] 3 Γ + Γ 12 C 2 (t) = ρ ss (t) ρ aa (t) 2 ρ gg (t)ρ ee (t)

1 0.8 Nagła śmierć splątania r 12 /λ = 10 0.6 C(t) 0.4 0.2 0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 Γt

1 0.8 Nagła śmierć splątania r 12 /λ = 10 C(t) 0.6 0.4 0.2 ρ ss (t) 0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 Γt

Dla α = 1 splątanie zanika w czasie ( t d = 1 Γ ln 2 + ) 2 2, który jest skończony pomimo faktu, że poszczególne elementy macierzowe zanikają jedynie asymtotycznie przy t. Czas nagłej śmierci t d ma skończoną wartość dla 1 3 dla α < 1 zanik jest asymtotyczny. 3 < α 1, zaś

Dla α = 1 splątanie zanika w czasie ( t d = 1 Γ ln 2 + ) 2 2, który jest skończony pomimo faktu, że poszczególne elementy macierzowe zanikają jedynie asymtotycznie przy t. Czas nagłej śmierci t d ma skończoną wartość dla 1 3 dla α < 1 zanik jest asymtotyczny. 3 < α 1, zaś A jak wygląda nagła śmierć dla oddziałujących atomów?

10 Nagła śmierć splątania 8 r 12 /λ=10 Γ 12 =0.0004 6 td 4 2 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 α

10 Nagła śmierć splątania 8 r 12 /λ=1 Γ 12 =0.04 6 td 4 2 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 α

10 Nagła śmierć splątania 8 r 12 /λ=1/3 Γ 12 =0.31 6 td 4 2 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 α

Czy splątanie może się odrodzić? ρ gg (t) = 1 [ρ ee (t) + ρ ss (t) + ρ aa (t)] ρ ee (t) = α 3 e 2Γt ρ ss (t) = 2 3 e (Γ+Γ 12)t + α Γ + Γ [ 12 e (Γ+Γ12)t e 2Γt] 3 Γ Γ 12 ρ aa (t) = α Γ Γ [ 12 e (Γ Γ12)t e 2Γt] 3 Γ + Γ 12 C 2 (t) = ρ ss (t) ρ aa (t) 2 ρ gg (t)ρ ee (t)

10 Nagła śmierć 8 r 12 /λ=10 Γ 12 =0.0004 6 td 4 2 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 α

10 Nagła śmierć 8 r 12 /λ=1 Γ 12 =0.04 6 td 4 2 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 α

10 Nagła śmierć i odrodzenie splątania 8 r 12 /λ=1/3 Γ 12 =0.31 td tr 6 4 2 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 α

Nagła śmierć i odrodzenie splątania 0.1 0.08 r 12 /λ = 10 0.06 C(t) 0.04 0.02 0 0 2 4 6 8 10 Γt

Po nagłej śmierci...

Po nagłej śmierci... splątanie się odradza...

Po nagłej śmierci... splątanie się odradza... jeżeli dwa atomy zachowują się kolektywnie!

4.6 Zaniki i odrodzenia Z. Ficek, R. Tanaś, Phys. Rev. A, 74, 024304 (2006) e e 1 e 2 s a g 1 g 2 g Ψ 0 = p e + 1 p g C(0) = 2 p(1 p)

e e 1 Γ + Γ 12 e 2 s Γ Γ 12 a g 1 Γ + Γ 12 g 2 Γ Γ 12 g C 1 (t) = 2 ρ ge (t) [ ρ ss (t) + ρ aa (t) ] C 2 (t) = ρ ss (t) ρ aa (t) 2 ρ gg (t)ρ ee (t)

ρ(t) = ρ gg (t) ρ ge (t) ρ eg (t) ρ ee (t) 0 0 0 0 0 0 0 0 ρ ss (t) 0 0 ρ aa (t)

ρ(t) = ρ gg (t) ρ ge (t) ρ eg (t) ρ ee (t) 0 0 0 0 0 0 0 0 ρ ss (t) 0 0 ρ aa (t) ρ ee (t) = p e 2Γt ρ eg (t) = p(1 p) e Γt ρ ss (t) = p Γ + Γ [ 12 e (Γ+Γ12)t e 2Γt] Γ Γ 12 ρ aa (t) = p Γ Γ 12 Γ + Γ 12 [ e (Γ Γ 12)t e 2Γt]

Niezależne atomy: Γ 12 = 0 ρ ee (t) = p e 2Γt ρ eg (t) = p(1 p) e Γt ρ ss (t) = ρ aa (t) = p [e Γt e 2Γt]

Niezależne atomy: Γ 12 = 0 ρ ee (t) = p e 2Γt ρ eg (t) = p(1 p) e Γt ρ ss (t) = ρ aa (t) = p [e Γt e 2Γt] C 1 (t) = 2 p(1 p) e Γt 2p [e Γt e 2Γt] C 2 (t) = 2 ρ gg (t)ρ ee (t) < 0

Niezależne atomy: Γ 12 = 0 ρ ee (t) = p e 2Γt ρ eg (t) = p(1 p) e Γt ρ ss (t) = ρ aa (t) = p [e Γt e 2Γt] C 1 (t) = 2 p(1 p) e Γt 2p [e Γt e 2Γt] C 2 (t) = 2 ρ gg (t)ρ ee (t) < 0 Czy C 1 (t) > 0?

Niezależne atomy: Γ 12 = 0 ( C 1 (t) > 0 dla t < t d = 1 Γ ln p + ) p(1 p) 2p 1

Niezależne atomy: Γ 12 = 0 ( C 1 (t) > 0 dla t < t d = 1 Γ ln p + ) p(1 p) 2p 1 Czas zaniku splątania t d ma skończoną wartość dla p > 0.5 tzn. przy inwersji obsadzeń: ρ ee (0) > 0.5

Niezależne atomy: Γ 12 = 0 ( C 1 (t) > 0 dla t < t d = 1 Γ ln p + ) p(1 p) 2p 1 Czas zaniku splątania t d ma skończoną wartość dla p > 0.5 tzn. przy inwersji obsadzeń: ρ ee (0) > 0.5 Nagła śmierć splątania

10 Zanik splątania 8 r 12 /λ=10 Γ 12 =0.0004 6 td 4 2 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 p

Zachowanie kolektywne: Γ 12 0 ρ ee (t) = p e 2Γt ρ eg (t) = p(1 p) e Γt ρ ss (t) = p Γ + Γ [ 12 e (Γ+Γ12)t e 2Γt] Γ Γ 12 ρ aa (t) = p Γ Γ [ 12 e (Γ Γ12)t e 2Γt] Γ + Γ 12 C 1 (t) = 2 ρ ge (t) [ ρ ss (t) + ρ aa (t) ]

Zachowanie kolektywne: Γ 12 0 ρ ee (t) = p e 2Γt ρ eg (t) = p(1 p) e Γt ρ ss (t) = p Γ + Γ [ 12 e (Γ+Γ12)t e 2Γt] Γ Γ 12 ρ aa (t) = p Γ Γ [ 12 e (Γ Γ12)t e 2Γt] Γ + Γ 12 C 1 (t) = 2 ρ ge (t) [ ρ ss (t) + ρ aa (t) ] A co z t d?

10 Zanik splątania 8 r 12 /λ=1/2 Γ 12 = 0.15 6 td 4 2 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 p

10 Zanik splątania 8 r 12 /λ=1/3 Γ 12 =0.31 6 td 4 2 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 p

Zachowanie kolektywne: Γ 12 0 ρ ee (t) = p e 2Γt ρ eg (t) = p(1 p) e Γt ρ ss (t) = p Γ + Γ [ 12 e (Γ+Γ12)t e 2Γt] Γ Γ 12 ρ aa (t) = p Γ Γ [ 12 e (Γ Γ12)t e 2Γt] Γ + Γ 12 ρ ss ρ aa C 2 (t) = ρ ss (t) ρ aa (t) 2 ρ gg (t)ρ ee (t)

Zachowanie kolektywne: Γ 12 0 ρ ee (t) = p e 2Γt ρ eg (t) = p(1 p) e Γt ρ ss (t) = p Γ + Γ [ 12 e (Γ+Γ12)t e 2Γt] Γ Γ 12 ρ aa (t) = p Γ Γ [ 12 e (Γ Γ12)t e 2Γt] Γ + Γ 12 ρ ss ρ aa C 2 (t) = ρ ss (t) ρ aa (t) 2 ρ gg (t)ρ ee (t) Czy C 2 (t) może być dodatnie dla pewnego t r > t d?

Zachowanie kolektywne: Γ 12 0 ρ ee (t) = p e 2Γt ρ eg (t) = p(1 p) e Γt ρ ss (t) = p Γ + Γ [ 12 e (Γ+Γ12)t e 2Γt] Γ Γ 12 ρ aa (t) = p Γ Γ [ 12 e (Γ Γ12)t e 2Γt] Γ + Γ 12 ρ ss ρ aa C 2 (t) = ρ ss (t) ρ aa (t) 2 ρ gg (t)ρ ee (t) Czy C 2 (t) może być dodatnie dla pewnego t r > t d? Czy może nastąpić odrodzenie splątania?

10 Zaniki splątania 8 r 12 /λ=10 Γ 12 =0.0004 6 td 4 2 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 p

10 Zaniki splątania 8 r 12 /λ=1 Γ 12 =0.04 6 td 4 2 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 p

10 Zaniki splątania 8 r 12 /λ=1/2 Γ 12 = 0.15 6 td 4 2 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 p

10 8 Zaniki i odrodzenia splątania r 12 /λ=1/3 Γ 12 =0.31 td tr 6 4 2 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 p

10 Przykład: p = 0.5 8 r 12 /λ=1/20 Γ 12 =0.98 td tr 6 4 2 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 p

0.1 Przykład: p = 0.5 0.08 p = 0.5 0.06 C(t) 0.04 0.02 0 0 2 4 6 8 10 Γt

10 Przykład: p = 0.9 8 r 12 /λ=1/20 Γ 12 =0.98 td tr 6 4 2 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 p

0.1 Przykład: p = 0.9 0.08 p = 0.9 0.06 C(t) 0.04 0.02 0 0 2 4 6 8 10 Γt

Po nagłej śmierci...

Po nagłej śmierci... splątanie się odradza...

Po nagłej śmierci... splątanie się odradza... jeżeli dwa atomy zachowują się kolektywnie!

5 Krótkie podsumowanie Emisja spontaniczna prowadzi do splątania kwantowego atomów Dwa atomy w próżni zachowują się kolektywnie (Γ 12, Ω 12 ) Dwa ze stanów kolektywnych są stanami maksymalnie splątanymi czyli stanami Bella Stopień splątania mierzony przez zgodność C(t) lub ujemność N (t) wyraża się prostymi wzorami analitycznymi C(t) = ρ ss (t) (ρ aa (t)) dla atomów przygotowanych w stanie symetrycznym (antysymetrycznym) Kolektywne zachowanie atomów prowadzi do odrodzenia splątania po jego wcześniejszym zaniku

Nasze prace Z. Ficek, R. Tanaś Correlated superposition states in two-atom systems in Modern Nonlinear Optics, Part I, ed. M. Evans (Wiley, New York, 2001) vol 119 of Advances in Chemical Physics, pp. 215-266 Z. Ficek, R. Tanaś Entangled states and collective nonclassical effects in two-atom systems Physics Reports 372, 369 (2002) Z. Ficek, R. Tanaś Entanglement induced by spontaneous emission in spatially extended two-atom systems J. Mod. Opt. 50, 2765 (2003) R. Tanaś, Z. Ficek Entanglement of two atoms Fortschr. Phys. 51, 230 (2003)

R. Tanaś, Z. Ficek Entangling two atoms via spontaneous emission J. Opt. B 6, S90 (2004) R. Tanaś, Z. Ficek Stationary two-atom entanglement induced by nonclassical two-photon correlations J. Opt. B 6, S610 (2004) Z. Ficek, R. Tanaś Dark periods and revivals of entanglement in a two qubit system Phys. Rev. A, 74, 024304 (2006) (quant-ph/0604053) R. Tanaś Kwantowe splątanie dwóch atomów Postępy Fizyki, 57, 104 (2006) Dostępne na: http: //zon8.physd.amu.edu.pl/~tanas/spis_pub/spis_pub.html

Dziękuję!