Ekonometria Przestrzenna

Ekonometria Przestrzenna Wykªad 2: Macierz wag przestrzennych W (2) Ekonometria Przestrzenna 1 / 34

Plan wykªadu 1 Macierz wag przestrzennych 2 Podstawowe metody konstrukcji macierzy W Na podstawie macierzy s siedztwa Macierz oparta na odlegªo±ci 3 Inne metody konstrukcji macierzy W Alternatywne metody wyboru s siadów Umowne miary odlegªo±ci 4 Normalizacja macierzy W Normalizacja Wnioski ko«cowe (2) Ekonometria Przestrzenna 2 / 34

Plan prezentacji 1 Macierz wag przestrzennych 2 Podstawowe metody konstrukcji macierzy W 3 Inne metody konstrukcji macierzy W 4 Normalizacja macierzy W (2) Ekonometria Przestrzenna 3 / 34

Macierz wag przestrzennych Problem identykacji w modelach przestrzennych (1) Rozwa»amy wektor y = (y 1,..., y N ) przestrzennie powi zanych obserwacji. Hipotetycznie map wszystkich powi za«mogliby±my przedstawi jako: y 1 = c 1,1 + α 1,2 y 2 + α 1,3 y 3 +... + α 1,N y N y 2 = c 2,1 + α 2,1 y 1 + α 2,3 y 3 +... + α 2,N y N... y N = c N,1 + α N,1 y 1 + α N,2 y 2 +... + α N,N 1 y N 1 Gdyby±my chcieli oszacowa wszystkie elementy α i,j, oznaczaªoby to (nie licz c staªych) konieczno± oszacowania N 2 N parametrów na podstawie N obserwacji. To oczywi±cie niewykonalne. (2) Ekonometria Przestrzenna 4 / 34

Macierz wag przestrzennych Problem identykacji w modelach przestrzennych (2) W praktyce posªugujemy si wi c nast puj cym uproszczeniem: kwadratow macierz α [α i,j ] (z zerowymi elementami diagonalnymi) traktujemy jako iloczyn: α = ρ W nieznanego parametru ρ znanej i egzogenicznej macierzy W Interpretacja: Niezerowe elementy i-tego wiersza wskazuj regiony powi zane z i-tym regionem, a proporcje mi dzy dodatnimi warto±ciami odpowiadaj wzgl dnej sile tego powi zania. ρ podlega estymacji. Dokªadna interpretacja jest uzale»niona od szczegóªowej konstrukcji macierzy W (zob. dalej), ale je»eli ρ nie ró»ni si istotnie od zera, to nie ma efektów przestrzennych (i mo»na np. stosowa klasyczny model regresji liniowej). (2) Ekonometria Przestrzenna 5 / 34

Macierz wag przestrzennych Macierz wag przestrzennych W jest centralnym poj ciem ekonometrii przestrzennej. Opisuje ona schemat wzajemnego powi zania jednostek (np. regionów). Ka»dy element opisuje relacj mi dzy par regionów. W jest macierz kwadratow o wymiarze równym liczbie regionów. Jej i-ty wiersz interpretujemy jako wektor wag, które okre±laj wpªyw innych regionów na i-ty region. Macierz W ma zerow diagonal. Region nie wpªywa bezpo±rednio na siebie sam. Ale po±rednio ju» tak: skoro wpªywamy na s siada, to s siad wpªywa na nas. (2) Ekonometria Przestrzenna 6 / 34

Macierz wag przestrzennych Przykªadowa macierz W ródªo: Arbia (2014). (2) Ekonometria Przestrzenna 7 / 34

Macierz wag przestrzennych Jak skonstruowa macierz W? 1 Zdeniuj przestrze«w sposób adekwatny do problemu. 1 geograa? 2 a mo»e co± innego? (blisko± / odlegªo± funkcj czynników ekonomicznych, spoªecznych, kulturowych...) 2 Zastosuj odpowiedni miar do tej denicji. 1 miara binarna: s siedztwo / przynale»no± do grupy 2 miara ci gªa: funkcja odlegªo±ci / odlegªo±ci 3 miara hybrydowa: wybór k najbli»szych / najbli»szych s siadów 3 Dokonaj normalizacji macierzy W. (2) Ekonometria Przestrzenna 8 / 34

Na podstawie macierzy s siedztwa Macierz s siedztwa Macierz s siedztwa to szczególny, najpowszechniej stosowany przypadek macierzy wag. Regiony (kolumny) s siaduj ce z i-tym regionem s wskazane s jako 1 w i-tym wierszu. Problematyczny mo»e by przypadek, gdy istniej regiony nies siaduj ce z»adnym innym (Irlandia Póªnocna w UK, Sycylia w IT, itp.). Mo»na próbowa tego unikn, wskazuj c mimo wszystko np. najbli»ej poªo»ony region jako jedynego s siada, lub odpowiednio korygowa istniej ce metody. Metoda adekwatna wyª cznie do zbioru regionów (ale nie do zbioru punktów). (2) Ekonometria Przestrzenna 10 / 34

Na podstawie macierzy s siedztwa Macierz s siedztwa: przykªad Czy......s siaduje z......? USA Kanada TAK Kanada USA TAK USA Meksyk TAK Meksyk USA TAK Kanada Meksyk NIE Meksyk Kanada NIE US CA MX W S 0 1 1 = 1 0 0 1 0 0 W = US CA 0 0.5 MX 0.5 1 0 0 1 0 0 (2) Ekonometria Przestrzenna 11 / 34

Na podstawie macierzy s siedztwa Konstrukcja macierzy W na podstawie s siedztwa w R 1 Wczytujemy obiekt typu SpatialPolygonDataFrame (patrz: wykªad 1). Mapa b dzie ¹ródªem informacji, które regiony maj wspólne granice. 2 Tworzymy obiekt b d cy listami s siadów nb. contnb <- poly2nb(spatial_data, queen = T) queen = T traktujemy jako s siadów te regiony, które granicz jednym punktem (szachi±ci wiedz sk d ta nazwa...) 3 Normalizujemy wierszami, tworz c obiekt typu listw. W_list <- nb2listw(contnb, style = "W") Je»eli mamy (i chcemy pozostawi ) regiony izolowane, wówczas do polecenia nb2listw musimy dodawa argument zero.policy = TRUE. listw to efektywna forma przechowywania (zwykle rzadkiej) macierzy W. (2) Ekonometria Przestrzenna 12 / 34

Na podstawie macierzy s siedztwa Kryterium królowej (queen = T) (1) ródªo: Arbia (2014). (2) Ekonometria Przestrzenna 13 / 34

Na podstawie macierzy s siedztwa Kryterium królowej (queen = T) (2) Wydaje si nienaturalnym problemem, gdy my±limy o powiatach w Polsce. Jednak wa»ne przy analizie takich obszarów jak np. hrabstwa (counties) w Teksasie lub przy analizie danych punktowych, które samodzielnie agregujemy za pomoc kwadratowej siatki: (2) Ekonometria Przestrzenna 14 / 34

Na podstawie macierzy s siedztwa Relacje s siedztwa 1 rz du dla polskich powiatów Funkcja: plot.nb (2) Ekonometria Przestrzenna 15 / 34

Na podstawie macierzy s siedztwa Relacje s siedztwa 1 i 2 rz du dla polskich powiatów S siad mojego s siada te» jest te» moim s siadem (nblag i nblag_cumul) (2) Ekonometria Przestrzenna 16 / 34

Macierz oparta na odlegªo±ci Konstrukcja macierzy opartej na odlegªo±ci Alternatywnym sposobem konstrukcji W jest dopuszczenie do bezpo±redniej interakcji mi dzy wszystkimi regionami. Jej siªa zale»y wówczas od odlegªo±ci. Niech d i,j oznacza odlegªo± mi dzy i oraz j. Wówczas: 1 0 (d 1,2 ) γ 1 (d 1,N) γ 1 (d 1,2 ) γ 0 1 (d W = 2,N) γ..... 1 1 (d 1,N) γ (d 2,N) γ 0 γ to ustalony przez badacza parametr wygasania. Przy braku wyra¹nych przesªanek do przyj cia konkretnej warto±ci mo»na np. zaªo»y,»e γ = 1. (2) Ekonometria Przestrzenna 17 / 34

Macierz oparta na odlegªo±ci Konstrukcja macierzy opartej na odlegªo±ci w R Wymagana jest funkcja DistanceMatrix. Jej argumentem jest obiekt typu SpatialPolygonDataFrame. Funkcja dziaªa poprawnie wyª cznie wtedy, gdy wspóªrz dne wierzchoªków regionów s zadane jako stopnie dªugo±ci i szeroko±ci geogracznej. W plikach CODGiK tak nie jest. Dlatego potrzebowali±my wcze±niej polecenia sptransform. Przy pracy z wªasnymi zbiorami danych nale»y zawsze upewni si co do rz du wielko±ci lub, o ile taka informacja jest dost pna, kodowania wspóªrz dnych. Odlegªo±ci s wyznaczane mi dzy centroidami regionów lub mi dzy punktami (w zale»no±ci od tego, czy pracujemy ze zbiorem punktów, czy z regionami). (2) Ekonometria Przestrzenna 18 / 34

Macierz oparta na odlegªo±ci Centroidy geometryczne ±rodki ci»ko±ci (1) Mianownikiem w ka»dym przypadku jest pole gury. Jako»e granice regionów zwykle nie s zadane postaciami funkcyjnymi :-) (Teksas wyj tkiem...), to R korzysta z numerycznego przybli»enia powy»szych caªek. (2) Ekonometria Przestrzenna 19 / 34

Macierz oparta na odlegªo±ci Centroidy (2) Paradoks zwró my uwag na lokalizacj centroidu powiatu pozna«skiego (nie myli z powiatem m. Pozna«!). (2) Ekonometria Przestrzenna 20 / 34

Macierz oparta na odlegªo±ci Centroidy (3) Paradoks zwró my uwag na lokalizacj centroidu powiatu pozna«skiego (nie myli z powiatem m. Pozna«!). (2) Ekonometria Przestrzenna 21 / 34

Alternatywne metody wyboru s siadów Wybór s siadów wedªug kryterium odlegªo±ci Elementom macierzy W przypisujemy warto± 1, je»eli dwa regiony znajduj si nie dalej ni» w zadanej odlegªo±ci, albo 0 w przeciwnym przypadku. Metoda sprawdzi si dobrze w sytuacji, gdy: Nasze dane przestrzenne to nie regiony, tylko punkty w przestrzeni (trudno wtedy mówi o s siedztwie na podstawie kryterium wspólnej granicy). Mamy w naszej próbie regiony izolowane i chcemy tego unikn. Zamiast poly2nb u»ywamy funkcji dnearneigh (po wcze±niejszym uzyskaniu centroidów za pomoc funkcji coordinates). (2) Ekonometria Przestrzenna 23 / 34

Alternatywne metody wyboru s siadów Metoda k najbli»szych s siadów Elementom macierzy W = [w i,j ] przypisujemy warto± 1, je»eli region j nale»y do grona k najbli»szych geogracznie regionów dla i. Badania numeryczne pokazuj,»e dokªadny wybór k ma zwykle ograniczone znaczenie dla wyników (LeSage i Pace, 2014). Metoda sprawdzi si dobrze w sytuacji, gdy: Nasze dane przestrzenne to nie regiony, tylko punkty w przestrzeni (trudno wtedy mówi o s siedztwie na podstawie kryterium wspólnej granicy). Mamy w naszej próbie regiony izolowane i chcemy tego unikn. Zamiast poly2nb u»ywamy knearneigh (znów dla centroidów). (2) Ekonometria Przestrzenna 24 / 34

Umowne miary odlegªo±ci Umowne miary odlegªo±ci Czasami decydujemy o wykorzystaniu niegeogracznych, umownych miar odlegªo±ci (Corrado, Fingleton, 2012). Sprawdzamy stopie«podobie«stwa kulturowego, spoªecznego, ekonomicznego regionów niekoniecznie s siaduj cych czy pobliskich. Np. pod pewnymi wzgl dami Warszawa mo»e by bardziej poª czona z Poznaniem ni» z Otwockiem. Wówczas macierz W musimy skonstruowa sami (przykªad w pliku.r). Uwa»ajmy jednak! Stosowanie takiego podej±cia oznacza podwy»szon ekspozycj na ryzyko zªamania podstawowego zaªo»enia: o egzogeniczno±ci W. Skutkiem b dzie niezgodna estymacja modeli przestrzennych. Rozwi zanie: modele ko-ewolucji sieci (ang. network co-evolution models; zob. Franzese, Hays, Kachi 2012). (2) Ekonometria Przestrzenna 25 / 34

Umowne miary odlegªo±ci Macierze s siedztwa zadane przez u»ytkownika Na przykªad: s siedztwo tylko wewn trz jednego województwa albo s siadami tylko wªasne miasta wojewódzkie. (2) Ekonometria Przestrzenna 26 / 34

Normalizacja Po co normalizacja macierzy W? Aby uzyska intuicyjn interpretacj parametru ρ: wpªyw ±redniej wa»onej s siadów. Aby unikn ryzyka próby odwrócenia osobliwej macierzy w procesie estymacji. Aby unikn komplikacji numerycznych zwi zanych ze skalowaniem ró»nych zmiennych. Aby parametr ρ nie implikowaª eksploduj cych mno»ników przestrzennych (przez analogi do szregów czasowych, gdzie oczekiwali±my parametru autoregresji co do moduªu < 1). (2) Ekonometria Przestrzenna 28 / 34

Normalizacja Techniki normalizacji (1) Najcz ±ciej normalizuje si W wiersz po wierszu, w taki sposób, by ka»dy z nich sumowaª si do 1 (row-stochastic, row-standardized). nb2listw(..., style = "W") niepo» dany skutek: asymetria przeksztaªconego W (wbrew postulatom teoretycznym: Vega i Elhorst, 2014) Zamiast W mo»emy u»y te»: B: brak normalizacji C: normalizacja skalarem (wszystkie elementy sumuj si do N, cho niekoniecznie wiersze do 1) N: normalizacja skalarem (wszystkie elementy sumuj si do 1) S: Tiefelsdorf, Grith, Boots (1999) minmax: Kelejian, Prucha (2010) (2) Ekonometria Przestrzenna 29 / 34

Normalizacja Normalizacja wierszami czy zawsze dobra? Zaleta: wektor typu Wx (opó¹nienie przestrzenne wi cej na jego temat nast pnym razem) mo»emy interpretowa jako wektor zawieraj cy ±redni wa»on zjawiska w jednostkach powi zanych z pierwsz, drug, trzeci itd. jednostk (np. u s siadów). Wada: kto ma gªo±niej w mieszkaniu? czy? 0 db 150 db 0 db 0 db 0 db 0 db 0 db 0 db 0 db 0 db Przy elementach macierzy s siedztwaw normalizowanych wierszami: : 1 5 (0 + 0 + 0 + 0 + 150) = 30dB (czyli ciszej ni» obok...) 1 : 3 (0 + 0 + 150) = 50dB (czy na pewno tak powinno by...?) (2) Ekonometria Przestrzenna 30 / 34

Normalizacja Techniki normalizacji (2) Alternatywny sposób: normalizacja skalarem najwy»szym moduªem warto±ci wªasnej W : W = W λ max Najpopularniejsza strategia w±ród normalizacji skalarem. 1 Zaleta: λ min < ρ < 1. Wada: ρ nie podlega standardowej interpretacji. (2) Ekonometria Przestrzenna 31 / 34

Wnioski ko«cowe Jak R przechowuje macierze W? W zale»no±ci od rodzaju informacji wej±ciowych oraz celu analizy musimy wykorzystywa ró»ne obiekty, przeksztaªcaj c je wzajemnie. (2) Ekonometria Przestrzenna 32 / 34

Wnioski ko«cowe Jak wybra najlepsze W? Zwykle mamy niewiele przesªanek do takiego wyboru (Anselin, 2002). Best guess. Neumayer, Plumper (2016) ka» kierowa si teori (ªatwo powiedzie...). Mo»na jednak po oszacowaniu modelu porówna logarytm warto±ci funkcji wiarygodno±ci (log-likelihood) lub bayesowskie prawdopodobie«stwa modeli a posteriori dla ró»nych W. Zasadnicze pytanie, na które musimy sobie odpowiedzie : Czy W adekwatnie obrazuje sie bezpo±rednich zale»no±ci mi dzy jednostkami w kontek±cie analizowanej zmiennej obja±niaj cej? Konsekwencje pomyªki: niska moc testów diagnostycznych; niezgodno± i obci»enie estymatorów; sªaba statystyczna identykowalno± modeli. (2) Ekonometria Przestrzenna 33 / 34

Wnioski ko«cowe Zadanie domowe 2 Dla zbioru danych przestrzennych, który byª przedmiotem pierwszej pracy domowej, zbuduj trzy dodatkowe macierze W: 1 s siedztwa pierwszego rz du, ale jako kryterium normalizacji zastosuj najwy»sz warto± wªasn (wskazówka: mo»na to zrobi bezpo±rednio na macierzy, a potem przeksztaªci j w listw bez normalizacji). 2 Macierz opart na odwróconych kwadratach odlegªo±ci, ale tylko do progu 200 km (powy»ej tego progu brak poª czenia). 3 Macierz opart na euklidesowej odlegªo±ci mi dzy trzema wystandaryzowanymi zmiennymi dla par regionów i, j ( (x 1,i x 1,j ) 2 + (x 2,i x 2,j ) 2 + (x 3,i x 3,j ) 2 ), o których s dzimy,»e prawidªowo obrazuj sie poª cze«w kontek±cie zmiennej obrazowanej w poprzedniej pracy. (2) Ekonometria Przestrzenna 34 / 34