Mechanika materiałów i konstrukcji budowlanych, studia II stopnia rok akademicki 2012/2013 Instytut L-5, Wydzia Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Adam Wosatko Maria Radwańska
Tematyka wykładu 1 Powłoka obiekt powierzchniowy 2 Opis geometryczny powierzchni definicje 3 Geometria wybranych powierzchni 4 Powierzchnia równo oddalona
Powłoka obiekt powierzchniowy Opis geometryczny powierzchni definicje Geometria wybranych powierzchni Konstrukcje powłokowe w przyrodzie http://www.lookgaleria.pl http://rkmk.cyberdusk.pl http://www.fotoplatforma.pl Powierzchnia równo oddalona
Powłoka obiekt powierzchniowy Opis geometryczny powierzchni definicje Geometria wybranych powierzchni Powierzchnia równo oddalona Inżynierskie konstrukcje powłokowe Przekrycia dachowe http://www.ketchum.org Podpory platform wiertniczych Wielogałęziowe powłoki Powłoki chłodni kominowych http://www.wsb-nlu.edu.pl/ wegrzyn/coolingt.html jako podelementy konstrukcyjne
Definicja powłoki Konstrukcja powłokowa to ustrój powierzchniowy zakrzywiony. http://pk.kraj.pl http://www.panoramio.com http://www.oltrans.com.pl Powierzchnia środkowa jako dwuwymiarowy obiekt geometryczny opisany współrzędnymi krzywoliniowymi ξ 1 i ξ 2 jest modelem całej powłoki.
Jak określić geometrię ustroju powierzchniowego? Geometria ustroju powierzchniowego jest określona za pomocą: układu współrzędnych, kształtu powierzchni środkowej, konturu brzegowego, rozkładu grubości. Kształt powierzchni środkowej jest scharakteryzowany w odpowiednim układzie współrzędnych krzywoliniowych za pomocą: dwóch parametrów Lamègo A α, dwóch promieni głównych krzywizn R α.
Równanie powierzchni środkowej Powierzchnia środkowa jest scharakteryzowana w układzie współrzędnych krzywoliniowych ξ α, (α = 1, 2). Położenie punktu można określić jednoznacznie za pomocą tych współrzędnych, które są utworzone z dwóch rodzin linii. Równanie powierzchni środkowej oraz powiązanie globalnych współrzędnych kartezjańskich (X, Y, Z) i lokalnych krzywoliniowych (ξ 1, ξ 2 ) przedstawiają zależności: r = X i X + Y i Y + Zi Z X = f 1 (ξ 1, ξ 2 ) Y = f 2 (ξ 1, ξ 2 ) Z = f 3 (ξ 1, ξ 2 )
Powłoka obiekt powierzchniowy Opis geometryczny powierzchni definicje Geometria wybranych powierzchni Powierzchnia równo oddalona Długości łuków i parametry Lame go Dwuwymiarowy wycinek na powierzchni powstaje w wyniku przecięcia linii: ξ1 = const. ξ1 + dξ1 = const. ξ2 = const. ξ2 + dξ2 = const. Wyróżniamy krzywą l, która przechodzi przez punkty P i M. Do określenia długości łuku dsα wzdłuż linii współrzędnych ξα : dsα = Aα dξα służą parametry Lame go, równe długościom wektorów stycznych gα : Aα = ~r,α = gα gdzie α = 1, 2
Powłoka obiekt powierzchniowy Opis geometryczny powierzchni definicje Geometria wybranych powierzchni Powierzchnia równo oddalona I tensor metryczny i I forma kwadratowa r dξ2 r dξ1 + r = r[ξ1 (λ), ξ2 (λ)] dr = ξ ξ2 dλ dλ = r,1 dξ1 + r,2 dξ2 1 dλ Długość łuku z krzywej l, parametryzowanej współrzędną λ, pomiędzy punktami P i M obliczamy jako: ds 2 = r,1 r,1 dξ12 + 2r,1 r,2 dξ1 dξ2 + r,2 r,2 dξ22 = = A21 dξ12 + 2A1 A2 cos(g1, g2 )dξ1 dξ2 + A22 dξ22 Wersory: r eα = A,αα = Agαα e 3 = n = e1 e2 I tensor metryczny: gαβ = gα gβ = r,α r,β ds 2 = g11 dξ12 + 2g12 dξ1 dξ2 + g22 dξ22 I forma kwadratowa
Powłoka obiekt powierzchniowy Opis geometryczny powierzchni definicje Geometria wybranych powierzchni II tensor metryczny i II forma kwadratowa m = n r = n dr + 12 d2 r +... = 12 n d2 r +... II tensor metryczny: bαβ = r,αβ n = r,α n,β 2m = b11 dξ12 + 2b12 dξ1 dξ2 + b22 dξ22 II forma kwadratowa Promienie krzywizny lub krzywizna linii l: 1 2m n d2 r k = lim r 2 0 = 2 R r ds 2 Powierzchnia równo oddalona
Promienie główne krzywizn i krzywizna Gaussa Względem tzw. głównych linii wspólrzędnych, dla których g 12 = b 12 = 0, obliczamy dwa ekstremalne promienie główne krzywizn R αα, dwie krzywizny k αα : k αα = 1 = b αα = b αα, gdzie α = 1, 2. R αα g αα k 2 2 H k + K = 0 A 2 α Parametry opisujące powierzchnię: średnia krzywizna H: H = 1 2 (k 1 + k 2 ) krzywizna Gaussa: K = k 1 k 2 = 1 1 R 1 R 2 Krzywizna Gaussa jest używana do klasyfikacji typu powierzchni.
Powierzchnia walcowa w cylindrycznych współrzędnych r = x i i i = x i 1 + R sinθ i 2 + R cosθ i 3 [ ] [ ] g1 1 i g α = = 1 g 2 R cosθ i 2 R sinθ i 3 e α = [ e1 e 2 ] [ = n = sinθ i 2 + cosθ i 3 ] 1 i 1 cosθ i 2 sinθ i 3 A 1 = 1 A 2 = R [ ] [ ] g11 g g αβ = 12 1 0 = g 21 g 22 0 R 2 R 1 = R 2 = R K = 0 H = 1 2R x 1 = x = ξ 1 R e 2 e 1 i 1 i 2 x 2 = y r n i 3 x 3 = z ξ 2 = θ
Powierzchnia kulista w układzie sferycznym r = x i i i = R sinϕ sinθ i 1 + R cosϕ i 2 + R sinϕ cosθ i 3 g α = [ g1 g 2 ] [ cosϕ sinθ i1 sinϕ i = R 2 + cosϕ cosθ i 3 sinϕ cosθ i 1 + 0 i 2 sinϕ sinθ i 3 ] e α = 1 R g α n = sinϕ sinθ i 1 + cosϕ i 2 + sinϕ cosθ i 3 A 1 = R A 2 = R sinϕ [ ] [ g11 g g αβ = 12 R 2 0 = g 21 g 22 0 R 2 sin 2 ϕ R 1 = R 2 = R K = 1 R 2 H = 1 R ] ξ 1 = ϕ i 3 i 2 x 2 = y P r(ϕ) R i 1 e 1 n e 2 x 1 = x x 3 = z ξ 2 = θ
Powierzchnia hiperboliczna w układzie kartezjańskim z(x, y) = k x y k = f a b m = k x n = k y r = x i i i = x i 1 + y i 2 + k x y i 3 g α = e α = [ e1 [ g1 ] = g 2 [ ] 1 i1 + n i 3 1 i 2 + m i 3 ] 1 = e 2 1 + m2 + n g 2 α n = n i 1 m i 2 + i 3 1 + m2 + n 2 A 1 1 A 2 1 g αβ = [ ] g11 g 12 = g 21 g 22 [ ] 1 + n 2 m n m n 1 + n 2 b i 1 x b i 2 e 1 n e 2 a f y z
Opis geometrii ustrojów powierzchniowych za pomocą czterech parametrów geometrycznych Parametrami geometrycznymi są parametry Lamègo A α oraz promienie główne krzywizn R α, gdzie α = 1, 2. Powłoka kulista Powłoka walcowa Powłoka stożkowa Powłoki mało wyniosłe Tarcze i płyty prostokątne Tarcze i płyty kołowe lub pierścieniowe
Powłoka obiekt powierzchniowy Opis geometryczny powierzchni definicje Geometria wybranych powierzchni Powierzchnia równo oddalona Geometria powierzchni równo oddalonej od środkowej r(z) = r + zn (z) (z) dsα = Aα dξα (z) Aα = Aα 1 + h 2 z (z) eα = z Rα h 2 1 (z) (z) r,α Aα (z) Rα n(z) n = Rα 1 + Rzα Π (z) powierzchnia równo oddalona Π powierzchnia środkowa