FILTRY CYFROWE CZ.1. y[n] Analogową (filtr analogowy działa na sygnale ciągłym, filtr = układ elektroniczny, np. RLC )

Transkrypt

1 FILTRY CYFROWE CZ.1 Wprowadenie Filtracja jest procesem pretwarania sygnału w diedinie casu. Polega na reduowaniu ( odfiltrowaniu ) niepożądanych sładowych awartych w sygnale wejściowym. x[n] FILTR CYFROWY y[n] Ze wględu na typ pretwaranych sygnałów filtrację dieli się na: Analogową (filtr analogowy diała na sygnale ciągłym, filtr = uład eletronicny, np. RLC ) Cyfrową (pretwaranie ciągu wartości próbe, filtr = program omputerowy, np. w procesore sygnałowym ) Ze wględu na sposób pretwarania sygnału, filtry cyfrowe dieli się na: Niereursywne ( o sońconej odpowiedi impulsowej SOI ) Reursywne ( o niesońconej odpowiedi impulsowej NOI )

2 Ogranicając się do systemów LTI filtry cyfrowe można opisać a pomocą liniowego równania różnicowego: N ayn = bxn l l M = l= pry cym o dla N= równanie opisuje filtr niereursywny ( SOI ) o dla N> równanie opisuje filtr reursywny ( NOI ) Charaterystyi widmowe filtrów cyfrowych: Transmitancję filtru cyfrowego definiuje się jao stosune transformaty et sygnału wyjściowego do transformaty et sygnału wejściowego. { y[ n] } { x[] n } Z H ( ) = = Z Y X ( ) ( ) gdie: Y X ( ) = y[] n n= ( ) = x[] n n= n n

3 Transmitancja filtru niereursywnego ( SOI, N= ): gdie współcynnii ( ) H M Z y n b M = = = = Z x n a = { } { } h h b = a stanowią reację impulsową filtru, tj. odpowiedź na wymusenie δ [ n] Transmitancja filtru reursywnego ( NOI, N > ): ( ) H b Z{ y[ n ]} = = = = N Z{ x[ n] } a M = = gdie współcynnii oblica się wyorystaniem transformaty odwrotnej et. h Wprowadając podstawienie = e jt p oreślamy prestałcenie Fouriera dla sygnałów dysretnych (obsar bieżności transformaty musi awierać orąg jednostowy).

4 Odnosąc się do transmitancji filtru, otrymujemy dla obu rodajów filtrów odpowiednie charaterystyi widmowe: SOI - ( ) ( ) H j H h e j = e Tp M = = = jtp H j = H NOI - ( ) ( ) j = e Tp = = h e jt p tóre umożliwiają bardo efetywną analię filtrów cyfrowych w diedinie cęstotliwości. Charaterystya widmowa jφ ( ) ( j ) H ( ) e H = oreśla jednoceśnie charaterystyę amplitudową ( ) H ( j ) H = ora charaterystyę faową φ ( ) = arg H ( j )

5 Cyfrowe filtry niereursywne Filtry typu SOI (ang. FIR Finite Impulse Response ) są najprostsym w analiie typem filtrów cyfrowych. Do uysania próbi sygnału wyjściowego wyorystuje bieżącą i presłe próbi sygnału wejściowego. Pryład Roparymy bardo prosty algorytm, tórego adaniem jest wygładanie prebiegu (np. awierającego sum prypadowy). Jednym e sposobów wygładania jest uśrednianie sąsiednich próbe. Operację filtrowania (?!) można apisać jao: y [ ] = x [ ] + x[ 1] Równanie to opisuje system LTI. W tabeli poaano pryładowe próbi sygnału podanego na wejście filtru x[] ora próbi wyjściowe y[]: x[] y[]

6 Z tabeli ora wyresu możemy auważyć, że sygnał wyjściowy jest bardiej gładi niż wejściowy, a to onaca wolniejse miany w sygnału wyjściowego. Możemy prypuscać, że po prejściu sygnału pre uład ( filtr ), ostały wytłumione sładnii o wyżsych cęstotliwościach. x[] Cy recywiście mamy do cynienia filtrem, i jaim filtrem preonamy się oreślając jego charaterystyę widmową: y [ ] =.5 x[ ] +.5 x[ 1] Transformata et obu stron równania różnicowego:

7 Y ( ) =.5 X Y ( ) =.5 1 ( ) +.5 X ( ) 1 ( 1+ ) X ( ) Transmitancja filtru wynosi: ( ) ( ) 1 ( 1+ ) Y H ( ) = =.5 X Charaterystya widmowa Stosując podstawienie (dla oresu próbowania T p =1) = e jt p j = e j ( ) j =.5 ( + e ) H ( j) = H 1 H ( j ) = e = e j 1.5 e + e j 1 j 1 1 = j H ( j) e cos ( ) Jeżeli ałożony ores próbowania wynosi 1, to godnie twierdeniem o próbowaniu masymalna cęstotliwość charaterystyi ( odpowiedi impulsowej ) e wględu na jawiso powielania widma wyniesie: 1 1 π max = p = πf p = = π T p Charaterystya amplitudowa

8 j 1 H ( ) = H ( j) = e H ( ) ( ) cos = cos ( ) 1 H ( ) ( ) H π max π p Charaterystya faowa j arg H ( ) = arg ( e cos ) arg H ( ) =

9 arg H ( j ) π max p π φ ( ) π Charaterystyi amplitudową ora faową filtru niereursywnego można wynacyć w sposób graficny, nając położenie wsystich er transmitancji filtru a płascyźnie et. Zares cęstotliwości charaterysty ja poaano wceśniej dla oresu próbowania T p =1 wynosi od era od π. Porusając się po półoręgu o promieniu jednostowym, możemy dla dowolnego puntu odpowiadającemu cęstotliwości wynacyć wartości widma: amplitudowego (jao ilocyn długości odcinów łącących punt wsystimi erami transmitancji filtru) faowego (jao sumę ątów jaie tworą odcini łącące punt erami i osią recywistych ) Należy atem auważyć, że istnieje ścisły, jednonacny wiąe międy położeniem er transmitancji i stałtem charaterysty amplitudowej i faowej. W literature poświęcono sporo uwagi agadnieniom doboru er filtru cyfrowego e sońconą pamięcią ( SOI ), powalającego osiągnąć adane charaterystyi amplitudowe i faowe.

10 Im( ) ( ) H Re( ) max = π φ ( ) 1 = ero transmitancji Pryład: Na wyresach predstawiony jest sygnał na wejściu ora na wyjściu filtru. Należy oblicyć charaterystyi widmowe: x[] 1 X 1 ( ) = 1+

11 x[] 1 Y 1 1 ( ) = 1+ + = ( 1+ ) Transmitancja H ( ) ( ) ( ) ( ) 1 Y = = = 1+ 1 X 1+ Równanie różnicowe: Y ( ) = H ( ) X ( ) y[ ] = x[ ] + x[ 1] Otrymaliśmy równanie ja w poprednim pryładie. Pryład: Dla danych dwóch wceśniejsych położeń obietu x[-], x[-1], prewidywane położenie obietu y[] najduje się na linii prostej precinającej punty x[-], x[-1]. Należy naleźć cyfrowy filtr predycji sygnału ( prewidującego położenie obietu ).

12 x[-] x[-1] y[] - -1 Równanie prostej prechodącej pre dwa punty [ 1] x[ ] ( ( 1) ) = y[ ] x[ 1] ( 1) ( ) x x [ 1] x[ ] = y[ ] x[ 1] x [ 1] x[ ] = y[ ] Transmitancja H 1 ( ) = Charaterystya widmowa H j j ( j ) = e e

13 Projetowanie dolnoprepustowych filtrów niereursywnych Procedura projetowania ropocyna się od ałożenia wymaganej charaterystyi filtru ( funcji transmitancji ). Następnie oblica się współcynnii filtru. Najcęściej stosowane metody projetowania filtrów SOI to: metoda oien ( polega na oblicaniu odpowiedi impulsowej filtru popre wynacanie odwrotnej DFT ora astosowanie funcji oien wygładających ) metody optymaliacyjne (np. metoda Remea) (wyorystują algorytmy wynacania współcynniów filtru, na podstawie adanych warunów w diedinie cęstotliwości, tj. dla charaterystyi widmowej) metody ewolucyjne (algorytmy genetycne) ( nowe metody wyorystujące algorytmy wysuiwania współcynniów metodami losowań i wyboru statystycnego ) Metoda oien: Projetowanie ropocyna się od pryjęcia funcji transmitancji filtru, tóry będiemy onstruować. Zdefiniujemy idealną charaterystyę analogowego filtru dolnoprepustowego. funcja transmitancji filtru o erowej faie 1 H(f) cęstotliwość granicna f -f p -f p / f p / f p

14 Pryjmujemy wartość jednostową w paśmie dolnych cęstotliwości, ora ero w paśmie powyżej cęstotliwości granicnej, cyli w paśmie aporowym. Dysretny odpowiedni funcji transmitancji jest funcją periodycną oresem równym cęstotliwości próbowania. Zagadnienia wiąane powielaniem widma w wyniu dysretyacji funcji casu, omawiano na wyładie dotycącym metod próbowania sygnałów analogowych. Rysune predstawia dysretną funcję transmitancji idealnego filtra dolnoprepustowego. H[m] m m=-n m=-n/ m= m=n/ m=n -f p / f p / f p Po wybraniu funcji transmitancji realiowanego filtru, należy definiować H[m] w pojedyncym oresie od do f p. Na rysunu poaano dysretną postać funcji transmitancji, gdie pryjęto pryładowo N=3 punty repreentacji w diedinie cęstotliwości. H[m] 1 f p / m f p

15 Stosując 3 puntowe odwrotne DFT ( lub odwrotne FFT ) otrymujemy 3 wartości h[n], ja na rysunu indesowane od n=-15 do n= odwrotna DFT H[m] n Współcynnii filtru wyniowego powinny być romiescone symetrycnie masymalną wartością w środu ona filtru. Opuscamy atem próbę dla n=16 i presuwamy wsystie współcynnii ta aby były numerowane od wartości ero. Zgodnie twierdeniem o presunięciu ciągu w diedinie casu, charaterystya amplitudowa nie mienia swojego stałtu, następuje jedynie miana charaterystyi faowej. Predstawione na rysunu wartości realiują dolnoprepustowy filtr niereursywny 31 rędu. h[n]= presunięta odwrotna DFT H[m] n 15 3

16 Poażemy ja ależy doładność aprosymacji funcji transmitancji od licby współcynniów filtru. Zdefiniujemy funcję ona prostoątnego o miennej seroości i jednostowej wysoości w[n]. Mnożenie odpowiedi impulsowej filtru idealnego pre funcje w[n], powala a mianę licby współcynniów filtru. h [] n = h [ n] w[ n] Użycie filtru 9 rędu daje w wyniu filtr dolnoprepustowy, ale jeżeli porównamy jego charaterystyę amplitudową jest ona dalea od ideału. h[] n=9 Sytuację poprawia astosowanie filtru 19 rędu. Charaterystya amplitudowa bliża się stałtem do aładanej, prostoątnej. Zauważmy wyraźne nierównomierności w paśmie prepustowym. h[] 15 n=19

17 Zastosowanie filtru 31 rędu daje jesce lepsą charaterystyę - nacnie mniejsyliśmy pasmo prejściowe. Jedna nierównomierności charaterystyi w paśmie prepustowym nadal są wyraźnie widocne. h[] n= Wniosi: Dalse więsanie licby współcynniów powoduje awężenie obsaru prejściowego, ale nie liwiduje nierównomierności charaterystyi amplitudowej w paśmie prepustowym. Efet ten jest naywany efetem Gibsa i występuje gdy nieciągłość funcji prostoątnej w[n] wyrażona jest w postaci seregu Fouriera. Inacej można stwierdić, że biór prebiegów sinusoidalnych nie jest w stanie odworować nieciągłości. Nierównomierności w paśmie prepustowym można jedna minimaliować stosując tw. funcje oien wygładających.