Artykuł Stefana Banacha o Prawie Najwyższym Józefa Hoene-Wrońskiego

Transkrypt

1 HOENE- WROŃS KI ŻYCIE, MA TEMA TYKA I FILOZOFIA Artykuł Stefana Banacha o Prawe Najwyższym Józefa Hoene-Wrońskego Paweł Domańsk Streszczene Nnejsza praca zawera omówene artykułu Stefana Banacha z roku 1939 pośwęconego autorskej wersj Prawa Najwyższego oraz próbę wyjaśnena jego zawartośc na tle w termnach współczesnej analzy funkcjonalnej. 1. Wstęp Praca Józefa Hoene-Wrońskego o Prawe Najwyższym wzbudzła zanteresowane, które ne wygasało z upływem lat. Psze o tym Samuel Dcksten, który przeanalzował ją w roku 1890 w artykule [7], a za pośrednctwem tej z kole pracy w 1939 roku zajął sę Prawem Najwyższym chyba najwybtnejszy polsk matematyk Stefan Banach [3]. W omawanej pracy Banach ne odwołuje sę bezpośredno do orygnalnych prac Hoene-Wrońskego jednak, jak wynka z zameszczonego w tym tome artykułu P. Pragacza, mał do nch dostęp. Mom zdanem Banach był specjalne predestynowany do głębszego zrozumena zmodernzowana de Hoene-Wrońskego. To matematyk na wskroś nowoczesny jego prace są dzś doskonale czytelne, po naprawde drobnych zmanach w termnolog, mogłyby uchodzć za prace współczesne. Wdać to szczególne, patrząc na standardy w zakrese ścsłośc, precyzj, stylu dowodzena tp. Mógł węc Banach przekształcć mgławcowe dee z początków XIX weku w precyzyjne, dające sę udowodnć twerdzena. Hoene-Wrońsk na przykład w ogóle ne mów o zbeżnośc, podczas gdy dla Banacha to główne zagadnene. Ale to ne jedyny powód, dla którego Banach był odpowedną osobą na odpowednm mejscu był on zapewne jednym z newelu matematyków końca lat 30-tych dwudzestego weku, który mógł w pełn użyć języka metod analzy funkcjonalnej. Mnęło zaledwe 8 lat od ukazana sę fundamentalnej ksążk Banacha Teorja operacyj, tom I. Operacje lnowe [1], będącej perwszym systematycznym wykładem tego języka tych metod. Mnęło 7 lat od opublkowana wersj francuskej [2] (wersj, a ne dokładnego tłumaczena, różnła sę ona bowem układem neznaczne zawartoścą), która

2 74 P. Domańsk odegrała welką rolę w rozwoju młodej dzedzny analzy, m.n. dzęk temu, ż zawerała wele podstawowych dla rozwoju analzy funkcjonalnej pytań. Banach dostrzegł, że Prawo Najwyższe Hoene-Wrońskego to fakt z analzy funkcjonalnej, który może pownen być wyrażony w jej języku równeż mom zdanem najbardzej adekwatnym. W tym mejscu trzeba by w końcu zaspokoć cekawość czytelnka krótko wyjaśnć, o czym mów Prawo Najwyższe. Jest to pewna metoda znajdywana współczynnków skalarnych α rozwnęca dowolnej funkcj f względem danego dowolnego cągu funkcj (x ) N w tym sense, że f = α x. Jak już wspomnałem, autor tej de ne zaprzątał sobe głowy zbeżnoścą szeregu, ale we współczesnym przedstawenu ( oczywśce u Banacha) mus to być zagadnene centralne. W dalszej częśc pracy przedstawę wynk Banacha skomentuję jego znaczene, zakres stosowalnośc zawarte tam dee, a także ch zwązek z pewnym późnej rozwnętym pojęcam analzy funkcjonalnej. Cóż dowadujemy sę stąd o dzele samego Józefa Hoene-Wrońskego? Przede wszystkm deę Prawa Najwyższego dało sę przekuć w ścśle sformułowane twerdzene (co dla mne jest ostatecznym dowodem jej matematycznośc ), a po druge dokonał tego matematyk, którego welkość jest oczywsta co dla nedowarków może być pośredną zachętą do przyjrzena sę tej de. Czy odegrała ona dużą rolę w dalszym rozwoju matematyk? Tu odpowedź jest trudnejsza mam zbyt małą wedzę hstoryczną, aby odpowedzeć na take pytane w odnesenu do okresu przed artykułem Banacha. Jeśl chodz o okres późnejszy, to ne są m znane żadne przypadk cytowana pracy Banacha (co ne jest z pewnoścą dowodem zupełnego zapomnena tej pracy). Ilu matematyków ją czytało? Jest ona newątplwe łatwo dostępna w zborowym wydanu dzeł Banacha [4, str ]. Omawana praca jest krótka składa sę z trzech częśc: (1) wprowadzena używanych pojęć; (2) sformułowana dowodu Prawa Najwyższego ; (3) przykładów. W takej też kolejnośc będzemy ją omawać. Przez (α ) N będzemy zawsze oznaczać dowolny cąg skalarów. Pojęca newyjaśnone można znaleźć np. w monograf [12]. 2. Przestrzene o własnośc (A) Aby móc korzystać z zupełnośc konsekwencj twerdzena Bare a dla nezupełnych przestrzen unormowanych, Banach wprowadza specjalną klasę przestrzen spełnających własność (A). Poneważ dla ustalonego cągu wektorów

3 Artykuł S. Banacha o Prawe Najwyższym J. Hoene-Wrońskego 75 (x ) w przestrzen Banacha E ne można oczekwać, aby cała przestrzeń E składała sę z sum postac α x, naturalne pojawają sę podprzestrzene nezupełne. Wprowadzona klasa przestrzen potrzebna jest m.n. po to, aby uzyskać zbeżność rozpatrywanych szeregów w na ogół nezupełnej przestrzen unormowanej. Banach formułuje swoje wynk dla przestrzen Banacha przestrzen unormowanych, wydaje m sę jednak, że właścwsze ramy stanow klasa przestrzen lokalne wypukłych, dla nch będę defnował wprowadzone pojęca. Defncja 2.1. Przestrzeń lokalne wypukła E ma własność (A), gdy dla każdego cągu (x ) N E stneje cąg (M ) N dodatnch lczb rzeczywstych tak, że dla każdego cągu skalarów (α ) N zachodz warunek: jeśl α M <, to szereg α x jest zbeżny w przestrzen E. Banach podaje w sposób jawny tylko jeden przykład przestrzen z własnoścą (A) przestrzeń Banacha, ale z jego pracy można takch przykładów wysnuć węcej (por. [3, Satz 1]). Twerdzene 2.2. Następujące przestrzene mają własność (A): (1) Przestrzeń Banacha. (2) Przestrzeń Frécheta (= metryzowalna zupełna przestrzeń lokalne wypukła). (3) Obraz cągły lnowy przestrzen z własnoścą (A). (4) Dowolna przestrzeń lokalne wypukła posadająca mocnejszą od orygnalnej topologę przestrzen Banacha, Frécheta lub, ogólnej, z własnoścą (A). (5) Podprzestrzeń domknęta przestrzen lokalne wypukłej z własnoścą (A). (6) Przekrój cągu przestrzen z własnoścą (A). Dowód. (1) Weźmy M := x ; wówczas α x α M <. Zatem szereg α x jest nawet bezwzględne zbeżny w rozpatrywanej przestrzen Banacha E, jeśl tylko α M <. (2) Nech topologa przestrzen Frécheta E będze określona przez cąg półnorm n, n N. Zdefnujmy M := max 1 n x n. Wtedy podobne jak w przypadku (1) można udowodnć, że szereg α x jest bezwzględne zbeżny (tj. α x n jest zbeżny dla każdego n N), o le tylko α M <. (3) Załóżmy, że T : Y X jest surjektywnym operatorem lnowym cągłym, a X Y są przestrzenam lokalne wypukłym. Dodatkowo załóżmy, że Y ma własność (A). Weźmy teraz dowolny cąg (x ) N X; wówczas dla każdego N stneje wektor y Y tak, że Ty = x. Z własnośc (A) otrzymamy cąg lczb rzeczywstych dodatnch (M ) N tak, że jeśl α M <, to szereg

4 76 P. Domańsk α y jest zbeżny w Y. Wówczas równeż szereg α x = α Ty jest zbeżny. (4) Wystarczy zastosować punkt (3) powyżej do operatora dentycznoścowego na rozpatrywanej przestrzen z dwema różnym topologam (por. punkty (1) (2)). (5) Oczywste. (6) Nech (X n ) n N bedze cągem posadających własność (A) podprzestrzen wekszej przestrzen lokalne wypukłej. Oznaczmy X := n X n. Nech (x ) X. Z własnośc (A) dla każdego n N stneje cąg dodatnch lczb rzeczywstych (M n) N tak, że jeśl α M n <, to szereg α x jest zbeżny w X n. Łatwo zauważyć, że cąg (M ) N, gdze M := max 1 n M n, spełna warunk z defncj własnośc (A) dla cągu wektorów (x ) N w przestrzen X. W powyższym dowodze ne przypadkem pojawa sę zbeżność bezwzględna. Następne twerdzene (dla unormowanych przestrzen E udowodnone w analzowanej pracy Banacha) wykorzystuje typową deę Banacha, a dzś powedzelbyśmy: jeden z typowych chwytów analzy funkcjonalnej. Twerdzene 2.3 (por. [3, Satz 2 a]). Nech (x ) N będze cągem elementów w dowolnej zupełnej przestrzen lokalne wypukłej E, a (M ) N dowolnym cągem lczb dodatnch. Następujące warunk są równoważne: (1) Dla każdego cągu skalarów (α ) N, jeśl szereg α M jest zbeżny, to szereg α x jest zbeżny w E. (2) Dla każdej półnormy cągłej p na E stneje stała K p taka, że dla każdego cągu skalarów (α ) N zachodz nerówność ( ) p α x K p α M. (3) Cąg (x /M ) N jest ogranczony. (4) Dla każdego cągu skalarów (α ) N, jeśl szereg α M jest zbeżny, to szereg α x jest bezwzględne zbeżny w przestrzen E. Dowód. (1) (2). Defnujemy przestrzeń Banacha { H := l 1 ((M ) N ) := α = (α ) : α := } α M <. Ponadto defnujemy cągłe operatory lnowe U n : H E, n U n ((α ) N ) := α x. Na mocy warunku (1) cąg U n jest punktowo zbeżny, a z twerdzena Banacha Stenhausa wynka, że granca jest cągłym operatorem lnowym U : H E, U((α ) N ) = α x. Z cągłośc U natychmast wynka warunek (2). Implkacje (2) (3) (4) (1) są oczywste. =1

5 Artykuł S. Banacha o Prawe Najwyższym J. Hoene-Wrońskego 77 Przyglądając sę neco uważnej dowodow mplkacj (1) (2), zauważymy, że udowodnlśmy faktyczne (zupełność, lub tylko lokalna zupełność por. defncję nżej, jest potrzebna tylko w mplkacj (3) (4)): Wnosek 2.4 (por. [3, Satz 3]). Nech (x ) N E będze cągem wektorów w przestrzen lokalne wypukłej E, a (M ) N cągem lczb dodatnch takm, że jeśl szereg α M jest zbeżny, to szereg α x jest zbeżny w przestrzen E. Wówczas przestrzeń { L := α x : } α M < E jest cągłym obrazem lnowym przestrzen Banacha, a zatem posada własność (A). Innym słowy, cąg (x ) N jest zawarty w podprzestrzen o własnośc (A). Używając współczesnej termnolog, należałoby sę odwołać do pojęca dysku Banacha. Defncja 2.5. Ogranczony zbór absolutne wypukły nazywamy dyskem. Dysk B w przestrzen lokalne wypukłej E nazywamy dyskem Banacha, jeśl przestrzeń unormowana E B zdefnowana jako powłoka lnowa zboru B wyposażona w normę x B := nf{λ : x/λ B} jest zupełna, a zatem jest przestrzeną Banacha. Łatwo zauważyć, że K B (0, 1) B K B (0, 1), gdze K B, K B to odpowedno kula otwarta kula domknęta w przestrzen E B. Zatem dysk Banacha to prawe cągłe obrazy lnowe kul jednostkowych w przestrzenach Banacha: Wnosek 2.6. Dysk B jest dyskem Banacha wtedy tylko wtedy, gdy stneje cągły obraz lnowy C kul jednostkowej w przestrzen Banacha tak, że C B 2C. Węcej o dyskach Banacha znajdze Czytelnk w [16, Ch. 3.2]. Wnosek 2.7. Nech E będze dowolną przestrzeną lokalne wypukłą. Następujące warunk są równoważne: (1) Przestrzeń E ma własność (A). (2) Każdy cąg elementów przestrzen E jest zawarty w cągłym obraze lnowym przestrzen Banacha zawartym w przestrzen E. (3) Każdy cąg elementów przestrzen E jest zawarty w powłoce lnowej dysku Banacha. (4) Każdy cąg elementów przestrzen E jest zawarty w cągłym obraze lnowym przestrzen Frécheta zawartym w przestrzen E.

6 78 P. Domańsk Dowód. (1) (2). Wnosek 2.4. (2) (3) (4). Oczywste (por. wnosek 2.6). (4) (1). Twerdzene 2.2. Banach chyba ne zastanawał sę, jake przestrzene unormowane mają własność (A) (przynajmnej ne ma po tym śladu w jego pracy); powyższy wnosek w pewnym sense odpowada na to pytane. W szczególnośc mplkuje on, że przestrzeń z własnoścą (A) może być albo skończene wymarowa, albo neprzelczalne wymarowa (podobne jak przestrzene Banacha). Warto jednak zauważyć, że stneją przestrzene unormowane o własnośc (A), które ne są cągłym obrazam lnowym przestrzen Banacha. Dowód. Weźmy np. przestrzeń Frécheta cągów szybko malejących do zera, { s := x = (x ) : k N, x k := } x n k <. Oczywśce przestrzeń s jest w sposób cągły zanurzona w przestrzeń Banacha l cągów ogranczonych, wyposażona w jej normę, jest przestrzeną unormowaną. Z twerdzena 2.2 wynka, że s ma własność (A), ale wobec twerdzena o domknętym wykrese ne może być cągłym obrazem lnowym przestrzen Banacha. Okazuje sę, że własność (A) jest blsko zwązana z tzw. lokalną zupełnoścą. Defncja 2.8. Cąg (x ) N w przestrzen lokalne wypukłej E jest lokalne cągem Cauchy ego (lokalne zbeżny), o le stneje dysk B w E tak, że (x ) jest cągem Cauchy ego (cągem zbeżnym) w E B. Cąg (x ) N jest szybko zbeżny, jeśl stneje dysk Banacha B E tak, że cąg (x ) N jest zbeżny w E B. Przestrzeń E jest lokalne zupełna, jeśl każdy cąg lokalne Cauchy ego jest lokalne zbeżny. Porównajmy teraz wnosek 2.7 z ponższym faktem: Twerdzene 2.9 ([16, Prop ]). Przestrzeń lokalne wypukła E jest lokalne zupełna wtedy tylko wtedy, gdy każdy cąg ogranczony w E jest zawarty w pewnym dysku Banacha. Stąd z wnosku 2.7 otrzymujemy natychmast: Wnosek Lokalne zupełna przestrzeń lokalne wypukła E ma własność (A) wtedy tylko wtedy, gdy dla każdego cągu (x ) N E stneje cąg dodatnch skalarów (M ) N tak, że cąg (x /M ) N jest ogranczony w przestrzen E. Z drugej strony, żadna unormowana przestrzeń nezupełna z własnoścą (A) ne jest lokalne zupełna (por. [16, Cor ]). Co węcej, oczywśce zupełne

7 Artykuł S. Banacha o Prawe Najwyższym J. Hoene-Wrońskego 79 LB-przestrzene, np. przestrzene dualne do dowolnej przestrzen nuklearnej Frécheta, z slną topologą, ne mają własnośc (A). Wnosek Szereg spełnający założena wnosku 2.4 jest szybko zbeżny. Warto porównać powyższy wnosek ze znanym faktem mówącym, że każda E-wartoścowa funkcja holomorfczna (gdze E jest przestrzeną lokalne wypukłą, cągowo zupełną) rozwja sę lokalne w szereg Taylora zbeżny ne tylko w przestrzen E, ale także szybko, tzn. dla każdego punktu x z dzedzny funkcj stneje dysk Banacha B tak, że szereg Taylora funkcj wokół x jest zbeżny w E B (por. [6]). Dysk Banacha okazały sę doskonałym narzędzem współczesnej teor przestrzen lokalne wypukłych jej nowoczesnych zastosowań (np. teor równań różnczkowych, analzy fourerowskej,... ). Przypomnjmy jeszcze jedną defncję [12]: Defncja Przestrzeń lokalne wypukła E jest ultrabornologczna, jeśl każdy absolutne wypukły zbór U E pochłanający wszystke dysk Banacha (tj. tak, że dla każdego dysku Banacha B E stneje stała C, dla której B CU) jest otoczenem zera w E. Przykładam przestrzen ultrabornologcznych są wszystke przestrzene Frécheta ch przelczalne grance nduktywne (np. przestrzene funkcj holomorfcznych lub gładkch ze zwykłą topologą, przestrzene dystrybucj dystrybucj o zwartym nośnku, ale także przestrzeń funkcj analtycznych zmennej rzeczywstej z jej naturalną topologą [8] tp.). Mmo neco barokowej nazwy pojęce to odgrywa ważną rolę we współczesnej analze funkcjonalnej. De Wlde udowodnł, że dla operatorów dzałających z przestrzen ultrabornologcznej do porządnych przestrzen (m.n. do każdego z wymenonych wyżej przykładów) prawdzwe jest twerdzene o domknętym wykrese [12, 24.31]. Inny przykład zastosowana pojęca przestrzen ultrabornologcznej to twerdzene mówące, że lnowy operator różnczkowy cząstkowy o stałych współczynnkach jest surjekcją na przestrzen dystrybucj D (Ω) wtedy tylko wtedy, gdy jego jądro jest ultrabornologczne (por. [17, Cor , Sec ]). Idea do pewnego stopna jest ta sama co u Banacha korzystać z twerdzena Bare a tam, gdze na pozór ne można tego robć. 3. Funkcjonały dopuszczalne Oprócz odpowednch przestrzen Banach używa jeszcze odpowednch funkcjonałów, precyzując, jak to dowolny cąg funkcjonałów można wykorzystać w Prawe Najwyższym. Oczywśce ne mogą one być całkem dowolne, ale ne można też ogranczyć sę wyłączne do cągłych funkcjonałów lnowych.

8 80 P. Domańsk Defncja 3.1. Jeśl E jest przestrzeną lokalne wypukłą, to B x (E) oznacza najmnejszy zbór addytywnych odwzorowań f : E K, gdze K jest całem skalarów zespolonych albo rzeczywstych, tak, że (1) wszystke cągłe odwzorowana addytywne f : E K należą do B x (E); (2) zbór B x (E) jest zamknęty względem granc punktowych cągów. Klasa B x składa sę ze wszystkch zborów B x (E). Wszystke funkcje f B x (E) są borelowsko merzalne lnowe. Faktyczne, obcęca funkcj f B x (E) do jednowymarowych podprzestrzen lnowych są addytywne, na mocy twerdzena [1, IIIA, tw. 6], cągłe na przestrzen Banacha, a zatem są jednorodne. Zauważmy, że funkcje z klasy B x ne muszą być cągłe; Banach pokazał jednak, że zachowują sę one bardzo podobne do funkcj cągłych względem szeregów zbeżnych w odpowedn sposób, ta własność odgrywać będze kluczową rolę w dowodze Prawa Najwyższego. Sformułujemy tę własność w termnach topolog ultrabornologcznych. Defncja 3.2 ([16, Def ]). Topologą ultrabornologczną stowarzyszoną z topologą lokalne wypukłą τ na przestrzen E nazywamy topologę, której bazą otoczeń zera jest rodzna wszystkch absolutne wypukłych podzborów pochłanających wszystke dysk Banacha w (E, τ). Przestrzeń E z topologą ultrabornologczną stowarzyszoną z orygnalną topologą przestrzen lokalne wypukłej E oznaczamy E ub. Topologa ultrabornologczna stowarzyszona z τ to najsłabsza topologa ultrabornologczna slnejsza nż τ. Każdy cąg szybko zbeżny w E jest automatyczne zbeżny w E ub. Twerdzene 3.3. Jeśl f B x (E), gdze E jest przestrzeną lokalne wypukłą, to f jest cągłym funkcjonałem lnowym na przestrzen E ub, tj. f (E ub ). Dowód. Weźmy dowolny dysk Banacha B w E. Wówczas f B x (E B ), a z [1, IIIA, tw. 6.] wynka, że f jest funkcjonałem cągłym na E B. Z defncj przestrzen E ub wnosmy, że f (E ub ). Wykorzystując wnosek 2.11, otrzymujemy wynk w sformułowanu Banacha: Wnosek 3.4 (por. [3, Satz 2 b]). Nech E będze przestrzeną lokalne wypukłą oraz f B x (E). Załóżmy, że dla cągu (x ) N E stneje cąg dodatnch lczb (M ) N tak, że jeśl α M <, to szereg α x jest zbeżny w przestrzen E. Wówczas jeśl α M <, to ( ) f α x = α f(x ).

9 Artykuł S. Banacha o Prawe Najwyższym J. Hoene-Wrońskego 81 Twerdzene 3.5 (por. [3, Satz 4]). Nech (E n ) bedze cągem podprzestrzen o własnośc (A) w przestrzen lokalne wypukłej E oraz nech f n B x (E n ) dla każdego n N. Wówczas { L := x } E n : cąg (f n (x)) n N jest zbeżny n jest podprzestrzeną lnową z własnoścą (A). Dowód. Łatwo zauważyć, że L jest podprzestrzeną lnową. Nech teraz (x ) N L będze dowolnym cągem. Nech (M n) N będze cągem zwązanym z (x ) N jako cągem w E n zgodne z defncją własnośc (A). Nech ponadto ( M := max sup n ) f n (x ), max 1 n Mn załóżmy, że α M <. Oczywśce szereg α x jest zbeżny w E n dla każdego n N, węc suma należy do n E n. Na podstawe wnosku 3.4 ( ) f n α x = α f(x ) α M. =N+1 =N+1 =N+1 Nech p, q będą dowolnym lczbam naturalnym. Wtedy z poprzednego oszacowana wynka, że ( ) ( ) ( fp N ) ( N ) f p α x f q α x α x f q α x + 2 =1 =1 =N+1 α M. Perwszy wyraz jest mały dla ustalonego N dostateczne dużych p, q, a drug dla dostateczne dużego N. Zatem cąg (f n ( α x )) n N jest cągem Cauchy ego, a suma α x należy do L. Twerdzene 3.6 (por. [3, Satz 5]). Nech E bedze przestrzeną lokalne wypukłą z własnoścą (A). Wówczas dla każdej podprzestrzen lnowej X E każdy element f B x (X) daje sę rozszerzyć do funkcjonału F B x (Y), gdze Y ma własność (A) X Y E. Dowód. Nech B r (X) będze rodzną tych funkcjonałów, które spełnają tezę nnejszego twerdzena. Netrudno wykazać, że klasa B r (X) zawera wszystke funkcjonały lnowe cągłe jest zamknęta ze względu na brane granc punktowych cągów (wykorzystamy tu twerdzene 3.5). Poneważ B x (X) jest z defncj najmnejszą taką klasą, węc B x (X) B r (X). Podsumowując: Wnosek 3.7. Jeśl cąg (x ) N jest zawarty w przestrzen lokalne wypukłej z własnoścą (A), a cąg funkcjonałów (f n ) n N należy do klasy B x każdy z nch jest określony na wszystkch elementach cągu (x ) N, to można bez utraty ogólnośc założyć, że (f n ) są określone na pewnej przestrzen L E o własnośc (A) takej, że (x ) N L.

10 82 P. Domańsk 4. Sformułowane Prawa Najwyższego według Banacha Nech teraz E będze przestrzeną lokalne wypukłą z własnoścą (A), a (x ) N dowolnym cągem jej elementów. Nech ponadto (f n ) będze cągem funkcjonałów należących do klasy B x, przy czym wszystke one są zdefnowane przynajmnej na wszystkch elementach cągu (x ) N oraz dla każdego n N wektory v := (f 1 (x ),..., f n (x )) dla = 1,..., n tworzą układ lnowo nezależny. Wobec wnosku 3.7 można założyć, że wszystke f n są zdefnowane na przestrzen lnowej L o własnośc (A) takej, że (x ) L E. Zdefnujmy teraz W m,n (x) := det f 1 (x 1 )... f 1 (x m 1 ) f 1 (x) f 1 (x m+1 )... f 1 (x n ) f n (x 1 )... f n (x m 1 ) f n (x) f n (x m+1 )... f n (x n ) Z założena lnowej nezależnośc wektorów v wynka, że W m,n (x m ) 0. Oczywśce funkcjonały F m,n określone wzorem F m,n (x):=w m,n (x)/w m,n (x m ) należą do klasy B x (L) dla 1 m n. Ponadto F m,n (x m ) = 1 oraz F m,n (x ) = 0 dla 1 n, m. Zdefnujmy funkcjonał Φ m (x) := lm n F m,n (x). Oznaczmy przez L m przestrzeń, na której funkcjonał Φ m jest zdefnowany, tj. L m := {x L : (F m,n (x)) n N jest zbeżny}. Twerdzene 4.1 ( Prawo Najwyższe ). Przy powyższych założenach przestrzeń Y := m L m ma własność (A) jeśl x Y oraz x = α x (zbeżność szeregu w Y ub ), to zachodz warunek. x = Φ (x)x (tj. Φ (x) = α dla N). Banach sformułował swoją wersję neco naczej, w naszej termnolog brzmałaby ona tak: Twerdzene 4.2 ( Prawo Najwyższe, wersja Banacha). Przy powyższych założenach stneje dysk Banacha B Y := m L m tak, że (x ) N E B E oraz dla każdego x E B zachodz równość x = Φ (x)x (zbeżność w E B, E ub E). Dowód. Oczywśce funkcjonały Φ m są dobrze zdefnowane dla x ( N) oraz { 1 dla = m, Φ m (x ) = 0 dla m.

11 Artykuł S. Banacha o Prawe Najwyższym J. Hoene-Wrońskego 83 Oznacza to, że cąg (x ) jest zawarty w przestrzen zbeżnośc cągu funkcjonałów (F m,n ) n m dla każdego m N. Z twerdzena 3.5 wynka, że przestrzeń L m ma własność (A), a z twerdzena 2.2, że Y ma równeż własność (A) oraz Φ m B x (Y). Na mocy własnośc (A) stneje teraz cąg lczb dodatnch (M ) tak, że szereg α x jest zbeżny w Y, o le α M <. Wobec wnosku 2.11 stneje dysk Banacha B Y E tak, że szereg α x jest zbeżny w E B. Na podstawe twerdzena 3.3, Φ (Y ub ), węc jeśl x = α x, to Φ (x) = α. Warto zauważyć, że (x ) N jest faktyczne bazą w E B. Aby w konkretnym przypadku opsać przestrzeń Y E B, trzeba by znać cąg (M ), a to jest możlwe tylko w nektórych przypadkach. Trudno też a pror sprawdzć, kedy x należy do Y jest postac x = α x. Poneważ cąg (Φ ) N ne mus być totalny na Y, węc nawet jeśl Φ (x) M <, to nadal ne wemy, czy x = Φ (x)x. Jeśl jednak w jakejś przestrzen rozwnęce względem cągu (x ) jest jednoznaczne, to mus sę na E B pokrywać z rozwnęcem uzyskanym powyższą metodą. Tak jest np., jeśl (x ) jest bazą Schaudera w E. Nestety, wzór na funkcjonały współczynnkowe jest uzyskany tylko dla pewnej podprzestrzen Y. Banach podaje dwa przykłady zastosowana swojego twerdzena, oba w przestrzen Banacha E = C[0, 1] funkcj cągłych na przedzale jednostkowym z normą supremum. W jednym przykładze cąg (f ) to cąg funkcjonałów lnowych cągłych przyporządkowujących funkcj x E jej różnce w zerze względem przyrostów 1/ rzędu 1. W drugm przykładze różnce zastąpone są pochodnym kolejnych rzędów funkcj x w zerze. W tym przypadku funkcjonały są zdefnowane na podprzestrzenach funkcj -krotne różnczkowalnych w zerze ne są cągłe na E, ale należą do klasy B x. Rachunk pokazują, że jeśl x (t) := t 1, to rozwnęce uzyskane za pośrednctwem Prawa Najwyższego pokrywa sę z rozwnęcem Taylora w zerze. Proszę jednak zwrócć uwagę, że jeśl wystartowalbyśmy od nnego cągu funkcjonałów (f ), to zachowując ten sam cąg (x ), pownnśmy uzyskać równeż rozwnęce Taylora (przynajmnej dla pewnej podklasy Y funkcj cągłych na odcnku [0, 1]). Oczywśce Prawo Najwyższe kojarzy sę z pojęcem bazy, ewentualne z welomanam ortogonalnym: Defncja 4.3. Cag (x ) N jest bazą w przestrzen lokalne wypukłej E, o le dla każdego elementu x E stneje dokładne jeden cąg skalarów (α ) N tak, że x = α x. Baza (x ) jest bazą Schaudera, o le funkcjonały współczynnkowe (tj. przyporządkowujące wektorow x skalar α ) są cągłe. W welu przypadkach (np. gdy E jest przestrzeną Frécheta) każda baza jest automatyczne bazą Schaudera (por. [11, Ch. 14.2]). Wydaje m sę, że zwązek Prawa Najwyższego z pojęcem bazy jest dość powerzchowny. W perwszym przypadku startujemy od dowolnego cągu, dla

12 84 P. Domańsk którego stneje cąg odpowednch funkcjonałów (f ). Oczywśce wówczas cąg (x ) mus być lnowo nezależny, ale z twerdzena 4.1 wynka, że mus stneć nawet cąg (g ) funkcjonałów z klasy B x takch, że { 1, jeśl = j, g (x j ) = 0 w pozostałych przypadkach. Zatem para (x, g ) tworzy cąg bortogonalny z na ogół necągłym funkcjonałam (g ) na przestrzen Y. Staje sę on prawdzwym cągem bortogonalnym z cągłym funkcjonałam na przestrzen Y ub. Cąg (x ) tworzy bazę pewnej, w praktyce trudno wyodrębnalnej, podprzestrzen w przestrzen E. Waga pojęca bazy polega natomast na możlwośc rozwnęca każdego elementu przestrzen. W twerdzenu 4.2 dostajemy nformację, że tylko pewne elementy można rozwnąć, ale za to mamy algorytm znajdywana współczynnków, właśne ten aspekt algorytmczny zblża nas do pojęca układu ortogonalnego, gdze współczynnk rozwnęca oblcza sę łatwo. Prawo Najwyższe wdzę węc raczej jako metodę wyznaczana funkcjonałów bortogonalnych współcześne bardzo naturalną, ale w czasach Hoene- Wrońskego jak sę zdaje nowatorską. Pojęce bazy wąże sę nerozerwalne ze sławnym problemem bazy, postawonym przez Banacha: czy każda ośrodkowa przestrzeń Banacha ma bazę [1, str. 141]? Waga tego na pozór abstrakcyjnego problemu berze sę stąd, że warto meć rozkład funkcj na prostsze cegełk możlwość utożsamana jej z cągem jej współczynnków rozwnęca, tak jak warto rozwjać np. funkcje całkowalne względem układu Haara, funkcje gładke na odcnku względem welomanów Czebyszewa czy funkcje holomorfczne względem jednomanów. Szczególne użyteczne są bazy składające sę z porządnych funkcj. Jak wadomo, problem bazy ma rozwązane negatywne (Enflo 1973, [10]). Równeż w nnych klasach przestrzen lokalne wypukłych rozwązane analogcznego problemu jest negatywne: np. w bardzo ważnej klase nuklearnych przestrzen Frécheta udowodnl to Mtyagn Zobn [14] w roku Jest też dobra wadomość: znane naturalne ośrodkowe przestrzene Banacha Frécheta te, które pojawają sę w zastosowanach analtycznych mają bazy (patrz np. [18], [12, Ex. 29.5]): np. przestrzene funkcj cągłych na typowych zborach, przestrzene L p, klasy Hardy ego, Bergmana, przestrzene funkcj gładkch na porządnych zborach, przestrzene dystrybucj temperowanych funkcj holomorfcznych na porządnych zborach. Podobne jest dla nemetryzowalnych naturalnych przestrzen lokalne wypukłych (por. [8]), np. dla przestrzen dystrybucj przestrzen funkcj próbnych; jedyny znany wyjątek to wysoce nemetryzowalna przestrzeń funkcj analtycznych zmennej rzeczywstej, która, choć ośrodkowa, nuklearna, zupełna, ultrabornologczna ( co tam kto jeszcze sobe zażyczy), ne ma bazy (Domańsk Vogt 2000 [9]). Cekawe, że w tej tematyce jest jeszcze sporo naturalnych problemów otwartych:

13 Artykuł S. Banacha o Prawe Najwyższym J. Hoene-Wrońskego 85 (Pełczyńsk 1970 [15]) Czy każda przestrzeń dopełnalna w nuklearnej przestrzen Frécheta z bazą ma bazę? (Mtyagn 1970 [13, Problem 15]) Czy każda dopełnalna podprzestrzeń w przestrzen dystrybucj temperowanych albo w odpowednej przestrzen funkcj próbnych (tj. przestrzen funkcj gładkch szybko malejących do zera) ma bazę? Podać konkretną naturalną bazę w przestrzen dystrybucj D (Ω) lub w przestrzen funkcj próbnych D(Ω). (Bessaga 1968 [5, Problem 1]) Czy dowolne dwe bazy w nuklearnej przestrzen Frécheta generują w grunce rzeczy tę samą przestrzeń cągową (tj. z dokładnoścą do permutacj odwzorowań dagonalnych)? Lteratura [1] S. Banach, Teorja operacyj, tom I. Operacje lnjowe, Kasa Manowskego, Warszawa, [2] S. Banach, Théore des opératons lnéares, Monografe Mat. 1, Warszawa, [3] S. Banach, Über das»lo suprême«von J. Hoene-Wrońsk, Bull. Inter. Acad. Pol. Sc. Lett. Sér. A 1939, 1 10; przedruk w: S. Banach, Oeuvres, Vol. II, PWN, Warszawa, 1979, [4] S. Banach, Oeuvres, Vol. II, PWN, Warszawa, [5] C. Bessaga, Some remarks on Draglev s theorem, Studa Math. 31 (1968), [6] J. Bochnak, J. Scak, Analytc functons n topologcal vector spaces, Studa Math. 39 (1971), [7] S. Dcksten, O prawe najwyższym Hoene-Wrońskego w matematyce, Prace Mat.-Fz. 2 (1890), [8] P. Domańsk, Classcal PLS-spaces: spaces of dstrbutons, real analytc functons and ther relatves, n: Orlcz Centenary Volume (Poznań, 2003), Banach Center Publ. 64, Z. Ceselsk, A. Pełczyńsk and L. Skrzypczak (eds.), Insttute of Mathematcs, Polsh Academy of Scences, Warszawa, 2004, [9] P. Domańsk, D. Vogt, The space of real analytc functons has no bass, Studa Math. 142 (2000), [10] P. Enflo, A counterexample to the approxmaton property n Banach spaces, Acta Math. 130 (1973), [11] H. Jarchow, Locally Convex Spaces, B. G. Teubner, Stuttgart, [12] R. Mese, D. Vogt, Introducton to Functonal Analyss, Clarendon Press, Oxford, [13] B. S. Mtyagn, Equvalence of bases n Hlbert scales, Studa Math. 37 (1970), [14] B. S. Mtyagn, N. M. Zobn, Contre-exemple à l exstence d une base dans

14 86 P. Domańsk un espace de Fréchet nucléare, C. R. Acad. Sc. Pars Sér. A 279 (1974), , [15] A. Pełczyńsk, Proceedngs of the nternatonal colloquum on nuclear spaces and deals of operators, Problem 37, Studa Math. 38 (1970), 476. [16] P. Pérez Carreras, J. Bonet, Barrelled Locally Convex Spaces, North- Holland, Amsterdam, [17] J. Wengenroth, Derved Functors n Functonal Analyss, Lecture Notes n Math. 1810, Sprnger, Berln, [18] P. Wojtaszczyk, Banach Spaces for Analysts, Cambrdge Unv. Press, Paweł Domańsk Wydzał Matematyk Informatyk Unwersytet m. Adama Mckewcza oraz Instytut Matematyczny PAN (Oddzał w Poznanu) Umultowska 87, Poznań E-mal: domansk@amu.edu.pl