Algebra i jej zastosowania ćwiczenia

Algebra i jej zastosowania ćwiczenia 14 stycznia 2013 1 Kraty 1. Pokazać, że każda klasa kongruencji kraty (K, +, ) jest podkrata kraty (K, +, ). 2. Znaleźć wszystkie kongruencje kraty 2 3, gdzie 2 jest 2-elementowym lańcuchem, a 3 jest 3-elementowym lańcuchem. 3. Narysować diagramy zbioru uporza dkowanego (K, ), gdzie K jest podzbiorem zbioru N liczb naturalnych, a relacja jest relacja podzielności w N: (a) K = 30 = {k N k 30}, (b) K = 72 = {k N k 72}, (c) K = {3, 4}. 4. Dla naste cych podzbiorów K N, znaleźć ich kresy górne i dolne w kracie (N, ) liczb naturalnych z relacja podzielności: (a) K = {20, 15, 10}, (b) K = {5n n N}, (c) K = {3 n n N}. 5. Wykazać, że krata (K, +, ) jest rozdzielna wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych a, b, c K, (a + b = c + b i ab = cb) (a = c). 1

1 KRATY 2 6. Pokazać, że krata (N, NW W, NW D) jest: (a) ograniczona, (b) rozdzielna, (c) zupe lna. 7. Niech (K, +, ) be dzie krata rozdzielna. Niech a, b K oraz a < b. Wykazać, że [a, b] := {x K a x b} jest podkrata kraty (K, +, ). Wykazać, że odwzorowanie h : K [a, b]; x xb + a jest homomorfizmem krat. 8. Znaleźć elementy sumowo-nierozk ladalne w kracie (N, NW W, NW D). 9. Dla kilku wybranych krat znaleźć zbiory uporza dkowane (S(K), ) oraz kraty (I(S(K)), +, ). 10. Stosuja c twierdzenie Birkhoff a o reprezentacji rozdzielnych krat skończonych, sprawdzić rozdzielność kilku dowolnie wybranych krat. Zadania dodatkowe 11. Pokazać, że podane niżej zbiory tworza kraty zupe lne: (a) wszystkie podgrupy normalne danej grupy, (b) wszystkie podzbiory wypuk le przestrzeni R n, (c) wszystkie idea ly pierścienia, (d) wszystkie podzbiory domknie te przestrzeni topologicznej, (e) wszystkie podzbiory otwarte przestrzeni topologicznej, (f) wszystkie relacje równoważności na zbiorze X, (g) wszystkie relacje kongruencji algebry (A, F ). 12. Wykazać, że krata kongruencji dowolnej kraty jest rozdzielna. 13. Wykazać, że krata podgrup nieskończonej grupy cyklicznej (Z, +,, 0) jest rozdzielna.

2 ALGEBRY BOOLE A 3 14. Niech (K, +, ) be dzie krata rozdzielna i niech n N. Pokazać, że 0 x K jest elementem sumowo-nierozk ladalnym wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych a 1,..., a n K, jeśli x a 1 + + a n, to istnieje i {1,..., n} takie, że x a i. 2 Algebry Boole a 1. Dla każdego n N, zbiór n := {k N k n} jest podkrata kraty (N, NW W, NW D). Dla jakich m n element m ma w n uzupe lnienie m? Kiedy n jest krata Boole a? 2. Niech (B, +, ) be dzie krata Boole a. Niech a, b B oraz a b. Wykazać, że odcinek [a, b] := {x B a x b} jest również krata Boole a. 3. Niech (B, +,,, 1, 0) be dzie algebra Boole a. Pokazać, że dla wszystkich x, y B: (a) xy = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy x y, (b) (xy) = x + y. 4. Wykazać, że naste ce równości sa prawdziwe we wszystkich algebrach Boole a: (a) xy + x y + xy + x y = 1 (b) xy + x z = xy + x z + yz. 5. Znaleźć postać dyzjunktywno-normalna niżej podanych termów Boole a: (a) x(y + z), (b) (x + y )(y + z )(z + x ), (c) (x + y )z. 6. Sprowadzaja c do postaci dyzjunktywno-normalnej obie strony podanych niżej równości, sprawdzić czy sa one prawdziwe we wszystkich algebrach Boole a: (a) (xy) + (xz ) = (x(y + z ) ), (b) xy + xz + y z = xy + (y + z), (c) (x + y ) + (z (x + y)) = x.

3 ALGEBRY BOOLE A - ZASTOSOWANIA 4 Zadania dodatkowe 7. Niech B be dzie rodzina skończonych sum przedzia lów liczb rzeczywistych postaci (, a), [a, b), [b, ), gdzie < a < b <, oraz zbioru pustego. Pokazać, że B jest podalgebra Boole a algebry Boole a P (R) i, że B nie ma atomów. 8. Znaleźć przyk lad nieskończonej algebry Boole a, która nie jest izomorficzna z algebra P (X) dla żadnego zbioru X. 9. Pierścieniem Boole a nazywamy pierścień (B, +,, 0, 1) z jednościa, w którym dla każdego x B, xx = x. (a) Pokazać, że naste ce równości spe lnione sa w każdym pierścieniu Boole a: i. xy + yx = 0, ii. x + x = 0, iii. xy = yx. (b) Niech B be dzie pierścieniem Boole a. Pokazać, że algebra (B,,,, 0, 1), gdzie x y := x + y + xy i x = 1 + x, jest algebra Boole a. (c) Niech (B,,,, 0, 1) be dzie algebra Boole a. Pokazać, że algebra (B, +,, 0, 1), gdzie x+y := (xy ) (x y), jest pierścieniem Boole a. (d) Pokazać, że odpowiedniość mie dzy algebrami Boole a i pierścieniami Boole a określona w poprzednich dwóch punktach jest bijekcja. (e) Pokazać, że dwuelementowej algebrze Boole a 2 odpowiada pierścień Boole a Z 2. Pokazać, że grupa addytywna pierścienia Boole a, który odpowiada algebrze Boole a 2 2, jest izomorficzna z grupa czwórkowa Kleina. 10. Pokazać, że relacja równoważności określona na algebrze Boole a B jest kongruencja algebry Boole a wtedy i tylko wtedy, gdy jest kongruencja kraty. 3 Algebry Boole a - zastosowania Poszukiwanie algebraicznego odpowiednika logiki dwuwartościowej doprowadzi lo w po lowie XIX wieku do określenia przez angielskiego matematyka i

3 ALGEBRY BOOLE A - ZASTOSOWANIA 5 logika George a Boole a (1815-1864) algebry zwanej dziś od jego imienia algebra Boole a. Algebra pierwotnie stworzona z myśla o mechanicznym dowodzeniu twierdzeń, znalaz la donios le zastosowania teoretyczne w teorii mnogości, rachunku prawdopodobieństwa czy w podstawach mechaniki kwantowej. Na przyk lad teorie miary buduje sie obecnie na gruncie teorii algebr Boole a. Okaza lo sie także, że algebry Boole a znalaz ly zastosowania techniczne, zw laszcza w konstrukcji automatów licza cych i sieci prze la czaja cych, ponieważ wartości 0 i 1 moga być traktowane jako stany przewodzenia i nieprzewodzenia sygna lów elektrycznych. Obwody elektryczne stosowane we wspó lczesnych maszynach cyfrowych sk ladaja sie z po la czonych grup tranzystorów zwanych bramkami. Każda bramka rozpoznaje tylko dwa poziomy napie cia (sygna ly): - wysoki (oznaczany symbolem 1), - niski (oznaczany symbolem 0). Wyróżniamy trzy podstawowe typy bramek: 1. (dwa wejścia i jedno wyjście, 1 na wyjściu wtedy i tylko wtedy, gdy 1 na obu wejściach), 2. OR (dwa wejścia i jedno wyjście, 1 na wyjściu wtedy i tylko wtedy, gdy 1 na którymkolwiek wejściu), 3. NOT (jedno wejście, jedno wyjście, 1 na wyjściu wtedy i tylko wtedy, gdy 0 na wejściu). Widać, że te trzy bramki dzia laja tak, jak operacje +,, w dwuelementowej algebrze Boole a. Z tych podstawowych bramek buduje sie bardziej z lożone. Dwie bramki uważa sie za równoważne, jeśli te same sygna ly wejściowe daja te same sygna ly wyjściowe. Z lożone uk lady elektryczne, tzw. sieci typu bramkowego, buduje sie tak, aby maja c danych równocześnie n binarnych sygna lów wejściowych x 1, x 2,..., x n, otrzymać jeden lub wie cej binarnych sygna lów wyjściowych f(x 1, x 2,..., x n ). Każdy sygna l wyjściowy jest wie c pewna funkcja sygna lów wejściowych. W sieci o n wejściach i jednym wyjściu istnieje 2 n różnych możliwych sygna lów wejściowych, a zatem istnieje dok ladnie 2 2n różnych funkcji f : {0, 1} n {0, 1}, które moga być realizowane przez sieć. Każda z tych funkcji

3 ALGEBRY BOOLE A - ZASTOSOWANIA 6 jest funkcja Boole owska odpowiadaja ca pewnemu termowi Boole owskiemu, reprezentuja cemu element wolnej algebry Boole a nad zbiorem n-elementowym. W praktyce, szczególnie w przypadku skomplikowanych uk ladów, ważne jest znalezienie równoważnych uk ladów prostszych, z lożonych z możliwie ma lej ilości bramek. Nazbyt rozbudowana sieć jest bowiem wolna, kosztowna i trudna do realizacji. Można to osia gna ć znajduja c term Boole owski odpowiadaja cy danemu uk ladowi i naste pnie znajduja c równoważny mu możliwie najprostszy term Boole owski. Dla otrzymanego w ten sposób termu można zbudować nowy, uproszczony uk lad równoważny danemu. Przyk lad 3.1. Rozważmy naste cy uk lad elektryczny z czterema sygna lami wejściowymi x 1, x 2, x 3, x 4 : x 2,x 3 x 1,x 3,x 4 x 2 NOT x 3 x 4 NOT x 1 OR f(x1, x 2, x 3, x 4 ) x 3 NOT x 1,x 3 NOT x 2,x 3 x 4 NOT x 2

3 ALGEBRY BOOLE A - ZASTOSOWANIA 7 Odpowiadaja ca mu funkcja wyjściowa jest funkcja Boole owska f(x 1, x 2, x 3, x 4 ) = x 2 x 3 + x 1 x 2x 3 x 4 + x 3 x 4 + x 1 x 3 + x 1x 2 x 3 + x 2x 3x 4, wyznaczona przez term Boole owski stoja cy po prawej stronie. Stosuja c znane równości spe lnione we wszystkich algebrach Boole a możemy te funkcje sprowadzić do równoważnej jej prostszej funkcji naste co: f(x 1, x 2, x 3, x 4 ) = ((x 3 + x 2)(x 1 + x 2 + x 3 + x 4)(x 3 + x 4 )) + +((x 1 + x 3 )(x 1 + x 2 + x 3 )(x 2 + x 3 + x 4 )) = = (x 3 + (x 2(x 1 + x 2 + x 4)x 4 )) + (x 3 + (x 1(x 1 + x 2)(x 2 + x 4 ))) = = (x 3 + (x 1x 2x 4 )) + (x 3 + (x 1x 2x 4 )) = = ((x 3 + (x 1x 2x 4 ))(x 3 + (x 1x 2x 4 ))) = (x 1x 2x 4 ) = x 1 + x 2 + x 4. Wobec tego uproszczony uk lad ma naste ca postać: x 1,x 2 x 4 NOT f(x 1, x 2, x 3, x 4 ) Zadania 1. Przedstawić graficznie uk lad bramkowy wyznaczony przez term x + ((y +z)(x+y+z)). Znaleźć możliwie najprostszy uk lad mu równoważny. 2. Znaleźć możliwie najprostszy uk lad bramkowy realizuja cy funkcje f(x 1, x 2, x 3, x 4 ) taka, że f(1, 0, 0, 0) = f(1, 0, 0, 1) = f(1, 1, 0, 1) = 0 i równa 1 w pozosta lych przypadkach.