3 Współrzędne satelity w płaszczyźnie orbity

1 Wprowadzenie W geodezji satelitarnej funkcjonują dwa układy współrzędnych związane z ruchem obrotowym Ziemi Earth Centered Earth Fixed (ECEF), oraz układ ekwinokcjalny. Ze względu na prostą formę matematyczną a także niewielkie ilości danych, orbity satelitów są wysyłane w postaci elementów orbity keplerowskiej w układzie ekwinokcjalnym. Orbity typu broadcast zostają zapisane w pliku RINEX n, w rozdzielczości dwu godzinnej. Dla wyznaczenia współrzędnych satelitów w układzie ECEF na dany moment należy dokonać transformacji. Poniższy przykład ilustruje schemat przeliczeń między tymi dwoma układami współrzędnych. 2 Układy 2.1 Układ ekwinokcjalny Współrzędne satelitów w układzie ekwinokcjalnym, składają się z sześciu podstawowych parametrów orbity keplerowskiej: Ω rektanscenzji węzła wstępującego, i inklinacji, ω argumentu perygeum, f anomali prawdziwej, a dłuższej półosi orbity, e ekscentryczności, W tym układzie oś X skierowana jest w stronę punktu równonocy, oś Z jest zgodna z osią obrotu Ziemi, za to oś Y jest prostopadła do dwóch poprzednich tworząc układ prawoskrętny rys. 2a. Środek układu znajduje się w środku mas Ziemi. Istotnymi punktami związanymi z obritą są: węzeł wstępujący - jedno z miejsc przecięcia się płaszczyzny orbity z płaszczyzną równika, to w którym satelita porusza się z południa na północ, oraz perygeum P czyli punkt w którym satelita znajduje się najbliżej Ziemi. 2.2 Układ współrzędnych w płaszczyźnie orbity Zgodnie z rys. 1 układ współrzędnych w płaszczyźnie orbity składa się z osi ξ skierowanej w stronę perygeum, z osi η skierowanej w stronę węzła zstępującego (przeciwnie do węzła wstępującego) oraz z osi ζ prostopadłej do płaszczyzny orbity. Środek układu znajduje się w centrum mas Ziemi. 2.3 Układ zwiazany z ruchem obrotowym Ziemi ECEF W tym układzie oś X jest związana z południkiem osiowym Greenwich który obraca się wokół osi Z układu (osi obrotu Ziemi). Natomiast oś Y układu jest prostopadła do dwóch poprzednich i tworzy z nimi układ prawoskrętny rys. 2a. 3 Współrzędne satelity w płaszczyźnie orbity Zgodnie z rys. 1 współrzędne satelity w płaszczyźnie orbity (ξ η ζ) uzyskujemy wiążąc anomalie prawdziwą z anomalią ekscentryczną. Jak wynika z rys 1 ξ = r cos(f) = a cos(e) a e = a (cos(e) e) (1) η = r sin(f) = b a sin(e) = b sin(e) = a 1 e 2 sin(e) (2) ζ = 0; (3) Anomalię mimośrodową E otrzymamy, używając równania Keplera (rozwiązanie iteracyjne): E = µ + e sin(e) (4) gdzie µ to anomalia średnia czyli kąt jaki średnio w czasie t t 0 zakreśli promień wodzący satelity.anomalia średnia µ uzależniona jest od średniej prędkości kątowej satelity: n = T 2 π = GM/a 3 (5) 1

(-ae,a) S (-ae,b) S r E (-ae,0) (0,0) f (a,0) Rysunek 1: Układ współrzędnych w płaszczyźnie orbity, S - położenie satelity na orbicie µ(t) = n (t t 0 ) (6) 4 Przeliczenia 4.1 Keplerowskie parametry ruchu satelitów Aby wykonać transformację X, Y, Z na ξ, η, ζ należy wykonać trzy obroty: wokół osi Z o kąt rektanscenzji węzła wstępującego Ω rys. 2a przy pomocy macierzy rotacji R z (Ω) w ten sposób przechodzimy do układu przejściowego x, y, z, rys. 2b kolejno przy pomocy macierzy rotacji R x (i) o kąt inklinacji i, przechodząc do układu x, y, z, a następnie wykonując obrót przy pomocy macierzy rotacji R z (ω), wokół osi z rys. 2c. Na rys. 2, zaznaczono kolejne położenia transformowanego układu. z z z y y z z y z P P P i i 0 y i 0 y 0 y i rzut równika i rzut równika rzut równika x rzut orbity satelity x x x rzut orbity satelity x x rzut orbity satelity Rysunek 2: Zestawienie kolejnych obrotów pomiędzy układami ω, i, Ω 2

W notacji macierzowej zapiszemy: X s(t j ) Y s (t j ) = R z ( Ω) R x ( i) R z ( ω) r cos(f) r sin(f) (7) Z s (t j ) 0 gdzie, macierze rotacji R z, R x, dla dowolnego kąta K to R x = 1 0 0 0 cos(k) sin(k) (8) 0 sin(k) cos(k) cos(k) sin(k) 0 R z = sin(k) cos(k) 0 (9) 0 0 1 Znaki w (7) związane są z przejściem odwrotnym (tzn. ξ, η, ζ na X, Y, Z). 4.2 Poprawki do keplerowskich parametrów orbity Ponieważ rzeczywisty ruch satelity odbiega od teorii keplerowskiej, w depeszy nawigacyjnej występują także poprawki do sześciu podstawowych parametrów orbity. Poprawki te należy uwzględnić przed wstawieniem ostatecznych parametrów do równania (7). Efemerydy satelitów zostały wyznaczone na pewien konkretny moment (o pełnej godzinie z interwałem co dwie godziny), z tego względu należy najpierw obliczyć ile czasu minęło od czasu efemeryd (t t oe ) anomalia średnia w czasie t j t j = t t oe (10) µ = µ 0 + ( GM/a 3 + δn) t j (11) GM = 3.986005 10 14 m 3 /s 2 rozwiązanie iteracyjne równania Keplera (4), następnie wyznaczyć anomalię prawdziwą: ( ) ( ) η 1 e2 sin(e j ) f j = arctan = arctan ξ cos(e j ) e rektascenzję węzła wstępującego: (12) Ω j = Ω 0 + ( Ω 0 ω e ) t j ω e t oe (13) ω e = 7.292115147 10 5 rad/s Argument perygeum (tego parametru nie poprawiamy ze względu na całościową poprawkę do argumentu szerokości). ω j = ω + f i + C ωc cos(2 (ω + f j )) + C ωs cos(2 (ω + f j )) (14) Odległość radialna(długość promienia wodzącego) inklinację: r j = a (1 e cos(e j ) + C rc cos(2 (ω + f j )) + C rs cos(2 (ω + f j )) (15) i j = i 0 + idot j + C ic cos(2 (ω + f j )) + C is cos(2 (ω + f j )) (16) 3

5 Materiały Szewczyk J., Góral W., Zastosowanie technologii GPS w precyzyjnych pomiarach deformacji, Strang G., Borre K., Linear Algebra, Geodesy, and GPS, Lamparski J., NAVSTAR GPS od teorii do praktyki, Śledziński J., Geodezja satelitarna 6 Przykład obliczeniowy W kolejnej części zrealizowane zostanie przeliczenie parametrów orbit kepplerowskich na współrzędne ECEF. Do zadania zostały użyte dane z 11 11 2008 roku ze stacji WROC. Zaprezentowano możliwość wyznaczenia orbity w dowolnym momencie pomiędzy kolejnymi epokami t oe. 6.1 Pobieranie danych Sieć stacji permanentnych obejmuje swoim zasięgiem całą kulę ziemską, jedna ze stacji IGS znajduje się w budynku Wydziału Inżynierii Kształtowania Środowiska i Geodezji UP we Wrocławiu. Stacja ma symbol kodowy WROC. Dane pochodzące z tej stacji można pobrać ze strony: http://igs.bkg.bund.de/, zakładka: Download: IGS/obs/2008/doy/wroc[doy]0.08n.Z, otworzyć, kliknąć showfile, skopiować zawartość do notatnika. Produkty sieci IGS, w tym precyzyjne orbity, można sciągnąć z tego samego serwera: http://igs.bkg.bund.de/,zakładka: Download: IGS/products/Tydzień GPS/Dzień tygodnia/igs[tydzień GPS][dzień tygodnia].sp3.z, otworzyć, kliknąć showfile, skopiować zawartość do notatnika. 6.2 Dane Dane znajdujące się w tabeli 1. poniżej.część nagłówkowa pliku: pochodzą z pliku WROC3150.08n z fragmentu zamieszczonego 2.11 NAVIGATION DATA RINEX VERSION / TYPE SPIDER V2,2,0,2479 IGG 2008 11 11 22:54 PGM / RUN BY / DATE 1.2107D-08-7.4506D-09-1.1921D-07 5.9605D-08 ION ALPHA 9.8304D+04-8.1920D+04-1.9661D+05 4.5875D+05 ION BETA -5.587935447693D-09-2.575717417130D-14 405504 1505 DELTA-UTC: A0,A1,T,W 14 LEAP SECONDS END OF HEADER Część z danymi: 7 08 11 11 14 00 0.0 2.311961725354D-05 3.410605131648D-13 0.000000000000D+00 4.300000000000D+01-1.465625000000D+01 4.187317159676D-09-1.114328016966D+00-9.424984455109D-07 2.313868375495D-03 1.226924359798D-05 5.153689096451D+03 2.232000000000D+05-9.313225746155D-08-2.831047113047D-02-3.539025783539D-08 9.650716011630D-01 1.459062500000D+02 2.829229163768D+00-7.744251462327D-09 5.432368999081D-10 1.000000000000D+00 1.505000000000D+03 0.000000000000D+00 2.000000000000D+00 0.000000000000D+00-1.071020960808D-08 4.300000000000D+01 2.232000000000D+05 0.000000000000D+00 4

Tablica 1: Zestawienie danych z pliku WROC3150.08n. Litera D przy liczbie oznacza 10 n Satelita nr 7 Rekord w pliku *.08n 0 Czas zegara satelity toc [08 11 11 14 00 0.0] Błąd średni zegara satelity a0 2.311961725354D-05 Dryft zegara satelity a1 3.410605131648D-13 Prędkość dryftu zegara satelity a2 0.000000000000D+00 Rekord w pliku *.08n 1 IOED 4.300000000000D+01 Poprawka do długości promienia wodzącego r C rs -1.465625000000D+01 Poprawka do ruchu średniego δn 4.187317159676D-09 Anomalia średnia µ 0 w momencie przejścia satelity przez węzeł wstępujący -1.114328016966D+00 Rekord w pliku *.08n 2 Poprawka do anomali średniej C uc -9.424984455109D-07 Ekscentryczność e 2.313868375495D-03 Poprawka do anomali średniej C us 1.226924359798D-05 Pierwiastek z dłuższej półosi orbity a 5.153689096451D+03 Rekord w pliku *.08n 3 Czas efemerydy pokładowej t oe 2.232000000000D+05 Poprawka do kąta inklinacji C ic -9.313225746155D-08 Rektascenzja węzła wstępującego Ω 0-2.831047113047D-02 Poprawka do kąta inklinacji C is -3.539025783539D-08 Rekord w pliku *.08n 4 Inklinacja orbity i 0 9.650716011630D-01 Poprawka do długości promienia wodzącego C rc 1.459062500000D+02 Argument perygeum ω 2.829229163768D+00 Prędkość zmiany rektascencji węzła wstępującego Ω -7.744251462327D-09 Rekord w pliku *.08n 5 Prędkość zmiany kąta nachylenia orbity (idot) i 5.432368999081D-10 Do kontroli obliczeń wykorzystano informacje o położeniu satelitów z pliku igs15052.sp3. Pozycje satelitów w układzie ECEF są wyznaczone z interwałem 15 minutowym. Plik jest dostęny po około tygodniu od momentu obserwacji (dane z postprocessingu). Część nagłówkowa pliku: #cp2008 11 11 0 0 0.00000000 96 ORBIT IGS05 HLM IGS ## 1505 172800.00000000 900.00000000 54781 0.0000000000000 + 32 G01G02G03G04G05G06G07G08G09G10G11G12G13G14G15G16G17 + G18G19G20G21G22G23G24G25G26G27G28G29G30G31G32 0 0 + 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 + 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 + 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ++ 0 3 2 2 2 2 3 3 3 2 2 2 3 3 2 3 3 ++ 3 3 2 2 3 3 3 3 2 2 3 3 2 3 3 0 0 ++ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ++ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ++ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 %c G cc GPS ccc cccc cccc cccc cccc ccccc ccccc ccccc ccccc %c cc cc ccc ccc cccc cccc cccc cccc ccccc ccccc ccccc ccccc %f 1.2500000 1.025000000 0.00000000000 0.000000000000000 %f 0.0000000 0.000000000 0.00000000000 0.000000000000000 5

%i 0 0 0 0 0 0 0 0 0 %i 0 0 0 0 0 0 0 0 0 /* FINAL ORBIT COMBINATION FROM WEIGHTED AVERAGE OF: /* cod emr esa gfz grg jpl mit ngs sio /* REFERENCED TO IGS TIME (IGST) AND TO WEIGHTED MEAN POLE: /* PCV:IGS05_1502 OL/AL:FES2004 NONE Y ORB:CMB CLK:CMB Część zawierająca dane o położeniu satelitów: * 2008 11 11 16 0 0.00000000 PG01 6819.100318 22684.542613-11726.615294 999999.999999 PG02-17329.253956 2856.130178-19947.396290 173.908276 6 7 5 143 PG03 20102.586173 4117.986849 16755.586569 309.673456 5 4 4 118 PG04-11279.751100-11738.202242-21045.153370-229.059453 6 7 6 168 PG05-13724.580949 15036.800475-17288.041562-382.023204 6 7 5 167 PG06 20292.734384 8594.496315 15018.444743 145.315970 5 5 6 97 PG07 5702.701494-24605.518923 8016.256940 23.140425 7 10 6 136 PG08-3754.712097-18439.057161 18461.527494-177.581258 4 7 4 161 PG09-14336.241697 20967.943635 6906.222068 24.380977 9 9 9 76 PG10-26725.180394 931.949808-565.870759-7.101661 7 7 4 155 PG11 11615.427277-22551.724720 7073.884357 15.874061 8 8 6 138 PG12-18863.802451 11492.080442-14608.599782-341.232918 8 10 8 97 PG13-2207.463435-22060.025269-14740.545862 276.836701 8 10 7 121 PG14 16085.267891 20868.063299-3705.901104-195.869876 6 7 6 93 PG15-14494.281590 5746.985824 21537.437156-209.170250 7 7 6 161 PG16 25725.167399 2974.040717-6330.842531 95.982310 8 7 7 133 PG17-15646.303743-21510.484459-1729.366793 40.383722 5 8 8 109 PG18 2321.089161 15546.041710 21633.147203-114.009287 7 9 5 118 PG19 14056.482313-6262.646171 21723.703717 35.585619 5 5 2 167 PG20 15592.381753-13630.642791-16722.241393 99.393020 7 9 6 131 PG21-1294.818127 23109.759466 12670.360164 43.009188 5 6 7 175 PG22 15591.952708 12368.989530 17780.047243 209.478767 2 5 5 152 PG23 5637.964924-16307.046109-20163.708828 379.693574 9 10 7 115 PG24-13017.135109 23320.427687-341.221443 140.238800 8 9 6 181 PG25 8558.692736-25236.036504 1066.432266 15.431173 5 8 4 168 PG26-16582.840398-1768.208949 20310.699333 14.048462 6 6 7 145 PG27 1429.315846-24149.088523 11518.417269 232.011155 7 7 4 168 PG28-14040.989291-12665.283190 19183.217733-23.480632 3 5 5 130 PG29 634.799620 21301.354863-15773.708139-30.471641 8 9 7 169 PG30-4601.989205 15798.916457-21194.796410 107.264033 6 7 5 138 PG31 12315.062801 8637.400382-21674.224103-37.838442 7 9 5 146 PG32 22283.915124-7747.817278-11563.079862 314.328065 6 7 8 125 Współrzędne precyzyjne satelity nr 7 z SP3 to: X = 5702.701494 Y = -24605.518923 Z = 8016.256940 6.3 Obliczenia Stałe: potencjał Ziemski GM = 3.986005D + 14 (17) 6

prędkość obrotowa Ziemi Dłuższa półoś orbity satelity średnia prędkość kątowa satelity w e = 7.2921151467D 005 (18) a = ( a) 2 = 26560511.302 (19) n 0 = ( ) 1/2 GM (a 3 = 1.4585D 004 (20) ) Czas na który chcemy policzyć współrzędne satelity (w sekundach tygodnia GPS) t = [08 11 11 16 00 0.0] t = 2 d 16 h 00 m 0 s t = 230400 s Czas zegara satelity (w sekundach tygodnia GPS) t 0 c = [08111114000.0] t = 2 d 14 h 00 m 0 s t = 223200 s Poprawka do czasu zegata satelity dt = a0 + a1 (t t oc ) + a2 (t t oc ) 2 = 2.3122D 005 (21) Czas na jaki chcemy wyznaczyć współrzędne satelity z uwzględnieniem błędów zegara satelity t j = t t oe dt = 7.200 2.3122D 005 (22) Czas t oc można uzyskać z pliku *.n w sekundach tygodnia GPS, może zdarzyć się, że (t t oc ) czas odbiega od założonego wzorca (środek tygodnia 302400), wypadając w chwili po końcu tygodnia lub przed początkiem. Należy poprawić wtedy: jeśli (t t oc ) > 302400 to (t t oc ) 604800; natomiast jeśli (t t oc ) < 302400 to (t t oc ) + 604800; prędkość kątowa satelity n = n 0 + δn = 1.4586D 004 (23) Anomalia średnia Anomalia mimośrodowa pierwsza iteracja Kolejne iteracje Wartości kolejnych przybliżeń znajdują się w tabeli. µ j = µ 0 + n t j = 0.064158915 (24) E 0 j = µ j + e sin(µ j ) (25) E 1 j = µ j + e sin(e 0 j ) (26) Tablica 2: Wartości E anomalii mimośrodowej z kolejnych iteracji E 0 1.000000000 E 1-0.062211862 E 2-0.064302773 E 3-0.064307601 E 4-0.064307612 E 5-0.064307612 7

Anomalię prawdziwą f (12)- należy znaleźć stosując sposób obliczeń podobny do wyznaczania azymutów ze współrzędnych (uwzględniając czwartaki). f = 6.218728826 (27) Suma kątów argumentu perygeum ω oraz anomalii prawdziwej f daje w efekcie argument szerokości u. u = f + ω = 9.047957989 (28) Wyznaczenie poprawek do argumentu szerokości, długości wektora wodzącego oraz inklinacji du j = C us sin(2 u) + C uc cos(2 u) = 9.083085863D 006 (29) dr j = C rs sin(2 u) + C rc cos(2 u) = 1.164244966D + 002 (30) di j = C is sin(2 u) + C ic cos(2 u) + idot t j = 3.867610821D 006 (31) Uwzględnienie poprawek do argumentu szerokości, długości wektora wodzącego, inklinacji oraz rektascenzji. u j = u + du j = 9.047948906 (32) r j = a (1 e cos(ek)) + dr j = 2.649929723D + 007 (33) i j = i o + di j = 0.965075468 (34) Ω j = Ω 0 + ( Ω ω e ) t j ω e t oe = 16.829399526 (35) Ze wzoru (7) - opuszczając ostatnią rotację, ponieważ kąt ω został przeliczony na kąt u (28). Ostatecznie w wyniku otrzymano: X = 5702699.51 Y = -24605519.25 Z = 8016258.12 Wyniki skontrolowano z plikiem SP3 (igs15052.sp3) otrzymując odchyłki. dx = -1.97 dy = -0.33 dz = 1.18 8