Zastosowanie sieci tensorowych w obliczeniach procedurą numerycznej grupy renormalizacji

Wielkość: px

Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Zastosowanie sieci tensorowych w obliczeniach procedurą numerycznej grupy renormalizacji"

Leszek Osiński
5 lat temu
Przeglądów:

1 Zastosowanie sieci tensorowych w obliczeniach procedurą numerycznej grupy renormalizacji Kacper Wrześniewski, Ireneusz Weymann 23 maja 2017 Wydział Fizyki, Uniwersytet im. Adama Mickiewicza w Poznaniu

2 plan prezentacji Wstęp do sieci tensorowych, Efekt Kondo oraz numeryczna grupa renormalizacji (NRG), Zastosowanie sieci tensorowych do procedury NRG, Efekt Kondo w transporcie przez rozdzielacz par Coopera. 2

3 Wstęp do sieci tensorowych

4 4

5 Rysunek 1: A practical introduction to tensor networks: Matrix product states and projected entangled pair states - Román Orús, Annals of Physics, Vol. 349, (2014) 5

6 W fizyce teoretycznej...

Układy silnie skorelowanych elektronów Renormalization algorithms for Quantum-Many Body Systems in two and higher dimensions - F. Verstraete, J. I.

7 Układy silnie skorelowanych elektronów Renormalization algorithms for Quantum-Many Body Systems in two and higher dimensions - F. Verstraete, J. I. Cirac, cond-mat/ , Variational Quantum Monte Carlo Simulations with Tensor-Network States - A. W. Sandvik, G. Vidal, Phys. Rev. Lett. 99, (2007),... Rysunek: 7

8 Kwantowe splątanie Entanglement classification with matrix product states - M. Sanz, I. L. Egusquiza, R. Di Candia, H. Saberi, L. Lamata and E. Solano, Sci. Rep. 6, (2016), Entanglement Renormalization - G. Vidal, Phys. Rev. Lett. 99, (2007),... Rysunek: 8

9 Zasada holograficzna Holographic geometries of one-dimensional gapped quantum systems from tensor network states - J. Molina-Vilaplana, JHEP 05, 024 (2013), Entanglement renormalization and holography - Brian Swingle, Phys. Rev. D 86, (2012),... Rysunek: societyofmodernastronomy.files.wordpress.com 9

10 Kwantowa grawitacja Cool horizons for entangled black holes - Juan Maldacena and Leonard Susskind, Progress of Physics, Vol. 61, 781 (2013), Building up spacetime with quantum entanglement - Van Raamsdonk, M. Gen Relativ Gravit (2010) 42: 2323,... 10

11 W innych dziedzinach Neuronauka, teoria automatów, sztuczna inteligencja (AI), uczenie maszynowe, geometryzacja zagadnień biologicznych: ewolucja, modele epidemii,...,... 11

12 Efekt Kondo

13 Efekt Kondo 13

14 Jun Kondo Efekt wyjaśniony przez Juna Kondo (rachunek zaburzeń uwzględniający przyblienie trzeciego rzędu). 4 ρ(t) = ρ 0 + at 2 + c m ln µ T + bt5 Jun Kondo wyprowadził trzeci człon o logarytmicznej zależności. Rysunek 2: Jun Kondo. Image courtesy of AIST, Tokyo. 4 J. Kondo, Resistance Minimum in Dilute Magnetic Alloys, Prog. Teor. Phys. 32, 37 (1964). 14

15 Model Kondo H Kondo = J 2 S σ,σ ψ σ σ σ,σ ψ σ + H cond Model Kondo zawiera spin S oddziałujący lokalnie z nieoddziałującym morzem elektronów przewodnictwa. Powstaje chmura elektronowa wokół domieszki, ekranująca jej moment magnetyczny. Ekranujące elektrony mają energię bliską energii Fermiego, przez co pojawia się pik w gęstości stanów. Zwiększone prawdopodobieństwo rozpraszania elektronów przewodnictwa skutkuje wzrostem oporu właściwego. 15

16 Efekt Kondo w układach kropek kwantowych 16

17 Numeryczna grupa renormalizacji (NRG)

18 Numeryczna grupa renormalizacji Metoda rozwinięta przez K. G. Wilsona (Nagroda Nobla z fizyki 1982 r.), nieperturbacyjna metoda rozwiązania modelu Kondo, później rozszerzona dla modelu Andersona, obecnie uważana za jedną z najlepszych metod badania układów typu oddziałująca domieszka, z uwzględnieniem różnych korelacji, pozwalająca na wyznaczenie spektrum niskoenergetycznego oraz własności termodynamicznych. Rysunek 3: K. G. Wilson 18

19 Dyskretna logarytmizacja oraz łańcuch Wilsona Rysunek 4: R. Bulla, T. Costi, T. Pruschke, Rev. Mod. Phys.80, 395 (2008) 19

20 Przestrzeń Hilberta jest ogromna! Układ N spinów wymiar przestrzeni Hilberta 2N. Tensor networks and the numerical renormalization group - Andreas Weichselbaum (2012) 20

21 Przestrzeń Hilberta jest ogromna! Układ N spinów wymiar przestrzeni Hilberta 2N. Quantum many-body system - układ rozmiaru liczby Avogadro O( ) stanów, Tensor networks and the numerical renormalization group - Andreas Weichselbaum (2012) 20

22 Przestrzeń Hilberta jest ogromna! Układ N spinów wymiar przestrzeni Hilberta 2N. Quantum many-body system - układ rozmiaru liczby Avogadro O( ) stanów, co jest liczbą wiele rzędów wielkości wiekszą niż liczba wszystkich atomów w obserwowalnym Wszechświecie (10 80 ), Tensor networks and the numerical renormalization group - Andreas Weichselbaum (2012) 20

23 Przestrzeń Hilberta jest ogromna! Układ N spinów wymiar przestrzeni Hilberta 2N. Quantum many-body system - układ rozmiaru liczby Avogadro O( ) stanów, co jest liczbą wiele rzędów wielkości wiekszą niż liczba wszystkich atomów w obserwowalnym Wszechświecie (10 80 ), przy obecnie szacowanym wieku Wszechświata około s. Tensor networks and the numerical renormalization group - Andreas Weichselbaum (2012) 20

24 Przestrzeń Hilberta jest ogromna! Układ N spinów wymiar przestrzeni Hilberta 2N. Quantum many-body system - układ rozmiaru liczby Avogadro O( ) stanów, co jest liczbą wiele rzędów wielkości wiekszą niż liczba wszystkich atomów w obserwowalnym Wszechświecie (10 80 ), przy obecnie szacowanym wieku Wszechświata około s. Na szczęście nie wszystkie stany są tak samo ważne. Tensor networks and the numerical renormalization group - Andreas Weichselbaum (2012) 20

25 NRG - konstrukcja iteracyjna Rysunek: Tensor networks and the numerical renormalization group Andreas Weichselbaum Phys. Rev. B 86, (2012) 21

26 NRG + MPS Stany NRG wynikające z iteracyjnej procedury możemy zapisać w postaci: 22

27 NRG + MPS Stany NRG wynikające z iteracyjnej procedury możemy zapisać w postaci: przestrzeń współczynników A [σn] s n 1,s n wykonywanej transformacji bardzo łatwo przenieść na zapis w blokach MPS, 22

28 NRG + MPS Stany NRG wynikające z iteracyjnej procedury możemy zapisać w postaci: przestrzeń współczynników A [σn] s n 1,s n wykonywanej transformacji bardzo łatwo przenieść na zapis w blokach MPS, pojedynczy blok opisujący daną podprzestrzeń współczynników jest tensorem trzeciego rzędu. 22

29 Mapowanie łańcucha Wilsona na sieć tensorową Tensor networks and the numerical renormalization group - Andreas Weichselbaum (2012) 23

30 Zastosowanie MPS - badanie czasowej zależności procedurą NRG Tensor networks and the numerical renormalization group - Andreas Weichselbaum (2012) 24

31 Implementacja NRG - Budapest flexible DM-NRG Obliczenia wykonane przy pomocy kodu: Budapest Flexible DM-NRG O. Legeza, C. P. Moca, A. I. Toth, I. Weymann, G. Zarand, arxiv: (2008) Kod dostępny jest na: dmnrg/ Typowe parametry dla pojedynczego przebiegu: Liczba węzłów Wilsona: N 60, Liczba zachowywanych stanów na danej iteracji: > 10 4, Całkowita liczba przebiegów pełnej procedury: >

32 Efekt Kondo w transporcie przez rozdzielacz par Coopera

33 Rozdzielacz par Coopera Rysunek 5: Cooper pair splitter - Y-junction. L. Hoffstetter et. al. Nature 461, (2009) 27

34 Rozdzielacz par Coopera - model U' H DQD = j,σ ε jd jσ d jσ + j U jn j n j + σ,σ U n 1σ n 2σ, H S = kσ ξ ka kσ a kσ + k (a k a k + h.c.), H T = jkσ( Vjk c jkσ d jσ + Vjk S a kσ d jσ + h.c. ), H eff DQD = H DQD ) j ΓS j (d j d j + d j d j + ) (d 1 d 2 + d 2 d 1 + d 2 d 1 + d 1 d 2. Γ S 12 28

35 Rozdzielacz par Coopera - funkcja spektralna 29

Rozdzielacz par Coopera - stan podstawowy ω/u ω/u ω/u ω/u ω/u ω/u A 1.8 0.4 (a) 1.

4 1.6 (b) 1.4 0.2 1.2 1.0 0.0 0.8 0.2 0.6 0.4 ΓS = 0.05 0.4 0.2 2.5 2.0 1.5 1.0 0.5 0.0 0.5 A 0.

0 0.5 A 0.4 (d) 1.35 1.20 0.2 1.05 0.90 0.0 0.75 0.60 0.2 0.45 0.4 ΓS = 0.2 0.30 0.

4 ΓS = 0.5 0.30 0.15 2.5 2.0 1.5 1.0 0.5 0.0 0.5 A 0.4 (f) 1.6 1.4 0.2 1.2 0.0 1.0 0.8 0.

36 Rozdzielacz par Coopera - stan podstawowy ω/u ω/u ω/u ω/u ω/u ω/u A (a) ΓS = A (b) ΓS = A (c) ΓS = A 0.4 (d) ΓS = A 0.4 (e) ΓS = A 0.4 (f) ΓS = ε/u 30

37 Rozdzielacz par Coopera - reżim SU(2) 31

38 Rozdzielacz par Coopera - reżim SU(4) 32

39 Dziękuję za uwagę. 33

Podobne dokumenty

Fizyka silnie skorelowanych elektronów na przykładzie międzymetalicznych związków ceru

Fizyka silnie skorelowanych elektronów na przykładzie międzymetalicznych związków ceru Rafał Kurleto 4.3.216 ZFCS IF UJ Rafał Kurleto Sympozjum doktoranckie 4.3.216 1 / 15 Współpraca dr hab. P. Starowicz