J. Wyrwał, Wykłady z mechaniki materiałów METODA SIŁ Wprowadzenie

Podobne dokumenty
Przykład 5.1. Kratownica dwukrotnie statycznie niewyznaczalna

STATYKA. Cel statyki. Prof. Edmund Wittbrodt

( ) L 1. θ θ = M. Przybycień Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka. = θ. min

ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE

Funkcja wiarogodności

1. Relacja preferencji

WYZNACZANIE WARTOŚCI ENERGII ROZPRASZANEJ PODCZAS ZDERZENIA CIAŁ

PŁASKA GEOMETRIA MAS. Środek ciężkości figury płaskiej

Dokonajmy zestawienia wszystkich równań teorii sprężystości. 1. Różniczkowe równania równowagi (warunki Naviera)

i = 0, 1, 2 i = 0, 1 33,115 1,698 0,087 0,005!0,002 34,813 1,785 0,092 0,003 36,598 1,877 0,095 38,475 1,972 40,447 i = 0, 1, 2, 3

Stateczność układów ramowych

OBLICZENIE SIŁ WEWNĘTRZNYCH DLA BELKI SWOBODNIE PODPARTEJ SWOBODNIE PODPARTEJ ALGORYTM DO PROGRAMU MATHCAD

Laboratorium z Biomechatroniki Ćwiczenie 3 Wyznaczanie położenia środka masy ciała człowieka za pomocą dźwigni jednostronnej

FUNKCJE DWÓCH ZMIENNYCH

PODSUMOWANIE TRZECIEJ CZĘŚCI

Projekt 2 2. Wielomiany interpolujące

Podprzestrzenie macierzowe

Wyznaczanie oporu naczyniowego kapilary w przepływie laminarnym.

OBLICZANIE GEOMETRYCZNYCH MOMENTÓW BEZWŁADNOŚCI FIGUR PŁASKICH, TWIERDZENIE STEINERA LABORATORIUM RACHUNKOWE

06 Model planowania sieci dostaw 1Po_1Pr_KT+KM

N ( µ, σ ). Wyznacz estymatory parametrów µ i. Y które są niezależnymi zmiennymi losowymi.

MODELE OBIEKTÓW W 3-D3 część

W zadaniu nie ma polecenia wyznaczania estymatora nieobciążonego o minimalnej wariancji. σ σ σ σ σ = =

S T A T Y K A ZASADY (AKSJOMATY) STATYKI

W zadaniu nie ma polecenia wyznaczania estymatora nieobciążonego o minimalnej wariancji. σ σ σ σ σ = =

Sprawdzenie stateczności skarpy wykopu pod składowisko odpadów komunalnych

TARCIE CIĘGIEN O POWIERZCHNIĘ WALCOWĄ WZÓR EULERA

STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 2 ESTYMACJA PUNKTOWA

S T A T Y K A ZASADY (AKSJOMATY 1 ) STATYKI

Układy liniowosprężyste Clapeyrona

EKSTREMA FUNKCJI EKSTREMA FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ. Tw. Weierstrassa Każda funkcja ciągła na przedziale domkniętym ma wartość najmniejszą i największą.

Przykład 3.2. Rama wolnopodparta

Przykład 4.1. Belka dwukrotnie statycznie niewyznaczalna o stałej sztywności zginania

Zaawansowane metody numeryczne

Niech Φ oznacza funkcję zmiennej x zależną od n + 1 parametrów a 0, a 1, K, a n, tj.

Portfel złożony z wielu papierów wartościowych

(3.1.1) Na podstawie tak sporządzonego wykresu obliczamy współczynnik δ SS ze wzoru: S S S

f f x f, f, f / / / METODA RÓŻNIC SKOŃCZONYCH niech N = 2 (2 równania różniczkowe zwyczajne liniowe I-rz.) lub jedno II-rzędu


Stateczność skarpy. Metoda Felleniusa (1925 r.) - opis

METODY KOMPUTEROWE 1

Przykład 2.3 Układ belkowo-kratowy.

08 Model planowania sieci dostaw 1Po_2Pr_KT+KM

INSTRUKCJA DO ĆWICZENIA NR 2

1. MACIERZE, WEKTORY. θ θ. Wybrane z wykładów

11/22/2014 STRATEGIE MIESZANE - MOTYWACJA. ROZWAśMY PRZYKŁAD:

OBLICZANIE NIEPEWNOŚCI METODĄ TYPU B

Metoda analizy niesprężystych elementów żelbetowych ściskanych mimośrodowo

Przykład 4.4. Belka ze skratowaniem

Sił Si y y w ewnętrzne (1)(1 Mamy my bry r łę y łę mate t r e iralną obc ob iążon ż ą u kła k de d m e si m ł si ł

Przykłady (twierdzenie A. Castigliano)

TMM-2 Analiza kinematyki manipulatora metodą analityczną

Regresja REGRESJA

XLI OLIMPIADA FIZYCZNA ETAP WSTĘPNY Zadanie teoretyczne

Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania MODELOWANIE I PODSTAWY IDENTYFIKACJI

2. STOPIEŃ KINEMATYCZNEJ NIEWYZNACZALNOŚCI

1.3. STAN NAPRĘŻENIA STRONA STATYCZNA

Funkcja momentu statycznego odciętej części przekroju dla prostokąta wyraża się wzorem. z. Po podstawieniu do definicji otrzymamy

WYZNACZANIE PRZERWY ENERGETYCZNEJ GERMANU

MECHANIKA BUDOWLI 8 METODA SIŁ

NOŚNOŚĆ GRANICZNA

gruparectan.pl 1. Metor Strona:1 Dla danego układu wyznaczyć MTN metodą przemieszczeń Rys. Schemat układu Współrzędne węzłów:

WPŁYW SZTYWNOŚCI SPRĘŻYNY ROTACYJNEJ NA CZĘSTOŚĆ DRGAŃ WŁASNYCH KOLUMNY GEOMETRYCZNIE NIELINIOWEJ OBCIĄŻONEJ SIŁĄ PODŚLEDZĄCĄ

1. WZORY TRANSFORMACYJNE METODY PRZEMIESZCZEŃ

Z1/1. ANALIZA KINEMATYCZNA PŁASKICH UKŁADÓW PRĘTOWYCH ZADANIE 1

Jego zależy od wysokości i częstotliwości wypłat kuponów odsetkowych, ceny wykupu, oczekiwanej stopy zwrotu oraz zapłaconej ceny za obligację.

Tablica Galtona. Mechaniczny model rozkładu normalnego (M10)

Płaskie układy obciąŝeń. Opis analityczny wielkości podstawowych. wersory. mechanika techniczna i wytrzymałość materiałów 1 statyka 2

Agenda. Politechnika Poznańska WMRiT ZST. Piotr Sawicki Optymalizacja w transporcie 1. Kluczowe elementy wykładu

POPULACJA I PRÓBA. Próba reprezentatywna. Dr Adam Michczyński - METODY ANALIZY DANYCH POMIAROWYCH 5 1

MATEMATYKA STOSOWANA W INŻYNIERII CHEMICZNEJ

DYNAMIKA UKŁADU PUNKTÓW MATERIALNYCH

będą niezależnymi zmiennymi losowymi z rozkładu o gęstości

Projekt 10 Obciążenia kadłuba

Wprowadzenie. metody elementów skończonych

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1, zima 2016/17

ĆWICZENIE 10 OPTYMALIZACJA STRUKTURY CZUJKI TEMPERATURY W ASPEKCIE NIEZWODNOŚCI

D P. Rys. 1 Schemat hydrauliczny obliczeń filtracji przez zaporę ziemną z drenażem

6. WYZNACZANIE LINII UGIĘCIA W UKŁADACH PRĘTOWYCH

. Wtedy E V U jest równa

Prawdopodobieństwo i statystyka r.

OBLICZANIE RAM METODĄ PRZEMIESZCZEŃ WERSJA KOMPUTEROWA

Zasada Jourdina i zasada Gaussa

Podpory sprężyste (podatne), mogą ulegać skróceniu lub wydłużeniu pod wpływem działających sił. Przemieszczenia występujące w tych podporach są

TESTY NORMALNOŚCI. ( Cecha X populacji ma rozkład normalny). Hipoteza alternatywna H1( Cecha X populacji nie ma rozkładu normalnego).

Mechanika teoretyczna

2. Wartości własne i wektory własne macierzy

ρ (6) przy czym ρ ij to współczynnik korelacji, wyznaczany na podstawie następującej formuły: (7)

WSPOMAGANIE DECYZJI - MIŁOSZ KADZIŃSKI LABORATORIUM II PROGRAMOWANIE CELOWE, ILORAZOWE I MIN-MAX. min. min

Modelowanie i Analiza Danych Przestrzennych

Kazimierz Myślecki. Metoda elementów brzegowych w statyce dźwigarów powierzchniowych

Laboratorium Metod Statystycznych ĆWICZENIE 2 WERYFIKACJA HIPOTEZ I ANALIZA WARIANCJI

Predyktywne harmonogramowanie projektów informatycznych

Zadanie 1. Dla ramy przestrzennej przedstawionej na rys. 1 wyznaczyć reakcje i sporządzić wykresy sił wewnętrznych. DANE

Przykład 3.1. Wyznaczenie zmiany odległości między punktami ramy trójprzegubowej

Modelowanie niezawodności i wydajności synchronicznej elastycznej linii produkcyjnej

BADANIE CHARAKTERYSTYKI DIODY PÓŁPRZEWODNIKOWEJ

ANALIZA INPUT - OUTPUT

21. WYBRANE WIADOMOŚCI Z MATEMATYKI

8. ANALIZA KINEMATYCZNA I STATYCZNA USTROJÓW PRĘTOWYCH

Transkrypt:

J. Wyrwał Wykłady z mechak materałów.. ETODA SIŁ... Wprowadzee etoda sł est prostą metodą rozwązywaa (obczaa reakc podporowych oraz wyzaczaa sł przekroowych) statycze ewyzaczaych (zewętrze wewętrze) układów prętowych. Istota metody poega a modyfkac statycze ewyzaczaego układu rzeczywstego czy pozbaweu go tyu adczbowych węzów e wyos stopeń ego statycze ewyzaczaośc. W otrzymaym w te sposób układze statycze wyzaczaym zwaym układem podstawowym w mesce myśowo usuętych węzów wstawamy ewadome sły zwae słam hperstatyczym abo adczbowym. Sły te są słam uogóoym czy słam skupoym w przypadku usuęca węzów uemożwaących przesuęce atomast mometam skupoym w przypadku usuęca węzów uemożwaących obroty. ozbawaąc rozpatryway układ adczbowych węzów musmy pamętać o tym aby pozostał o geometrycze ezmey. oeważ stee kka możwośc wyboru układu podstawowego to aeży wybrać te który zapewa ameszą pracochłoość obczeń. Naeży podkreść że wyk obczeń e zaeżą od przyętego układu podstawowego.... Układ rówań kaoczych metody sł Rozpatrzmy zatem układ prętowy krote statycze ewyzaczay. ozbawaąc te układ adczbowych węzów dostaemy układ podstawowy w którym w mesce usuętych węzów wstawamy sły hperstatycze K. oeważ pukty w których usuęto węzy mogą sę przemeszczać zatem w każdym z tych puktów możemy okreść przemeszczee uogóoe (przemeszczee ub obrót) K a kerukach okreśoych przez usuęte węzy. Każde take przemeszczee est fukcą sł hperstatyczych zadaego obcążea czy ( K ) () K Wykorzystuąc zasadę superpozyc możemy powyższą zaeżość zapsać w postac ( ) K ( ) ( ) ( ) ( ) K gdze ( ) est uogóoym przemeszczeem w pukce wywołaym słą hperstatyczą obcążeem zewętrzym. atomast ( ) przemeszczeem w pukce wywołaym Wykorzystuąc waruek zachowaa kematycze zgodośc układu rzeczywstego z układem podstawowym z którego wyka że przemeszczea uogóoe muszą być rówe zeru otrzymuemy układ rówań ()

( ) ( ) K () z którego możemy wyzaczyć ewadome wartośc sł adczbowych. oszczegóe rówaa powyższego układu są zsumowaym przemeszczeam a kerukach odrzucoych węzów. Do obczea przemeszczeń występuących w powyższym układze rówań wykorzystamy całkę ohra (..) w postac gdze ( ) ( ) ( ) dx ( ) dx K est mometem zgaącym wywołaym słą edostkową ( ) () mometem zgaącym wywołaym słą mometem zgaącym wywołaym obcążeem zewętrzym atomast est sztywoścą pręta przy zgau. Lowość fukc ( ) czy pozwaa zapsać zaeżośc () ako ( ) () ( ) ( ) K () odstawaąc () do rówań () dostaemy układ rówań kaoczych metody sł w astępuące postac: K () gdze est uogóoym przemeszczeem w pukce wywołaym słą edostkową przyłożoa w pukce atomast przemeszczeem w pukce wywołaym obcążeem zewętrzym. Czy perwszy deks przy symbou ozaczaącym przemeszczee okreśa ego mesce keruek wyzaczoy przez słę atomast drug okreśa przyczyę wywołuący to przemeszczee. Współczyk powyższego układu rówań obczamy ze wzorów

K () W przypadku koeczośc uwzgędea wpływu sł podłużych a przemeszczea uogóoe układu prętowego powyższe wzory przymuą postać N N EA N N K EA (9) gdze N est słą podłużą wywołaą słą edostkową przyłożoą w pukce N słą podłużą wywołaą obcążeem zewętrzym atomast EA est sztywoścą pręta przy rozcągau. Układ rówań kaoczych metody sł możemy też zapsać w postac macerzowe [ ]{ } { } { } gdze [ ] est macerzą podatośc układu. () rzykłady rzykład. Obczyć reakce oraz sporządzć wykresy sł przekroowych w przypadku bek o schemace statyczym wymarach obcążeu ak a rys... Rys.. Dae: E J Szukae: H V V T A A A B Rozwązae: Krok. Sprawdzamy stopeń statycze ewyzaczaośc bek Beka est edokrote statycze ewyzaczaa zatem układ rówań kaoczych metody sł () sprowadza sę do edego rówaa w postac Krok. odyfkuemy układ rzeczywsty przez odrzucee podpory B. Otrzymuemy w te sposób układ podstawowy w postac bek utwerdzoe w pukce A (e est to oczywśce eda możwośc doboru

układu podstawowego). Następe wstawamy w mesce odrzucoe podpory słę hperstatyczą rysuemy wykresy mometów zgaących (rys..) Rys.. Krok. Korzystaąc ze wzorów () oraz (..) obczamy potrzebe współczyk rówaa ( ) ( ) Krok. Obczamy słę hperstatyczą reakce podporowe odstawaąc powyższe współczyk do rówaa metody sł dostaemy Stąd VB VA A Krok. Sporządzamy wykresy sły poprzecze mometu zgaącego (rys..) Rys..

rzykład. Obczyć reakce oraz sporządzć wykresy sł przekroowych w przypadku ramy o schemace statyczym wymarach obcążeu ak a rys... Rys.. Dae: E J Szukae: H V H V N T A A A B B Rozwązae: Krok. Sprawdzamy stopeń statycze ewyzaczaośc ramy Rama est dwukrote statycze ewyzaczaa zatem układ rówań kaoczych metody sł () przyme postać Krok. odyfkuemy układ rzeczywsty przymuąc ako układ podstawowy ramę podpartą przegubowo w pukce A oraz podpartą przegubowo-przesuwe w pukce B (est to oczywśce eda z weu możwośc doboru układu podstawowego). Do podpory B przykładamy adczbową (ewadomą) słę atomast do podpory A adczbowy (ewadomy) momet zgaący (rys..). Rys.. Następe rysuemy wykresy mometów zgaących (rys..)

Rys.. Krok. Korzystaąc ze wzorów () oraz (..) obczamy potrzebe współczyk Krok. Rozwązuemy układ rówań obczamy sły hperstatycze oraz reakce podporowe odstawaąc powyższe współczyk do układu rówań metody sł dostaemy 9 ub w postac macerzowe Rozwązuąc powyższy układ rówań otrzymuemy Zatem reakce podporowe przymuą astępuące wartośc:

HA HB VA VB A Krok. Sporządzamy wykresy sł podłużych poprzeczych mometów zgaących (rys..) Rys.. Współrzędą waruku x o puktu w którym fukca mometów zgaących osąga maksmum wyzaczamy z xo x Zatem o x o max xo 9 Krok. Sprawdzamy poprawość uzyskaych wyków Sprawdzee poprawośc uzyskaych wyków poega a wykazau że w przypadku tych puktów układu rzeczywstego których przemeszczea są zae obczoe wartośc przemeszczeń są rówe wartoścom tam występuącym. rzemeszczee dowoego puktu K układu rzeczywstego obczamy ze wzoru K gdze est mometem zgaącym w układze rzeczywstym (statycze ewyzaczaym) atomast mometem zgaącym w dowoym układze podstawowym (statycze wyzaczaym) od sły edostkowe przyłożoe w mescu keruku poszukwaego przemeszczea. Naeży podkreść ż sprawdzeń tego typu est wee gdyż do obczeń możemy przyąć róże układu podstawowe. Sprawdzee aeży edak przeprowadzać a ym układze podstawowym ż przy wyzaczau ewadomych s hperstatyczych. rzymuąc ako układ podstawowy ramę podpartą przegubowo-przesuwe w pukce A oraz podpartą przegubowo w pukce B wyzaczymy przemeszczee pozome A podpory A w układze rzeczywstym (rys..).

Rys.. Wykorzystuąc wykres mometów zgaących w układze rzeczywstym (rys..) oraz wykres mometów zgaących od pozome sły edostkowe przyłożoe do podpory A (rys..) otrzymuemy A Rys.. Z powyższego wzoru wyka że uzyskae wyk są poprawe gdyż z uwag a utwerdzee ramy w tym mescu pukt A e może dozać przemeszczea pozomego. rzykład. Wyzaczyć reakce w przypadku ramy z przykładu przy e modyfkac układu rzeczywstego (przy ym układze podstawowym). Jako układ podstawowy przymemy tym razem ramę utwerdzoą w pukce A. rzykładaąc w mescu odrzucoe podpory B adczbowe (ewadome) sły (rys..) Rys.. otrzymuemy wykresy mometów zgaących ak a rys...

Rys.. Następe obczamy potrzebe współczyk odstawaąc powyższe współczyk do układu rówań metody sł dostaemy Rozwązuąc powyższy układ rówań otrzymuemy Wykorzystuąc powyższe sły hperstatycze w rówaach rówowag otrzymuemy astępuące wartośc reakc podporowych V V H H A B A B A Są oe detycze ak w przypadku układu podstawowego przyętego w przykładze czy potwerdzaą ezaeżość wyków obczeń od przyętego układu podstawowego. Zagadea a egzam. Omówć metodę sł; podać omówć układ rówań kaoczych metody sł.