Akwizycja i przetwarzanie sygnałów cyfrowych Instytut Teleinformatyki ITI PK Kraków 21 luty 2011
Reprezentacje sygnału Jak reprezentujemy sygnał: wybieramy sygnały wzorcowe (bazę) rozwijamy sygnał w wybranej bazie (sygnał kombinacja liniowa wektorów wzorcowych reprezentacja sygnału (w danej bazie) - podanie współczynników rozkładu (w tej bazie) wybór wzorców niejednoznaczny prowadzi do różnej jakości reprezentacji co to znaczy dobra jakość reprezentacji? taka, w której kilka współczynników wystarcza w której energia skupiona jest w kilku tylko składowych można zapisać tylko te znaczace skladowe, resztę zaniedbać łatwość kompresji Przykład - sygnał - wektor w R 2 ; naturalna baza to wektory e 0, e 1 : e 0 = ( ) 1, e 1 = 0 ( ) ( ) 0, a A = = ae 0 + be 1 1 b
Reprezentacje sygnału - c.d. Gdy sygnał wolno zmienny (skorelowany) - czyli a b (n.p. a = 52, b = 50 - obie składowe równie ważne, podobny wkład do energii gdy inny wybór bazy: f 0 = 1 ( ) 1, f 1 = 1 ( ) ( ) 1, 52 A = 2 1 2 1 50 energia - tu nie zależy od wyboru bazy, sposób jej koncentracji - tak = 102 2 f 1 + 2 2 f 1 podobnie - dla obrazów dwuwymiarowych. Przykład - obrazy 2x2: wybór bazy: gdy v i - baza sygnału jednowymiarowego w R 2, to â ij = v i vj T - baza w przestrzeni obrazów 2x2
Reprezentacje sygnału - 2-D wektory e 0, e 1 generuja bazę obrazów â ij : [ aˆ 00 = e 0 e0 T 1 0 = 0 0 [ aˆ 10 = e 1 e0 T 0 0 = 1 0 ] ] ( aˆ 01 = e 0 e1 T 0 1 = 0 0 [ aˆ 11 = e 1 e1 T 0 0 = 0 1 gdy weźmiemy wektory f 0, f 1 - dostaniemy zupełnie inne macierze bazowe: ˆbij = T f i fj w przestrzeni obrazów: [ ] [ ] bˆ 1/2 1/2 00 = bˆ 1/2 1/2 1/2 1/2 01 = 1/2 1/2 ) ] [ bˆ 1/2 1/2 10 = 1/2 1/2 ] [ bˆ 1/2 1/2 11 = 1/2 1/2 ]
Reprezentacje sygnału - 2-D wnioski reprezentacja wolno zmienego obrazu znacznie prostsza w bazie ˆb niż â; na przykład gdy dane to 52 53 52 51 to reprezentacje maja postać: baza â: [52 53 52 51], baza ˆb: [104 0 1 1] w drugim przypadku - koncentracja energi znakomita; możliwość kompresji danych zastosowanie liniowej transformacji podstawowy element kodowania transformacyjnego (np. JPEG) jak można uzyskać nowa reprezentację sygnału x na podstawie starej y? zawsze -jako wynik rozwiazania problem liniowego: Ax = y, czyli : x = A 1 y gdzie A - macierz zmiany bazy gdy bazy ortonormalne i mamy określony iloczyn skalarny - gwarancja zachowania energii i ułatwienie w odczytaniu składowych
Reprezentacje sygnału - baza DCT Realny przykład - baza DCT przestrzeń 8-mio wymiarowa (x 0,..., x 7 ) losowo wybrany obszar 8 x 8 zapis w bazie standardowej 105 110 103 116 108 110 109 107 113 108 106 109 108 107 112 109 112 116 106 108 106 107 110 109 109 102 104 109 110 106 105 115 110 101 105 109 107 108 110 109 107 106 102 112 108 107 108 108 105 113 106 105 109 108 108 117 107 106 105 107 109 106 113 111 współrzędne w bazie DCT 753 209 167 58 200 60 46 18 166 46 38 13 59 14 19 6
Reprezentacje sygnału - baza DCT 64
Reprezentacje sygnału - baza DCT 10
Reprezentacje sygnału - baza DCT 6
Przestrzenie sygnałów Potrzeba określenia własności matematycznych sygnałów Czego nam potrzeba? możliwosć pomiaru sygnału, określenia jego długości, odległości od innego, pomiar kata pomiędzy sygnałami własności metryczne możliwość manipulowania sygnałami: mnożenie sygnału przez liczbę, dodawania sygnałów, określenia sygnałów bazowych własności algebraiczne zupełność zbioru sygnałów (czy ciagi Couchy ego elementów zbioru sygnałów maja granice w tym zbiorze) Minimum własności metrycznych wyposażenie zbioru sygnałów w metrykę czyli funkcjonał, który każdej parze sygnałów x, y przypisze nieujemna liczbę rzeczywista (x, y) 0 o własnościach: (x, y) = 0 x = y (identyczność nierozróżnialnych) (x, y) = (y, x) symetria (x, z) (x, y) + (y, z) nierówność trójkata
Własności algebraiczne Przestrzeń sygnałów jest przestrzenia liniowa (wektorowa) gdy określimy dla niej dwie operacje: dodawanie sygnałów (opreacja "+") oraz mnożenia przez liczbę (operacja "*") o własnościach: przemienność dodawania: x + y = y + x łaczność dodawania: ((x + y) + z) = (x + (y + z)) łaczność mnożenia: (α(βx)) = ((αβ)x) rozdzielność mnożenia względem dodawania: (α(x + y)) = (αx + αy) oraz (α + β)x = (αx + βx) Przykłady przestrzeni liniowych sygnałów: Zbiór sygnałów o ograniczonej energii, z dołaczonym sygnałem zerowym. Jest to tzw. przestrzeń sygnałów (funkcji) całkowalnych z kwadratem i oznaczana L 2 Zbiór sygnałów okresowych o okresie T i ograniczonej energii z dołaczonym sygnałem zerowym oznaczenie: L 2 T zbiór sygnałów dyskretnych o ograniczonej energii z dołaczonym sygnałem zerowym. Jest to przestrzeń ciagów sumowalnych z kwadratem oznaczana przez l 2.
Liniowa niezależność, baza przestrzeni Niech X N = {x k (t) : k = 1, 2,..., N} zbiór N sygnałów z przestrzeni liniowej X. Wtedy każdy sygnał postaci: x(t) = N α k x k (t) - liniowa kombinacja sygnałów x k (t). k=1 Mówimy, że sygnały - elementy zbioru X N sa liniowo niezależne gdy znikanie kombinacji liniowej pociaga za soba zerowanie się wszyskich współczynników α k tej kombinacji Baza przestrzeni X nazywamy podzbiór B wektorów tej przestrzeni o własnościach: wektory w B sa liniowo niezależne zbiór B generuje cała przestrzeń (każdy wektor X da się zapisać jako liniowa kombinacja wektorów z B) przedstawienie każdego wektora jako kombinacji liniowej elementów bazy jest jednoznaczne
Norma, iloczyn skalarny Liniowa przestrzeń unormowana - przestrzeń liniowa wyposażona w normę odwzorowanie które każdemu sygnałowi x przypisuje nieujemną liczbę rzeczywista x normę tego sygnału o własnościach: x = 0 x = 0 αx = α x x + y x + y Możemy mieć metrykę wyznaczona (indukowaną) przez mormę: (x, y) = x y Iloczyn skalarny - odwozorowanie przypisujace uporzadkowanej parze sygnałów {x, y} liczbę < x, y > tak, że spełnione sa warunki: < x, y >=< y, x > < αx + βy, z >= α < x, z > +β < y, z > x 0 < x, x >> 0 x = 0 < x, x >= 0
Przestrzeń Hilberta sygnałów Przestrzeń unitarna - przestrzeń liniowa z iloczynem skalarnym, unormowanana przez normę zadana przez iloczyn skalarny: x = < x, x > Kat pomiędzy wektorami x i y: cos(ϕ xy ) = Re<x,y> x y dla przestrzeni rzeczywistych cos(ϕ xy ) = <x,y> x y dla przestrzeni zespolonych Przestrzeń Hilberta sygnałów - przestrzeń unitarna, zupełna metrycznie w sensie metryki określonej przez iloczyn skalarny Przykłady przestrzeni Hilberta sygnałów: L 2, L 2 T, l2 i iloczynami skalarnymi: < x, y > L 2= x(t)y (t)dt < x, y > L 2 T = 1 T T x(t)y (t)dt < x, y > l 2= x(n)y (n) 0
Bazy w przestrzeniach Hilberta sygnałów Niech X N = {x k (t) : k = 1, 2,..., N} - baza N-wymiarowej przestrzeni Hilberta sygnałów X (dopuszczamy N nieskończone). Taka bazę nazywamy: ortogonalna, gdy każde dwa różne elementy z X N sa ortogonalne (prostopadłe) oraz gdy w X nie istnieje niezerowy sygnał prostopadły do wszystkich x k (t) z X N ortonormalna, gdy jest ortogonalna i normy wszystkich wektorów bazowych sa równe 1 Nie w każdej przestrzeni Hilberta istnieje baza ortogonalna. Przestrzeń, która na to pozwala nazywamy ośrodkowa (przeliczalnie gęsta) Majac zbiór liniowo niezależnych wektorów - bazę w ośrodkowej przestrzeni Hilberta możemy uzyskać bazę ortonormalna przy pomocy iteracyjnej procedury Gramma-Schmidta