Artykuł Stefana Banacha o Prawie Najwyższym Józefa Hoene-Wrońskiego

Transkrypt

1 Artykuł Stefana Banacha o Prawe Najwyższym Józefa Hoene-Wrońskego Paweł Domańsk Streszczene Nnejsza praca zawera omówene artykułu Stefana Banacha z roku 1939 pośwȩconego autorskej wersj Prawa Najwyższego oraz próbȩ wyjaśnena jego zawartośc na tle w termnach współczesnej analzy funkcjonalnej. 1 Wstȩp Praca Józefa Hoene-Wrońskego o Prawe Najwyższym wzbudzła zanteresowane, które ne wygasało z upływem lat. Psze o tym Samuel Dcksten, który przeanalzował j a w roku 1890 w artykule [9], a za pośrednctwem tej z kole pracy w 1939 roku zaj ał sȩ Prawem Najwyższym chyba najwybtnejszy polsk matematyk Stefan Banach w [3]. W omawanej pracy Banach ne odwołuje sȩ bezpośredno do orygnalnych prac Hoene-Wrońskego - jednak, jak wynka z zameszczonego w tym tome artykułu P. Pragacza, mał do nch dostȩp. Mom zdanem Banach był specjalne predestynowany do głȩbszego zrozumena zmodernzowana de Hoene-Wrońskego. To matematyk na wskroś nowoczesny - jego prace s a dzś doskonale czytelne, po naprawde drobnych zmanach w termnolog, mogłyby uchodzć za prace współczesne. Wdać to szczególne patrz ac na standardy w zakrese ścsłośc, precyzj, stylu dowodzena tp. Mógł wȩc Banach przekształcć mgławcowe dee z pocz atków XIX weku w precyzyjne, dowodlwe twerdzena. Przykładowo: Hoene-Wrońsk w ogóle ne mów o zbeżnośc - dla Banacha to główne zagadnene. Ale to ne jedyny powód, dla którego był on odpowedn a osob a na odpowednm mejscu - Banach był zapewne jednym z newelu matematyków końca lat 30- tych dwudzestego weku, który mógł w pełn użyć jȩzyka metod analzy funkcjonalnej. Mnȩło zaledwe 8 lat od ukazana sȩ fundamentalnej ks ażk Banacha Teorja operacyj, tom I. Operacje lnowe [1] bȩd acej perwszym systematycznym wykładem tego jȩzyka tych metod. Mnȩło 7 lat od opublkowana wersj francuskej [2] (wersj, a ne dokładnego tłumaczena, różnła sȩ ona bowem układem neznaczne zawartośc a), która odegrała welk a rolȩ w rozwoju młodej dzedzny analzy, m.n zaweraj ac wele podstawowych dla rozwoju analzy funkcjonalnej pytań. Banach dostrzegł, że Prawo Najwyższe Hoene-Wrońskego to fakt z analzy funkcjonalnej, który może pownen być wyrażony w jej jȩzyku - mom zdanem najbardzej adekwatnym. W tym mejscu trzeba by w końcu zaspokoć cekawość czytelnka krótko wyjaśnć o czym mów Prawo Najwyższe. Jest to pewna metoda znajdywana współczynnków skalarnych α rozwnȩca dowolnej funkcj f wzglȩdem danego dowolnego c agu funkcj (x ) N tak aby f = α x. Jak już wspomnałem autor tej de ne zaprz atał sobe głowy zbeżnośc a szeregu, ale we współczesnym jej przedstawenu ( oczywśce u Banacha) mus to być zagadnene centralne. W dalszej czȩśc pracy przedstawȩ wynk Banacha skomentujȩ jego znaczene, zakres stosowalnośc zawarte tam dee - ch zw azek z pewnym późnej rozwnȩtym pojȩcam analzy 1

2 funkcjonalnej. Cóż dowadujemy sȩ st ad o dzele samego Józefa Hoene-Wrońskego? Przede wszystkm deȩ Prawa Najwyższego dało sȩ przekuć w ścśle sformułowane twerdzene (co dla mne jest ostatecznym dowodem jej matematycznośc ), a po druge dokonał tego matematyk, którego welkość jest oczywsta - co dla nedowarków może być pośredn a zachȩt a do przyjrzena sȩ tej de. Czy odegrała ona duż a rolȩ w dalszym rozwoju matematyk? Tu odpowedź jest trudnejsza - mam zbyt mał a wedzȩ hstoryczn a aby odpowedzeć na take pytane dotycz ace lat przed artykułem Banacha. Jeśl chodz o okres późnejszy, to ne znane m s a żadne przypadk cytowana pracy Banacha (co ne jest z pewnośc a dowodem zupełnego zapomnena tej pracy). Ilu matematyków j a czytało? Z pewnośc a jest łatwo dostȩpna w edycj dzeł Banacha [4, str ]. Omawana praca jest krótka składa sȩ z trzech czȩśc: 1. wprowadzena używanych pojȩć; 2. sformułowana dowodu Prawa Najwyższego ; 3. przykładów. W takej też kolejnośc bȩdzemy j a omawać. Przez (α ) N bȩdzemy zawsze oznaczać dowolny c ag skalarów. Pojȩca ne wyjaśnone można znaleźć np. w monograf [12]. 2 Przestrzene o własnośc (A) Aby móc korzystać z zupełnośc konsekwencj twerdzena Bare a dla nezupełnych przestrzen unormowanych, Banach wprowadza specjaln a klasȩ przestrzen spełnaj acych własność (A). Poneważ dla ustalonego c agu wektorów (x ) w przestrzen Banacha E ne można oczekwać, aby cała przestrzeń E składała sȩ z sum postac α x wȩc naturalne pojawaj a sȩ nezupełne podprzestrzene. Wprowadzona klasa przestrzen potrzebna jest m.n. aby uzyskać zbeżność rozpatrywanych szeregów w na ogół nezupełnej przestrzen unormowanej. Banach swoje wynk formułuje dla przestrzen Banacha przestrzen unormowanych, ale wydaje m sȩ, że właścwsz a ram a jest klasa przestrzen lokalne wypukłych dla nch bȩdȩ defnował wprowadzone pojȩca. Defncja 2.1 Przestrzeń lokalne wypukła E ma własność (A), gdy dla każdego c agu (x ) N E stneje c ag dodatnch lczb rzeczywstych (M ) N tak, że dla każdego c agu skalarów (α ) N zachodz warunek: jeśl szereg α M < +, to szereg α x jest zbeżny w przestrzen E. Banach podaje w sposób jawny tylko jeden przykład przestrzen z własnośc a (A) - przestrzeń Banacha, ale z jego pracy można takch przykładów wysnuć wȩcej (por. [3, Satz 1]). Twerdzene 2.2 Nastȩpuj ace przestrzene maj a własność (A): 1. Przestrzeń Banacha. 2. Przestrzeń Frécheta ( = metryzowalna zupełna przestrzeń lokalne wypukła). 3. Obraz c agły lnowy przestrzen z własnośca (A). 4. Dowolna przestrzeń lokalne wypukła posadaj aca mocnejsz a od orygnalnej topologȩ przestrzen Banacha, Frécheta lub, ogólnej, z własnośc a (A). 5. Podprzestrzeń domknȩta przestrzen lokalne wypukłej z własnośc a (A). 6. Przekrój c agu przestrzen z własnośc a (A). 2

3 Dowód: 1. Weźmy M := x, wówczas α x α M <. Zatem szereg α M jest nawet absolutne zbeżny w rozpatrywanej przestrzen Banacha E, jeśl tylko α M <. 2. Nech topologa przestrzen Frécheta E bȩdze zadana c agem półnorm n, n N. Zdefnujmy M := max 1 n x n. Zatem podobne jak w przypadku 1. można udowodnć, że szereg α x jest absolutne zbeżny (tj. α x n jest zbeżny dla każdego n N), o le tylko α M <. 3. Załóżmy, że T : Y X jest surjektywnym operatorem lnowym c agłym, a X Y s a przestrzenam lokalne wypukłym. Dodatkowo załóżmy, że Y ma własność (A). Weźmy teraz dowolny c ag (x ) N X, wówczas dla każdego N stneje wektor y Y tak, że T y = x. Z własnośc (A) otrzymamy c ag lczb rzeczywstych dodatnch (M ) N tak, że jeśl α M <, to szereg α y jest zbeżny w Y. Wówczas równeż szereg α x = α T y jest zbeżny. 4. Wystarczy zastosować punkt 3. powyżej do operatora dentycznoścowego na rozpatrywanej przestrzen z dwema różnym topologam (por. czȩść 1. 2.). 5. Oczywste. 6. Nech (X n ) n N bedze c agem posadaj acych własność (A) podprzestrzen wekszej przestrzen lokalne wypukłej. Oznaczmy X := n X n. Nech (x ) X. Z własnośc (A) dla każdego n N stneje c ag dodatnch lczb rzeczywstych (M n) N tak, że jeśl α M n <, to szereg α x jest zbeżny w X n. Łatwo zauważyć, że c ag (M ) N, M := max 1 n M n, spełna warunk z defncj własnośc (A) dla c agu wektorów (x ) N w przestrzen X. W powyższym dowodze ne przypadkem pojawa sȩ zbeżność absolutna. Nastȩpne twerdzene (dla unormowanych przestrzen E udowodnone w analzowanej pracy Banacha) wykorzystuje typow a deȩ Banacha - a dzś powedzelbyśmy: jeden z typowych chwytów analzy funkcjonalnej. Twerdzene 2.3 (por. [3, Satz 2 a]) Nech (x ) N bȩdze c agem elementów w dowolnej zupełnej przestrzen lokalne wypukłej E, a (M ) N bȩdze dowolnym c agem lczb dodatnch. Nastȩpuj ace warunk s a równoważne: 1. Dla każdego c agu skalarów (α ) N, jeśl szereg α M jest zbeżny, to szereg α x jest zbeżny w E. 2. Dla każdej półnormy c agłej p na E stneje stała K p taka, że dla każdego c agu skalarów (α ) N zachodz nerówność: ( ) p α x K p α M. 3. C ag ( x M jest ogranczony. ) N 4. Dla każdego c agu skalarów (α ) N, jeśl szereg α M jest zbeżny, to szereg α x jest absolutne zbeżny w przestrzen E. Dowód: Defnujemy przestrzeń Banacha H := l 1 ((M ) N ) := {α = (α ) : α := α M < }. 3

4 Ponadto defnujemy c agłe operatory lnowe U n : H E, n U n ((α ) N ) := α x. =1 Z warunku 1. c ag U n jest punktowo zbeżny a z twerdzena Banacha-Stenhausa, wynka, że granca jest c agłym operatorem lnowym U : H E, U((α ) N ) = α x. C agłość U natychmast mplkuje warunek 2. Implkacje s a oczywste. Przygl adaj ac sȩ neco uważnej dowodow mplkacj zauważymy, że udowodnlśmy faktyczne (zupełność, lub tylko lokalna zupełność - por. defncja nżej, jest potrzebna tylko w mplkacj 3. 4.): Wnosek 2.4 (por. [3, Satz 3]) Nech (x ) N E bȩdze c agem wektorów w przestrzen lokalne wypukłej E, a (M ) N c agem lczb dodatnch takm, że jeśl szereg α M jest zbeżny, to szereg α x jest zbeżny w przestrzen E. Wówczas przestrzeń { L := α x : α M < jest c agłym lnowym obrazem przestrzen Banacha, a zatem posada własność (A). Innym słowy c ag (x ) N jest zawarty w podprzestrzen o własnośc (A). Używaj ac współczesnej termnolog należałoby sȩ odwołać do pojȩca dysku Banacha. Defncja 2.5 Ogranczony zbór absolutne wypukły nazywamy dyskem. Dysk B w przestrzen lokalne wypukłej E nazywamy dyskem Banacha, jeśl przestrzeń unormowana E B zdefnowana jako powłoka lnowa zboru B wyposażona w normȩ: x B := nf{λ : x/λ B} jest zupełna, a zatem jest przestrzen a Banacha. Łatwo zauważyć, że K B (0, 1) B K B (0, 1), gdze K B, K B to dopowedno kula otwarta kula domknȩta w przestrzen E B. Zatem dysk Banacha to prawe c agłe obrazy lnowe kul jednostkowych w przestrzenach Banacha: Wnosek 2.6 Dysk B jest dyskem Banacha wtedy tylko wtedy, gdy stneje c agły obraz lnowy C kul jednostkowej w przestrzen Banacha tak, że C B 2C. Wȩcej o dyskach Banacha patrz [16, Ch. 3.2] Wnosek 2.7 Nech E bȩdze dowoln a przestrzen a lokalne wypukł a. Nastȩpuj ace warunk s a równoważne: 1. Przestrzeń E ma własność (A). 2. Każdy c ag elementów przestrzen E jest zawarty w c agłym lnowym obraze przestrzen Banacha zawartym w przestrzen E. 3. Każdy c ag elementów przestrzen E jest zawarty w powłoce lnowej dysku Banacha. } E 4

5 4. Każdy c ag elementów przestrzen E jest zawarty w c agłym lnowym obraze przestrzen Frécheta zawartym w przestrzen E. Dowód: Wnosek Oczywste (por. wnosek 2.6) Twerdzene 2.2. Banach chyba ne zastanawał sȩ jake przestrzene unormowane maj a własność (A) (przynajmnej ne ma po tym śladu w jego pracy) - powyższy wnosek w pewnym sense odpowada na to pytane. W szczególnośc mplkuje on, że przestrzeń z własnośc a (A) może być albo skończene wymarowa albo neprzelczalne wymarowa (podobne jak przestrzene Banacha). Warto jednak zauważyć, że stnej a unormowane przestrzene posadaj ace własność (A), które ne s a obrazam c agłym lnowym przestrzen Banacha. Dowód: Weźmy np. przestrzeń Frécheta c agów szybko malej acych do zera s := {x = (x ) : k N x k := x n k < }. Oczywśce s jest w sposób c agły zanurzona w przestrzeń Banacha c agów ogranczonych l, wyposażona w jej normȩ, jest przestrzen a unormowan a. Z twerdzena 2.2 ma własność (A), ale z twerdzena o domknȩtym wykrese ne może być c agłym obrazem lnowym przestrzen Banacha. Okazuje sȩ, że własność (A) jest blsko zw azana z tzw. lokaln a zupełnośc a. Defncja 2.8 C ag (x ) N w przestrzen lokalne wypukłej E jest lokalne Cauchy ego (lokalne zbeżny) o le stneje dysk B w E tak, że (x ) jest c agem Cauchy ego (c agem zbeżnym) w E B. C ag (x ) N jest szybko zbeżny jeśl stneje dysk Banacha B E tak, że c ag (x ) N jest zbezny w E B. Przestrzeń E jest lokalne zupełna, jeśl każdy c ag lokalne Cauchy ego jest lokalne zbeżny. Porównajmy teraz wnosek 2.7 z ponższym faktem: Twerdzene 2.9 ([16, Prop ]) Przestrzeń lokalne wypukła E jest lokalne zupełna wtedy tylko wtedy, gdy każdy c ag ogranczony w E jest zawarty w pewnym dysku Banacha. St ad z wnosku 2.7 otrzymujemy natychmast: Wnosek 2.10 Lokalne zupełna przestrzeń lokalne wypukła E ma własność (A) wtedy tylko ( wtedy, gdy dla każdego c agu (x ) N E stneje c ag dodatnch skalarów (M ) N tak, że c ag x M jest ogranczony w przestrzen E. ) N Z drugej strony wszystke unormowane przestrzene nezupełne z własnośc a (A) ne s a lokalne zupełne (por. [16, Cor ]). Co wȩcej, oczywśce zupełne LB-przestrzene ne maj a własnośc (A), np. przestrzene dualne z sln a topolog a do dowolnej przestrzen nuklearnej Frécheta. Wnosek 2.11 Szereg spełnaj acy założena wnosku 2.4 jest szybko zbeżny. Warto powyższy wnosek porównać ze znanym faktem mów acym, że każda E wartoścowa funkcja holomorfczna (E przestrzeń lokalne wypukła, c agowo zupełna) rozwja sȩ lokalne w szereg Taylora zbeżny ne tylko w przestrzen E, ale także szybko, tzn. dla każdego punktu x z dzedzny funkcj stneje dysk Banacha B tak, że szereg Taylora funkcj wokół x jest zbeżny w E B (por. [6]). 5

6 Dysk Banacha okazały sȩ doskonałym narzȩdzem współczesnej teor przestrzen lokalne wypukłych jej nowoczesnych zastosowań (np. teor równań różnczkowych, analzy fourerowskej...). Przypomnjmy jeszcze jedn a defncjȩ [12]: Defncja 2.12 Przestrzeń lokalne wypukła E jest ultrabornologczna jeśl każdy absolutne wypukły zbór U E pochłanaj acy wszystke dysk Banacha (tj. tak, że dla każdego dysku Banacha B E stneje stała C spełnaj aca nkluzjȩ B CU) jest otoczenem zera w E. Przykładam przestrzen ultrabornologcznych s a wszystke przestrzene Frécheta ch przelczalne grance nduktywne (np. przestrzen funkcj holomorfcznych lub gładkch ze zwykł a topolog a, przestrzene dystrybucj dystrybucj o zwartym nośnku ale także przestrzeń funkcj analtycznych zmennej rzeczywstej z jej naturaln a topolog a [7] tp.). Mmo neco barokowej nazwy pojȩce to odgrywa ważn a rolȩ we współczesnej analze funkcjonalnej. De Wlde udowodnł, że dla operatorów dzałaj acych z przestrzen ultrabornologcznej do porz adnych przestrzen (m.n. do każdego z wymenonych wyżej przykładów) twerdzene o domknȩtym wykrese jest prawdzwe [12, 24.31]. Inny przykład zastosowana pojȩca przestrzen ultrabornologcznej, to twerdzene mów ace, że lnowy operator różnczkowy cz astkowy o stałych współczynnkach jest surjekcj a na przestrzen dystrybucj (Ω) wtedy tylko wtedy, gdy jego j adro jest ultrabornologczne (por. [17, Cor , Sec ]). Idea do pewnego stopna jest ta sama co u Banacha - korzystać z twerdzena Bare a tam gdze na pozór ne można tego robć. 3 Funkcjonały dopuszczalne Oprócz odpowednch przestrzen Banach używa jeszcze odpowednch funkcjonałów precyzuj ac jak to dowolny c ag funkcjonałów można wykorzystać w Prawe Najwyższym. Oczywśce ne mog a one być całkem dowolne, ale ne można też ogranczyć sȩ wył aczne do c agłych funkcjonałów lnowych. Defncja 3.1 Jeśl E jest przestrzen a lokalne wypukł a to B x (E) oznacza najmnejszy zbór addytywnych odwzorowań f : E K, K cało skalarów zespolonych albo rzeczywstych, tak, że 1. wszystke c agłe odwzorowana addytywne f : E K należ a do B x (E); 2. zbór B x (E) jest zamknȩty na operacje granc punktowych c agów. Klasa B x składa sȩ ze wszystkch zborów B x (E). Wszystke funkcje f B x (E) s a borelowsko merzalne lnowe. Faktyczne, obcȩca funkcj f B x (E) do podprzestrzen lnowych jednowymarowych s a odwzorowanam addytywnym, z twerdzena [1, IIIA, tw. 6], cagłym na przestrzen Banacha a zatem s a jednorodne. Zauważmy, że funkcje z klasy B x ne musz a być c agłe, tym ne mnej Banach pokazał, że zachowuj a sȩ one bardzo podobne jak funkcje c agłe wzglȩdem szeregów zbeżnych w odpowedn sposób ta własność odgrywać bȩdze kluczow a rolȩ w dowodze Prawa Najwyższego. Sformułujemy tȩ własność w termnach topolog ultrabornologcznych. Defncja 3.2 ([16, Def ]) Topolog a ultrabornologczn a stowarzyszon a z topolog a lokalne wypukł a τ na przestrzen E nazywamy topologȩ, której baz a otoczeń zera jest rodzna wszystkch absolutne wypukłych podzborów pochłanaj acych wszystke dysk Banacha w (E, τ). Przestrzeń E z topolog a ultrabornologczn a stowarzyszon a z orygnaln a topolog a przestrzen lokalne wypukłej E oznaczamy E ub. 6

7 Topologa ultrabornologczna stowarzyszona z τ, to najsłabsza topologa ultrabornologczna slnejsza nż τ. Każdy c ag szybko zbeżny w E jest automatyczne zbeżny w E ub. Twerdzene 3.3 Jeśl f B x (E), E przestrzeń lokalne wypukła, to f jest c agłym funkcjonałem lnowym na przestrzen E ub, tj. f (E ub ). Dowód: Weźmy dowolny dysk Banacha B w E. Wówczas f B x (E B ), a z [1, IIIA, tw. 6.], f jest funkcjonałem c agłym na E B. Z defncj E ub, f (E ub ). Wykorzystuj ac wnosek 2.11 otrzymujemy wynk w sformułowanu Banacha: Wnosek 3.4 (por. [3, Satz 2 b]) Nech E bȩdze przestrzen a lokalne wypukł a, a f B x (E). Załóżmy, że dla c agu (x ) N E stneje c ag dodatnch lczb (M ) N tak, że jeśl szereg α M <, to szereg α x jest zbeżny w przestrzen E. Wówczas jeśl szereg α M <, to ( ) f α x = α f(x ). Twerdzene 3.5 (por. [3, Satz 4]) Nech (E n ) bedze c agem podprzestrzen o własnośc (A) w przestrzen lokalne wypukłej E oraz nech f n B x (E n ) dla każdego n N. Wówczas L := {x n E n : (f n (x)) n N c ag zbeżny} jest podprzestrzen a lnow a z własnośc a (A). Dowód: Łatwo zauważyć, że L jest podprzestrzen a lnow a. Nech teraz (x ) N L bȩdze dowolnym c agem. Nech (M n) N bȩdze c agem zw azanym z (x ) N jako c agem w E n zgodne z defncja własnośc (A). Nech ponadto ( ) M := max sup n f n (x ), max 1 n M n załóżmy, że α M <. Oczywśce szereg α x jest zbeżny w E n dla każdego n N, wȩc suma należy do n E n. Z wnosku 3.4 f n α x = α f(x ) α M. =N+1 =N+1 =N+1 Nech p, q bȩd a dowolnym lczbam naturalnym, zatem z poprzednego oszacowana ( ) ( ) ( N ) ( f p α x f q α x f N ) p α x f q α x + 2 α M. =1 =1 =N+1 Perwszy wyraz jest mały dla ustalonego N dostateczne dużych p, q, a drug dla dostateczne dużego N. Zatem c ag (f n ( α x )) n N jest c agem Cauchy ego, a suma α x należy do L.. Twerdzene 3.6 (por. [3, Satz 5]) Nech E bedze przestrzen a lokalne wypukł a z własnośc a (A). Wówczas dla każdej podprzestrzen lnowej X E każdy f B x (X) daje sȩ rozszerzyć do funkcjonału F B x (Y ), X Y E, gdze Y ma własność (A). Dowód: Nech B r (X) bȩdze rodzn a tych funkcjonałów, które spełnaj a tezȩ nnejszego twerdzena. Netrudno wykazać, że klasa B r (X) zawera wszystke funkcjonały lnowe c agłe jest zamknȩta na brane granc punktowych c agów (wykorzystamy tu twerdzene 3.5). Poneważ B x (X) jest z defncj najmnejsz a tak a klas a, wȩc B x (X) B r (X). Podsumowuj ac: 7

8 Wnosek 3.7 Jeśl c ag (x ) N jest zawarty w przestrzen lokalne wypukłej z własnośca (A), a c ag funkcjonałów (f n ) n N należy do klasy B x każdy z nch jest określony na wszystkch elementach c agu (x ) N, to można bez utraty ogólnośc założyć, że (f n ) s a określone na pewnej przestrzen L E o własnośc (A) takej, że (x ) N L. 4 Sformułowane Prawa Najwyższego według Banacha Nech teraz E bȩdze przestrzen a lokalne wypukł a z własnośca (A) a (x ) N bȩdze dowolnym jej c agem elementów. Nech ponadto (f n ) bȩdze c agem funkcjonałów należ acych do klasy B x, wszystke one s a zdefnowane przynajmnej na wszystkch elementach c agu (x ) N, oraz dla każdego n N wektory v := (f 1 (x ),..., f n (x )) dla = 1,..., n tworz a układ lnowo nezależny. Z wnosku 3.7 można założyć, że wszystke (f n ) s a zdefnowane na przestrzen lnowej L, (x ) L E maj acej własność (A). Zdefnujmy teraz W m,n (x) := det f 1 (x 1 )... f 1 (x m 1 ) f 1 (x) f 1 (x m+1 )... f 1 (x n ) f n (x 1 )... f n (x m 1 ) f n (x) f n (x m+1 )... f n (x n ) Z założena lnowej nezależnośc wektorów v wynka, że W m,n (x m ) 0. Oczywśce funkcjonały F m,n zdefnowane wzorem F m,n (x) := Wm,n(x) W należ a do klasy m,n(x m) Bx (L) dla 1 m n. Ponadto dla 1 n, = m, F m,n (x ) = 1, a dla 1 n, m, F m,n (x ) = 0. Zdefnujmy funkcjonał: Φ m (x) := lm F m,n(x). n Oznaczmy przez L m przestrzeń, na której zdefnowany jest funkcjonał Φ m, tj.. L m := {x L : (F m,n (x)) n N jest zbeżny}. Twerdzene 4.1 ( Prawo Najwyższe ) Przy powyższych założenach przestrzeń Y := m L m ma własność (A) jeśl x Y oraz x = α x (zbeżność szeregu w Y ub ), to zachodz warunek: x = Φ (x)x (tj. Φ (x) = α dla N). Banach sformułował swoj a wersjȩ neco naczej, w naszej termnolog brzmałaby ona tak: Twerdzene 4.2 ( Prawo Najwyższe wersja Banacha) Przy powyższych założenach stneje dysk Banacha B Y := m L m tak, że (x ) N E B E oraz dla każdego x E B zachodz równość x = Φ (x)x (zbeżność w E B, E ub E). Dowód: Oczywśce funkcjonały Φ m s a dobrze zdefnowane dla x, N oraz { 1 dla = m, Φ m (x ) = 0 dla m. Oznacza to, że c ag (x ) jest zawarty w przestrzen zbeżnośc c agu funkcjonałów (F m,n ) n m dla każdego m N. Z twerdzena 3.5 wynka, że przestrzeń L m ma własność (A), a z twerdzena 2.2 wynka, że Y ma równeż własność (A) oraz Φ m B x (Y ). 8

9 Z własnośc (A) stneje teraz c ag lczb dodatnch (M ) tak, że szereg α x jest zbeżny w Y o le α M <. Z wnosku 2.11 stneje dysk Banacha B Y E tak, że szereg α x jest zbeżny w E B. Z twerdzena 3.3, Φ (Y ub ), wȩc jeśl x = α x, to Φ (x) = α. Warto zauważyć, że (x ) N jest faktyczne baz a w E B. Aby w konkretnym przypadku opsać przestrzeń Y E B trzeba by znać c ag (M ), a to jest możlwe tylko w nektórych przypadkach. Trudno też a pror sprawdzć kedy x należy do Y jest postac x = α x. Poneważ c ag (Φ ) N ne mus być totalny na Y, wȩc nawet jeśl Φ (x) M <, to nadal ne wemy czy x = Φ (x)x? Jeśl jednak w jakejś przestrzen rozwnȩce wzglȩdem c agu (x ) jest jednoznaczne, to mus sȩ na E B pokrywać z rozwnȩcem uzyskanym powyższ a metod a. A wȩc np. jeśl (x ) jest baz a Schaudera w E. Nestety wzór na funkcjonały współczynnkowe jest uzyskany tylko dla pewnej podprzestrzen Y. Banach podaje dwa przykłady zastosowana swojego twerdzena. Oba w przestrzen Banacha E = C[0, 1] funkcj c agłych na przedzale jednostkowym z norm a supremum. W jednym przykładze c ag (f ) to c ag funkcjonałów lnowych c agłych przyporz adkowuj acych funkcj x E jej różnce w zerze wzglȩdem przyrostów 1/n rzȩdu n 1. W drugm przykładze różnce zast apone s a pochodnym kolejnych rzȩdów funkcj x w zerze. W tym przypadku funkcjonały s a zdefnowane na podprzestrzenach funkcj n-krotne różnczkowalnych w zerze ne s a c agłe na E, ale należ a do klasy B x. Rachunk pokazuj a, że jeśl x (t) := t 1 to rozwnȩce uzyskane za pośrednctwem Prawa Najwyższego pokrywa sȩ z rozwnȩcem Taylora w zerze. Proszȩ jednak zwrócć uwagȩ, że jeśl wystartowalbyśmy od nnego c agu funkcjonałów (f ), to zachowuj ac ten sam c ag (x ) pownnśmy uzyskać równeż rozwnȩce Taylora (przynajmnej dla pewnej podklasy Y funkcj c agłych na odcnku [0, 1]). Oczywśce Prawo Najwyższe kojarzy sȩ z pojȩcem bazy ewentualne z welomanam ortogonalnym: Defncja 4.3 Cag (x ) N jest baz a w przestrzen lokalne wypukłej E o le dla każdego elementu x E stneje dokładne jeden c ag skalarów (α ) N tak, że x = α x. Baza (x ) jest baz a Schaudera o le funkcjonały współczynnkowe (tj. przyporz adkowuj ace wektorow x skalar α ) s a c agłe. W welu przypadkach (np. gdy E jest przestrzen a Frécheta) każda baza jest automatyczne baz a Schaudera, por. [11, Ch. 14.2]. Wydaje m sȩ, że zw azek Prawa Najwyższego z pojȩcem bazy jest dość powerzchowny. W perwszym przypadku startujemy od dowolnego c agu, dla którego stneje c ag odpowednch funkcjonałów (f ). Oczywśce wówczas c ag (x ) mus być lnowo nezależny, ale z twerdzena 4.1 wynka, że mus stneć nawet c ag (g ) funkcjonałów z klasy B x takch, że g (x j ) = { 1 jeśl = j, 0 w pozostałych przypadkach. Zatem para (x, g ) tworzy c ag bortogonalny z na ogół nec agłym funkcjonałam (g ) na przestrzen Y. Staje sȩ on prawdzwym c agem bortogonalnym z c agłym funkcjonałam na przestrzen Y ub. C ag (x ) tworzy bazȩ pewnej, w praktyce trudno wyodrebnalnej, podprzestrzen w przestrzen E. Waga pojȩca bazy polega natomast na możlwośc rozwnȩca każdego elementu przestrzen. W twerdzenu 4.2 dostajemy nformacjȩ, że tylko pewne elementy można rozwn ać, 9

10 ale za to mamy algorytm znajdywana współczynnków właśne ten aspekt algorytmczny zblża nas do pojȩca układu ortogonalnego, gdze współczynnk rozwnȩca oblcza sȩ łatwo. Prawo Najwyższe wdzȩ wȩc raczej jako metodȩ wyznaczana funkcjonałów bortogonalnych współcześne bardzo naturaln a, ale w czasach Hoene-Wrońskego jak sȩ zdaje nowatorsk a. Pojȩce bazy w aże sȩ nerozerwalne ze sławnym problemem bazy: pytanem postawonym przez Banacha czy każda ośrodkowa przestrzeń Banacha ma bazȩ [1, str. 141]? Waga tego na pozór abstrakcyjnego problemu berze sȩ st ad, że warto meć rozkład funkcj na prostsze cegełk możlwość utożsamana jej z c agem jej współczynnków rozwnȩca, tak jak warto rozwjać np. funkcje całkowalne wzglȩdem układu Haara, funkcje gładke na odcnku wzglȩdem welomanów Czebyszewa czy funkcje holomorfczne wzglȩdem jednomanów. Szczególne użyteczne s a bazy składaj ace sȩ z porz adnych funkcj. Jak wadomo problem bazy ma negatywne rozw azane (Enflo 1973, [10]). Równeż w nnych klasach przestrzen lokalne wypukłych rozw azane analogcznego problemu jest negatywne: np. w bardzo ważnej klase nuklearnych przestrzen Frécheta udowodnl to Mtyagn Zobn [14] w roku Jest też dobra wadomość: znane naturalne ośrodkowe przestrzene Banacha Frécheta - te które pojawaj a sȩ w analtycznych zastosowanach - maj a bazȩ (patrz np. [18], [12, Ex. 29.5]): np. przestrzene funkcj c agłych na typowych zborach, przestrzene L p, klasy Hardy ego, Bergmana, przestrzene funkcj gładkch na porz adnych zborach, przestrzene dystrybucj temperowanych funkcj holomorfcznych na porz adnych zborach. Podobne jest dla nemetryzowalnych naturalnych przestrzen lokalne wypukłych (por. [7]), np. dla przestrzen dystrybucj przestrzen funkcj próbnych - jedyny znany wyj atek to wysoce nemetryzowalna przestrzeń funkcj analtycznych zmennej rzeczywstej, która choć ośrodkowa, nuklearna, zupełna, ultrabornologczna ( co tam kto jeszcze sobe zażyczy) ne ma bazy (Domańsk-Vogt 2000 [8]). Cekawe, że w tej tematyce jest jeszcze sporo naturalnych problemów otwartych: (Pełczyńsk 1970 [15]) Czy każda przestrzeń dopełnalna w nuklearnej przestrzen Frécheta z baz a ma bazȩ? (Mtyagn 1970 [13, Problem 15]) Czy każda dopełnalna podprzestrzeń w przestrzen dystrybucj temperowanych albo w odpowednej przestrzen funkcj próbnych (tj. przestrzen funkcj gładkch szybko malej acych do zera) ma bazȩ? Podać konkretn a naturaln a bazȩ w przestrzen dystrybucj funkcj próbnych (Ω). (Ω) lub w przestrzen (Bessaga 1968 [5, Problem 1]) Czy każde dwe bazy w nuklearnej przestrzen Frécheta generuj a stotne tȩ sam a przestrzeń c agow a (tj. z dokładnośc a do permutacj odwzorowań dagonalnych)? Bblografa [1] S. Banach, Teorja operacyj, tom I. Operacje lnjowe, Kasa Manowskego, Warszawa [2] S. Banach, Théore des opératons lnéares, Monografe Mat. vol. 1, Warszawa [3] S. Banach, Über das Lo suprême von J. Hoene-Wrońsk, Bull. Inter. Acad. Sc. Pol. Sc. Ser. A, (1939), 1 10; przedruk w: S. Banach, Oeuvres, Vol. II, str , PWN. Warszawa [4] S. Banach, Oeuvres, Vol. II, PWN, Warszawa [5] C. Bessaga, Some remarks on Draglev s theorem, Studa Math. 31 (1968),

11 [6] J. Bochnak, J. Scak, Analytc functons n topologcal vector spaces, Studa Math. 39 (1971), [7] P. Domańsk, Classcal PLS-spaces: spaces of dstrbutons, real analytc functons and ther relatves, n: Orlcz Centenary Volume, Banach Center Publcatons, 64, Proceedngs of the Conferences: Władysław Orlcz Centenary Conference and Functon Spaces VII held n Poznań, July 21 25, 2003, Z. Ceselsk, A. Pełczyńsk and L. Skrzypczak (Eds.), Insttute of Mathematcs, Polsh Academy of Scences, Warszawa 2004, pp [8] P. Domańsk, D. Vogt, The space of real analytc functons has no bass, Studa Math. 142 (2000), [9] S. Dcksten, O prawe najwyższym Hoene-Wrońskego w matematyce, Prace Mat.-Fz. 2 (1890), [10] P. Enflo, A counterexample to the approxmaton property n Banach spaces, Acta Math. 130 (1973), [11] H. Jarchow, Locally Convex Spaces, B. G. Teubner, Stuttgart [12] R. Mese, D. Vogt, Introducton to Functonal Analyss, Clarendon Press, Oxford [13] B. S. Mtyagn, Equvalence of bases n Hlbert scales, Studa Math. 37 (1970), [14] B. S. Mtyagn, N. M. Zobn, Contre-exemple à l exstence d une base dans un espace de Fréchet nucleare, C. R. Acad. Sc. Pars Ser. A 279 (1974), , [15] A. Pełczyńsk, Proceedngs of the nternatonal colloquum on nuclear spaces and deals of operators, Problem 37, Studa Math. 38 (1970), 476. [16] P. Perez-Carreras, J. Bonet, Barrelled Locally Convex Spaces, North-Holland, Amsterdam [17] J. Wengenroth, Derved Functors n Functonal Analyss, Lecture Notes Math. 1810, Sprnger, Berln [18] P. Wojtaszczyk, Banach Spaces for Analysts, Cambrdge Unversty Press Adres autora: P. Domańsk Wydzał Matematyk Informatyk Unwersytet m. Adama Mckewcza, Poznań oraz Instytut Matematyczny PAN (Oddzał w Poznanu) Umultowska Poznań, POLSKA e-mal: domansk@amu.edu.pl 11