AGREGACJA SĄDÓW A AGREGACJA PREFERENCJI

Transkrypt

1 DECYZJE nr 16 grudzeń 2011 AGREGACJA SĄDÓW A AGREGACJA PREFERENCJI Joanna Ochremak Polska Akadema Nauk Streszczene: Artykuł stanow wprowadzene do teor agregacj sądów oraz porusza temat jej zwązków z teorą agregacj preferencj. Oparty na logce model formalny agregacj sądów porównany jest z modelem formalnym agregacj preferencj. Przedstawony zostaje ponadto wynk w teor agregacj sądów stanowący dokładny odpowednk twerdzena Arrowa dla mocnych porządków. Słowa kluczowe: agregacja sądów, agregacja preferencj, zachowane jednomyślnośc, nezależność, twerdzene Arrowa. JUDGMENT AGGREGATION AND PREFERENCE AGGREGATION Abstract: In the paper we present an ntroducton to the theory of judgment aggregaton and dscuss ts relaton to the theory of preference aggregaton. We compare the formal model of judgment aggregaton, based on logc, wth the formal model of preference aggregaton. Fnally, we present a theorem n judgment aggregaton whch s an exact analogue of Arrow's theorem for strct preferences. Keywords: judgment aggregaton, preference aggregaton, unanmty preservaton, ndependence, Arrow's theorem. 1. Wprowadzene Celem artykułu jest ukazane zwązków pomędzy stosunkowo nową dzedzną badań nad agregacją sądów a teorą agregacj preferencj. W rozdzale perwszym krótko przedstawam hstorę oraz najważnejsze problemy obu teor, sytuując je w szerszym kontekśce teor wyboru społecznego. W roz- Joanna Ochremak, Instytut Matematyczny PAN, ul. Śnadeckch 8, Warszawa, skr. poczt. 21, e-mal: joanna.ochremak@gmal.com Autorka bardzo dzękuje anonmowym Recenzentom za cenne uwag. 43

2 AGREGACJA SĄDÓW A AGREGACJA PREFERENCJI dzale drugm koncentruję sę na wprowadzenu narzędz potrzebnych do dalszej analzy. Zaczynam od przypomnena podstawowych pojęć teor agregacj preferecj, a następne wprowadzam omawam model formalny teor agregacj sądów wraz z przykładam. Rozdzał trzec zawera porównane obu model. W szczególnośc pokazuję, w jak sposób można mówć o agregacj preferencj językem teor agregacj sądów. W rozdzale czwartym prezentuję twerdzene, którego szczególny przypadek stanow twerdzene Arrowa dla mocnych porządków Agregacja preferencj Teora wyboru społecznego koncentruje sę na poszukwanu odpowedz na pytane, w jak sposób należy podejmować zborowe decyzje na podstawe ndywdualnych ocen społecznych rozwązań. Jedną z jej najważnejszych gałęz stanow agregacja preferencj. O agregacj preferencj mówmy, gdy poglądy członków grupy w kwest rozważanych alternatyw społecznych wyrażone są za pomocą relacj bnarnych. Każda osoba porządkuje zbór możlwych rozwązań, deklarując, które z nch uważa za lepsze, a które za gorsze. Mówąc o preferencjach, zakładamy węc porządkowy pomar ntensywnośc preferencj. Innym sposobem reprezentacj ndywdualnych ocen jest reprezentowane ch za pomacą kardynalnych funkcj użytecznośc, które stanową mocnejszy, przedzałowy pomar ntensywnośc preferencj. Skoro wemy już, że podstawę społecznej decyzj stanow profl ndywdualnych relacj preferencj, należy zadać sobe pytane, jak ma być wynk procesu agregacj. Wyróżnamy dwa podejśca. Jeśl nteresuje nas wyłączne wybór z rozważanego zboru alternatyw społecznych podzboru najlepszych rozwązań, to mówmy o funkcjach wyboru. Jeśl zaś efektem procesu podejmowana decyzj ma być relacja preferencj społecznej, czyl uporządkowane zboru alternatyw, to przedmotem naszych badań czynmy zasady zborowej oceny, nazywane równeż po prostu metodam agregacj. Nnejszy artykuł oparty jest na drugm spośród opsanych powyżej alternatywnych sformułowań problemu decyzj. Zagadnene agregacj ndywdualnych preferencj w preferencję społeczną jest bowem, jak sę przekonamy, ścśle zwązane z teorą agregacj sądów. Warto jednak podkreślć, że chocaż oba podejśca wyznaczają różne dzedzny badań teoretycznych, to wynk osągane przy zastosowanu perwszego modelu można często przełożyć na drug na odwrót. Za datę powstana teor wyboru społecznego uznajemy rok 1951, kedy wydana została monografa Arrowa Socal Choce and Indvdual Values. Jest to jednocześne data powstana teor agregacj preferencj, gdyż to właśne ta gałąź teor wyboru spo- 44

3 Joanna Ochremak łecznego została sformułowana jako perwsza. Słynne twerdzene Arrowa o nemożlwośc odnos sę do zasad zborowej oceny przy dodatkowym założenu ndywdualnej grupowej racjonalnośc. Refleksja nad sposobam podejmowana zborowych decyzj ma jednak znaczne dłuższą hstorę. Prapoczątk teor wyboru społecznego wążemy z odkrytym pod konec XVIII w. paradoksam, ujawnającym ułomnośc powszechne stosowanych procedur decyzyjnych. Najbardzej bodaj znany przykład takego paradoksu pochodz od Condorceta: Przykład 1.1. (Paradoks Condorceta) Trzy osoby podejmują decyzję w sprawe trzech alternatyw społecznych x, y oraz z. Ich preferencje są następujące: Osoba I uważa alternatywę x za najlepszą, zaś alternatywę y za lepszą nż z, wypsując w porządku od najlepszej do najgorszej: xyz. Osoba II uważa alternatywę y za najlepszą, zaś alternatywa z jest jej zdanem lepsza nż x, wypsując w porządku od najlepszej do najgorszej: yz x. Osoba III uważa natomast za najlepszą alternatywę z, zaś alternatywę x za lepszą nż y, wypsując w porządku od najlepszej do najgorszej: z x y. Klasyczną metodą podejmowana decyzj zborowej jest uznane za społeczne lepszą tej spośród pary alternatyw, którą węcej osób przedkłada nad tę drugą. Paradoksalne jednak wyznaczona w ten sposób relacja preferencj okazuje sę w tym przypadku cyklczna: rozwązane x jest społeczne lepsze od y, y społeczne lepsze od z, zaś z społeczne lepsze od x. Nemożlwy jest tym samym wybór jednej najlepszej alternatywy. Własnośc konkretnych metod podejmowana zborowych decyzj rozważano, jak wdać, na długo przed Arrowem. Przełomowe znaczene jego monograf wynka z zupełne nowego podejśca do analzy problemu. Podejśce to nazywamy metodą aksjomatyczną. Jej zastosowane wymaga sformułowana lsty postulatów, które pownna z jakegoś względu spełnać metoda agregacj. Warunk te mogą być rozmate. Często, jak w przypadku twerdzena Arrowa, odzwercedlają nezbędne własnośc demokratycznego podejmowana decyzj. Mogą równeż wyrażać postulat odpornośc metody na strategczne manpulacje, polegające na neszczerym przedstawanu własnych preferencj, czy też troskę o respektowane praw ndywdualnych. Dla danego zestawu warunków staramy sę następne wyróżnć metodę lub klasę metod je spełnających. Może sę oczywśce okazać, że ne stneje żadna metoda o pożądanych własnoścach. Wynk badań przyjmują wówczas postać twerdzeń o nestnenu. Ich wymowa ne jest jednak wyłączne negatywna. Wskazując na ogranczena procedur decyzyjnych, zmuszają nas do urealnena stawanych m wymagań. Wykazane, że zada- 45

4 AGREGACJA SĄDÓW A AGREGACJA PREFERENCJI ne warunk ne mogą zachodzć jednocześne, skłana ponadto do głębszej refleksj nad problemem w celu ustalena, które spośród wartośc wyrażanych poprzez formalne postulaty są dla nas bardzej, a które mnej stotne. Ogromna popularność Arrowa oraz wpływ, jak on jego następcy wywarl na teorę wyboru społecznego, sprawły, że teora agregacj preferencj na pół weku zajęła domnującą pozycję w dzedzne refleksj nad podejmowanem decyzj zborowych Agregacja sądów Ne każdy problem decyzj grupowej polega na wyznaczenu relacj preferencj społecznej, która umożlw wybór najlepszego spośród rozważanych rozwązań. Często mamy do czynena z sytuacją wymagającą po prostu wyrażena wspólnej opn w sprawe pewnego zboru stwerdzeń. Podjęce decyzj oznacza grupową zgodę bądź negację elementów zboru kwest do rozpatrzena, nazywanego agendą. Przykład 1.2. Rozważmy trzyosobowe grono ekspertów, którego zadanem jest zajęce wspólnego stanowska w następujących kwestach: a : a b : b : Nastąp wzrost PKB. Jeśl nastąp wzrost PKB, to wzrośne nflacja. Nastąp wzrost nflacj. Osoba I uważa, że nastąp wzrost PKB, który spowoduje nflację. Osoba II sądz co prawda, że wzrost PKB skutkuje nflacją, ale ne werzy we wzrost nflacj tym samym we wzrost PKB. Osoba III werzy we wzrost PKB, ale ne zgadza sę ze stwerdzenem, że spowoduje on wzrost nflacj. Uważa, że nflacja ne wzrośne. Przypuśćmy, że rozważane grono podejmuje decyzje w następujący, często spotykany sposób: zgadza sę ze zdanem, jeśl węcej członków grupy akceptuje to zdane nż jego zaprzeczene. Opne ekspertów oraz ch ostateczne stanowsko w każdej z rozważanych kwest lustruje ponższa tabela. Tabela 1. Dylemat dyskursywny a a b b osoba I tak tak tak osoba II ne tak ne osoba IIII tak ne ne decyzja grupowa tak tak ne Źródło: Detrch, F., C. Lst Arrow s theorem n judgment aggregaton. Socal Choce and Welfare 29 (1):

5 Joanna Ochremak Dwe spośród trzech osób sądzą, że nastąp wzrost PKB. Podobne dwe osoby uważają, że wzrost PKB spowoduje wzrost nflacj oraz dwe osoby werzą, że nflacja ne wzrośne. Stanowsko wypracowane przez ekspertów jest zatem sprzeczne. Powyższy przykład stanow lustrację szerszego problemu, nazwanego przez Pettta (zob. Pettt 2001) dylematem dyskursywnym (dscursve dlemma). Okazuje sę, że zastosowane do zboru logczne powązanych kwest klasycznego sposobu podejmowana decyzj metody zwykłej wększośc, może dawać w rezultace sprzeczny zbór zdań. Ponadto dzeje sę tak w sytuacj, gdy ndywdualne poglądy każdego członka grupy podejmującej decyzję są nesprzeczne. Hstoryczne perwszy przykład dylematu dyskursywnego stanow tak zwany paradoks doktryny (doctrnal paradox), analzowany w dzedzne prawa ekonom (zob. Kornhauser, Sager 1986). Przykład 1.3. (Paradoks doktryny) Trzech sędzów ma podjąć wspólną decyzję w sprawe wny podejrzanego. Muszą w tym celu zająć stanowsko w czterech kwestach: a : Podejrzany popełnł zarzucany mu czyn. b : Zarzucany podejrzanemu czyn stanow przestępstwo. c a b : Podejrzany jest wnny wtedy tylko wtedy, gdy popełnł przestępstwo. c : Podejrzany jest wnny. Wszyscy trzej sędzowe zgadzają sę z trzecm stwerdzenem stanowącym doktrynę prawa. Sędza I uważa, że podejrzany popełnł zarzucany mu czyn, który ponadto jest przestępstwem. Sędza II sądz, że podejrzany popełnł zarzucany mu czyn, ale jego zdanem ne był to czyn nezgodny z prawem. Sędza III twerdz natomast, że podejrzany ne popełnł zarzucanego mu czynu, ale zgadza sę ze stwerdzenem, że czyn ten stanow przestępstwo. W konsekwencj sędza I jest zdana, że podejrzany jest wnny, zaś sędzowe II III zaprzeczają wne podejrzanego. Tabela 2. Paradoks doktryny a b c a b c sędza I tak tak tak tak sędza II tak ne tak ne sędza IIII ne tak tak ne decyzja grupowa tak tak tak ne Źródło: Detrch, F., C. Lst Strategy-proof judgment aggregaton. Economcs and Phlosophy 23: Załóżmy, że rozważane grono podejmuje decyzje, zgadzając sę ze zdanem, gdy węcej jego członków akceptuje to zdane nż jego negację. Mamy wówczas do czynena ze sprzecznoścą, którą lustruje powyższa tabela. Sędzowe uznają, że podejrzany popełnł zarzucany mu czyn oraz że czyn ten stanow przestępstwo, a jednocześne twerdzą, że jest on newnny, co stanow sprzeczność z jednomyślne akceptowaną doktryną prawa. 47

6 AGREGACJA SĄDÓW A AGREGACJA PREFERENCJI Paradoks doktryny sformułowany został początkowo w kontekśce konflktu mędzy podejmowanem decyzj na podstawe przesłank a podejmowanem decyzj, operając sę na wnoskach (zob. Kornhauser, Sager 1986). Dopero po pewnym czase zaobserwowano, że podobne jak paradoks Condorceta ujawna on stotną wadę powszechne stosowanej procedury decyzyjnej (zob. Pettt 2001). Obserwacja ta stanowła nsprację do głębszej refleksj na temat problemów decyzyjnych polegających na zajęcu grupowego stanowska w sprawe zboru logczne powązanych kwest. Powstało pytane, jak podejmować decyzje, by unknąć sprzecznośc? Perwsze formalne podejśce do teor agregacj sądów zaproponowal Lst Pettt (zob. Lst, Pettt 2002). Podal on ponadto dowód perwszego, prostego twerdzena o nestnenu. Oparty na rachunku zdań model, którym sę posłużyl, był jednak bardzo ogranczony pozwalał na analzowane jedyne bardzo specyfcznych, prostych zagadneń. Model, który zaprezentowany zostane w nnejszym artykule, powszechne stosowany współcześne, stanow jego uogólnene. Został on sformułowany przez Detrcha (zob. Detrch 2007a) bazuje na nezwykle ogólnych podstawach logcznych. Dzęk temu w jego języku można wyrazć wele skomplkowanych problemów decyzyjnych. Teora agregacj sądów doskonale wpsuje sę w tradycję teor wyboru społecznego ne tylko tematyką swoch badań, ale także stosowaną metodologą. W stosunku do procedur podejmowana decyzj, dotyczących zboru logczne powązanych kwest, formułowane są postulaty stanowące bardzej lub mnej dokładne odpowednk warunków nakładanych na metody agregacj preferencj. Mają one odzwercedlać wymagana demokracj, odporność na zachowana strategczne czy troskę o respektowane autonom osób. Badana nad stnenem własnoścam procedur decyzyjnych, spełnających określony zestaw postulatów, doprowadzły do udowodnena welu twerdzeń nsprowanych lub uogólnających znane wynk teor agregacj preferencj, jak twerdzene Arrowa (zob. Dokow, Holzman 2010a Detrch, Lst 2007a), twerdzene Gbbarda o stnenu olgarch (zob. Detrch, Lst 2008a Dokow, Holzman 2010b), paradoks lberalzmu Sena (zob. Detrch, Lst 2008b) oraz twerdzene Gbbarda-Satterthwate a o manpulowalnośc (zob. Detrch, Lst 2007d). Zastosowane metody aksjomatycznej w dzedzne agregacj sądów zaowocowało nowym pytanam badawczym wynkającym ze stopna ogólnośc podstaw logcznych modelu. Odpowedź na pytane o klasę metod posadających zadane własnośc zależy bowem w tym przypadku ne tylko od samych własnośc, ale także od struktury logcznej problemu decyzyjnego, czyl stopna powązań logcznych zboru rozważanych przez grupę kwest. Możemy przykładowo zapytać, jak szeroka jest klasa agend, dla których jedyną metodą podejmowana decyzj spełnającą zmodyfkowane postulaty twerdzena Arrowa jest dyktatura? 48

7 Joanna Ochremak Przykład 1.4. Trzyosobowe grono specjalstów ma podjąć decyzję w trzech kwestach: a : b : c : Lekarstwo A jest skuteczne w walce z rakem. Lekarstwo B jest skuteczne w walce z rakem. Lekarstwo C jest skuteczne w walce z rakem. Specjalsta I uważa, że skuteczne są wszystke trzy lek. Specjalsta II jest zdana, że skuteczny jest wyłączne lek A, zaś specjalsta III sądz, że skuteczne są lek A oraz B. Przypuśćmy, że rozważane grono zgadza sę ze zdanem, jeśl węcej jego członków akceptuje to zdane nż jego zaprzeczene. Opne specjalstów oraz ch ostateczne stanowsko w każdej z rozważanych kwest lustruje ponższa tabela. Tabela 3. Metoda zwykłej wększośc dla prostego problemu decyzyjnego a b c specjalsta I tak tak tak specjalsta II tak ne ne specjalsta IIII tak tak ne decyzja grupowa tak tak ne Źródło: Opracowane własne. W przypadku problemu decyzyjnego opsanego powyżej zastosowane metody zwykłej wększośc ne rodz żadnych wątplwośc. Posada ona wszystke własnośc demokratycznego podejmowana decyzj, a struktura logczna agendy jest tak prosta 1, że ne groz nam podjęce decyzj sprzecznej. Netrudno sę jednak domyślć, że m bardzej skomplkowany logczne jest problem decyzyjny, tym mnejsza klasa procedur spełna postawone wymagana. W ostatecznośc klasa ta może być pusta. Do najcekawszych wynków w teor agregacj sądów należą twerdzena jednoznaczne rozstrzygające, dla jakch agend stneją, a dla jakch ne stneją, metody o zadanych własnoścach. 2. Podstawowe pojęca W tym rozdzale zacznemy od przypomnena podstawowych pojęć teor agregacj preferencj. Następne omówmy wprowadzony przez Detrcha (zob. Detrch 2007a) model formalny teor agregacj sądów. Wększość defncj zostane zlustrowana przykładam. 1 Logczne powązane są tylko każde zdane jego negacja. 49

8 AGREGACJA SĄDÓW A AGREGACJA PREFERENCJI 2.1. Agregacja preferencj model formalny Zbór osób. Zbór osób podejmujących społeczną decyzję oznaczamy przez N = {1, 2,..., n}. Jest on skończony nepusty. Relacja preferencj. Relacją preferencj nazywamy dowolną relację bnarną R na skończonym, nepustym zborze alternatyw społecznych K = {x, y, z,...}. Przyjmujemy, że zaps xry oznacza, że alternatywa x jest przynajmnej tak dobra, jak alternatywa y. Jeśl dla każdej spośród n osób podejmujących zborową decyzję mamy jej relację preferencj R na zborze alternatyw społecznych K, to otrzymujemy profl preferencj ndywdualnych (R 1, R 2,..., R n ). Z relacją R wążemy ponadto relację mocnej preferencj P, gdze xpy zachodz wtedy tylko wtedy, gdy xry neprawda, że yrx, a także relację ndyferencj I taką, że xiy zachodz wtedy tylko wtedy, gdy xry oraz yrx. Przyjmujemy, że zaps xpy oznacza, że alternatywa x jest lepsza nż y, zaś zaps xiy, że alternatywa x jest równe dobra jak y. Powemy, że relacja preferencj R jest: spójna, jeśl dla dowolnych x, y K takch, że x y, zachodz xry lub yrx, czyl ne stneją dwe różne alternatywy, których jednostka bądź grupa ne jest w stane porównać, zwrotna, jeśl dla każdego x K mamy xrx, czyl każda alternatywa jest uznawana za przynajmnej tak dobrą jak ona sama, przechodna, jeśl dla dowolnych x, y, z K zachodz: (xry oraz yrz) mplkuje xrz, quas-przechodna, jeśl odpowadająca jej relacja P jest przechodna, czyl dla dowolnych x, y, z K zachodz: (xpy oraz ypz) mplkuje xpz, acyklczna, jeśl odpowadająca jej relacja P jest acyklczna, czyl dla dowolnych alternatyw x, y, z,..., u, v K zachodz: jeśl (xpy, ypz,..., upv), to neprawda, że vpz. Netrudno zauważyć, że relacja mocnej preferencj P jest przecwsymetryczna, czyl dla dowolnych x, y K, jeśl xpy, to neprawda, że ypx. Oznacza to, że jest ona równeż przecwzwrotna 2, czyl dla każdego x K neprawda, że xpx. Obe własnośc zgadzają sę z ntucją zwązaną z pojęcem mocnej preferencj. Perwsza z nch oznacza, że uznane alternatywy x za lepszą od y wyklucza uznane alternatywy y za lepszą od x. Druga natomast głos, że żadna alternatywa ne jest uznawana za lepszą od sebe samej. Relacja ndyferencj I jest z kole symetryczna, czyl dla dowolnych x, y K, jeśl xiy, to zachodz yix. Uznając alternatywę x za równe dobrą jak y, uznajemy jednocześne alternatywę y za równe dobrą jak x. 2 Każda relacja przecwsymetryczna jest przecwzwrotna. 50

9 Joanna Ochremak Zauważmy, że jeśl relacja preferencj R jest spójna zwrotna, to dla dowolnej pary alternatyw x, y K mamy xpy albo ypx albo xiy. Zamast rozważać relację preferencj R możemy w tym przypadku równoważne mówć o odpowadającej jej relacj mocnej preferencj P. W dalszym cągu artykułu zakładamy, że wszystke analzowane relacje preferencj R są spójne zwrotne, a mówąc o relacj mocnej preferencj P, mamy na myśl relację przecwsymetryczną. Relację R spełnającą ponadto warunek przechodnośc nazywamy słabym porządkem lub racjonalną relacją preferencj. Metoda agregacj. Funkcję F, która proflow preferencj ndywdualnych (R 1, R 2,..., R n ) przyporządkowuje relację F(R 1, R 2,..., R n ) = R na zborze alternatyw społecznych K, nterpretowaną jako relacja preferencj społecznej, nazywamy metodą agregacj. Zbór profl, na którym określona jest funkcja F, nazywamy jej dzedzną. Metoda zwykłej wększośc. Najpopularnejsza metoda agregacj preferencj metoda zwykłej wększośc została już wspomnana przy okazj opsywana paradoksu Condorceta (zob. przykład 1.1). Teraz zdefnujemy ją formalne. Metoda ta przedkłada alternatywę x nad alternatywę y, jeśl węcej członków grupy przedkłada x nad y nż y nad x, czyl Dyktatura. Jeśl stneje taka osoba, że dla każdego proflu preferencj jej mocna ndywdualna preferencja mędzy dowolną parą alternatyw x, y wyznacza taką samą preferencję społeczną, czyl xp y xpy, to mamy do czynena z dyktaturą. Pożądane jest, aby metoda agregacj preferencj spełnała pewne warunk wyrażające własnośc demokratycznego podejmowana decyzj. Słaba optymalność Pareto. Jeśl w sytuacj, gdy wszyscy przedkładają alternatywę x nad alternatywę y, metoda agregacj równeż przedkłada x nad y, to powemy, że spełna ona warunek słabej optymalnośc Pareto. Nezależność od alternatyw nezwązanych. Metoda agregacj spełna warunek nezależnośc od alternatyw nezwązanych, jeśl dla dowolnych alternatyw x, y K dowolnych profl (R 1, R 2,..., R n ) oraz (R 1, R 2,..., R n ) należących do dzedzny zachodz ( N( xr y xr xpy { N : xp y} > { N : yp x}. y yr x yr x)) ( xry xr Oznacza to, że społeczna preferencja mędzy alternatywam x y zależy wyłączne od preferencj członków grupy względem tych alternatyw ne mają na ną wpływu preferencje zwązane z nnym alternatywam. Neutralność. Metodę agregacj nazwemy neutralną, jeśl dla każdej permutacj σ zboru alternatyw K dowolnych profl (R 1, R 2,..., R n ) oraz (R 1, R 2,..., R n ) należących do dzedzny zachodz y yrx yr x). 51

10 AGREGACJA SĄDÓW A AGREGACJA PREFERENCJI ( N x, y K ( xr y σ ( x) R σ ( y))) ( x, y K( xry σ ( x) R σ ( y))). Oznacza to, że preferencja społeczna mędzy każdą parą alternatyw wyznaczana jest w tak sam sposób Agregacja sądów model formalny Zbór osób. Podobne jak w przypadku agregacj preferencj, w teor agregacj sądów rozważamy skończony, nepusty zbór osób N = {1, 2,..., n} podejmujących społeczną decyzję. Logka. Kweste, które grupa ma do rozstrzygnęca, wyrażone są w języku logk formalnej. Systemem logcznym nazwemy nepusty zbór zdań 3 L zamknęty ze względu na negację (jeśl p L, to p L) wraz z wyróżnoną rodzną swoch podzborów, nazywanych nesprzecznym. Rodzna ta ma następujące własnośc: każda para {p, p} L jest zborem sprzecznym, podzbór każdego zboru nesprzecznego jest nesprzeczny, zbór pusty Ljest nesprzeczny oraz dla każdego nesprzecznego zboru S L stneje nesprzeczny nadzbór T L tak, że dla każdej pary {p, p} L mamy p T lub p T. O zborach S L spoza rodzny zborów nesprzecznych mówmy natomast, że są sprzeczne. Pojęce nesprzecznośc określa logczne powązana mędzy zdanam. Powemy, że ze zboru zdań A L wynka zdane p L (ozn. A p), gdy zbór A { p} jest sprzeczny. Przykład 2.1. Systemem logcznym jest rachunek zdań. Do zboru L należą w tym przypadku wszystke poprawne zbudowane formuły rachunku zdań, czyl mędzy nnym zdana a, a, b, a b oraz a b. Do rodzny zborów nesprzecznych zalczamy wszystke zbory S L, dla których stneje take wartoścowane, że wartość logczna każdego zdana p S jest równa 1. Są to zbory take, jak {a, a b, b} lub {a, a b}. Zborem sprzecznym będze przykładowo zbór {a, a}, czy też {a, a b, b}. Zdefnowane w powyższy sposób przez Detrcha (zob. Detrch 2007a) pojęce systemu logcznego jest nezwykle ogólne abstrakcyjne. Kosztem wysokego stopna abstrakcj modelu otrzymujemy jednak dużą dowolność doboru odpowednego rodzaju logk do analzy konkretnych problemów decyzyjnych. Poza rachunkem zdań 3 Przez zdana rozumemy skończone cąg symbol. Przykładowo: a, x c, x(px). 52

11 Joanna Ochremak systemy logczne w rozumenu podanej defncj stanową mędzy nnym język rachunku predykatów czy też logk modalnej (zob. [Detrch 2007a]). Agenda. Zbór kwest, co do których grupa ma podjąć zborową decyzję, nazywamy agendą. Jest to skończony, nepusty podzbór X zboru L tak, że X = {p, p: p X + } dla pewnego zboru nezanegowanych 4 zdań X +. Taka defncja pozwala unknąć problemu podwójnych negacj. Dla uproszczena, podając przykłady agend, będzemy zazwyczaj ogranczać sę do wypsana elementów zboru X +. Zakładamy ponadto, że p oznacza zdane p. Przykład 2.2. Do analzy problemu decyzyjnego opsanego w przykładze 1.2 możemy zastosować system logczny L będący rachunkem zdań. Stwerdzena rozważane przez grupę reprezentujemy za pomocą poprawne zbudowanych formuł. Agendę stanow wówczas zbór X = { a, a, a b, ( a b), b, b}. Elementam zboru X + są natomast zdana a, a b oraz b. Możlwe jest równeż analzowane agend neskończonych. Po pewnej modyfkacj założeń pozostaje dla nch w mocy wększość twerdzeń. Uogólnene wynków uzyskuje sę jednak kosztem wydłużena komplkacj dowodów. Dla elegancj jasnośc wywodu ogranczymy sę do rozważana agend skończonych. Zakładamy ponadto, że do agendy ne należą zdana sprzeczne 5 an tautologe 6, czyl dla każdego zdana p X zarówno zbór {p}, jak { p} są nesprzeczne. Zbór sądów. Zborem sądów nazywamy zbór zdań A X zawerający te spośród zdań należących do agendy, które są akceptowane przez pewną jednostkę bądź grupę. Przy czym zazwyczaj przyjmujemy, że akceptować zdane p X oznacza tyle, co werzyć, że zdane p jest prawdzwe. Jeśl dla każdej spośród n osób podejmujących zborową decyzję mamy dany jej zbór sądów, to otrzymujemy profl (A 1, A 2,..., A n ). Przykład 2.3. W przypadku opsanym w przykładze 1.2 zboram sądów osób I, II III są odpowedno zbory A 1 = {a, a b, b}, A 2 = { a, a b, b} oraz A 3 = {a, (a b), b}. Za Detrchem (zob. Detrch 2007a) wprowadzmy teraz cztery klasyczne warunk nakładane na zbór sądów. Stanową one próbę formalnego odzwercedlena założeń o ndywdualnej bądź grupowej racjonalnośc. Powemy, że zbór sądów A X jest: 4 Przez zdane nezanegowane rozumemy zdane, które ne rozpoczyna sę od symbolu negacj. 5 Zdanem sprzecznym nazywamy zdane p L, dla którego zbór {p} jest sprzeczny. 6 Tautologą nazywamy zdane p L, dla którego zbór { p} jest sprzeczny. 53

12 AGREGACJA SĄDÓW A AGREGACJA PREFERENCJI nesprzeczny, jeśl jest nesprzeczny w sense danego systemu logcznego L, zupełny, jeśl dla każdego p X mamy p A lub p A 7, całkowce racjonalny, jeśl jest zupełny nesprzeczny, dedukcyjne domknęty, jeśl A = {p X: A p}. Zauważmy, że w rozumenu powyższej defncj, aby dany zbór sądów nazwać całkowce racjonalnym, ne wystarczy, żeby był on nesprzeczny. Deklarująca go jednostka bądź grupa pownna wyrazć ponadto swoje zdane na temat każdej kwest należącej do agendy, gdyż zbór sądów spełna warunek zupełnośc, jeśl dla każdego zdana p X akceptowane jest to zdane lub jego negacja. Cekawą alternatywę dla tego dość wymagającego przez to często krytykowanego postulatu (zob. Gärdenfors 2006) stanow dedukcyjna domknętość. Oznacza ona, że akceptacja pewnego zboru zdań pocąga za sobą jednocześne akceptację wszystkch zdań, stanowących jego logczną konsekwencję. Netrudno zauważyć, że każdy całkowce racjonalny zbór sądów jest jednocześne dedukcyjne domknęty. Przykład 2.4. Powróćmy raz jeszcze do przypadku opsanego w przykładze 1.2. Przypomnjmy, że X = {a, a, a b, (a b), b, b}. Wówczas zbór sądów: {a, a b} jest nesprzeczny, ale ne jest zupełny an dedukcyjne domknęty, {a, a b, b} jest zupełny, ale ne jest nesprzeczny an dedukcyjne domknęty, {a} jest dedukcyjne domknęty nesprzeczny, ale ne jest zupełny, {a, a, a b, (a b), b, b} jest zupełny dedukcyjne domknęty, ale sprzeczny (zbór dedukcyjne domknęty sprzeczny zawera wszystke elementy agendy, czyl jedynym przykładem takego zboru jest cała agenda X), {a, (a b), b} jest nesprzeczny zupełny, czyl całkowce racjonalny, a węc także dedukcyjne domknęty. Metoda agregacj. Funkcję F, która proflow ndywdualnych zborów sądów (A 1, A 2,..., A n )przyporządkowuje zbór F(A 1, A 2,..., A n ) = A X, nterpretowany jako zbór zdań społeczne akceptowanych przez grupę N, nazywamy metodą agregacj. Chcelbyśmy, aby była ona maksymalne unwersalna, żeby osoby zaangażowane w proces decyzyjny mogły ceszyć sę możlwe dużą swobodą w deklarowanu swoch poglądów. Zakładamy jednak zazwyczaj, że ndywdualne zbory sądów będące przedmotem agregacj są w jakmś sense rozsądne, czyl przynajmnej nesprzeczne. Zbór profl, na którym określona jest funkcja F, nazywamy jej dzedzną. 7 Zauważmy, że własność zupełnośc zboru sądów zależy w szczególnośc od agendy, której jest on podzborem. Wprowadzone pojęce zupełnośc różn sę węc neco od występującej w logce własnośc zupełnośc, np. zupełnośc danego zboru formuł rachunku zdań. 54

13 Joanna Ochremak Metoda zwykłej wększośc. Metodą agregacj sądów bardzo często stosowaną w praktyce jest metoda zwykłej wększośc. Defnujemy ją analogczne jak w przypadku agregacj preferencj. Zdane p X jest społeczne akceptowane, jeśl węcej członków grupy akceptuje to zdane nż jego zaprzeczene, czyl F A, A,..., A ) = { p X : { N : p A } > { N : p A } }. ( 1 2 n Jak już sę przekonalśmy, decyzja podjęta w wynku zastosowana tej metody może być sprzeczna. Metoda oparta na przesłankach. Jedną z metod, których dotyczy omawany we wprowadzenu paradoks doktryny, stanow metoda oparta na przesłankach (premse- -based rule). Aby ją zastosować, należy wyróżnć wśród rozważanych kwest zbór Y nazywany zborem przesłanek podjąć w ch sprawe decyzję przy użycu metody zwykłej wększośc. Ostateczne społeczne akceptowane są wszystke zdana, które stanową logczną konsekwencję zboru zaakceptowanych przesłanek, czyl F( A1, A2,..., An ) = { p X : G( A1, A2,..., An ) Y p}, gdze funkcja G oznacza metodę zwykłej wększośc. Prześledźmy zastosowane tej metody w przypadku opsanym w przykładze 1.2. Jeśl uznamy za przesłank elementy zboru {a, a b} oraz ch negacje, to w wynku zastosowana metody zwykłej wększośc otrzymamy zbór {a, a b}. Jego logczną konsekwencję stanow zdane b. Ostateczne węc decyzją społeczną jest zbór sądów {a, a b, b} (zob. tabela 4). W powyższym przykładze jest stosunkowo jasne, które spośród elementów agendy należy uznać za przesłank. Trzeba jednak podkreślć, że w ogólnośc podzału dokonuje sę arbtralne zależy on od nterpretacj. Jeśl powązana logczne pomędzy elementam agendy są złożone, decyzja ta może sę okazać trudna kontrowersyjna. Zwłaszcza że w sposób oczywsty wpływa ona na wynk procesu agregacj. Metoda oparta na konkluzjach. Metodę w pewnym sense opozycyjną do metody opartej na przesłankach stanow metoda oparta na konkluzjach (concluson-based rule). Tu równeż wyróżnamy spośród rozważanych zdań pewen podzbór Z nazywany zborem konkluzj, a następne stosując metodę zwykłej wększośc decydujemy, które z nch będą społeczne akceptowane. Wstrzymujemy sę natomast od decyzj w kwest pozostałych elementów agendy, nterpretowanych jako przesłank. F( A1, A2,..., An ) = G( A1, A2,..., An ) Z, gdze funkcja G oznacza metodę zwykłej wększośc. 55

14 AGREGACJA SĄDÓW A AGREGACJA PREFERENCJI Efektem zastosowana powyższej metody do przypadku opsanego w przykładze 1.2, przy wyróżnonym zborze konkluzj {b, b}, jest jednoelementowy zbór sądów akceptowanych społeczne { b} (zob. tabela 4). Do metody opartej na konkluzjach odnoszą sę podobne zastrzeżena, co do metody opartej na przesłankach. Wynk procesu agregacj zależy od wyboru zboru wyróżnonych zdań Z. Problemy może rodzć także brak rozstrzygnęć w sprawe przesłanek. Grono podejmujące decyzję ne ma bowem podstaw, by uzasadnć swoje stanowsko. Dyktatura. Skrajne zdegenerowaną metodę agregacj stanow dyktatura. Mamy z ną do czynena w sytuacj, gdy stneje taka osoba, że sąd p X jest społeczne akceptowany wtedy tylko wtedy, gdy akceptuje go osoba, czyl dla każdego proflu należącego do dzedzny zachodz F(A 1, A 2,..., A n ) = A. Zauważmy, że pojęce to defnujemy neco naczej nż w przypadku agregacj preferencj, gdze dopero mocna ndywdualna preferencja dyktatora wyznacza taką samą preferencję społeczną. Relacja preferencj społecznej uzyskana w wynku dyktatury ne mus być zatem dokładne taka sama, jak relacja preferencj dyktatora. Tabela 4 przedstawa wynk zastosowana każdej z opsanych wyżej metod agregacj sądów w przypadku agendy oraz proflu ndywdualnych zborów sądów opsanych w przykładze 1.2. Tabela 4. Porównane wynków zastosowana czterech różnych metod agregacj sądów a a b c osoba I tak tak tak osoba II ne tak ne osoba IIII tak ne ne metoda zwykłej wekszośc tak tak ne metoda oparta na przesłankach tak tak tak metoda oparta na konkluzjach ne dyktatura osoby II ne tak ne Źródło: Opracowane własne. Podobne jak teora agregacj preferencj, teora agregacj sądów formułuje w stosunku do analzowanych metod formalne warunk mające na celu odzwercedlene pożądanych własnośc demokratycznego procesu podejmowana decyzj. Zachowane jednomyślnośc. Jeśl zadeklarowane przez każdego z członków grupy takego samego zboru sądów ndywdualnych A wyznacza zbór A jako decyzję społeczną, czyl F(A, A,..., A) = A, to powemy, że metoda agregacj zachowuje jednomyślność. Nezależność. Metodę agregacj nazwemy nezależną, jeśl dla każdego zdana p X dowolnych profl (A 1, A 2,..., A n ) oraz (A 1, A 2,..., A n ) należących do dzedzny zachodz 56

15 Joanna Ochremak ( N( p A Oznacza to, że społeczna decyzja w kwest zdana p X zależy wyłączne od poglądów członków grupy na jego temat ne mają na ną wpływu ndywdualne oceny pozostałych zdań należących do agendy. Systematyczność. Metodę agregacj nazwemy systematyczną, jeśl dla dowolnych zdań p, q X dowolnych profl (A 1, A 2,..., A n ) oraz (A 1, A 2,..., A n ) należących do dzedzny zachodz ( N( p A p A )) ( p F( A, A,..., A ) p F( A, A,..., A )). q A )) ( p F( A, A,..., A ) q F( A, A,..., A )). Netrudno zauważyć, że metoda systematyczna jest nezależna (wystarczy podstawć p = q). Ponadto decyzja społeczna w kwest każdego zdana należącego do agendy podejmowana jest w tak sam sposób. W lteraturze spotkać można klka, neznaczne sę od sebe różnących, warantów warunków nakładanych na metody agregacj sądów. Powyższe defncje pochodzą z przeglądowej pracy Lsta Puppego (zob. Lst, Puppe 2009). Dyktatura spełna wszystke powyższe postulaty. Metoda zwykłej wększośc równeż, ale tylko w przypadku, gdy jej dzedznę stanową profle całkowce racjonalnych zborów sądów. W przecwnym raze narusza ona warunek nezależnośc (zob. przykład 3.6), a węc także systematycznośc. Jeśl dzedzną metody opartej na przesłankach jest zbór wszystkch profl całkowce racjonalnych zborów sądów oraz wyznacza ona całkowce racjonalne zbory sądów, to zachowuje jednomyślność. Ne jest ona jednak an nezależna (akceptacja poszczególnych zdań zależy od zboru zaakceptowanych przesłanek), an systematyczna (decyzja społeczna w sprawe przesłanek podejmowana jest naczej nż w kwest pozostałych elementów agendy). Stosując metodę opartą na konkluzjach, berzemy pod uwagę tylko pewen podzbór agendy. Metoda ta ne zachowuje zatem jednomyślnośc an ne jest systematyczna. Podobne jak metoda zwykłej wększośc bywa nezależna n n n n 3. Porównane model Po zapoznanu sę z modelam formalnym nteresujących nas teor możemy przejść do omówena ch wzajemnych relacj. Wprowadzając ogólny model formalny teor agregacj sądów, Detrch zaproponował jednocześne sposób ujęca w nm modelu teor agregacj preferencj (zob. Detrch 2007a). W tym rozdzale pokażemy, w jak sposób można wyrazć agregację preferencj, posługując sę językem teor agregacj sądów. Porównamy ponadto warunk nakładane w obu teorach na dzedznę, wynk oraz metody agregacj. 57

16 AGREGACJA SĄDÓW A AGREGACJA PREFERENCJI 3.1. Agregacja preferencj jako agregacja sądów Agenda preferencj. Systemem logcznym, który służy do reprezentacj relacj preferencj, jest prosty język perwszego rzędu z bnarnym symbolem relacyjnym, reprezentującym mocną preferencję oraz zborem stałych K = {x, y, z,...}, reprezentujących alternatywy społeczne. Agendę preferencj stanow zbór X = { x y, ( x y) : x, y K x y}. Aby móc mówć o relacjach acyklcznych, quas-przechodnch czy przechodnch, należy odpowedno zdefnować pojęce nesprzecznośc. Nech H będze zborem zdań wyrażających w sposób formalny warunk spełnane przez ostre lnowe porządk: v )( v )( v v ( v )) (przecwsymetra), ( v1 v )( v )( v )(( v v v v ) v ) (przechodność), ( v3 v )( v )( ( v = v ) ( v v v )) (spójność). ( v1 Nech ponadto dla każdej pary różnych stałych x, y K do zboru H należy zdane (x = y). Przyjmujemy, że zbór zdań A X jest nesprzeczny wtedy tylko wtedy, gdy zbór A H jest nesprzeczny jako zbór formuł rachunku predykatów perwszego rzędu 8. Każdej relacj preferencj R na zborze K możemy przyporządkować zbór sądów A tak, że A = { x y, ( y x) : x, y K xpy}, gdze P jest relacją mocnej preferencj, odpowadającą relacj R. Przykład 3.1. Rozważmy trzyelementowy zbór alternatyw społecznych K = {x, y, z,...}. Agendę preferencj stanow wówczas zbór X zawerający zdana x y, y x, y z, z y, z x, x z oraz ch negacje. Relacj preferencj R takej, że xpy, xpz oraz yiz przyporządkujemy zbór sądów { x y, ( y x), x z, ( z x)}. Zauważmy, że jeśl zachodz xiy, to do zboru sądów A ne należą an zdana x y, ( x y), an zdana y x, ( y x). Relacja ndyferencj traktowana jest tym samym, jak wstrzymane sę od głosu w kwest zdań x y oraz y x. Nesprzeczność a acyklczność preferencj. Acyklcznym relacjom preferencj R odpowadają nesprzeczne zbory sądów (zob. [Detrch, Lst 2008b], [Lst, Polak 2010]). Przykład 3.2. Rozważmy trzyelementowy zbór alternatyw społecznych K = {x, y, z,...}. Agendę preferencj stanow wówczas zbór X zawerający zdana x y, y x, y z, z y, z x, x z oraz ch negacje. 8 Zbór formuł rachunku predykatów perwszego rzędu jest sprzeczny, jeśl za pomocą aksjomatów logcznych oraz reguł wnoskowana można z nego wyprowadzć formuły ϕ oraz ϕ. 58

17 Joanna Ochremak Relacj preferencj R takej, że xpy, ypz oraz zpx odpowada zbór sądów { x y, ( y x), y z, ( z y), z x, ( x z)}. Relacja R ne jest acyklczna, a odpowadający jej zbór sądów jest sprzeczny, gdyż wchodz w sprzeczność z warunkem przechodnośc należącym do zboru H. Relacj preferencj R takej, że xpy, ypz oraz xiz odpowada zbór sądów { x y, ( y x), y z, ( z y)}. Relacja R jest acyklczna. Odpowadający jej zbór sądów jest nesprzeczny, gdyż stanow podzbór nesprzecznego zboru sądów { x y, ( y x), y z, ( z y), x z, ( z x)}, któremu z kole odpowada porządek lnowy, spełnający oczywśce wszystke warunk należące do zboru H. Skoro potrafmy mówć o agregacj preferencj językem teor agregacj sądów wemy, że pojęcu acyklcznej relacj preferencj odpowada pojęce nesprzecznego zboru sądów, to możemy zaobserwować, że opsany w przykładze 1.1 paradoks Condorceta stanow w stoce szczególny przypadek dylematu dyskursywnego (zob. Lst 2010, Lst, Polak 2010). Przykład 3.3. Trzy osoby podejmują decyzję w sprawe trzech alternatyw społecznych x, y oraz z. Agendę preferencj stanow zbór X zawerający zdana x y, y x, y z, z y, z x, x z oraz ch negacje. Preferencje członków grupy są następujące: Osoba I uważa alternatywę x za najlepszą, zaś alternatywę y za lepszą nż z, czyl A1 = { x y, ( y x), y z, ( z y), x z, ( z x)}. Osoba II uważa alternatywę y za najlepszą, zaś alternatywa z jest jej zdanem lepsza nż x, czyl A2 = { y z, ( z y), z x, ( x z), y x, ( x y)}. Osoba III uważa natomast za najlepszą alternatywę z, zaś alternatywę x za lepszą nż y, czyl A = { z x, ( x z), x y, ( y x), z y, ( y )}. 3 z Przypuśćmy, że rozważane grono podejmuje decyzje metodą zwykłej wększośc. Opne poszczególnych osób oraz ostateczne stanowsko lustruje ponższa tabela. Tabela 5. Paradoks Condorceta x y y z z x osoba I tak tak ne osoba II ne tak tak osoba IIII tak ne tak grupa decyzyjna tak tak tak Źródło: Lst, C., B. Polak Introducton to judgment aggregaton. Journal of Economc Theory 145 (2):

18 AGREGACJA SĄDÓW A AGREGACJA PREFERENCJI Zbór sądów wyznaczony w wynku zastosowana metody zwykłej wększośc to A = { x y, ( y x), y z, ( z y), z x, ( x z)}. Jest on sprzeczny, gdyż wchodz w sprzeczność z warunkem przechodnośc należącym do zboru H. Odpowadająca mu relacja preferencj jest cyklczna: rozwązane x jest społeczne lepsze od y, y społeczne lepsze od z, zaś z społeczne lepsze od x. Dedukcyjna domknętość a quas-przechodność preferencj. Zdefnowane nesprzecznośc za pomocą zboru H, ujmującego w sposób formalny warunk spełnane przez ostre lnowe porządk, umożlwa wyrażene w języku teor agregacj sądów pojęca acyklcznej relacj preferencj. Jeśl relacja mocnej preferencj jest przechodna, to odpowadający jej nesprzeczny zbór sądów jest ponadto dedukcyjne domknęty. Zachodz następujące stwerdzene (zob. Detrch, Lst 2008a): Fakt 3.1. Quas-przechodnm relacjom preferencj R na zborze K odpowadają nesprzeczne dedukcyjne domknęte zbory sądów A X. Odpowedność ta jest wzajemne jednoznaczna. Przykład 3.4. Rozważmy trzyelementowy zbór alternatyw społecznych K = {x, y, z,...}. Agendę preferencj stanow zbór X zawerający zdana x y, y x, y z, z y, z x, x z oraz ch negacje. Relacj preferencj R takej, że xpy, ypz oraz xiz odpowada zbór sądów { x y, ( y x), y z, ( z y)}. Relacja R ne jest quas-przechodna, a odpowadający jej zbór sądów ne jest dedukcyjne domknęty, gdyż { x y, y z} H x z, ale x z { x y, ( y x), y z, ( z y)}. Relacj preferencj R takej, że xpy, yiz oraz xiz odpowada zbór sądów { x y, ( y x)}. Relacja R jest quas-przechodna, a odpowadający jej zbór sądów jest dedukcyjne domknęty Lnowe porządk Dla oswojena z agendą preferencj przyjrzymy sę najprostszemu przypadkow racjonalnej relacj preferencj, gdy odpowadająca jej relacja mocnej preferencj P jest ostrym lnowym porządkem. Dla dowolnej pary różnych alternatyw x, y zachodz wówczas xpy albo ypx. Relację R o takej własnośc nazywamy mocnym porządkem. 60

19 Joanna Ochremak Całkowta racjonalność sądów a mocne porządk. Nech X będze agendą preferencj odpowadającą zborow alternatyw społecznych K. Rozważmy mocny porządek R na zborze K oraz odpowadający mu zbór sądów A X. Zbór A jest oczywśce nesprzeczny. Skoro dla każdej pary różnych alternatyw x, y zachodz xpy albo ypx, to do zboru A należy dokładne jeden element z każdej pary zdań { x y, ( x y)} oraz { y x, ( y x)}. Zbór A jest węc równeż zupełny. Formalne ujmuje to następujące stwerdzene (zob. Detrch, Lst 2007a): Fakt 3.2. Mocnym porządkom R na zborze K odpowadają całkowce racjonalne zbory sądów A X. Odpowedność ta jest wzajemne jednoznaczna. Oznaczmy przez S zbór wszystkch mocnych porządków na zborze K, a przez C zbór wszystkch całkowce racjonalnych zborów sądów A X. Przykład 3.5. Rozważmy trzyelementowy zbór alternatyw społecznych K = {x, y, z,...}. Agendę preferencj stanow zbór X zawerający zdana x y, y x, y z, z y, z x, x z oraz ch negacje. Relacj preferencj R takej, że xiy, ypz, xpz odpowada zbór sądów { y z, ( z y), x z, ( z x)}. Relacja R ne jest mocnym porządkem, a odpowadający jej zbór sądów ne jest całkowce racjonalny, gdyż ne spełna warunku zupełnośc. Relacj preferencj R takej, że xpy, ypz oraz xpz odpowada zbór sądów { x y, ( y x), y z, ( z y), x z, ( z x)}. Relacja R jest mocnym porządkem, a odpowadający jej zbór sądów jest całkowce racjonalny. Własnośc metod agregacj. Nech F będze metodą agregacj preferencj, określoną na zborze S n wszystkch profl racjonalnych relacj preferencj, będących ponadto mocnym porządkam, o wartoścach w zborze S. Funkcj F w sposób naturalny odpowada metoda agregacj sądów F określona na zborze C n wszystkch profl całkowce racjonalnych zborów sądów, o wartoścach w zborze C. Z faktu 3.2 wynka, że przyporządkowane to jest bjekcją (zob. Detrch, Lst 2007a, Lst 2010). Zauważmy, że każdy profl całkowce racjonalnych zborów sądów ma pewną własność ułatwającą analzę. Skoro każda osoba akceptuje dokładne jedno spośród każdej pary zdań{p, p} X, to zbór osób akceptujących zdane p, czyl { N : p A } jednoznaczne wyznacza zbór osób akceptujących zdane p. Manowce: 61

20 AGREGACJA SĄDÓW A AGREGACJA PREFERENCJI { N : p A } = N \ { N p A }. Wobec tego w przypadku mocnych porządków zachodzą następujące zależnośc pomędzy znanym nam warunkam nakładanym na metody agregacj preferencj a warunkam nakładanym na metody agregacj sądów (zob. Detrch, Lst 2007a): Metoda agregacj preferencj F spełna warunek nezależnośc od alternatyw nezwązanych wtedy tylko wtedy, gdy odpowadająca jej metoda agregacj sądów F jest nezależna. Metoda agregacj preferencj F spełna warunk słabej optymalnośc Pareto oraz nezależnośc od alternatyw nezwązanych wtedy tylko wtedy, gdy odpowadająca jej metoda agregacj sądów F zachowuje jednomyślność jest nezależna. Metoda agregacj preferencj F spełna warunk nezależnośc od alternatyw nezwązanych neutralnośc wtedy tylko wtedy, gdy odpowadająca jej metoda agregacj sądów F jest systematyczna Częścowe porządk Przypomnjmy, że quas-przechodnm relacjom preferencj R odpowadają przechodne relacje mocnej preferencj P nazywane ostrym częścowym porządkam. Zbór wszystkch quas-przechodnch relacj preferencj na zborze K oznaczmy przez Q. Wspomnalśmy wcześnej (zob. fakt 3.1), że stneje bjekcja pomędzy zborem Q a zborem D wszystkch nesprzecznych dedukcyjne domknętych zborów sądów A X, gdze X jest agendą preferecj odpowadającą zborow alternatyw społecznych K. Własnośc metod agregacj. Nech F będze metodą agregacj preferencj, określoną na zborze Q n wszystkch profl quas-przechodnch relacj preferencj, o wartoścach w zborze Q. Funkcj F w sposób naturalny odpowada metoda agregacj sądów F określona na zborze D n wszystkch profl nesprzecznych dedukcyjne domknętych zborów sądów, o wartoścach w zborze D. Z faktu 3.1 wynka, że przyporządkowane to jest bjekcją. W przypadku gdy ndywdualne relacje mocnej preferencj P ne są porządkam lnowym, a odpowadające m zbory sądów ne są zupełne, czyl dopuszczają wstrzymane sę od głosu, wzajemne relacje pomędzy postulatam nakładanym na oba rodzaje metod agregacj neco sę komplkują. Prześledźmy to na przykładze warunku nezależnośc. Metoda agregacj sądów F spełna warunek nezależnośc wtedy tylko wtedy, gdy odpowadająca jej metoda agregacj preferencj F spełna następujący warunek: dla dowolnych alternatyw x, y K dowolnych profl (R 1, R 2,..., R n ) oraz (R 1, R 2,..., R n ) należących do dzedzny Q n zachodz 62

21 Joanna Ochremak ( N( xp y xp gdze P jest relacją mocnej preferencj odpowadającą relacj R. Postulat równoważny warunkow nezależnośc oznacza węc, że fakt przedkładana przez grupę alternatywy x nad alternatywę y pownen zależeć wyłączne od tego, którzy spośród jej członków przedkładają alternatywę x nad alternatywę y. Ne ma meć nań wpływu mędzy nnym to, którzy spośród członków grupy mają preferencję odwrotną, czyl przedkładają alternatywę y nad alternatywę x. Warunek nezależnośc, który w przypadku mocnych porządków jest równoważny warunkow nezależnośc od alternatyw nezwązanych, okazuje sę w ogólnośc mocnejszy. Przykład 3.6. Przypuśćmy, że pęć osób podejmuje społeczną decyzję w sprawe trzyelementowego zboru alternatyw społecznych K = {x, y, z,...}. Rozważmy dwa profle preferencj (R 1, R 2,..., R 5 ) oraz (R 1, R 2,..., R 5 ). Załóżmy, że w perwszym z nch dwe osoby przedkładają alternatywę x nad alternatywę y oraz trzy osoby przedkładają alternatywę y nad alternatywę x. Z kole w drugm te same dwe osoby przedkładają alternatywę x nad alternatywę y, ale nkt ne przedkłada alternatywy y nad alternatywę x. Grupa podejmuje decyzję metodą zwykłej wększośc. Dla perwszego proflu preferencj ndywdualnych zachodz wówczas ypx, zaś dla drugego yp x. Jednocześne w obu proflach dokładne ten sam zbór osób przedkłada alternatywę x nad alternatywę y. Metoda zwykłej wększośc spełna warunek nezależnośc od alternatyw nezwązanych, ale ne spełna warunku nezależnośc. Warunk nezależnośc systematycznośc w znanym nam brzmenu zostały sformułowane z myślą o analze metod agregacj sądów, których dzedznę stanową profle całkowce racjonalnych, czyl w szczególnośc zupełnych, zborów sądów. W sytuacj, gdy stneje możlwość wstrzymana sę od głosu, koneczne staje sę ch przeformułowane. Rozsądne jest, aby decyzja społeczna w sprawe akceptacj zdana p zależała ne tylko od poglądów członków grupy na jego temat, ale także od ch oceny zdana p: Słaba nezależność. Metodę agregacj nazwemy słabo nezależną, jeśl dla każdego zdana p X dowolnych profl (A 1, A 2,..., A n ) oraz (A 1, A 2,..., A n ) należących do dzedzny zachodz ( N ( p A ( p F( A, A,..., A ) p F( A, A,..., A )). 1 2 p A n y)) ( xpy xp Oznacza to, że społeczna akceptacja zdana p X zależy wyłączne od poglądów członków grupy na temat zdań p oraz p. 1 2 y), p A p A )) n 63

22 AGREGACJA SĄDÓW A AGREGACJA PREFERENCJI Słaba systematyczność. Metodę agregacj nazwemy słabo systematyczną, jeśl dla dowolnych zdań p, q X dowolnych profl (A 1, A 2,..., A n ) oraz (A 1, A 2,..., A n ) należących do dzedzny zachodz ( N( p A ( p F( A, A,..., A ) q F( A, A,..., A )). 1 2 q A n Metoda słabo systematyczna jest słabo nezależna (wystarczy podstawć p = q). Ponadto decyzja społeczna w kwest każdego zdana należącego do agendy podejmowana jest w tak sam sposób. Jeśl dzedznę metody agregacj sądów stanow zbór wszystkch profl całkowce racjonalnych zborów sądów, to warunek słabej nezależnośc jest równoważny warunkow nezależnośc, a warunek słabej systematycznośc jest równoważny warunkow systematycznośc. Warunk słabej nezależnośc słabej systematycznośc zdefnowane zostały przez Detrcha Lsta (zob. Detrch, Lst 2008a) w celu analzy metod agregacj, których dzedznę stanow zbór D n wszystkch profl nesprzecznych dedukcyjne domknętych zborów sądów. Na neco nnym, choć równoważnym sformułowanu powyższych postulatów, oparl swoje rozważana także Dokow Holzman (zob. Dokow, Holzman 2010b). Autorzy c wykazal w szczególnośc, że z jednego z udowodnonych przez nch twerdzeń wynka twerdzene Gbbarda o stnenu olgarch dla teor agregacj preferencj (zob. Dokow, Holzman 2010b). W przypadku ogólnym zachodzą następujące zależnośc pomędzy znanym nam warunkam nakładanym na metody agregacj preferencj, a sformułowanym powyżej warunkam nakładanym na metody agregacj sądów (Dokow, Holzman, 2010): Metoda agregacj preferencj F spełna warunek nezależnośc od alternatyw nezwązanych wtedy tylko wtedy, gdy odpowadająca jej metoda agregacj sądów F jest słabo nezależna. Metoda agregacj preferencj F spełna warunk słabej optymalnośc Pareto oraz nezależnośc od alternatyw nezwązanych wtedy tylko wtedy, gdy odpowadająca jej metoda agregacj sądów F zachowuje jednomyślność jest słabo nezależna. Metoda agregacj preferencj F spełna warunk nezależnośc od alternatyw nezwązanych neutralnośc wtedy tylko wtedy, gdy odpowadająca jej metoda agregacj sądów F jest słabo systematyczna. 1 2 p A q A )) n 64

23 Joanna Ochremak 4. Twerdzene Arrowa W tym rozdzale ogranczymy nasze rozważana do całkowce racjonalnych zborów sądów relacj preferencj, stanowących mocne porządk. Przyjrzymy sę metodom agregacj sądów spełnającym postulaty odpowadające warunkom nakładanym na metody agregacj preferencj w twerdzenu Arrowa o nemożlwośc. Przedstawmy twerdzene jednoznaczne rozstrzygające, dla jakch agend jedyne metody spełnające ten zestaw postulatów są dyktatorske, a dla jakch stneją nezdegenerowane metody o takch własnoścach. W tym rozdzale mówąc o zborze osób N, zakładamy zawsze, że n 2, a mówąc o zborze alternatyw społecznych K, przyjmujemy, że K 3. Zacznemy od przypomnena twerdzena Arrowa dla metod agregacj preferencj określonych na zborze wszystkch profl mocnych porządków S n, o wartoścach w zborze S. Twerdzene 4.1. (Twerdzene Arrowa) Nech K będze takm zborem alternatyw społecznych, że K 3. Każda metoda agregacj preferencj F: S n S (określona na zborze wszystkch profl mocnych porządków) spełnająca warunk słabej optymalnośc Pareto nezależnośc od alternatyw nezwązanych jest dyktaturą. Przypomnjmy, że podana przez nas defncja dyktatury jako metody agregacj sądów jest mocnejsza, nż powszechne znana defncja dyktatury jako metody agregacj preferencj. Jednak w przypadku mocnych porządków obe defncje są równoważne (zob. Detrch, Lst 2007a). Nasze zadane polega na charakteryzacj agend, dla których każda, zachowująca jednomyślność nezależna metoda agregacj sądów F: C n C, określona na zborze wszystkch profl całkowce racjonalnych zborów sądów, o wartoścach w zborze całkowce racjonalnych zborów sądów, jest dyktaturą. Agenda totalne zablokowana. Zbór sądów Y X jest mnmalnym zborem sprzecznym, jeśl jest sprzeczny oraz każdy jego podzbór właścwy 9 jest nesprzeczny. Powemy, że ze zdana p X warunkowo wynka zdane q K (ozn. p q), jeśl stneje zbór Y X tak, że zbór {p} Y { q} jest mnmalnym zborem sprzecznym oraz p q. Zauważmy, że zbory {p} Y oraz { q} Y są wówczas nesprzeczne oraz {p} Y q. Relacja jest relacją bnarną na zborze X. Agendę X nazywamy totalne zablokowaną (totally blocked) wtedy tylko wtedy, gdy dla dowolnych zdań p, q X stneje cąg zdań p 1,..., p k X takch, że p = p 1 p 2... p k = q (ozn. p q). Własność totalnego zablokowana agendy zdefnowana została przez Detrcha Lsta (zob. 9 Podzbór Z zboru Y jest właścwy, jeśl Z Y. 65