Fizyka 1(mechanika) AF14. Wykład 1

Transkrypt

1 Fizyka 1(mechanika) AF14 Wykład 1 Jerzy Łusakowski

2 Plan wykładu Informacje o wykładzie Przedmiot i metodologia fizyki Układ jednostek SI, rzędy wielkości Pomiary fizyczne i niepewności pomiarowe Kartezjański układ współrzędnych Rachunek wektorowy Podstawowe pojęcia kinematyki Prędkość Ruch jednostajnie przyspieszony

3 Informacje o wykładzie Przydatne odnośniki Organizacja roku akademickiego: Terminarz kolokwiów i egzaminów(nie jest jeszcze zatwierdzony: ppw/ipz/?m=exams Strona przedmiotu: action=acionx:katalog2 /przedmioty/pokazprzedmiot(prz kod:1100-1af14 Strona wykładu: jlusakowski/ /WykladMechanika html Konsultacje: wtorek 8-9, sala Zadania domowe nie są obowiązkowe, ale należy je rozwiązywać!

4 Przedmiot i metodologia fizyki Cotojestfizyka? Fizyka nauka przyrodnicza nauka podstawowa nauka zajmująca się badaniem oddziaływań odpowiedzialnych za postać Wszechświata Acotojestnauka? Pytanie nie tylko filozoficzne...

5 Przedmiot i metodologia fizyki Metodologia fizyki Przede wszystkim: fizyka jest nauką eksperymentalną, tzn. opartą na obserwacjach i kontrolowanych doświadczeniach, które stanowią ostateczną weryfikację poglądów, modeli i teorii. Inaczej mówiąc:(wszech)świat nas sprawdza i zmusza do korekty poglądów!

6 Przedmiot i metodologia fizyki Znaczenie matematyki w fizyce Mówisię,żematematykajestjęzykiemfizyki,ijestto, oczywiście, prawda. Ale problem jest znacznie głębszy: Wszechświat odkrywa swoje tajemnice tylko wtedy, gdy zadajemy pytanie sformułowane w języku matematyki. A przecież matematyka mogłaby istnieć w oderwaniu od Wszechświata! Dlaczego tak jest, tzn., dlaczego Wszechświat jest matematyczny?, pozostaje WIELKIM PYTANIEM filozofii. Faktem jest, że odkrywanie mechanizmów rządzących Wszechświatem rozpoczęło się wtedy, gdy zaczęto przeprowadzać doświadczenia i analizować je metodami matematycznymi.

7 Przedmiot i metodologia fizyki Mechanizmy rozwoju fizyki Mechanizmy są dwa, silnie ze sobą sprzężone: Odkrywanie nowych zjawisk poprzez eksperymenty i budowanie na ich podstawie teorii(np. powstanie mechaniki kwantowej). Tworzenie nowych teorii przez wgląd w istotę rzeczy i weryfikacja eksperymentalna(np. powstanie ogólnej teorii względności). Tak, czy inaczej: EKSPERYMENT(czyli POMIAR) JEST ARGUMENTEM OSTATECZNYM

8 Układ jednostek SI, rzędy wielkości Jednostki podstawowe Będziemy posługiwać się układem SI, w którym jednostkami podstawowymi są: kilogram-masa metr-długość sekunda-czas amper- natężenie prądu elektrycznego kandela- światłość kelwin- temperatura mol-ilośćsubstancji Jednostki pochodne: wszystkie pozostałe jednostki wielkości fizycznych(np.niuton,dżul,m/s 2 ).

9 Układ jednostek SI, rzędy wielkości Przedrostki eksa E peta P tera T giga G mega M kilo k hekto h deka da decy d ,1 centy c ,01 mili m ,001 mikro µ , nano n , piko p , femto f , atto a ,

10 Układ jednostek SI, rzędy wielkości Alfabet grecki Alfa α A Beta β B Gamma γ Γ Delta δ Epsilon ǫ E Dzeta ζ Z Eta η H Theta θ Θ Jota ι I Kappa κ K Lambda λ Λ My µ M Ni ν N Ksi ξ Ξ Omikron o O Pi π Π Rho ρ P Sigma σ Σ Tau τ T Ipsylon υ Υ Phi φ Φ Chi χ X Psi ψ Ψ Omega ω Ω

11 Pomiary fizyczne i niepewności pomiarowe Pomiary i ich dokładność Każdy pomiar można wykonać tylko z określoną dokładnością(nie istnieją pomiary o nieskończenie wielkiej precyzji) Na niepewność otrzymanego wyniku wpływa kilka czynników: Dokładnośćprzyrządu Statystyczny(przypadkowy)charakterbadanegozjawiska Niekontrolowany(izwykletrudnydooszacowania)wpływ czynników zewnętrznych

12 Pomiary fizyczne i niepewności pomiarowe Wpływ przypadkowych zaburzeń na pomiar- deska Galtona Sir Francis Galton( ). Brytyjski podróżnik, antropolog, pionier badań nad ludzką inteligencją. Źródło: Wikipedia. Deska Galtona- wskutek przypadkowych rozproszeń, kuleczki układają się w kształt zwany krzywą Gaussa lub rozkładem normalnym.

13 Pomiary fizyczne i niepewności pomiarowe Rozkład normalny p(x) = 1 2πσ 2 exp( (x µ)2 /2σ 2 ) p(x)- gęstość prawdopodobieństwa p(x)dx- prawdopodobieństwo tego, że zmienna x przyjmnie wartośćmiędzy xax+dx σ- wariancja rozkładu- miara rozrzutu wartości x µ- wartość średnia rozkładu Rozkład normalny, jak każdy rozkład prawdopodobieństwa, jest unormowany: p(x)dx = 1.

14 Kartezjański układ współrzędnych Wektory Szkolne definiecje wektora: Obiekt posiadający kierunek, zwrot i długość. Uporządkowana para punktów. Odcinek ze strzałką. Definicje zbliżone do poprawności: Element unormowanej przestrzeni wektorowej. Tensor pierwszego rzędu, którego współrzędne transformują się w określony sposób przy obrocie układu współrzędnych. Potrzebne nam będzie intuicyjne rozumienie wektora(i przy tym pozostaniemy) oraz ścisłe posługiwanie się właściwościami tego obiektu.

15 Kartezjański układ współrzędnych Definicja układu współrzędnych prostokątnych Wersor osi Ox: wektor o długości jednostkowej, skierowany w kierunku dodatnim osi Ox. Na płaszczyźnie możemy wybrać dwa wzajemnie prostopadłe wersory definiujące osie Ox i Oy. Jak wybrać kierunek trzeciego wersora? Odpowiedź: korzystamy wyłącznie z prawoskrętnego układu współrzędnych. Jesttoukład,wktórymwersorosi Ozma kierunek ruchu śruby prawoskrętnej, zaczepionejdowersorów e x i e y,gdy wersorem e x kręcimywkierunku e y przez kąt π/2. X Z Y Dlaczego prawoskrętny? Jest to wyłącznie sprawa umowy,związanazorientacjąprzestrzeni R 3 i definicją iloczynu wektorowego patrz wykład z Analizy matematycznej.

16 Rachunek wektorowy Współrzędne i składowe Współrzędne punktu na osiach układu Oxyz określamy przez rzut prostokątny punktu na osie Ox, Oy, Oz. A z Z A = (A x,a y,a z ) A = A x + A y + A z A Współrzędną wektora na danej osi nazywamy liczbę, która jest równa różnicy współrzędnych końca i początku wektora natejosi. A x X A x A z Ay A y Y Składowąwektora A wzdłuż danej osi nazywamy wektor, który jest rzutem prostopadłym wektora Anatęoś.

17 Rachunek wektorowy Algebra wektorów Warto zajrzeć: E. Karaśkiewicz, Zarys teorii wektorów i tensorów. A+ B = B + A przemiennośćdodawania A+ 0 = A istniejewektorzerowy A+ A = 0 dlakażdegowektoraistniejewektorprzeciwny, A = A A+( B + C) = ( A+ B)+ C łącznośćdodawania a( A+ B) = a A+a B rozdzielczośćdodawaniawzględemmnożenia A B = ABcos( ( A, B)) iloczynskalarny-liczba A B = ABsin( ( A, B)) e iloczynwektorowy-wektor

18 Rachunek wektorowy Iloczyn skalarny Cosinuskątamiędzywektorami Ai Bjestrównyiloczynowi skalarnemuwersorówwkierunku Ai B: cos( ( A, B)) = e A e B Iloczyn skalarny wersorów wzajemnie prostopadłych: e x e x = e y e y = e z e z = 1; e x e y = e x e z = e y e z = 0. e i e j = δ ij. { 1 gdy i = j δ ij = 0 gdy i j Jeśli A = A x e x +A y e y +A z e z oraz B = B x e x +B y e y +B z e z,to: A B = A x B x +A y B y +A z B z = i=x,y,z A ib i = A i B j δ ij

19 Podstawowe pojęcia kinematyki Punkt materialny Punkt materialny- wygodna idealizacja(przybliżenie), gdy: - nie interesuje nas struktura wewnętrzna obserwowanego obiektu; - obserwowany obiekt jest mały w porównaniu z innymi obiektami; - punkty materialne bywają całkiem duże(w porównaniu z rozmarami człowieka)- np. pociąg relacji Warszawa- Gdańsk albo Ziemia krążąca wokół Słońca

20 Podstawowe pojęcia kinematyki Zmiana położenia w czasie Z r = r(t+ t) r(t) wektor przemieszczenia Tor r(t+ t) wektor położenia wchwili t+ t r(t); wektor położenia wchwili t Y X

21 Podstawowe pojęcia kinematyki Położenie, przemieszczenie, tor, droga Położenie- wektor łączący początek układu współrzędnych z punktem materialnym. UWAGA! O położeniu można mówić dopiero wtedy, gdy się zdefiniuje układ odniesienia. Przemieszczenie- wektor, który jest różnicą położenia końcowego i początkowego. Tor- krzywa w przestrzeni, którą zakreśla poruszający się punkt. Droga-długośćtoru.

22 Podstawowe pojęcia kinematyki Wahadło podwójne Zazwyczaj mamy do czynienia z torami, które można opisać za pomocą krzywych o regularnych kształtach: okrąg, parabola, prosta. Okazuje się, że w przypadku nawet bardzo prostych układów mechanicznych możemy zaobserwować bardzo skomplikowane tory. Przykładem może służyć wahadło podwójne: Zdjęcie ruchu wahadła podwójnego uzyskane przy długiej ekspozycji. Na końcu wahadła znajduje się dioda świecąca. Żródło: pendulum.

23 Podstawowe pojęcia kinematyki Chaos deterministyczny Ruch wahadła podwójnego należy do klasy ruchów nazywanych ruchem chaotycznym. Tor ruchu chaotycznego wykazuje niezwykłą wrażliwość na warunki początkowe(położenie i prędkość wahadła w chwili t = 0): nawet nieznaczna ich zmiana prowadzi do całowicie różnych trajektorii. U podłoża tych zjawisk tkwi to, że równania opisujące ruch takich układów są nielinowe(tzn., położenie i prędkość w takim równaniu występują w potędze większej niż pierwsza). Badaniem ruchów chaotycznych zajmuje się dziedzina matematyki zwana teorią chaosu deterministycznego. Z techniczneg punktu widzenia jest to dział matematyki poświęcony analizie nieliniowych równań różniczkowych. Chaos deterministyczny: rozwiązania deterministycznych równań okazują się być bardzo nieregularne. Są to zagadnienia bardzo ściśle związane z geometrią fraktali, niecałkowitymi wymiarami i innymi fascynującymi zagadnieniami z pogranicza matematyki i fizyki.

24 Prędkość Prędkość jednostajna- doświadczenia Ruch wózka na torze powietrznym: rejestracja za pomocą odczytu z fotokomórek Ruch wózka na torze powietrznym: rejestracja za pomocą ultradźwięków Ruch kulki w cieczy; czas mierzony metronomem

25 Prędkość Prędkość średnia i chwilowa: definicje Prędkośćśredniawprzedzialeczasu (t,t+ t): v sr = r(t+ t) r(t) t+ t t = r t = x t e x + y t e y + z t e z Prędkość chwilowa: ( r x v = lim t 0 t = lim t 0 t e x + y t e y + z ) t e z = = d r dt = dx dt e x + dy dt e y + dz dt e z = = υ x + υ y + υ z = υ x e x +υ y e y +υ z e z = υ.

26 Prędkość Prędkość średnia i chwilowa: ruch jednostajny prostoliniowy Ruch jednostajny prostoliniowy z prędkością υ. Zawsze możemy tak ustawić osie układu współrzędnych, aby ruch odbywał się wzdłużosi x: υ = υ e x.wtedy: r(t) = r(t 0 )+ υ(t t 0 ) = x(t 0 ) e x +υ(t t 0 ) e x Prędkośćśredniawprzedzialeczasu (t,t+t): υ sr = r(t,t+t) t = r(t+t) r(t) T = = 1 T [x(t 0)+υ(t+T t 0 ) x(t 0 ) υ(t t 0 )] e x = υ e x = υ. Prędkość chwilowa:. υ ch = lim T 0 υ sr = υ

27 Prędkość Prędkość jest wektorem stycznym do toru v sr = r t r v = lim t 0 t Z υ r = r(t+ t) r(t) Dla t 0, Y r t υ X

28 Ruch jednostajnie przyspieszony Przyspiesznie- doświadczenia Ruch wózka na pochylonym torze powietrznym- rejestracja położenia i prędkości za pomocą ultradźwięków. Niezależnośćruchówwpionieipoziomie(strzałwgóręz wózka na torze powietrznym, opadanie dwóch przedmiotów po różnych torach) Strzelanie do opadającego obiektu

29 Ruch jednostajnie przyspieszony Niezależność ruchów Pytanie: czy zawsze ruch w kierunku x jest niezależny od ruchu w kierunku y? Odpowiedź: nie zawsze. Przykład- ruch naładowanej cząstki w polu magnetycznym, w którym przyspieszenie w kierunki x zależy od prędkości w kierunku y(i odwrotnie: przyspieszenie w kierunku y zależy od prędkości w kierunku x). Problem ten rozpatrzymy szczegółowo na następnym wykładzie.

30 Ruch jednostajnie przyspieszony Przyspieszenie średnie i chwilowe Przyspieszenie średnie: a sr = v t Przyspieszenie chwilowe: v a = lim t 0 t = d v dt = d2 r dt 2

31 Ruch jednostajnie przyspieszony Opis ruchu jednostajnie przyspieszonego wzdłuż prostej Doświadczenie pokazuje, że położenie ciała poruszającego się wzdłuż osi Ox ze stałym przyspieszeniem można opisać za pomocą zależności: x(t) = x 0 +υ 0 (t t 0 )+ 1 2 a(t t 0) 2, gdzie: t 0 jestchwiląpoczątkową,odktórejzaczynamyanalizowaćruch; x 0 jestpunktem,wktórymciałoznajdowałosięwchwilij t 0 ; υ 0 jestprędkościąciaławchwili t = t 0 (zwyklenazywamyją prędkością początkową); a jest przyspieszeniem. Pytanie: a jak opisać ruch jednostajnie przyspieszony, który nie zachodzi wzdłuż osi układu współrzędnych? Widać, że potrzebujemy zapisu wektorowego.

32 Ruch jednostajnie przyspieszony Opis ruchu jednostajnie przyspieszonego na płaszczyźnie Rozpatrujemydwaukładywspółrzędych: Oxyoraz Ox y,przy czymosie x y sąobróconeokąt αwzględemosi xy. Niechruchodbywasięwzdłużosi Ox: x(t) = x 0x +υ 0x (t t 0 )+ 1 2 a x(t t 0 ) 2. Wpostaciwektorowej: r(t) = x e x = r 0 + υ 0 (t t 0 )+ 1 2 a(t t 0) 2. Wektor e x Wukładzie Ox y : e x = cosα e x sinα e y. Wukładzie Ox y położenieopisywanejestprzezdwieskładowe: x (t) = [x 0 +υ 0 (t t 0 )+ 1 2 a(t t 0) 2 ]cosα = x 0x +υ 0x (t t 0 )+ 1 2 a x (t t 0) 2 ; y (t) = [x 0 +υ 0 (t t 0 )+ 1 2 a(t t 0) 2 ]( sinα) = x 0y +υ 0y (t t 0 )+ 1 2 a y (t t 0) 2. Zatem: r (t) = x e x +y (t) e y = r 0 + υ 0 (t t 0 )+ 1 2 a(t t 0) 2. Równanie wektorowe jest identyczne we wszystkich układach odniesienia.

33 Ruch jednostajnie przyspieszony Równanie wektorowe a równania skalarne Równania skalarne na poszczególne współrzędne otrzymujemy z równania wektorowego przez obliczenie iloczynu skalarnego obu stron równania z kolejnymi wersorami osi: r(t) = r 0 + v 0 (t t 0 )+ 1 2 g(t t 0) 2 x(t) = e x r(t) = e x [ r 0 + v 0 (t t 0 )+ 1 2 a(t t 0) 2 ], y(t) = e y r(t) = e y [ r 0 + v 0 (t t 0 )+ 1 2 a(t t 0) 2 ], z(t) = e z r(t) = e z [ r 0 + v 0 (t t 0 )+ 1 2 a(t t 0) 2 ]. Zauważmy,żejeśli v 0 i asąwektoramistałymi,toruchopisany wektorem r(t) odbywa się w płaszczyźnie rozpiętej przez wektory v 0 i a.

34 Ruch jednostajnie przyspieszony Ruch w polu grawitacyjnym przy powierzchni Ziemirzut ukośny Zadanie:Wchwili t 0 punktmaterialnyznajdujesięwpunkcie owspółrzędnych r 0 iporuszasięzprędkością v 0 orazstałym przyspieszeniem g. Znaleźć położenie punktu materialnego dla czasów t > t 0 orazrównanietoru. Rozwiązanie: r(t) = r 0 + v 0 (t t 0 )+ 1 2 g(t t 0) 2 Jest to ruch płaski odbywający się w płaszczyźnie wyznaczonej przezwektory v 0 i g,przechodzącaprzezpunktbędącykońcem wektora r 0.

35 Ruch jednostajnie przyspieszony Rzut pionowy- zapis wektorowy z(t) = z 0 + v 0 t+ 1 2 gt2 Ta postać jest taka sama we wszystkich układach odniesienia! Różnice powstają, gdy rzutujemy to równanie na osie wybranego układu współrzędnych.

36 Ruch jednostajnie przyspieszony Rzut pionowy- opis w dwóch układach odniesienia Z υ 0 υ 0 z 0 z 0 X g Przypadek I z(t) = z 0 +v 0 t 1 2 gt2 z 0 = (0,0,z 0 ), z 0 > 0 v 0 = (0,0,υ 0 ), υ 0 > 0 g = (0,0, g), g > 0 Y X Z Przypadek II z(t) = z 0 v 0 t+ 1 2 gt2 z 0 = (0,0, z 0 ), z 0 > 0 v = (0,0, υ 0 ), υ 0 > 0 g = (0,0,g), g > 0 g Y

37 Ruch jednostajnie przyspieszony Równanie toru dla rzutu ukośnego w polu grawitacyjnym Równanie parametryczne toru(parametr- czas t): { x(t) = x0 +v 0 cosαt y(t) = y 0 +v 0 sinαt 1 2 gt2 Równanie toru- otrzymujemy z równania parametrycznego przez eliminację parametru(w tym przypadku- czasu t): y = y 0 +tanα(x x 0 ) 1 ( ) 2 2 g x x0 v 0 cosα

38 Ruch jednostajnie przyspieszony Spotkanie Zajmiemy się teraz zagadnieniem spotkania : do spotkania dochodzi, gdy dwa punkty materialne znajdą się w tym samym miejscu w tym samym czasie. Potrzebne są równania opisujące ruch obu punktów materialnych: r 1 (t)i r 2 (t). Następniezakładamy,żespotkanienastępujewchwili t s i rozwiązujemy układ równań: r 1 (t s ) = r 2 (t s ).

39 Ruch jednostajnie przyspieszony Strzał do spadającego celu Zadanie: Strzelamy do celu znajdującego się w odległości L w poziomie i H w pionie, mierząc dokładnie w cel(tzn. strzał zachodzi pod kątem α = arctan(h/l). W chwili, gdy kula opuszcza lufę, cel zaczyna spadać swobodnie. Wykazać, że kula zawsze trafi w cel, o ile ruch w kierunku pionowym nie jest ograniczony(np. cel znajduje sie nad bardzo głęboką przepaścią). X Z H arctanα = H L, t 0 = L v 0 cosα = H v 0 sinα L Y Pocisk: r P = r 0p + v 0p gt2 r 0p = (0,0,0), v 0p = (0,v 0 cosα,v 0 sinα), g = (0,0, g) Cel: r C = r 0c + v 0c gt2 r 0c = (0,L,H), v 0p = (0,0,0), g = (0,0, g) Trafieniewchwili t = t 0 : r p (t 0 ) = r c (t 0 ) y : v 0 cosαt 0 = L z : v 0 sinαt gt2 = H 1 2 gt2

40 Ruch jednostajnie przyspieszony Spadek swobodny- wyznaczenie wartości g Doświadczenie: Mierzymy czas τ spadku kulki z wysokości H = 1m.Wynosion0.45s. Ponieważ H = 1 2 gτ2, zatem g = 2H τ 2 = (9.88±0.26)m/s2 Niepewność pomiaru: g = ( g T )2 ( T) 2 /3+( g H )2 ( H) 2 /3 = 0.26m/s 2. Lepiej byłoby zmierzyć czas τ dla wielu wysokości H i wykonać odpowiedni wykres... Powtarzamy pomiary i sporządzamy wykres τ 2 (H).