Fizyka 1 (mechanika) AF B01. Wykład

Transkrypt

1 Fizyka 1 (mechanika) AF B01 Wykład Jerzy Łusakowski

2 Przedmiot i metodologia fizyki Przedmiot i metodologia fizyki

3 Przedmiot i metodologia fizyki Co to jest fizyka? Fizyka nauka przyrodnicza nauka podstawowa nauka zajmująca się badaniem oddziaływań odpowiedzialnych za postać Wszechświata A co to jest nauka? Pytanie nie tylko filozoficzne...

4 Przedmiot i metodologia fizyki Metodologia fizyki Przede wszystkim: fizyka jest nauka eksperymentalna, tzn. oparta na obserwacjach i kontrolowanych doświadczeniach, które stanowią ostateczna weryfikację pogladów, modeli i teorii. Inaczej mówiąc: (Wszech)świat nas sprawdza i zmusza do korekty pogladów!

5 Przedmiot i metodologia fizyki Jak to wygląda w praktyce? Przeprowadzamy doświadczenie i uzyskujemy ZADZIWIAJACY WYNIK (np., wahadło się waha). Powtarzamy pomiary tak wiele razy, aż przekonamy się, że ZADZIWIAJACY WYNIK jest prawdziwy (waha się zawsze, gdy jest wytrącone z położenia równowagi). Powtarzamy pomiary zmieniając rozmaite parametry i dowiadujemy się, jak ZADZIWIAJACY WYNIK od nich zależy (odkrywamy zależność okresu wahań T od długości linki L i niezależność od masy kulki). Staramy się opisać otrzymaną zależność wzorem matematycznym (przekonujemy się, że zależność T L sprawdza się świetnie). Wołamy na pomoc specjalistów od teorii, którzy z pierwszych zasad (w tym przypadku - zasady mechaniki Newtona + teoria grawitacji) wyprowadzają zależność T = 2π L/g. W tym momencie mamy hipotezę teorii, która opisuje zjawisko i która WYMAGA POTWIERDZENIA. Zadaniem teorii jest opisać istniejące fakty i przewidzieć kolejne. Opis jest poprawny, co z przewidywaniami? Dobrze byłoby zmienić g! Wysyłamy ochotników na Księżyc, Marsa i w inne rejony Wszechświata i niecierpliwie czekamy na wynik. Wszyscy potwierdzają słuszność zależności T = 2π L/g. Hipoteza teorii awansuje na TEORIE, ale nie poprzestajemy w drążeniu sprawy: może coś przeoczyliśmy (siła Coriolisa, zależność okresu od amplitudy, opór powietrza...). Po wielu latach owocnej pracy zabieramy się do innego doświadczenia w celu uzyskania kolejnego ZADZIWIAJACEGO WYNIKU!

6 Przedmiot i metodologia fizyki Znaczenie matematyki w fizyce Mówi się, że matematyka jest językiem fizyki, i jest to, oczywiście, prawda. Ale problem jest znacznie głębszy: Wszechświat odkrywa swoje tajemnice tylko wtedy, gdy zadajemy pytanie sformułowane w języku matematyki. A przecież matematyka mogłaby istnieć w oderwaniu od Wszechświata! Dlaczego tak jest, tzn., dlaczego Wszechświat jest matematyczny?, pozostaje WIELKIM PYTANIEM filozofii. Faktem jest, że odkrywanie mechanizmów rządz acych Wszechświatem rozpoczęło się wtedy, gdy zaczęto przeprowadzać doświadczenia i analizować je metodami matematycznymi.

7 Przedmiot i metodologia fizyki Mechanizmy rozwoju fizyki Mechanizmy są dwa, silnie ze sobą sprzężone: Odkrywanie nowych zjawisk poprzez eksperymenty i budowanie na ich podstawie teorii (np. powstanie mechaniki kwantowej). Tworzenie nowych teorii przez wgląd w istotę rzeczy i weryfikacja eksperymentalna (np. powstanie ogólnej teorii względności). Tak, czy inaczej: EKSPERYMENT (czyli POMIAR) JEST ARGUMENTEM OSTATECZNYM

8 Układ jednostek SI, rzędy wielkości Układ jednostek SI, rzędy wielkości

9 Układ jednostek SI, rzędy wielkości Jednostki podstawowe Będziemy posługiwać się układem SI, w którym jednostkami podstawowymi są: kilogram - masa metr - długość sekunda - czas amper - natężenie prądu elektrycznego kandela - światłość kelwin - temperatura mol - ilość substancji Jednostki pochodne: wszystkie pozostałe jednostki wielkości fizycznych (np. niuton, dżul, m/s 2 ).

10 Układ jednostek SI, rzędy wielkości Przedrostki eksa E peta P tera T giga G mega M kilo k hekto h deka da decy d ,1 centy c ,01 mili m ,001 mikro µ , nano n , piko p , femto f , atto a ,

11 Układ jednostek SI, rzędy wielkości Alfabet grecki Alfa α A Beta β B Gamma γ Γ Delta δ Epsilon ε E Dzeta ζ Z Eta η H Theta θ Θ Jota ι I Kappa κ K Lambda λ Λ My µ M Ni ν N Ksi ξ Ξ Omikron o O Pi π Π Rho ρ P Sigma σ Σ Tau τ T Ipsylon υ ϒ Phi φ Φ Chi χ X Psi ψ Ψ Omega ω Ω

12 Pomiary fizyczne i niepewności pomiarowe Pomiary fizyczne i niepewności pomiarowe

13 Pomiary fizyczne i niepewności pomiarowe Pomiary i ich dokładność Każdy pomiar można wykonać tylko z określona dokładnościa (nie istnieja pomiary o nieskończenie wielkiej precyzji) Na niepewność otrzymanego wyniku wpływa kilka czynników: Dokładność przyrządu Statystyczny (przypadkowy) charakter badanego zjawiska Niekontrolowany (i zwykle trudny do oszacowania) wpływ czynników zewnętrznych

14 Pomiary fizyczne i niepewności pomiarowe Wpływ przypadkowych zaburzeń na pomiar - deska Galtona Sir Francis Galton ( ). Brytyjski podróżnik, antropolog, pionier badań nad ludzka inteligencją. Źródło: Wikipedia. Deska Galtona - wskutek przypadkowych rozproszeń, kuleczki układaja się w kształt zwany krzywa Gaussa lub rozkładem normalnym.

15 Pomiary fizyczne i niepewności pomiarowe Rozkład normalny p(x)= 1 2πσ 2 exp( (x µ)2 /2σ 2 ) p(x) - gęstość prawdopodobieństwa p(x)dx - prawdopodobieństwo tego, że zmienna x przyjmnie wartość między x a x+dx σ - wariancja rozkładu - miara rozrzutu wartości x µ - wartość średnia rozkładu Rozkład normalny, jak każdy rozkład prawdopodobieństwa, jest unormowany: p(x)dx= 1.

16 Kartezjański układ współrzędnych Kartezjański układ współrzędnych

17 Kartezjański układ współrzędnych Wektory Szkolne definiecje wektora: Obiekt posiadajacy kierunek, zwrot i długość. Uporządkowana para punktów. Odcinek ze strzałka. Definicje zbliżone do poprawności: Element unormowanej przestrzeni wektorowej. Tensor pierwszego rzędu, którego współrzędne transformuja się w określony sposób przy obrocie układu współrzędnych. Potrzebne nam będzie intuicyjne rozumienie wektora (i przy tym pozostaniemy) oraz ścisłe posługiwanie się właściwościami tego obiektu.

18 Kartezjański układ współrzędnych Definicja układu współrzędnych prostokątnych Wersor osi Ox: wektor o długości jednostkowej, skierowany w kierunku dodatnim osi Ox. Na płaszczyźnie możemy wybrać dwa wzajemnie prostopadłe wersory definiujące osie Ox i Oy. Jak wybrać kierunek trzeciego wersora? Odpowiedź: korzystamy wyłacznie z prawoskrętnego układu współrzędnych. Jest to układ, w którym wersor osi Oz ma kierunek ruchu śruby prawoskrętnej, zaczepionej do wersorów e x i e y, gdy wersorem e x kręcimy w kierunku e y przez k at π/2. Dlaczego prawoskrętny? Jest to wyłącznie sprawa umowy, związana z orientacją przestrzenir 3 i definicją iloczynu wektorowego patrz wykład z Analizy matematycznej. X Z Y

19 Rachunek wektorowy Rachunek wektorowy

20 Rachunek wektorowy Współrzędne i składowe A=(A x,a y,a z ) Współrzędne punktu na osiach układu Oxyz określamy przez rzut prostokątny punktu na osie Ox, Oy, Oz. Współrzędna wektora na danej osi nazywamy liczbę, która jest równa różnicy współrzędnych końca i początku wektora na tej osi. A x X A x A z Z A z A= A x + A y + A z A A y A y Y Składowa wektora A wzdłuż danej osi nazywamy wektor, który jest rzutem prostopadłym wektora A na tę oś.

21 Rachunek wektorowy Algebra wektorów Warto zajrzeć: E. Karaśkiewicz, Zarys teorii wektorów i tensorów. A + B = B + A przemienność dodawania A+ 0 = A istnieje wektor zerowy A+ A = 0 dla każdego wektora istnieje wektor przeciwny, A = A A+( B+ C) = ( A+ B)+ C łączność dodawania a( A + B) = a A + a B rozdzielczość dodawania względem mnożenia A B = AB cos( ( A, B)) iloczyn skalarny - liczba A B = AB sin( ( A, B)) e iloczyn wektorowy - wektor

22 Rachunek wektorowy Iloczyn skalarny Cosinus kąta między wektorami A i B jest równy iloczynowi skalarnemu wersorów w kierunku A i B: cos( ( A, B))= e A e B Iloczyn skalarny wersorów wzajemnie prostopadłych: e x e x = e y e y = e z e z = 1; e x e y = e x e z = e y e z = 0. e i e j = δ ij. { 1 gdy i=j δ ij = 0 gdy i j Jeśli A=A x e x + A y e y + A z e z oraz B=B x e x + B y e y + B z e z, to: A B=A x B x + A y B y + A z B z = i=x,y,z A i B i = A i B j δ ij

23 Podstawowe pojęcia kinematyki Podstawowe pojęcia kinematyki

24 Podstawowe pojęcia kinematyki Punkt materialny Punkt materialny - wygodna idealizacja (przybliżenie), gdy: - nie interesuje nas struktura wewnętrzna obserwowanego obiektu; - obserwowany obiekt jest mały w porównaniu z innymi obiektami; - punkty materialne bywają całkiem duże (w porównaniu z rozmiarami człowieka) - np. pociąg relacji Warszawa - Gdańsk albo Ziemia krążaca wokół Słońca

25 Podstawowe pojęcia kinematyki Zmiana położenia w czasie Z r = r(t + t) r(t) wektor przemieszczenia Tor r(t+ t) wektor położenia w chwili t+ t r(t); wektor położenia w chwili t Y X

26 Podstawowe pojęcia kinematyki Położenie, przemieszczenie, tor, droga Położenie - wektor łączący początek układu współrzędnych z punktem materialnym. UWAGA! O położeniu można mówić dopiero wtedy, gdy się zdefiniuje układ odniesienia. Przemieszczenie - wektor, który jest różnica położenia końcowego i poczatkowego. Tor - krzywa w przestrzeni, którą zakreśla poruszajacy się punkt. Droga - długość toru.

27 Podstawowe pojęcia kinematyki Wahadło podwójne Zazwyczaj mamy do czynienia z torami, które można opisać za pomoca krzywych o regularnych kształtach: okrąg, parabola, prosta. Okazuje się, że w przypadku nawet bardzo prostych układów mechanicznych możemy zaobserwować bardzo skomplikowane tory. Przykładem może służyć wahadło podwójne: Zdjęcie ruchu wahadła podwójnego uzyskane przy długiej ekspozycji. Na końcu wahadła znajduje się dioda świecąca. Żródło:

28 Podstawowe pojęcia kinematyki Chaos deterministyczny Ruch wahadła podwójnego należy do klasy ruchów nazywanych ruchem chaotycznym. Tor ruchu chaotycznego wykazuje niezwykła wrażliwość na warunki poczatkowe (położenie i prędkość wahadła w chwili t= 0): nawet nieznaczna ich zmiana prowadzi do całowicie różnych trajektorii. U podłoża tych zjawisk tkwi to, że równania opisujące ruch takich układów są nielinowe (tzn., położenie i prędkość w takim równaniu występują w potędze większej niż pierwsza). Badaniem ruchów chaotycznych zajmuje się dziedzina matematyki zwana teorią chaosu deterministycznego. Z techniczneg punktu widzenia jest to dział matematyki poświęcony analizie nieliniowych równań różniczkowych. Chaos deterministyczny: rozwiązania deterministycznych równań okazuja się być bardzo nieregularne. Są to zagadnienia bardzo ściśle związane z geometrią fraktali, niecałkowitymi wymiarami i innymi fascynujacymi zagadnieniami z pogranicza matematyki i fizyki.

29 Prędkość Prędkość

30 Prędkość Prędkość jednostajna - doświadczenia Ruch wózka na torze powietrznym: rejestracja za pomoca odczytu z fotokomórek Ruch wózka na torze powietrznym: rejestracja za pomoca ultradźwięków Ruch kulki w cieczy; czas mierzony metronomem

31 Prędkość Prędkość średnia i chwilowa: definicje Prędkość średnia w przedziale czasu (t, t + t): v sr = r(t+ t) r(t) t+ t t = r t = x t e x+ y t e y+ z t e z Prędkość chwilowa: ( r x v= lim t 0 t = lim t 0 t e x+ y t e y+ z ) t e z = = d r dt = dx dt e x+ dy dt e y+ dz dt e z = = υ x + υ y + υ z = υ x e x + υ y e y + υ z e z = υ.

32 Prędkość Prędkość średnia i chwilowa: ruch jednostajny prostoliniowy Ruch jednostajny prostoliniowy z prędkościa υ. Zawsze możemy tak ustawić osie układu współrzędnych, aby ruch odbywał się wzdłuż osi x: υ = υ e x. Wtedy: r(t)= r(t 0 )+ υ(t t 0 )=x(t 0 ) e x + υ(t t 0 ) e x Prędkość średnia w przedziale czasu (t, t + T): υ sr = r(t,t+t) t = r(t+t) r(t) T = 1 T [x(t 0)+υ(t+T t 0 ) x(t 0 ) υ(t t 0 )] e x = υ e x = υ. = Prędkość chwilowa:. υ ch = lim T 0 υ sr = υ

33 Prędkość Prędkość jest wektorem stycznym do toru v sr = r t r v= lim t 0 t Z υ r = r(t + t) r(t) Dla t 0, r t υ Y X

34 Ruch jednostajnie przyspieszony Ruch jednostajnie przyspieszony

35 Ruch jednostajnie przyspieszony Przyspiesznie - doświadczenia Ruch wózka na pochylonym torze powietrznym - rejestracja położenia i prędkości za pomoca ultradźwięków. Niezależność ruchów w pionie i poziomie (strzał w górę z wózka na torze powietrznym, opadanie dwóch przedmiotów po różnych torach) Strzelanie do opadajacego obiektu

36 Ruch jednostajnie przyspieszony Niezależność ruchów Pytanie: czy zawsze ruch w kierunku x jest niezależny od ruchu w kierunku y? Odpowiedź: nie zawsze. Przykład - ruch naładowanej cząstki w polu magnetycznym, w którym przyspieszenie w kierunki x zależy od prędkości w kierunku y (i odwrotnie: przyspieszenie w kierunku y zależy od prędkości w kierunku x). Problem ten rozpatrzymy szczegółowo na następnym wykładzie.

37 Ruch jednostajnie przyspieszony Przyspieszenie średnie i chwilowe Przyspieszenie średnie: a sr = v t Przyspieszenie chwilowe: v a= lim t 0 t = d v dt = d2 r dt 2

38 Ruch jednostajnie przyspieszony Opis ruchu jednostajnie przyspieszonego wzdłuż prostej Doświadczenie pokazuje, że położenie ciała poruszajacego się wzdłuż osi Ox ze stałym przyspieszeniem można opisać za pomoca zależności: x(t)=x 0 + υ 0 (t t 0 )+ 1 2 a(t t 0) 2, gdzie: t 0 jest chwilą początkowa, od której zaczynamy analizować ruch; x 0 jest punktem, w którym ciało znajdowało się w chwilij t 0 ; υ 0 jest prędkościa ciała w chwili t=t 0 (zwykle nazywamy ją prędkościa poczatkow a); a jest przyspieszeniem. Pytanie: a jak opisać ruch jednostajnie przyspieszony, który nie zachodzi wzdłuż osi układu współrzędnych? Widać, że potrzebujemy zapisu wektorowego.

39 Ruch jednostajnie przyspieszony Opis ruchu jednostajnie przyspieszonego na płaszczyźnie Rozpatrujemy dwa układy współrzędych: Oxy oraz Ox y, przy czym osie x y są obrócone o kąt α względem osi xy. Niech ruch odbywa się wzdłuż osi Ox: x(t)=x 0x + υ 0x (t t 0 )+ 1 2 a x(t t 0 ) 2. W postaci wektorowej: r(t)=x e x = r 0 + υ 0 (t t 0 )+ 1 2 a(t t 0) 2. Wektor e x W układzie Ox y : e x = cosα e x sinα e y. W układzie Ox y położenie opisywane jest przez dwie składowe: x (t)=[x 0 + υ 0 (t t 0 )+ 1 2 a(t t 0) 2 ]cosα = x 0x + υ 0x (t t 0 )+ 1 2 a x (t t 0) 2 ; y (t)=[x 0 + υ 0 (t t 0 )+ 1 2 a(t t 0) 2 ]( sin α)= x 0y + υ 0y (t t 0 )+ 1 2 a y (t t 0) 2. Zatem: r (t)=x e x + y (t) e y = r 0 + υ 0 (t t 0 )+ 1 2 a(t t 0) 2. Równanie wektorowe jest identyczne we wszystkich układach odniesienia.

40 Ruch jednostajnie przyspieszony Równanie wektorowe a równania skalarne Równania skalarne na poszczególne współrzędne otrzymujemy z równania wektorowego przez obliczenie iloczynu skalarnego obu stron równania z kolejnymi wersorami osi: r(t)= r 0 + v 0 (t t 0 )+ 1 2 g(t t 0) 2 x(t)= e x r(t)= e x [ r 0 + v 0 (t t 0 )+ 1 2 a(t t 0) 2 ], y(t)= e y r(t)= e y [ r 0 + v 0 (t t 0 )+ 1 2 a(t t 0) 2 ], z(t)= e z r(t)= e z [ r 0 + v 0 (t t 0 )+ 1 2 a(t t 0) 2 ]. Zauważmy, że jeśli v 0 i a są wektorami stałymi, to ruch opisany wektorem r(t) odbywa się w płaszczyźnie rozpiętej przez wektory v 0 i a.

41 Ruch jednostajnie przyspieszony Ruch w polu grawitacyjnym przy powierzchni Ziemi - rzut ukośny Zadanie: W chwili t 0 punkt materialny znajduje się w punkcie o współrzędnych r 0 i porusza się z prędkościa v 0 oraz stałym przyspieszeniem g. Znaleźć położenie punktu materialnego dla czasów t > t 0 oraz równanie toru. Rozwiązanie: r(t)= r 0 + v 0 (t t 0 )+ 1 2 g(t t 0) 2 Jest to ruch płaski odbywajacy się w płaszczyźnie wyznaczonej przez wektory v 0 i g, przechodzaca przez punkt będący końcem wektora r 0.

42 Ruch jednostajnie przyspieszony Rzut pionowy - zapis wektorowy z(t)= z 0 + v 0 t+ 1 2 gt2 Ta postać jest taka sama we wszystkich układach odniesienia! Różnice powstaja, gdy rzutujemy to równanie na osie wybranego układu współrzędnych.

43 Ruch jednostajnie przyspieszony Rzut pionowy - opis w dwóch układach odniesienia Z υ 0 υ 0 z 0 z 0 X g Przypadek I z(t)=z 0 + v 0 t 1 2 gt2 z 0 =(0,0,z 0 ), z 0 > 0 v 0 =(0,0,υ 0 ), υ 0 > 0 g=(0,0, g), g>0 Y X Z g Przypadek II z(t)= z 0 v 0 t+ 1 2 gt2 z 0 =(0,0, z 0 ), z 0 > 0 v=(0,0, υ 0 ), υ 0 > 0 g=(0,0,g), g>0 Y

44 Ruch jednostajnie przyspieszony Równanie toru dla rzutu ukośnego w polu grawitacyjnym Równanie parametryczne toru (parametr - czas t): { x(t) = x0 + v 0 cosαt y(t) = y 0 + v 0 sinαt 1 2 gt2 Równanie toru - otrzymujemy z równania parametrycznego przez eliminację parametru (w tym przypadku - czasu t): y=y 0 + tgα(x x 0 ) 1 ( ) 2 2 g x x0 v 0 cosα

45 Ruch jednostajnie przyspieszony Spotkanie Zajmiemy się teraz zagadnieniem spotkania : do spotkania dochodzi, gdy dwa punkty materialne znajda się w tym samym miejscu w tym samym czasie. Potrzebne są równania opisujace ruch obu punktów materialnych: r 1 (t) i r 2 (t). Następnie zakładamy, że spotkanie następuje w chwili t s i rozwiązujemy układ równań: r 1 (t s )= r 2 (t s ).

46 Ruch jednostajnie przyspieszony Strzał do spadającego celu Zadanie: Strzelamy do celu znajdującego się w odległości L w poziomie i H w pionie, mierząc dokładnie w cel (tzn. strzał zachodzi pod kątem α = arctg(h/l). W chwili, gdy kula opuszcza lufę, cel zaczyna spadać swobodnie. Wykazać, że kula zawsze trafi w cel, o ile ruch w kierunku pionowym nie jest ograniczony (np. cel znajduje sie nad bardzo głęboką przepaścią). X Z H arctgα = H L, L Y t 0 = L v 0 cosα = H v 0 sinα Pocisk: r P = r 0p + v 0p gt2 r 0p =(0,0,0), v 0p =(0,v 0 cosα,v 0 sinα), g=(0,0, g) Cel: r C = r 0c + v 0c gt2 r 0c =(0,L,H), v 0p =(0,0,0), g=(0,0, g) Trafienie w chwili t=t 0 : r p (t 0 )= r c (t 0 ) y : v 0 cosαt 0 = L z : v 0 sinαt gt2 = H 1 2 gt2

47 Ruch jednostajnie przyspieszony Spadek swobodny - wyznaczenie wartości g Doświadczenie: Mierzymy czas τ spadku kulki z wysokości H = 1 m. Wynosi on 0.45 s. Ponieważ H = 1 2 gτ2, zatem g= 2H τ 2 =(9.88±0.26)m/s2 Niepewność pomiaru: g= ( g T )2 ( T) 2 /3+( g H )2 ( H) 2 /3=0.26m/s 2. Lepiej byłoby zmierzyć czas τ dla wielu wysokości H i wykonać odpowiedni wykres... Powtarzamy pomiary i sporządzamy wykres τ 2 (H).

48 Ruch po okręgu i ruch harmoniczny Ruch po okręgu i ruch harmoniczny

49 Ruch po okręgu i ruch harmoniczny Ruch po okręgu Ruch po okręgu ze stała wartościa prędkości (często nieprecyzyjnie mówimy - ze stała prędkościa) jest ruchem, w którym przyspieszenie wynika wyłącznie ze zmiany kierunku wektora prędkości i ma kierunek do środka okręgu. v Y ρ ϕ(t) X ϕ(t)=ωt

50 Ruch po okręgu i ruch harmoniczny Ruch harmoniczny Ruch, w którym współrzędne zmieniają się proporcjonalnie do sin(ωt) (lub, rzecz jasna, do cos(ωt)) nazywamy ruchem harmonicznym. Takim ruchem poruszaja się po osiach układu współrzędnych rzuty końca wektora obracajacego się wokół poczatku układu ze stałą prędkościa kątowa ω. Y ρ ωt X { x(t) = ρ cosωt y(t) = ρ sinωt

51 Bezwładność i pierwsza zasada dynamiki Bezwładność i pierwsza zasada dynamiki

52 Bezwładność i pierwsza zasada dynamiki Bezwładność Definicja z Encyklopedii PWN, 1998r: Właściwość układu fizycznego (ciała) charakteryzujaca jego podatność na zmiany stanu (w szczególności - ruchu) Dążenie układu do zachowania stanu, w którym się znajduje. Opór stawiany przez układ, gdy próbujemy zmienić jego stan.

53 Bezwładność i pierwsza zasada dynamiki Bezwładność - doświadczenia Wyciąganie serwety spod talerza. Moneta na kartce, na szklance. Mały wózek na dużym wózku, na torze powietrznym. Ciężarek na nitce. Ołowiana cegła i młotek. Cegła spadajaca na puszkę. Pomiar stałej prędkości na torze powietrznym. Przecinanie nitki w ruchu po okręgu.

54 Bezwładność i pierwsza zasada dynamiki Zasada bezwładności Wynik doświadczenia: Zmiana stanu ruchu ciała jest bezpośrednim rezultatem jego oddziaływania z ciałami otaczajacymi (otoczeniem, reszta Wszechświata ). Wynik doświadczenia: Wszelkie rodzaje oddziaływań w świecie makroskopowym między ciałami zmniejszaja się wraz ze wzrostem odległości między nimi. Jak zatem zachowuje się czastka, która nie podlega żadnemu oddziaływaniu ze strony otoczenia (czyli cząstka odosobniona)? Mówimy, że na cząstkę odosobniona nic nie działa lub, że działania te znosza się. Cząstka odosobniona nie istnieje!!! Ale istnieja jej bardzo dobre przybliżenia!!!

55 Bezwładność i pierwsza zasada dynamiki Zasada bezwładności Odpowiedzi na pytanie o zachowanie cząstki odosobnionej udzielił jako pierwszy Newton w postaci postulatu: cząstka odosobniona zawsze pozostaje w spoczynku lub porusza się po linii prostej ze stałą prędkościa. Układ, względem którego cząstka odosobniona spoczywa lub porusza się ruchem jednostajnym po linii prostej nazywamy układem inercjalnym. Obecnie postulat Newtona formułujemy w następuj acy sposób: Istnieje układ odniesienia, w którym cząstka odosobniona spoczywa lub porusza się bez przyspieszenia. Jest to zasada bezwładności, czyli I zasada dynamiki Newtona.

56 Bezwładność i pierwsza zasada dynamiki Układy inercjalne Z transformacji Galileusza ( a= a ) wynika, że jeżeli istnieje jeden układ inercjalny, to istnieje ich nieskończenie wiele (każdy inny poruszajacy się ze stałą prędkościa względem pierwszego). Pytanie: gdzie takiego układu szukać? dla wielu doświadczeń - układ laboratorium. Przyspieszenie dośrodkowe ziemskie na równiku: m/s 2. ruch Ziemi wokół Słońca: m/s 2. obrót Układu Słonecznego względem centrum Galaktyki: m/s 2.

57 Masa i siła - druga zasada dynamiki Masa i siła - druga zasada dynamiki

58 Masa i siła - druga zasada dynamiki Druga zasada dynamiki - doświadczenia Wózki na torze powietrznym: cząstki i akceleratory.

59 Masa i siła - druga zasada dynamiki Wprowadzenie pojęcia siły i masy Wiemy już, że w układzie inercjalnym ciało pozostaje w spoczynku lub porusza się bez przyspieszenia, gdy wypadkowa sił działajacych na ciało jest równa zero. Chcemy zatem powiązać przyspieszenie z siłą działajac a na ciało. Zaniedbujemy wpływ, jaki ciało wywiera na resztę Wszechświata, tzn. ciało nie zmienia postaci siły na nie działajacej.

60 Masa i siła - druga zasada dynamiki Wprowadzenie pojęcia siły i masy Mamy N cząstek P 0, P 1,..., P N oraz M akceleratorów A 0, A 1,..., A M. Za pomocą A 0 nadajemy im przyspieszenia a (0) 0 i a (0) 1,..., a(0) (Dolny indeks numeruje cząstki, a górny - akceleratory.) Przyspieszenia mierzymy w układzie inercjalnym. Możemy dobrać takie liczby p (0) 1, p(0) 2 że p (0) 1 a(0) 1 = p (0) 2 a(0) 2 =...=p (0) N a(0) N,..., p(0) = a(0) 0. Zauważmy, że wybraliśmy cząstkę P 0 jako wzorcową i do osiąganego przez nią przyspieszenia dostosowujemy pozostałe za pomcą współczynników p (0) i. N, N.

61 Masa i siła - druga zasada dynamiki Wprowadzenie pojęcia siły i masy Zmieniamy akceleratory i powtarzamy procedurę: p (1) 1 a(1) 1 = p (1) 2 a(1) 2 =...=p (1) N a(1) N = a(1) 0 ; p (2) 1 a(2) 1 = p (2) 2 a(2) 2 =...=p (2) N a(2) N = a(2) 0 ; p (M) 1 a (M) 1 = p (M) 2 a (M)... 2 =...=p (M) N a(m) N WYNIK DOŚWIADCZENIA: = a (M) 0. dla danego i (czastki) liczby p (j) i nie zależa od j (akceleratora), czyli dla danej cząstki jej przyspieszenie względem przyspieszenia cząstki wzorcowej nie zależy od tego, jakiego akceleratora użyjemy.

62 Masa i siła - druga zasada dynamiki Wprowadzenie pojęcia siły i masy Np., dla cząstki o numerze 1: p 0 1 = p1 1 =...=pm 1 Skoro tak, to możemy pominąć górny indeks i napisać: p 0 1 = p1 1 =...=pm 1 = m 1. Liczbę m 1 nazywamy masa bezwładna czastki P 1. I analogicznie dla pozostałych cząstek. Cząstka wzorcowa ma masę jednostkowa: m 0 = 1. Od nas zależy, co będzie tą jednostka: kg, g, oz, lb,...

63 Masa i siła - druga zasada dynamiki Wprowadzenie pojęcia siły i masy Zauważmy, z kolei, że w ciągu równości m 1 a (0) 1 = m 2 a (0) 2 =...=m N a (0) N = m 0a (0) 0 ; m 1 a (1) 1 = m 2 a (1) 2 =...=m N a (1) N = m 0a (1) 0 ; m 1 a (2) 1 = m 2 a (2) 2 =...=m N a (2) N = m 0a (2) 0 ;... m 1 a (M) 1 = m 2 a (M) 2 =...=m N a (M) N iloczyny m i a (j) i = m 0 a (M) 0. nie zależa od cząstki, ale od akceleratora. Iloczyn ten jest siła wywierana przez akcelerator na cząstkę. Możemy przyjać, że akcelerator A 0 definiuje jednostkowa siłę m 0 a (0) 0.

64 Masa i siła - druga zasada dynamiki Masa i siła - doświadczenie Naszym akceleratorem jest ciężarek, a cząstką - wózek na torze powietrznym. Za pomocą układu ultradźwiękowego mierzymy przyspieszenie wózka poruszającego się pod wpływem ciągnącego go ciężarka. Pomiary wykonujemy dla wózka obiążonego trzema różnymi ciężarami oraz dla trzech różnych wartości ciężarków ciągnących wózek. Poniższa tabela zawiera wartości zmierzonego (obliczonego) przyspieszenia w jednostkach m/s 2. Jak można wywnioskować, wózek referencyjny jest najlżejszy, a ciężarek referencyjny - też najlżejszy. Wózek / Akcelerator

65 Masa i siła - druga zasada dynamiki Masa i siła - doświadczenie Teraz znajdujemy współczynniki p odpowiadając na pytanie: przez jaką liczbę trzeba pomnożyć przyspieszenie wózka 1 i 2 aby otrzymać przyspieszenie wózka 0? Tabela tych liczb ma następującą postać: Wózek / Akcelerator Widać, że liczby w każdym wierszu są (w przybliżeniu) takie same, tzn. nie zależą od akceleratora - są właściwościa cząstki. Te liczby utożsamiamy z masą bezwładna wyznaczona w ten sposób, że jednostka masy jest masa wózka o numerze 0.

66 Masa i siła - druga zasada dynamiki Masa i siła - doświadczenie A teraz pytamy, przez jaką liczbę trzeba pomnożyć przyspieszenia dla akceleratora 0, aby otrzymać przyspieszenia dla akceleratorów 1 i 2 - wyniki są zamieszczone w poniższej tabeli: Wózek / Akcelerator Widać, że liczby w ostatnim wierszy znacznie odbiegają od wartości teoretycznej, co jest spowodowane bardzo niedokładnym pomiarem przyspeszenia dla akceleratora 0 i wózka 2. Pozostałe wartości zupełnie nieźle zgadzają się z oczekiwanymi.

67 Masa i siła - druga zasada dynamiki Uwaga do przeprowadzonego doświadczenia Idea doświadczenia polega na stosowaniu obiektów niezależnych od siebie: akceleratorów i cząstek. W naszym doświadczeniu akcelerator także się porusza, tzn. ciężarek o masie m porusza układ o masie m + M. W związku z tym, mierzone przyspieszenie wynosi a= mg m+m zamiast pożądanego a= mg M. Popełniany błąd systematyczny pomiaru jest rzędu m M i wynosi w naszym doświadczeniu ok. 5%.

68 Masa i siła - druga zasada dynamiki Druga zasada dynamiki Newtona W układzie inercjalnym, ciało o masie m, na które działa wypadkowa siła F porusza się z przyspieszeniem a takim, że: F = m a.

69 Trzecia zasada dynamiki Newtona Trzecia zasada dynamiki Newtona

70 Trzecia zasada dynamiki Newtona Trzecia zasada dynamiki - doświadczenia Stalowy pręt w uchwycie i magnes sztabkowy. Dwa magnesy: jeden na wadze elektronicznej, drugi wiszący na dynamometrze cyfrowym. Dwa jednakowe magnesy wiszące na prętach. Dwa wózki na torze powietrznym ze sprężyna pomiędzy nimi, ściągnięte nicia, która przepalamy. Prawo Archimedesa: ciało zawieszone na dynamometrze + naczynie z wodą + waga.

71 Trzecia zasada dynamiki Newtona Trzecia zasada dynamiki Newtona W układzie inercjalnym, jeśli ciało A działa na ciało B siła F A B, to ciało B działa na ciało A siłą F B A o tej samej wartości lecz przeciwnie skierowanej: F A B = - F B A. Zauważmy, że zasada ta może obowiązywać tylko w przypadku, gdy oddziaływania rozchodza się w sposób natychmiastowy. Jest zatem zasada słuszna w ramach fizyki nierelatywistycznej. UWAGA: Pisząc F A B = - F B A mamy na myśli, że siła F A B przyłożona jest do ciała B, a siła F B A - do ciała A!

72 Więzy Więzy

73 Więzy Stopnie swobody Cząstka odosobniona może poruszać się w dowolnym kierunku w przestrzeni - mówimy, że jest to ruch o trzech stopniach swobody, gdyż potrzebujemy trzech współrzędnych do określenia położenia cząstki. Zazwyczaj skracamy to określenie i mówimy w takim przypadku, że czastka ma trzy stopnie swobody.

74 Więzy Stopnie swobody cząstki punktowej Jeśli cząstka porusza się po płaszczyźnie opisanej równaniem f(x, y, z) = 0 (np., krążek hokejowy po płycie lodowiska opisanej równaniem z = 0), to współrzędne wektora jej położenia r c =(x c,y c,z c ) muszą spełniać równanie tej płaszczyzny: z c = 0. Podobnie, gdyby cząstka poruszała się po płaszczyźnie wzdłuż osi x, to dodatkowo y c = 0 Mówimy, że w tych przypadkach cząstka ma, odpowiednio, 2 i 1 stopień swobody.

75 Więzy Stopnie swobody bryły sztywnej Sytuacja się komplikuje, gdy mamy bryłę sztywną, np. prostopadłościan. Bryła sztywna może obracać się wokół dowolnie położonej osi obrotu, zatem do opisu jej położenia potrzebujemy sześciu liczb - trzy opisuja położenie środka jej masy (lub innego wybranego punktu bryły) a trzy - położenie przestrzenne jakiejś osi sztywno związanej z bryłą. Tak więc, bryła sztywna poruszajaca się swobodnie ma 6 stopni swobody. Ograniczenie ruchu powoduje zmniejszenie liczby stopni swobody. Na przykład, sztywne zamocowanie osi obrotu przchodzacej przez środek masy zmniejsza liczbę stopni swobody do jednego: środek masy się nie porusza, zaś położenie bryły wyznaczone jest tylko przez jeden kąt obrotu wokół ustalonej osi.

76 Więzy Więzy Przyczynę ograniczajac a ruch nazywamy więzami. Mówimy o płaszczyźnie albo krzywej więzów, w zależności od tego, po czym porusza się cząstka. Obecność więzów oznacza istnienie sił działajacych na cząstkę wynikajacych z oddziaływania cząstki z układem ograniczajacym ruch. Są to siły reakcji więzów.

77 Więzy Równania więzów Dla przykładu, jeśli cząstka porusza się po powierzchni sfery o promieniu R, to jej współrzędne muszą spełniać równanie: R 2 = x 2 c+ y 2 c+ z 2 c, a w przypadku ruchu po paraboli leżącej w płaszczyźnie x, y o równaniu y=x 2, muszą być spełnione równania: y c = x 2 c, z c = 0. Są to dodatkowe warunki, które muszą być uwzględnione podczas rozwiązywania równań ruchu.

78 Więzy Liczba stopni swobody Na podstawie przedstawionych rozważań wnioskujemy, że liczba stopni swobody w ruchu z więzami jest równa liczbie stopni swobody w przypadku ruchu swobodnego, pomniejszonej o liczbę równań definiujacych więzy. Zauważmy, że więzy mogą zależeć od czasu. Na przykład, jeśli wahadło matematyczne zrobione jest z kulki zawieszonej na gumce, to odległość kulki od punktu zawieszenia będzie zależeć od czasu. Albo, gdy rozpatrzymy kulę toczac a się po gumowej membranie - ruch kuli zmienia równanie powierzchni, po której kula się porusza.

79 Więzy Siła reakcji więzów Więzy są źródłem siły reakcji, która jest prostopadała do płaszczyzny (lub krzywej) więzów. Siła reakcji więzów jest prostopadła do powierzchni (albo krzywej) więzów. Przykłady: siła reakcji równi prostopadła do jej powierzchni, siła reakcji więzów w ruchu po okręgu.

80 Siła sprężystości Siła sprężystości

81 Siła sprężystości Prawo Hooke a Dany jest pręt o długości L i przekroju S, który rozciągamy siłą F. Pod wpływem naprężenia σ = F S pręt wydłuża się o L. Wydłużenie względne jest równe: λ = L L. Prawo Hooke a mówi, że dla niezbyt dużych odkształceń λ = ασ, czyli wydłużenie względne jest proporcjonalne do naprężenia. α - współczynnik wydłużenia. Z powyższego wynika, że gdzie k - współczynnik sprężystości. F= L S αl = k L,

82 Siła sprężystości Prawo Hooke a - granice stosowalności Zależność wydłużenia względnego od naprężenia dla drutu miedzianego o powierzchni przekroju poprzecznego S = mm 2. Zakres stosowalności prowa Hooke a kończy się w punkcie B. AKW & JAZ Wstęp do fizyki, tom 1, str. 234, PWN, 1976.

83 Siła sprężystości Sprężystość - histereza i relaksacja Pętla histerezy dla rurki kauczukowej. AKW & JAZ Wstęp do fizyki, tom 1, str. 234, PWN, Opóźnienie sprężyste przy rozciąganiu rurki kauczukowej, która była poddawana zmiennemu naprężeniu. AKW & JAZ Wstęp do fizyki, tom 1, str. 234, PWN, 1976.

84 Siła tarcia Siła tarcia

85 Siła tarcia Właściwości siły tarcia: prawa Amontonsa - Coulomba Nauka o tarciu: trybologia. Prawa te mają charakter empiryczny. Znał je już Leonardo da Vinci, odkrył ponownie Guillaume Amontons (1699 r.), dokładnie sprawdził Charles Coulomb (1781 r.) Pierwsze: siła tarcia T między dwoma ciałami jest wprost proporcjonalna do siły normalnej F N utrzymujacej je w zetknięciu. Współczynnik proporcjonalności µ nazywa się współczynnikiem tarcia: T = µf N W zapisie wektorowym: T = µf N e v. Drugie: przy danej sile normalnej, siła tarcia nie zależy od powierzchni zetknięcia ciał. Trzecie: dla niezbyt dużych prędkości, współczynnik tarcia kinetycznego nie zależy od prędkości (nie mówimy tu o sile lepkości, która z definicji zależy od prędkości).

86 Siła tarcia Tarcie poślizgowe Powierzchnia styku jest dużo mniejsza niż powierzchnia geometryczna. Mechanizm tarcia: spawanie na zimno i rozrywanie. Współczynnik tarcia statycznego jest większy niż tarcia poślizgowego. Współczynnik tarcia tocznego jest mniejszy niż tarcia poślizgowego.

87 Siła tarcia Tarcie statyczne i kinetyczne F zew F T < T stat,max ; stan spoczynku F T = T stat,max ; stan spoczynku F T = T kin ; ruch przyspieszony T T kin = µf N F zew

88 Siła tarcia Tarcie toczne R A F zew F T F g Siła tarcia F T jest równa co do wartości sile ciągnacej F zew, a siła reakcji R - sile ciężkości F g. Pod wpływem działania siły F zew nacisk w punkcie A maleje, a w punkcie B - rośnie. B Punkt przyłożenia siły R przesuwa się w prawo aż do osiagnięcia granicznej wartości µ t, dla której moment siły F zew osiaga wartosć momentu siły F g : F zew h F zew r= F g µ t. Toczenie rozpoczyna się, gdy F zew > F g µ t /r. Wielkość µ t /r jest analogiem współczynnika tarcia posuwistego i jest od niego dużo mniejsza.

89 Siła tarcia Siła tarcia w równaniach ruchu Jeśli ciało porusza się, to siła tarcia jest równa swojej maksymalnej wartości T = µf N. W takim przypadku znaną siłę tarcia możemy wstawić do równań ruchu. Jeśli ciało nie porusza się, to siła tarcia równoważy wypadkowa sił ciągnacych i jest nie większa niż maksymalna wartość: T < µf N. W takim przypadku, siłę tarcia możemy wyznaczyć z równań ruchu.

90 Siła tarcia Siła tarcia w równaniach ruchu Doświadczenie mówi, że: siła oporu ruchu jest skierowana przeciwnie do wektora prędkości i, w ogólności, zależy od prędkości: T = e v T( v). Równanie ruchu w przypadku obecności tarcia: m a= F+ T m a= F e v T( v) Będziemy zajmować się dwoma przypadkami: a) siła tarcia jest niezależna od prędkości: T = T e v ; b) siła tarcia jest wprost proporcjonalna do prędkości: T = αv e v.

91 Siła tarcia Siła lepkości Siła oporu działajaca na ciało poruszajace się w cieczy lub gazie (ogólnie - w płynie). Zależy od wielu czynników, jak: prędkość, gęstość płynu, rozmiary ciała,... Będziemy rozpatrywać najprostszy przypadek, gdy siła lepkości jest proporcjonalna do prędkości poruszajacego się ciała.

92 Opis ruchu we współrzędnych biegunowych Opis ruchu we współrzędnych biegunowych

93 Opis ruchu we współrzędnych biegunowych Układ współrzędnych biegunowych Y ( sin ϕ(t),cosϕ(t))= e ϕ e ρ =(cos(ϕ(t),sinϕ(t)) O ρ(t) ϕ(t) X

94 Opis ruchu we współrzędnych biegunowych Układ współrzędnych biegunowych Zauważmy, że: układ biegunowy ma swój poczatek O, w którym zaczepiony jest wektor położenia ρ(t), a kąt ϕ(t) jest określony względem ustalonej osi Ox układu kartezjańskiego. Można powiedzieć, że układowi biegunowemu zawsze towarzyszy układ kartezjański o ustalonych w przestrzeni osiach. mając wersory e ρ i e ϕ zaczepione w poruszajacym się punkcie, znajac ich orientację na płaszczyźnie, znajac ρ i ϕ możemy opisać, co się dzieje z poruszajacym się punktem. UWAGA: w układzie biegunowym, i współrzędne (ρ(t), ϕ(t)), i wersory ( e ρ (t), e ϕ (t)) zależa od czasu. Musimy zatem nauczyć się obliczać pochodne wersorów.

95 Opis ruchu we współrzędnych biegunowych Opis ruchu po okręgu we współrzędnych biegunowych Załóżmy, że ruch zachodzi za stałą wartościa prędkości v po okręgu o promieniu R, z czego wynika, że Położenie punktu dane jest przez: ρ = R, ϕ = ωt oraz v=ωr. ρ(t)=(x(t),y(t)) =(Rcosωt,Rsinωt)=Rcosωt e x + Rsinωt e y. Postać tego wyrażenia mówi, że są to współrzędne kartezjańskie, ponieważ wektor położenia we współrzędnych biegunowych ma postać: ρ(t)=(ρ(t),0)=(r,0)=r e ρ. Natomiast, współrzędne końca wektora położenia są następujace: (ρ(t),ϕ(t))=(r,ωt).

96 Opis ruchu we współrzędnych biegunowych Opis ruchu po okręgu we współrzędnych biegunowych Skoro położenie punktu jest dane przez ρ(t)=(x(t),y(t)) = Rcosωt e x + Rsinωt e y =(Rcosωt,Rsinωt), to jego prędkość jest równa: υ(t)=(υ x (t),υ y (t))= Rω sinωt e x +Rω cosωt e y = Rω( sinωt,cosωt)= a przyspieszenie = Rω e ϕ, a(t)=(a x (t),a y (t))= Rω 2 cosωt e x Rω 2 sinωt e y = = Rω 2 e ρ.

97 Opis ruchu we współrzędnych biegunowych Opis ruchu po okręgu we współrzędnych biegunowych Prędkość jest równa pochodnej wektora położenia względem czasu, czyli: W rozpatrywanym przypadku, mamy: czyli Zaś przyspieszenie: d(r e ρ ) dt υ = d ρ dt. d e ρ dt = Rω e ϕ, = ω e ϕ. czyli d(rω e ϕ ) dt = Rω 2 e ρ, d e ϕ dt = ω e ρ.

98 Opis ruchu we współrzędnych biegunowych Opis ruchu po okręgu we współrzędnych biegunowych Podsumowujac, w przypadku ruchu po okręgu ze stała wartościa prędkości, mamy: d e ρ dt = ω e ϕ, d e ϕ dt = ω e ρ. v= d ρ dt = dρ dt e ρ+ ρ d e ρ = Rω e ϕ. dt a= d v dt = Rω dϕ dt = Rω 2 e ρ.

99 Opis ruchu we współrzędnych biegunowych Opis ruchu we współrzędnych biegunowych - przypadek ogólny W przypadku ogólnym, gdy ρ (tzn. odległość punktu od poczatku układu) zmienia się w czasie, a kąt ϕ nie jest liniową funkcja czasu, otrzymujemy: ρ = ρ e ρ v= dρ dt e ρ+ ρ d e ρ = dρ dt dt e ρ+ ρ dϕ dt e ϕ [ d 2 ( ) ] ρ dϕ 2 [ ( )( ) ( dρ dϕ d 2 )] a= dt 2 ρ ϕ e ρ ρ dt dt dt dt 2 e ϕ

100 Opis ruchu we współrzędnych biegunowych Przykład - spirala Archimedesa Ruch po spirali Archimedesa ze stała prędkościa kątową W układzie biegunowym: ρ = sϕ,ϕ = ωt. ρ = sωt e ρ, υ = d dt (sωt e ρ)=sω e ρ + sω 2 t e ϕ, a= d υ = d dt dt (sω e ρ+ sω 2 t e ϕ )= ω 2 ρ e ρ + 2sω 2 e ϕ. Składowa przyspieszenia w kierunku e ρ to przyspieszenie radialne, a w kierunku e ϕ - przyspieszenie transwersalne.

101 Przyspieszenie styczne i normalne Przyspieszenie styczne i normalne

102 Przyspieszenie styczne i normalne Prędkość i wektor styczny do krzywej Rozpatrujemy dowolna krzywą, wzdłuż ktorej porusza się punkt materialny. W każdym punkcie tej krzywej możemy zdefiniować wektor do niej styczny e t, korzystajac z faktu, że prędkość punktu materialnego w danym punkcie krzywej jest styczna do krzywej: υ = υ e t. Wektor e t możemy wyznaczyć obliczajac: e t = υ υ, gdzie υ jest wyrażone przez współrzędne kartezjańskie albo biegunowe. Wtedy otrzymujemy współrzędne wektora stycznego albo w jednym, albo w drugim układzie współrzędnych.

103 Przyspieszenie styczne i normalne Wektor styczny do spirali Archimedesa Na przykład, dla spirali Archimedesa mamy: e t = v=sω e ρ + sω 2 t e ϕ, v=sω 1+ω 2 t 2, 1 ωt 1+ω 2 t 2 e ρ+ 1+ω 2 t 2 e ϕ. Wyrażaj ac wersory e ρ i e ϕ przez e x i e y otrzymamy składowe wektora e t we współrzędnych kartezjańskich.

104 Przyspieszenie styczne i normalne Przyspieszenie styczne i normalne Przyspieszenie możemy obliczyć w następujacy sposób: a= d υ dt = dυ dt e t+ υ d e t dt = a t + a n. Wektor e t ma długość równą 1, więc jego pochodna określa wyłącznie zmianę jego kierunku, a nie wartości. Pochodna wektora o stałej długości jest wektorem do niego prostopadłym. Pochodna ta ma kierunek tzw. normalnej głównej. Składową przyspieszenia a t nazywamy przyspieszeniem stycznym, a a n - przyspieszeniem normalnym.

105 Przyspieszenie styczne i normalne Przepis na przyspieszenie styczne i normalne Zauważmy, że: ( a t =( a e t ) e t = a v ) e t, v a n = a a t, czyli znając wektor prędkości i przyspieszenia możemy wyznaczyć przyspiesznie styczne i normalne.

106 Przyspieszenie styczne i normalne a n i a t dla spirali Archimedesa Dla spirali Archimedesa, otrzymamy: e t = a= sω 3 t e ρ + 2sω 2 e ϕ, 1 ωt 1+ω 2 t 2 e ρ+ 1+ω 2 t 2 e ϕ. Zatem, a t = sω2 1+ω 2 t 2(ωt e ρ+ ω 2 t 2 e ϕ ), a n = sω2 1+ω 2 t 2(ω3 t 3 e ρ +(2+ω 2 t 2 ) e ϕ ).

107 Przyspieszenie styczne i normalne Przyspieszenie w ruchu wzdłuż toru o dowolnym kształcie Czasem ruch odbywa się wzdłuż toru, którego nie można w łatwy sposób opisać za pomocą współrzędnych kartezjańskich ani biegunowych. Zawsze jednak można zdefiniować dwie składowe wektora przyspieszenia a przyspieszenie styczne a t i przyspieszenie normalne a n : a= a t + a n. Przyspieszenie styczne, zgodnie z nazwą, ma kierunek styczny do krzywej, taki, jak kierunek prędkości chwilowej. Odpowiada za zmianę wartości prędkości. Przyspieszenie normalne ma kierunek tzw. normalnej głównej. Odpowiada za zmianę kierunku prędkości.

108 Przyspieszenie styczne i normalne Hodograf wersora stycznego do krzywej Jeśli poczatki wersorów stycznych do krzywej Z, po której porusza się punkt materialny przesuniemy do jednego punktu, to ich końce bedą leżeć na sferze S o promieniu 1. Ewolucję kierunku wektora prędkości punktu materialnego poruszajacego się wzdłuż zadanej krzywej Γ możemy przedstawić w postaci krzywej Ψ na powierzchni tej sfery. Krzywa Ψ nosi nazwę hodografu wersora stycznego do krzywej Γ. Pochodna wersora jest wektorem stycznym do krzywej Ψ, czyli leżacym na sferze S, zatem prostopadłym do jej promienia, czyli wersora. Tak więc, pochodna wersora stycznego do krzywej Z jest wektorem prostopadłym do tego wektora stycznego.

109 Przyspieszenie styczne i normalne Płaszczyzna ściśle styczna i normalna główna Możemy oczywiście poprowadzić nieskończenie wiele wektorów prostopadłych do wektora stycznego do danej krzywej. Dla ruchu płaskiego nie mamy wątpliwości: wektor styczny i normalny muszą leżeć w płaszczyźnie badanej krzywej. Okazuje się, że każda (dostatecznie gładka ) krzywa jest lokalnie płaska infinitezymalnie krótki jej fragment leży w płaszczyźnie, która nazywamy płaszczyzna ściśle styczna. Jasne jest wtedy, że wektor normalny, który jest pochodna wektora stycznego do krzywej, leży w płaszczyźnie ściśle stycznej. Kierunek tego wektora nazywamy kierunkiem normalnej głównej.

110 Transformacja Galileusza Transformacja Galileusza

111 Transformacja Galileusza Zdarzenia i czasoprzestrzeń Zdarzenie: coś się stało w określonym punkcie przestrzeni i określonej chwili czasu. Zdarzeniu przypisujemy trzy współrzędne przestrzenne i jedna czasową: ( r,t). Czasoprzestrzeń: przestrzeń zdarzeń, tzn. zbiór punktów, które mają trzy współrzędne przestrzenne i jedną czasowa. Obserwator: ktoś, kto umie przypisać zdarzeniom współrzędne przestrzenne i czasowe.

112 Transformacja Galileusza Obserwatorzy O i O obserwują poruszający się punkt P. Rozpatrujemy następujac a sytuację: obserwator O znajduje się w poczatku układu xyz, natomiast obserwator O - w początku układu x y z, który porusza się ze stałą prędkościa u względem O. Prędkość u jest mierzona przez obserwatora O. Wektor R, mierzony przez O, określa położenie O względem O. Obsrwatorzy mierzą położenie, prędkość i przyspieszenie punktu P i uzyskuja wyniki (przykładowo, dla prędkości): υ = υ x e x + υ y e y + υ z e z oraz υ = υ x e x + υ y e y + υ z e z i analogicznie dla położenia r i r oraz przyspieszenia a i a.

113 Transformacja Galileusza Transformacja Galileusza Transformacja Galileusza: przepis pozwalajacy na przetłumaczenie wyników obserwacji jednego obserwatora na wyniki obserwacji drugiego obserwatora. Inaczej mówiąc, związek między współrzędnymi czasowo-przestrzennymi przypisanymi temu samemu zdarzeniu przez obserwatorów, którzy poruszaja się względem siebie ze stała prędkościa. W tym przypadku zdarzeniem jest określenie położenia, prędkości i przyspieszenia punktu P. Zachodzi: t=t r (t)= r(t)+ R(t) υ (t)= υ(t)+ u a (t)= a(t)

114 Transformacja Galileusza Związek między POMIARAMI wykonywanymi przez różnych obserwatorów Zdarzenie: piłka znajduje się w punkcie o współrzędnych ( r, t) MIERZONYCH przez obserwatora O oraz ( r,t ) MIERZONYCH przez obserwatora O. O i O znajduja się w poczatkach swoich układów współrzędnych. Obserwator O określa położenie obserwatora O za pomocą wektora R, czyli r= r + R. UWAGA: r i R są mierzone w układzie O, a r w O. Ciąg zdarzeń: piłka się porusza, czyli r= r(t) i r = r (t ). Obserwatorzy nie poruszaja się względem siebie (na razie). W takiej sytuacji d r= d r. Pytamy o prędkość piłki MIERZONA przez obu obserwatorów: v= d r dt, v = d r dt = d r dt = d r dt = v.

115 Transformacja Galileusza Transformacja Galileusza Jeśli O porusza się względem O, to prędkość O MIERZONA przez O wynosi u= d R dt W takiej sytuacji: Jeśli prędkość u jest stała, wtedy v= v + u a = a. Dwa ostatnie równania stanowia treść transformacji Galileusza. Zauważmy, że wyprowadzajac te związki korzystaliśmy z faktu, że d r = d r oraz dt = dt. To jest przybliżenie nierelatywistyczne, słuszne wtedy, gdy prędkości v, v i u są małe w porównaniu z prędkościa światła.

116 Transformacja Galileusza Transformacja Galileusza - przejście do równań skalarnych Zauważmy, że współrzędne wektorów po obu stronach równań znane są w różnych układach współrzędnych. Jak przejść do równań skalarnych? Rozpatrzmy przypadek, gdy: e x = cos ϕ e x + sinϕ e y e y = sinϕ e x + cosϕ e y e z = e z oraz u=u x e x + u y e y, υ = υ x e x + υ y e y

117 Transformacja Galileusza Do równań skalarnych dochodzimy w taki sam sposób, jak zawsze - przez wzięcie iloczynu skalarnego z wersorami osi. Możemy wybrać wersory układu xyz albo x y z, nie ma to znaczenia. Wybierajac wersory ukłądu xyz dostaniemy (przykładowo - dla prędkości): { υ e x = υ x + u x υ e y = υ y + u y { (υ x e x + υ y e y ) e x = υ x + u x (υ x e x + υ y e y ) e y = υ y + u y { υ x cosϕ υ y sin ϕ = υ x + u x υ x sinϕ+ υ y cos ϕ = υ y + u y Z tego układu możemy wyznaczyć dwie szukane niewiadome.

118 Transformacja υ i a między układem inercjalnym a nieinercjalnym Transformacja υ i a między układem inercjalnym a nieinercjalnym

119 Transformacja υ i a między układem inercjalnym a nieinercjalnym Dwaj obserwatorzy - związek między mierzonymi współrzędnymi punktu Y Y Q r u X O r X R O α = ωt Chcemy wyrazić położenie, prędkość i przyspieszenie mierzone w układzie O przez położenie, prędkość i przyspieszenie mierzone w układzie O

120 Transformacja υ i a między układem inercjalnym a nieinercjalnym Zacznijmy od położenia. Zgodnie z rysunkiem r= r + R ale zauważmy, że chcemy, aby r był wyznaczony przez współrzędne i wersory układu primowanego: x e x + y e y + z e z = x e x + y e y + z e z + R x e x + R y e y + R z e z. Dla uproszczenia rachunków zakładamy, że ruch względny układów (złożony z obrotu i przesunięcia) jest ograniczony do płaszczyzny xy. Wtedy e x = cosα e x+ sinα e y e y = sinα e x+ cosα e y e z = e z.

121 Transformacja υ i a między układem inercjalnym a nieinercjalnym Po podstawieniu i prostych przekształceniach otrzymamy: oraz (1) x = (x cosα y sinα)+r x y = (x sinα+ y cosα)+r y z = z + R z x = (x R x )cos α+(y R y )sin α y = (x R x )cosα+(y R y )sinα z = z R z (2)

122 Transformacja υ i a między układem inercjalnym a nieinercjalnym Te równania należy rozumieć w następujacy sposób: jeśli obserwator O mierzy w układzie odniesienia e x, e y, e z współrzędne (x,y,z) punktu P, a oberwator O mierzy w układzie odniesienia e x, e y, e z współrzędne (x,y,z ) tego punktu, to równania (1) i (2) dają związki między współrzędnymi. Podkreślmy: każdy z obserwatorów rzutuje wektor położenia na osie własnego układu odniesienia. x e x + y e y + z e z R x e x R y e y R z e z = x e x + y e y + z e z

123 Transformacja υ i a między układem inercjalnym a nieinercjalnym Dwaj obserwatorzy - związek między mierzona pochodną wektora Zajmiemy się teraz znalezieniem relacji pomiędzy pochodną wektora P mierzoną przez obserwatorów O i O. P jest dowolnym wektorem, może symbolizować wektor położenia, prędkości, itp. Zakładamy też, że kąt obrotu między jednego układu względem drugiego może się zmieniać: α = ωt. Y Y P X α = ωt X R

124 Transformacja υ i a między układem inercjalnym a nieinercjalnym W układzie O: P=P x e x + P y e y + P z e z. W układzie O : P=P x e x + P y e y + P z e z. Wprowadźmy oznaczenie P : P = P x e x + P y e y + P z e z. rozumiej ac to w ten sposób, że wektor P jest to wektor P wyrażony przez współrzędne i wersory układu O.

125 Transformacja υ i a między układem inercjalnym a nieinercjalnym P=P x e x + P y e y + P z e z = P x e x + P y e y + P z e z = P. Podstawiając wersory primowane otrzymujemy: P=P x e x + P y e y + P z e z = = P x (cosα e x+ sinα e y )+P y ( sinα e x+ cosα e y )+P z e z = =(P x cosα P y sinα) e x+(p x sinα+ P y cosα) e y+ P z e z. Zastanówmy się, co oznacza ta równość w prostym przypadku, gdy wektor P jest wektorem stałym w układzie O. Jeśli orientacja układu O względem układu O jest ustalona (tzn. kąt α nie zmienia się w czasie) to współrzędne primowane też musza być stałe w czasie. Inaczej jest, gdy układ primowany obraca się względem nieprimowanego - widać, że w takiej sytuacji zmiana wartości funkcji sinα i cosα musi być skompensowana zmianą wartości współrzędnych primowanych. Inaczej mówiąc, dla obserwatora O wektor P zmienia się (bo zmieniają się jego współrzędne w układzie primowanym). Zatem, mimo że pochodna wektora P w układzie O jest równa zero, w układzie O jest różna od zera. Znajdziemy teraz związek między tymi pochodnymi.

126 Transformacja υ i a między układem inercjalnym a nieinercjalnym W ogólności, zmieniaja się współrzędne wektora P w obu układach. Zgodnie z założeniem, że ruch obrotowy zachodzi tylko w płaszczyźnie xy, mamy α = ωt, gdzie wektor prędkości kątowej ω =(0, 0, ω) jest mierzony przez obserwatora O. Różniczkujac (i wykorzystujac związki między wersorami w obu układach), dostajemy: d P dt = dp x dt e x+ dp y dt e y+ dp z dt e z = Czyli: = dp x dt e x +dp y dt e y +dp z dt e z ωp y e x + ωp x e y. d P dt = d P + ω P. dt

127 Transformacja υ i a między układem inercjalnym a nieinercjalnym Zastosujmy ten wynik do wektora położenia punktu Q: r= r + R. Wektor R jest położeniem O względem O, wyrażonym we współrzędnych nieprimowanych. Aby uzyskać pełną analogię z powyższym rozumowaniem, obliczmy pochodną wektora r R= r : d( r R) dt = d r dt υ u= υ + ω r, gdzie: υ - mierzona przez O zmiana wektora r (wyrażona przez współrzędne i wersory nieprimowane ), czyli prędkość punktu Q w układzie O; υ - mierzona przez O zmiana wektora r (wyrażona przez współrzędne i wersory primowane ), czyli prędkość punktu Q w układzie O ; u - mierzona przez O zmiana wektora R (wyrażona przez współrzędne i wersory nieprimowane ), czyli prędkość O w układzie O.

128 Transformacja υ i a między układem inercjalnym a nieinercjalnym Znajdźmy teraz związek między przyspieszeniami: υ u= υ + ω r d dt ( υ u)= d dt ( υ + ω r )+ ω ( υ +(ω r )) Ostatecznie, otrzymujemy: a= a + a tr + d ω dt r + 2 ω υ + ω ( ω r ), gdzie: a - przyspieszenie mierzone w O ; a tr - przyspieszenie postępowe O względem O, mierzone w O; 2 ω υ - przyspieszenie Coriolisa; υ - mierzone w O ; d ω dt r - przyspieszenie kątowe O względem O; ω ( ω r ) - przyspieszenie dośrodkowe. Zauważmy, że a, a tr oraz ω są mierzone w O.

129 Transformacja υ i a między układem inercjalnym a nieinercjalnym Przykład: przyspieszenie w ruchu po okręgu Zadanie. Rozpatrzmy punkt Q, który - w układzie O - porusza się po okręgu o promieniu R z prędkościa kątową ω = χt, t 0. Chcemy znaleźć przyspieszenie tego punktu w układzie O i O, przy czym układ O wiruje wraz z poruszajacym się punktem, a środki układów się pokrywaja. W chwili t=0 osie x i x oraz y i y - odpowiednio - się pokrywały, a położenie punktu Q w układzie O dane jest przez (x,y )=(R,0).

130 Transformacja υ i a między układem inercjalnym a nieinercjalnym Rozwiązanie Prędkość w układzie O ma wartość υ = χrt oraz składowe: υ x = χrt sinα e x, υ y = χrt cosα e y, α(t)= 1 2 χt2. Prędkość w układzie O wynosi - na podstawie treści zadania - zero, ale możemy ją wyznaczyć stosujac zależność υ = υ ω r. (υ x,υ y )= χrt sinα e x + χrt cosα e y ωr e y =(0,0)

131 Transformacja υ i a między układem inercjalnym a nieinercjalnym Przyspieszenie w układzie primowanym jest równe zero (punkt Q jest w tym układzie nieruchomy). Ponieważ a tr = 0, υ = 0, więc powinniśmy stwierdzić, że a= d ω dt r + ω ( ω r ). Lewą stronę obliczamy różniczkujac składowe prędkości w układzie O: a x =( χrsin χt2 2 χ2 Rt 2 cos χt2 2 ) e x, a x =(χrcos χt2 2 χ2 Rt 2 sin χt2 ) e y, a=a x e x + a y e y = χr e y χ 2 t 2 R e x. Zauważmy, na marginesie, że wersory e x i e y są równe, odpowiednio, wersorom układu biegunowego związanego z O: a= χ 2 t 2 R e ρ + χr e ϕ.

132 Transformacja υ i a między układem inercjalnym a nieinercjalnym Prawą stronę obliczamy w układzie O : d ω dt r =(0,0, χ) (R,0,0) = χr e y ω ( ω r )= ω( ω R e x ) R e x ω2 = χ 2 t 2 R e x. Widać, że obliczenia różnych wielkości w dwóch układach współrzędnych dają ten sam wynik.

133 Ziemia jako układ nieinercjalny Ziemia jako układ nieinercjalny

134 Ziemia jako układ nieinercjalny Ruch obrotowy Ziemi ω ver ω ω hor φ Prędkość kątowa ruchu obrotowego Ziemi rozkładamy na dwie składowe: ω = ω ver + ω hor. ω ver jest prędkości a kątową obrotu płaszczyzny horyzontu wokół kierunku radialnego - odpowiada za zmianę płaszczyzny wahań wahadła Foucaulta. Prędkość ω hor określa szybkość podnoszenia się płaszyzny horyzontu na zachodzie i opuszczania się na wschodzie.

135 Ziemia jako układ nieinercjalny Wahadło na obracającej się Ziemi AKW & JAZ, Wstęp do fizyki

136 Ziemia jako układ nieinercjalny Wahadło Faucaulta Zademonstrowane przez Jeana Bernarda Leona Foucaulta w Obserwatorium Astronomicznym w Paryżu w 1851 r. jest dowodem dobowego ruchu obrotowego Ziemi. Płaszczyzna wahań obraca się z częstościa ω ver = ω sinφ. AKW & JAZ, Wstęp do fizyki

137 Ziemia jako układ nieinercjalny Siła odśrodkowa i przyspieszenie na powierzchni Ziemi Z powodu ruchu Ziemi wokół osi, mierzona wartość przyspieszenia ω 2 R ziemskiego zależy od szerokości geograficznej φ. Jeśli ciało nie porusza się względem Ziemi, to działa na niego siła bezwładności φ g 0 + ω 2 R g 0 skierowana wzdłuż promienia równoleżnika, związana z przyspieszeniem odśrodkowym ω 2 R = ω 2 Rcosφ. Wskutek tego wypadkowe przyspieszenie ziemskie nie ma kierunku radialnego i opisane jest wektorem g(φ), który spełnia równanie: g 0 = g(φ)+ ω ( ω R(φ)), gdzie g 0 jest przyspieszeniem grawitacyjnym mierzonym w układzie inercjalnym na powierzchni kuli o masie i promieniu Ziemi. ω 2 R

138 Ziemia jako układ nieinercjalny Spadek swobodny przy powierzchni Ziemi Przyspieszenie odśrodkowe ma dwie składowe: radialna i horyzontalna. Składowa radialna dodaje się do skierowanego radialnie wektora g 0. Składowa horyzontalna odpowiada za odchylanie toru ciała spadajacego swobodnie: na południe na półkuli północnej i na północ na półkuli południowej. Podczas spadku ciało się porusza w układzie nieinercjalnym ( v 0), w związku z czym pojawia się dodatkowy efekt - przyspieszenie Coriolisa, które na obu półkulach powoduje odchylenie toru na wschód. Czyli, tor spadaj acego ciała odchyla się od kierunku radialnego na południowy wschód na półkuli północnej i na północny wschód na półkuli południowej.

139 Oscylator harmoniczny Oscylator harmoniczny

140 Oscylator harmoniczny Oscylator harmoniczny Oscylator harmoniczny jest to układ, który wykonuje drgania zgodnie z zależnościa cos(ωt+ϕ 0 ) gdzie ω nazywamy czstościa kołową, związana okresem drgań T zależnościa ω = 2π T, zaś ϕ 0 jest poczatkow a fazą drgań, tzn fazą odpowiadajac a czasowi t=0. Fundamentalna rola oscylatora harmonicznego w fizyce wynika m.in z faktu, że równanie ruchu oscylatora można ściśle rozwiązać w mechanice klasycznej i kwantowej, zaś wzbudzenia pola elektromagnetycznego można przedstawić w postaci wzbudzeń oscylatorów.

141 Oscylator harmoniczny Równanie ruchu oscylatora harmonicznego Oscylator harmoniczny jest układem opisanym funkcja Ψ(t), której ewolucję w czasie określa równanie: d 2 Ψ dt 2 + ω2 Ψ=0. Rozwiązaniem tego równania jest Ψ(t)=Acos(ωt+ϕ 0 ), gdzie A jest amplituda drgań. Równanie ruchu jest równaniem różniczkowym drugiego rzędu, więc wyznaczenie funkcji Ψ wymaga dwukrotnego całkowania. Każde całkowanie wprowadza jedna stała całkowania. Dwie nieznane wielkości A i ϕ wyznaczamy na podstawie warunków poczatkowych. Zazwyczaj warunkami tymi są znane wartości funkcji Ψ i jej pochodnej dψ/dt w chwili t=0.

142 Oscylator harmoniczny Równanie oscylatora harmonicznego Z równaniem postaci: d 2 Ψ dt 2 + ω2 Ψ=0 będziemy się często spotykać. Równanie to opisuje, m.in.: oscylacje wahadła matematycznego, fizycznego, torsyjnego (dla małych wychyleń); oscylacje masy na sprężynie; ruch cząstki naładowanej w polu magnetycznym; oscylacje prądów i napięć w obwodach prądu zmiennego.

143 Oscylator harmoniczny Przykład: masa na sprężynie 0 g z 0 z m Równanie ruchu: Z m d2 z dt 2 = mg k(z z 0).

144 Iloczyn wektorowy Iloczyn wektorowy

145 Iloczyn wektorowy Iloczyn wektorowy Iloczyn wektorowy wektorów A i B, A B, definiujemy jako wektor C, który: jest wektorem prostopadłym do płaszczyzny wyznaczonej przez wektory A i B; ma zwrot zgodny z ruchem śruby prawoskrętnej, gdy wektorem A kręcimy w kierunku wektora B przez kąt mniejszy niż π; ma długość równą A B sin( ( A, B)). C= A B, C=ABsin( ( A, B)).

146 Iloczyn wektorowy Iloczyn wektorowy wersorów Zauważmy, że w prawoskrętnym układzie współrzędnych prostokatnych, rozpiętym przez wersory e x, e y i e z, zachodzi: e x e y = e z, e y e z = e x, e z e x = e y, a pozostałe iloczyny wektorowe są równe zero. Te trzy równania można zapisać w postaci: e i e j = ε ijk e k, (i,j,k)=(x,y,z), gdzie tensor całkowicie antysymetryczny ε ijk zdefiniowany jest przez: ε ijk = 1 dla parzystych permutacji (i, j, k); -1 dla nieparzystych permutacji (i, j, k); 0 w pozostałych przypadkach

147 Iloczyn wektorowy Iloczyn wektorowy wyrażony przez współrzędne Dane są dwa wektory A=(A x,a y,a z ) oraz B=(B x,b y,b z ), których współrzędne określone są w prawoskrętnym układzie współrzędnych. Korzystajac z rozdzielczości iloczynu wektorowego względem dodawania wektorów oraz z obliczonych powyżej iloczynów wektorowych wersorów można łatwo obliczyć, że: e x (A y B z A z B y )+ e x e y e z A B= e y ( A x B z + A z B x )+ = A x A y A z e z (A x B y A y B z ) B x B y B z

148 Ruch cząstki naładowanej w polu magnetycznym Ruch czastki naładowanej w polu magnetycznym

149 Ruch cząstki naładowanej w polu magnetycznym Siła Lorentza Siła działajaca na cząstkę o ładunku q, poruszajac a się z prędkościa v w polu magnetycznym o indukcji B: F L = q v B. Jeśli dodatkowo obecne jest pole elektryczne E, to całkowita siła działajaca na cząstkę jest równa: F = q E+ q v B.

150 Ruch cząstki naładowanej w polu magnetycznym Ruch w jednorodnym polu magnetycznym Zadanie: Znaleźć i przedyskutować ruch cząstki o masie m i ładunku q w jednorodnym polu magnetycznym o indukcji B =[0, 0, B]. Prędkość poczatkowa v 0 skierowana jest pod kątem α do pola magnetycznego. W chwili t = 0 cząstka znajdowała się w punkcie o współrzędnych (0, 0, 0).

151 Ruch cząstki naładowanej w polu magnetycznym Ruch w jednorodnym polu magnetycznym Równanie ruchu ma postać: czyli we współrzędnych (x, y, z): m d v dt = q v B= e x v y B e y v x B m dv x dt m dv y dt = qv y B = qv x B m dv z dt = 0

152 Ruch cząstki naładowanej w polu magnetycznym Ruch w jednorodnym polu magnetycznym dv x dt = ω c v y dv y dt = ω c v x v z = v z0 = const z(t) = v z0 t = ωc 2v x d 2 v x dt 2 d 2 v y dt 2 = ω 2 c v y Po rozwiązaniu i uwzględnieniu warunków poczatkowych: v x (t) = v 0 sin α cosω c t x(t) = ; v y (t) = v 0 sin α sinω c t v 0 sinα ω c sinω c t y(t) = v 0 sinα ω c (cosω c t 1)

153 Ruch cząstki naładowanej w polu magnetycznym Ruch w jednorodnym polu magnetycznym - wnioski W przypadku, gdy prędkość poczatkowa ma kierunek pola magnetycznego, cząstka porusza się baz zmiany kierunku i wartości prędkości; W ogólnym przypadku ruch jest złożeniem ruchu jednostajnego w kierunku pola magnetycznego (z prędkościa v 0 cos α i ruchu po okręgu w płaszczyźnie prostopadłej do pola. W ogólności zatem tor jest linią śrubowa o stałym skoku równym 2πmv 0 sinα/qb. Ruch po okręgu odbywa się z prędkościa v 0 sinα. Promień okręgu wynosi v 0 sinα/ω c. Siła Lorentza jest prostopadła do prędkości, zatem nie wykonuje pracy i nie zmienia wartości prędkości cząstki, a jedynie jej kierunek. Kierunek ruchu okrężnego zależy od znaku ładunku cząstki.

154 Elementy hydromechaniki Elementy hydrodynamiki

155 Elementy hydromechaniki Płyny: gazy i ciecze Płynem jest to, co może płynać, czyli ciecz lub gaz. Istotne różnice pomiędzy ciecza a gazem: w gazie nie powstaja napięcia styczne, które są obecne w cieczy lepkiej. Siły te pojawiają się wskutek przekazu pędu miedzy sąsiednimi warstwami poruszajacej się cieczy. W cieczy nielepkiej zwanej inczej idealna nie występuja napięcia styczne. gaz wypełnia cał a objętość naczynia, natomiast ciecz tylko pewną jego część - pojawia się powierzchnia swobodna

156 Elementy hydromechaniki Siła lepkości Siła lepkości jest siłą tarcia wewnętrznego pojawiajac a się podczas ruchu cieczy rzeczywistej, czyli lepkiej. Siła oporu działajaca na ciało poruszajace się w cieczy lub gazie (ogólnie - w płynie). Zależy od wielu czynników, jak: prędkość, gęstość płynu, rozmiary ciała,... Będziemy rozpatrywać najprostszy przypadek, gdy siła lepkości jest proporcjonalna do prędkości poruszajacego się ciała.

157 Elementy hydromechaniki Opis dynamiki płynu Dynamikę płynu opisuja dość skomplikowane równania, których wyprowadzenie daleko wykracza poza zakres niniejszego wykładu. Równania te wiążą ze soba wielkości, które są istotne dla przepływów: gęstość płynu, jego prędkość, lepkość, temperaturę, siły zewnętrzne, napięcie powierzchniowe, oddziaływanie ze ściankami, obeność przeszkód, żródeł, ścieków, itd. Należy także uwzględnić zasady zachowania: pędu, energii, momentu pędu, masy, bilansu entropii, uwzględnić ściśliwość, przewodnictwo cieplne, itd.

158 Elementy hydromechaniki Podstawowe prawa hydromechaniki Ograniczymy się do podania najprostszych praw hydromechaniki, które zobrazujemy pokazami. Są to: prawo Archimedesa prawo Pascala prawo Bernoulliego Wszystkie te prawa wynikaja z ogólnej analizy przepływów cieczy. Prawo Archimedesa wynika z warunku równowagi sił dla ciała pływajacego. Prawo to odnosi się do przypadku statycznego, więc jest słuszne dla każdego płynu. Prawo Pascala obrazuje ciśnienie w cieczy idealnej w przypadku ruchu oraz dla każdej cieczy w przypadku stacjonarnym. Prawo Bernoulliego jest wyrazem zasady zachowania energii mechanicznej dla cieczy idealnej.

159 Elementy hydromechaniki Prawo Archimedesa Archimedes z Syrakuz ( p.n.e.) Na ciało zanurzone w cieczy działa siła wyporu, równa liczbowo ciężarowi wypartej cieczy.

160 Elementy hydromechaniki Prawo Pascala Blaise Pascal ( ) Jeśli na płyn znajdujacy się w zamkniętym zbiorniku wywierane jest ciśnienie zewnętrzne, to (pomijajac ciśnienie hydrostatyczne) ciśnienie wewnatrz zbiornika jest wszędzie jednakowe i równe ciśnieniu zewnętrznemu.

161 Elementy hydromechaniki Prawo Pascala Prawo Pascala można także sformułować w sposób uwzględniajacy ciśnienie hydrostatyczne: Ciśnienie w płynie na tym samym poziomie jest stałe. Różnica ciśnień między warstwami znajdujacymi się na głębokości h 1 i h 2 wynosi: p=ρg(h 2 h 1 ), gdzie ρ jest gęstościa cieczy, a g - przyspieszeniem ziemskim. Prawo Pascala należy rozumieć w taki sposób, że ciśnienie wywierane na mały element powierzchni (na tyle mały, aby można uznać, że znajduje się na określonej głębokości) nie zależy od tego, w jaki sposób ten element jest ustawiony w stosunku do pionu.

162 Elementy hydromechaniki Równanie Bernoulliego v 2 t p 2 v 2 v 1 t p 1 v 1 h 2 h 1

163 Elementy hydromechaniki Równanie Bernoulliego ( ) Zmiana energii kinetycznej elementu płynu o masie m=v 1 S 1 t=v 2 S 2 t jest równa mv mv Zgodnie z zasada zachowania energii, zmiana ta jest równa pracy sił zewnętrznych - siły grawitacji i parcia hydrostatycznego: Stąd mg(h 2 h 1 )+( p 2 S 2 v 2 + p 1 S 1 v 1 ) t= = mg(h 2 h 1 )+( p 2 + p 1 ) m/ρ. p+ρgh+ ρv2 2 = const. W przeweżeniach ciecz płynie szybciej, więc ciśnienie jest mniejsze.

164 Elementy hydromechaniki Napięcie powierzchniowe Napięcie powierzchniowe definiujemy jako pracę na jednostkę powierzchni potrzebna do powiększenia powierzchni rozdziału faz.

165 Elementy hydromechaniki Mydło Rolą detergentów jest zmniejszenie napięcia powierzchniowego.

166 Elementy hydromechaniki Warstwa detergentu na powierzchni wody

167 Elementy hydromechaniki Prawo Laplace a Zakrzywienie powierzchni prowadzi do zmian ciśnienia: p 1 R R 2

168 Elementy hydromechaniki Żyjątka

169 Pęd i środek masy Pęd i środek masy

170 Pęd i środek masy Pęd - definicja Doświadczenie poucza, że w zagadnieniach związanych z dynamika ważna jest nie tyle prędkość, co iloczyn prędkości i masy, zwany pędem. Definicja. Cząstka o masie m, poruszajaca się z prędkościa υ ma pęd: p=m υ. W przypadku układu N punktów, całkowity pęd układu P c jest (wektorowa) sumą pędów wszystkich punktów: P c = N i=1 p i

171 Pęd i środek masy Pęd i druga zasada dynamiki II zasadę dynamiki F = m a możemy zapisać w równoważnej postaci: F= d p dt, co umożliwia bardziej ogólne spojrzenie na relację siła - ruch. Całkujac to równanie po czasie, dostajemy: t2 t 1 d p t2 dt dt= Fdt, p(t 2 ) p(t 1 )= t 1 t2 t 1 Fdt, co wyrażamy stwierdzeniem, że zmiana pędu jest równa popędowi siły.

172 Pęd i środek masy Pęd układu mas Rozpatrzmy układ N ciał o masach m 1,..., m N, poruszajacych się - odpowiednio - z prędkościa υ 1,..., υ N. Zakładamy, że ciała oddziałuja ze sobą siłami Newtonowskimi, tzn. spełniona jest III zasada dynamiki: F ij = F ji. Dodatkowo, na każde ciało może działać siła Q i, która nie jest związana z oddziaływaniem między ciałami. W takiej sytuacji możemy napisac: d(m 1 υ 1 ) = F 12 + F 13 + F F 1N + Q 1 dt d(m 2 υ 2 ) = F 21 + F 23 + F F 2N + Q 2 dt d(m N υ N ) dt. = F N1 + F N2 + F N3 + + F N,N 1 + Q N

173 Pęd i środek masy Sumując stronami, dostajemy: d P dt c = N i=1 Q i = Q c Oznacza to, że: siły wewnętrzne spełniajace III zasadę dynamiki nie mogą zmienić całkowitego pędu układu; zmiana całkowitego pędu układu wynika z działania sił zewnętrznych

174 Pęd i środek masy Zasada zachowania pędu Na podstawie powyższego równania można sformułować zasadę zachowania pędu: Jeżeli na układ nie działaj a zewnętrzne siły, to pęd układu jest zachowany.

175 Pęd i środek masy Środek masy Wprowadźmy wielkość, która jest bardzo użyteczna przy rozpatrywaniu ruchu układu mas. Definiujemy wektor położenia środka masy R SM w następujacy sposób: R SM = i m i r i i m i. r i jest wektorem łączącym poczatek układu współrzędnych z masą m i. Układ ten może być wybrany zupełnie dowolnie. Zauważmy, że ciało podparte w środku masy się nie obraca - wypadkowy moment siły ciężkości względem środka masy jest równy zero: i m i ( r i R SM ) g=( i m i r i m i R SM ) g=0 i

176 Pęd i środek masy Pęd układu mas jest równy: P c = m i υ i = d i dt (m i r i )= d i dt (M R SM )=M V SM Pęd układu mas jest taki, jak gdyby cała masa poruszała się z prędkościa równą prędkości środka masy. Dalej, mamy d P c = M d V SM = M A SM, dt dt oraz M A SM = Q c Dla układu odosobnionego, Q c = 0, A SM = 0 i V SM = const.

177 Zderzenia Zderzenia

178 Zderzenia Zderzenia sprężyste i niesprężyste O zderzeniu mówimy wtedy, gdy dwa lub więcej ciał oddziałuje na siebie stosunkowo dużymi siłami w stosunkowo krótkim czasie. Jeśli w zderzeniu zachowana jest energia kinetyczna zderzajacych się ciał, to mówimy, że zderzenie jest sprężyste. Jeśli tak nie jest, to zderzenie jest niesprężyste, a w szczególnym przypadku sklejenia się ciał po zderzenieu całkowicie niesprężyste. Zderzenie nie musi oznaczać bezpośredniego kontaktu obiektów, np. oddziaływanie komety z planeta lub gwiazda, prowadzace do zakrzywienia toru lotu, jest zderzeniem.

179 Zderzenia Zasady zachowania Mamy do dyspozycji: Zasadę zachowania pędu Zasadę zachowania energii (w zderzeniach sprężystych energii kinetycznej) Zasadę zachowania momentu pędu Inne zasady zachowania, które muszą być spełnione w przypadku zderzeń cząstek elementarnych

180 Zderzenia Zderzenie niesprężyste dwóch mas w układzie LAB Przypuśćmy, że dwie masy m 1 i m 2 poruszaja się z prędkościa, odpowiednio, υ 1 i υ 2. W chwili t=0 znajdowały się w miejscu, odpowiednio, o współrzędnych r 10 i r 20. Zakładamy, że nastapiło zderzenie całkowicie niesprężyste, tzn., masy się skleiły. Zasada zachowania pędu daje: m 1 υ 1 + m 2 υ 2 =(m 1 + m 2 ) V V = m 1 υ 1 + m 2 υ 2 m 1 + m 2 = V SM r 1 (t)= r 10 + υ 1 t, r 2 (t)= r 20 + υ 2 t R SM (t)= r 10m 1 + r 20 m 2 + m 1 υ 1 t+m 2 υ 2 t m 1 + m 2 = R SM (t=0)+ V SM t

181 Zderzenia Zderzenie niesprężyste dwóch mas w układzie SM Przed zderzeniem: u 1 = υ 1 V SM = m 2( υ 1 υ 2 ) m 1 + m 2, u 2 = υ 2 V SM = m 1( υ 2 υ 1 ) m 1 + m 2 Po zderzeniu: P przed SM = m 1 u 1 + m 2 u 2 = 0 P po SM = 0, czyli sklejone masy spoczywaja w układzie SM. Układ środka masy jest wyróżniony z tego powodu, że całkowity pęd układu względem środka masy jest równy zero. Poza tym, ruch układu jako całości jest zwykle mniej interesujacy niż ruch względny, więc przechodzac do układu środka masy eliminujemy z rozważań ten mniej ciekawy aspekt ruchu.

182 Zderzenia sprężyste Zderzenia sprężyste

183 Zderzenia sprężyste Energia kinetyczna Pomnóżmy równanie ruchu skalarnie przez d r: d p dt d r= F d r. Prawa strona tego wyrażenia jest praca dw siły F na drodze d r i zajmiemy się nią później. Lewą stronę możemy przekształcić w następujacy sposób: d p d r = md υ d r = md υ dt dt dt υdt= d dt (1 2 mυ2 )dt = d( 1 2 mυ2 ) E k = mυ2 2 = p2 2m Powyższa wielkość nosi nazwę energii kinetycznej i - jak wynika z powyższych rozważań - jest związana z praca sił zewnętrznych. Na razie interesuje nas sprawdzenie, czy pęd i energia kinetyczna są zachowane w zderzeniach.

184 Zderzenia sprężyste Zderzenia sprężyste - przypadek jednowymiarowy Rozpatrujemy dwie masy m 1 i m 2 poruszajace się po linii prostej z prędkościami, odpowiednio, υ 1,i oraz υ 2,i. Po zderzeniu sprężystym prędkości wynosza, odpowiednio, υ 1,f oraz υ 2,f. Korzystajac z zasady zachowania pędu: oraz energii: m 1 υ 1,i + m 2 υ 2,i = m 1 υ 1,f + m 2 υ 2,f 1 2 m 1υ 2 1,i m 2υ 2 2,i = 1 2 m 1υ 2 1,f m 2υ 2 2,f możemy wyznaczyć prędkości końcowe.

185 Zderzenia sprężyste Po prostych przekształceniach otrzymujemy: υ 1,f = (m 1 m 2 )υ 1,i + 2m 2 υ 2,i m 1 + m 2 υ 2,f = (m 2 m 1 )υ 2,i + 2m 1 υ 1,i m 1 + m 2 Zauważmy, że jedno wyrażenie powstaje z drugiego przez zamianę indeksów 1 2. Jest to odzwieciedleniem faktu, że obie masy uczestnicza w tym procesie w identyczny sposób. Zauważmy też, że jeśli masy są sobie równe, to w zderzeniu sprężystym następuje wymiana prędkości pomiędzy masami:υ 1,f = υ 2,i, υ 2,f = υ 1,i.

186 Zderzenia sprężyste Zderzenie sprężyste, niecentralne sztywnych kul Zadanie Dwie kule, jedna o masie m 1 a druga o masie m 2, poruszaja się po płaszczyźnie (stanowiacej układ LAB) z prędkościa, odpowiednio, υ 1,i i υ 2,i. Kule zderzaja się sprężyście zachowany jest całkowity pęd i całkowita energia kinetyczna układu (oraz moment pędu). Wyznaczyć prędkości υ 1,f i υ 2,f kul po zderzeniu. Przeanalizować zderzenie w układzie LAB i SM. Y Przed Po X

187 Zderzenia sprężyste Zderzenia sprężyste na płaszczyźnie Rozwiazanie W zderzeniach sprężystych jest zachowany całkowity pęd układu: czyli, dla współrzędnych x i y: p 1,i + p 2,i = p 1,f + p 2,f, m 1 υ 1,i cosα 1,i + m 2 υ 2,i cosα 2,i = m 1 υ 1,f cosα 1,f + m 2 υ 2,f cosα 2,f m 1 υ 1,i sinα 1,i + m 2 υ 2,i sinα 2,i = m 1 υ 1,f sinα 1,f + m 2 υ 2,f sinα 2,f oraz całkowita energia kinetyczna: 1 2 m 1υ 2 1,i m 1υ 2 2,i = 1 2 m 1υ 2 1,f m 1υ 2 2,f Czyli, dla zderzenia sprężystego mamy trzy równania i cztery niewiadome - w ogólności jest to problem, który można rozwiązać przy dopiero przyjmujac dodatkowe założenie (np. znajomość jednego z kątów po zderzeniu).

188 Zderzenia sprężyste Zderzenia sprężyste na płaszczyźnie W przypadku zderzeń niecentralnych wygodnie jest wybrać jako układ LAB taki układ, w którym jedna z kul spoczywa, a druga porusza się wzdłuż osi x. Zauważmy, że zawsze można taki układ znaleźć. W przypadku mas m 1 i m 2 poruszajacych się z prędkościami, odpowiednio υ 1 i υ 2 układem takim może być po prostu układ, w którym masa m 2 spoczywa, a oś x skierowana jest wzdłuż wektora prędkości względnej υ 1 = υ 1 υ 2. Y Układ LAB: sytuacja wyjściowa Y Układ LAB, w którym masa m2 spoczywa υ 1 υ 1 υ 2 X X

189 Zderzenia sprężyste Zderzenia sprężyste - układ LAB i SM Y LAB Przed Y SM υ 1 υ 1,SM X υ 2,SM X Y υ 1 LAB Po Y SM υ 1,SM X υ 2,SM X

190 Zderzenia sprężyste Transformacja kąta rozproszenia LAB SM Przypuśćmy, że kąt rozproszenia masy m 1 w układzie LAB wynosi θ 1,LAB, zaś w układzie SM jest równy θ 1,SM. tgθ 1,LAB = υ 1,y υ 1,x tgθ 1,SM = υ 1,y,SM υ 1,x,SM Związek między współrzędnymi jest dany transformacja Galileusza (Uwaga: V SM określony jest w LAB): υ 1,x = υ 1,x,SM + V SM υ 1,y = υ 1,y,SM υ 1,y,SM tgθ 1,LAB = υ 1,x,SM + V SM sinθ 1,SM = cosθ 1,SM + V SM /υ 1,SM

191 Zderzenia sprężyste Transformacja kąta rozproszenia LAB SM W układzie SM pędy obu mas są równe co do wartości: przed zderzeniem: m 1 υ 1,SM = m 2 υ 2,SM po zderzeniu: m 1 υ 1,SM = m 2υ 2,SM Dla zderzeń sprężystych: m 1,SM υ 2 1,SM + m 2,SMυ 2 2,SM = m 1,SMυ 2 1,SM + m 2,SM υ 2 2,SM Łącząc te równania dostajemy: υ 1,SM = υ 1,SM υ 2,SM = υ 2,SM Ponieważ w naszym przypadku ( V SM określony jest przez prędkości w LAB) to co daje V SM = m 1 m 1 + m 2 υ 1 = m 1 m 1 + m 2 ( υ 1,SM + V SM ), V SM = m 1 m 2 υ 1,SM, tgθ 1,LAB = sinθ 1,SM cosθ 1,SM + m. 1 m 2

192 Ruch układów o zmiennej masie Ruch układów o zmiennej masie

193 Ruch układów o zmiennej masie Przykłady układów o zmiennej masie Przykłady realne * Kropla wody w atmosferze (kondensacja lub parowanie) * Rakiety * Samoloty odrzutowe Przykłady wydumane * Cysterna, z której wylewa się mleko * i temu podobne

194 Ruch układów o zmiennej masie Ruch układu o zmiennej masie Będziemy rozpatrywać rakietę, która traci masę z powodu wyrzutu gazów powstajacych w wyniku spalania paliwa. Rozpatrujemy ruch masy m 2 poruszajacej się z prędkościa v 2, do której dołącza się masa dm 1 poruszajaca się z prędkościa v 1 (dm 1 może być ujemna). UWAGA: rozważamy problem w układzie inercjalnym, w którym wyznaczone są prędkości v 1 i v 2. Dopiero na końcu wprowadzimy prędkość u=v 2 v 1, czyli prędkość względna wylatujacych z rakiety gazów (wyznaczona względem poruszajacej się rakiety). Zauważmy, że jesli skierujemy oś układu współrzędnych w kierunku ruchu rakiety, to poczatkowo (podczas startu), v 2 > 0, v 1 < 0, v 1 v 2, u<0. Jeśli rakieta porusza się już bardzo szybko, wtedy v 2 > 0, v 1 > 0, v 1 może być porównywalne z v 2, ale u<0.

195 Ruch układów o zmiennej masie Ruch układu o zmiennej masie W ogólności, rakieta porusza się w polu grawitacyjnym, przynajmniej dopóki nie opuści Układu Słonecznego. Pytanie zatem brzmi, jak się zmieni prędkość rakiety (masa m 2 ), jeśli jej masa zmieni się o dm 1 m 2 i i działa siła zewnętrzna?

196 Ruch układów o zmiennej masie Ruch układu o zmiennej masie Połączenie (rozdzielenie) mas jest zderzeniem niesprężystym, które zachodzi w czasie dt: potrzeba trochę czasu, aby masa dm 1 wyleciała z rakiety. Prędkość zmiany masy jest określona przez konstrukcję układu napędowego, jest skończona i możemy napisać, że dm 1 dt = β. W czasie dt pęd całego układu zmienia się o pewną wartość dp. Gdyby nie działała siła grawitacji, zmiana pędu byłaby równa zero - oddziaływanie wylatujacych gazów z rakieta opisujemy siłami Newtonowskimi. Jeśli siła grawitacji działa, wtedy pochodna pędu układu względem czasu jest równa działajacej na układ (gazy + rakieta) sile grawitacji.

197 Ruch układów o zmiennej masie Ruch układu o zmiennej masie Niech prędkość masy dm 1 i m 2 układzie inercjalnym będzie równa, odpowiednio, υ 1 i υ 2. Pęd poczatkowy: p(t)=dm 1 υ 1 + m 2 υ 2. Pęd końcowy: Zmiana pędu układu jest równa: p(t+dt)=(dm 1 + m 2 )( υ 2 + d υ 2 ). d p= p(t+dt) p(t) = m 2 d υ 2 + dm 1 ( υ 2 υ 1 )+dm 1 d υ 2 m 2 d υ 2 + dm 1 ( υ 2 υ 1 ).

198 Ruch układów o zmiennej masie Ruch układu o zmiennej masie Masa dm 1 może być dodatnia albo ujemna. Czynimy tu założenie, że prędkość masy dm 1 zmienia się skokowo, zaś masy m 2 - w sposób ciągły. Wprowadzamy prędkość względna masy dm 1 względem masy m 2 : u= υ 1 υ 2. Zmiana pędu układu w jednostce czasu wynosi: d p dt = m d υ 2 2 u dm 1 dt dt i jest równa działajacej na układ sile zewnętrznej F zew : d p dt = F zew.

199 Ruch układów o zmiennej masie Równanie Mieszczerskiego Mamy zatem uogólniona postać drugiej zasady dynamiki: m 2 d υ 2 dt u dm 1 dt = F zew. Pozbędziemy się teraz indeksów 1 i 2 w nastpujacy sposób. Interesuje nas ruch dużej masy m 2, która zmienia się w czasie z prędkościa dm 1 /dt. Zatem, wielkości m 2 i dm 1 /dt dotycza tej samej dużej masy m 2, którą nazwiemy masą m. Podobnie, prędkość υ 2 jest prędkościa dużej masy - możemy opuścić indeks 2. Dostajemy zatem: m d υ dt udm = F zew. dt Siła zewnętrzna jest siłą działajac a na cały układ, tzn. na masę m i dm, ale ze względnu na to, że dm m zaniedbujemy działanie siły zewnętrznej na dm.

200 Ruch układów o zmiennej masie Równanie Mieszczerskiego Otrzymujemy zatem: m d υ dt = F zew + u dm dt. Równanie to nazywamy równaniem Mieszczerskiego. Wyrażenie u dm dt nazywamy siłą odrzutu lub siłą ciągu. Jak widać, w przypadku wyrzutu gazów u jest przeciwnie skierowane do v, dm/dt jest ujemne i siła ciągu jest skierowana w kierunku przyspieszenia. Iwan Mieszczerski, , profesor Petersburgskiego (potem Leningradzkiego) Instytutu Politechnicznego. W pracach Dynamika punktu o zmiennej masie (1897) i Równania ruchu punktu o zmiennej masie w przypadku ogólnym (1904) sformułował zasadnicze równania dynamiki ciał o zmiennej masie, które są podstawa współczesnej teorii ruchu rakiet.

201 Ruch układów o zmiennej masie Start rakiety Zadanie Rakieta startuje z Ziemi (ruch w jednorodnym polu grawitacyjnym skierowanym przeciwnie do kierunku ruchu) wskutek odrzutu gazów wylatujacych z jej dyszy ze stała prędkościa względna u i stała ilościa w jednostce czasu β (mianem wielkości β jest kg/s). Początkowa masa rakiety z paliwem wynosiła m 0. Znaleźć równanie ruchu rakiety oraz zależność jej prędkości υ od czasu.

202 Ruch układów o zmiennej masie Start rakiety Rozwiazanie Zakładamy, że rakieta porusza się w kierunku osi z: υ = υ e z, pole grawitacyjne i prędkość względna skierowane są przeciwnie do osi z: g= g e z, g>0, u= u e z, u>0, mamy równanie ruchu rakiety w kierunku z: m dυ dt = u dm dt mg. Do tego równania musimy wstawić zależność m(t)=m 0 βt i otrzymamy: (m 0 βt) dυ = uβ (m 0 βt)g. dt Wycałkowanie z warunkiem poczatkowym υ(0) = 0 daje υ(t)= gt+uln m 0 m 0 βt.

203 Ruch układów o zmiennej masie Wzór Ciołkowskiego (Konstanty Ciołkowski, ) Jeśli rakieta znajduje się daleko od źródeł pola grawitacyjnego, to g = 0 i jeśli całe paliwo zostanie zużyte, to osiagnięta przez rakietę prędkość jest równa: υ = uln m 0, m k gdzie m k jest końcow a masą rakiety. Jest to tzw. wzór Ciołkowskiego.

204 Praca i energia Praca i energia

205 Praca i energia Praca d p dt = F Mnożymy skalarnie obie strony przez d r: d p dt d r = F d r Prawą stronę tego równania oznaczamy przez dw i nazywamy pracą siły F przy przesunięciu d r. dw = Fdscos( ( F,d r))=f t ds W A B = F( r 1 ) d r F( r N ) d r N = B A F d r Praca wykonana przez siłę F może (ale nie musi) zależeć od wyboru drogi łączącej punkty A i B.

206 Praca i energia Praca sił prostopadłych do przesunięcia Siły prostopadłe do przesunięcia: Siła dośrodkowa Siła Lorentza Siła grawitacji w pobliżu Ziemi dla przesunięć poziomych Siła reakcji dla więzów niezależnych od czasu. Praca tych sił jest równa zero!

207 Praca i energia Moc W zastosowaniach praktycznych interesuje nas często szybkość wykonywania pracy. Wprowadzamy zatem wielkość o nazwie moc zdefiniowana jako: P= dw dt = F υ = de k dt = d dt ( mυ 2) Jeśli znamy moc jako funkcję czasu, to pracę wykonana w przedziale czasu od t 1 do t 2 możemy przedstawić w postaci: t2 W = P(t)dt. t 1 2

208 Praca i energia Energia kinetyczna d p dt = F Mnożymy skalarnie obie strony przez d r: d p dt d r = F d r Lewa strona równania: d p d r= md υ d r= md υ dt dt dt υdt = d dt E k = mυ2 2 = p2 2m ( 1 2 mυ2 ) ( ) 1 dt = d 2 mυ2

209 Praca i energia Energia kinetyczna i praca siły F d p dt = F Mnożymy skalarnie obie strony przez d r: d p dt d r = F d r Całkujemy wzdłuż drogi łączącej punkty A i B: B ( ) 1 B d 2 mυ2 = F dr A 1 2 mυ2 (B) 1 2 mυ2 (A)=W A B Praca siły zewnętrznej jest równa zmianie energii kinetycznej ciała. A

210 Praca i energia Prosty przykład - ruch w stałym polu grawitacyjnym Masa m spoczywa na wysokości h nad Ziemią i w pewnej chwili zaczyna spadać. Siła grawitacji wykonuje pracę: 0 W pole, = m g dr= h 0 0 = ( mg)dz= mg dz= mg(0 h)=mgh, h h co jest równe zmianie energii kinetycznej (możemy ją wyznaczyć z równań ruchu): mgh= 1 2 mυ2 (z=0) 1 2 mυ2 (z=h)= 1 2 mυ2 (z=0)

211 Praca i energia Praca w stałym polu grawitacyjnym Jaka pracę wykonamy podnoszac masę m na wysokość h? (Zakładamy, że robimy to tak wolno, że energię kinetyczna możemy zaniedbać.) h h W my, = m g dr= (mg)dz=mgh 0 0 Czyli kosztem pracy siły zewnętrznej ciało zyskało energię potencjalna mgh. A jaką pracę wykonała w tym czasie siła grawitacji? h W pole, = m g dr= 0 h h = ( mg)dz = mg dz= mg(h 0)= mgh. 0 0

212 Praca i energia Siły zachowawcze i energia potencjalna Zauważmy, że praca siły cieżkości przy przesunięciu masy m z punktu A do B nie zależy od drogi, która ciało przebyło i zawsze jest równa: B W A B = m g d r. A Ale wiemy, że taką właściwość ma całka z wyrażenia, które jest różniczka jakiejś funkcji, nazwijmy ją E p : B A ( de p )= (E p (B) E p (A)).

213 Praca i energia Siły zachowawcze i energia potencjalna Zatem, w przypadku siły grawitacji spełnione jest równanie: B Mamy więc dla siły grawitacji: A F d r=w A B =(E p (B) E p (A)). B W A B = de p = (E p (B) E p (A)). A Równanie to przyjmiemy jako definicję pewnej klasy sił, które nazywamy siłami zachowawczymi: dla sił zachowawczych praca zależy tylko od położenia poczatkowego i końcowego, nie zależy od pokonanej drogi. Funkcję E p nazywamy energia potencjalną siły F. W szczególności, jeśli A pokrywa się z B, to wyciągamy wniosek, że praca siły zachowawczej po konturze zamkniętym jest równa zero.

214 Praca i energia Definicje siły zachowawaczej Z powyższych rozważań wynika, że siła F jest zachowawcza, jeśli 1. Praca siły F na drodze określonej wektorem d r jest równa różniczce pewnej funkcji, zwanej energia potencjalna, F d r = E p. 2. Praca siły zachowawaczej po konturze zamknietym jest równa zero. 3. Praca siły zachowawczej między punktami A i B zależy wyłącznie od położenia tych punktów, a nie od przebytej drogi. Każde z tych stwierdzeń można przyj ać za definicję siły zachowawczej i wykazać równoważność przyjętej definicji z pozostałymi dwoma stwierdzeniami.

215 Praca i energia Poziom odniesienia dla energii potencjalnej Energia potencjalna ciała w punkcie B jest określona przez pracę wykonana przy przesunięciu ciała z punktu A do B: B E p (B) E p (A)= F dr. A Jeśli zmienimy położenie punktu poczatkowego do A, to energia potencjalna w punkcie B będzie (w ogólności) inna: B E p(b) E p (A )= F dr. A Widać, że A B E p(b)= F dr F dr=e p (B)+C, A A gdzie C jest dane przez: A C= F dr. A Zatem, energia potencjalna jest określona z dokładnościa do stalej.

216 Praca i energia Siła centralna jest zachowawcza Siła centralna to siłą, której wartość zależy wyłącznie od odległości od centrum siły, czyli: F( r)= F(r) r r. Jak już wiemy, dla siły zachowawczej praca nie zależy od drogi, a tylko od położenia punktu poczatkowego i końcowego. Zatem, dla siły centralnej: W = B A B F dr= F(r) r B A r dr= F(r)dr = Φ(r B ) Φ(r A ), A gdzie Φ(r) jest całka funkcji F(r): F(r) = dφ/dr.

217 Praca i energia Zachowanie energii mechanicznej dla sił zachowawczych Widzieliśmy, że dla siły zachowawczej, ( ) mυ 2 dw = F d r= d oraz dw = de p. 2 Oznacza to, że d(e p + E k )=0, czyli E p + E k = const. Suma energii kinetycznej i potencjalnej nosi nazwę energii mechanicznej. Równanie to wyraża zasadę zachowania energii mechanicznej w przypadku sił zachowawczych.

218 Praca i energia Klocek wciągany na równię Zadanie: klocek o masie m wciągany jest siłą F w górę równi o kącie nachylenia α. Współczynnik tarcia jest równy f. Rozważyć przemiany energii podczas przesunięcia klocka wzdłuż równi o d. Rozwiązanie T = mgf cosα a= F gsinα gf cosα m d=v 0 t+ 1 2 at2 = v2 v 2 0 a= v2 v 2 0 2a 2d F m gsinα gf cosα = v2 v 2 0 2d Fd= mgsin αd+ 1 2 m(v2 v 2 0)+mgfd cosα W F = E p + E k + W T W F = E mech + E term

219 Praca i energia Zasada zachowania energii Zmiana całkowitej energii układu jest równa energii dostarczonej do układu lub od niego odebranej. Do tej pory zmianę energii mogliśmy osiągn ać przez wykonanie nad układem pracy. Ale są i inne sposoby (np. ciepło).

220 Statyka. Dynamika ruchu obrotowego Statyka. Dynamika ruchu obrotowego

221 Statyka. Dynamika ruchu obrotowego Podstawowe pojęcia Oś obrotu: prosta, wokół której następuje obrót; podczas obrotu punkty położone na osi obrotu nie poruszaja się. Kierunek zerowego położenia kątowego: ustalony kierunek prostopadły do osi obrotu, względem którego mierzymy wielkość obrotu. Linia odniesienia: linia, której położenie względem kierunku zerowego wyznacza wielkość obrotu. Położenie kątowe θ: kąt, jaki tworzy linia odniesienia z linia zerowego położenia kątowego. Położenie kątowe, wyrażone w radianach, określa wielkość obrotu. Przemieszczenie kątowe: różnica między końcowym a poczatkowym położeniem kątowym: θ = θ 2 θ 1.

222 Statyka. Dynamika ruchu obrotowego Prędkość kątowa Prędkość kątową definiujemy podobnie, jak prędkość w ruchu postępowym: Średnia prędkość kątowa: ωśr = θ(t 2) θ(t 1 ) t 2 t 1 Chwilowa prędkość kątowa: θ ω = lim t 0 t = dθ dt Trzeba przyjąć konwencję dotyczącą znaku ω. Robimy to przez odniesienie do prawoskrętnego układu odniesienia: jeśli wersorem e x kręcimy w kierunku e y, to związana z tym ruchem prędkość kątowa jest dodatnia. Prędkość kątowa jest wektorem, którego kierunek jest określony regułą śruby prawoskrętnej.

223 Statyka. Dynamika ruchu obrotowego Przyspieszenie kątowe Przyspieszenie kątowe definiujemy podobnie, jak przyspieszenie w ruchu postępowym: Średnie przyspieszenie kątowe: Chwilowe przyspieszenie kątowe: εśr = ω(t 2) ω(t 1 ) t 2 t 1 ω ε = lim = dω t 0 t dt Jest to tylko przyspieszenie związane ze stycznym przyspieszeniem liniowym!

224 Statyka. Dynamika ruchu obrotowego Związek między zmiennymi kątowymi i liniowymi Jeśli w czasie t linia odniesienia obróciła się o kąt θ, to punkt odległy od osi obrotu o R przebył drogę: s= θr. Zakładajac, że odległość R jest stała, prędkość prędkość liniowa punktu jest równa zaś przyspieszenie : s υ = lim t 0 t = ds dt = ωr, a= lim t 0 υ t = dυ dt = εr.

225 Statyka. Dynamika ruchu obrotowego Przykład - ruch wirowy obręczy Rozpatrzmy mały fragment obręczy o promieniu R. Widzieliśmy, że w ruchu po okręgu υ = ω R. Rozpisujac na składowe, otrzymujemy: ω R= e x (zω y yω z ) e y (zω x xω z )+ e z (yω x xω y ). Stąd łatwo otrzymamy: a= d dt ( ω R)= ω d R dt + d ω dt R= ω υ+ d ω dt R= a n + a t. Przyspieszenie dośrodkowe: a n = ω υ = ω ( ω R)= ω( ω R) R( ω ω)= ω 2 R. Przyspieszenie styczne: a t = d ω dt R. Z takim przyspieszeniem porusza się każdy fragment obręczy.

226 Moment siły i moment pędu Moment siły i moment pędu

227 Moment siły i moment pędu Moment pędu i moment siły Podobnie, jak pęd i siła są podstawowymi pojęciami koniecznymi do opisu ruchu postępowego, tak moment pędu i moment siły są konieczne do opisu ruchu obrotowego. Definicja: momentem pędu nazywamy wielkość: L= r p. Definicja: momentem siły nazywamy wielkość: M = r F. Zauważmy, że definicje te zależa od wyboru poczatku układu współrzędnych (w którym zaczepiony jest wektor r).

228 Moment siły i moment pędu Bryła sztywna W zagadnieniach związanych z ruchem obrotowym bardzo często rozpatrujemy ruch obiektu złożonego z bardzo dużej liczby elementów (np. atomów), których wzajemne odległości nie zmieniaja się podczas ruchu - jest to bryła sztywna. Będziemy rozpatrywać ruch bryły sztywnej względem osi obrotu, która może przenikać przez bryłę albo być położona poza bryła. Jasne jest, że rozkład masy bryły względem osi obrotu ma istotne znaczenie dla dynamiki bryły. Rozkład masy bryły sztywnej opisujemy za pomocą tensora momentu bezwładności.

229 Moment siły i moment pędu Moment siły i obrót Co ma wspólnego moment siły z obrotem? Wyobraźmy sobie, że do punktu P bryły sztywnej przykładamy siłę F - bryła zacznie się poruszać. A jeśli teraz unieruchomimy jakiś punkt Q? Doświadczenie pokazuje, że ciało zacznie się obracać, chyba że kierunek działania siły pokrywa się z kierunkiem wyznaczonym przez prosta łączac a punkty Q i P. Wyciagamy stąd wniosek, że obrót jest wywołany momentem siły F względem punktu Q.

230 Moment siły i moment pędu Statyka Jeśli siły działajace na punkt materialny równoważa się, to punkt ten się nie porusza. Ale jeśli równoważace się siły działaja na bryłę sztywna, to może się ona poruszać albo nie - zależy to od wypadkowego momentu siły. Zatem, bryła sztywna pozostaje w spoczynku, jeśli: wypadkowa siła działajaca na bryłę jest równa zero oraz wypadkowy moment siły działajacy na bryłę jest równy zero.

231 Moment siły i moment pędu Statyka bryły sztywnej - przykład Zadanie - dźwignia dwustronna. Jednorodna belka o masie M i długości L podparta jest w odległości l<l/2 od jednego z końcow, na którym leży masa m 1. Jaką masę m 2 należy położyć na drugim końcu belki aby układ był w równowadze? Jaka jest siła reakcji podpory? m 1 R m2 Mg Rozwiązanie Równowaga sił: R+Mg+m 1 g+m 2 g=0. Równowaga momentów sił względem punktu podparcia: m 1 gl Mg(L/2 l) m 2 g(l l)=0. Stąd m 2 =[lg(m 1 + M) MgL/2]/(L l), R= Mg m 1 g m 2 g.

232 Moment siły i moment pędu Równowaga Bryła może się znajdować w stanie: równowagi trwałej równowagi obojętnej równowagi chwiejnej Nie wystarczy rozwiazać równania, trzeba określić stabilność rozwiązania!

233 Dynamika bryły sztywnej Dynamika bryły sztywnej

234 Dynamika bryły sztywnej Druga zasada dynamiki dla ruchu obrotowego L= r p d L dt = d d r d p ( r p)= p+ r dt dt dt d r p= υ m υ = 0 dt r d p dt = r F= M d L dt = M Zmiana momentu pędu w jednostce czasu jest równa momentowi działaj acej siły.

235 Dynamika bryły sztywnej Energia kinetyczna i moment bezwładności Przypuśćmy, że bryła sztywna złożona z N mas m i, i=1,2,3,... wiruje wokół pewnej osi z prędkością kątową ω. Każda masa porusza się z prędkością υ i = ωr i,. Zatem, energia kinetyczna jest równa 1 N ) E k = 2 m iυi 2 = 2( 1 m i ri, 2 ω 2 = 1 i=1 2 Iω2 Wielkość N i=1 I = N i=1 m i r 2 i, nazywamy momentem bezwładności. W przypadku ciągłego rozkładu masy: I = r 2 dm V

236 Prędkość kątowa, moment pędu, moment bezwładności Prędkość katowa, moment pędu, moment bezwładności

237 Prędkość kątowa, moment pędu, moment bezwładności Związek momentu pędu i prędkości kątowej Rozważmy bryłę sztywną wirująca z prędkościa kątową ω wokół osi przechodzacej przez początek inercjalnego układu współrzędnych O (bardzo często wygodnie jest umieścić O w środku masy). i-ty punkt bryły, o masie m i, znajdujacy się w położeniu r i od O porusza się po okręgu i ma prędkość styczna do toru równą υ i = ω r i. Całkowity moment pędu bryły jest równy: L= L i = r i p i = m i r i υ i i i i czyli L= m i r i ( ω r i ) i

238 Prędkość kątowa, moment pędu, moment bezwładności Ruch wirowy obręczy - przypadki szczególne Obręcz o promieniu R i masie M może wirować wokół osi przechodzacej przez jej środek i nachylonej do płaszczyzny obręczy pod kątem ϕ. ω L ϕ = π/2 W przypadku ϕ = π 2, mamy: L= i ϕ = 0 ω L m i r i ( ω r i )= m i ωri e 2 r e ϕ = MR 2 ω = I ω. i W przypadku ϕ = 0, mamy: L= m i r i ( ω r i )= 1 i 2 MR2 ω = I ω.

239 Prędkość kątowa, moment pędu, moment bezwładności Oś obrotu prostopadła do płaszczyzny obręczy - obliczenia Wybieramy oś z równoległa do ω, a osie x i y - w płaszczyźnie obręczy. Dla każdego niewielkiego elementu masy obręczy mamy: ω r i = ωr e ϕ, r i = R e r, czyli L= m i R 2 ω e z = MR 2 ω e z, L=I ω.

240 Prędkość kątowa, moment pędu, moment bezwładności Oś obrotu w płaszczyźnie obręczy - obliczenia Środek układu współrzędnych umieszczamy w środku tarczy. Wektor ω kierujemy wzdłuż osi z i zakładamy, że w pewnej chwili obręcz znajduje się w płaszczyźnie yz. Wtedy dla elementu masy obręczy dm= M 2π dα (kąt α liczymy od osi y w kierunku osi z) mamy: L= M 2π ω r i = ωrcosα e x, r i ( ω r i )=ωr 2 sinα cos α e y + ωr 2 cos 2 α e z, 2π 0 ωr 2 sinα cos αdα+ M 2π 2π 0 cos 2 αdα = 1 2 MR2 ω = I ω.

241 Prędkość kątowa, moment pędu, moment bezwładności Ruch wirowy obręczy - przypadek ogólny Jeśli wektor prędkości kątowej jest ustawiony pod kątem ostrym do płaszczyzny tarczy, to wektor momentu pędu nie jest równoległy do wektora prędkości kątowej: gdyż I I. L= L + L = I ω + I ω, ω ω ω L L L

242 Prędkość kątowa, moment pędu, moment bezwładności Przypadek ogólny - obliczenia Oś obrotu jest nachylona pod kątem ϕ do płaszczyzny tarczy. Prędkość kątową możemy rozłożyć na dwie składowe: ω = ω + ω, czyli tgϕ = ω ω Moment pędu L= L + L = I ω + I ω = MR 2 ( ω ω ) jest nachylony do płaszczyzny obręczy pod kątem ψ takim, że tgψ = J J = 2 ω ω = 2tgϕ. W ogólności, moment pędu nie jest równoległy do prędkości kątowej!!! Dzieje się tak w przypadku, gdy oś obrotu nie jest osią symetrii bryły.

243 Prędkość kątowa, moment pędu, moment bezwładności Moment pędu wirującej obręczy Z punktu widzenia układu układu inercjalnego, w którym rozpatrujemy ruch obręczy, wektor momentu pędu L obraca się wokół stałego wektora prędkości kątowej ω ( założyliśmy, iż oś obrotu, czyli ω, ma stały kierunek). Jeśli L zmienia się, to znaczy, że działa moment siły: d L dt = M inerc. Moment siły pochodzi od sił reakcji w łożyskach utrzymujacych oś obrotu w stałym położeniu. W układzie nieinercjalnym związanym sztywno z tarcza moment pędu jest stały, gdyż moment siły reakcji łożysk jest kompensowany przez moment sił bezwładności. M inerc = d L dt = d L dt + ω L.

244 Prędkość kątowa, moment pędu, moment bezwładności Opis obracającej się bryły sztywnej - układ inercjalny i nieinercjalny Logiczne jest, że moment bezwładności należy wyznaczać w układzie sztywno związanym z bryła, bo w ogólności, podczas ruchu, rozkład masy bryły względem inercjalnego układu odniesienia się zmienia. Musimy jednak pamiętać, że w przypadku ruchu obrotowego, układ sztywno związany z bryłą jest układem nieinercjalnym. Rozpatrzymy zatem wirująca bryłę sztywna i dwa układy odniesienia: inercjalny U i związany sztywno z bryłą U. Zakładamy, że poczatki układów O i O się pokrywaja i znajduja się w środku masy bryły.

245 Prędkość kątowa, moment pędu, moment bezwładności Moment pędu bryły w układzie nieinercjalnym Wektor momentu pędu L możemy zapisać we współrzędnych układu U i U : L= i m i r i ( ω r i )= m i r i ( ω r i) i r i = r i = x i e x+ y i e y+ z i e z, ω = ω = ω x e x + ω y e y + ω z e z Korzystamy z faktu, że A ( B C)= B( A C) C( A B) r i ( ω r i)= ωr 2 i r i( r i ω)

246 Prędkość kątowa, moment pędu, moment bezwładności Tensor momentu bezwładności L= i m i r i ( ω r i )= m i r i ( ω r i) i ] = e x [ m i [r i 2 ω x x i(x iω x + y iω y + z iω z )] + i ] + e y [ m i [r i 2 ω y y i (x iω x + y iω y + z iω z )] + i ] + e z [ m i [r i 2 ω z z i (x iω x + y iω y + z iω z )] i L x = ω x m i (r i 2 x 2 i ) ω y m i x i y i ω z m i x i z i i i i L y = ω x m i x i y i + ω y m i (r i 2 y 2 i ) ω z m i y i z i i i i L x = ω x i m i x iz i ω y i m i x iy i+ ω z m i (r i 2 z 2 i ) i

247 Prędkość kątowa, moment pędu, moment bezwładności Tensor momentu bezwładności L x L y L z = = I x x I x y I x z I y x I y y I y z I z x I z y I z z I x x I x y I x z I x y I y y I y z I x z I y z I z z ω x ω y ω z ω x ω y ω z = I x x = m i (y 2 i + z 2 i i ), I y y = I x y = I y x = i i m i (x 2 i + z 2 i ), I z z = m i x i y i, I x z = I z x = m i x i z i, i I y z = I z y = m i y i z i i i m i (x 2 i + y 2 i )

248 Prędkość kątowa, moment pędu, moment bezwładności Tensor momentu bezwładnosci Î - tensor momentu bezwładności. Tensor momentu bezwładności wiąże moment pędu i prędkość kątowa: L=Îω. Î jest macierza symetryczna (nawet w najbardziej ogólnym przypadku). Elementy diagonalne są równe momentom bezwładności względem osi x, y i z. Elementy pozadiagonalne nazywaja się momentami zboczenia lub dewiacji. Postać tej macierzy (czyli wartości jej poszczególnych elementów) zależa od wyboru kierunków osi x,y,z.

249 Prędkość kątowa, moment pędu, moment bezwładności Tensor momentu bezwładności W przypadku macierzy symetrycznej, zawsze można tak wybrać kierunki osi układu współrzędnych (x,y,z ), aby wyrazy pozadiagonalne były równe zero. W takim układzie współrzędnych mamy: L x L y L z = I x I y I z ω x ω y ω z Kierunki te nazywaja się kierunkami osi głównych. W przypadku standardowych brył pokrywaja się one z osiami symetrii.

250 Żyroskopy i bąki Żyroskopy i baki

251 Żyroskopy i bąki Niezrównoważony żyroskop L m s g z e ρ e ϕ m 0 g Żyroskop nie jest zrównoważony, gdy momenty siły ciężkości wirującego silnika o masie m s i masy m 0 względem punktu podparcia dźwigni dwustronnej nie są sobie równe. Pojawia się wówczas wypadkowy moment siły M obracajacy układ wokół osi z.

252 Żyroskopy i bąki Precesja żyroskopu - opis w układzie inercjalnym W układzie inercjalnym mamy równanie ruchu: d L dt = M, czyli przy odpowiednio ustawionych osiach układu biegunowego: d e ϕ dt = M L e ρ. M jest prostopadły do L, zatem będzie powodować obrót L wokół osi z. Aby znaleźć ruch wektora L zauważmy analogię z ruchem ze stałą wartością prędkości wokół okręgu. Równanie ruchu ma postać: d υ dt = F d /m, czyli d e ϕ dt = F d mυ e ρ. Współczynnik F d mυ jest prędkością kątową, z jaką obraca się wektor υ. Mamy przecież w układzie biegunowym d e ϕ dt = dϕ dt e ρ. Przez analogię - częstością precesji wektora L jest ω p = M/L. Analogia z ruchem po okręgu F d = F d e ρ M = M e ρ υ = υ e ϕ L=L e ϕ Zauważmy, że ta analogia nie wymaga aby wektor L był związany z poruszającym się po okręgu punktem! Ważna jest tylko zmiana kierunku wektora L.

253 Żyroskopy i bąki Precesja żyroskopu - opis w układzie nieinercjalnym Układ nieinercjalny to układ sztywno zwiazany z obracającą się dźwignia - nie należy go wiązać z obracającym się wirnikiem żyroskopu! Równanie ruchu dla momentu pędu w tym układzie otrzymujemy z równania d L dt = M transformując pochodną do układu nieinercjalnego: d L dt = d L dt + ω p L = M. W układzie obracającym się wraz z dźwignią moment pędu jest stały co do kierunku i wartości (w układzie inercjalnym - tylko co do wartości). Zatem, Skąd, jak poprzednio, d L dt = 0 czyli ω p L = M. ω p = M L.

254 Żyroskopy i bąki Przechylenie osi żyroskopu Jeśli żyroskop (z kręcacym się wirnikiem, moment pędu L) jest poczatkowo zrównoważony (dźwignia jest pozioma), a następnie zwiększymy masę m 0 od m, to oprócz precesji z prędkościa ω p = M/L obserwujemy pochylenie dźwigni. Wynika to z zasady zachowania momentu pędu: początkowo moment pędu układu był równy L, natomiast, gdy dźwignia się obraca, układ ma dodatkowy moment pędu L p związany z precesja. Zatem, dla zachowania momentu pędu, dźwignia musi się pochylić. Kąt pochylenia θ jest równy w przybliżeniu L p /L. L p L L θ

255 Żyroskopy i bąki Energia kinetyczna ruchu obrotowego E k = 1 2 i m i υ 2 i = 1 2 i m i ( ω r i ) 2 Korzystamy z tożsamości wektorowej: ( A B) C= A ( B C) skąd mamy( ω r i ) 2 = ω ( r i ( ω r i )). E k = 1 2 ω m i [r i 2 ω r i ( r i ω)]= 1 i 2 ωî ω = 1 2 ω L. E k = 1 2 (ω2 x I xx+ ω 2 y I yy+ ω 2 z I zz+ 2ω x ω y I xy + 2ω x ω z I xz + 2ω x ω z I xz ). W przypadku układu zgodnego z osiami głównymi: E k = 1 2 (ω2 x I xx + ω 2 y I yy + ω 2 z I zz ).

256 Twierdzenie Steinera Twierdzenie Steinera

257 Twierdzenie Steinera Twierdzenie Steinera Niech będzie dana oś SM przechodzaca przez środek masy bryły sztywnej znajdujacy się w punkcie O oraz równoległa do niej i oddalona o d oś B. SM B m i r i ρ i d O O

258 Twierdzenie Steinera Twierdzenie Steinera Jeśli moment bezwładności bryły sztywnej o masie M względem osi SM przechodzącej przez środek masy jest równy I SM, to moment bezwładności względem osi B, równoległej do SM i oddalonej o d jest równy I B = I SM + Md 2. UWAGA: oś B nie musi przechodzić przez bryłę sztywną. Dowód: I B = m i ρ 2 i, = m i ( r i, d) 2 = = m i r 2 i, + Md2 2 d m i r i, = = I SM + Md 2. d m i r i, = d m i ( r i r i, )=0+0= 0. Pierwszy składnik sumy jest równy zero, gdyż m i r i /M jest położeniem środka masy względem środka masy. Drugi składnik jest równy zero, gdyż jest iloczynem skalarnym wektorów wzajemnie prostopadłych.

259 Twierdzenie Steinera Wahadło fizyczne Wahadło fizyczne waha się wokół osi, która nie przechodzi przez środek masy! Z X Y B θ D SM I B α = D M g I B α = MgDsinθ = MgDθ I B d 2 θ dt 2 θ = θ 0 cos(ωt+φ) ω = MgD I B = MgD I SM +MD 2 M g

260 Twierdzenie Steinera Wahadło zredukowane Wahadło zredukowane jest to wahadło matematyczne, którego okres drgań jest taki, jak okres drgań danego wahadła fizycznego. Wahadło fizyczne: Wahadło matematyczne: Stąd ω = MgD I SM + MD 2. ω = L= I SM+ MD 2 MD g L. = D+ I SM MD > D.

261 Praca momentu sił Praca momentu sił

262 Praca momentu sił Praca momentu siły przy obrocie bryły wokół ustalonej osi W przypadku ruchu wokół ustalonej osi, wszystkie punkty bryły poruszają się po okręgach. Pracę wykonuje tylko siła styczna do toru - okręgu (F s ), bo składowa normalna jest prostopadła do przesunięcia. Załóżmy, że siła jest przyłożona tylko w jednym punkcie bryły (np. na obwodzie walca), w odległości r od osi obrotu. W czasie dt bryła obróciła się o dθ. Punkt odległy o r od osi obrotu przybył drogę ds=dθr z prędkością υ = ds dt = ωr. W ogólności, siła F s może zależeć od kąta: F s = F s (θ). Praca wykonana przez siłę zewnętrzną jest równa dw = dθrf s (θ)=m(θ)dθ, czyli θ2 W θ1 θ 2 = M(θ)dθ. θ 1

263 Nieobowiązkowo - równania Eulera Nieobowiazkowo - równania Eulera

264 Nieobowiązkowo - równania Eulera Równania Eulera Równanie ruchu obrotowego w układzie inercjalnym U ma postać: d L dt = M Przypuśćmy, że wybraliśmy osie układu U zgodne z osiami głównymi bryły, a poczatek O umieścilismy w środku masy bryły. W układzie U równanie ruchu obrotowego ma postać: d L dt + ω L = M W tym równaniu wszystkie wektory możemy przedstawić w postaci składowych na osiach układu U.

265 Nieobowiązkowo - równania Eulera Równania Eulera ω = ω x ω y ω z d L dt + ω L = M, L = Î ω = I x ω x e x + I y ω y e y + I z ω z e z ω L e x e y e z = ω x ω y ω z I x ω x I y ω y I z ω z = I x dω x dt +(I z I y )ω y ω z = M x dω I y y dt +(I x I z )ω x ω z = M y (I z I y )ω y ω z e x + (I x I z )ω x ω z e y + (I y I x )ω x ω y e z I dω z z dt +(I y I x )ω x ω y = M z Zazwyczaj momenty bezwładności oraz momenty sił są znane, a szukamy ω.

266 Nieobowiązkowo - równania Eulera Precesja prędkości kątowej swobodnej kuli Rozważamy kulę, na która nie działa moment siły. Równania Eulera mają postać: dω i dt = 0 dla każdej ze składowych prędkości kątowej. Zatem, w tym przypadku ω = const. Zauważmy, że wniosek ten jest słuszny także dla jednorodnego sześcianu, o ile obraca się on wokół jednej z osi głównych.

267 Nieobowiązkowo - równania Eulera Precesja prędkości kątowej swobodnego bąka o symetrii walcowej W tym przypadku, I x = I y I z i równania Eulera mają postać: I dω x x dt +(I z I x )ω y ω z = 0 dω I y x dt (I z I x )ω x ω z = 0 dω z dt = 0 Stąd mamy, że ω z = const. Niech Ω= (I z I x ) I ω x z, wtedy dω x dt + Ωω y = 0 dω y dt Ωω x = 0 skąd ω x = ω x,0 cos(ωt+φ), ω y = ω y,0 sin(ωt+φ)

268 Nieobowiązkowo - równania Eulera Wirująca swobodnie obręcz Wiemy już, że w przypadku obręczy wirującej w taki sposób, że (środkowa) oś obrotu nie jest prostopadła do płaszczyzny obręczy, wektor momentu pędu L ma inny kierunek niż wektor prędkości kątowej ω i z powodu niezerowego momentu sił w łożysku - obraca się wokół wektora prędkości kątowej. A co będzie, gdy obręcz nie będzie zamocowana i będzie wirować wokół osi (środkowej) ustawionej pod kątem do płaszczyzny obręczy? W takiej sytuacji nie działa moment sił, więc stały jest moment pędu, zatem wektor prędkości kątowej okrąża wektor momentu pędu.

269 Nieobowiązkowo - równania Eulera Precesja momentu pędu bryły wirującej w polu grawitacyjnym Niech będzie bryła sztywna podparta w jednym punkcie. Jeśli bryła nie wiruje, to pod wpływem działania momentu siły ciężkości obraca się względem kierunku wskazywanego przez ten moment - się przewraca. Jeśli zaś wiruje z prędkości a kątową ω, to pod wpływem momentu siły następuje zmiana kierunku mmentu pędu (moment siły jest prostopadły do momentu pędu, więc zmienia jego kierunek, a nie wartość).

270 Ruch w polu sił centralnych Ruch w polu sił centralnych

271 Ruch w polu sił centralnych Siły centralne Siła centralna nazywamy siłę postaci F = F(r) e r, gdzie e r jest wersorem w kierunku wektora wychodzacego z centrum siły znajdujacego się w r = 0. Naturalnym układem odniesienia jest w tym przypadku układ o poczatku w centrum siły. Przykłady: siła grawitacyjna: F(r)= GMm r 2 siła elektrostatyczna F(r)= Qq 4πε 0 r 2 siła sprężysta: F(r) = kr Gdy F(r) jest ujemne, siła jest przyciagaj aca, gdy dodatnie - odpychajaca..

272 Ruch w polu sił centralnych Moment pędu w ruchu w polu siły centralnej Moment siły wywierany przez siłę centralna jest równy M = r F= r F(r) e r = 0, co oznacza, że w ruchu w polu siły centralnej: zachowany jest moment pędu z czego wynika, że ruch jest płaski (bo kierunek momentu pędu się nie zmienia) Wielkość, która jest stała podczas ruchu nazywamy całka ruchu.

273 Ruch w polu sił centralnych Opis ruchu płaskiego W przypadku ruchu płaskiego w polu siły centralnej wygodnie jest opisywać położenie ciała w układzie biegunowym o poczatku w centrum siły, gdyż posługiwanie się zmiennymi r, ϕ, z, a nie x, y i z upraszcza rachunki i pozwala na łatwiejsza interpretację końcowych wyników.

274 Ruch w polu sił centralnych Prędkość polowa ϕ dϕ υ rdϕ r L= r m υ= r m υ ϕ = mr 2 dϕ dt e z= L e z. Pole trójkata ds zakreślonego przez wektor r w czasie dt jest równe ds=r 2 dϕ/2, zatem ds dt = r2 dϕ = L 2 dt 2m = const. W ruchu pod wpływem siły centralnej prędkość polowa jest stała.

275 Ruch w polu sił centralnych Siła centralna jest zachowawcza Siła centralna jest postaci zatem F=F e r = F r r, dw = F d r = F r d r= Fdr r bo rd r = rdr. Jeśli funkcja F(r) jest całkowalna (oczywiste w przypadku fizycznych sił), to możemy napisać, że skąd wynika, że F(r)= de p dr W = B A F d r = (E p (B) E p (A)).

276 Grawitacja Grawitacja

277 Grawitacja Oddziaływanie grawitacyjne m 2 m 1 r 12 F 21 F 12 F 12 = G m 1m 2 r 12 r12 2 ; G= Nm 2 /kg 2 r 12 F 12 = F 21. F 12 - siła, z jaką na ciało o masie m 1 działa ciało o masie m 2. r 12 - wektor o poczatku w centrum masy m 1 i końcu w centrum masy m 2.

278 Grawitacja Waga skręceń Wagę skręceń wynaleźli niezależnie Mitchell (badania oddziaływań grawitacyjnych) i Coulomb (badania oddziaływań elektrostatycznych). John Mitchell ( ) - angielski fizyk, astronom i geolog, członek Royal Society od 1760 r. m 1 m 2 m 2 m 1 Do kwarcowego pręta można przyczepić lusterko i obserwować odbicie promienia lasera.

279 Grawitacja Doświadczenie Cavendisha ( ) Henry Cavendish ( ) - brytyjski chemik i fizyk, członek Royal Society od 1760 r. Do jego osiągnięć należy: wydzielenie wodoru wydzielenie dwutlenku węgla określenie składu powietrza oznaczenie składu wody oznacznie składu kwasu azotowego odkrcie - przed Coulombem i Ohmem - prawa Coulomba i prawa Ohma (nie opublikował tych prac) pierwsze dość dokładne oszacowanie masy Ziemi Po śmierci Cavendisha, z jego pieniędzy ufundowano The Cavendish Laboratory w Cambridge University. Budowę nadzorował osobiście James Clerk Maxwell (został pierwszym jego profesorem).

280 Grawitacja Doświadczenie Cavendisha ( ) Michell zmarł w 1793 r. i nie dokończył realizowanego projektu. Jego aparaturę przejął Wollaston, a potem - Cavendish. Parametry doświadczenia Cavendisha były następujące. Dwie kule ołowiane o średnicy 2 cali i masie 1.61 funta każda umieszczone na końcach drewnianej beleczki o długości 6 stóp. Beleczka zawieszona w środku ciężkości na drucie. Na niezależnej podstawie, dwie ołowiane kule o śrdenicy 12 cali i masie 348 funtów, umieszczone w odległości około 9 cali od małych kul. Całość zamknięta w drewnianej obudowie o grubości ścianek 2 stopy i wysokosci 10 stóp. Teleskopowa (przez dziurę w ścianie) obserwacja oscylacji beleczki wagi (amplituda 0.16 cala; dokładność: 0.01 cala; okres drgań: ok. 20 min.). Siła oddziaływania kul: N (ciężar ziarnka piasku).

281 Grawitacja Co wyznaczył Cavendish? Cavendish chciał wyznaczyć gęstość materii tworzącej Ziemię. Posługiwał się, oczywiście, prawem grawitacji Newtona, ale w jego czasach nie było ono wyrażane za pomoca stałej grawitacji G - to nastapiło dopiero kilkadziesiat lat później. Jedno z pierwszych odniesień do stałej grawitacji pochodzi z 1873 r., 75 lat po doświadczeniu Cavendisha. G=g R2 Z M Z = 3g 4πR Z ρ Z. Cavendish wyznaczył wartość ρ Z = g/cm 3, co po przeliczeniu na jednostki SI daje G= m 3 kg 1 s 2, co różni się o 1% od współcześnie przyjmowanej wartości G= m 3 kg 1 s 2

282 Grawitacja Grawitacyjna energia potencjalna Jak pamiętamy, zmiana energii potencjalnej ciała o masie m w polu grawitacyjnym wytworzonym przez masę M jest równa pracy, jaką musi wykonać siła zewnętrzna, by przesunać ciało z punktu A do punktu B. W przypadku oddziaływania grawitacyjnego wygodnym punktem odniesienia jest nieskończoność : E p (r ) 0.

283 Grawitacja Grawitacyjna energia potencjalna M r m F G F zew d r E p (R)= R R F zew d r= G Mm r 2 e r d r UWAGA: d r = dr e r BEZ WZGLEDU NA KIERUNEK RUCHU. E p (R) E p (r )= R G Mm r 2 dr= GMm R Praca ta jest niezależna od drogi - to samo otrzymamy dla drogi o dowolnym kształcie.

284 Grawitacja Energia potencjalna układu mas 1. Dana jest masa m Sprowadzamy w jej pobliże masę m 2. E p = G m 1m 2 r Sprowadzamy kolejna masę m 3 E p = G m 1m 2 r 12 G m 1m 3 r 13 G m 2m 3 r 23. r ij - końcowe odległości między środkami mas m i i m j. Energia potencjalna układu mas jest równa sumie energii potencjalnych oddziaływania każdej pary.

285 Zagadnienie Keplera Zagadnienie Keplera

286 Zagadnienie Keplera Zagadnienie Keplera Problem nazywany Zagadnieniem Keplera polega na znalezieniu ruchu planety w polu grawitacyjnym słońca, a w nieco ogólniejszym sformułowaniu - na znalezieniu ruchu dwóch mas oddziałujacych siłą odwrotnie proporcjonalna do kwadratu odległości. W obu przypadkach układ jako całość porusza się ze stałą prędkościa środka masy w wybranym układzie inercjalnym, a słońce i planeta poruszaja się wokół środka masy. W pierwszym przypadku (planeta i słońce) można z dobrym przybliżeniem założyć, że ruch planety odbywa się wokół nieruchomego słońca, gdyż środek masy układu pokrywa się z bardzo dobra dokładnościa ze środkiem słońca, co ułatwia wyobrażenie sobie ruchu układu.

287 Zagadnienie Keplera Krzywe stożkowe Hiperbola Parabola Okrag Elipsa Krzywa stożkowa: zbiór punktów płaszczyzny, dla których stosunek odległości od wybranego punktu (zwanego ogniskiem) i wybranej prostej (zwanej kierownica) jest stały. Stosunek ten nazywamy mimośrodem, ε.

288 Zagadnienie Keplera Krzywe stożkowe W zależności od wartości ε krzywa stożkowa jest: okręgiem dla ε = 0; elipsa dla 0<ε < 1; parabola dla ε = 1; hiperbola dla ε > 1.

289 Zagadnienie Keplera Elipsa Elipsa - miejsce geometryczne punktów, których suma odległości od ognisk F 1 i F 2 jest stała. Suma ta jest równa 2a, gdzie a jest dużą półosią elipsy. Odległość ogniska od środka elipsy wynosi c= a 2 b 2, gdzie b jest małą półosią. Mimośród definiujemy jako ε = c a. Widać, że dla okręgu, ε = 0. Stosunek odległości dowolnego punktu elipsy od ogniska do odległości tego punktu do sprzężonej z tym ogniskiem kierownicy jest równy mimośrodowi elipsy. C A B ϕ F 2 F 1

290 Zagadnienie Keplera Prawa Keplera Prawa Keplera są wnioskami wynikajacymi z rozwiązania Zagadnienia Keplera w przypadku orbit zamkniętych (elipsa i okrąg). Rozwiązanie Zagadnienia Keplera pozwala także na analizę orbit otwartych (parabola, hiperbola). 1. Wszystkie planety poruszaja się po elipsach, w których ognisku znajduje się Słońce. 2. Linia łącząca planetę ze Słońcem zakreśla w jednakowych odstępach czasu jednakowe pola powierzchni w płaszczyźnie orbity, czyli prędkość polowa jest stała. 3. Kwadrat okresu ruchu planety na orbicie jest proporcjonalny do sześcianu wielkiej półosi orbity.

291 Zagadnienie Keplera Rozwiązanie zagadnienia Keplera - schemat 1. Wypisujemy równania ruchu w układzie inercjalnym dla mas m 1 i m 2. Zmienne niezależne: r 1 i r 2. Dokonujemy zamiennych zmiennych ( r 1, r 2 ) ( R SM, r= r 2 r 1 ). 2. Znajdujemy ruch środka masy: R SM = R 0 + V SM t. 3. Równanie do rozwiązania ma postać: µ r= α r r 2 r. a) mnożąc wektorowo przez r znajdujemy, że w układzie środka masy ruch jest płaski, a moment pędu - stały: całka momentu pędu. b) mnożąc skalarnie przez r znajdujemy, że w układzie środka masy stała jest energia: całka energii. c) wyrażamy υ 2 przez r,ϕ,l SM i wstawiamy do całki energii, która ma postać równania różniczkowego na r(φ). p d) całkując to równanie otrzymujemy r(φ) = 1+ε cos(ϕ γ). e) znajdujemy związki między p, ε, γ a parameterami orbity, energią i momentem pędu. 4. Analiza otrzymanego rozwiązania pozwala na sformułowanie praw Keplera..

292 Zagadnienie Keplera Równania ruchu dla mas m 1 i m 2 ; zamiana zmiennych { m1 r1 = G m 1m 2 r r 2 r (3) m 2 r2 = G m 1m 2 r r 2 r { r = r2 r 1 R SM = m 1 r 1 +m 2 r 2 m 1 +m 2 Dodając stronami otrzymujemy: m 1 r1 + m 2 r2 = 0 R SM = R 0 + V 0 t. Wyrażamy r 1 i r 2 przez R SM i r: r 1 = R SM m 2 m 1 +m 2 r r 2 = R SM + m 1 m 1 +m 2 r r 1 = m 2 m 1 +m r 2 r 2 = (4) m 1 m 1 +m r 2 W układzie środka masy (tzn. względem punktu określonego przez wektor R SM : { r1,sm = m 2 r 2,SM = m 1 +m 2 r m 1 m 1 +m 2 r (5)

293 Zagadnienie Keplera Równania ruchu dla mas m 1 i m 2 ; zamiana zmiennych Z postaci (3) widać, że środek masy leży na odcinku łączącym m 1 i m 2 i dzieli go w stosunku r 1 r2 = m 2 m 1. Jeśli zatem m 1 m 2, to r 1 r 2, czyli środek masy pokrywa się (prawie) z położeniem masy m 1. To jest przypadek Słońce + planeta. Możemy z bardzo dobrym przybliżeniem uznać, że układ środka masy, w którym jest rozwiązywany problem ruchu względnego jest układem o środku położonym w środku Słońca. Podstawiajac (2) do (1) otrzymujemy dwa identyczne równania: r= G m 1+ m 2 r r 2 r. Chcielibyśmy po prawej stronie mieć siłę oddziaływania mas G m 1m 2 r 2 Mnożymy zatem prawą stronę przez m 1 m 2 /m 1 m 2 i dostajemy: r= m 1+ m 2 G m 1m 2 r m 1 m 2 r 2 r. r r.

294 Zagadnienie Keplera Równania ruchu dla mas m 1 i m 2 ; zamiana zmiennych Wprowadzamy masę zredukowana µ: m 1 + m 2 m 1 m 2 = 1 m m 2 = 1 µ µ = m 1m 2 m 1 + m 2 Równanie, które należy rozwiązać, żeby znaleźć ruch względny: µ r= α r 2 r r, gdzie α = Gm 1 m 2. Uwaga: ruch środka masy dotyczy CAŁKOWITEJ masy m 1 + m 2, zaś ruch względny - masy ZREDUKOWANEJ. Tylko w przypadku m 1 m 2 (czyli Słońce + planeta) możemy masę zredukowana utożsamić z masą planety.

295 Zagadnienie Keplera Ruch środka masy Ruch środka masy R SM = R 0 + V 0 t oznacza, że w układzie inercjalnym, w którym cały problem rozpatrujemy, środek masy przemieszcza się ruchem jednostajnym prostoliniowym. Należało tego oczekiwać, ponieważ w rozpatrywanym problemie na układ nie działaja siły zewnętrzne (a tylko siły wewnętrzne - oddziaływania grawitacyjnego). Ruch ten moglibyśmy utożsamić (w przybliżeniu) z ruchem układu planetarnego wokół centrum Galaktyki. Ale uwaga: taki ruch nie jest prostoliniowy!

296 Zagadnienie Keplera Całka momentu pędu czyli czyli µ r= α r 2 r r, r µ r= r α r r 2 r = 0, ( d r µ d r ) = r µ r, dt dt ( d r µ d r ) = 0, dt dt r µ d r dt = const. Wynika stąd, że r i d r dt leżą w jednej płaszczyźnie, bo gdyby tak nie było, to ich iloczyn wektorowy nie mógłby być stałym wektorem - ruch WZGLEDNY jest płaski.

297 Zagadnienie Keplera Całka momentu pędu Wykażemy, że L MS = r µ d r dt jest momentem pędu dwóch mas względem środka masy. L 1,SM = r 1,SM m 1 r1,sm = µ r m 1 ( µ µ 2 r)= r r m 1 m 1 m 1 L 2,SM = r 2,SM m 2 r2,sm = µ r m 2 ( µ µ 2 r)= r r m 2 m 2 m 2 L SM = L 1,SM + L 2,SM = µ 2 ( 1 m m 2 ) r r= r µ d r dt.

298 Zagadnienie Keplera Wprowadzamy układ biegunowy w płaszczyźnie ruchu względnego, o środku O w punkcie m 1. Czyli, położenie punktu m 2 będzie określone przez r i ϕ. Prędkość względna υ = r= ṙ e r + r dϕ dt e ϕ. L SM = r µ r=µr 2 dϕ dt e z = const. L SM = µr 2 dϕ dt = const.

299 Zagadnienie Keplera Całka energii Wracamy do równania µ r= α r r 2 r i mnożymy je skalarnie przez υ: Lewa strona jest równa Prawa strona jest równa α d r dt e r r 2 = α µ υ υ = α r 2 υ r r. ( ) d 1 dt 2 µ υ2 ( dr dt e r+ r dϕ dt e ϕ ) e r r dt( 2 = d α ), r czyli ( d 1 dt 2 µ υ2 α ) = 0. r

300 Zagadnienie Keplera Całka energii Wykażemy, że µυ 2 /2 jest energia kinetyczna w układzie środka masy, a α/r - energia potencjalna. E k,sm = 1 2 m 1 r 2 1,SM m 2 r 2 2,SM = m 1 2 µ 2 m 2 1 E p,sm = α r. υ 2 + m 2 2 µ 2 m 2 2 υ 2 = 1 2 µυ2.

301 Zagadnienie Keplera Równanie różniczkowe na r(ϕ) υ 2 = ( dr dt dϕ dt dr dt = dr dϕ ( dr ( ) dr 2 = L2 SM dt E SM = 1 2 L 2 SM µ µ 2 [ ( d dϕ ) 2 ( ) dϕ 2 + r 2. dt = L SM µr 2, dϕ = dr L SM dt dϕ µr 2 ) 1 2 ( ) dϕ r 2 = L2 SM d 1 2 µ 2. dt r ) ] r r 2 α r = const.

302 Zagadnienie Keplera Równanie różniczkowe na r(ϕ) Całkujac to równanie, dostajemy r(ϕ)= p 1+ε cos(ϕ). ε = p= L2 SM αµ 1+ 2E SML 2 SM αµ Jest to równanie krzywej stożkowej, zapisane w układzie biegunowym.

303 Zagadnienie Keplera Związek ε z energią i momentem pędu ε = 1+ 2E SML SM α 2 µ Ponieważ E SM = µυ 2 /2 α/r, to gdy α < 0 (odpychanie) zawsze E SM > 0, czyli ε > 1 i tor jest hiperbola. Gdy α > 0, E SM może być dowolnego znaku: E SM > 0 ε > 1 - tor jest hiperbola E SM = 0 ε = 1 - tor jest parabola E SM < 0 ε < 1 - tor jest elipsa

304 Zagadnienie Keplera Tory eliptyczne W tych trzech przypadkach energia całkowita jest taka sama - elipsy mają duża półoś o jednakowej długości. Różnice w kształcie toru wynikaja z różnych wartości momentu pędu - dla okręgu jest największa. p= L2 SM αµ

305 Zagadnienie Keplera Prawa Keplera Dla siły grawitacyjnej α = Gm 1 m 2 > 0, czyli otrzymujemy I prawo Keplera: ruch ciała m 2 odbywa się po elipsie (w granicznym przypadku - okręgu), w której ognisku znajduje się ciało m 1. Ponieważ moment pędu jest stały, zatem prędkość polowa jest stała, czyli otrzymujemy II prawo Keplera, które głosi, że prędkość polowa jest stała.

306 Zagadnienie Keplera Prawa Keplera W celu wyprowadzenia III prawa Keplera zauważmy, że dotyczy ono tylko orbit zamkniętych, czyli eliptycznych. Półosie elipsy są dane przez: a= p p 1 ε2, b=. 1 ε 2 Stąd a= L2 SM αµ E SML 2 SM α 2 µ = α 2E SM. b=l SM a α Wynika stąd, że energia zależy tylko od wielkiej półosi elipsy.

307 Zagadnienie Keplera Obliczmy okres T. Ponieważ prędkość polowa jest stała i równa L SM /(2µ), więc Stąd czyli T L SM 2µ = πab. T 2 = 4µπ2 a 3, α T 2 a 3.

308 Zagadnienie Keplera Efektywna energia potencjalna W przypadku ruchu w polu siły zachowawczej (a taką jest siła centralna, np. siła grawitacji) mamy spełniona zasadę zachowania energii mechanicznej: oraz zasadę zachowania momentu pędu: We współrzędnych biegunowych: oraz co daje E= m 2 E= mυ2 2 + E p = const L=m r υ = const. υ = dr dt e r+ r dϕ dt e ϕ ( ) L=mr 2 dϕ, dt ( ) dr 2 + L2 dt 2mr 2 + E p = m 2 ( ) dr 2 + Ep eff dt (r).

309 Zagadnienie Keplera Efektywna energia potencjalna Ponieważ energia kinetyczna nie może być ujemna, to musi być spełniona zależność: E k = E E eff p > 0, co oznacza, że moment pędu wpływa na zakres przestrzenny ruchu.

310 Zagadnienie Keplera Efektywna energia potencjalna L 2 2mr 2 E p E eff p r E 1 E 2 E 3 E 1 - ciało zbliża się z nieskończoności do centrum siły na pewną odległość, a następnie oddala się do nieskończoności - orbita otwarta E 2 - ciało porusza się w ogranicznym obszarze przestrzeni, między minimalna a maksymalna odległościa od centrum siły - orbita jest zamknięta o ile E p (r) r 1 albo E p (r) r 2. E 3 - ciało porusza się po orbicie kołowej. Dla energii mniejszych niż E 3 ruch jest niemożliwy.

311 Zagadnienie Keplera Prędkości kosmiczne I prędkość kosmiczna - prędkość satelity na orbicie kołowej o promieniu R z : GM v I = 7.91 km/s R Z II prędkość kosmiczna - prędkość umożliwiajaca ucieczkę z pola grawitacyjnego Ziemi: 2GM V II = km/s R Z

312 Wzór Bineta Wzór Bineta

313 Wzór Bineta Wzór Bineta Wzór Bineta jest wyrażeniem, za pomoca którego możemy wyznaczyć postać siły centralnej, gdy znamy równanie toru. Najwygodniej rozpatrywać zagadnienie we współrzędnych biegunowych. Oznacza to, że znamy zależność r(ϕ). Siła centralna ma tylko składowa radialna: ( d 2 ( ) ) r dϕ 2 F r = ma r = m dt 2 r. dt W celu obliczenia d 2 r/dt 2 wyrazimy najpierw υ r = dr/dt przez dr/dϕ.

314 Wzór Bineta Wzór Bineta υ r = dr dt = dr dϕ dϕ dt, natomiast dϕ/dt wyznaczamy na podstawie wartości mometu pędu, który jest stały dla ruchu w polu siły centralnej: Zatem, L=mr 2 dϕ dt dϕ dt = L mr 2. υ r = dr dt = dr L dϕ mr 2 = L ( ) d 1. m dϕ r

315 Wzór Bineta Wzór Bineta Druga pochodna: dυ r dt = d dt ( ) dr = d dt dϕ ( ) dr dϕ = d dt dt dϕ = L2 m 2 r 2 d 2 d 2 ϕ 2 ( 1 r A drugi wyraz w wyrażeniu na F r wynosi: ( ) dϕ 2 L 2 r dt m 2 r 3. Otrzymujemy zatem: F = F r = L2 mr 2 ( d 2 dϕ 2 ( L ). m ( ) ). r r ( )) d 1 L dϕ r mr 2 =

316 Wzór Bineta Wzór Bineta - przykład Punkt o masie m porusza się pod wpływem siły centralnej po okręgu o promieniu R, który przechodzi przez centrum siły. Jak zależy wartość siły od odległości od centrum, jeśli wartość momentu pędu wynosi L? W tym przypadku r= 2Rcosϕ. Podstawienie do wzoru Bineta daje: F = 8L2 R 2 mr 5. Energia potencjalna dla takiej siły (centralnej, więc wiemy, że potencjalnej) wynosi: E p (r)= r F(s) ds= 2L2 R 2 mr 4, przy założeniu, że energia potencjalna w nieskończoności jest równa zero.

317 Wzór Bineta Wzór Bineta - przykład Eenrgia całkowita jest równa: E= m 2 ( ) dr 2 + L2 dt 2mr 2 2L2 R 2 mr 4, zaś efektywna energia potencjalna ( ) E p,eff (r)= L2 1 2m r 2 4R2 r 4 ma maksimum dla r=2 2R, co leży poza orbita. Maksymalna wartość E p,eff na orbicie jest osiagana dla r=2r i wynosi zero. Ponieważ dla r= 2R prędkość radialna dr/dt = 0, to wnioskujemy, że całkowita energia ruchu jest równa 0.

318 Wzór Bineta Wzór Bineta - przykład Warto zauważyć, że w przypadku tego potencjału cząstka spada na centrum. Pytanie, czy wykonuje ruch cykliczny? Ponieważ moment pędu jest stały, więc możemy obliczyć okres tego ruchu, podobnie jak w przypadku trzeciego prawa Keplera: pole powierzchni zakreślone w ciągu okresu jest równe πr 2 z jednej strony, a TL/2m - z drugiej: πr 2 = T L 2m, co daje T = 2πmR 2 /L. Wynik ten można otrzymać nie odwołujac się do stałości prędkości kątowej, całkujac równanie L=mr 2 dϕ/dt: 2π [ 1 LT = 2mR 2 cos 2 ϕdϕ = 2mR 2 4 sin2ϕ+ 1 ] 2π 2 ϕ = 2mR 2 π. 0 0

319 Prędkość światła Prędkość światła

320 Prędkość światła Historia badań prędkości światła Galileusz - koncepcja doświadczenia (1638 r.): dwaj obserwatorzy z latarniami wyposażonymi w zasłony, ustawieni w znanej odległości od siebie. Jest to typ metody tam i z powrotem, w którym mierzona jest średnia prędkość światła rozchodzacego się w dwie strony. Technika stosowana także dziś. Pomiary astronomiczne Ole Roemer, 1676 r.; periodyczne w ciągu roku wahania okresu obiegu Jowisza przez jego księżyc Io; pierwszy raz podana zmierzona wartość prędkości światła c = km/s James Bradley, 1727 r., pomiar aberracji światła gwiazd, c = km/s.

321 Prędkość światła Historia badań prędkości światła Pomiary laboratoryjne: * metoda wirującego koła zębatego H. L. Fizeau, 1848 r., c = km/s A. Cornu, 1874 r., c = ± 200 km/s Perrotin, 1902 r., c = ± 84 km/s * metoda wirującego zwierciadła zaproponowana przez F. Arago w 1838 r. zastosowana po raz pierwszy przez J. Foucaulta w 1850 r.; c = ± 500 km/s S. Newcomb, 1882 r., c = ± 30 km/s A. Michelson, 1926 r., c = ± 4 km/s * elektrooptyczna modulacja natężenia wiązki - efekt Kerra A. Karolus i O. Mittelstaedt, 1929 r, c = ±20 km/s. Grosse, 1967 r., c = ,5± 0,05 km/s

322 Prędkość światła Metoda Fizeau pomiaru prędkości światła L = 8633m, 720 zębów

323 Prędkość światła Metoda wirującego zwierciadła

324 Prędkość światła Prędkość światła Doświadczenia pokazuja, że prędkość światła nie zależy od długości fali, polaryzacji i kierunku rozchodzenia się w przestrzeni. Dziś przyjmujemy, że prędkość światła ma dokładnie wartość c = m/s i względem tej wartości definiujemy metr jako odległość, któr a światło przybywa w czasie 1/ s.

325 Prędkość światła Hipoteza eteru i doświadczenie Michelsona - Morley a Eter - hipotetyczna substancja rozciagaj aca się wszędzie (nawet w próżni), przenikajaca wszystko. Eter był potrzebny, aby wyjaśnić zagadnienie rozchodzenia się światła - wydawało się, że musi istnieć jakiś ośrodek, w którym światło się rozchodzi. Eter wiązano z absolutna, nieruchoma przestrzenia Newtona. Eter, gdyby istniał, musiałby mieć niewykłe właściwości - byłby bardzo sprężysty (ogromna wartość prędkości światła), a jednocześnie doskonale przezroczysty i przenikliwy (np. ruch planet odbywa się bez zauważalnego oporu).

326 Prędkość światła Doświadczenie Michelsona - Morley a

327 Prędkość światła Hipoteza eteru i doświadczenie Michelsona - Morley a Z 2 L 2 Z 1 S P L 1 T Z 1, Z 2 - zwierciadła, T - teleskop, S - źródło światła Obserwowano obraz interferencyjny promieni odbitych od zwierciadeł Z 1 i Z 2. Obraz interferencyjny powstaje w wyniku różnicy dróg P Z 1 P oraz P Z 2 P.

328 Prędkość światła Hipoteza eteru i doświadczenie Michelsona - Morley a Przypuśćmy, że ramię PZ 1 jest skierowane zgodnie z ruchem Ziemi względem eteru. Ziemia porusza się względem eteru z prędkościa υ Z, zaś światło - z prędkościa c. Względem interferometru światło porusza się z taka prędkościa c, że wynikajaca z tego prędkość światła względem eteru jest równa c. Oznacza to, że gdy światło porusza się w interferometrze w kierunku ruchu Ziemi (droga P Z 1 ), jego prędkość względem interferometru wynosi c υ z, a gdy przeciwnie - prędkość jest równa c+υ z. Czas potrzebny na przebycie drogi P Z 1 P wynosi: gdzie t 1 = L 1 c υ Z + L 1 c+υ Z = 2L 1 c γ2, γ = 1 1 β 2, β = υ Z c.

329 Prędkość światła Hipoteza eteru i doświadczenie Michelsona - Morley a Dla promienia poruszajacego się w drugim ramieniu, prędkość w układzie interferometru c musi spełniać zależność: c 2 = c 2 + υ 2 z, czyli c 2 = c 2 υ 2 z. Czas potrzebny na przebycie drogi P Z 2 P wynosi: t 2 = 2L c 2 υ 2 z = 2L c γ. Różnica t 1 t 2 powoduje różnicę fazy promieni docieraj acych do lunety i pojawieniu się obrazu inerferencyjnego.

330 Prędkość światła Hipoteza eteru i doświadczenie Michelsona - Morley a Badano, czy obraz się zmieniał, gdy interferomer był obracany wokół osi pionowej o 90 o - oczekujemy wtedy zmiany t 1 t 2. Nie zaobserwowano zmiany obrazu interferencyjnego. W doświadczeniu Kennedy ego i Thorndike a prowadzono obserwacje przez wiele miesięcy, szukajac zmiany obrazu interferencyjnego wywołanego ruchem Ziemi wokół Słońca. Wszystkie te doświadczenia dały wynik negatywny, co doprowadziło do odrzucenia hipotezy o istnieniu eteru.

331 Synchronizacja zegarów Synchronizacja zegarów

332 Synchronizacja zegarów Świat radarowy Obserwator O, znajdujacy się w poczatku układu współrzędnych U bada ruch punktu P poruszajacego się wzdłuż osi x. W chwili t 1 wysyła sygnał świetlny, który odbija się (bez opóźnienia) od P i powraca do O w chwili t 2. Na tej podstawie O stwierdza, że w chwili t=(t 2 + t 1 )/2 punkt P znajdował się w odległości c(t 2 t 1 )/2, zatem jego współrzędne są równe: ( c(t2 + t 1 ) (ct,x)=, c(t ) 2 t 1 ). 2 2 Powtarzajac tę procedurę, O tworzy linię świata punktu P. Zauważmy, że linia świata sygnału świetlnego jest przekatn a układu współrzędnych (x, ct). Linia świata sygnału świetlnego nosi nazwę stożka świetlnego.

333 Synchronizacja zegarów Świat radarowy Procedurę określenia położenia punktu P możemy zatem zobrazować tak: ct t 2 ct t 1 P Prędkość punktu P dana jest przez V c = dx cdt = tgϕ. ϕ x x

334 Synchronizacja zegarów Świat radarowy x= ct Linia świata punktu P x=υt ct x=ct x Stożek świetlny

335 Synchronizacja zegarów Sieć zsynchronizowanych zegarów Synchronizacja zegara znajdujacego się w P i nieruchomego względem O. Obserwator O mierzy odległość do P: R=c(t 2 t 1 )/2, a następnie przekazuje do P polecenie ustawienia zegara na chwilę t+r/c. W chwili t wysyła do P sygnał świetlny, który dociera do P w chwili t+r/c i uruchamia zegar wskazujacy tę właśnie godzinę. W ten sposób tworzona jest sieć zsynchronizowanych zegarów. Dwa poruszajace się względem siebie układy odniesienia należy rozumieć jak poruszajace się względem siebie sieci zegarów, z których każda jest zsynchronizowana przez swojego obserwatora.

336 Transformacja Lorentza Transformacja Lorentza

337 Transformacja Lorentza Postulaty szczególnej teorii względności Formułując szczególna teorię względności, Einstein przyjał dwa postulaty: 1. Prędkość światła w próżni jest jednakowa w każdym kierunku we wszystkich inercjalnych układach odniesienia niezależnie od wzajemnego ruchu źródła i obserwatora. Jest to zarazem maksymalna prędkość rozchodzenia się oddziaływań w przyrodzie. 2. Prawa przyrody mają jednakow a postać we wszystkich inercjalnych układach odniesienia - jest to zasada względności Einsteina

338 Transformacja Lorentza Stałość prędkości światła - wyprowadzenie transformacji Lorentza Rozpatrujemy dwa układy współrzędnych: U i U o wzajemnie równoległych osiach. Y Y υ U X U X Z Z

339 Transformacja Lorentza Stałość prędkości światła - wyprowadzenie transformacji Lorentza Zakładamy, że: w obu układach stosowane są te same jednostki czasu i przestrzeni; układ U porusza się względem układu U z prędkościa V w kierunku +x. Tzn., V = dx/dt, gdzie x oznacza położenie O (poczatek układu U ) w układzie U, a t - czas mierzony w układzie U. Oznacza to, że układ U porusza się względem układu U z prędkościa V, tzn., V = dx /dt, gdzie x - położenie O w układzie U, a t - czas mierzony w układzie U ; zakładamy, że w chwili, gdy O pokrywa się z O, zegary w obu układach wskazuja t=t = 0;

340 Transformacja Lorentza Stałość prędkości światła - wyprowadzenie transformacji Lorentza Załóżmy teraz, że w punkcie O znajduje się źródło światła. Obserwator O rejestruje rozchodzac a się powierzchnię falową, która w chwili t określona jest wzorem: x 2 + y 2 + z 2 = c 2 t 2. Chcemy, żeby obserwator O stwierdził, że w jego układzie x 2 + y 2 + z 2 = c 2 t 2. Idea: wychodzimy od transformacji Galileusza i tak ją poprawiamy, żeby otrzymać pożądany wynik. Szukamy transformacji liniowej (wtedy kształ powierzchni fazowej nie będzie zdeformowany).

341 Transformacja Lorentza Stałość prędkości światła - wyprowadzenie transformacji Lorentza Przypuśćmy, że słuszna jest transformacja Galileusza, czyli: x = x Vt, y = y, z = z, t = t. Wtedy x 2 2xVt+V 2 t 2 + y 2 + z 2 = c 2 t 2. Chcemy, żeby zniknęły wyrazy 2xVt+V 2 t 2. Widać, że musimy skomplikować zależność między t a t. Spróbujmy tak: gdzie a jest stałą. Wtedy x = x Vt, y = y, z = z, t = t+ax, x 2 2xVt+V 2 t 2 + y 2 + z 2 = c 2 t 2 + 2c 2 atx+c 2 a 2 x 2.

342 Transformacja Lorentza Stałość prędkości światła - wyprowadzenie transformacji Lorentza Wyrazy z xt znikna, jeśli 2xVt=2c 2 atx, czyli a= V/c 2, czyli t = t Vx/c 2. Wtedy dostaniemy x 2 ( 1 V2 c 2 )+ y 2 + z 2 = c 2 t 2 (1 V2 Kolejna poprawka pozwoli nam na usunięcie czynnika 1 V2 c 2 1 γ 2 : c 2 ). x = γ(x Vt), y = y, z = z, t = γ(t Vx/c 2 ).

343 Transformacja Lorentza Stałość prędkości światła - wyprowadzenie transformacji Lorentza Podstawiamy: x 2 + y 2 + z 2 = c 2 t 2 γ 2 (x Vt) 2 + y 2 + z 2 = c 2 γ 2 (t Vx/c 2 ) 2 Otrzymujemy: x 2 + y 2 + z 2 = c 2 t 2 Znaleźliśmy zatem transformację, dla której prędkość światła jest taka sama dla dwóch poruszajacych się względem siebie obserwatorów.

344 Transformacja Lorentza Transformacja Lorentza = γ(x βct) y = y z = z ct = γ(ct βx) x β = V/c, γ = 1/ 1 β 2 Dla β 0, γ 1 i otrzymujemy transformację Galileusza: x = x Vt y = y z = z t = t

345 Transformacja Lorentza Co właściwie transformuje transformacja Lorentza? Transformacji podlegaja współrzędne zdarzenia obserwowanego przez poruszajacych się względem siebie obserwatorów. Praktyczny wniosek ułatwiajacy rozwiazywanie zadań: zadanie należy sformułować poprzez wskazanie ciągu zdarzeń, którym obserwatorzy przypisuja współrzędne.

346 Wnioski z transformacji Lorentza Wnioski z transformacji Lorentza

347 Wnioski z transformacji Lorentza Dylatacja czasu Problem: w punkcie O zaszły dwa zdarzenia odległe o czas τ mierzony w układzie U. Jaki odstęp czasu przypisze tym zdarzeniom obserwator O? Zdarzenie 1: x 1 = 0,t 1 = 0; Zdarzenie 2: x 2 = 0,t 2 = τ. Transformacja Lorentza: { x 1 = γ(0 βc0) x 1 = 0 ct 1 = γ(c0 β0) t 1 = 0 { x 2 = γ(0 βcτ) x 2 = γβcτ ct 2 = γ(cτ β0) t 2 = γτ τ = γτ Wniosek: dla obserwatora O nieruchomego względem zachodzacych kolejno zdarzeń upływ czasu jest krótszy niż dla poruszajacego się obserwatora O.

348 Wnioski z transformacji Lorentza Dylatacja czasu Zróbmy teraz to samo, ale niech tym razem zdarzenia zachodza w punkcie O w odstępie τ. Mamy zatem: { 0 = γ(x1 βct 1 ) ct 1 = γ(ct 1 βx 1 ) { 0 = γ(x2 βct 2 ) ct 2 = γ(ct 2 βx 2 ) Z dwóch górnych równań dostajemy x 2 x 1 = βcτ. Różnica dwóch dolnych równań daje cτ = γ[cτ β(x 2 x 1 )]. Łącząc, dostajemy τ = γτ. Wniosek jest identyczny: dla obserwatora O nieruchomego względem zachodzacych kolejno zdarzeń upływ czasu jest krótszy niż dla poruszajacego się obserwatora O.

349 Wnioski z transformacji Lorentza Kontrakcja długości Ważna uwaga: pomiar długości pręta polega określeniu współrzędnych jego obu końców w tej samej chwili! Przypuśćmy, że pręt spoczywa w układzie U między punktami x 1 = 0 i x 2 = L. Jeśli obserwator O chce zmierzyć jego długość, to musi określić współrzędne końców pręta w swoim układzie (x 1 i x 2 ) w tej samej chwili czasu t. Czyli: { x 1 = γ(x 1 βct) = γ(x 2 βct) x 2 L = x 2 x 1 = γl; L= 1 γ L. Wniosek: długość obiektu względem ruchomego obserwatora jest mniejsza niż względem nieruchomego.

350 Wnioski z transformacji Lorentza Kontrakcja długości A teraz pręt spoczywa w U : x 2 x 1 = L. { x 1 = γ(x 1 βct 1 ) ct = γ(ct 1 βx 1 ) { x 2 = γ(x 2 βct 2 ) ct = γ(ct 2 βx 2 ) L = x 2 x 1 = γ(x 2 x 1 ) γβ(ct 2 ct 1 )=γl γβ 2 L= 1 γ L. Wniosek ten sam : długość obiektu względem ruchomego obserwatora jest mniejsza niż względem nieruchomego.

351 Interwał Interwał

352 Interwał Interwał: niezmiennik transformacji Lorentza Rozpatrzmy dwa zdarzenia, którym dwaj obserwatorzy przypisuja współrzędne (ct 1,x 1,y 1,z 1 ) i (ct 2,x 2,y 2,z 2 ) oraz (ct 1,x 1,y 1,z 1 ) i (ct 2,x 2,y 2,z 2 ). Korzystajac z transformacji Lorentza łatwo wykazać, że: c 2 ( t) 2 ( x) 2 ( y) 2 ( z) 2 = c 2 ( t ) 2 ( x ) 2 ( y ) 2 ( z ) 2, czyli jest to niezmiennik transformacji Lorentza. Wielkość s 12 = c 2 ( t) 2 ( x) 2 ( y) 2 ( z) 2 nazywamy interwałem między zdarzeniami 1 i 2. Interwał jest odległościa w czterowymiarowej pseudoeuklidesowej czasoprzestrzeni.

353 Interwał Klasyfikacja interwałów Interwał czasopodobny: s 12 > 0 Interwał zerowy: s 12 = 0 Interwał przestrzeniopodobny: s 12 < 0 Załóżmy dalej dla uproszczenia, że x = y = 0.

354 Interwał Interwał zerowy Jeśli s 12 = 0, to te dwa zdarzenia można połaczyć sygnałem świetlnym: x = ±c t. Mówimy, że zdarzenie 2 leży na stożku świetlnym zdarzenia 1. Zdarzenie 1 może wpływać na zdarzenie 2. x= ct ct x=ct x Stożek świetlny

355 Interwał Interwał czasopodobny Interwał czasopodobny: s 12 = c 2 ( t) 2 ( x) 2 > 0, czyli ( x/ t) 2 = υ 2 < c 2. Np., zdarzeniami może być określenie położenia cząstki materialnej w dwóch punktach czasoprzestrzeni. x= ct ct x=υt x=ct x Stożek świetlny

356 Interwał Interwał czasopochodny Te zdarzenia można połaczyć sygnałem rozchodzacym się z prędkościa mniejsza niż c. Zdarzenie 1 może wpływać na zdarzenie 2. Nie istnieje układ, w którym zdarzenia te są równoczesne: gdyby w jakimś układzie t = 0, to s 12 nie mogłoby być dodatnie, co jest sprzeczne z założeniem. Istnieje jednak taki układ, w którym te zdarzenia zachodza w tym samym punkcie: jest to układ poruszajacy się wraz z cząstka.

357 Interwał Interwał czasopodobny W takim przypadku: s 12 = s 12 = c 2 t 2 = c 2 t 2 x 2, [ t 2 = t ( ) ] x 2 c 2 = t 2 (1 β 2 ), t t=γ t. t jest odległościa w czasie mierzona czasem własnym cząstki. Zdarzenie 2 leży wewnątrz stożka świetlnego zdarzenia 1 - w obszarze bezwzględnej przyszłości zdarzenia 1. Zdarzenia 1 i 2 są powiązane czasowo w sposób absolutny.

358 Interwał Interwał przestrzeniopodobny Interwał przestrzeniopodobny: s 12 = c 2 ( t) 2 ( x) 2 < 0, czyli ( x/ t) 2 = υ 2 > c 2. Te zdarzenia nie mogą być połaczone żadnym sygnałem - nie ma między nimi zależności przyczynowo - skutkowej. Istnieje układ, w którym zdarzenia te są równoczesne, ale nie istnieje taki, w którym zachodza one w tym samym punkcie. Zdarzenia są rozdzielone przestrzennie w sposób absolutny.

359 Interwał Interwał przestrzeniopodobny Zdarzenie 2 leży na zewnątrz stożka świetlnego zdarzenia 1 - w obszarze teraźniejszości. Zauważmy, że dobierajac odpowiednio układ odniesienia możemy odwrócić kolejność zdarzeń! x= ct Teraźniejszość ct x=ct Teraźniejszość x Stożek świetlny

360 Interpretacja geometryczna transformacji Lorentza Interpretacja geometryczna transformacji Lorentza

361 Interpretacja geometryczna transformacji Lorentza Układy U i U Celem jest narysowanie na płaszczyźnie obu układów współrzędnych U i U. - lina ct jest linią świata poczatku układu O w układzie U, tgϕ = β; -O wysyła w chwili t 1 sygnał odbijajacy sie od P i odbiera sygnał odbity w chwili t 2. Współrzędne punktu P: (ct,x)=c(t 1 + t 2 )/2,c(t 2 t 1 )/2. -sygnały te mijają O w chwilach t A i t B. O przypisuje zdarzeniu P czas t D =(t A + t D )/2. - linia DP jest linią zdarzeń równoczesnych ze zdarzeniem P, czyli jest równoległa do osi x. Niech kąt między DP a osią x wynosi ψ. - analiza geometryczna pokazuje, że ψ = ϕ. ϕ ct ct 2 ct ct 1 D ct ψ B P A ψ = ϕ x x

362 Interpretacja geometryczna transformacji Lorentza Hiperbole kalibracyjne Musimy jeszcze określić jednostki na osiach obu układów. Korzystamy tu z niezmiennika: c 2 t 2 x 2 = c 2 t 2 x 2 =±1 przedstawionego w postaci czerwonych krzywych. Odcinki OA i OA wyznaczaja jednostki na osiach x i x. ct ct A A x x

363 Interpretacja geometryczna transformacji Lorentza Dylatacja czasu - interpretacja geometryczna Zdarzenie b zachodzi dla ct = 1. Odpowiadajacy mu czas ct > 1. Podobnie, zdarzenie a zachodzi dla ct = 1, a odpowiadajacy mu czas ct > 1. Czas własny płynie wolniej. ct ct a b b a x x

364 Interpretacja geometryczna transformacji Lorentza Kontrakcja długości - interpretacja geometryczna Zielone linie są to linie świata końca pręta spoczywajacego - odpowiednio - w układzie U i U. Widać, że względem układu poruszajacego się pręt ma długośc mniejsza niż 1. ct ct x x

365 Paradoks bliźniąt Paradoks bliźniat

366 Paradoks bliźniąt Sformułowanie problemu Paradoks jest to wniosek wynikajacy z pozornie poprawnego rozumowania. O paradoksie mówimy zwykle wtedy, gdy rozumowanie dotyczy spraw oczywistych. Astronauta wyrusza z prędkościa podświetlna w podróż do jednej z gwiazd, pozostawiajac na Ziemi swojego brata-bliźniaka. Po dotarciu do gwiazdy natychmiast zawraca, a po przybyciu Ziemię stwierdza, że jest młodszy od swojego brata. Skoro jednak - z punktu widzenia astronauty - jego brat na Ziemi poruszał się w analogiczny sposób względem rakiety, jak astronauta względem Ziemi (najpierw oddalanie się, a potem - zbliżanie), to wydawać by się mogło, że po powrocie astronauty obaj bracia będa w tym samym wieku - wszak żaden z układów odniesienia nie jest wyróżniony. Paradoks polega na tym, że jednak brat-astronauta jest młodszy.

367 Paradoks bliźniąt Brak symetrii w paradoksie bliźniąt W paradoksie bliźniat występuja dwa elementy: - pierwszy, to ten, że czas własny płynie wolniej, czyli, że słuszna jest transformacja Lorentza. Dowodów doświadczalnych na ten fakt jest baaaaardzo dużo, łącznie z doświadczeniem, w którym porównuje się wskazania zegarów atomowych będących na Ziemi z zegarami podróżujacymi samolotami wokół Ziemi. - drugi, to pozorna symetria między oboma układami odniesienia. Otóż, tej symetrii nie ma, gdyż astronauta podczas swej podróży zmienia układ odniesienia, podczas, gdy brat pozostajacy na Ziemi jest cały czas w tym samym układzie odniesienia.

368 Paradoks bliźniąt Interpretacja geometryczna ct O 2 O 1 P ct x O x O: start rakiety. O 1 : dotarcie do gwiazdy, czas mierzony na Ziemi. O 2 : powrót z gwiazd, czas mierzony na Ziemi. P: dotarcie do gwiazdy, czas mierzony w rakiecie. Krzywa kalibracyjna odpowiada wartości jednostkowej interwału: c 2 t 2 x 2 = c 2 t 2 x 2 = 1. Widać, że czas w rakiecie płynał wolniej.

369 Paradoks bliźniąt Zsynchronizowane sieci zegarów a paradoks bliźniąt Mówilismy już, że dwa poruszajace się względem siebie układy odniesienia należy rozumieć jak poruszajace się względem siebie sieci zegarów, z których każda jest zsynchronizowana przez swojego obserwatora. Transformacja Lorentza porównuje współrzędne czasowe i przestrzenne zdarzeń, tzn. porównywane są wskazania zegarów znajdujacych się - dowolnie blisko - punktu, w którym zachodzi zdarzenie (w naszym przypadku jest to punkt P czasoprzestrzeni - odwrócenie kierunku podróży). W momencie, gdy astronauta zawraca i zmienia układ odniesienia, zaczyna poruszać się wraz z siecią zegarów, która jest zsynchronizowana zupełnie inaczej niż sieć zegarów, z którą poruszał się pierwotnie. Różnica wieku między bliźniakami w chwili spotkania jest wynikiem różnicy wskazań zegarów dwóch sieci znajdujacych się w pobliżu punktu P - każdemu z nich odpowiada innyczas na Ziemi. Taka zmiana sieci zegarów nie zachodzi w przypadku brata pozostajacego na Ziemi.

370 Paradoks bliźniąt Sieci zegarów w paradoksie bliźniąt ct ct ct x x x Linia niebieska (oś ct): linia świata zegara na Ziemi. Linia zielona: sieć zsynchronizowanych zegarów w układzie ct,x. Lina fioletowa: Sieć zsynchronizowanych zegarów w układzie ct,x. Czerwona krzywa - hiperbola kailibracyjna. Linie przerywane - stożek świetlny zdarzenia (0,0). Przejście z układu U (oddalanie się rakiety od Ziemi) do układu U (zbliżanie się do Ziemi) powoduje skokowa zmianę wskazań zegara na Ziemi, z którym porównuje się astronauta.

371 Transformacja prędkości Transformacja prędkości

372 Transformacja prędkości Transformacja prędkości Powracamy do rozpatrywanego kiedyś problemu: obserwator O mierzy prędkość cząstki u =(u x,u y,u z). Jaką prędkość zmierzy obserwator O, jeśli prędkość O względem O jest równa V =(V,0,0)? Obserwatorzy O i O rejestruja kolejne położenia cząstki w kolejnych chwilach czasu. Określenie położenia cząstki jest zdarzeniem, któremu O przypisuje współrzędne (ct,x), zaś O przypisuje współrzędne (ct,x ). Relacja między współrzędnymi określonymi przez obu obserwatorów dana jest transformacja Lorentza: { x = γ(x + βct ) ct = γ(ct + βx ) { dx = γ(dx + βcdt ) cdt = γ(cdt + βdx )

373 Transformacja prędkości Transformacja prędkości Dzieląc stronami otrzymujemy: u x = dx dt = u x+ V 1+ u xv c 2 u y = dy dt = u y γ(1+ u x V ) c 2 u z = dz dt = u z γ(1+ u x V ) c 2

374 Transformacja prędkości Transformacja prędkości - przypadki szczególne: β 0 Gdy β 0, wówczas: u x u x + V u y u y u z u z i otrzymujemy transformację Galileusza, niezależnie od wartości u oraz V.

375 Transformacja prędkości Transformacja prędkości - przypadki szczególne: u x = c,u y = u z = 0 W takim przypadku: u x = c+v 1+ cv c 2 = c, u y = 0, u z = 0 zgodnie z założeniem, że prędkość światła we wszystkich układach jest stała. Zauważmy, że wynik ten jest słuszny także wtedy, gdy V = c. Czyli, gdyby foton poruszajacy się w kierunku +x (obserwator O ) wyemitował foton (obserwowana cząstka) poruszajacy się także w kierunku +x, to pomiar prędkości wyemitowanego fotonu przez obserwatora O da wynik c.

376 Transformacja prędkości Transformacja przyspieszenia Podobnie, jak w przypadku transformacji prędkości możemy określić, w jaki sposób transformuja się składowe przyspieszenia. ( ) ( ) u d x V u d x V a x = du 1 uxv x c dt = 2 1 uxv c dt = 2 1 dt dt /dt = ( ) d dt u x V 1 uxv c 2 (1 V2/c2)3/2 = d dt (γ(1 u = xv/c 2 )) (1 u x V/c 2 ) 3 a x, a y = (1 V2 /c 2 ) [a (1 u x V/c 2 ) 2 y + u yv/c 2 ] 1 u x V/c 2 a x, a z = (1 V2 /c 2 ) (1 u x V/c 2 ) 2 [a z + u zv/c 2 1 u x V/c 2 a x ].

377 Dynamika relatywistyczna Dynamika relatywistyczna

378 Dynamika relatywistyczna Zasada akcji i reakcji W dynamice nierelatywistycznej stosowaliśmy zasadę akcji i reakcji. Zwróćmy uwagę na fakt, że zasada ta dotyczy sił mierzonych w układzie inercjalnym w tej samej chwili. W ogólności oznaczłoby to konieczność rozchodzenia się oddziaływania z nieskończona prędkościa, co jest sprzeczne z postulatem istnienia prędkości maksymalnej. Czyli, zasada akcji i reakcji jest słuszna (i to w przybliżeniu) tylko wtedy, gdy prędkości ciał są niewielkie w stosunku do prędkości rozchodzenia się oddziaływań. W przypadku relatywistycznym zasada akcji i reakcji nie obowiazuje!

379 Dynamika relatywistyczna Postulaty dynamiki relatywistycznej Zakładamy, że: równanie ruchu ma postać F= d p dt obowiązuje zasada zachowania pędu wektor p jest równoległy do wektora υ, a skalarny współczynnik m - masa relatywistyczna zależy do wartości bezwzględnej υ: p=m(υ) υ Teoria i doświadczenie mówią, że w układzie inercjalnym, w którym porusza się cząstka z prędkościa υ, jej masa relatywistyczna jest równa m(υ)= gdzie m 0 jest masa spoczynkowa. m 0 1+β 2 = γm 0,

380 Dynamika relatywistyczna Doświadczenie myślowe (Gedankenexperiment, thought experiment) Tolmana Doświadczenie myślowe, w którym z zasady zachowania pędu i relatywistycznej transformacji prędkości wynika zależność masy od prędkości Rozpatrujemy zderzenie dwóch malutkich, doskonale sprężystych kulek z punktu widzenia dwóch układów inercjalnych U i U, zdefiniowanych w sposób standardowy. Malutki oznacza, że zderzenie następuje w jednym punkcie przestrzeni. Obaj obserwatorzy mierza tę samą masę kulek w swoich układach w przypadku, gdy kulki nie poruszaja się względem mierzacego ich masę obserwatora. Zakładamy, że kulka 1 porusza się w U z prędkościa u=u e z, zaś kulka 2 porusza się w układzie U z prędościa u = u e z. Zakładamy, że kulki zostały puszczone w ruch tak, że w chwili zderzenia ich środki leża na prostej równoległej od osi z (tzn., zderzenie nastapiło w punkcie leżacym na osi x, a zatem także na osi x ). W takiej sytuacji składowe prędkości w kierunku x i y nie ulegna zmianie.

381 Dynamika relatywistyczna Doświadczenie myślowe Tolmana Przed zderzeniem U U u 1x = 0 u 1x = υ Kulka 1 u 1y = 0 u 1y = 0 u 1z = u u 1z = u/γ u 2x = υ u 2x = 0 Kulka 2 u 2y = 0 u 2y = 0 u 2z = u/γ u 2z = u Po zderzeniu U U u 1x = 0 u 1x = υ Kulka 1 u 1y = 0 u 1y = 0 u 1z = u u 1z = u/γ u 2x = υ u 2x = 0 Kulka 2 u 2y = 0 u 2y = 0 u 2z = u/γ u 2z = u

382 Dynamika relatywistyczna Doświadczenie myślowe Tolmana Stosujemy zasadę zachowania pędu (np. w układzie U ) pamiętajac, że masa zależy od wartości (czyli modułu) prędkości. x : m( u 2 )0+m( υ 2 + u 2 /γ 2 )υ = m( u 2 )0+m( υ 2 + u 2 /γ 2 )υ y : m( u 2 )0+m( υ 2 + u 2 /γ 2 )0 = m( u 2 )0+m( υ 2 + u 2 /γ 2 )0 z : m( u 2 )u m( υ 2 + u 2 /γ 2 ) u γ = m( u 2 ) u m( υ 2 + u 2 /γ 2 ) u γ Z pierwszego równania wynika, że ) ) m ( υ 2 + u 2 /γ 2 = m ( υ 2 + u 2 /γ 2, czyli u=± u. Ponieważ wynik ten musi przechodzić w wynik otrzymany w przypadku nierelatywistycznym, musimy wybrać u= u. Z trzeciego równania dostajemy wtedy: m ( υ 2 + u 2 /γ 2 ) = m( u 2 ) γ = m(u) 1 υ 2 /c 2,

383 Dynamika relatywistyczna Masa relatywistyczna Zatem, dla u 0mamy: m(υ)= m(0) 1 υ 2 /c 2.

384 Dynamika relatywistyczna Separator prędkości - doświadczenie Bucherera (1908) υ c e m e m 0 (10 11 C/kg) (10 11 C/kg) 0, , 661 1, 752 0, , 630 1, 761 0, , 590 1, 760 0, , 511 1, 763 0, , 283 1, 767

385 Energia w mechanice relatywistycznej Energia w mechanice relatywistycznej

386 Energia w mechanice relatywistycznej Praca i energia kinetyczna Podobnie, jak w przypadku nierelatywistycznym, mnożymy skalarnie równanie ruchu przez d r: F = d p dt F d r= d p dt d r W = E k = dw = de k = d p dt d r= d p υ = υ d(m υ) B A F d r = = mυ 2 υ 0 υ 0 υ v d(m v)= v m v 0 υ m v d v= m 0 vdv 1 v 2 /c =(γ 1)m 0c 2. 2 W = E k =(m m 0 )c 2 0

387 Energia w mechanice relatywistycznej Energia cząstki Zatem, energia kinetyczna cząstki wyraża się przez relatywistyczny wzrost masy: E k =(m m 0 )c 2. Wielkość m 0 c 2 nazywamy energia spoczynkowa czastki - jest ona niezmiennikiem transformacji Lorentza (ma taką samą wartość we wszystkich inercjalnych układach odniesienia). Całkowita energia cząstki jest równa E=mc 2. Zależność ta pozwala na stwierdzenie, że każdej energii możemy przypisać pewną bezwładność,

388 Energia w mechanice relatywistycznej Energia cząstki Wiemy, że p=γm 0 υ. Pomnóżmy to równanie obustronnie przez c, podnieśmy do kwadratu i dodajmy do obu stron m 2 0 c4 : m 2 0c 4 + p 2 c 2 = m 2 0c 4 + γ 2 c 2 m 2 0υ 2 = m2 0 c4 1 β 2 = E2. Czyli E= p 2 c 2 + m 2 0 c4 E k = p 2 c 2 + m 2 0 c4 m 0 c 2 Na marginesie: p=m υ = E c 2 υ.

389 Energia w mechanice relatywistycznej Przybliżenie nierelatywistyczne ( E k = p 2 c 2 + m 2 0 c4 m 0 c 2 = m 0 c 2 (γ 1)=m 0 c 2 1 ) 1 1 β 2 m 0 c 2 ( β 2 1)= 1 2 mυ2.

390 Energia w mechanice relatywistycznej Przybliżenie ultrarelatywistyczne Jeśli cząstka ma zerową masę spoczynkowa, to E=pc, czyli p=e/c. Z drugiej strony, p= E υ, czyli w tym przypadku otrzymujemy c 2 υ = c: cząstki bezmasowe poruszaja się z prędkościa światła. Jeśli pc m 0 c 2, to E= p 2 c 2 + m 2 0 c4 pc. czyli otrzymujemy zależność energii od pędu taką, jak dla fotonu!

391 Energia w mechanice relatywistycznej Transformacja energii i pędu Są na to dwa sposoby: albo korzystamy z transformacji prędkości, masy i energii relatywistycznej i obliczamy bezpośrednio związek między pędem cząstki obserwowanym z dwóch układów odniesienia, albo argumentujemy odwołujac się do niezmiennika, jakim jest masa spoczynkowa. Pierwszy sposób jest dość uciążliwy algebraicznie, więc zajmiemy się drugim.

392 Energia w mechanice relatywistycznej Transformacja energii i pędu Wiemy, że m 2 0c 4 = E 2 p 2 c 2 Ale m 2 0 c4 ma tę samą wartość we wszystkich układach inercjalnych - jest niezmiennikiem transformacji Lorentza. Podobnie jest z wyrażeniem c 2 t 2 x 2 y 2 z 2. Zatem przyjmujemy odpowiedniość: ct E, x cp x, y cp y, z cp z cp x = γ(cp x βe) cp y = cp y cp z = cp z E = γ(e βcp x )

393 Energia w mechanice relatywistycznej Masa niezmiennicza Rozważmy układ cząstek, z których każda ma pęd p i oraz energię E i. Wprowadźmy całkowity pęd P i energię E układu: P= p i, E= E i i i Korzystajac z liniowości transformacji Lorentza, mamy: Definiujemy masę niezmiennicza M : cp x = γ(cp x βe) cp y = cp y cp z = cp z E = γ(e βcp x ) E 2 P 2 c 2 = E 2 P 2 c 2 = M 2 c 4 Zauważmy, że zasada zachowania energii i pędu sprawia, że masa niezmiennicza ma tę samą wartość w obu układach odniesienia przed i po zderzeniu.

394 Energia w mechanice relatywistycznej Układ środka masy Definiujemy prędkość środka masy wiążąc pęd całkowity z energia całkowita układu cząstek, podobnie, jak dla pojedynczej cząstki: V SM = c2 P E Pęd w układzie środka masy (załóżmy, że P ma w układzie U tylko składowa x): cp x,sm = γ(cp x βe)=γ(cp x cp x E E)=0. Zatem, masa niezmiennicza jest równa całkowitej energii układu cząstek mierzonej w ich środku masy.

395 Efekt Comptona Efekt Comptona

396 Efekt Comptona Efekt Comptona Doświadczenie Comptona (1923 r.) umożliwiło doświadczalne potwierdzenie istnienia fotonu jako skończonej porcji energii. Za swoją pracę A. H. Compton otrzymał nagrodę Nobla w 1927 r. Przebieg doświadczenia: wiązka promieni Roentgena o dokładnie określonej długości fali kierowana była na blok grafitowy. Mierzono natężenie promieni Roentgena w funkcji długości fali dla różnych kątów rozproszenia. Wynik doświadczenia: mimo, że wiązka kierowana na blok grafitowy miała określona długość fali λ, wiązka rozproszona była złożona z promieniowania o dwóch długościach fali: λ i λ > λ, przy czym różnica λ λ zależała od kąta rozproszenia θ. Wyniku doświadczenia Comptona nie można wytłumaczyć traktujac promieniowanie elektromagnetyczne jak falę - w obrazie falowym nie jest możliwa zmiana długości fali wskutek rozproszenia.

397 Efekt Comptona Opis korpuskularny efektu Comptona W obrazie korpuskularnym, gdy traktujemy foton jak czastkę, której energia wiaże się z długościa fali zależnościa E=hc/λ, mówimy, że foton w zderzeniu z elektronem traci na rzecz elektronu część swojej energii, w związku z czym zwiększa się długość rozproszonej fali.