4. Właściwości eksploatacyjne układów regulacji 4.1. Wprowadzenie Zu () s Zy ( s ) Ws () Es () Gr () s Us () Go () s Ys () Vs () Hs () Rys. 4.1. Schemat blokowy układu regulacji z funkcjami przejścia 1
Na układ działają następujące sygnały: 1) Sygnał wymuszający w(t), 2) Sygnał zakłócający na wejściu obiektu z u (t), 3) Sygnał zakłócający na wyjściu obiektu z y (t). W teorii sterowania stosuje się następujące postaci czasowe wymienionych sygnałów: 1) Sygnał skokowy, 2) Sygnał liniowy, 3) Sygnał paraboliczny. Sygnał skokowy jest często stosowany, gdyż ma dwie zalety: 1) Opisany jest stosunkowo prostą funkcją, 2) Stwarza układom duże trudności regulacyjne. 2
Dla skokowego sygnału wymuszającego w(t) lub skokowego zakłócenia z y (t) dla większości obiektów można otrzymać charakterystykę czasową sygnału uchybu: ε w, ε zy ε m1 Δ r ε m2 Δ r ε s 0 t r t Rys. 4.2. Sygnał uchybu dla skokowego wymuszenia w(t) lub zakłócenia z y (t) 3
0. 8 0. 7 0. 6 0. 5 0. 4 0. 3 0. 2 0. 1 0 0 5 10 15 20 25 30 Dla skokowego zakłócenia z u (t) dla większości obiektów można otrzymać charakterystykę czasową sygnału uchybu: y 0. 9 m2 ust r r m1 s t r t Rys. 4.3. Sygnał uchybu dla skokowego zakłócenia z u (t) 4
1. 4 1. 3 1. 2 1. 1 1 0. 9 0. 8 0. 7 0 5 10 15 20 25 30 Przykład przebiegu sygnału uchybu dla kilku zakłóceń w układzie: m1 ust r r m2 s t r t 5
Na podstawie powyższych wykresów określamy następujące właściwości eksploatacyjne układów regulacji: właściwość statyczną, obowiązującą w stanie ustalonym, nazywaną inaczej uchybem ustalonym lub statycznym, oznaczaną jako s właściwości dynamiczne, obowiązujące w stanie nieustalonym, czyli: przeregulowanie, nazywane maksymalną nadwyżką dynamiczną i zapisane wzorem m2 m1 100,% czas regulacji t r przy zadanym odchyleniu regulacji Δ r wynoszącym przeważnie (2-5)% ε m1. 6
4.2. Zasada superpozycji Zasada superpozycji stosowana jest w analizie i syntezie liniowych układów regulacji. Brzmi ona następująco Reakcja układu liniowego na sumę sygnałów jest równa sumie reakcji na każdy sygnał osobno. 7
4.3. Sygnał uchybu i uchybowe funkcje przejścia układów regulacji Zu () s Zy ( s ) Ws () Es () Gr () s Us () Go () s Ys () Vs () Hs () Rys. 4.1. Schemat blokowy układu regulacji z funkcjami przejścia 8
Schemat blokowy układu regulacji można narysować w innej postaci, mianowicie takiej, aby sygnał uchybu był wyjściem Ws () Es () Hs () G s o( ) G s r( ) Zy( s) Zu( s) Rys. 4.4. Przekształcony (narysowany inaczej) schemat blokowy układu regulacji etap 1 9
Po przesunięciu węzłów sumacyjnych do jednego miejsca otrzymamy Z s y( ) Z s u( ) Hs () H( s) Go ( s) Ws () + + + Es () H( s) G ( s) G ( s) r o Rys. 4.5. Przekształcony schemat blokowy układu etap 2 10
Korzystając z zasady superpozycji zapiszemy transformatę sygnału uchybu w postaci E E w E zu E zy gdzie: E w transformata uchybu dla sygnału W, E zu transformata uchybu dla sygnału Z u, E zy transformata uchybu dla sygnału Z y, Transformaty składowe wynoszą: E w G w W E G zu zu Z u E G zy zy Z y 11
gdzie: G εw uchybowa funkcja przejścia przy niezerowym sygnale W i pozostałych sygnałach zerowych, G εzu uchybowa funkcja przejścia przy niezerowym sygnale Z u i pozostałych sygnałach zerowych, G εzy uchybowa funkcja przejścia przy niezerowym sygnale Z y i pozostałych sygnałach zerowych. Zatem E G w W G zu Z u G zy Z y 12
Na podstawie rysunku 4.5 wyznaczamy transmitancje uchybowe G G G w zu zy 1 ( s ) ( s ) 1 1 1 HG r G HGo HG G H HG G r r o o o 13
Wobec tego ostatecznie otrzymamy E 1 1 1 1 HG G HGo HG G H HG G r r r o o o W Z Z u y 14
Przykład 4.1 Dla układu o podanym schemacie blokowym wyznaczyć charakterystyki czasowe układu: sygnał uchybu ε(t) i sygnał wyjściowy y(t) jeżeli: 1. W chwili t = 0 układ został poddany działaniu skokowego sygnału wymuszającego w(t) = A w *1(t), 2. W chwili t = 5 [s] wystąpiło skokowe zakłócenie z u (t 5) = A zu *1(t - 5). 15
Ws () Es () Z s u( ) Go( s) Ys () K z Rys. 4.6. Schemat blokowy układu z sygnałem wymuszającym i zakłóceniem po stronie wejścia obiektu 16
Przyjąć następujące dane: G o (T s 1 K 1)(T 2 s 1) K T 1 A w 6, 1 [s], 0.5, K T A z 2 zu 0.5, 0.5 [s], 0.2, Rozwiązanie Możliwe są dwie metody rozwiązania zadania: 1) konwencjonalna, 2) numeryczna zastosowana poniżej. 17
Clock To Workspace t e zu Sum Transfer Fcn w + e - 6 s+1 1 0.5s+1 y y Step Input Gain 0.5 Rys. 4.7. Schemat blokowy do badań symulacyjnych 18
e, y Polecenie rysujące wykres: plot(t,e, g,t,y, r ), grid 0.9 0.8 y 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 e 0.0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Czas [s] Rys. 4.8. Sygnał uchybu i sygnał wyjściowy układu 19
4.4. Dokładność statyczna układów regulacji 4.4.1. Dokładność statyczna przy skokowym sygnale sterującym Dla niezerowego sygnału wymuszającego W i zerowych sygnałów zakłócających transformata sygnału uchybu wynosi 20
Ponieważ Ostatecznie E G w w Gw W 1 1 HG G W E w A s w s 1 r o Aw HG G r o 21
Uchyb statyczny Czyli sw sw lim (t) lim se t lim s 0 w 1 s0 A HG w r w G o Mamy dwa przypadki usytuowania członu całkującego: 1) funkcja przejścia w układzie otwartym nie zawiera członu całkującego, czyli będą to układy klasy 0 (statyczne), 2) funkcja przejścia w układzie otwartym zawiera człony całkujące, czyli będą to układy wyższych klas (astatyczne). 22
Przypadek 1 Funkcje przejścia G r K e G o (T s 1 K 1)...(T m s 1) H K z Zatem sw lim s 0 1 (T s 1 Aw KeKK 1)...(T z m s 1) 1 Aw K KK e z 23
Jak widać Układy klasy 0 (statyczne) odtwarzają w stanie ustalonym skokowy sygnał wymuszający z niezerowym błędem. 24
Przykładowa odpowiedź takiego układu na skokowy sygnał wymuszający w,y w ε sw y 0 t Rys. 4.9. Porównanie sygnału wymuszającego i odpowiedzi układu klasy 0 z jednostkowym sprzężeniem zwrotnym 25
Przypadek 2 Funkcje przejścia G r K e G o s(t s 1 K 1)...(T m s 1) H K z sw lim s 0 1 s(t s 1 Aw KeKKz 1)...(T m s 1) 0 26
Wniosek Układy klasy 1 (astatyczne pierwszego rzędu) odtwarzają w stanie ustalonym skokowy sygnał wymuszający w sposób bezbłędny. 27
Przykładowa odpowiedź takiego układu na skokowy sygnał wymuszający w,y y w ε sw =0 0 t Rys. 4.10. Porównanie sygnału wymuszającego i odpowiedzi układu klasy 1 z jednostkowym sprzężeniem zwrotnym 28
4.4.2. Podsumowanie wyników analizy dokładności statycznej dla różnych sygnałów wymuszających Tabela 4.1 Wartości uchybu statycznego i ustalonego układów różnych klas dla różnych sygnałów wymuszających w(t) Klasa układu Uchyb statyczny Uchyb ustalony Uchyb ustalony 0 1 0 A w 1 KeKK z A w K ekk z 2 0 0 A w K KK ee z z 29
Uwagi końcowe Na podstawie tabeli 4.1 można sformułować uwagi: 1. Dla osiągnięcia wysokiej dokładności statycznej, czyli bezbłędnego odtwarzania skokowego sygnału wymuszającego, układy regulacji powinny mieć wysoką klasę np. 1, 2 lub nawet wyższą. 2. Układy klas wyższych niż 1 są strukturalnie niestabilne, co oznacza, że uzyskanie stabilności układów na drodze zmian współczynników transmitancji jest niemożliwe. Stabilność można uzyskać tylko przez zmianę struktury, czyli przez wprowadzenie specjalnych członów do układów regulacji. 30
Wniosek Tak więc projektant układów regulacji ma pole manewru ograniczone najczęściej do klasy 1. 31
4.4.3. Dokładność statyczna przy skokowym sygnale zakłócającym na wejściu obiektu Dla niezerowego sygnału zakłócającego Z u i zerowych pozostałych sygnałów otrzymamy E zu G zu Z u G Z E zu u zu HGo 1 HG G A s zu r o AzuHGo s(1 HG G r o ) 32
Wtedy Czyli szu szu lim t zu (t) lim se s0 zu AzuHGo lim s 0 1 HG G r o Rozważymy trzy przypadki usytuowania członu całkującego: 1) funkcja przejścia w układzie otwartym nie zawiera członu całkującego, 2) człon całkujący jest w bloku położonym na prawo od węzła sumacyjnego przyjmującego sygnał Z u, czyli w obiekcie regulacji, 3) człon całkujący jest w bloku położonym na lewo od węzła sumacyjnego przyjmującego sygnał Z u, czyli w regulatorze. 33
Przypadek 1 Niech funkcje przejścia wyniosą: G r K e G o (T s 1 K 1)...(T m s 1) H K z Wtedy szu lim s 0 A zu 1 KK z (T1s 1)...(T KeKK z (T s 1)...(T 1 m m s 1) s 1) AzuKK z 1 K KK e z 34
Wniosek Układy klasy 0 (statyczne) nie mogą kompensować w stanie ustalonym skutków skokowego sygnału zakłócającego z u działającego na wejściu obiektu. Wniosek ten można zilustrować następującą charakterystyką skokową układu regulacji 35
z u 0 t -A zu y zu 0 t Rys. 4.12. Sygnał zakłócający na wejściu obiektu i odpowiedź układu 36 klasy 0
Przypadek 2 Niech funkcje przejścia wyniosą: G r K e G o s(t s 1 K 1)...(T m s 1) H K z Wtedy szu lim s 0 A zu 1 KK z s(t1 s 1)...(T KeKK z s(t s 1)...(T 1 m m s 1) s 1) A K zu e 37
Wniosek Układy klasy 1 (astatyczne pierwszego rzędu), zawierające człon całkujący w obiekcie regulacji, nie mogą skompensować w stanie ustalonym skutków skokowego zakłócenia z u działającego na wejściu obiektu. Wniosek ten można zilustrować następującą charakterystyką skokową układu regulacji 38
z u 0 t -A zu y zu 0 t Rys. 4.12a. Sygnał zakłócający na wejściu obiektu i odpowiedź układu 39 klasy 1 z całkowaniem w obiekcie
Przypadek 3 Niech funkcje przejścia wyniosą obecnie: G G r o K s e (T s 1 K 1)...(T m s 1) H K z Wtedy szu lim s 0 A zu 1 KK z (T1 s 1)...(T KeKK z s(t s 1)...(T 1 m m s 1) s 1) 0 40
Wniosek Układy klasy 1 (astatyczne pierwszego rzędu), zawierające człon całkujący w regulatorze, są zdolne w stanie ustalonym do kompensacji skutków zakłócenia z u działającego na wejściu obiektu. Wniosek ten można zilustrować następującą charakterystyką skokową układu regulacji 41
z u 0 t -A zu y zu 0 t Rys. 4.13. Sygnał zakłócający na wejściu obiektu i odpowiedź układu 42 klasy 1 z całkowaniem w regulatorze
4.4.4. Podsumowanie wyników analizy dokładności statycznej dla różnych sygnałów zakłócających na wejściu obiektu Tabela 4.2. Wartości uchybu statycznego i ustalonego układów różnych klas z u (t) Klasa układu Uchyb statyczny Uchyb ustalony Uchyb ustalony 0 1 0 A zukk z 1 KeKK z A 2 0 0 K zu e A A K K zu zu e e 43
Uwagi końcowe Na podstawie tabeli 4.2 można sformułować uwagi: 1. Dla osiągnięcia wysokiej dokładności statycznej, czyli całkowitej kompensacji skutków skokowego sygnału zakłócającego na wejściu obiektu, układy regulacji powinny mieć wysoką klasę w regulatorze np. 1, 2 lub nawet wyższą. 2. Układy klas wyższych niż 1 są strukturalnie niestabilne, co oznacza, że uzyskanie stabilności układów na drodze zmian współczynników transmitancji jest niemożliwe. Stabilność można uzyskać tylko przez zmianę struktury, czyli przez wprowadzenie specjalnych członów do układów regulacji. 44
Wniosek Tak więc projektant układów regulacji ma pole manewru ograniczone najczęściej do klasy 1 w regulatorze. 45
Zadanie domowe Wykonać analizę dokładności statycznej przy skokowym sygnale zakłócającym na wyjściu obiektu regulacji 46
4.5. Dokładność dynamiczna układów regulacji Przeregulowanie i czas regulacji oceniamy dwiema metodami: 1) metodą dokładną, 2) metodą przybliżoną. 47
4.5.1. Metoda dokładna oceny właściwości dynamicznych Przeregulowanie y y m1 m0 100,% Czas regulacji t r określa się przy zadanym odchyleniu regulacji Δ r wynoszącym przeważnie (2 5)% y m0 48
y y m1 Δ r y m0 Δ r 0 t r t Rys. 4.15. Charakterystyka skokowa układu 49
4.5.2. Ocena właściwości dynamicznych na podstawie zapasu stabilności Przybliżona funkcja przejścia układu zamkniętego wynosi G z T 2 z s 2 Ku 2 T z z s 1 Tabela 4.3. Zależność zapasu fazy i przeregulowania od liczby tłumienia członu drugiego rzędu 1 z 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 2, % 72.9 52.7 37.2 25.4 16.3 9.5 4.6 3 t r /T z 34.8 16.8 10.9 8.1 7.3 5.7 5.5 4, o 14 27 38 48 55 60 64 5 M r 5.03 2.55 1.75 1.36 1.15 1.04 1.00 6 r t r 21.5 14.3 9.5 7.0 5.3 4.0 3.0 50
W drugim wierszu tabeli podano wartości przeregulowania, które można odczytać na podstawie: liczby tłumienia dominujących pierwiastków zespolonych z pierwszego wiersza, zapasu fazy z czwartego wiersza, amplitudy rezonansowej z piątego wiersza. Czas regulacji można obliczyć posługując się danymi: w trzecim wierszu t r t T r z T z w szóstym wierszu t r t t r r r r r 51
W sytuacji, gdy przeregulowanie będzie nie wskazane należy zastosować projektowanie przy dominującym podwójnym pierwiastku rzeczywistym, który prowadzi do transmitancji: G z (T z Ku s 1) 2 Z właściwości członu inercyjnego drugiego rzędu, o powyższej transmitancji wynika, że: t T r z 0 5.5 52
Przykład 4.5 Wyznaczyć przeregulowanie i czas regulacji odpowiedzi układu o podanym schemacie blokowym na skokowy sygnał wymuszający stosując metodę dokładną i przybliżoną. Wz () s H( s) G( s) Ys () Rys. 4.16. Schemat blokowy układu 53
Transmitancja w układzie otwartym wynosi HG s(t 1 s KK z 1)(T 2 s 1) Dane liczbowe KK T T 1 2 A w r z 0.4, 2 [s], 1 [s], 1, 2%y m0. 54
Rozwiązanie Metoda dokładna t + 1 s 0.4 2s+1 1 s+1 y Rys. 4.17. Schemat blokowy układu w Simulinku 55
1.4 1.2 1.0 0.8 y 0.6 0.4 0.2 0.0 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 Czas [s] Rys. 4.18. Odpowiedź układu na skokowy sygnał wymuszający 56
Z charakterystyki skokowej układu odczytano: r 30.3 %, t 28 [s]. 57
Metoda przybliżona W metodzie przybliżonej wykorzystamy funkcję margin, która powadzi do wyniku: Kd=3.75, gamma=39.55º, omega_pi=0.71 [1/s], omega_fi=0.32 [1/s]. Stąd: 34.8 %, t t r r r 9, 28.1 [s] W pokazanym przykładzie otrzymano wysoką zgodność oszacowania czasu regulacji i dość dobrą oszacowania przeregulowania. 58